제 3 장복소수와복소함수및등각사상 3. 복소수와복소평면 어떤실수에대하여만족되지않는방정식. 예를들면 또는 0 + 40 0 복소수가고안되었다.
차방정식근을찾는방법 6 0 () a + b+ c 0 차방정식의근을구하는공식 () 에 () 을대입하면 ± ± ± b ± b 4ac a ( ) 5 ± 5 4()( 6) 3, 가두근이다 ()
+ + 5 0 에 () 공식을적용하면 ± 36 4 음수의제곱근을알아야하는문제점이생긴다. b 4ac < 0 의상황을해결하려면복소수이론이필요하다. 복소수를도입하기위해다음과같은성질이있는 i 를생각하자. i 36 36 ( ) 36 i 6i 3
4 3 4 6 4 36 i i ± ± ± 두개의근, 3 3 i i + 이러한숫자를복소수 (Comple numbers) 복소수는실수부 (real part) 와허수부 (imaginar part) 의두부분으로되어있다.
페이서 (Phasor) 전기공학자 : 교류전원이있는회로해석을어떻게다루는가? 전원은사인파형태이며, 그회로안에전류와전압도사인파형이다. 예를들면, v ( t) V cos( ω t + φ) V cos(πft + φ) () V f : Peak 값 ω : 각주파수 : 주파수 φ : 기준파형에대한위상 이러한표현을시간영역표현 (time domain representation) 이라고한다. 회로안의각전압과전류 : 전원과같은주파수를갖는다. 크기와위상은전원과다르다. 5
4-a 페이져 : 방향과크기를모두갖는양을그림으로제공한다. (c) 페이져의크기가 3. 위상각이 80 (d) 페이져의크기. 위상각 35 (-45 ) 그림 A 페이져의예 6
정현파의페이져표현 정현파의순시값은페이져의끝 ( 정상 ) 에서수평축까지의수직거리와같다. 페이져표현으로 360 를정현파의완전한 Ccle 로나타낼수있다. 그림 B. 정현파는회전페이져의운동으로표시된다. 45 각위치에있는전압페이져와정현파에대응된위치를보여준다. 정현파의순시값은페이져의길이와위치에모두관계된다. 그림 C. 정현파공식의직각삼각형유도 7
4-b 정현파 A 는 B 보다 45 앞선다. 그림 D. 페이저에대한예 8
이러한회로를해석하기위해서는그파형의덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이필요하다. 시간영역표현을사용하면계산이어렵게된다. 또하나의접근법 : Phasor를사용한다. 페이저는크기와각도의두부분으로되어있다. 페이저는극형식의복소수로표현될수있다. 3 복소수의크기는페이저의크기에해당하고따라서파형의진폭에해당된다. φ 4 복소수의편각는페이저의각도에해당하고파형의위상각도에해당한다. 그림 은식 () 의사인파형의페이저이다. 9
θ ω 그림. V% V φ의예 ω 여기서는각주파수이며그에따라페이저가회전한다. V φ V % 복소수에해당하는페이저 : I % 전류 it () Icos( ωt+ φ) 페이저표현 I% 가되고복소수표현은 I φ R V % R ω V % S L V % L V % L V % S C V % C V % C I % V % R 그림 5.RLC 직렬회로 그림 6. 그림 5 의페이져도형 0
그림 5 의각회로요소의페이저를조사하자. 옴의법칙의페이저표현이필요하다. V% I % () V% : 전압페이저, I% : 전류페이저 : 임피던스 ( 복소수가될수도있다.) 식에서페이저와복소수가같이있다. 페이저는복소수로취급한다.
