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1 2014 서울 ICM을 마치며 존경하는 대한수학회 회원 여러분, 기승을 부리던 더위가 한풀 꺾인 듯합니다. 이제 새 학기가 시작되면 바쁜 일상이 우리를 맞겠지요. 정신없이 바빴던 그렇지만 꿈처럼 행복했던 2014년 여름이 이렇게 지나갑니다. 특별히 감사드려야 할 분들이 너무도 많습니다만 여기서 따로 거명하지는 않겠습니다. 그 보다는 그분들을 포함한 대한수학회 회원 모두에게 감사와 축하의 말씀을 드립니다. 이번 대회는 우리 수학계가 그동안 수학 연구와 교육에 쏟아온 노력에 대한 하늘의 선물이라고 믿기 때문입니다. 대회에 참가했던 많은 외국학자들의 찬사가 아니더라도, 저는 대회가 역사상 유례를 찾기 힘들만큼 성공적으로 개최되었다고 믿습니다. 이와 같은 성공을 가능케 한 우리나라 수학 계의 놀라운 역량에 감탄한 것이 저만은 아니었을 겁니다. 이러한 역량을 결집하고 지혜 를 모으면 앞으로 우리와 후학들이 더욱 정진할 수 있는 선진 환경을 구축하는 일도 충분 히 가능하리라는 믿음을 가지게 되었습니다. 대한수학회는 이 열기와 기운을 발판으로 삼아 우리나라 수학의 비약적인 발전을 이루어, 머지않은 장래에 우리나라가 수학 최강국 중 하나로 우뚝 설 수 있도록 하는 후속 작업에 최선을 다해 임하겠습니다. 다시 한 번 대회의 성공을 위해 불철주야 애써 주신 모든 분들께 최고의 찬사와 함께 존경 의 마음을 표합니다. 회원 여러분 모두의 건강과 행복을 기원하며, 앞으로도 여러분의 교육과 연구에 더욱 더 큰 보람과 성과 있으시길 바랍니다. 2014년 9월 대한수학회장 김명환 올림 2 대한수학회소식 제 157호

2 특별기고 교육부의 시대착오적 교육과정 개정 김명환 (서울대학교, 대한수학회장, 기초과학학회협의체 회장 1) ) 교육부가 문 이과 통합형 교육과정을 표방하며 2015년 전면개정을 추진하고 있다. 이번 개정은 향후 문 이과 통합수능과 연결되어 우리나라의 미 래에 엄청난 영향을 미치게 될 것이라는 점에서 특 히 중요하다. 그런데 엄청난 파급효과가 예상되는 이번 개정을 주도하고 있는 교육부의 시대착오적인 아집과 독선에, 개정 반대운동을 펴오던 과학기술 계는 절망하고 있다. 현재의 교육과정이 문제가 있다는 주장에 많은 사람들이 동의하고 있다. 하지만 문제가 있다는 지 적에 따라 실제로 교육과정을 바꾸기 위해서는 적 잖은 시간과 노력이 필요하다. 먼저 급변하는 현대 사회에서 우리나라의 발전 방향과 그에 필요한 인 재의 모습을 도출해야 하고, 그러한 인재들을 배출 하기 위해 현행 교육과정을 어떻게 바꿀지, 바뀔 교육과정은 어떤 부작용이 있을지 면밀하게 연구해 야 한다. 교육의 관점에서만 볼 것이 아니라 과학 과 기술, 산업, 문화와 경제에 이르기까지 미래의 우리 사회에 미칠 영향을 자세히 설명할 수 있어야 한다. 시간이 많이 걸리더라도 많은 사람들의 지혜 를 모아야만 한다. 이번 개정은 교육이 백년대계라 는 경구에 모자람이 없을 만큼 중요하기 때문이다. 이렇게 중차대한 개정작업을 추진하기 위해 교 육부가 만든 연구위원회의 구성과 연구과정, 그리 고 연구내용은 매우 실망스럽다. 문 이과 통합 교 육을 표방하며 구성한 위원회의 위원들 대부분이 교육학 전공자들이다. 또한 이를 위해 현재 수행 중인 12개 연구과제의 책임자들의 전공도 거의 마 찬가지이다. 이들이 불과 6개월여 만에 뚝딱 해치 운 것이 최근 발표된 개정안 2) 이다. 더욱 놀라운 사실은 그나마 사회적 합의를 도출 하기 위한 진통 끝에 도입한 2009년 교육과정의 국어, 영어, 수학, 사회, 과학의 필수 이수단위 3) 를 이미 2013년 말 교육부 내부 결정으로 외부에 거 의 알리지 않은 채 슬그머니 축소 4) 하여 버렸다는 것이다. 이러한 사실을 모른 채 과학기술계가 축소 1) 기초과학학회협의체는 대한수학회, 한국물리학회, 대한화학회, 한국분자 세포생물학회, 한국지구과학학회연합회가 모여 우리나라 기초과학의 발전과 이를 통한 국가경쟁력강화, 그리고 그 바탕이 되는 수학 과학교육의 내실화를 위해 공조하는 단체이다. 올해는 대한수학회가 회장학회이다. 2) 고등학교 필수: 국어/영어/수학/사회-각 10단위; 역사-6단위; 과학 12단위; 체육 10단위; 예술 10단위; 생활교양 16단위; 총 94 단위. (자율선택 86단위, 체험-24단위) 3) 고등학교의 이수단위는 대학의 이수학점에 해당됨. 4) 교육부는 2013년 말 국어, 영어, 수학의 필수 이수단위를 각 15단위에서 10단위로, 사회와 과학은 합 35단위에서 20단위로 대폭 축소하였다. 이는 전면개정에 해당하는 엄청난 변화임에도 불구하고 교육부는 수시개정이란 제도를 이용하여 슬그머니 결정해 발표하였다. 2014년 9월호 The Newsletter of the KMS 3

3 를 반대하자 교육부는 과학기술계의 이기적인 밥그 릇 싸움이라 폄훼하면서 과학만 2단위 올려주었다 고 강변하고 있다. 교육부는 2013년 밀실개정의 이유를 일반고의 자율적 교육과정 운영을 위해서라지만 일반고의 경 우 특목고나 자사고와 달리 학생들에게 학교 선택 권이 없다는 점을 고려하면 학생을 위한 자율이 아 님은 명백하다. 2013년 개정내용과 크게 다르지 않은 2015년 개정안은 결국 문 이과 통합형 교육 이라는 명분아래 교육의 하향평준화를 고착화시킬 가능성이 농후하다. 중고등학생들의 수학 과학 기 피현상을 감안하면 이과폐지에 다름 아닌 결과가 예견된다. 더욱이 문 이과 통합수능으로 연계될 경 우, 고등학생들은 3년 내내 교과별 필수 공통과 목 5) 범위 내에서 실수 안하기 훈련을 반복할 것 임은 불 보듯 뻔하다. 과학기술계에서 이번 개정과 관련하여 교육부가 설정한 미래 인재의 모습에 대해 집요하게 추궁하 자 최근 인문사회학적 소양과 과학적 소양을 두루 갖춘 창의융합 인재 를 내세우기 시작하였다. 이러 한 인재를 배출하겠다는 주장에는 기존에 문 이과 학생들이 필수적으로 배우던 내용으로는 부족하다 는 인식이 전제되어 있다. 그런데 새로운 교육과정 개정안을 보면 기존 보다 훨씬 덜 배우도록 시수를 1/3 이상 축소하였다. 앞뒤가 전혀 맞지 않는 궤변 이다. 이런 내용을 부끄러운 줄도 모르고 공식문서 로 발표하는 교육부다. 또 한 가지 짚고 넘어갈 대목은 지금까지 한 번 도 거론되지 않았던 통합사회와 통합과학 교과서를 국정교과서화 하겠다는 안이 갑자기 포함되었다는 것이다. 한국사 교과서 국정화를 염두에 둔 포석일 수도 있으나, 과학기술계에서 우려하는 것처럼 이 처럼 폭발성 큰 이슈를 터뜨림으로써 미래 인재상 이나 개정작업 절차의 정당성 등 다른 이슈들을 잠 재우기 위한 노회한 전략일 수도 있다. 그간 과학기술계는 토론회 세 번, 교육부 및 미 래부 장관 면담 세 번, 성명서 발표(신문광고) 세 번을 비롯하여 기자간담회, 실무자 면담, 신문기고 등 무진 애를 썼지만 교육부가 조롱하듯이 과학만 2단위 올려 준 것에 대해, 과학기술계는 절망을 넘 어 이제는 이번 개정작업을 주도하고 있는 관료들 과 관변 교육학자들에게 분노하고 있다. 과학기술계가 토론회, 면담, 성명서 등에서 일관 되게 주장해온 바는 다음과 같다. 첫째, 현재 진행 중인 문 이과 통합형 교육과정 졸속 개정작업의 중단 둘째, 범사회적 합의를 통한 교육과정 전면개정을 위한 범사회적 기구 구성 셋째, 잠정적으로 2009년 개정 교육과정의 원상회복 한마디로 요약하면 우리가 키워 내야할 미래 인 재의 모습에 대한 사회적 합의가 먼저 있어야 한다 는 것이다. 시수를 줄이거나 늘리는 것은 그 다음 일이다. 정부에서는 과학기술의 발전을 통한 창조경제를 정책기조로 삼고, 미래창조과학부를 새로이 출범시 키는 등 의욕을 보이며 전력을 투구하고 있다. 그 런데 교육부는 정부의 그러한 노력과는 정반대로 고등학교 교육과정에서 수학 과학 이수단위의 축소 를 밀어붙이고 있다. 선진국이 추구하고 있는 중등 교육의 방향 6) 에도 관심이 없고, 정부의 정책기조에 도 아랑곳 하지 않고 역주행을 감행하고 있는 것이 다. 도대체 국가의 발전방향과 그에 필요한 미래 인재상에 대한 사회적 합의도 없이 무슨 교육과정 을 어떻게 만들자는 것인지 도무지 이해할 수가 없 다. 그런데도 교육부는 일사천리로 개정작업을 추 진하고 있다. 우리나라의 미래를 위해 교육부의 역 주행을 막을 제동장치가 시급히 필요하다. KMS 5) 필수 이수단위 중에서 국어, 영어, 수학, 사회는 8단위, 한국사 6단위, 과학 10단위가 공통과목으로 지정됨. 통합수 능을 시행할 경우, 공통과목에서만 출제될 예정임. 6) 영국의 핵심교과(core subjects)-영어, 수학, 과학; 미국 연방표준 교과 영어, 수학, 과학; PISA(Program for International Student Assessment, 국제학력평가) 시험과목 수학, 과학, 읽기; TIMSS(Trends in International Mathematics and Science Study, 성취도 추이변화 국제비교연구) 시험과목 수학, 과학 4 대한수학회소식 제 157호

4 ICM 2014 특집기사 수학의 노벨상 2014 필즈상 수상자 1) 1) <기획 시리즈> ICM 2014 특집기사 1. 제152호(2013년 11월호) ICM, IMU 그리고 Fields Medal - 수학의 향기 를 이어가며 (민경찬) 2. 제153호(2014년 1월호) ICM의 꽃 필즈상과 역대 수상자 소개 (김도한) 3. 제154호(2014년 3월호) 수학을 아름답게 만든 사람들 - 아벨상 수상자들 (금종해) 4. 제155호(2014년 5월호) 함께 가는 Late Starters - 개발도상국 초빙 (김준기) 5. 제156호(2014년 7월호) 2014년 한국 수학의 해 의 중심 2014 서울세계수학자대회(SEOUL ICM 2014) (SEOUL ICM 2014 LOC 편집위원회) 6. 제157호(2014년 9월호) 수학의 노벨상 2014 필즈상 수상자 (고계원, 김민형, 이기정, 임선희) 지난 8월 13일 2014 서울세계수학자대회 개막 식에서 네 명의 필즈상 수상자가 발표됐다. 이 날 세계수학자대회의 전통에 따라 국가원수인 박근혜 대통령이 직접 시상하였다. 수학 분야의 노벨상 이 라 할 수 있는 필즈상 수상자 네 명의 영예는 아르 투르 아빌라(Artur Avila, 프랑스&브라질, 35), 만 줄 바르가바(Manjul Bhargava, 미국, 40), 마틴 헤 어러(Martin Hairer, 영국, 38), 마리암 미르자카니 (Maryam Mirzakhani, 미국, 37)가 안았다. 필즈상 은 시상하는 해 1월 기준 40세를 넘지 않는 수학 자에게 수여되는 수학 분야의 최고의 상으로, 지난 4년간 수학계에서 가장 중요한 업적을 이룬 수학자 중에서 선정된다. 필즈상은 1936년에 제정되었으며 지난 세계수학자대회인 2010년까지 총 52명에게 수여되었다. 이번 대회는 세계수학자대회 역사상 최초 라는 수식어가 많이 붙는 시상식이 연출되어 전 세계의 관심을 받았다. 아르투르 아빌라는 브라질에서 박 사학위를 받은 수학자로 북미와 유럽, 일본 이외의 나라에서 박사학위를 받은 최초의 필즈상 수상자가 되었다. 그리고 마리암 미르자카니가 역사상 처음 으로 여성 필즈상 수상자가 되면서 주최자, 시상자, 수상자 3인이 모두 여성인 진풍경이 연출되었다. 1. Artur Avila (CNRS & IMPA) 아르투르 아빌라는 필 즈상 역사상 처음으로 북미나 유럽, 일본이 아 닌 국가에서 박사학위를 받는 사람이다. 지난번 세계수학자대회에서도 강력한 후보였으며, 이번 해에도 누구나 기대하고 있었던 수학자이다. 아르투르 아빌라는 오래된 미해결 문제들에 결정 적 결과들을 이끌어 냄으로 동력학계, 해석학 뿐 아니라 다른 분야에도 뛰어난 공헌을 하였다. 브라 질 출신인 그는 브라질과 프랑스에서 활동하며, 두 나라의 수학적 문화와 전통을 묶어내었다. 거의 대 부분의 업적은 전 세계에 있는 30여명의 수학자들 과의 공동 연구로 이루어졌다. 아빌라는 깊이 있고 중요한 문제를 분별해내는 감각과 더불어, 뛰어난 수학적 기술력, 문제 해결사로서의 창의력과 끈기, 정확성을 함께 가지고 있는 수학자이다. 1) 이 원고는 국제수학연맹(International Mathematical Union)에서 배포한 수상자 소개문을 기초로 작성되었습니다. 2014년 9월호 The Newsletter of the KMS 5

