23 년도한국철도학회추계학술대회논문집 KSR23A74 외란을고려한열차간격최적제어알고리즘연구 A study about optimal control algorithm for train interval under disturbance 김기웅 *, 박민기 Kiwoong Kim *, Minkee Park Abstract Train operation on metro line follows the time table that is pre-written. But, actually during the running of train, unexpected delay occurs, and then, the delay of one train will be expanded as a whole the line more and more by running. Therefore, when disturbance occurs on the train, to control the traffic in order to reduce the delay to be expanded and follow the schedule is an important issue. In this paper, we study traffic mode through the discrete event approach and design the control model that is suitable for metro line. Then, we design the control law that control to the running time and staying time with optimal control method. Keywords : Train traffic control, Traffic interval control 초록도시철도에서열차의운행은미리작성된운행계획을따른다. 그러나, 실제로열차운행중에는예상치않은지연이발생하며, 한열차의지연시간은운행함에따라노선전체로확대되어정상적인운행이어려워진다. 따라서, 운행중에외란이발생하면지연이확대되는것을줄이고운행계획을따르도록제어하는것은매우중요한문제이다. 본연구에서는이산적인이벤트접근법 (discrete event approach) 에서제시한열차운행모델을상용노선에적합한제어모델로설계하고, 제어방법으로최적제어방법을이용하여열차의운행시간과정차시간을제어하도록구현한다. 주요어 : 열차운행제어, 열차간격제어. 서론도시철도에서열차의운행은시스템의안전조건, 수송능력, 승객의혼잡도등을고려하여사전에계획된열차운행계획을따라야하지만, 외란이발생하여계획과의시간편차가발생하고열차사이의간격이길어지면대기승객이증가하여그편차는더욱커진다. 따라서, 열차의간격을적절하게제어하는것은노선전체의안정한운행을위해서중요하다. 본연구의 2장에서이산적인이벤트접근법 (discrete event approach) 에서제시된 open 노선형태의열차운행모델을해석하고, 3장에서는상용노선에적합하도록정차시간제어를포함한상태궤환제어 (state feedback control) 모델을설계한다. 그리고, 마지막장에서는연구결과와향후과제에관하여기술한다. 교신저자 : 서울과학기술대학교전자IT미디어공학과 (mkpark@seoultech.ac.kr) * 서울과학기술대학교전기신호공학과
2. 열차운행해석 2. 노선형태도시철도노선의형태는 Fig. 과같이 open 노선형태와 loop 노선형태두가지로구분할수있다. 첫째, open 노선형태는승강장인덱스와열차의인덱스를각각 ~N, ~M 으로정한다. 모든열차들은첫번째승강장에서출발하여마지막승강장인 N에서노선을떠난다. 둘째, loop 노선형태는모든열차들이마지막역에도착하여다시순환하는형태로써정해진수의열차가지나치는역의순차적인인덱스는 {,2,,N,,2, } 이된다. traffic direction... 22... NN M N N-2... N M... traffic direction... 22... N Fig. open and loop line structure 2.2 열차운행이장에서는이산적인접근법에서제시된 open 노선형태의열차운행모델을해석한다. 앞으로위첨자는열차인덱스를아래첨자는승강장인덱스를나타내고, 열차 <i> 는 im, 승강장 <k> 는 in 이다. 예를들어,t 는승강장 <k> 에서열차 <i> 의출발시각을표현한다. 연속되는승강장 <k> 와 <k+> 에서열차 <i> 의출발시각관계는 t t r s () 로표현된다. 여기서,r 는승강장 <k> 에서 <k+> 까지열차 <i> 의운행시간이고, s 는승강장 <k> 에서열차 <i> 의정차시간이다. 여기에서 r 와 s 의모델링을수학적으로간소화하기위하여몇가지를가정한다. -가정 : 차량수등의일반적인운영조건은일정하다. -가정 2: 열차의운행시간은승차한승객수와무관하다. -가정 3: 승강장 <k> 에서열차 <i> 에승차할승객수는열차 <i-> 과 <i> 의출발시간간격에비례하여증가한다. 가정, 2 에의하여운행시간 r 는 r R u w (2)