. 저항 (Resister) V RI 실험에서저항에교류전압이가해지면전류의위상은교류전압과같다. 두파형크기의비는저항 R 과같다. ~ I I 0 R 0 따라서과이주어지면식 () 에의해 ~ V IR 0 이다. V ~ I ~ V ~ I ~ 그림 3. 저항의페이저도형그림 4. 인덕터의페이저도형
. 인덕터 (Inductor) 전압이전류에비해서위상이이앞선다. ωl 임피던스크기는로주어진다. I% I 0, ωl π V% IωL π 따라서, 가주어질경우 식 () 에의해서가된다. 인덕터 의다른표현방법은 이것이페이저에서덧셈과뺄셈을할경우편리하다. π jπ π π ωle ωl(cos + isin ) jωl V L di dt 3
3. 콘덴서 V 콘덴서의경우전압이전류에비해위상이만큼느리다. 임피던스의크기는로주어진다. ωc V% I π ωc () 에의해이다. C Q Idt C C π jπ e π π (cos j sin ) ωc ωc j ωc jωc 4
그림에서키리히호프전류법칙에의해 각소자에는같은전류가흐른다. I ~ I 키르히호프전압법칙에의해 R V ~ R ~ V s ~ V R ~ + V C ~ + V L ~ ~ 그림에서 V L > V C 이고, 는기준페이저이다. L V ~ L I ~ V% IR % 0 IR % R V% π L I% ωl Ij % ωl C V ~ C 5
이므로 V% C I% π I% ωc jωc V% V% + V% + V% s R L C IR % + Ij % ωl + I% jωc I R+ jωl+ jωc 6
임피던스 R+ jωl+ jωc 회로의임피던스의크기가최소가되는주파수를계산하면 R+ jωl+ jωc j R+ jωl ωc R+ j ωl ωc + ω ωc R L 7
ω 가변하므로다음의경우가최소화된다. ωl 0 ωc ω LC ω LC 이최소값은 R 그림5에서V% 과 V% 가같은크기일때최소인덕턴스가생긴다. V % S L C 그경우는허수성분을갖지않는다. 이때의주파수를공진주파수 (Resonant frequenc) 라고한다. 8
t t 일때 p Am α p ω t 0 일때 ωt ωt α A m OP ω rad /sec α 그림 7. 회전선분과정현파 길이가인선분가평면상에서원점 0 의주위를일정한 각속도로반시계방향으로회전한다. 반시계반향으로각을이루는순간을시간의원점으로택한다고하자. 9
t 초후에선분는만큼회전하여수평축과는 의각을이룬다. 이때 OP ωt [ ] rad 의수직축상의투영 OP 는 ( ω α ) OP A sin t + m A α t t 최대치위상각인정현파에서순시치와같다. m OP 이런의미에서회전선분은하나의정현파를대표한다. ( ωt + α ) rad (b) 는회전성분이대표하는정현파의순시치곡선을나타낸다. 선분이 회전하면이에따라서라정현파는 ccle 을그린다. 은길이가이고, 에서정방향의수평축과이루는각이이다. 일정한각속도 다. A m ω t 0 로서반시계방향으로회전하는하나의선분으로표시된 α 0
정의에의하여복소수 (comple number) 는실수,의순서쌍 (,) 이며 + i 라고쓴다. 혹은 (, )
제 부복소해석 복소함수를이용하면, 실함수를이용했을때보다계산을-특히적분계산을-간단히할수있고, 열전달, 유체역학, 전자기학등공학전반에등장하는복잡한함수들을보다깊게이해할수있다. 복소수는새로운수의체계이므로, 복소해석에서는복소공간에서의관계를식으로나타낸복소함수, 국부적인변화 ( 또는시간적인변화 ) 를나타내는복소함수의미분, 변화의총계를나타내는복소함수의적분에대해배운다.