5 아빌라의 연구 성과는 다양하고 폭넓은 주제를 다루고 있다. 다음은 그 중 중요한 몇 가지인데, 그 의 초기 업적 중 하나는 1970년대부터 시작된 긴 이야기를 종결시킨 것이다. 그 시절, 많은 물리학자 들은 매우 간단한 시스템으로부터 혼돈이 어떤 방 식으로 발생할 수 있는지 연구하였다. 그들이 연구 하는 시스템 중 일부는 와 같은 함수를 반복하는 것을 기반으로 하였다. 주어진 점을 시작 으로 어떤 함수를 반복적으로 적용할 때 점의 궤도 를 볼 수 있으며, 또한 시간의 흐름에 따라 시작점 의 이동을 함수로 생각할 수 있다. 어떤 함수에서 는 궤도가 점점 안정적으로 정착하는 반면 어떤 함 수는 궤도가 무질서하게 된다. 이러한 현상을 이해 하기 위해 이산적 동력계(discrete dynamical systems) 연구가 활발해졌다. 이러한 연구의 주목 적 중 하나는 장기간의 움직임을 예측하는 방법을 개발하는 것이었다. 점점 안정적으로 정착하는 궤 도는 한 점이 어떻게 이동하는지에 대한 예측이 수 월하나 혼란스러운 궤도는 그렇지 않다. 하지만 확 률적인 도구를 이용하면 이러한 궤도를 모델링 할 수 있다. 수학자들은 궤도가 점점 안정이 되는 정 칙궤도 와 무질서하게 이동하는 랜덤(stochastic) 궤도 로 나누어진다는 것을 발견하였다. 이렇게 정 칙궤도와 랜덤(stochastic)궤도로 나누어지는 것은 여러 특별한 경우에서 증명되었고, 한 가지 희망은 결국엔 보다 완전한 해석이 나올 것이라는 것이었 다. 이 희망은 2003년 아빌라, 드 멜로(Welington de Melo), 루비히(Mikhail Lubich)에 의해 실현되 었고, 오랜 시간 동안 진행되어 왔던 연구는 마무 리가 되었다. 아빌라와 그의 공동저자는 동력학계 의 다양한 클래스를 고려하였고, 그 안에서 무작위 로 맵(map)을 선택하였을 때 그 맵은 정칙적 이거 나 랜덤하게 움직인다는 것을 증명하였다. 그들의 업적은 오랫동안 풀리지 않은 이러한 역학계의 움직 임에 관한 통합적이고 포괄적인 그림을 제공하였다. 아빌라의 또 다른 뛰어난 업적은 포르니(Giovanni Forni)와 함께 연구한 약한 혼합(weak mixing)에 대한 것이다. 만약 트럼프 카드에서 윗부분의 카드 무더기를 카드의 제일 아래 부분으로 넣는다면 카 드는 사실상 섞인 것이 아니다. 카드는 단순히 순 환 형태로 옮겨졌다고 할 수 있다. 하지만 예를 들 어 첫 번째 카드는 세 번째 카드 뒤에, 두 번째 카 드는 다섯 번째 카드 뒤에 넣는 것과 같이 카드가 섞인다면 제대로 섞였다고 할 수 있을 것이다. 이 것은 아빌라와 포르니가 고려했던 혼합의 추상적인 개념에 대한 기본적인 아이디어이다. 그들이 연구 했던 시스템은 트럼프 카드가 아닌 여러 개의 소구 간으로 나누어진 닫힌구간이다. 예를 들어, 네 소구간으로 나눌 수 있는 어떤 구간에서 소구간 의 위치를 교환하는 방식( 에서 로 변 경)으로 구간 사이의 변환을 만들 수 있다. 이 교환 방식을 반복함으로써, 단위구간교환 변환(interval exchange map) 이라는 동력계를 얻을 수 있다. 트 럼프 카드의 경우를 생각해 보면, 구간교환 변환이 정말로 소구간을 혼합할 수 있는지에 대해서 의문 을 가질 수 있다. 이것은 오랫동안 불가능하다고 알려져 왔다. 아빌라와 포르니는 혼합이 실패한 것 을 설명해주는 약한 혼합 이라는 개념을 이용하여 대부분의 구간교환 변환은 약한 혼합이라는 것을 보였다. 이를 이용하여 아빌라와 디렉로이스(Vincent Delecroix)는 거의 모든 동력계가 약한 혼합이라는 것을 발견했다. 아빌라는 또한 해석학 문제에 동력계 접근 방식 을 적용하였다. 유사주기를 가지는 슈뢰딩거 연산 자가 하나의 예로서, 이것은 양자역학 분야의 수학 방정식이다. 이 분야에서 대표적인 것 중 하나는 프랙털 패턴을 보이는 호프슈타터 나비로서 극한 자기장에서 전자이동의 에너지 스펙트럼을 나타낸 다. 물리학자들은 슈뢰딩거 식에서 특정 매개 변수 값의 에너지 스펙트럼이 칸토르 집합이라는 것이 발견되었을 때 놀라움을 금치 못했다. 1980년에 사 이몬(Barry Simon)은 특정한 슈뢰딩거 연산자의 스펙트럼이 칸토르 집합인지 아닌지를 묻는 열 잔의 마티니 문제 를 제시하였다. (그는 이 문제를 푸는 사람에게 10잔의 마티니를 사겠다고 제안하였다.) 아빌라는 지토미르스카야(Svetlana Jitomirskaya)와 6 대한수학회소식 제 157호

6 공동으로 이 문제를 해결하였다. 이 업적은 슈뢰딩 거 연산자에 관한 아빌라의 연구의 일부분이다. 2004년부터 꾸준히 이 연구를 시작한 그는 마침내 2009년 일반적인 이론을 발표하였다. 그는 역학계 접근방식을 이용하여 일반적인 슈뢰딩거 연산자는 열 잔의 마티니 문제의 경우와는 달리 일반적인 Schrodinger operators는 서로 다른 체제로 전환 시 결정적인 차이를 보이지 않는다는 것을 정립하였다. 아빌라 업적의 마지막 사례는 아주 최근에 그가 증명한 측도보존 맵(volume preserving map)에 관련된 정칙화 정리에 대한 것이다. 그는 30년 동 안 증명되지 못한 채 수학자들에 의하여 참 일거라 고 믿어져 왔던 정리를 증명하였다. 이를 통하여 그는 매끄러운 동역학계(smooth dynamical systems) 에 관련된 연구의 활성화에 크게 이바지하였다. 특히 이 정리는 아빌라, 크로비지에르(Sylvain Crovisier), 그리고 윌킨슨(Amie Wilkinson)이 근래에 성취한 의미 있는 업적의 가장 중요한 요소이다. 현재 준 비 중인 그들의 연구는 엔트로피가 양인 변환은 에 르고딕이라는 성질을 가지는 역학계임을 보여준다. 빼어난 해석학적 능력과 동역학계에 대한 깊은 직관 을 함께 지닌 그의 장점을 토대로 아르투르 아빌라는 앞으로 수학적 리더로써 계속 자리매김할 것이다. [약력] 1979년 브라질 태생인 아르투르 아빌라는 프랑 스 귀화 시민이기도 하다. 그는 2001년 21살의 나 이에 브라질 국립 순수응용수학원(Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada (IMPA 2) ))에서 박사학위를 받았다. 2003년부터 프랑스 국립과학연 구소(Center National de la Recherche Scientifique (CNRS))에서 연구원으로 있었으며 2008년부터는 수석연구원이 되었다. 또한 그는 2009년부터 IMPA 에서도 연구원으로 활동 중이다. 이전 수상 경력으 로는 2006년 살렘상(Salem Prize), 2008년 유럽수 학회상(EMS Prizes), 2009년 프랑스 과학한림원의 Jacques Herbrand 대상, 2011년 마이클 브린상 (Michael Brin Prize), 2013년 브라질수학회상, 2013년 세계과학학술원의 수학분야 TWAS상을 받 았다. 고계원 (고등과학원 난제연구센터) KMS 2. Manjul Bhargava (Princeton Univ.) 만줄 바르가바는 대수 적 정수론 분야에서 오 랫동안 진전이 없었던 여러 문제에 혁신적인 방법론을 개발해서 획기 적인 공헌을 하였다. 바르가바는 프린스턴 대학원 학생시절 가우스 (Gauss)가 1798년에 쓴 난해하고 방대한 저서 산술논고(Disquisitiones Arithmeticae) 를 정독하였다. 이 과정에서 그는 2 차 다항식 집합에 주어진 가우스의 교묘한 연산법 칙을 루빅스 큐브를 이용하여 직관적 방법으로 묘 사할 수 있음을 알아냈다. 그는 이 발견을 발전시 켜 가우스의 연산 법칙을 더 높은 차수 다항식으로 확장하여 13개의 새로운 연산 법칙을 발견했다. 가우스 이후 지난 200년간 이와 같은 더 높은 차 수 다항식에 연산 법칙이 존재할 수 있으리라고는 2) IMPA(Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicad): 브라질에서 1961년 만든 연구소이다. 1980년대에 들 어 국제학회 등을 유치하며 활발해졌으며 남미의 중심에 서 있는 유명한 연구소이다. 아르투르 아빌라가 19살에 논문의 주제를 잡고 21살에 박사학위를 받는 것이 가능한 이유는 이 연구소가 있었기 때문이며 이 연구소에서는 연령이나 학위과정과 무관하게 박사학위를 줄 수 있기 때문이다. 이 연구소는 동역학계가 강한 곳으로 유명하며 10년 넘게 소장을 하였던 Jacob Palis도 이 분야이다. 동역학은 여러 분야를 아우를 수 있기 때문에 위상, 기하, 해석 및 대수 등 수학의 많은 분야의 우수한 수학자들이 일하고 있다. 2014년 9월호 The Newsletter of the KMS 7

7 아무도 상상도 하지 못했다. 연산법칙이 중요한 이유는 정수론에서 기초적인 구조인 수체에 대한 정보를 제공하기 때문이다. 1896년 민코프스키(Minkowski)가 개발한 수의 기 하학(geometry of numbers) 이라는 도구가 발전되 어 1960년대에 2차원과 3차원 수체의 불변량에 대 한 점근적 정보가 얻어졌으나 그 이상 차원으로의 확장은 근 40년간 진전이 없는 상태였다. 바르가바 는 새로 발견한 연산 법칙을 이용하여 수의 기하 학 의 방법론을 강력하게 발전시켜 4차원과 5차원 수체의 불변량에 대한 정보를 얻어낼 수 있었다. 나아가 바르가바는 수의 기하학의 방법론을 ( = 유리 계수 다항식) 꼴의 방정식으로 주어지는 초타원 곡선에 적용하기 시작했다. 이렇게 주어진 곡선의 유리점이 얼마나 많은가를 이해하는 것은 정수론에 서 중요하지만 난해한 문제이다. 바르가바는 발상 을 바꾸어서 하나의 주어진 곡선에 대해 연구하는 대신 유리점을 가지는 곡선들의 확률적인 구조에 대해 연구하였다. 바르가바는 공저자들과 함께 3차 다항식을 임의로 고르면 유리점이 딱 하나일 확률 도 양수이고 무한히 많을 확률도 양수라는 것을 보 였다. 마찬가지로 차수가 4일 때는 유리점이 전혀 없을 확률이나 무한히 많을 확률이 모두 양수라는 것을 보였다. 그리고 5 이상의 차수의 경우 대개의 초타원 곡선은 유리수 점이 전혀 없다고 밝혔다. 그의 결과로부터 가령 차수 10인 경우 유리점을 전 혀 갖지 않을 확률이 99% 이상임을 알 수 있다. 바르가바의 업적을 하나 더 들자면, 행케(Jonathan Hanke)와의 공동 연구로 이루어진 290정리 가 있 다. 이 문제는 페르마(Pierre de Fermat, 1601~ 1665) 시대로 돌아가는 오래된 질문으로서 모든 자 연수를 나타낼 수 있는 2차 형식들을 분류하는 문 제이다. 라그랑주(Lagrange, 1736~1813)의 발견 을 시작으로 20세기 초 인도의 전설적 수학자 라마 누잔(Srinivasa Ramanujan, 1887~1920) 등의 연 구를 통해 모든 자연수를 나타내는 여러 가지 2차 형식이 발견되었다. 여기서 제기되는 질문이 어떤 2차형식이 모든 자연수를 나타낼 수 있는가 하는 것인데, 1990년대 초에 콘웨이(John Conway)와 공 저자들은 컴퓨터 계산을 통해서 주어진 2차형식이 290이하의 모든 자연수를 나타낼 수 있다면, 그 이 상의 모든 자연수도 나타낼 수 있을 것이라는 추측 을 하였다. 바르가바와 행케는 이 추측을 증명한 것이다. 이 증명은 이론적으로 기발할 뿐 아니라 상당히 많은 컴퓨터 계산을 요구한다. [약력] 1974년 캐나다에서 태어난 만줄 바르가바는 미 국에서 자랐고, 1996년 하버드대학에서 학사학위를 거쳐 2001년 프린스턴대학에서 페르마의 마지막 문제의 해결로 유명한 앤드류 와일즈(Andrew Wiles)교수의 지도하에 박사학위를 받았다. 학위 2 년만인 2003년에 프린스턴대학 정교수로 임용되었 는데 이것은 프린스턴대학 역사상 두 번째로 젊은 나이에 정교수가 된 것이다 (최연소는 24세에 정교 수가 되었던 1978년 필즈 메달 수상자 찰스 페퍼만 (Charles Fefferman)이다). 바르가바는 현재 프린 스턴대학 석좌교수로 있다. 이전 수상 경력으로는 클레이 수학연구소에서 수여하는 Clay Research Award(2005년), 미국수학회의 Cole Prize(2008 년), 프랑스의 Fermat Prize(2011년), 인도의 Infosys Prize(2012년) 등이 있다. 김민형 (옥스퍼드대학교) KMS 3. Martin Hairer (Warwick Univ.) 마틴 헤어러는 확률편미분방정식 연구에 있어서 지금까지 해결 불가능해 보였던 문제들을 공격할 새로운 이론을 창안하여 큰 돌파구를 만들었다. 미분방정식은 17세기 뉴턴과 라이프니츠에 의해 8 대한수학회소식 제 157호

8 개발된 미적분학에 뿌리 를 두고 있다. 행성운동 을 기술하는 미분방정식 은 미래의 각 시점의 위 치를 정확히 결정한다는 의미에서 결정적 이라 부른다. 이와 대조적으로 그 안에 임의성을 품고 있는 미분방정식을 우리 는 확률적 이라 한다. 시간을 따라 변하는 주식가 격을 기술하는 방정식이 일례라 하겠다. 그러한 방 정식은 주가 변동을 표현하는 항을 품게 되는데, 만약 우리가 변동에 대한 정보를 정확히 알고 있다 면 미래의 주가를 정확히 예측할 것이다. 하지만 그러한 변동은 초기 주가에 의존하고 있긴 하나 근 본적으로 임의적이고 정확한 예측이 불가능하다. 하나의 변수만을 가지는 방정식을 상미분방정식이 라 부르며 두 개 이상의 변수를 가지는 미분방정식 을 편미분방정식이라 한다. 많은 편미분방정식들은 비선형인데, 이는 방정식 안의 항들이 간단한 비율 만으로 표현되지 않는다는 뜻이다. 많은 중요한 자 연현상은 비선형 편미분방정식으로 기술되며, 이를 이해하는 것이 수학과 과학의 큰 목표이다. 헤어러는 많은 종류의 비선형 확률편미분방정식 에 적용할 수 있는 일반 이론을 개발함으로써 큰 기대를 받았다. 헤어러의 작업에서 중요한 역할을 한 KPZ 방정식은 비선형편미분방정식의 일종으로, 이 방정식을 만든 3명의 물리학자 카다르(Mehran Kardar), 파리시(Giorgio Parisi), 장(Yi-Cheng Zhang)의 이름을 땄다. 이 KPZ 방정식은 두 물질 사이의 경계면의 시간에 따른 진화를 기술한다. 이 해를 위해 액정 디스플레이(LCD) 제조 과정을 단 순화하여 생각해보자. 두 개의 매우 근접한 유리판 을 세우고 그 사이에 액정 방울들을 채워 나간다. 이때 액정방울들은 상호작용을 통해 들러붙거나, 합쳐지면서 바닥에 닿으며 넓게 퍼진다. 눈에 보이 지 않는 미세 스케일에서, 액정 방울 내의 작은 분 자들은 임의적 으로 움직인다. 이 움직임들은 확 률적으로 모델링 가능하며, 쌓여가는 액정과 공기 사이의 거칠고 고르지 못한 경계면을 만들어 낸다. KPZ 방정식은 이 경계면의 시간에 따른 변화를 기 술하는 확률편미분방정식이 된다. 그 해는 주어진 각 시간과 유리판 밑의 각 점에서 경계면의 높이가 된다. 그런데 이 KPZ 방정식이 기술하는 것은 물 리적으로는 납득이 되나 수학적으로는 타당하지 않 다. 왜냐하면 그 해는 꽤나 거칠고 고르지 못한 수 학적 대상이기에 미분가능하지 않다. 그럼에도 불 구하고 방정식의 다른 항들은 해의 미분가능성에 기반을 두고 있다. 물론, 이러한 어려움을 피하는 방법으로 초함수라는 개념을 생각할 수 있으나, KPZ 방정식은 비선형이기 때문에 사용할 수가 없 다. 이러한 이유로 KPZ 방정식은 수학적으로 잘 정의되지 않는다. 일부 연구자들이 특수한 경우의 KPZ 방정식을 수학적으로 이해할 수 있는 방법을 내어 놓았으나, 근본적인 문제는 오랫동안 풀리지 않은 채 남아 있었다. 헤어러는 이 방정식과 그 해에 정확한 수학적 의 미를 부여하는 새로운 접근법을 통해, 이러한 어려 움을 극복하였다. 더욱이 그는 KPZ 방정식을 위해 개발한 아이디어를 활용하여, 넓은 범위의 확률편 미분방정식에 적용할 수 있는 정칙성 구조 이론 을 만들었다. KPZ 방정식에 대한 그의 아이디어는 다음과 같다. 임의성의 효과는 극소 스케일에서 일 어난다는 기존의 절대적 가정 대신, 그는 임의성의 효과가 가시적인 스케일과 비교하여 상대적으로 적 은 스케일에서 일어난다는 가정에서 출발하였다. 그는 이를 노이즈 다스리기 라 부르는데, 이를 통 해 일단 풀리는 방정식을 마련한다. 물론, 이 방정 식이 원래의 KPZ 방정식이 아니지만, 그 해를 출 발점으로 하여 점진적으로 KPZ 방정식의 해에 접 근하는 함수들을 만든다. 더욱이 그는 이렇게 만들 어진 KPZ 방정식의 해는 서로 다른 종류의 노이즈 다스리기 방식을 사용하더라도 같아진다는 중요한 사실을 보였다. 헤어러의 일반적인 이론은 수학적 으로 잘 정의되지 않는 고차 확률편미분방정식을 다룬다. KPZ 방정식처럼 이러한 방정식들이 가진 2014년 9월호 The Newsletter of the KMS 9

