Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07- 제 7 장응력과변형률의해석 7. 소개 - 보, 축, 봉에서의수직및전단응력 부재내의수직단면에작용 - 경사면의응력은더큰값일수있음 - 축응력 (.6 절 ), 순수전단 (3.5 절 ) 의경우경사면의응력구하는법학습 - 일반적인경사면에서의응력구하는법이필요함 - 응력요소를고려하여응력상태고찰 변환방정식유도 - 응력상태 응력으로표현 - 응력 텐서 (tensr): 벡터와는다른복잡한성질 - 텐서 개의방향이필요 (cf 벡터는 개의방향 ) - 응력, 변형률, 관성모멘트 텐서 Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-
7. 평면응력 - 수직응력 - 전단응력 : 방향의면에 방향으로작용하는응력 ( : 방향의면에 방향으로작용하는응력 도동일 ) - 부호규약 : 양의면에양의방향으로작용하는응력 : 양의응력 - 평형을고려하면 : - 그림 (c) 의경사면의응력 : 평형을고려하면 : - (a), (b), (c) 는모두동일한응력상태 : 표현법만다를뿐임 Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-3 경사단면에서의응력 - 각각의면의면적 응력 힘의총량 - 좌측면적 A 0, 밑면적 A 0 tan, 경사면적 A 0 sec - 방향, 방향의힘의평형식을각각고려하면, A0sec A0cs sin A0 tansin A0 tan cs 0 A0sec A0sin A0cs A0 tan cs A0 tansin 0 위식을연립하여풀면 cs sin sin cs ( )sin cs (cs sin ) (7-3a,b) Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-4
특수경우 : 특수경우 : 0 이면 90 이면,, ; 부호에유의 ( 축이수직축 ) 평면응력에서의변환공식삼각함수의공식을 (7-3a), (7-3b) 에대입하면 cs ( cs ) sin ( cs ) sin cs sin cs sin sin cs 평면응력의변환공식 면에작용하는수직응력 는 cs sin ;( 에무관 ) Nte: 의식에 90 을대입하면, Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-5 의변화에따른, 의변화그래프 ( 0., 0.8 인경우 ) Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-6
평면응력의특별한경우 단축응력 (uniaial stress) 0 인경우 ( cs ) (sin ).6 절의식과동일 순수전단 0 인경우 sin cs 3.5 절의식과동일 Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-7 축응력 0 인경우 sin cs - 축응력의예 : 두께가얇은압력용기등등 Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-8
예제 7- 문제 6,000 si, 6,000 si, 4,000 si 45 만큼경사진요소위에작용하는응력을구하기 Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-9 풀이,000 si, 5,000 si, 4,000 si sin sin 90, cs cs90 0 이값들을공식에대입하면, cs sin 5,000 si sin cs 5,000 si cs sin 7,000 si Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-0
예제 7- 문제 좌측에도시한응력요소를 5 시계방향으로회전한응력요소의응력구하기 Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07- 풀이 원래요소의그림에서각각의응력의크기와방향을읽으면, 46 MPa, MPa, 9 MPa 시계방향으로 5 회전 5 ( 5 대신 75 사용해도무방 ( 수직축이 ) 7 MPa, 9 MPa, 9 MPa sin sin( 30 ) 0.5, cs cs( 30 ) 0.8660 이값들을공식에대입하면, cs sin 3.6 MPa sin cs 3.0 MPa cs sin.4 MPa Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-
Nte - 75 을사용하여도동일한결과, 단이경우 축과 축이바뀜. - Check: Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-3 7.3 주응력과최대전단응력 Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-4
Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-5 cs sin sin cs 평면응력의변환공식, - 는 의변화에따라그값이변화 ( 앞의그래프참조 ) - 의최대 / 최소값 주응력 (rincial stress) d ( )sin cs 0 d tan - 는 0 360 사이에두개의값을가짐 ( 두값은 80 차이 ) - 따라서 는 0 80 사이에두개의값을가짐 ( 두값은 90 차이 ) 두값은주각 (Princial Angles), 서로직교하눈축을구성 주축 - 주축방향으로, 이최대 / 최소값을가지게됨. 주응력 (Princial Stress) Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-6