. 복소함수 복소수란 + i (,는실수, i는허수 ) 평면 와같이실수와허수로이루어진수로실수를확장한가장넓은범위의수이다. v 사상 mapping 복소함수란복소수를변수로갖는함수로, 예를들면 w 평면 w f ( ) + 3 u(, ) + iv(, ) u 3
복소함수의그래프를그리려면 장의평면이필요한데, v 평면 w 평면 u 그이유는, 변수인복소수자신이 개의변수, 를가지고있고, 또한복소함수도 u,v 개의변수를가지고있기때문, 즉한평면상에모두그릴수없기때문이다. 복소함수중에서가장많이쓰이는것은복소지수함수 i e e + e (cos + i sin ) e e iθ 4
복소수의성질 허축 (Im) + i : 실수, : 실수 i 복소수는복소평면에한점으로나타낼수있다. 즉, 복소수는화살표만없는 차원벡터와유사 극좌표로나타내면 rcosθ rsinθ 이므로 i r(cosθ + sin θ) re θ 가된다. Im γ sinθ γ γ cosθ P +i 실축 (Re) Re 5
복소함수란? 예를들어 f ( ) + 3 와같은것. 이때, 복소변수 는 + i 와같은복소수 f () 를 w 로나타내면, w f ( ) + 3 6
+ ω f ( ) + 3 에를대입하면 i ω ( + i) + 3( + i) + 3 + i( + 3) 가되므로 ω 의실수부는 Re( ω ) + 3 ω 의허수부는 Im( ω ) + 3 가된다. (Re는 Real의약자, Im는 Imaginar의약자 ) 보통, Re( ω ) u, Im( ω ) v라고놓으므로 ω u + vi 가된다. U와 v는모두 와 의함수이므로, 복수함수는일반적으로 ω f ( ) u(, ) + iv(, ) 라고쓸수있다. 7
ω f ( ) + 3 u(, ) + iv( + ) 를그래프로나타내면 + i이면 ω ( + i) + 3( + i) + i + 3+ 3i 3+ 5i + i이면 ω ( + i) + 3( + i) 4 + 4i + 6 + 3i 9 + 7i + i이면 ω ( + i) + 3( + i) + 4i 4 + 3+ 6i 0i 이것을그래프로나타내면 v 0i 9+7i 이와같이모든복수수 에대해 ω u + vi 의값을구해서 7i 5i 3+5i u 이런식으로그려나가면된다. i i 3 9 8
복수함수를그래프로나타내면 개의평면이필요하다. +i v wu+vi 평면 W 평면 Re Re 따라서복소함수는 평면상의것을 w평면상으로사상시키는역할을한다. 평면 W평면사상 mapping 9
복소수의체적과영역 복소평면의영역 : 복소수로편리하게표현할수있다. 원점에중심을두고, 반경이 인원주상의점들은다음과같이표현한다. 절대값이 인모든복소수들이다. 점 의체적은원점이중심이고, 반경이 인원이다. 그원의내부는 < 로기술되고 > 는외부이다. π 0< arg( ) < arg π 4 그림. 중심이원점이고반경이 인원 그림. 평면의 사분면 30 π 그림3. arg( ) 를 4 만족하는점의체적
3 예제. 를만족하는점의체적을그리시오. 먼저아르강도표 (argand diagram) 를설명하자. 7+ i 를아르강도표에그리시오. 7+ i 그림3. 아르강도표그림4. 와 +0 i 3
고정점 에기호 A로표시한다.( 그림4) 점 P로표현된복소수를생각하자. 벡터기법에서 OA + AP OP AP OP OA 벡터 OP : 복소수를표현한다. 벡터OA : 복소수 를표현한다. AP OP OA : 복소수 를표현한다. 그림5. 3을만족하는점의체적 3
: A와 P 사이의거리 3:P 가 A 로부터거리사 3인 모든점이될수있다는것을의미한다. ( ) P 가 A,0 에원점을두고 반경이 3 인원주상의모든점이될수있음을의미한다. < 3: 원의내부, > 3: 원의외부 33
