보이론 I Beam Theor Metal Forming CAE Lab. Department of Mechanical Engineering Geongsang National Universit, Korea
개론 - 세장부재에관한고체역학의총정리 Chapter Ke words Member Load 변형변형의기하학응력힘 - 변형관계관계식 Uniaial loading Truss, rod Uniaial load, u u( ), L 0 E P PL,, A AE du d P( ) AE 3 Torsion Shaft 4 5 Shear force, bending moment Stresses in beams Beam Beam Twisting moment Lateral force, bending moment Bending moment, ( z) z d r dz d ds tan v( ) ( ) z, z G E z z M tr I z, d M t ( z) dz GI dv q ( ), d dm b d V( ) 1 M EI d ds b, z VQ bi 6 Deflection of beams, staticall determinate sstem Beam Shear force, bending moment v ( ) M b I, M b ( ) ( v ) EI 7 Deflection of beams, staticall indeterminate sstem Beam Shear force, bending moment v ( ) tan v( ) ( ) ( ) v( ) 10 Buckling Column Lateral force, moment, aial force(p) v ( ) E dv q ( ) d dm b dv V( ) P d d ( EI v( )) ( Pv( )) q( )
개론 - 세장부재, 보의정의와특징 가느다란긴부재 ( 세장부재, Slender member) 에작용하는힘과응력 트러스부재 (Truss member) 또는봉 (Rod) 축력 법선응력 원형축 (Circular shaft) 비틀림모멘트 전단응력 보 (Beam) z 측력 - 굽힘모멘트, 전단력 법선응력, 전단응력 I-beam, H-beam Flange Tr J F A z 보에작용하는응력 Mb VQ VQ,, z I bi ti 기둥 (Column) t b 압축력 P P 좌굴 Column Buckled Web
개론 - 봉과원형축에서의변형률 봉의단축하중시의변형률 A B q :Load per unit length u () u ( ) 0 0 0 v 0 0 0 v A ' B ' A' B' AB u( ) u( ) du lim AB 0 d 축의비틀림시의변형률 r d z z r r dz 0 0 0 0 0 0 z 0 z z z z ( z z) ( z) r 일반적인변형률 (Strain) Deformed z Undeformed S P R 1 P 1 S R 1 PR, PS are straight lines under the small deformation assumption z z z z z z ij ij ji, ij
개론 측력과굽힘 그림 8.1a 보에작용하는측력 그림 8.1b 굽힘에의한처짐 그림 8.a 길이방향대칭면 그림 8.b 길이방향 섬유 의개념
개론 - 순수굽힘 그림 8.3 보의영역별순수굽힘의예 그림 8.4 굽힘변형
개론 - 순수굽힘 순수굽힘 (Pure bending): V( ) 0, M ( ) 일정 b a a L M Pa
개론 - 주요용어정의 용어정의및설명 v () 굽힘 ( 처짐 ) 곡선 : v ( ) ( ( ) v ( )) 기울기각도 : 기울기 : ( ) tan cos v 곡률 ( ) 및곡률반경 ( ): 1 1 v( ) 곡선의길이 : v() t 1 s 1 v( t) dt 1 dt v( t) dt 0 0 0 1 d d v( ) ds d 대칭면 : 대칭축과보의방향 ( 중립축 ) 이이루는면 중립축 : 대칭면상의선으로길이가변하지않는선 기타 : 굽힘강성, 변형에너지 O O O' v () Assume u ( ) 0 A C s s D vl ( ) B