9 문제는 아주 작은 스케일에서 해가 가진 거칠고 고 르지 못한 모습에 있다. 그는 작은 스케일에서 해 의 좋지 않은 모습에 접근하는 수학적 대상들을 정 의하였다. 각 점에서 해는 이들 대상들의 무한 중 첩으로 표현된다. 게다가 그는 방정식의 해가 그 접근에 사용되는 대상들의 선택에 의존하지 않는다 는 중요한 사실을 보였다. 헤어러의 업적 이전에는 많은 학자들이 선형 확 률편미분방정식은 잘 이해하고 있었지만 비선형 경 우를 다루기엔 근본적인 장벽이 있었다. 헤어러의 새로운 이론은 이 장벽을 없애기 위한 큰 걸음이다. 더구나 이 이론이 적용될 수 있는 방정식들 중에는 수학과 과학의 주요 관심 대상이 되는 여러 개의 방정식이 포함되어 있다. 또한, 그의 업적은 여러 현상들의 보편적인 모습을 이해하기 위한 실마리가 될 수 있다. KPZ 방정식과는 다른 방정식이 스케 일 과정을 거쳐 KPZ 방정식으로 접근해 가는 모습 을 통해, 우리는 그 뒤에 숨어 있는 보편성을 인지 한다. 그의 업적은 이러한 보편성을 연구하는 엄밀 한 해석적 도구를 제공할 가능성이 있다. 정칙성 구조 이론을 개발하기 전에도 헤어러는 다른 뛰어난 공헌을 하였다. 예를 들어 매팅글리 (Jonathan Mattingly)와의 공동 연구는 유체운동을 다루는 비선형 편미분 방정식인 나비어-스톡스 방 정식의 확률 버전을 이해하는데 중요한 진전이다. 헤어러는 또한 매우 훌륭한 컴퓨터 프로그래머이다. 학생시절 그는 오디오 편집 소프트웨어를 만들었는 데 이후 이를 더 개발하여 소리 편집의 스위스 군 용 칼 로써 성공적으로 상용화하였다. 물론 그의 수학적인 업적이 컴퓨터에 의존한다고 볼 수 없지 만 컴퓨터를 이용한 시뮬레이션이 그의 직관을 개 발하는데 큰 도움을 주었다고 한다. 훌륭한 기술적 숙달과 물리 시스템에 대한 깊은 이해를 겸비한 헤 어러는 관련 분야에서 선도자일 뿐 아니라 앞으로 도 많은 중요한 공헌을 하리라 기대된다. [약력] 1975년생. 헤어러는 오스트리아 시민이다 년 그는 제네바대학에서 물리학으로 박사학위를 받 았다. 현재 워릭대학에서 흠정강좌( 欽 定 講 座 ) 수학 교수(Regius Professor of Mathematics)로 재직 중이다. 그가 받은 상들은 다음과 같다. Whitehead Prize of the London Mathematical Society (2008) Philip Leverhulme Prize (2008) Wolfson Research Merit Award of the Royal Society (2009) Fermat Prize (2013) Frohlich Prize of the London Mathematical Society (2014) 2014년 그는 Fellow of the Royal Society로 선정되었다. 이기정 (아주대학교) KMS 4. Maryam Mirzakhani (Stanford Univ.) 마리암 미르자카니는 기하학과 동역학에서 큰 공헌을 하였다. 리만 곡 면과 그 모듈라이 공간 에서의 그녀의 연구는 수학의 여러 분야들 - 쌍곡기하학, 복소해석학, 위상수학, 그리고 동력계 - 사이에 다리를 놓아주었으며, 그 모든 분야들에 영향을 주었다. 그녀는 초기에 쌍곡기하학 연구로 세계적으로 널리 알려졌으며, 가장 최근의 업적은 동역학 분야에서 이루어 졌다. 수학자들은 이미 100여 년 전에, 추상적인 곡면 들이 위상적으로, 즉 연속적인 변형으로, 얻을 수 있는 곡면들을 분류하면 손잡이의 개수라고 하는 10 대한수학회소식 제 157호

10 단 하나의 숫자로 표현될 수 있음을 알았다. 우리 는 이 숫자를 지너스(genus)라고 부른다. 구의 표 면은 지너스가 0이고, 커피 잔의 표면은 지너스가 1이며, 프레첼의 표면은 지너스가 3이다. 추상적인 곡면 위에 각과 길이와 넓이를 잴 수 있는 기하를 정의하면 리만 곡면이 정의된다. 그 중에 가장 중 요한 기하가 바로 쌍곡기하인데, 쌍곡기하 공간은 볼리아이(Janos Bolyai), 가우스, 그리고 로바체브 스키(Nikolai Ivanovich Lobachevskii)에 의해 발 견된 유클리드 기하공간이 아닌 첫 번째 예이다. 미르자카니의 초기 업적은 쌍곡 곡면에서의 닫힌 측지선(closed geodesic)에 대한 결과이다. 닫힌 측지선은 부드럽게 변형할 때 그 길이가 더 이상 짧아질 수 없는 닫힌곡선이다. 길이가 이하인 닫 힌 측지선의 개수는 에 대해 지수적으로 증가한 다는 정리가 50여 년 전에 알려졌다. 이 정리는 주 어진 숫자보다 작은 소수의 개수에 대한 소수 정 리(prime number theorem) 에 정확히 대응되어 측지선에 대한 소수 정리 라고 불린다. 미르자카 니는 오직 단순한 측지선, 즉 스스로와 다시 만나 지 않는 측지선만 고려하면 측지선에 대한 소수 정리 가 어떻게 되는지를 연구하였다. 이 경우에는 매우 다른 양상을 보이는데, 단순한 측지선들의 개 수는 에 대해 더 이상 지수적으로 증가하지 않고 곡면의 지너스가 일 때 이라는 차수를 가지 는 다항식으로 증가함을 미르자카니는 보였다. 지 너스가 인 곡면이 가질 수 있는 쌍곡구조들은 연 속적으로 변형할 수 있으므로 이들을 모아 놓으면 연속적인 공간이 된다. 리만은 이들이 모듈라이라 고 불리는 개의 매개변수들에 의존함을 보였 다. 즉 지너스가 인 곡면의 모듈라이 공간은 차원이다. 하지만 이 사실은 모듈라이 공간 의 전체적인 모양이나 구조에 대해서는 아무 것도 말해주지 않는다. 모듈라이 공간의 전체적인 구조 는 아주 복잡하며 여전히 베일에 싸여져 있다. 단순 측지선의 개수에 대한 정리의 증명에서 미 르자카니는 모듈라이 공간의 사교적 구조라고 하는 또 다른 구조를 고려하였는데, 이는 (비록 길이는 측정할 수 없지만) 부피를 측정할 수 있도록 해준 다. 맥셰인의 결과를 일반화하여, 미르자카니는 모 듈라이 공간에서 특정한 부피를 계산하고, 그로부 터 단순 측지선의 개수에 관한 결과를 도출해냈다. 이러한 관점은 모듈라이 공간에 대한 다른 문제들 에 대해서도 미르자카니에게 새로운 통찰력을 주었 다. 그 중 한 결과는 끈 이론을 이끄는 대가인 에 드워드 위튼(Edward Witten, 1990년 필즈상 수상 자)의 예측에 대한 새롭고 예상할 수 없었던 증명 이다. 모듈라이 공간은 그 안에 각각 특별한 성질 을 가지는 리만 곡면들에 해당되는 여러 흥미로운 특별한 궤적들을 가진다. 적절히 선택된 궤적들에 대해, 그들의 교집합은 특별한 물리학적 의미를 가 진다. 이러한 교집합에 대해, 물리학적 직관에 의해 만들어진 위튼의 추측은 많은 수학자들의 주목을 받았다. 미르자카니의 결과는 위튼의 추측과 개개 의 곡면의 측지선의 개수를 세는 기본적인 문제와 의 연결고리가 되었다. 최근 몇 년간 미르자카니는 모듈라이 공간의 다 른 면들에 대해 탐험하였다. 모듈라이 공간은 거리 개념을 갖고 있어서 측지선 연구를 할 수 있다. 마 굴리스의 정리에 영감을 받아, 미르자카니와 공동 연구자들은 곡면 하나가 아닌 모듈라이 공간에서 닫힌 측지선들의 개수를 구하여, 또 다른 소수 정 리에 대응되는 결과를 얻었다. 그녀는 또 모듈라이 공간 위에서 윌리엄 써스톤(William P. Thurston, 1982년 필즈상 수상자)이 정의한 지진 흐름 이라 고 하는 특정한 동역계가 혼돈적임을 증명하였다. 가장 최근에는, 알렉스 에스킨(Alex Eskin)과, 부분적으로 아미르 모하마디(Amir Mohammadi)와 함께 미르자카니는 모듈라이 공간의 측지선들의 행 동과 관련된 또 다른 동역학 시스템의 이해에 있어 서 큰 돌파구를 만들었다. 모듈라이 공간의 닫히지 않은 측지선들은 매우 이상하고 병리적으로 행동하 여, 그들의 성질이 어떤지, 혹은 작은 섭동을 가했 을 때 어떤 변화가 일어나는지 알기가 매우 어렵다. 그러나 미르자카니와 공동연구자들은 모듈라이 공 간 안에서 복소 측지선들의 닫힘(closure)이 프랙 2014년 9월호 The Newsletter of the KMS 11

11 탈이 아니라 놀랍도록 정규적(regular)이라는 것으 공간도 직접적으로 손에 쥘 수 있도록 해주었다. 로 보였다. 복소 측지선은 해석학과 미분기하학으 매우 다양한 분야의 수학적 기술들과 서로 다른 수 로 정의된 초월적인 대상이지만, 그들의 닫힘은 다 학적 문화에도 능한 그녀는, 뛰어난 수학적 능력, 항식을 강성 대담한 야심, 멀리 내다보는 비전, 그리고 깊은 호 (rigidity)을 가진다는 것이 판명되었다. 이 결과는 기심이라는 매우 희귀한 조합을 지녔다. 모듈라이 수많은 후속연구를 촉발시켰는데 그 이유 중 하나 공간은 여전히 우리의 발견을 기다리는 많은 새로 는, 에스킨과 미르자카니가 증명한 정리가 1990년 운 영토들로 이루어진 세계이다. 미르자카니는 앞 대에 래트너(Marina Ratner)가 증명한 유명한 정리 으로의 탐험에 있어서 여전히 선구자로 남아 있을 에 대응되기 때문이다. 래트너는 균질적인 공간에 것이다. 이용하여 대수적으로 정의되어서 서 정의된 동역계의 강성을 증명하였는데, 균질적 인 공간이란 어떤 점 근방도 다른 점 근방과 똑같 이 생긴 공간을 말한다. 이런 균질적인 공간과는 대조적으로 모듈라이 공간은 매우 비균질적이다. 이런 면에서 균질적인 공간에서 볼 수 있는 강성이 비균질적인 모듈라이 공간에서도 대응되는 메아리 가 있다는 것은 매우 놀라운 일이다. [약력] 1977년에 이란의 테헤란에서 태어난 마리암 미 르자카니는 2004년에 미국 하버드대학교에서 박사 학위를 받았다. 2004년부터 2008년까지는 클레이 수학연구소의 박사 후 연구원과 프린스턴대학교의 조교수로 지냈다. 현재 스탠포드대학교의 교수이다. 2009년 순수수학에서의 연구 발전에 대한 공로로 모듈라이 공간은 그 복잡성과 비균질성으로 인 해, 직접 연구를 하는 것이 불가능하다고 여겨져 블루멘탈상(Blumenthal Award)을 수상하였고 2013 년 미국수학회의 새터상(Satter Prize)을 수상하였다. 왔었다. 하지만 미르자카니의 생각은 달랐다. 그녀 의 뛰어난 기하학적 직관은 모듈라이 공간의 기하 임선희 (서울대학교) KMS (사진 왼쪽부터) 최양희 미래창조과학부 장관, 스탠리 오셔(가우스상), 수브하시 코트(네반리나상), 마틴 헤어러(필즈상), 만줄 바르가바(필즈상), 박근혜 대통령, 마리암 미르자카니(필즈상), 잉그리드 도브시 IMU 회장, 아르투르 아빌라(필즈상), 박형주 ICM 2014 조직위원장, 필립 그리피스(천상), 마틴 그뢰첼 IMU 사무총장 12 대한수학회소식 제 157호