3 이주어지고 + j인경우 ( ) ( ) + i 3 ( ) 즉, + 3 또는 + 9 반경이 3이고중심이 (,0) 인원을표현한다. a + b r ( ) ( ) 원을표현한다. ( ) 반경이 r 이고중심이 a,b 인 34
퀴즈. a ρ 무엇을나타내는가? ρ a ρ 35
퀴즈 답. a ρ 는 평면상의중심 a, 반경 p 인원 p a i 참고로 은중심이원점이고반경이 인원 ρ a ρ ρ a ρ 36
를 의실수부 (real part), 를 의허수부 (imaginar part) Re, Im 정의에의하여두복소수의실수부와허수부가같을때두복소수는같다고한다. (0,) 은허수단위 (imaginar unit) 라부르며아래와같이표기한다. () i (0, ) 덧셈, 곱셈표기 + i (, 는실수, i 는허수 실수를확장한가장넓은범위의수이다. ) 와같이실수와허수로이루어진수로 37
두복소수 (, ) 과 (, ) 의덧셈은다음과같이정의된다. (, ) (, ) 로나타낸다. () + (, ) + (, ) ( +, + ) 곱셈은다음과같이정의된다. (3) (, )(, ) (, + ) 그러면실수, 에관하여 (,0) + (,0) ( +,0) 과 (,0)(,0) (,0) 38
따라서복소수는실수의확장이며 (4*) (,0) 유사하게실수 에대해 () i (0, ) (4**) (0, ) i 이는 () 과 (4 * ) 에의해 대신 를써서 i(0,)(,0) 이기때문이다. 곱셈식 (3) 를통해 ( 0,)(,0) (0 0,0 0 + ) (0, ) (4 * ) 식이된다. (4 ** ) 와 (4 * ) 를합쳐 로쓴다. (, ) (,0) + (0, ) + i 39
실제로복소수 (, ) 는다음과같이쓴다. (4) + i 만일 0, 즉 i 이면순허수 (Pure imaginar) 라고부른다. 또한식 () 과 (3) 로부터 i ii (0,)( 0,) (,0) 이므로 (5) i 40
덧셈에관해서는식 (4) 는아래와같다. [ 식 () 참조 ] ( + i) + ( + i) ( + ) + i( + ) 곱셈에대해서는다음과같은간단한방법을얻게된다. 항들을각각곱하고 i 을사용하면 ( 식 (3) 를참조 ) ( + i)( + i) + i + i + i ( ) + i( + ) 4
예제. 실수부, 허수부, 복소수의합과곱 + (8 + 3i) + (9 i) 7 + i (8 + 3i)(9 i) 7 + 6 + i(6 + 7) 78 i + 뺄셈과나눗셈뺄셈과나눗셈은덧셈과곱셈의역연산으로정의된다. 차 - 는 + 를만족하는복소수이다. 몫 ( 0) 은 를만족하는복소수이다. 만약이수식의실부와허부를계산하기위하여 +i 를두면, + 를얻는다. 4
43 식 (7 * ) 를얻기위한실용적인규칙은몫의분모및분자에 -i 를곱하여정리한다. *,, ) (7 i + + + + ) )( ( ) )( ( (7) i i i i i i + + + + + + +
예제. 복소수의차와몫 8 3i 이고 9 i 이면 (8 + 3i) (9 i) 5i + 그리고 + (8 + 3i)(9 + i) (9 i)(9 + i) 66 + 43i 8+ 4 66 85 + 43 85 i 복소평면복소평면은복소수를평면상의점으로표시한다. 두개의서로직교하는좌표축, 즉실축 (real ais) 과수평 축과허축 (imaginar ais) 인수직 축으로표시한다. 44
두축에서같은길이의단위를사용한다. ( 그림 88) 허축 P + i - - -3 5 4-3i 그림 35 복소평면 실축 그림 36 복소평면에서의복소수 4-3i 45
이것을직교좌표계 (Cartesian Coordinate sstem) 이라고한다. (,)+i 를좌표, 를같은점 P 로그린다. 복소평면에서의 에의해표시된점보다는복소평면에서의점 라고한다. 46
그림37과그림38에서덧셈과뺄셈의예를보여준다. + 그림 37 복소수의덧셈 그림 38 복소수의뺄셈 47
