제 장연습 / 예제문제 연습문제 - - - - - - - - -5-5 -6-7 -8-9 -0 0 홈페이지예제문제 0-0- 0-5 0-8 0-9 0-
연습 -. 질량이 0.5 인물체가가벼운용수철 ( 상수. 0 있다. 용수철을평형지점에서 8.0 c 압축하였다가놓았을때 N/ 에매달려마루위에 ( 가 운동방정식은? d F + 0 dt d dt + 0. 0 N/ 0 sec 0. 5 ( 나 초기위상은? : 해를 ( t A sin( t + φ 로가정하면 t0 일때용수철은 0.08 로압축되어있으므로 초기조건 : t 0 에서 0 0.080 ( 다 t 0. 5sec 에서물체의위치는? 0 0.080 0.080 sin φ φ π 0.080 sin ( t 0.080080 cos ( t 0.080080 cos ( 0 0. 5. 0 π 0. c 압축된위치 해를 ( t A cos( t + φ 로가정하여위상값이 π 라고하여도좋습니다
( 라 이계의총에너지를구하라 총에너지는 E + v A (. 0 N/ ( 0.08 7. 7 E ( 마 5.0 c 와 -5.0 c 와일때의속도를구하여라. 역학적에너지보존식으로부터 v ( A ( A E + 800 (0.08 J v 0.05 A. / s ( ( 바 물체의최대속도를구하여라. 어느지점에서나타나는가? 0 일때 v A 0.08 s 5.5 / s v ( A
연습 -. 용수철상수.0 0 N/ 인용수철을절반으로잘라얻게되는두개의용수철에그림과같이질량.0 의물체를연결하여마찰이없는수평면위에서단순조화진동을하게하였을때각진동수는얼마인가?. 용수철을반으로자르거나 ( 같은용수철을병렬로이어도 탄성계수는 배로증가하고용수철을직렬로이으면탄성계수는 ½ 배로줄어든다 ( 연습 5- 참조 이문제는용수철을반으로자르고병렬로이었으므로처음용수철상수보다탄성계수가 배로증가한다. ' ' '. 0 (.0 0 N /.0 0 rad / s
연습 -. 단순조화진동의최대변위가 A 이다. ( 가 물체가최대거리의절반위치에있을때위치에너지와운동에너지는각각총에너지의몇 % 인가? ( 나 위치에너지와운동에너지가같은위치를구하여라. 최대변위 A 는진폭에해당한다 E ( 가 물체가최대거리의절반위치에있을때는 A/ 이므로 A A PE KE v E PE E (E의 E 75% (E의 5% ( 나 위치에너지 운동에너지가같은위치는전체에너지의절반이되는위치이다. v E A ± A A 5
연습 -. 용수철상수가 5 5.0 00 N/ 인용수철의한쪽끝은벽에고정되어있고다른쪽끝에는질량.0 의물체가연결되어있다. 5.0 0 N의힘으로물체를최대한끌어당겼다가시각 t 0 에물체를가만히놓았을때물체의단순조화진동의변위 (t 를구하라.. 단순조화운동하므로각진동수는 5.0 0 N / 5.0 0 N.0 / 50 rad / s A 이고용수철은처음에힘을주어늘어나게한길이만큼의진폭으로진동하므로조화진동의진폭은 F 5.0 0 N A 0. 0c 5.0 0 N / A 또한 t0 일때단순조화운동은최대변위이므로 φ0 ( t Acos( t + φ 0.cos(50 t 0.cos(7t 6
연습 -5. 그림과같이질량 인총알이용수철에달려있는질량 M 인나무토막에속도 v로날아와박혔다. 용수철상수는 이며용수철끝은벽에고정되어있다. ( 가 총알이박힌직후나무토막의속도는얼마인가? ( 나 단순조화진동의최대진폭은얼마인가? ( 가 운동량보존식으로부터 v ( M + V V v M + ( 나 총알이박힌나무토막은용수철의운동에너지는모두용수철을수축하는탄성에너지로전환된다면역학적에너지보존에서최대진폭은 v M M+ V E E A ( M + V + 0 0 + A ( M + v ( M + v M + A 7
연습 -6. 길이가 L 이고질량이 인가느다란막대의끝을천장에매달아물리진자를만들어단순조화운동을시키고있다. ( 가 막대의주기를구하고 ( 나 막대진자의주기와같도록단순진자를만들려고한다. 단순진자에달린물체의질량도 이라면실의길이는얼마인가? L o L/ sinθ ( 가 막대진자의주기 π π L 운동방정식을구하면 τ I α rf d θ L I sin θ dt d L + 0 θ Q dt I θ ( sinθ θ L I L I L ( 나 막대진자의주기 단진자주기 π L L' π L L' 8