12 이만근의 수학 오디세이 현대 수학의 고향을 찾아서 뉴욕대학교의 바라단(2) 이만근 (동양대학교) <기획 시리즈> 이만근의 수학 오디세이 현대 수학의 고향을 찾아서 1. 제150호(2013년 7월호) IAS의 랭글랜즈(1) 2. 제151호(2013년 9월호) IAS의 랭글랜즈(2) 3. 제152호(2013년 11월호) 하버드대학교의 야우(1) 4. 제153호(2014년 1월호) 하버드대학교의 야우(2) 5. 제154호(2014년 3월호) 브라운대학교의 멈포드(1) 6. 제155호(2014년 5월호) 브라운대학교의 멈포드(2) 7. 제156호(2014년 7월호) 뉴욕대학교의 바라단(1) 8. 제157호(2014년 9월호) 뉴욕대학교의 바라단(2) 미국의 경제학자 탈레브(Nassim Nicholas Taleb)가 자신의 저서 블랙스완 1) 에서 블랙스완을 경제적 불확실성(불안정성)을 나타내는 의미로 사 용하기 시작하면서부터 경제학에도 자연스럽게 이 용어가 도입되었다. 이를테면 세계의 많은 정부와 경제학자들은 2008년 세계 경제위기를 블랙스완으 로 규정하고, 이를 예측하고 준비하는 위기관리 시 스템의 도입을 주장하기도 하였다. 블랙스완 현상은 정규분포 곡선을 살펴보면 쉽 게 이해할 수 있다. 정규분포에서는 중심에서 벗어 날수록 사건의 발생가능성이 매우 급속도로 낮아져 간다. 이를테면 평균이 0, 분산이 1인 정규분포를 따르는 사건이 -1과 1 사이에서 일어날 확률은 68% -2와 2 사이에서 일어날 확률은 95% -3과 3 사이에서 일어날 확률은 99% 이다. 따라서 어떤 사건이 3보다 큰 구간에서 일어 날 확률은 0.005(0.5%)에 지나지 않는다. 이렇게 정규분포의 중앙을 벗어난 곳에 위치하여 확률계산 에서 무시하여도 좋은 값(확률이 0에 가까워 거의 일어날 가능성이 없는)을 갖는 사건이 수학적인 블랙스완 인 셈이다. 따라서 블랙스완은 결코 우연 이나 기적은 아니며 발생빈도가 적기는 하지만 일 어날 수 있는 사건이다. 2) 큰수의 법칙 으로 유명한 1) 호주 대륙이 발견되기 전까지는 모든 유럽 사람들은 백조는 흰색뿐이라고 믿었다. 이는 집단의 경험에 의하여 모 든 구성원이 명백한 사실로 믿고는 있으나, 누구도 그 이유를 명확하게는 설명할 수는 일종의 사회적 지식이었다. 종교적 믿음에는 과학적 증거가 중요하지 않는 것처럼 이런 종류의 지식은 일종의 신념과 같은 것이다. 그러나 호 주 대륙을 탐험하던 조류학자 앞에 한 마리의 검은 백조가 나타나면서 이 믿음은 막을 내렸다. 이후로 블랙스완 (black swan)이라는 용어는 불가능한 것의 존재 가능성 을 나타내는 의미로 사용되기 시작했다. 2014년 9월호 The Newsletter of the KMS 13

13 스위스 수학자 야곱 베르누이(Jacob Bernoulli, 결정론은 사전의 경험으로부터 예견되면서 우연에 1654~1705)는 다음과 같은 글을 자신의 저서에 의해 영향을 받지 않는 사건을 다루는 것으로 서로 남겼다. 반대의 개념이라고 했다. 모든 사건의 발생을 영원토록 관찰할 수만 있 다면, 세상의 모든 일은 일정한 비율로 발생한다는 사실을 알 수 있을 것이다. 때로는 운명이라고 여 길 수밖에 없는 아주 우연한 사건조차도. - 당신의 이야기를 듣다보니 블랙스완이나 원숭이의 타 이핑3)에 대한 수학 이론이 자연스럽게 떠오른다. 기적이라고 불리는 사건들 중에 많은 것은, 수 학에서는 긴 시간을 두고 관찰하면 필연적으로 일 어나는 사건일 수 있다. 우리가 기적이라 부른 것 은 과정을 보지 못하고 결과만 보기 때문이다. 앞 서 예를 든 골짜기를 벗어난 벌레를 생각해보자. 골짜기를 벗어나기 위하여 벌레는 수많은 시도와 실패를 하였을 것이고 그 중에 오직 한 번의 성공 만을 우리는 볼 수 있을 뿐이다. 골짜기를 벗어나 기 전에 거듭된 실패를 이해다면 우리는 기적이라 는 용어를 사용하지 못할 것이다. 이 분야에서 결정론과 확률론(Deterministic and Stochastic)이 이용된다고 그는 말했다. 확률론은 바라단은 그의 연구 내용을 설명하기 위하여 칠판을 이용했다. 칠판에 그려진 W자 곡선은 골짜기에 빠진 벌레가 그 곳을 벗어나기 위해 노력하는 상황을 설명하는 그림이다(위). 쿠란트 연구소의 수학과 사무실(아래)은 뉴욕 맨해튼의 일반 오피스빌딩 처럼 좁은 복도를 가지고 있다. 우연에 의하여 결정되는 무작위한 대상을 다루지만 2) 이글은 수학과 교육 2013년 1월 호에 실린 필자의 글의 일부를 발췌한 것으로, 통계에 별다른 전문 지식이 없는 필자 개인의 해석임을 밝혀둔다. 3) 시행 횟수를 많이 하기만 한다면 원숭이에게 성경을 타이핑하게 할 수도 있다는 주장으로, 프랑스 수학자 보렐 (Félix Édouard Justin Émile Borel, 1871~1956)이 1913년 원숭이의 타이핑 에 대한 논문으로 발표했다. 원숭 이 한 마리가 타자기에 앞에 앉아 아무렇게나 자판을 누른다고 하자. 만일 원숭이가 영원히 타이핑을 할 수만 있 다면 특별한 문장도 반드시 타이핑해 낼 수 있다. 14 대한수학회소식 제 157호

14 - 확률론 외에 수학의 어떤 분야가 이용되는가? 모델링에 사용되는 식은 주로 미분방정식이다. 내가 사용하는 미분방정식과 해석학에서 사용되는 미분방정식의 차이는 근사값과 연속성에 있다. 다 시 말하면 내가 다루는 함수는 근사값으로 얻어진 것이 많으며 연속함수로 만들기 위하여 외연을 확 장(Extrapolation)해야 하는 경우가 많다. - 당신이 이 분야의 최초 개척자인가? 아니다. 이 분야는 일본 수학자 이토 4) 에 의하 여 시작되었으며 블랙숄츠 미분방정식 5) 이후로 많 은 수학자들이 이 분야를 이미 연구하고 있었다. 그가 연구하는 확률미분방정식(Stochastic differential equation) 또는 편미분방정식은 아인 슈타인이 자신의 논문에서 브라운 운동(꽃가루의 움직임을 나타내는 운동)을 나타내기 위하여 최초 로 사용한 것이다. 이후로 이토가 이 방정식의 수 학적 이론 근거를 분명하게 함으로서 물리학, 확률 론, 경제학에서 많은 학자들이 참여하여 이 이론을 연구하기 시작했다. 현재 바라단은 이토, 블랙, 숄 츠를 잇는 이 분야의 최고 전문가로 알려져 있다. 그는 아벨상 외에도 2008년 조국 인도에서 수여하 는 파드마상(Padma Bhushan)을 받았고 2010년에 는 미국과학메달을 오바마 대통령으로부터 직접 수 여받았다. - 당신이 개발한 방정식도 블랙숄츠 미분방정식처럼 주식 거래에 활용되거나 경제학에서 연구되고 있을법하다. 주식 거래나 경제학에서는 아직 내 이론이 활 용되지 못하고 있다. 매개변수가 다르기 때문이다. - 이해가 되지 않는다. 수학자는 한 모델만을 대상으로 연구하는 것이 아니다. 전체 모델을 대상으로 연구하므로 내가 개 발한 식은 한 무리(그룹)가 된다. 이 중에서 각 경 우에 맞는 모델 매개변수를 정하고 적절한 식을 선 발하여 적용하는 것은 수학자의 역할은 아니다. 후 에 이 분야를 잘 아는 경제학가가 나타나서 이를 주식에 적용할 수 있기를 기대해 본다. 하버드대학교의 야우 교수에게서도 이와 유사한 이야기를 들었다. 수학자는 전체를 연구하므로 그 가 개발한 다양체 중에 어느 것이 우리의 우주에 적용될지는 모른다고 그는 말했다. 수학자들이 가 능한 모든 경우를 연구해 두면, 실생활에 유용한 것을 찾아내어 응용하는 것은 각 분야의 전문가들 의 역할이 되는 셈이다. - 수학 때문에 절망에 빠진 적은 없었나? 수학에서 결과를 얻기 위해서는 충분한 시간이 필요하다. 젊었을 때는 좋은 연구 결과를 기대하며 스트레스를 많이 받았다. 연구라는 것이 2~3년을 하여도 처음 시작할 당시의 기대 결과에 못 미치는 경우도 많기 때문에, 이런 경우에는 혹시 연구 결 과를 아무것도 얻지 못하는 것이 아닐까를 걱정하 며 불안해하곤 했었다. 그러나 항상 오랜 시간을 참고 기다리는 인내가 필요하다는 사실을 받아들인 이후에는 절망적인 때는 없었다. - 수학 외에도 타밀 6) 문학에 관심이 있다고 들었다. 타밀어는 나의 모국어이다. 때문에 나는 이 언 어로 쓰여 진 글을 즐겨 읽는다. 다행인 것은 타밀어 4) 일본 수학자 키요시 이토(Kiyoshi Ito, 伊 藤 淸, 1915~2008)는 무작위로 발생하는 사건의 수학적 이해를 돕는 방 법으로 미적분법을 개발하였다. 그의 계산법은 이토 미적분학이라고 불린다. 5) 블랙(Fischer Black)과 숄츠(Myron Scholes)가 1973년 발표한 논문에서 시작된 수학적 모델로서, 금융 및 주식 시장에서 특정 파생 상품의 투자가치를 예측하는 방법이다. 현재도 많은 옵션시장 참가자들이 약간의 수정을 가하 여 사용하고 있을 정도로 널리 사용되었으며, 이 공로로 숄츠는 1997년 노벨 경제학상을 수상하였다. 노벨상 수상 자 결정 당시, 블랙은 이미(1995년) 사망하였기 때문에 이 노벨상에 공헌자 로서만 언급되었을 뿐 수상자가 되지 못했다. 2014년 9월호 The Newsletter of the KMS 15

15 - 여행을 즐기고, 뉴욕을 사랑한다고 들었다. 나는 여행이 즐겁다. 이번에도 호주와 뉴질랜드 를 방문하고 돌아왔다. 물론 내 일정 속에는 그 지 역 대학을 방문하여 여러 수학자들과 교류를 나누 는 것도 포함되어 있지만, 여행 자체의 새로운 환 경과 이국적인 분위기를 무척이나 즐기는 편이다. 나는 23살에 미국으로 건너와서 뉴욕에 자리 잡은 이래로 단 한 번도 뉴욕을 떠난 적이 없을 정도로 이곳을 사랑하고 즐긴다고 말할 수 있다. 영화, 연 극, 뮤지컬 등 내가 좋아하는 대부분의 것들이 뉴 욕에 있다. 인터뷰를 위하여 처음 내가 그에게 연락을 했을 때에도 그는 호주를 여행하고 있었다. 그는 새로운 곳을 방문하고 새로운 것을 보고 새로운 경험을 하 는 것에 기쁨과 흥분을 느낀다고 말했다. 그의 여 행은 주로 부인과 함께 이루어진다. 한편, 그는 뉴 욕의 모든 것을 사랑하며 특히 음악을 즐긴다고 말 했다. 특히 인도 고전 음악과 서양 고전 음악을 좋 바라단은 자신의 젊은 시절 사진을 많이 보여 주었다. 각각 1962년(위), 1970년(아래)의 바라단. 아하는데, 시간이 나는 대로 콘서트 장을 찾는다. 영화도 좋아 한다고 했다. 그에게 뉴욕은 이 모든 것을 즐기기에 최적의 장소이다. 그의 오랜 동료 는 2,000년 전과 많이 달라지지 않았다. 그래서 나 는 2,000년 전에 쓰여 진 시문을 읽는 또 다른 즐 거움을 가지고 있다. 수학자 스트룩(Daniel Stroock)은 한 인터뷰에서 그에 대하여 이렇게 말했다. 나는 그가 자신의 성공을 즐기지 않는다고는 말할 수 없다. (중략) 그는 수학에 공헌을 함으로서 대화 도중 그의 부인으로부터 걸려온 전화 때문 에 나는 잠시 여유를 가지고 그의 연구실을 둘러 인류에 대하여 의무를 다하고 있다고 말하는 많은 수학의 왕자들 중의 한 명은 아니다. 볼 수 있었다. 부인과의 대화는 타밀어로 이루어졌 다. 1964년 고향에서 결혼식을 올린 17세의 소녀 바순드라(Vasundra)는 23세의 남편을 따라서 뉴욕 시간이 너무 늦어지고 그의 부인이 그를 너무 으로 이주한 후, 남편이 포스트닥으로 있던 뉴욕대 오랫동안 기다리는 것처럼 보여서 이제 그만 자리 학교에 입학했다. 미디어학을 전공한 그녀는 이 학 에서 일어서야겠다는 생각이 들었다. 마지막으로 교에서 박사를 마친 후 뉴욕대학교 내의 통합학과 오랫동안 머뭇거리다 망설이던 질문을 꺼냈다. 대학(Gallatin School of Individualized Study) 미 디어학 교수로 임용되었다. 은퇴한 현재도 그녀는 강의를 계속하고 있다고 바라단은 말했다. - 불행한 일을 당한 아들에 대하여 물어도 좋은가? 큰 아들이 사고를 당하기 전까지 나의 생활은 6) 인도의 15개 공용어 중 하나로 인도 남동부 타밀나두주(州)에서 사용되는 언어이다. 산스크리트(Sanskrit)와 같이 거의 2,000년 이상 된 언어로서, 산스크리트어와는 달리 이 언어는 현재도 사용되고 있는 살아있는 언어이다. 16 대한수학회소식 제 157호

16 너무나 행복했다. 그러나 사고 이후로 나와 아내는 바라단은 매우 친절하고 인자하며 자상했다. 대 괴로운 시간을 보냈다. 지금도 그 슬픔이 작아지거 화 도중 잠시 멈추고 나의 기록에 도움을 주는 친 나 잊힌 것은 아니다. 바쁘게 살면서 다른 일에 집 절함도 잊지 않았다. 그동안 만난 수학자 중에서 중하려 노력하다보면 어느 정도 그 슬픔을 멀리할 가장 편하게 대화를 나누며 시간을 보냈다. 내일은 수 있으나, 문득 손을 멈추고 창을 내다볼 때 마다 그가 그토록 사랑하는 뉴욕을 다시 한 번 돌아보기 아들 생각이 난다. 다행인 것은 둘째가 결혼을 하 로 결심했다. 옛 무역센터가 있던 곳도 찾아보고 여 두 명의 손자가 생겨서 그들을 보는 즐거움이 싶어졌다. 큰 위로가 된다. 아들을 잃은 슬픔은 아주 커 보였다. 2001년 년 4월 6일, 뉴욕 콜롬비아대학교 월 11일 세계 무역 센터가 무너지던 날, 그의 큰 아들은 그곳의 한 금융회사의 임원으로 일하고 있 었다. 이 위대한 노 수학자의 마지막 이야기를 들 으면서 내 눈에도 눈물이 맺혔다. 부모는 돌아가시 면 땅에 묻지만 자식은 가슴에 묻는다고 하지 않았 던가? 창밖으로는 그의 아들이 살았던 아파트 쪽으 로 맨해튼의 어둠이 무겁게 내려 있었다. 열 번도 넘게 뉴욕을 찾았지만 버스를 타고 뉴 욕을 들어서는 길은 항상 환상적이다. 산이 거의 없는 평원지역에 갑자기 하늘을 찌를 듯한 고층 건 물의 무리가 사막의 신기루처럼 멀리서부터 보이기 시작하다 사라지고, 사라졌다 나타나기를 반복하며 뉴욕은 시작된다. 이번에도 뉴욕행 버스 안의 많은 여행객들은 이층 버스의 맨 앞쪽으로 이동하여 사 진을 찍어대며 감탄사와 함께 이 장면을 즐겼다. 도대체 이 도시는 몇 번을 찾아와야 익숙해질까? 뉴욕을 가장 강하게 느낄 수 있는 엠파이어 스테이트 빌딩(왼쪽)과 뉴욕 지하철 역(아래). 바라단과의 만남은 밤이 깊도록 이어져서 내가 숙소로 돌아 올 무렵에는 이렇듯 사방이 어두워져 있었다. 고속버스로 5시간 거리인 뉴욕과 워싱턴 DC를 이어주는 이 버스의 가격은 13불, 믿기지 않을 정도로 저렴하다. 뉴욕에 도착하자마자 배가 무척 고팠다. 조지타 운대학교에서 친해진 아민(Amin)은 나에게 뉴욕에 가면 피자를, 필라델피아에 가면 치즈스테이크를, 보스톤에 가면 크램차우더를 먹어보라고 권했다. 버스 정류소에서 내리자마자 나는 눈에 띄는 피자 가게로 무조건 들어갔다. 배가 고프니 이것저것 고 2014년 9월호 The Newsletter of the KMS 17