공액복소수 (comple conjugate number) +i의공액복소수 는아래와같이정의된다. i 복소평면상에서실축에대칭시키면기하학적으로얻을수있다. 5 + i 5 i 그림 39 는와그공액를나타낸다. + i 5 + i 0 5 i 5 i 48
+ i i 공액복소수는복소수를실수로바꾸어주는방법을제공한다. 즉 + 덧셈과뺄셈으로부터 +, i 가되므로 의실부와허부를다음과같은중요한식으로표시할수있다. ( 8) Re ( + ), Im ( ) i 가실수이면 이고, 식 (8) 에서 이며그역도성립한다. 공액복소수의곱셈공식을정리하면 (9) ( + ) +, ( ) ( ), ( ) 49
예제 3. 식 (8) 과 (9) 의예 + 3 i, 5i 4 + 라고하자. 그러면식 (8) 에의해 3i + 3i Im [(4 + 3i) (4 3i)] i i 3 또한 (9) 의곱셈공식은다음에의해확인된다. ( ) (4 + 3i)( + 5i) 7 + 6i 7 6i (4 3i)( 5i) 7 6i 50
. 복소수의극형식, 거듭제곱과근 좌표와함께다음에정의된극좌표 의유용성을크게증대시키고복소수의성질을알아본다. ( ) r cosθ, r sinθ 로정의되며 +i 는소위극형식 (polar form) ( ) r(cosθ + i sinθ ) 를사용하여복소평면 를얻는다. 여기서는의절대값, 또는크기 (modulus) 라고하며 로나타낸다. 따라서식 (3) 으로표기한다. r r, θ (3) r + 5
기하학적으로 는원점에서점 까지의거리가된다.( 그림 30) 유사하게 - 는 과 사이의거리이다. ( 그림 3) 허축 P + i r θ 0 실축 그림 30. 복소평면, 복소수의극형식 그림 3 복소평면에서의두점사이의거리 5
θ 를편각 (argument) 이라고하고 arg 로표기한다. 따라서 ( 4) θ arg arctan ( 0) 그림 30을참고하시오. 기하학적으로 θ는그림30에서양의 축 에서 OP까지의방향각이다. 미적분학에서처럼모든각은라디안 (radian) 으로표시되며반시계방향이양의값을갖는다. 구간사이에있는 θ 의값을 ( 0) 의편각의 π < θ π 주값 (principal value) 이라고부르며 arg 로표기한다. 따라서 θ Arg 는정의에의해 를만족한다. π < Arg π 53
예제. 복소수의극형식, 주값 + i 주값은이다. 를 ( 그림 3 참조 ) 극형식으로표기하면 π π (cos + sin ) 이다. 4 4 π 그러므로, Arg ± nπ ( n 0,, LL) 4 Arg π 4 이고, 편각의 + i 그림 3 예제 0 π 4 54
( 4) θ arg arctan ( 0) π π 유사하게 3 + 3 3i 6(cos + i sin ), 6, 그리고 3 3 π Arg 이다. 3 주의 : 식 (4) 를사용할때의주기가이므로 의편각이똑같이을갖는다. 따라서가놓여있는상한 에주의를해야한다. tanθ tanθ π, 예를들면 θ arg( + ) 와 θ arg( ) 에대해 i i tanθ tanθ 이다. 55
삼각형부등식임의의복소수에대하여자주사용하는중요한삼각형부등식 (triangle inequalit) 을얻는다. + + (5) ( 그림 33 참조 ) 이부등식은세점 0,, + 가 각변의길이가, +, 인 + 그림 96 의꼭지점이다. 한변의길이가다른두변보다클 그림 96 삼각형부등식 수없다는사실에유의한다. 56
식 (5) 로부터귀납법에의해서일반화된삼각형부등식 (6) + + + + n + + n 의미한다. 총합의절대값은각항의절대값의합보다작거나같음을 57
( 5) + + 증명하여라 a + bi, ω c + di라고하자 0 + ω ( + ω)( + ω) ( + ω)( + ω) + ω+ ω+ ωω + ω+ ω+ ω ( + ω ) + Re( ω) + ω + ω + ω + ω + ω ω ω Re( ) 58. 0, 0의필요충분조건 Re( ) ( + ) Im( ) ( + ) i + ω ω 0 ω + ω