- 좌측의그림에서 R cs, R sin R 주각 (Princial Angles) 이값들을응력변환공식에대입하여주응력 을구하면, cs sin R R Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-7 - 또다른주응력 는 90 에해당하는값을구하여도되며, 또다른방법으로 을사용하는것이더욱편리함. 주응력구하는일반식, Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-8
주각 cs, R sin R 주평면에서의전단응력 - 주평면에서의전단응력은 의계산식에 에서의삼각함수값을대입하여구함. 0 이식은 d d sin cs0 과동일함 - 주평면에서전단응력 = 0 Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-9 특별한경우 단축응력 & 축응력의경우 tan 0 평면이주평면. 순수전단 이경우주평면은 tan 45, 35 주응력의값은, Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-0
세번째주응력 - 지금까지는 z 축회전만고려 - 실제는 3 ( 0) 이존재 - 3 차원해석필요 - 3 의크기에따라 3 차원주응력의해석이달라짐. Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07- 최대전단응력 - 최대전단응력을구하기위하여 의식을 에대하여미분한다. d ( )cs sin 0 d 따라서 tan s - s 는 0 360 사이에두개의값을가짐 ( 두값은 80 차이 ) - 따라서 s 는 0 80 사이에두개의값을가짐 ( 두값은 90 차이 ) - 최대전단은직교하는두평면상에서발생. 한편 확인 : tan s ct tan s 와 는서로수직 s 와 는서로 45 sin cs s 0 cs sin sinssin css cs 0 cs(s ) 0 s Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-
90 45 s s 최대전단응력평면은주평면에서 45 의위치에서발생함. 이때최대양의전단응력 ma 의평면에서 cs, sin s 45 s R R s 이값을대입하여 ma, 그리고 min ma - 이값은주응력을이용하여구할수도있다. ma 최대전단평면에서의수직응력은 aver - 단축응력, 축응력 최대전단응력평면은 평면과 45 위치에서발생 - 순수전단의경우 최대전단응력은 평면에서발생 Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-3 평면내와평면외의전단응력 - 최대전단응력은 z 축각각을회전시켜서구할수있다. 즉 3 가지경우가존재함. ( ma ) ( ma ) ( ma ) z, 축에대해회전하여구한전단응력 평면외전단응력 -, 의크기와부호에따라실제최대전단응력이결정됨. Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-4
예제 7-3 문제,300 si, 4,00 si, 4,700 si (a) 주응력을구하고회전된 ( 회전각을정확히표시 ) 응력요소에표시하기 (b) 최대전단응력을구하고회전된 ( 회전각을정확히표시 ) 응력요소에표시하기 Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-5 풀이 (a) 먼저주각 ( 4,700) 를구하면, tan 0.5679,300 ( 4,00) 50.3, 330.3 75., 65.,300 4,00 4,050 si,,300 4,00 8,50 si ( 해 ) 평면응력변환공식에대입하여구함. cs sin 5,440 si 75. 일경우 cs sin 3,540 si 65. 일경우 ( 해 ) 주응력구하는일반식에대입하여구함, 4,050 9,490 3,540 and 5,440 Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-6
- 의방향을결정하기위하여, R 8, 50 cs 0.869, R 9, 490 330.3 65. (b) 최대전단응력은유도된공식을이용함 4,700 sin 0.495 R 9, 490 ma (8,50) ( 4,700) 9,490 si 45 65. 45 0. s 90 0. 90 30. s s 이때축응력의값은 aver 4,050 si Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-7 7.4 평면응력에대한모어원 Mhr 원의방정식 cs sin sin cs 양변을제곱하여합산, 여기에 aver R aver R 좌표는, ; 중심,0 aver ; 반경 R 로정의하면, 주의 : 회전각의방향에따라두가지좌표축중에선택함. ( 그림 (a), (b) 참조 ) (a) 를선택함. Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-8
Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-9 Mhr 원의작도 -수평축, -수직축 ( 아래쪽이양 ).., 0 을원의중심 C 로함. aver 3., 를 A 점으로함 이점은 0 에해당하는 면임 4., 를 B 점으로함 이점은 90 에해당하는 면임 5. A B 를연결하는직선을작도함. 이선은지름이되며원의중심 C 를통과 6. 중심이 C 이고점 A, B 를지나는원을작도 CA CB R Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-30
Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-3 경사진요소의응력 확인 : 축으로부터 회전된평면요소의응력 그림에서 A 로부터 회전된위치의점 D (, ) D 점의좌표 Rcs, Rsin (7.33a,b) 그림에서 한편 cs( ), R sin( ) R 즉 cs cs sin sin ( a) R sin cs cs sin ( b) R ( a) cs ( b) sin cs cs sin R Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-3
( a) sin ( b) cs sin sin cs R 이값들을식 (7.33) 에대입하면 cs sin sin cs 평면응력의변환공식 지름방향으로 D 와반대인점 D 서로 80 의위치 응력요소에서 90 의차이 (, ) D 점의좌표 Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-33 주응력 축응력이최대가되는점 P 을선택 주응력과주평면을나타냄 ( 이점에서전단력 = 0) P 의가로축 이최대주응력, 기준점 A ( 0) 로부터 OC CP R aver 은주평면의회전방향., 여기에 R 값을대입하면앞의식 (7.4) 와일치함 그림에서 cs, R sin, 이것은식 (7.8a,b) 와일치함. R 또다른주응력 ( 최소축응력 ) 의위치 P 의위치 : 는 즉 90 OC CP R aver 보다 80 차이가남 Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-34
최대전단응력 최대전단응력 / 음의최대전단응력의평면 S, S 는원의맨밑 / 맨윗부분 P 과 P 로부터 90 만큼떨어진곳에위치 최대전단응력의면은주평면과 45 회전된면임. Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-35 전단응력에대한또다른기준의부호규약 Mhr 원의회전방향과응력요소의회전방향일치 원의전단축이아래방향이양 Mhr 원의회전방향과응력요소의회전방향반대 원의전단축이아래방향이음 Mhr 원에대한일반적유의사항 - 평면응력의경우만적용가능 공식을암기할필요없음. - 축응력의값이음수이면원의일부가수직축의좌측에위치함. Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-36
예제 7-4 문제 그림 (a) 에도시한 축응력요소에대한 Mhr 원을작도하고, 이를이용하여 30 만큼경사진평면에작용하는응력을결정하고 Mhr 원에표시하기. Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-37 풀이 90 MPa, 0 MPa, 0 MPa aver 90 0 55 MPa, 원의중심 C ( aver,0) 를위치함. 요소의 면에작용하는응력을나타내는점 A ( 0 ) 의좌표는 (,0) (90,0) 요소의 면에작용하는응력을나타내는점 B ( 90 ) 의좌표는 (,0) (0,0) 90 0 R 0 35 MPa 30 인경사진평면의응력은 Mhr 원에서 60 인점 D 점의좌표를구하면 R cs 60 55 (35cs 60 ) 7.5 MPa aver Rsin 60 (35)(sin 60 ) 30.3 MPa Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-38
같은방법으로 0 인경사진평면의응력은 Mhr 원에서 40 인점 D 점의좌표를구하면 R cs 60 55 (35cs 60 ) 37.5 MPa aver R sin 60 (35)(sin 60 ) 30.3 MPa Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-39 예제 7-5 문제 5,000 si, 5,000 si, 4,000 si (a) 40 회전된요소 (b) 주응력 (c) 최대전단응력 을각각구하고, 적당히회전시킨요소의그림에결과표시하기 Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-40
풀이 aver 5,000 5,000 0,000 si, 원의중심 C ( aver,0) 를위치함. 요소의 면에작용하는응력을나타내는점 A ( 0 ) 의좌표는 (5,000, 4,000) 요소의 면에작용하는응력을나타내는점 B ( 90 ) 의좌표는 (5,000, 4,000) 5,000 5,000 R 4,000 6,403 si (a) 40 인경사진평면의응력은 Mhr 원에서 80 인점 D 점을구하여야함. 4,000 tan ACP 0.8 ACP 38.66 5, 000 DCP 80 ACP 80 38.66 4.34 R cs 4.34 0,000 (6,403cs 4.34 ) 4,80 si aver Rsin 4.34 (6,403)(sin 4.34 ) 4,30 si Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-4 같은방법으로 30 인경사진평면의응력은 Mhr 원에서 60 인점 D 점의좌표를구하면 R cs 4.34 0,000 (6,403cs 4.34 ) 5,90 si aver R sin 4.34 (6,403)(sin 4.34 ) 4,30 si 참고 : Cnstant 를이용하면더쉽게구할수있다. (b) 주응력은원위의점 P 과 P 로나타내어진다. aver R 0,000 6,400 6,400 si ACP 38.66 9.3 aver R 0,000 6,400 3,600 si 80 8.66 09.3 (c) 최대전단응력은원위의점 S 과 S 로나타내어진다. R 6,400 si ma Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-4