17 를 형편이 되지 못했다. 길게 줄을 서 있으면서 앞 렘, 월가와 차이나타운, 타임스퀘어와 브루클린 다 사람이 무엇을 고르는 가를 지켜보다가 내 순서가 리. 도저히 어울릴 것 같지 않은 양극의 조화가 되었을 때, 치킨과 브로콜리, 치즈로 만들어진 피 가장 잘 어울려 있는 곳이 이곳이다. 세계 어느 도 자(일반적인 피자가 아닌 샌드위치 형태) 한 조각 시에서도 볼 수 없는 뉴욕만의 풍경이다. 선착장에 을 주문했다. 4달러짜리 피자의 맛은 그야말로 환 서 조금 걸어 올라오니 월가의 대표적 상징물인 황 상적이었다. 겉은 충분히 구워져 고소하면서도 바 소 동상 앞으로 관광객이 모여 있다. 전설적인 많 삭거렸고, 속의 치킨과 브로콜리는 부드러웠다. 한 은 수학자들과 경제학자들이 자신이 개발한 미분방 입 물 때 마다 배어나오는 치즈는 도대체 얼마나 정식을 월가의 주식 시장에 이용하여 성공을 거두 들어있는지 알 수 없을 정도였다. 그 맛이 얼마나 기도, 좌절을 겪기도 하는 곳이다. 좋았던지 나는 저녁에도 다시 이 집으로 돌아와 맥 주 한 잔과 같은 피자를 주문했다. 역시 최고의 맛 이었다. 여행을 마칠 때 까지 나는 이것과 비슷한 음식을 다른 곳에서도 찾았지만 모두 맛이 같지 않 았다. 너무 배가 고파서였을까? 아니면 이 집만의 독특한 비결이 있었던 것일까? 앞으로 뉴욕을 찾게 될 여행객에게 뉴욕 29번가 메가버스 정류장에 있는 피자가게의 피자를 권하고 싶다. 치킨과 브로콜리가 들어있는 빵 같은 피자를 찾으면 된다. 월가의 시작점(위)과 그 밑에 있는 지하철은 같은 도시의 시설물이라고 믿기지 않을 정도로 수준 차이 가 있다. 그리고 월가의 상징인 황소 동상(아래). 본격적으로 맨해튼의 중심부를 걸어보기로 작정 하고, 지하철의 제일 마지막 역에서 내려 스태튼 섬으로 가는 선착장을 향했다. 언제나 느끼는 것이 지만 뉴욕의 지하철역은 어둡고 냄새가 나지만, 지 상의 건물은 화려하고 정결하며 아름답다. 의도하 지는 않았겠지만 이런 극적인 대조가 뉴욕을 현대 의 가장 화려한 도시로 만들고 있다. 맨해튼과 할 몇 블럭을 오르니 9.11 참사가 있었던 세계무역 센터 빌딩 자리가 나타났다. 이제는 옛 건물을 대 신할 멋진 새 건물의 건축이 거의 마무리 단계에 와 있지만 뉴욕대학교의 바라단처럼 가족을 잃은 이들에게는 가슴이 사무치도록 그리운 이가 생각나 는 곳이다. 내친김에 브루클린 다리까지 걸어보았 18 대한수학회소식 제 157호

18 다. 딱히 이유를 말하기는 어렵지만 나는 이 다리 은 더욱 반가운 일이었다. 광고비야 엄청나게 들겠 가 너무 좋다. 뉴욕에 오면 어떤 경우라도 반드시 지만, 그만큼 미국에 수출하여 이익을 얻으면 되니 이곳을 찾는다. 그리 아까워할 일도 아닌 듯 싶었다. 몇 년 전에 나는 가족들과 함께 연말에 뉴욕을 방문할 기회가 있었다. 타임스퀘어에서 새로운 해 를 맞을 수 있는 기회라는 생각이 들어 이곳을 찾 았었는데 타임스퀘어에는 도저히 접근할 수가 없었 다. 몰려든 사람들로 모든 거리가 가득하였을 뿐만 옛 세계 무역 센터 빌딩 자리에 새롭게 들어선 빌딩(왼쪽). 여기서 멀지 않은 곳에 브루클린 다리 (아래)가 있다. 아니라 광장 주변은 아예 저녁시간 부터는 바리케 이드를 쳐놓고 사람들의 접근을 막았다. 겨우 인파 속으로 들어갔지만 아주 멀리서 타임스퀘어에서 벌 어지는 신년맞이 행사를 보면서 2008년을 맞았다. 새해를 기다리는 카운트 다운이 끝나고 불꽃놀이가 시작되자 사람들은 서로 안으면서 새해를 축하했 다. 아주 즐거운 목소리로 서로 낯선 이에게 행복 을 기원하는 축하인사를 건네면서. 해피 뉴 이어! 밤의 42번가, 타임스퀘어는 여전히 네온사인으 로 화려했다. 그 네온사인 중에는 삼성, LG, 한국 타이어, 현대기아자동차 등 한국회사의 광고도 많 다. 2012년 12월 18일 워싱턴DC 덜레스국제공항 에 도착하면서부터 한국은 일종의 대세로 느껴질 정도로 눈에 자주 띄었다. 나를 만난 모든 미국인들은 내가 한국인이라고 말하는 순간부터 싸이의 강남스타일 을 흉내내면 서 그의 춤동작을 따라했다. NBA 경기장에서도, 대학 농구 경기장에서도 그의 동영상과 음악이 나 오면 사람들이 모두 이를 따라서 같이 흥겹게 몸을 흔들어 대더니, 급기야 슈퍼볼 광고에는 싸이가 광 고 모델로 등장하고, 현대기아자동차의 광고동영상 이 수시로 반복되었다. 타임스퀘어에서 만난 한국 2014년 9월호 브로드웨이 뮤지컬을 보기 위하여 극장 앞에 모여든 사람들과 이를 지켜보는 기마경찰(위). 브로드웨이 42번가 타임스퀘어는 낮보다 밤(아래)이 더 화려하다. The Newsletter of the KMS 19

19 다음날, 지하철을 타고 뉴욕 100번가를 넘어서 감동은 정문부터 시작되었다. 뉴욕의 심장부에서 니 콜롬비아대학교 전철역이 눈에 들어왔다. 콜롬 불과 몇 정거장 거리에 있는 이 대학의 입구는 깜짝 비아대학교는 1754년, 미국이 아직 영국의 식민지 놀랄 만큼 넓은 광장이 두 두서관을 사이에 두고 였을 때 만들어진 학교이다. 독립 전쟁 후에야 비 펼쳐져 있었다. 특히 로(Low) 기념 도서관으로 오 로서 킹스칼리지(King's College)에서 지금의 이름 르는 계단과 석조기둥, 그 앞의 여신상은 마치 그 을 갖게 된 이 학교는 오랜 전통처럼 아이비리그의 리스 고대 신전을 찾은 느낌을 안겨 주었다. 계단 중심에 있는 학교다. 9명의 대법원 판사, 20명의 에 앉아서 담소를 나누는 현재 살아 있는 억만장자, 26명의 아카데미상 수상 풍을 나온 사람처럼 한가로웠다. 자, 29명의 주지사, 3명의 대통령을 배출한 학교이 니 두말 할 것이 없는 명문 중의 명문대학이다. 매 년 대학 랭킹를 발표하는 기관(U.S. News & World Report)에 의해 2013년에는 하버드, 프린 스턴, 예일의 뒤를 이어 4등으로 선정되었으며, 전 세계로부터 아주 뛰어난 학생들이 지원을 해도 지 원자의 7%에게만 입학이 허용되는 대학이다. 남녀 학생들이 마치 소 이 대학 심장부에 가장 가까운 곳에 수학과 건 물이 있었다. 여러 대학을 찾으면서 느끼는 공통점 은 수학과는 항상 대학의 심장부에 가까이 있다는 사실이다. 수학이 교양과목에서 차지하는 비중이 크므로 학생들의 접근이 용이하게 하려는 의도인 지, 아니면 수학과의 전통과 명성을 고려한 대학의 배려인지는 분명하지 않지만 어느 학교에서든 수학 과를 찾는 것은 어려운 일이 아니었다. 콜롬비아대학교 정문(위)과 로 도서관(아래). 이 건물 1층은 거의 텅 빈 공간으로 되어 있어 마치 고대 로마시대의 스콜라처럼 보였다. 벽면에는 기부자들의 명단이 연도별로 빼곡하게 동판위에 새겨져 있었다. 20 대한수학회소식 수학과 건물(위)은 콜롬비아 대학교 중앙광장에서 아주 가까운 곳에 있었다. 그 앞에서 담소를 나누는 학생들(아래). 제 157호

20 콜롬비아대학교 수학과 건물 내부에는 엘리베이 터 시설이 되어 있었으나 계단을 오르며 천천히 걸 어서 돌아보기로 했다. 독일 괴팅겐대학, 미국 예 일대학에서 보았던 형태의 각종 기하도형의 모형이 이 대학에서도 내 눈길을 끌었다. 바라단이 설명하는 나의 연구 7) 내 연구는 확률론 전반에 걸쳐있지만 연구의 주요 흐름으로 두 분야 만을 골라낼 수 있다. 첫째는 스토캐 스틱 미분방정식을 이용하여 갬블링(gambling)에서 손실이 발생한 사람이 배팅의 사이즈를 증가시키는 방 법 8) 을 연구했다. 이 새로운 방법으로 기존에 연구되던 방정식에 대한 해의 존재와 유일성, 그러고 다른 중요 한 성질을 증명해 낼 수 있었다. 이전의 순수 해석학적 방법으로는 도저히 해결할 수 없었던 것이다. 좀 더 구체적으로 살펴보면,. 이 식은 로부터 시작된 브라운 운동의 기댓값 로 이루어진 다음 식의 해가 존재함을 의미한다 (Feynaman-Kac공식). 둘째는 큰 편차에 대한 통일 이론이다. 우리는 항상 불확실성을 만난다. 주위에 확실한 것은 없어 보인다. 그래서 어떤 일이 일어날 확률을 계산한다. 때로는 그 확률이 너무 작아서 무시해 버리지만 일본의 후쿠시마 원전 사태에서 볼 수 있듯이, 이런 희귀한 경우는 한 번 발생하면 거의 치명적으로 모든 것을 파괴해 버린다. 나는 1960년대 후반에 아주 희귀한 사건, 아주 낮은 확률의 사건이 일어나는 경우를 연구하기 시작했다. 편 차가 큰 사건에 대하여 관찰을 해보면 각 경우가 너무도 달라서 공통점을 찾을 수 없을 것처럼 여겨진다. 그 러나 이렇게 큰 편차를 갖는 경우도 무엇인가 할 수 있는 게 있다고 믿었다. 논리와 직관 사이를 오가며 문 제를 해결하려 했다. 화학에서 일어나는 어떤 현상을 이해하기 위해 화학을, 물리에서 일어나는 현상을 이해 하기 위해 물리를 공부했다. 그 후에 이런 다른 분야의 각 현상들을 수학을 이용하여 표현하려했다. 내 연구는 양자역학, 통계 물리, 추진 동력학, 경제, 재무, 특히 교통공학과 같은 복잡한 통계적 분석이 필 요한 시스템에서 일어나는 다양한 현상을 명확하게 분류하고 결합하는데 효과적인 방법을 찾아내는 것에 관 심이 있다. 이 방법을 확대하면 아주 희귀하게 일어나는 여러 현상도 분석할 수 있다. 컴퓨터의 도입으로 모 의실험을 해볼 수도 있기 때문에, 최근 40년 동안 이 분야는 큰 진전을 이루고 있다. - 다음 호에 계속 (UC버클리대학교의 보처드) KMS 7) 필자의 영어의 미숙, 수학적 지식의 부족, 받아 적기에는 너무나 빠른 대화 등으로 인하여 충실하려고 노력했지만 많은 내용이 잘못되었을 것이다. 전공자들이 읽고 잘못을 지적해 주면 다음 호에서 반드시 정정내용을 밝히고 바로 잡겠다. 8) 게임자 입장의 배팅 시스템으로 마틴게일(martingale)이라 부른다. 2014년 9월호 The Newsletter of the KMS 21

21 번역 에세이 젊은 수학자를 위한 조언 2 (Advice to a Young Mathematician) 박민재 (카이스트) 譯 카이스트 수리과학과 학부생 박민재 군이 번역한 Advice to a Young Mathematician 을 2부로 나 누어 소개합니다. (1부는 대한수학회소식 제156 호(2014년 7월호)에 게재함). 원문이 실린 The Princeton Companion to Mathematics 의 공식 한국어 번역판이 1, 2편으로 나뉘어 곧 출판될 예정이고, 공식 번역판의 출판 에 앞서 이 원고의 소식지 게재를 허락해 준 승산 출판사에 감사를 표합니다. 원문: Gowers, T., Barrow-Green, J. and Leader, I. (ed.), The Princeton Companion to Mathematics, VIII.6 Advice to a Young Mathematician, Princeton University Press, ( chapters/gowers/gowers_viii_6.pdf) 2. 벨라 볼로바쉬 1) (Béla Bollobás) 이 세상에 추한 수학을 위한 영원한 공간은 어 디에도 없다 고 하디(Hardy)는 말했습니다. 나는 열정적이지 않고 뚱한 수학자들을 위한 공간 또한 세상 어디에도 없다고 믿습니다. 수학에 무한한 열 정을 느낀다면, 그리고 설사 다른 직업을 갖고 하 루 종일 고된 일을 마치고 집에 돌아오더라도, 수 학을 하기 위한 시간을 찾을 정도로 애정이 있을 때만 수학을 하세요. 시나 음악처럼, 수학은 직업 이라기보다 소명입니다. 취향은 그 무엇보다도 중요합니다. 이러한 주제 에 있어 기적적이게도, 좋은 수학을 이루는 것들이 무엇인가에 대해 어느 정도 합의가 있습니다. 당신 은 중요하고 오랫동안 마를 것 같지 않은 분야에서 연구해야 하고, 아름답고 중대한 문제들에 매달려 야 합니다. 좋은 분야에서는 그저 잘 알려진 극소 수의 난제들뿐 아니라, 가치 있는 문제들이 여기저 기 널려 있습니다. 그러나 솔직히, 항상 너무 높은 것을 목표로 하는 것은 오랜 불모의 기간을 가져올 수 있습니다. 당신 일생의 어느 단계에서는 그런 침묵이 허용될지 모르겠지만, 경력을 막 시작하는 1) [역자 주] 헝가리에서 태어난 영국의 수학자이며, 극단적 그래프 이론(extremal graph theory), 랜덤 그래프 이론 (random graph theory), 함수 해석학 등 다양한 분야의 중요한 결과들을 증명했다. 에르되시(Erdös)의 제자이며, 1998년 필즈 상 수상자인 티모시 가워스(Timothy Gowers)의 지도교수이기도 하다. 22 대한수학회소식 제 157호