연습 -7. 5 의진폭으로수직으로단순조화진동을하고있는피스톤위에물체가놓여있다. 물체가피스톤과분리되지않으려면단순조화진동의주기가얼마이상이어야하는가?. 수직으로단순조화운동을하는피스톤의 ( 단순조화운동 가속도는 M a d A cos t + dt ( φ Acos ( t + φ 5 이고물체가피스톤과분리되지않으려면피스톤의가속도의최대값이중력가속도보다작아야한다. a a A A 9.8 / s 5.0.rad / s 그러므로피스톤의주기는 이며,5 초보다는커야한다. π π..5( s
연습 -8. 길이가 L 이고용수철상수가 인용수철의한쪽끝이천장에매달려있다. 다른쪽끝에질량 인물체를연결하여가만히놓으면위아래로단순조화진동을하게된다. 단순조화진동의진폭은얼마인가?. 물체는처음위치 ( 평형위치 에서부터중력 ( 에의해늘어나게되며점점길이가늘어남에따라용수철에의한탄성력은커지면서최대 A 만큼늘어난지점에서탄성력과복원력은같아지게된다. F A a F A F a A A 최대로늘어난길이가진폭이되며물체는단조화진동하게된다.
연습 -9. 길이가.0 인가는줄에 0.0 인물체를달아다음과같은곳에서운동을하고있을때주기를구하여라. ( 가 정지해있는엘리베이터의천장에매달려있다. 단진자주기 l.0 π π.0s 9.8 / s ( 나 가속도.0 /s 으로올라가고있는엘리베이터의천장에매달려있다 l.0 ' π.9s + a 9.8 +.0 / s 엘리베이터내에서 π P a P ( + a '( 엘리베이터내 + a 느끼는중력의크기 ( P ( 다 자유낙하하는엘리베이터의천장에매달려있다. π a π ' ( 엘리베이터내 + a 0 l.0 ' ' a 9.8 9.8 / s 주기 는무한대값을가지면진동하지않음
연습 -0. 반지름이 이고질량이 M 인원판, 링, 속이꽉찬공, 속이텅빈공을길이가 L 인질량을무시할수있는실에매달아각 θ 까지들어올렸다가단진동시킨다. o ( 가 단진동주기가가장큰것은어느것인가? Mcosθ h(l+ M L 운동방정식을구하면 τ Iα rf d θ I Mh sinθ dt θ I π I π M L + ( 가클수록주기가길다 I ( 링 ( 나 제일아랫점에서질량중심속력이가장큰것은어느것인가? v c r h h v c Mh I I M( + L I (I 가작을수록크다 구의 v h(l+: 회전축에서질량중심까지의거리 c I o 점을중심으로한각물체의회전관성 ( 평행축정리 ( 링, I c M c Ic M ( 구, Ic 5 이가장크다 I Ic + Mh, c M ( 다 달에서실험하면진자의주기는얼마인가? d θ Mh 6 배 + θ 0 dt I I I ( Q sinθ θ θ ' ' π π 6 6 M' h M h Mh 6 I ( 라 제일아랫점에서의장력은? M cos θ + Mh θ 0 실의방향에서의알짜힘의방정식을구하면위로작용하는장력과아래로향하는M cosθ와의차이값은구심력과 M + M ( L + 같다.(θ0 M ( 원판 ( 속빈구
연습 - 아래그림과같이용수철에매달려진동하는물체가있다. ( 가 이진동의진폭과진동수는각각얼마인가? ( 나 이물체의질량이 이라면이용수철의용수철상수는? ( 다 평형위치로부터진폭의반의변위에있을때, 이진자의위치에너지와운동에너지의비를구하여라. ( 가 그림에서진폭은 c 이고주기 sec 이다. 진동수는 f / 0.5 sec - 이다 5 ( 나 이물체의질량이 이라면이용수철의용수철상수는? - ( 다 변위가진폭의반이므로위치에너지는 π π π sec sec A A E 운동에너지는 KE v E PE E E E 위치에너지와운동에너지의비 E PE KE E
연습 - 달에가서사용할수있는시계는다음중어느것인가? 그이유는? (i (ii L π (i π π (ii π l 중력과상관없이용수철의탄성과용수철에매달린질량에만관계된다. 주기가중력가속도에따라변한다. 주기가중력가속도에따라변하지않는용수철진자만이달에서사용할수있다