개론 - 곡률의정의와곡률 - 함수관계식 1 v( ) 관계의유도 1 d d d 정의 : ds d ds 의계산 : v( ) tan v ( ) sec d v( ) d 1 v( ) cos v () 1 1 v( ) 1 d d v( ) d ds 0 3 1 v ( ) s () v v( ) 접선 s d 의계산 : ds s s v v 1 1 s v 1 d 1 ds 1 v ( ) v
개론 - 원의곡률과곡률의기하학적의미 원의곡률 하부원 R 1 ( R ) 3 R ( R ) 원의곡률의기하학적의미 3 3 1 ( ) R ( R ) R ( R ) 1 3 3 3 1 3 R 1 ( ) 1 ( R ) R ( R ) R R 1 d ds 1 R R 상부원 R R 1
개론 - 단면특성과면적적분 단면 ( 도형 ) 의특성 (Properties): 면적, 도심, 단면극관성모멘트, 단면관성모멘트 도심 (Centroid) 의정의 : 도형의중심 취급하는보의단면이대칭이므로 0, da A A 보의단면에대한면적적분 A da A ' da A da A I A A 기타 f ( da, ) f( da, ) f( da, ) f( da, ) f( da, ) A A A A A A A A 1 n 1 1 n
보이론전개를위한주요가정 순수굽힘보이론 - 보이론의가정과과정 기하학적가정 : 보의단면은좌우대칭이되어야함. 적은변형 (Small deformation) 재료학적가정 : 대칭축에대하여재료가대칭이어야하며, 모든재료는후크법칙을따름 역학적가정 : 하중, 즉측력은대칭축에서만작용함. 0, 0 z Flange 0 z 0 Web (O) (X) (O) (X) (O) (X) 보이론의전개과정 순수굽힘보이론 : 전단력이작용하지않고굽힘모멘트가일정하게작용하고있는보에작용하는응력 ( 굽힘응력 ) 을구함 대칭축에서이론을전개함. 대칭면에평행한면에서는대칭면에서유도한결과가그대로적용된다고가정함 공학보이론 : 전단력이작용하더라도순수굽힘보이론에서구한굽힘응력, 변형과굽힘모멘트관계식등은그대로사용가능하다는가정하에전단응력을계산함 좌표축의설정 중립면 대칭축 대칭면 중립축
순수굽힘보이론 - 변형의기하학적적합성 축의비틀림변형의기하학적적합성 보의순수굽힘변형의대칭성논리 대칭성논리 M t Cavit 기하학적적합성조건에어긋남그원인은단면이불룩하게 ( 오목하게 ) 된다는가정이잘못된것에있음 중립축에수직한단면의거동 : 중립축에수직한단면 ( 평면 ) 은변형후에도평면으로남음 중립면의변형모양 : 보의길이방향과평행한직선은변형후에원호가됨 M t 대칭면 (X) Contradiction 발생 : 임의의평면 (X) 가정에모순이있음. 즉 Curved profile의가정이잘못되었음. J J' F C F' E B B' 대칭면 (O) D D'
순수굽힘보이론 - 변형과변위와의관계 변형률 (Strain) 의계산 A B C P D E F Q R S 대칭면 neutral ais Mb P R RS PQ Q S Mb PQPQ ( ) v( ) PQ v z v 0, 0, 0 z z 이식은변형의기하학적적합성에근거하여도출된것으로재료와는무관하게성립함. 따라서두개이상의재료로구성된복합보에대해서도성립함 z 0 0 0 z z z 그림 Anticlastic curvature
등방성재료의일반화된후크법칙 순수굽힘보이론 - 응력과변형률의관계 z z z z z z z z 1 E 1 E 1 E 1 E 1 G 1 E 1 G 1 1 E G 응력성분 z z z z z ij ji z face z z z z z face face 후크법칙의적용, 응력성분의계산 가정 : 0, z 0 E E, ν 0, 0, 0( 0, 0, 0) z z z z z Flange z 0 Web 0
순수굽힘보이론 힘의평형조건 평형조건식의적용 : 단면이하나의소재로되어있을경우 ( 단일재료보 ) M b F 0; da 0 A 1 E ( A), A EdA 0 If E constant A da 0 M 0; dam z b A E, ( A) 1 EdA A M b If E constant EI : 굽힘강성 EI b M E M 0; z da zda 0 A A I A da 좌우대칭으로자동적으로성립 단면 차관성모멘트
순수굽힘보이론 - 중립축, 처짐곡선, 응력 평형조건식의적용결과의정리 : 단면이하나의소재로되어있을경우 ( 단일재료보 ) F 0; A da 0 A da A 0 1 v( ) EI b ( ) M EI v( ) M b ( ) M z 0; EI v ( ) q( ) 1 M b( ) Mb, M b ( ) q( ) EI EI 중립축과도심은일치함 M b EI E M b I I A da 단면 차관성모멘트 (Area moment of interia of the cross-section)