ACS 90 38.66 5.34 5.34 5.7 주응력과 45 차이 이때의축응력은 0,000 si aver s s Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-43 예제 7-6 문제 50 MPa, 0 MPa, 40 MPa (a) 45 회전된요소 (b) 주응력 (c) 최대전단응력 을각각구하고, 적당히회전시킨요소의그림에결과표시하기 Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-44
풀이 aver 50 0 0 MPa, 원의중심 C ( aver,0) 를위치함. 요소의 면에작용하는응력을나타내는점 A ( 0 ) 의좌표는 ( 50, 40) 요소의 면에작용하는응력을나타내는점 B ( 90 ) 의좌표는 (0, 40) 50 0 R 40 50 MPa (a) 45 인경사진평면의응력은 Mhr 원에서 90 인점 D 점을구하여야함. 40 4 tan ACP ACP 53.3 30 3 DCP 90 ACP 90 53.3 36.87 R cs36.87 0 (50)(cs36.87 ) 60 MPa aver R sin 36.87 (50)(sin 36.87 ) 30 MPa Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-45 같은방법으로 35 인경사진평면의응력은 Mhr 원에서 70 인점 D 점의좌표를구하면 R cs36.87 0 (50)(cs36.87 ) 0 MPa aver Rsin 36.87 ( 50)(sin 36.87 ) 30 MPa 참고 : Cnstant 를이용하면더쉽게구할수있다. (b) 주응력은원위의점 P 과 P 로나타내어진다. aver R 0 50 30 MPa ACP 53.3 80 33.3 6.6 aver R 0 50 70 MPa 53.3 6.6 (c) 최대전단응력은원위의점 S 과 S 로나타내어진다. R 50 MPa ma Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-46
ACS 90 53.3 43.3 43.3 7.6 주응력과 45 차이 이때의축응력은 0 MPa aver s s Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-47 7.5 평면응력에대한훅의법칙 균질등방성재료에대한평면응력의고찰 (Hmgeneus Istric Plane Stress) 에의한 방향의변형률 에의한 방향의변형률 는 / 는 / 방향의합변형률은 ( ) (7-34a) Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-48
같은방법으로 ( ) z ( ) (7-34b,c) 전단응력과전단변형률과의관계는, (7-35) G 이식들을종합하면, ( ) ( ) (7-36a,b) G (7-37) (7-34) ~ (7-37) 평면응력에대한 Hke 의법칙 여기서 G ( ) 3.6 절의식 (7-38) 세가지재료상수 (,, G) 중에서두개만독립적임. Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-49 Hke 의법칙의특별한경우 축응력 0 인경우 ( ) ( ) z ( ) (7-39a,b,c) ( ) ( ) (7-40a,b) 전단응력과수직응력은서로독립적이기때문에 앞식 (7-34), (7-36) 과동일 단축응력 (uniaial stress) 0 인경우 z Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-50
순수전단 0 인경우 z 0 G - 축응력, 축응력, 순수전단의경우모두 z 0 Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-5 체적변화량 최초체적 V 0 abc 최종체적 V ( aa )( bb )( cc ) V ( ) 0 V ( ) 0 z z z z z z ( 차항이상은무시함 ) 체적변화 V V ( ) V0 V0 z 단위체적변화 e ( 혹은팽창률 (dilatatin)) 은 V e ( z) V 0 Nte: 전단변형률의영향은없음. Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-5
Hke 의법칙을따르는평면응력상태의경우는, V e ( ) V 0 축응력상태인경우는 V e ( ) V 0 인장을받는경우 ( 0) e 0 ( ) 0 0.5 Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-53 평면응력에서의변형에너지밀도 단위체적내에저장된변형에너지, u ; 요소의 면에작용하는힘 : bc Area 요소의 면이움직인거리 : a 힘이한일의양 : ( bc )( a ) 같은방법으로 면의힘 ac 의일은 ( ac )( b ) 따라서수직응력및수직변형률에의한변형에너지밀도는 u ( ) 전단변형률에대한변형에너지밀도는 u Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-54