22 단계에서는 반드시 피해야만 합니다. 당신의 수학적 활동에서 균형을 위해 노력하세 요. 연구하는 것이 물론 진정한 수학에서 가장 으 뜸이 되어야 하지만, 연구와 동시에 충분히 많이 읽고 잘 가르치세요. 그것들이 당신의 연구에 (거 의) 아무런 영향을 주지 못할지라도 모든 단계에서 수학을 즐기세요. 가르치는 것은 단순한 짐이 아니 라 자극의 원천이 되어야 합니다. 연구는 (신문기사를 쓰는 것과 달리) 시간이 정 해진 어떤 일과가 되어서는 안 됩니다. 당신은 그 것에 대해 생각하지 않고는 배기지 못할 문제들을 선택해야만 합니다. 따라서 문제들에 자신만의 흥 미를 느끼는 것이, 당신에게 부과된 임무를 수행하 는 것처럼 문제를 다루는 것보다 월등히 낫습니다. 연구자로서 경력의 가장 시작 단계에서, 당신은 자 신의 입맛에 맞지 않을지도 모르는 문제를 건네받 기 위해 지도교수를 가지고 있는 것이 아닙니다. 오히려 자신이 찾아낸 흥미로운 문제들이 어떤지 판단하는데 조언을 받도록 지도교수를 활용해야 합 니다. 무엇보다도, 지도교수는 당신의 능력이나 취 향을 아직 잘 모를 테지만 그래도 어떤 문제가 당 신이 노력을 들일만한 가치가 있는지 판단할 수 있 는 능력을 갖추고 있을 것입니다. 어느 정도 경력 을 쌓고 더는 지도교수에게 의존하지 못할 때에는, 공감하는 동료들과 이야기하는 것이 종종 영감을 줄 것입니다. 나는 어느 한 시점에서 당신이 다음 두 종류의 문제들과 씨름해보길 추천합니다. (i) 꿈 : 너무나 풀고 싶지만, 이성적으로는 절대 풀릴 것 같지 않은 큰 문제. (ii) 충분한 시간과 노력, 운이 있다면 언젠가 풀 기회가 있을 것 같은 가치 있는 문제들. 덧붙여서, 앞에 있는 것들보다는 덜 중요하지만 당신이 고려해볼 두 가지 종류가 더 있습니다. (i) 당신이 추구하는 가치보다는 못하지만 빠르게 풀 수 있다고 확신할 수 있어서, 거기에 투자하 는 시간이 더욱 올바른 문제들에서의 성공을 해 치지 않는다면 때때로 그런 문제들을 연구하세요. (ii) 심지어 그보다 더 낮은 단계에 있고 실질적으 로 연구 문제는 아니더라도(그것들이 몇 년밖에 안되었더라도), 시간을 들일만큼 아름다운 문제 들을 푸는 것은 항상 재밌습니다. 그들은 당신 에게 즐거움을 주고 창의력을 날카롭게 해줄 것 입니다. 인내와 끈기를 가지세요. 어떤 문제에 대해 생각 할 때, 가장 유용한 방법은 아마 매 시간 그것을 머릿속에 지니고 있는 것입니다. 이것은 뉴턴 (Newton)뿐 아니라 많은 위인에게도 효과가 있었 습니다. 특히 중대한 문제들을 고민하고 있을 때는 자신에게 긴 시간을 주어야 합니다. 나중에 그런 별 기대 없는 문제를 고민할 어느 정도의 시간을 줄 거라고 자신에게 약속한 뒤, 다음에 무엇을 할 지 조사하고 결정하세요. 문제풀이를 위해 떠오르 는 생각을 시도는 해보지만, 한 가지에 너무 몰두 해서 그 문제에 접근할 다른 방법들을 놓치지는 마 세요. 팔 에르되시(Paul Erdös)가 그랬듯, 당신의 머리를 열어두고 정신적으로 날렵해지세요. 실수하는 것을 두려워하지 마세요. 체스 기사에 게 실수는 치명적이지만, 수학자에게는 예사로 일 어나는 일입니다. 정말로 무서워해야 할 것은, 한 문제에 대해 잠시 고민한 뒤에도 여전히 당신 앞에 놓여 있는 빈 종이입니다. 생각의 순간이 지나고 폐용지함이 실패한 끄적임으로 가득 차 있다면, 당 신은 아직 잘하고 있는 것입니다. 평범한 접근 방 식은 피하고 노력하는 것에 항상 행복해하세요. 특 히, 어떤 문제의 가장 간단한 경우를 생각하고 계 산해 보는 것은 절대 시간 낭비가 아니라, 매우 유 용한 것임이 드러날 것입니다. 당신이 한 문제에 상당히 긴 시간을 쏟는다면 자신의 진척 경과를 과소평가하기 쉽고, 거의 동등 한 정도로, 그 모든 것들을 기억하는 자신의 기억 력을 과대평가하기 쉽습니다. 아주 부분적인 결과 들이라도 항상 적어놓는 것이 가장 좋습니다. 추후 에 그 메모가 당신의 시간을 엄청나게 절약해 줄지 도 모릅니다. 만약 어떤 성과를 이룰 정도로 운이 아주 좋다 2014년 9월호 The Newsletter of the KMS 23

23 면, 당신은 이제 그 연구에 진절머리가 나고 자신 이 쓰고 있는 월계관과 함께 쉬고 싶다는 생각이 자연스럽게 들 것입니다. 이런 유혹을 이겨내고, 그 업적이 당신에게 줄 수 있는 다른 가능성을 찾 아보세요. 젊은 수학자로서 당신의 가장 큰 장점은 연구할 시간이 많다는 것입니다. 아직 깨닫지 못할지도 모 르겠지만, 연구를 위해 막 경력을 시작할 즈음과 같이 많은 시간을 갖기란 매우 힘듭니다. 물론 누 구나 수학을 공부할 시간이 부족하다고 느끼겠지 만, 나이를 먹어감에 따라 그러한 기분은 점점 더 절실해지고, 점점 더 그럴만한 이유가 생깁니다. 읽기로 화제를 돌리면, 젊은 사람들은 당연히 그 들이 읽은 책들과 논문들의 양에 대해서는 다른 사 람들에 비해 불이익을 가지고 있습니다. 이것을 보 완하기 위해서는 일반 상식과 수학 모두 가능한 한 많이 읽어야 합니다. 자신의 연구 분야에서 최고의 대가들이 쓴 논문들을 많이 읽도록 하세요. 그 논 문들은 보통 대가가 할 수 있는 최대한의 능력을 발휘해 주의 깊게 쓴 것은 아니지만, 아이디어나 결과의 완성도는 당신이 그것들을 읽는데 투자한 노력을 충분히 보상하고도 남습니다. 무엇을 읽든 간에, 저자가 앞으로 뭘 어떻게 하려는지 예상하고 더 나은 방식을 찾으려고 노력해야 한다는 점만 주 의하세요. 만약 저자가 당신이 생각하던 길을 그대 로 따라간다면 행복할 것이고, 그가 다른 길을 택 하더라도 왜 그런지 이유를 찾을 수 있을 것입니 다. 심지어 멍청하게 보일지라도, 자신에게 결과들 과 증명들에 대해 자문해보면 당신의 이해에 매우 큰 도움이 될 것입니다. 반면, 풀려고 시도하는 미해결 문제에 대한 모든 것들을 다 읽지 않는 것 또한 유용합니다. 우선 스 스로 그 문제에 대해 깊이 생각해보고 명백히 아무 런 희망도 없을 때, 당신은 다른 사람들의 실패한 시도들을 읽어볼 수 있을(읽어야만 할) 것입니다. 항상 깜짝 놀랄 준비를 하면서 어떤 현상도 당 연하게 생각하지 말고, 자신이 읽은 결과와 아이디 어를 음미하세요. 무언가에 대해 당신이 그것을 안 다고 생각하기는 너무나 쉽습니다. 그저 증명을 읽 어보기만 하면 되니까요. 뛰어난 사람들은 보통 새 로운 아이디어를 흡수하는데 긴 시간을 소비합니 다. 그들은 단순히 정리와 증명 몇 개를 아는 것에 만족하지 않고, 그것들의 진정한 본질을 느끼고자 합니다. 경력이 쌓일수록, 항상 참신한 아이디어와 또 다 른 방향에 열린 마음을 가지도록 하세요. 수학에서 어떤 분야의 전망은 언제나 바뀌며, 당신 역시 뒤 처지고 싶지 않으면 함께 변화해야 할 것입니다. 매 순간 자신의 도구를 갈고 닦고, 새로운 것들을 배워야만 합니다. 무엇보다, 수학을 즐기고 열정을 가지세요. 연구 를 즐기고, 새로운 결과들에 대해 찾아보고, 다른 사람들과 수학에 대한 사랑을 나누고, 여가조차 우 연히 알게 되거나 동료들에게서 들은 작지만 아름 다운 문제들을 생각하며 수학과 함께 즐기세요. 과학과 예술에서 성공하기 위해 반드시 따라야 만 하는 조언을 한마디로 정리하라면, 나는 비트루 비우스(Vitruvius)가 2천 년도 더 전에 적었던 것 보다 나은 말을 찾지 못할 겁니다. Neque enim ingenium sine disciplina aut disciplina sine ingenio perfectum artificem potest efficere. 배움 없는 천재성이나 천재성 없는 배움 모두 완벽한 예술가를 만들지는 못할 것이다. 3. 알랭 콘 2) (Alain Connes) 수학이란 현대 과학을 이루는 척추이며 우리가 사는 현실 을 이해하는 새로운 개념들과 도구들을 제공하는 놀랍도록 효율적인 근원지입니다. 새로운 2) [역자 주] 프랑스의 수학자로서, 폰 노이만 대수(von Neumann algebra)의 전문가이며, 이 대수의 인수(factor)들 을 완전히 분류하였다. 비가환 기하학(noncommutative geometry)의 개척자이기도 하다. 1982년에 필즈상을 받 았다. 24 대한수학회소식 제 157호

24 개념들 그 자체는 인간 지성이라는 증류기를 통해 오랜 기간 증류 된 결과들입니다. 나는 젊은 수학자들을 위한 조언을 써달라고 부 탁받았습니다. 이에 대한 내 첫 번째 의견은 각각 의 수학자는 모두 특별하다는 것입니다. 일반적으 로 물리학자들은 보존(boson) 입자처럼, 즉 거대 한 집단으로 뭉쳐서 그들의 업적을 지나치게 선 전 하는 반면, 수학자들은 그것을 경멸하고 페르 미온(fermion) 입자처럼, 다시 말해 유행을 타는 분야에서 연구하는 것을 회피하는 경향이 있습니다. 처음에 수학을 개별적인 분야들, 예컨대 기하학, 대수학, 해석학, 정수론 등등의 모음으로 취급하는 것이 자연스러워 보일 수 있습니다. 기하학은 공 간 의 개념 이해에 주로 치중하고, 대수학은 기호 들을 다루는 예술로서, 해석학은 무한 이나 연속 성 에 접근하는 것처럼 말입니다. 그러나 이것은 수학 세계의 가장 중요한 특징을 정당하게 다루는 것이 아닙니다. 수학 일부분을 다 른 것들로부터 독립시키는 것은, 그것의 본질을 박 탈하기 전까지는 실질적으로 불가능합니다. 다시 말하면 수학을 집대성하는 것은 오직 전체로서만 살아있고, 서로 독립적인 부분들로 분리하면 죽어 버리는 하나의 생명체와도 같습니다. 수학자들의 학문적 인생은 그들 자신만의 정신 구조를 점차 드러내 주는 수학적 현실 이라는 지 리를 탐사하는 행위로 묘사될 수 있습니다. 그 과정은 대개 현존하는 책들에서 찾아볼 수 있는 이 세상을 설명하는 확고한 교리에 대한 반항 을 실천함으로써 시작됩니다. 젊고 잠재적인 수학 자들은 수학적 세계에서 자신들만의 관점이 널리 받아들여지는 믿음과 맞지 않는 특성들을 포착한다 는 것을 깨닫기 시작합니다. 이 최초의 반항은 대 부분의 경우 무지에서 비롯되긴 하지만 그럼에도 여전히 유익할 수 있습니다. 만약 그것이 실제 증 명들로 뒷받침될 수 있다는 것이 알려진다면, 사람 들을 권력에 대한 숭배로부터 자유롭게 해주고 그 들의 관점에 의존할 수 있도록 해주기 때문입니다. 처음 볼 때는 난해한 수학 세계의 작은 일부분을 기존의 방법이나 개인적인 방식으로 완전히 알게 되었다면, 탐험을 위한 여정은 이곳에서부터 제대 로 시작될 수 있습니다. 3) 물론 fild Arianne(아리 아드네의 실) 4) 을 끊지 않는 것은 필수적입니다. 이를 통해 길에서 마주치는 어떤 것이든 꾸준히 새 로운 시각으로 바라볼 수 있으며, 길을 놓쳤다는 느낌이 들기 시작하면 실을 따라가 시작점으로 다 시 되돌아갈 수도 있습니다. 계속해서 움직이는 것 또한 중요합니다. 그렇지 않는다면 당신은 극단적인 기교들로 특화된 상대적 으로 좁은 지역에 자신을 국한하면서, 수학적 세계 와 그것의 당혹스러울 정도로 거대한 다양성에 대 해 제한된 관점을 가질 우려가 있습니다. 이런 관점의 근본적인 핵심은, 많은 수학자가 수 학 세계의 완전히 동떨어진 부분을 전혀 다른 관점 으로 탐사하고 있음에도 그들의 영역 사이의 경계 와 연결성에 대해 모두가 동의한다는 점입니다. 누 군가의 여정이 어디서 시작했든지, 어느 날 그가 충분히 멀리 걸어 나간다면 분명 아주 잘 알려진 마을을 마주칠 것입니다. 예를 들어 타원 함수 (elliptic function), 모듈러 형식(modular form), 제타 함수(zeta function) 따위와 말입니다. 모든 길은 로마로 통하고, 수학 세계는 어디든 연결되 어 있습니다. 당연히 이 말이 수학의 모든 분야가 엇비슷하다는 것을 말하는 것은 아니며, 그로텐디 크(Grothendieck)가 자신이 처음 연구를 시작했던 해석학의 전망을 그가 수학자로서의 남은 여생을 보낸 대수기하학의 전망과(Récoltes et S les 에서) 비교했던 것을 읽어보면 분명하게 드러날 것 3) 나의 경우 시작점은 다항식 근들의 위치를 찾는 것(localization of roots of polynomials)이었습니다. 운 좋게도 나는 매우 어린 나이에 시애틀의 한 학회에 초대받았고, 인수들에 관한 미래의 모든 연구의 시발점이 되는 것들을 알게 되었습니다. 4) [역자 주] 그리스 신화에서 크레타 섬의 거대한 미궁 속에 갇혀있는 미노타우로스를 처치하기 위해 온 영웅 테세 우스에게 아리아드네 공주가 길을 잃지 않도록 건내준 실이다. 2014년 9월호 The Newsletter of the KMS 25