가정및결과 굽힘모멘트가일정함 ( 전단력이작용하지않음 ) 대칭성논리가적용될수있는환경 ( 기하학적, 역학적대칭, 재료학적대칭등 ) 주요결과및공식 중립축 : 도심과일치함 보의변형된모양 : 원호임 ( 원의반경은임 ), 응력 : EI v( ) M ( ) M ( ) b 처짐곡선 : 또는 M b I 순수굽힘보이론 - 총정리 b 1 1 M b( ) M, EI EI EI v ( ) q( ) I da A Mb, z EI 변형률 : b z 0 0 z 0 0 0 z z z 0 0 0 z 0 0 z z 0 0 z z z 0 0 z 남은문제 : 도심의결정, 단면 차관성모멘트의계산
단일재료보의중립점과단면 차관성모멘트 별도로면적적분부분에서상술하였음
굽힘모멘트와굽힘응력
표준강재형상들 (a) 광폭플랜지형상 (W 형강 ) (b) T 형상 (WT 형강 ) (c) 체널형상 (C 형강 ) (d) 중공구조단면 (HSS 형강 ) (e) 엥글형상 (L 형강 )
알루미늄과나무의등가보 (a) 순수굽힘을받는봉 (b) 알루미늄보의단면치수 (c) 등가나무보의단면치수
두가지재료를갖는보 : 단면의기본형상과변형형상 (a) 초기단면 (b) da = d dz를갖는초기단면 (c) 탄성계수비 n을사용하여변환된재료
두가지재료를갖는보 : 변형률과응력분포 (a) 초기단면 (b) 법선변형률의분포 (c) 법선응력의분포
편심축하중에의한굽힘 (a) 굽힘부재의구성 (b) 자유물체도
편심단축하중에의한법선응력
사고시험을통한비대칭굽힘 (a) z 단면에작용되는동등한크기의굽힘모멘트 M (b) 굽힘이 - 평면에서만발생할경우 z 단면내에생성된굽힘응력들 (c) 플랜지의굽힘응력에의해생성된합력
임의단면과보의굽힘
응력집중계수 K 그림 8.17 양쪽에 U- 형상의노치를갖는평판봉의굽힘에대한응력집중계수 K
응력집중계수 K 그림 8.18 어깨모양의필렛을갖는평판보의굽힘에대한응력집중계수 K
응력집중계수 K 그림 8.19 U- 형상홈을갖는원형단면보의굽힘에대한응력집중계수 K
응력집중계수 K 그림 8.0 어깨모양의필렛을갖는다단원형단면보의굽힘에대한응력집중계수 K
보의응력계산 예제 8.1 (p.97) T -형상단면을갖는보가 M 5kNm 의양의굽힘모멘트를받고있다 z (a) 도심위치,z 축에관한단면 차관성모멘트, 그리고 z 축에관한단면계수를구하라. (b) 점 H 와점 K 에서의굽힘응력, 그리고법선응력이인장또는압축인지를설명하라. (c) 단면에서발생하는굽힘응력, 응력이인장또는압축인지를설명하라.
보의응력계산 예제 8. (p.99) 최대허용굽힘응력이 b 30MPa 일때, 보가지탱할수있는최대굽힘모멘트 M 을결정하라. 주의, 단면의둥근모서리는단면특성치계산에서무시할수있다.
보의응력계산 예제 8.3 (p.310) 그림에서보는바와같이플랜지를갖는단면보가하중을지탱하고있다. 보의전체길이 0 ft 를고려하여다음을결정하라. (a) (b) 전체보에서최대인장굽힘응력전체보에서최대압축굽힘응력
보의응력계산 예제 8.5 (p.31) 그림에서보는바와같이 4 ft 길이의단순지지나무보에등간격으로 1,00 lb 의하중이가해지고있다. 나무의허용굽힘응력은 1,800 psi 이다. 중실직사각형나무보의종횡비는 h/b =.0 이라면, 보의최소허용폭 b 를결정하라. ma M S allow
보의응력계산 예제 8.6 (p.3) 그림의보는허용응력이 30 ksi 인표준 W 형상으로제작되었다. (a) 이보를위해사용가능한 W 형강의가능한목록을만들어라. 가능한 W 형강목록에가장경제적인 W8, W10, W1, W14, W16, W18 형상을포함하라. (b) 이보에대해가장경제적인 W 형강을선택하라.
보의응력계산 예제 8.9 (p.34) 그림의 C- 클램프는인장또는압축모두 34 MPa 의항복강도를갖는합금으로만들어졌다.3.0 의안전계수가요구되는경우, 클램프가견딜수있는허용체결력을구하라.
보의응력계산 예제 8.10 (p.356) 13 C180 X 의표준C형강은 z축에관하여의각도방향으로 M 5kNm의굽힘모멘트를받고있다. 점 H와 K에서의굽힘응력과굽힘의방향을결정하라.