연습 -. 0 인물체가용수철에매달려서진동하고있다. 물체의시간 t 에대한평형점으로부터의변위 는 π ( t 0 c cos (0 rad / s t + rad 로주어진다. ( 가 물체의진동주기는얼마인가? 0 π ( rad / sec π ( rad 0 ( rad / sec 5 π ( rad ( rad/ sec π sec 5 ( 나 물체의최대속력은얼마인가? (t0cos(t+θ 를미분하면 v(t -0 sin(t+θ 이며속도의최대값은 sin(t+θ 일때이다. (Θπ/ / v A 0 c 0 rad / sec 00 c / sec a
연습 - 지구의밀도가균일한고체로이루어져있다고하자. 지구의반지름은, 질량은 M 으로하고그림처럼중심을지나도록원통형으로구멍을뚫었다고하자질량이 인물체가중심으로부터 만큼떨어진곳에있다고하자. ( 가 이물체에작용하는중력을구하여라 ' ' M M M M πρ πρ ' ' V M π ρ ρ M M GM M G GM F ' 질량 과 M 사이의만유인력을구하고 M 를 M 과 로표시하면 M ( 나 운동방정식을구하여라 ( 다 이물체의진동주기를구하여라 GM d : GM π π 주기 + 0 GM dt d GM dt d F 여기서 6 dt
연습 -5 그림과같이질량이 M 이고반지름이 인원판의한끝을고정시키고작은진폭으로진동하게한다. 원판의중심에대한회전관성은 ½ M 이다. 이원판과같은질량을갖고같은주기로진동하는단진자를만든다면그길이는얼마여야하는가? 고정점 M 운동방정식을구하면 τ Iα rf d θ I Msinθ dt ( Q sinθ θ d θ M + 0 θ dt I M M M I I + M M + M c 이진자의회전관성은회전축이 만큼평행이동하였으므로 I Ic + M M + M M Ic M M sinθ 같은주기의단진자로이진자의주기 π π π π L' 만든다면 L'
( t A cos( t + φ 예제 0-. 용수철에매달려진동하는물체의변위는기변위가 0 이고초기속도가음의 축일때위상상수는얼마인가? 이다. 초 미분하면 ( t A cos( t + φ ( t sin ( t ± φ v φ 초기조건 : t 0 에서 ( 0 v v( 0 v ( 0 cosφ 0 ( ( 0 sinφ < 0 0 < sinφ ( π (, ( 를만족하는위상상수는 φ 이다. 8
예제 0- 어떤용수철에질량이 M 인물체를수직으로매달면 9 늘어난다. 이계의고유진동수는얼마인가? 운동방정식을구하면 d y y dt d y + y dt 0 F y M M y 각진동수는 M y M y 9.8 / s f 5.s 5. Hz π π y π 9 0 9
예제 0-5 아래그림과같이용수철 (i 는질량 인물체를달고주기 로단순조화진동을한다. 용수철 (ⅱ 는용수철 (i 길이의 ½ 이고동일한질량 을달고단순조화진동을한다이때용수철 (ⅱ 의주기는얼마인가? 단순조화진동을한다. 이때용수철 (ⅱ 의주기는얼마인가? F F ( ' ' ' F F ( ' 절반자른용수철의탄성계수는 배로늘어나게되므로절반으로자른용수철의주기 는 ' π π π π ' '
예제 0-8. 지구위에서단진자의주기는 s 이다. 지구중력가속도 의 0 배인행성에서단진자의주기는얼마인가? l π s ( ' 0 ' l l l sec π π 0.sec 0 0 π ' 0 0 예제 0-9. 아래의왼쪽그림은길이가 L 이고주기가 인단진자이다, 이단진자에오른쪽그림과같이줄의중간지점에못을박았을때단진자의주기는얼마인가? L L/ total L + L L π + π L l + π +
예제 0-. 한점의 와 y 좌표가각각단순조화진동을한다. 각좌표진동의진동수는같으나진폭은서로다르다다. 이때진동이그리는궤적은무엇인가? A cos ( t + φ y Bsin( t + φ cos A A ( t + φ + sin ( t + φ + + y B 타원궤도 ( A y B B