즉 0 + ω ( + ω ) 어떤복소수의크기도음수가될수없으므로이부등식에제곱근을취하면삼각부등식이구해진다. < 응용예 > 3 + 3i 일때그림과같이원점에서점 (3,3) 으로연결한선이양의실수축과 π / 4사이각을이룬다. π 따라서 π / 4는 3 + 3i의편각이며, k가임의의정수일때 π 4 + k 또한 3 + 3i 의편각이다. arg(3 i) π + + kπ k는정수 4 π 4 그림. 복소수의편각 59
예제. 삼각형부등식 + i 이고 + 3i이면 + + 4i 7 4.3 < + 3 5.00 극형식에서의곱셈과나눗셈 r (cosθ + i sinθ) 하자, 그리고 r (cosθ + i sinθ ) 이라고 < 곱셈 > 3. 절의식 (3) 으로부터곱은아래와같다. r r[(cosθ cosθ sinθ sinθ ) + i(sinθ cosθ + cosθ sin )] θ 60
여기서사인과코사인의덧셈정리 [ 부록 3.의식 (6)] 을적용하면 (7) r r [(cos( θ + θ ) + i sin( θ + θ )] 를얻는다. 식 (7) 의양변에절대값과편각을취하면 (8) 과 (9) 를얻는다. (8) (9) arg( + ) arg arg 6
< 나눗셈 > 몫 은 을만족하는이다. 따라서 이된다. 이로부터, arg( ) arg + arg arg (0 ) ( ) arg arg ( 0 ) arg 이공식 (0) 과 () 을결합하며 6
r ( ) [cos( θ θ ) + i sin( θ θ )] r 을얻는다. 예제 3. 공식 (8) ~ () 의예 + i, 3i 라고하면 r + 6 6 i, + ( ) i 3 3 6 편각에대해서는 3 8 이다. 따라서 3, 3π arg, arg 4 π 63
예제 4. 정수거듭제곱, De Moivre 공식 식 (8) 과 (9) 와 로부터귀납법에의해 n 0,,,L 에 대해다음을얻는다. L n n ( 3) r (cos nθ + i sin nθ ) n 유사하게 n 0,,,LL 에대해, 식 () 에 과 을 대입하면식 (3) 이얻어진다. r 에대하여공식 (3) 은 다음의 De Moivre 공식이된다. (3 * ) (cosθ + i sinθ ) n cos nθ + i sin nθ cos nθ 이공식은와를와의거듭제곱의 형태로나타낸다. sin nθ cosθ sinθ 64
n 일때좌변은 cos θ * + i cosθ sinθ sin θ 가되는데식 (3 ) 의양변의실부와 허수부를취하면다음의공식을얻는다. cos θ cos + sin θ, sin θ cosθ sinθ 65
3.3 도함수, 해석함수 (Derivative, Analtic Function) 원과원판, 반평면 (Circle and Disk, Half Plane) 단위원 (unit circle) ( 그림3 7) 은 3.절에서소개되었음그림 37은반지름이 ρ, 중심이a 인원이다. 그것의방정식은 a a a 중심로부터거리가인즉인모든 의집합이다. ρ ρ a ρ에서 a 0이면 r 원점을중심으로 한반지름인원 θ jθ re 그림 37 단위원 ρ 그림 38 복소평면에서의원 a 66
그것의내부 a 그원과내부를합친 < ρ a 열린원판 (open circular disk) ρ 닫힌원판 (closed closed circular disk) a > ρ : 원의외부 a < ρ 인열린원판을 a의한근방 (neighborhood) 이라고한다. a는무한히많은그러한근방을가지며그들각각은 ρ > 0 의값에대응한다. 그리고a는정의에의해모든근방에포함된다. 그림 30는 ρ < a < ρ 인열린환형 (open annulus) 이라고한다. 반면에 ρ a ρ 닫힌환형 (open annulus) ρ ρ a 그림 39 복소평면에서의환형 67