평면응력에서의변형에너지밀도 u u u ( ) (7-49) 평면응력에대한식 (7-34)(7-35) 를대입하면응력의항만으로된식이구해짐 ( u ) (7-50) G 평면응력에대한식 (7-36)(7-37) 을대입하면변형률만의항으로된식이구해짐 G u ( ) ( ) (7-5) - 단축응력의경우 ; 0,, 0 u 식 (-38a,b) 와일치 Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-55 - 순수전단의경우 ; 0, 0 G u (3-55a,b) 와일치 G Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-56
7.6 3 축응력 Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-57,, z 를받는요소 3 축응력 이응력이주응력 ( 전단응력이없음 ) z 축을회전한요소의전단응력 ( 그림 b) 평면응력변환공식으로구함 ( 평면응력의변환공식은 z 에대해독립적이기때문 ) 축, 축에대해회전한요소도같은방법으로구함. 최대전단응력 z 축에대해 45 회전된요소 : ( ) ma z 축, 에대해 45 회전된요소 : ( ) ma z, ( ma ) z 일반적인좌표계에서의응력 큰원과작은원 개사이에위치함. Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-58
3 축응력에서의 Hke 의법칙평면응력의경우와같은방법으로, ( z) (7-53a) ( z ) (7-53b) z z ( ) (7-53c) 이식을응력에대하여풀면, ( ) ( z) ( )( ) ( ) ( z ) ( )( ) z ( ) z ( ) ( )( ) (7-54a) (7-54b) (7-54c) Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-59 Nte: 이식에 z 0 을대입하면앞의평면응력에대한 Hke 의법칙으로축소됨. 단위체적변화평면응력의경우와같은방법으로, V e ( z) V 0 e ( z ) Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-60
변형에너지밀도 ( 축응력만고려 ) 평면응력의경우와같은방법으로, u ( z z ) 이식에 3 차원 Hke 의법칙을대입하여응력만의표현혹은변형률만의표현이가능함. ( ) ( z z ) u 혹은 u ( )( ) ( )( z) ( z z ) Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-6 구응력 (sherical stress) 인경우 ( 전단은없음 ) z 0 재료내의어떠한방향에서도같은크기의응력 0 을받음 모든면이주면, Mhr 원에서한점으로표시 0 0 ( ) Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-6
체적변화에대한식은 3 0( ) e 3 0 체적탄성계수 K 를정의하자 ; K 3( ) (7-6) 따라서 0 e K, 그리고 K 0 ( 축응력에서탄성계수 의정의와유사함 ) e (7-6) 식에서 /3 이면 K 0 이면 K /3 0.5 이면 K 체적변화가없는강체 ( 비압축성 ) ma 0.5 균일압축을받는경우도동일한식 정수압응력 (Hdrstatic Stress) Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-63 7.7 평면변형률 평면응력 : 0 나머지는 0 이아님. z z z 평면변형률 : 0 나머지는 0 이아님. z z z Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-64
Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-65 일반적으로평면응력과평면변형률은동시에발생하지않음. 예외 -) 평면응력상태중에서 예외 -) 평면응력상태중에서 0 인경우 ; z 방향변형률이서로상쇄됨 인경우 ; 0 z 이됨 변환공식의적용 - 평면응력의변환공식은 z 방향응력이발생하여도계속사용가능 평형방정식의유도과정이 z 에영향을받지않기때문 - 평면변형률의변환공식도 z 방향변형률이발생하여도계속사용가능 평면변형률의변환공식은기하학적고려만을하여구해짐 즉 z 혹은재료의물성치에영향을받지않음 Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-66
평면변형률에서의변환방정식 원래좌표에대해 회전된좌표계를고려함 Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-67 수직변형률 방향수직변형률 방향수직변형률 에의한 방향길이변화 : 에의한 방향길이변화 : d 대각선의변화 d cs d 대각선의변화 d sin 방향전단변형률 에의한윗면의우측이동량 : d 대각선의변화 d cs 대각선길이의전체증가량은 d dcs dsin dcs d d d d cs sin cs ds ds ds ds d d 여기서 cs, sin 이므로 ds ds (7-66) cs sin sin cs 는위식에 90 를대입하여얻어진다. Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-68