25 입니다. Je me rappelle encore de cette impression saisissante (toute subjective certes), commesi je quittais des steppes arides et revchês, pour me retrouver soudain dans une sortede pays promis aux richesses luxuriantes, se multipliant à l infini partout où il plait àla main de se poser, pour cueillir ou pour fouiller. 여전히 이 강렬한 인상을(물론 완전히 주관적인) 기억한다. 나는 마치 메마르고 음침한 광활한 초 원을 떠나, 갑자기 풍요롭고 비옥한 일종의 약 속된 땅 위에 있는 것 같았다. 어느 곳에나 손 을 뻗어 얻고 싶고, 탐구하고 싶은 것들이 무한 히 펼쳐져 있었다. 대부분의 수학자는 실용적인 자세를 취하며, 수 학 세계 의 존재성에 대해서는 아무런 의구심을 제 기하고 싶어 하지 않고, 자신들은 그 세계의 구조 를 직관과 훌륭한 이성적 사고의 혼합으로 밝혀내 는 탐험가들이라고 생각합니다. 전자의 믿음은 프 랑스 시인 폴 발레리(Paul Valery)가 강조했듯 시 적 열망 과 다르지 않으며, 반면 후자는 엄청나게 집중하는 기간이 필요합니다. 각 세대는 이 세계에 대한 자신들만의 이해를 반영하는 마음의 그림을 그립니다. 그들은 세상을 더더욱 깊게 파고드는 지성의 도구들을 만들어서, 이전에는 감추어져 있던 지형을 탐험할 수 있게 합 니다. 이전 세대의 수학자들로부터 발전해 온 지도에 서는 서로 멀리 떨어진 수학 세계의 두 지역 사이 에 예상치 못한 다리가 발견된다면 상황이 매우 흥 미로워집니다. 이런 일이 일어나면 아름다운 풍경 일부분을 가리고 있던 안개가 갑작스러운 돌풍으로 확 걷혀버리는 느낌을 받을 것입니다. 나의 연구에 서 이런 식의 큰 놀라움은 대부분 물리학과의 상호 작용으로부터 나왔습니다. 물리학에서 자연스럽게 등장하는 수학적 개념들은 보통 아다마르(Hadamard) 가 지적했듯 아주 근본적인 경우가 많습니다. 그에 게 있어 수학자에게 자신이 고안한 도구에 전념하도록 너무나 자주 영향을 주는 것은 짧은 한순간의 새로움이 아니라, 사물들의 자연에서 나타나는 무한히 창조적인 새로움이다. 나는 이 글을 조금 더 현실적인 조언으로 마 치려고 합니다. 그러나 각각의 수학자는 모두 특 별하며 이 조언을 너무 심각하게 받아들이지 말아 야 한다는 것을 명심하세요. 걷기. (보통 계산들이 연관된) 매우 복잡한 문제 와 씨름할 때, 한 가지 매우 건전한 운동은 (종이 나 연필없이) 오랫동안 걸으면서, 당신이 처음에 느낄 그런 식으로 풀기에는 너무 복잡한 문제다 라는 생각을 무시하고 머릿속으로 계산을 해보는 것입니다. 비록 성공하지 못하더라도, 이것은 생생 한 기억력을 갖도록 훈련하고 당신의 기술을 날카 롭게 해줄 것입니다. 눕기. 수학자들은 보통 어둠 속에서 소파 위에 누워 있는 것이 그들이 가장 집중적으로 연구하는 시간임을 자신들의 배우자에게 설명하는데 어려움 을 겪습니다. 불행히도, 최근에는 이메일과 컴퓨터 화면들의 침범으로 혼자 고립되어 집중할 기회가 점점 드물어지고 있기 때문에, 이러한 시간은 한층 더 가치가 있습니다. 용감해지기. 새로운 수학의 발견을 이끄는 과정 에는 몇 가지 단계들이 있습니다. 검토하는 단계는 두렵지만 오직 이성과 집중만이 요구되는 반면, 이 보다 더 창조적인 가장 첫 단계는 완전히 다른 성 질의 것입니다. 어떤 의미로는 이 단계에서 당신은 자신의 무지를 변론하는 것이 필요합니다. 왜냐하 면, 그것은 이미 다른 수많은 수학자가 실패한 문 제를 쳐다보지 말아야하는, 언제나 들 수 있는 수 백만 가지의 이유로부터도 역시 당신을 보호할 것 이기 때문입니다. 좌절. 매우 초기 단계까지 포함하여 연구 인생을 통틀어, 수학자들은 경쟁자들이 먼저 인쇄한 결과 26 대한수학회소식 제 157호

26 들을 보고 혼란스러움을 느낍니다. 내가 할 수 있 는 유일한 제안은 이런 좌절의 감정을 변환시켜 더 열심히 연구하는 데 긍정적인 에너지로 주입하라는 것입니다. 그러나 이것은 절대 쉽지 않습니다. 마지못한 칭찬. 내 동료 중 하나는 언젠가 이렇 게 말했습니다. 우리는(수학자들은) 주변 소수의 친구들의 마지못한 칭찬을 위해 연구를 한다. 연 구의 본질은 사실상 고독에 가까우므로 우리가 어 떤 방법으로든 절실하게 인정을 원한다는 것은 사 실이지만, 솔직히 터놓고 말해 아무것도 기대하지 마십시오. 사실, 진짜 판단은 오직 자신에게 달렸 습니다. 다른 누구도 어떤 연구들이 연관되어 있는 지 알기 위한 좋은 위치에 있지 않으며, 다른 사람 들의 의견에 너무 많은 신경을 쓰는 것은 시간 낭 비입니다. 여태까지는 어떤 정리도 투표 결과로 증 명되지 않았습니다. 파인만(Feynman)이 말했죠. 당신은 왜 다른 사람들의 생각에 신경 쓰는가? 4. 두사 맥더프 5) (Dusa McDuff) 나는 동시대 대부분의 사람과는 매우 다른 환경 에서 성인의 삶을 시작했습니다. 언제나 독립적인 성격의 직업을 가지고 싶다는 생각을 했었고, 가족 들과 학교로부터 수학을 하도록 큰 격려 또한 받았 습니다. 내가 다녔던 여자 학교에는 유클리드 기하 학과 미적분학의 아름다움을 일깨워 주었던 흔치 않은 훌륭한 수학 선생님이 있었습니다. 대조적으 로 나는 과학 선생님들을 별로 존경하지 않았었는 데, 대학교 교수님들 역시 그다지 나을 것이 없었 기 때문에 정말로 물리를 거의 배우지 않았습니다. 이런 제한된 환경은 수학 연구자가 될 의욕을 아주 성공적으로 채워주었습니다. 어떤 면에서 나 는 대단한 자신감을 가졌지만, 다른 면에서는 내가 아주 부족하다고 느끼기 시작했습니다. 한 가지 근 본적인 문제는 여자는 직업적 삶에 관해서는 이류 이며 따라서 무시당해야만 한다는 메시지를 내가 다소간 받아들였다는 것입니다. 나에게는 여자인 친구들이 없었으며, (여자로서) 지루하고 무미건조 하며 (남자로서) 진정 창의적이지는 않다고 생각하 며 자신의 지적 능력을 제대로 평가하지 않았습니 다. 이런 의미를 전달하는 많은 방법이 있었습니다. 남자들이 세상으로 나가는 동안 여자들은 집에서 불을 때워야 한다, 여자들은 시를 쓰는 시인이 아 니라 영감을 주는 뮤즈가 되어야 한다, 여자들은 수학자가 되기 위한 진실한 영혼이 없다, 등등. 그 리고 이것을 말하는 많은 방법이 여전히 있습니다. 최근 나의 페미니스트 친구들 사이에서 재미있는 편지가 돌고 있는데, 다른 과학 분야의 가장 가치 있는 무엇에 대해서라도 여자들이 무능한 존재로 인식되는 메시지를 담고 있는, 다양한 공통되고 모 순적인 편견들이 나열되어 있었습니다. 조금 뒤에 명확해진 다른 하나의 문제점은 내가 아주 적은 수학만을 배웠으면서도 그럭저럭 성공적 인 박사학위 논문을 써냈다는 것입니다. 내 논문은 폰 노이만 대수(von Neumann algebra)에 대한 것 이었고, 너무 특화된 주제여서 이후 나에게 실제로 의미가 있는 어떤 것과도 연관되지 않았습니다. 그 분야에서 더 이상 나아갈 길을 찾지 못했고, 그럼 에도 거의 아무것도 알지 못했습니다. 졸업의 마지 막 해에 모스크바에 도착했을 때, 겔판트(Gel fand) 는 다양체 상 벡터 장의 리 대수의 코호몰로지(the cohomology of the Lie algebra of vector field on a manifold)와 관련된 논문을 읽어보라며 던져 주었고, 나는 그 때 코호몰로지(cohomology)가 뭔지, 다양체(manifold)가 뭔지, 벡터 장(vector field)이 뭔지, 그리고 리 대수(Lie algebra)가 뭔지 전혀 몰랐습니다. 이런 무식함이 심각하게 전문화된 교육 체계에 어느 정도 책임이 있다고 할지라도, 내가 수학의 더 넓은 세계와 접촉하고 있지 않았다는 것에서 비 롯되었음 또한 사실입니다. 나는 본질적으로 두 개 의 분리된 삶을 이끎으로써, 여성이자 동시에 수학 5) [역자 주] 영국의 여성 수학자이며, 심플렉틱 기하학(symplectic geometry)과 위상수학의 발전에 기여했다. 최초 의 새터 상(Satter prize, 2년마다 뛰어난 여성 수학자에게 수여된다) 수상자이다. 1962년에 필즈상을 받은 존 밀 너(John Milnor)의 부인이기도 하다. 2014년 9월호 The Newsletter of the KMS 27

27 자로서 어떻게 공존할 수 있는지의 문제를 해결했 습니다. 내 소외감은 모스크바에서 되돌아오자 더 심각해졌습니다. 분야를 함수해석학에서 위상수학 으로 바꾸면서 거의 지도를 받지 못했고, 많은 질 문을 함으로써 무식하게 보일까봐 겁이 났습니다. 게다가 박사과정 후 연구자 신분(post-doc)일 때 아이를 가졌는데, 그러므로 현실적인 문제들과 대 처하는 것만으로도 너무 바빴습니다. 이 시기에 나 는 수학을 하는 과정을 전혀 이해하지 못하면서 수 학의 대부분을 글로만 배웠으며, 순진한 아이디어 를 가지고 스스로 자신에게 질문을 던져보고 시험 해보는 것이 필수적인 역할을 한다는 것을 깨닫지 못했습니다. 나는 또한 어떻게 경력을 쌓는지 알지 못했습니다. 좋은 일은 거저 일어나지 않습니다. 연구 장학금(fellowship)과 일자리를 지원해야 하 고 흥미로운 학회들에 계속 관심을 가져야 합니다. 그 모든 어려움에 대처하는 더 나은 방법들을 제시 해 줄 멘토가 있었더라면 분명 큰 도움이 되었을 것입니다. 아마 나에게 가장 필요했었던 것은 좋은 질문을 어떻게 던지는지 배우는 것이었습니다. 학생의 신 분에서는 다른 사람들로부터 제기된 질문에 대답할 수 있도록 충분히 공부하는 것뿐 아니라, 흥미로운 어딘가로 대화를 이끌 수 있는 질문을 구성하는 능 력을 배우는 것도 중요합니다. 새로운 것을 배울 때면, 나는 보통 다른 누군가가 이미 발전시켜 놓 은 복잡한 이론들을 사용하는 중간부터 시작하곤 했습니다. 그러나 흔히 사람들은 가장 단순한 질문 들과 예제들로부터 탐구를 시작합니다. 그것이 아 마 근본적인 문제를 이해하고 새로운 방법을 찾는 데 더욱 쉽기 때문입니다. 예를 들어, 나는 심플렉 틱 기하학(symplectic geometry)에서 공(ball)이 심플렉틱하게 조작될 수 있는 방법에 제약을 주는 그로모프의 압축 불가(Gromov s nonsequeezing) 정리를 언제나 즐겨 사용합니다. 가장 기본적이고 기하학적인 이 결과는 웬일인지 나에게 큰 감명을 주었고, 탐구를 시작하는 단단한 기반을 형성해 주 었습니다. 오늘날 사람들은 수학이 공동 노력의 결과물이 라는 것을 더욱 잘 알고 있습니다. 심지어 가장 찬 란한 아이디어도 전체와의 관계에서 그 의미를 찾 을 수 있습니다. 당신이 그 전체적인 맥락을 이해하 고 있다면 종종 혼자서 작업하는 것은 매우 중요하 고 가치가 있습니다. 그러나 그것을 아직 배우는 동 안에는 다른 사람들과 교류하는 것이 필수적입니다. 그런 의사소통을 촉진하기 위해 건물 구조를 바 꾸거나, 컨퍼런스나 미팅, 학과 단위 프로그램을 계획하고 또한 형식적이지 않은 세미나와 강연들을 여는 등 성공적인 시도들이 있었습니다. 고령의 수 학자가 졸거나 지루해하지 않고 그곳에 있는 모두 를 위해서, 내용을 명확하게 하고 토론을 전개하는 질문을 했을 때 세미나의 분위기가 어떻게 바뀌는 지 보면 놀라울 정도입니다. 흔히 사람들은(젊거나 늙거나 둘 다) 그들의 무지, 상상력의 부족, 혹은 다른 치명적 결함을 드러낼까 두려워서 침묵하게 됩니다. 그러나 수학과 같이 어렵고 아름다운 학문 앞에서, 우리는 모두 다른 이들로부터 배울 것이 있습니다. 이제 특정 이론의 세부 사항 뿐 아니라, 새로운 방향과 질문의 형성을 이루는 토론을 손쉽 게 할 수 있도록 구성된 많은 소규모의 훌륭한 학 회들과 워크숍들이 있습니다. 수학은 본질적으로 여성적이지 않다는 생각은 거의 없어졌지만, 그래도 어떻게 동시에 여자와 수 학자가 공존할 수 있는가는 여전히 고민해 보아야 합니다. 나는 여자들이 우리가 할 수 있는 것만큼 세상에 완전히 알려졌다고 생각하지는 않습니다만, 이제는 그저 예외로 일축되지는 않을 만큼 충분한 여성 수학자들이 있습니다. 주로 여성만을 위해 기 획된 미팅들에서 나는 예상치 못한 가치를 찾곤 합 니다. 수학을 토론하는 여자들로 강의실이 가득할 때 그 분위기는 사뭇 다릅니다. 더 나아가, 점점 잘 이해되듯 진짜 문제는 어떻게 젊은 누구라도 만 족스러운 개인의 삶을 영위하면서 여전히 창의적인 수학자가 될 수 있는가 하는 것입니다. 사람들이 이 문제를 진지하게 다루기 시작하면, 우리는 진정 으로 더 발전할 수 있을 것입니다. 28 대한수학회소식 제 157호