로표현할수있다. 여기서, R 는승강장 <k> 에서 <k+> 까지정규운행시간, u 는승강장 <k> 와 <k+> 사이에열차 <i> 의운행시간을제어하는동작이며, w 는외란이다. 정차시간 s 는가정, 3에의하여 s S c t t w2 (3) 으로표현할수있다. 여기서, S 는정차하여출입문을여닫는데필요한최소정차시간, c 는승강장 <k+> 에서두연속열차의출발시각사이간격에의한지연률 (delay rate) 로 승객의증가와관련된다. w2 는외란이다. 3. 열차운행제어모델링 3. 열차운행모델 이장에서는 2장에서해석한열차운행모델을상용노선에적합하도록모델링한다. 먼저, 이동폐색방식이아닌대부분의도시철도노선에서다음의제약조건을고려해야한다. -제약 : 역간거리가짧은상용노선에서운행시간조절은일정한한계를가진다. -제약 2: 열차가운행중에는이미설정된운행시간을조절할수없다. 제약 과 2에의해서운행시간을제어하는것은시간적, 공간적인한계를가짐으로제어동작에관하여 Fig. 2와같은개념적인접근을통하여모델링한다. departure time t running time, t controlled by u staying time, s controlled by u2 departure time t departure from k platform arrival at k+ platform departure from k+ platform time Fig. 2 concept of control action 그러면, 식 (2) 와 (3) 은 r R u w (4) s S c t t u2 w2 (5)
와같이모델링하여정차시간을제어동작에포함하도록한다. 즉, 식 (4) 에서 u 는운행 시간을제어하고, 식 (5) 에서 S는정규정차시간으로하며, u2 는정차시간을제어한다. 식 (4) 와 (5) 을이용하여식 () 을다시쓰면 c t t c t S R u w (6) 여기서, u u u2, w w w2 이다. 식 (6) 은연속하는두승강장사이에서연속하는두열차의출발시각사이의관계식이며, 출발시각 t (i=,..., M; k=,..., N) 의모든조합으로전체노선의모든열차를고려하기위하여다음의가정을한다. - 가정 4: 노선운영의초기상태는정규운행상태이다. 즉, t T, k,t T, i를만족한다. 정규스케줄의출발시각 T 에대한실제열차의출발시각시편차를 x 고, 식 (6) 을바꾸어표현하면 t T 로정의하 c x c x x u w,k,i (7) 이며, 식 (7) 은시편차로표현된열차운행모델이다. 3.2 열차운행제어모델 실시간상태궤환제어 (state feedback control) 에적합하도록상태, 제어입력, 외란입력벡터를다음과같이정의한다. X x x x U u u u W w w w 여기서, 상태벡터X 는시편차 x 로구성되며, 인덱스 <i> 와 <k> 의합이상태인덱스 j 와같다. 즉, X x i k j이다. 모든 <i> 와 <k> 에대해 x 는 x 와 x 에의해생성되는식 (7) 과같이 X 는 X 에의해생성된다. 따라서, 다음의상태공간모델로표현할수있다. X AX BU BW (8)
여기서, A c c c c c c c c, B c c c 상태 X 에대하여제어법칙 U 는식 (8) 의선형조건에서성능지수 J가최소화되도록해야하며, 이때 J는 JpX X qx X X X U U (9) 식 (9) 의첫번째항은정규스케줄에관한시편차제어를제한하며, 두번째항은연속하는두열차의간격시편차제어를제한함으로써정규스케줄과무관하게일정간격운행을개선하는데이용할수있다. 세번째항은제어가너무커지지않도록한다. 따라서, p와 q 의값은제어가계획시편차와간격시편차를함께반영함을알수있다. X 에선형인식 (8) 의조건에서성능지수 J를최소화하는제어법칙 U 는 U I pqb B pqb AqB X () 여기서, I 은 N 차원의단위행렬이며,U 의각제어요소는 u g x f x () 와같이표현되고, 여기서, g pq pqc, f pqc pqc 식 () 의제어요소 u 는열차운행모델식 (7) 에서 u 조건식을적용한다. u u2 이므로, 다음의제어 if u α, if u α, u u2 (2)
여기서, α 는운행시간과정차시간의제어동작사이에서열차의운행거리에따라서조정이가능한값이다. 예를들면, 운행거리가길면 α 의값을작게하고, 운행거리가짧으면 α 의값은상대적으로크게한다. 4. 결론승강장 <k> 에서 I 열차들의계획시편차값들의제곱평균을 Q 라할때 Q I x 모든열차가정규운행모드로운행한다면 Q 이다. 반면, 운행중인열차에외란이발생하면 Q Q 가되고, 시편차는노선을따라서계속증가된다. 그러나, 식 () 의제어법칙에의하여식 (9) 의상태공간모델을제어하면 state matrix의 eigenvalue가좌반면에있음으로지수적으로수렴함을알수있다. 향후제안모델의열차운행시뮬레이션에관하여연구할것이다. 참고문헌 [] Ingo A. Hansen, Jörn Pachl (28) Railway Timetable & Traffic Analysis. Modelling. Simulation, Eurail Press, Germany, pp. 9-28. [2] W. S. Levine and M. Athans (996) On the optimal error regulation of a string of moving vehicles, IEEE Transactions on Automatic control, vol. AC-, pp. 355-36. [3] J. E. Cury, F. A. Comide, and M. J. Mendes (98) A methodology for generation of optimal schedules for an underground railway system, IEEE Transactions on Automatic control, vol. AC-25, no. 2, pp. 27-222. [4] S. Araya and S. Sone (984) Traffic dynamics of automated transit systems with pre-established schedule, IEEE Transportation system, vol. 4, no. 2, pp. 677-687. [5] V. Van Breusegem, G. Campion, and G. Bastin (99) Traffic modeling and state feedback control for metro lines, IEEE Transactions on Automatic control, vol. 36, no. 7, pp. 77-784.