전단변형률 에의한 방향길이변화 : 에의한 방향길이변화 : d d 대각선의회전 : ds dsin sin ds d d 대각선의회전 : ds d cs cs ds d 에의한윗면의우측이동량 : d 대각선의회전 : ds3 d sin 3 sin ds 3 d d d sin cs sin ds ds ds ( )sin cs sin d d 여기서 cs, sin 를이용했음. ds ds Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-69 기하학적고찰에의해 는윗식에 90 를대입하여구함. 즉, ( )sin( 90 )cs( 90 ) sin ( 90 ) ( )sin cs cs ( ) sin cs (cs sin ) ( )sin cs (cs sin ) Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-70
다음의삼각함수의관계식을이용한다. cs ( cs ) sin ( cs ) sin cs sin cs sin sin cs 평면변형률에대한변환공식 Nte:,, 의관계가있음 ;( 에무관 )( 응력의경우와유사 ) Nte: Nte: 면에작용하는수직변형률 은 의식에 90 을대입하여구한다. Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-7 주변형률 응력의경우와같은방법으로해석하여 주각의위치 : tan 주변형률의크기 :, 최대전단변형률 위치 : 주변형률방향에서 45 회전된축 크기 ma, 이때의수직변형률은 aver Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-7
평면변형률에대한 Mhr 원 평면응력의경우와 완전히동일함 Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-73 변형률의측정스트레인게이지 (strain gage) 를이용하여측정 - /8 ~. in 의크기 - 표면에부착하여변형률에비례하여길이변화 - 연속된와이어로구성된금속격자 길이의변화에따라전기저항변화 - 0 6 정도의작은변형량도측정가능 - 3 방향의변형률을측정하여임의의방향의변형률을계산할수있슴 - 특별한형태로배열된 3 개의게이지조합 스트레인로제트 (Strsin rsset) 변형률로부터의응력의계산 스트레인게이지로변형률측정 Hke 의법칙에대입하여응력을계산함 Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-74
예제 7-7 Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-75 문제 6 340 0, 6 0 0, 80 0 6 (a) 30 회전된요소 (b) 주변형률 (c) 최대전단변형률 을각각구하고, 적당히회전시킨요소의그림에결과표시하기 풀이 ( 두가지해법이있음. 변환공식이용, Mhr 원이용 ) (a) 30 회전된요소는변환공식을이용하여구할수있다. (340 0) 0 6 6 5 0, 6 (340 0) 0 5 0 6 90 0 6 평면변형률변환공식에대입하면, cs sin (50 ) (50 )(cs 60 ) (900 )(sin 60 ) 3600 6 6 6 6 Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-76
sin cs (50 )(sin 60 ) (900 )(cs 60 ) 550 6 6 6 6 0 0 (340 0 360) 0 90 0 6 6 (b) 주변형률도공식을이용하여구할수있다., 6 6 6 6 6 50 50 900 50 460 3700 80 0 6 6 위치는 80 tan 0.786 340 0 38.0, 8.0 9.0, 09.0 대입하여최대 / 최소각을결정함. Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-77 (c) 최대전단변형률도공식에의하여구해짐. ma 460 6 ma 90 0 6 9.0 45 64.0 s 이각을대입하여, 음 / 양최대전단변형률의각을결정함. 이때의수직변형률은 5 0 6 aver Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-78
예제 7-8 축에대해 45 간격으로 3 개의변형률측정후, 회전된 축에서의 변형률구하기. 풀이, 이므로 45 방향의변형률은 a c a c a c b (cs90 ) (sin 90 ) 이식을풀면 이제, b a c, 를알고있으므로, a c b a c 임의의각 회전된 축에서의변형률을구할수있다. Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-79 탄성상수들간의관계식 순수전단 를받는응력요소의전단변형률 : / G 이요소를 45 도회전시키면, 따라서변형률은 ( ) ( ) 0 변형률을 -45 도회전하면 ( ) 이값은원래의전단변형률과같아야하므로 ( ) G G ( ) Mechanics f Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barr J. Gdn Page 07-80