그림 39 에보인영역외에도 () 상부반평면 (upper half plane) : 에서 >0인영역 () 하부반평면 (lower half plane) : + i 에서 <0인영역 + i + i (3) 실수축 (real ais) : 에서 0 인영역 ( 즉, 직선 ) ρ ρ 68
복소함수 : 복소수를변수로갖는함수 3 ω f ( ) + 3 u(, ) + iu(, ) 복소함수의그래프를그리려면 장의평면이필요하다. 사상 평면 mapping 평면 u 이유 : 변수인복소수자신이 개의변수,를가진다. 또한복소함수도 u,v의 개의변수를가지므로한평면상에그릴수없다. v ω 69
복소수는복소평면에한점으로나타낼수있으므로 극좌표로나타내면 r cosθ, r sinθ 이므로 Im + i r cosθ + ir sinθ or r(cosθ + i sinθ ) re iθ r sin θ r θ r cosθ Re 70
복소함수란? + i f ( ) + 3 에서복소변수로표현되는복소수이다. f () ω 를보통로나타낸다. ω ω ω f ( ) + 3 에 + i ω ( + i ) + 3( + i) + 3 + i( + 3 ) 의실수부는의허수부는 Re( ω) + 3 Im( ω) + 3 를대입하면 7
보통 Re( ω) u, Im( ω) v 라고놓으면가된다. u 와 v 는모두 와 ω u + vi 의함수이므로복소함수는일반적으로 ω f ( ) u (, ) iv (, ) ω f ( ) + 3 u(, ) + iv(, ) 를그래프로나타내면 + 3i 이면 ω ( + 3i) + 3( + 3i) + 6i 9 + 3 + 9i 5 + 5i 7
+ i이면 + i 이면 ω (+ i) + 3( + i) 4+ 4i 6+ 3i 9+ 7i ω ( + i) + 3( + i) + 4i 4+ 3+ 6i 0i ω u + vi 모든복소수에대해의값을구해서그래프를그리면 개의평면이필요하다. Im Im 평면 + i v ω u + vi 사상 mapping ω 평면 Re Re u 73
복소함수는평면상에서평면상으로사상 (mapping) 시키는역할을한다. ω 임의의복소수에대해는복소평면에서와원점을 연결하는선분의길이 ( 즉, 원점과사이의거리 ) 이다. ω 가다른복소수이라면는복소평면에서와사이 의거리이다. ( 그림, 참고 ) ω ω 기하학적으로쉽게설명하면 a+ bi, ω c+ d 이면 ω ( a c) + ( b d) i 이다. 74
ω ( a c) + ( b d) a r ω a r ω 그림. ω 와 ω 사이의거리 a 그림. 를중심으로한반지름이인원 r 75
복소함수 S를복소수의집합이라고하자. 이때 S 위에서정의된함수란 S의모든 에게 에서의 f값이라고하는복소수 ω를지정해주는규칙을의미한다. ω f ( ), + i 여기서 는복소수로서 S내에서변한다. 복소함수는복소수를변수로갖는함수이다. 집합 S를 f의정의역 (domain of definition) 예 : ωf() 3 +는모든에대해정의되는복소함수이다. ω 의정의역 S 는전체복소평면이다. 76
함수 f 의모든값의집합을 f 의치역 ( range of f) 이라고한다. ω 는복소수이므로 u 와 v 를각각 ω 의실부와허부라고하며 ωu+iv 라고쓴다. 이때 ω 는 +i 에의존하므로 u 는 와 의실함수가되고 v 역시마 찬가지이다. 복소함수 f() 가두개의실변수 와 에의존하는한쌍의실함수 u(,) 및 v(,) 와동등하다. 77
예제. 복소변수의함수 ωf() +3, u 와 v 를구하고 +3i 에서 f 의값을구하라. ( 풀이 ) u Re f ( ) + 3, v + 3 이다. 또한 f ( + 3i) ( + 3i) + 3( + 3i) 9 + 6i + 3 + 9i 5 + 5i 이로부터 u(,3) 5 이고 v(,3) 5 이다. 78
예제. 복소변수의함수 ω f ( ) i+ 6 라고하고, + 4i 값을구해라. ( 풀이 ) f ( ) i( + i) + 6( i) 에서 u(, ) 6, v(, ) 6 에서 u 와 v 및 f 의 또한 f ( 4i) i( + + 4i) + 6( 4i) i 8 + 3 4i 5 3i 79
극한, 연속성 어떤함수 f () 가 0의근방 ( 자신을제외해도무방하다.) 에서 0 정의되고 에근접한모든에대해 f 의값이 l 에근접하면 모든양의실수에대해양의실수가존재하여원판 ( 그림330) 에있는모든 0 가 () f( ) l < ε 을만족할때, 함수 f( ) 는 가 에접근할때극한값를갖 0 는다고말하고 0 ε δ 0 < δ l () lim f ( ) 0 l 와같이표시한다. 80
이정의는미 적분학에서와유사하지만, 큰차이가있다. 0 실수의경우에는실축을따라가에수렴한다. 여기에서는정의에의해 부터에접근한다. 0 는복소평면에서임의의방향으로 극한이존재하면그극한은유일하다. 만약함수 f( 0) 가정의되고 (3) lim f ( ) f ( ) 0 0 8
를만족하면함수 f ( ) 는에연속 (continuous) 이라고말 한다. 극한의정의에의해가의어떤근방에정의됨을의 미한다. 함수 f ( ) 가한정의역의각점에서연속일때 f ( ) 는그정의역에 서연속이라고한다. 0 f ( ) 0 v δ 0 그림 330 극한 f ( ) u 8
도함수 점 에서복소함수의도함수는다음극한이존재할때 0 로정의되며, 로표시한다. 이때함수는에서미분 가능하다고말한다. f f ' ( ) f 여기서 0 라고놓으면이므로다음식 0 을얻는다. f ( 0 + ) f ( ) lim 0 0 ( 4) f '( o) + 0 (4') f '( o ) lim f ( ) 0 f ( 0 0 ) 83
극한의정의에의하면 f () 가근방에서정의되어지며또한 0 ( 4 ) 에서 는복소평면에서임의의방향으로부터 0 에접근할 수있다. 따라서에서미분가능하다는것은 가어떤경로를따라 에 0 0 접근하더라도식 ( 4 ) 의몫은항상어떤값에수렴하며, 또그값 이접근경로에무관하게모두동일하다는것을의미한다. 예제 3. 미분가능성, 도함수 함수 f ( ) 은모든 에대해미분가능하고, 도함수f ( ) 가된다. 그이유는다음과같다. 84
85 f + + + 0 0 ) ( lim ) ( lim ) ( ) lim( 0 + 미분법칙은실수의미적분에서와똑같다. ) ( ) ( ) (, ) ( g fg g f g f fg g f fg g f g f cf cf + + +
86 예제 4. 의미분불가능성 어떤점에서도도함수를갖지않는간단한함수가많이존재한다. 예를들면가그러한함수이다. i f ) ( 실제로로놓으면 i + i i f f + + + ) ( ) ( ) ( (5) 가된다. 여기서 Δ0 이면이값은 이고 Δ0 이면 이된다. 따라서식 (5) 는그림 33 의경로 I 를따라가면 + 에수렴한다.
그러나경로 II 를따라가면 에수렴한다. 그러므로정의에의해서 Δ 0 일때식 (5) 의극한은어떤 에서도존재하지않는다. II + 그림 33. 식 (5) 에서의경로 I 87
해석함수 어떤정의역에서미분가능해서복소미적분할수있는함수들이있다. 복소해석에서주된관심대상이다. 정의 [ 해석성 ] 함수 f() 가정의역 D 의모든점에서정의되고미분가능할때 f() 를 D 에서해석적 (analtic) 이라고한다. 한편 f() 가 o D 근방에서해석적일때 f() 를점 o 에서해석적이라고부른다. 88
또한해석함수는어떤정의역에서해석적인함수를의미한다. 일반적으로함수 f() 와 g() 가해석함수이면 c f ( ) + cg( ) (c, c 는상수 ) f ( ) g( ) f ( ) 3 ( 단 g()0인점에서는비해석적이다.) g( ) 는모두해석함수로된다. 89