28 5. 피터 사낙 6) (Peter Sarnak) 나는 수 년에 걸쳐 상당히 많은 박사 과정 학생 들을 지도해 보았고, 아마 그것이 경험 많은 멘토 로서 이 글을 쓸 자격을 부여할 것입니다. 매우 총 명한 학생을 지도하는 것은(그리고 난 다행히 그런 기회를 공평하게 분배받았습니다) 단지 몇 개의 모 호한 의견들만 제시하면서 그에게 어떤 대략적인 영역의 금을 캐내라고 말하는 것과 비슷합니다. 자 신의 기술과 재능을 가지고 작업에 착수하면 그들 은 대신 다이아몬드를 캐냅니다(그리고 물론, 사후 에 내가 그렇게 말했잖니 라고 하는 유혹을 이겨 내진 못합니다). 이런 상황에서 그리고 대부분의 다른 경우들도 마찬가지지만, 선배 멘토의 역할은 코치에 가깝습니다. 격려해주고, 멘티가 흥미로운 문제를 고민하고 있는지 혹은 사용가능한 기본적인 도구들을 알고 있는지 확인하는 것 말입니다. 여러 해 동안 나는 유용한 것으로 밝혀진 어떤 의견들과 조언들을 반복해 왔다는 것을 깨달았습니다. 여기 에 그들 중 몇 가지의 목록이 있습니다. (i) 수학의 어떤 한 분야를 공부할 때, 당신은 현대 적인 접근 방식과 더불어 특히 그 분야의 대가 들의 논문과 같은 최초의 고전적인 문헌을 결합 해서 읽어야 한다. 특정 주제에서 최근의 사고 방식이 지니는 하나의 문제점은 그들이 지나치 게 매끄럽다는 것이다. 각각의 새로운 저자들이 한 이론의 더욱 똑똑한 증명이나 접근법을 발견 하면서, 통용되는 방식은 더 짧은 증명 을 가 지는 쪽으로 진화한다. 불행하게도 그것들은 보 통 초짜 학생들을 심사숙고하게 만드는 형태로 나타난다. 대개 어떻게 이런 걸 생각했지? 라 며 근원이 되는 출처로 돌아감으로써 당신은 그 주제가 아주 자연스럽게 발전했고, 어떻게 지금 의 현대적인 형식에 도달했는가를 이해할 수 있 을 것이다. (발명가의 천재성에 경이로워하는 것 외에 별다른 도리가 없는, 전혀 예상할 수 없이 뛰어난 단계들이 여전히 남아있기는 하지 만 당신 생각보다 그런 것들은 훨씬 적다.) 한 예로, 나는 때때로 학생들에게 많은 현대적인 묘사와 더불어 바일(Weyl)의 콤팩트 리 군 (compact Lie group)의 표현 이론(representation theory)과 그의 지표 공식(character formula) 유도에 관한 원래 논문을 읽어보도록 권장한다. 이와 비슷하게, 복소 해석학을 아는 상태에서 수학의 많은 분야에서 핵심적인 리만 곡면 (Riemann surface)의 현대적 이론을 배우려는 사람에게는 그의 책 The Concept of a Riemann Surface 를 권한다. 바일과 같은 최고 수학자의 작업 모음집을 공부하는 것 역시 교육적이다. 그들의 정리를 배우면서 당신은 그런 대가들이 어떤 식으로 사고했는지 밝혀낼 것이다. 거의 언제나 한 논문에서 다음 논문으로 넘어갈 때 자연스러운 생각의 흐름이 있으며, 어떤 발전은 오히려 불가피한 것으로 인정하지 않을 수 없 다. 이런 깨달음은 매우 큰 영감을 줄 것이다. (ii) 다른 한편, 심지어 그것들이 뛰어난 사람들로 부터 만들어졌더라도 당신은 신념이나 표준 가 설 에 대해 의문을 던져야 한다. 많은 표준 가 설들은 누군가 이해한 특별한 경우에 기반을 두 고 만들어졌다. 더 나아가, 그것들은 가끔 희망 사항에 지나지 않는다. 특별한 경우가 제시하는 전망과 전체적인 그림이 크게 다르지 않기를 바 라는 것이다. 나는 일반적으로 받아들여지는 결 과를 증명하려 시도했으나, 과연 정말 그것이 사실인지 심각하게 의문을 제기하기 전까지 전 혀 진전하지 못했던 상당한 연구자들을 알고 있 다. 이렇게 말하긴 했지만, 나 역시 리만 가설 과 같은 몇몇 특별한 가설이나 그것의 증명 가 능성에 대해 누군가 딱히 마땅한 이유 없이 회 의감을 내비친다면 짜증을 낼 것이다. 한 명의 과학자로서 (특히 수학자들이 발명한 인공적인 대상들에 대해서) 확실히 비판적인 태도를 보임 과 동시에, 우리의 수학적 세계와 무엇이 진실 6) [역자 주] 남아프리카 공화국에서 태어난 미국의 수학자이며, 정수론 및 그것과 연관된 해석학의 발전에 공헌했다. 정수론의 심오한 이론으로부터 조합론, 수리 물리학 등 다른 여러 분야에서 중요한 결과를 얻기도 했다. 2014년에 울프상을 받았다. 2014년 9월호 The Newsletter of the KMS 29

29 이고 무엇이 증명 가능한지 확고한 믿음을 갖는 것 역시 정서적으로 중요하다. (iii) 초등적인 것 과 쉬운 것 을 혼동하지 마라. 어떤 증명은 단연코 쉽지 않으면서 초등적일 수 있다. 실제로 수많은 정리의 예에서, 약간의 수 준 높은 이론이 증명을 더 이해하기 쉽게 만들 고 숨겨진 아이디어가 뭔지 드러내 주는 반면, 세련된 용어들을 사용하지 않고 초등적인 방법 만을 고수하는 것은 도대체 무엇을 하려는지 알 기 힘들게 한다. 이와 함께, 어려운 수학을 사 용하는 것을 결과의 질이나 주장의 살집(beef of an argument) (이런 상황에서 내가 명백히 즐겨 사용하는 이 표현 덕분에, 나는 많은 학생 들의 놀림을 받았다)과 동일시하는 것을 주의하 라. 몇몇 젊은 수학자들 사이에서는 고급스럽고 세련된 언어를 사용하는 것이 자신들의 연구가 깊이 있음을 나타낸다고 생각하는 경향이 있다. 어쨌거나, 현대적인 도구들은 그들이 정확히 이 해되고 새로운 아이디어와 결합하게 되면 정말 강력해진다. 특정 분야(예를 들면 정수론)에서 연구하는 사람들이 그런 도구를 배우는데 상당 한 시간과 노력을 들이지 않는다면, 그들은 자 신들을 불리한 입장으로 몰아넣는 것이다. 이는 단지 조각칼만을 가지고 빌딩을 파괴하려는 것 과 같다. 심지어 당신이 조각칼을 사용하는데 매우 숙련되어 있더라도, 불도저를 타고 있는 사람은 훨씬 더 유리하며 당신만큼 기술이 좋을 필요도 없을 것이다. (iv) 수학 연구를 하는 것은 대체로 절망적이며, 절 망에 빠지는 것에 당신이 익숙해질 수 없다면 수학은 당신의 이상적인 직업이 아닐 것이다. 수학자들은 대부분의 시간 동안 곤경에 빠져 있 으며, 만약 그렇지 않다면 당신은 예외적으로 천재이거나 혹은 당신이 시작하기도 전에 어떻 게 푸는지 알고 있던 문제를 다루고 있는 것이 다. 후자와 같은 연구들이 어느 정도 남아있기 는 하고 어쩌면 양질의 결과가 나올 수도 있지 만, 대부분의 엄청나게 획기적인 발전은 셀 수 없을 만큼 틀린 단계들과 오랫동안의 미약한 전 진, 아니 어쩌면 후퇴로 이루어진 힘든 과정을 통해 얻은 것이다. 수학의 이런 측면을 덜 고통 스럽게 만들어주는 여러 방법이 있다. 오늘날 많은 수학자는 공동으로 연구하며, 이는 문제를 다루는 서로 다른 전문 기술들을 활용할 수 있 다는 당연한 장점이 있을 뿐 아니라, 절망을 함 께 나눌 수 있도록 해준다. 대부분의 사람에게 이 효과는 매우 긍정적이다(그리고 수학에서는 절망과 대응하는, 비약적인 발전을 이루는 데서 오는 기쁨과 명성이 아직은 최소한 다른 과학 분야에서 벌어지는 것처럼 수많은 큰 싸움을 일 으키지는 않았다). 나는 보통 학생들에게 매 순 간 난이도가 다양한 범위에 있는 문제들을 손에 쥐고 있으라고 조언한다. 그렇지만 그중 가장 해볼 만한 것은 적어도 풀었을 때 만족감을 줄 수 있을 정도로는 어려워야 하며(그런 만족이 없다면, 무슨 의미란 말인가?) 운이 좋다면 다 른 사람들의 관심도 끌 수 있을 것이다. 그 후 에 당신은 가지고 있는 문제들의 범위를 더 도 전적으로 만들어 가야하고, 결국 그 목록에서 가장 어려운 문제들은 핵심적인 미해결 난제가 되어야 한다. 이것들을 오랜 시간 간헐적으로 고민해야 하며, 항상 다른 관점들로 바라보아야 한다. 자신을 매우 어려운 문제를 풀 가능성에 노출해서 언젠가 약간의 운을 쟁취할 수 있도록 하는 것은 중요하다. (v) 매주 당신 학과의 콜로퀴움에 참석하고, 주최 자가 좋은 연사들을 선정하길 기대하라. 수학을 넓게 아는 것은 중요하다. 다른 분야의 수학자 들이 만든 흥미로운 문제들과 발전들을 배움은 물론, 연사가 자신이 알던 것과 조금 다른 것을 말할 때 종종 당신의 머릿속에서 새로운 아이디 어가 떠오를 것이다. 또한, 당신이 연구하고 있 는 문제 중 하나에 적용할 수 있는 테크닉이나 이론을 배울 수 있을지도 모른다. 오랜 기간 정 체되었던 수많은 문제에 대해 최근에 이루어진 가장 경이로운 해법들은, 수학의 다른 분야에서 온 전혀 예상치 못한 아이디어들의 조합에서 나 왔다. KMS 30 대한수학회소식 제 157호

30 서평 수학 IN 음악 수학 IN 음악 신현용, 신혜선, 나준영, 신기철 지음 교우사, 쪽, 19,000원 ISBN : 우리 수학자들은 피타고라스를 직각삼 각형 세 변의 관계를 밝힌 피타고라스의 정리 를 만든 수학자 로 인식하지만 음악 계에서는 피타고라스 를 음계의 아버지 라 고 부른다. 르네상스 시대의 이탈리아 화가 라파엘이 그린 아테 네 학당 에도 피타고라스의 상징물로 직각삼각형 이 아닌 테트락틱스(Tetractys)가 그려져 있다. 피 타고라스 음계의 기본 원리를 나타내는 게 테트락 티스가 아니던가? 음의 높낮이를 수로 설명하려 시도한 것은 만물의 근본은 수 라 생각했던 피타 고라스다웠다. 그러고 보니, 테트락티스는 그의 상 징물로 손색이 없다. 우리가 탁월한 수학자로만 기억하는 오일러도 음악 이론 역사에 큰 족적을 남긴 것을 감안하면, 수학자는 기본적으로 음악가 인지도 모르겠다. 근래에 들어, 우리나라에서도 수 학과 음악을 주제로 한 훌륭한 글과 책이 이미 여 럿 발표되었다. 음악이 수학과 무관할 수 없으니 자연스럽고 바람직한 일일 것이다. 얼마 전 수학 IN 음악 이라는 책이 출간되었다. 수학자, 수학교육자, 음악이론가가 공저자로서 함 께 진지하게 집필한 것 같다. 수학의 어느 분야인 들 음악과 무관하겠냐마는 이 책은 특히 비례, 확 률, 무리수 등의 수학적 개념들이 어떻게 음악 이 론에 적용되는지를 이야기하고 있다. 이야기의 흐 름을 간략하게 설명하자면 피타고라스가 자연수 의 비례 로 소리의 원리를 정립하려 했으나 피타 고라스 콤마(Pythagorean Comma) 라는 난제를 만나 쉼표(comma)를 찍었고, 그 쉼표는 자그마치 2,000년간 유효하다가 오일러 등 수학자들의 비 이성적인(irrational) 인 수, 즉 무리수(irrational number) 의 도움으로, 음악 이론은 쉼에 마침표를 찍고 발전을 재개한다는 것이다. 창조를 위해 우 리는 때때로 미쳐야(irrational) 하나보다. 이 책의 초점은 대칭이론, 즉 군론(group theory) 에 맞춰져 있다. 군론을 활용하여 베토벤이나 브 람스의 음악을 분석하는 방법을 소개하고, 군론적 (group theoretic) 기법으로 간단한 음악을 작곡 하는 시도도 한다. 다행히, 이 과정에서 사용되는 군론의 수준이 그다지 어렵지 않아서 조금만 각색 하면 고등학교 영재교육 소재로도 충분히 활용할 수 있는 정도이다. 2014년 9월호 The Newsletter of the KMS 31

31 이 책의 큰 특징 중 하나는 QR-코드이다. 여러 개의 QR-코드를 활용하여, 책에 제시되지 않은 악보를 볼 수 있게 하거나 필요한 경우에는 음악 을 들을 수 있게 한 것이다. 저자들은 수학과 음 악의 밀접한 관계를 효과적으로 설명하기 위해 스 마트 환경을 적극적으로 활용하려고 시도한 것 같 다. QR-코드가 제공하는 데이터를 안정적으로 관 리하는 것은, 저자들에게 많은 수고를 지속적으로 요구할 테지만 유의미한 시도로 여겨진다. 이 책에서 한 가지 더 주목하고 싶은 것은 국악 에 대한 수학적 접근이다. 서양의 음악 이론은 피 타고라스 이래로 수학과 밀접하게 연계되어 오늘 에 이르렀다. 이에 저자들은 우리나라 전통 음악, 즉 국악은 조선의 산학과 밀접하게 연계되어 왔을 까? 가 궁금했던 것 같다. 그러나 이 문제는 결코 간단하지 않다는 것을 저자들은 실감하였다. 어찌 보면 그럴 수밖에 없어 보인다. 서양과 우리나라 는 산학(수학)과 국악(음악) 각각에 대한 자세와 철학이 많이 달랐기 때문이다. 그럼에도 저자들은 수학은 아름다움이고, 아름다움엔 항상 수학이 있 다면, 우리의 국악에도 수학이 있지 않을까? 라며 미련을 떨치지 못하는 것 같다. 이에 관한 저자들 의 성공담을 훗날에 기대해 본다. 이 책의 주된 독자는 수학교사라서 교실 현장에 서 도움이 될 만한 자료를 문제 형식으로 제공하 지만, 그것을 일일이 풀지 않아도 책의 전체 내용 을 이해하는 데에는 큰 문제 가 없다. 그리고 보 통의 수학 관련 책과는 달리 악보 등 그림이 많아 저자와 출판사는 상당한 수고를 한 것으로 보인다. 하지만 그림의 일부가 잘려 나간 경우(162쪽)를 비롯하여 몇몇 오자와 탈자가 발견된다. 또, 이 책 에서 사용하는 많은 음악 용어들은 수학(교육)자들 에겐 생소할 것 같다. 제2판에서는 각각의 음악 용어에 대한 설명을 기대해 본다. 아쉬운 면도 있지만 이 책의 출간은 반갑고, 또 다른 접근, 즉 다른 시각에서도 이런 책이 나오기 를 기대한다. 사실, 이 책은 이와 동일한 개념의 책 수학 IN 디자인 을 참고문헌으로 예고하고 있 다. 음악 못지않게 수학 이야기를 많이 할 수 있 는 분야가 디자인이므로 그럴듯한 기획으로 여겨 진다. 역시 반가운 마음으로 기대한다. 이러한 부 류의 책들을 통해서 수학이 타 분야, 더 나아가 일반에게 더 친밀하게 인식되어지기를 바라는 마 음으로 이 글을 맺는다. 김성숙 (배재대학교) KMS 서평 참여 안내 대한수학회에서는 국내에서 출판되는 수학관련 도서를 체계적으로 수집하고 관련 학자들의 서평을 소식지에 게 재함으로써, 국내 수학관련 도서의 출판을 널리 홍보하고 건전한 비평문화를 정착하는 데에 기여하고자 합니다. 회원 여러분은 여러 가지 방법으로 서평에 참여하실 수 있습니다. 1. 수학 관련 교재나 도서를 집필하시거나 번역하신 분께서는 2권을 학회로 보내 주십시오. 편집위원회에서 적절한 분에게 서평을 의뢰하고 나머지 한권은 학회 자료실에 보관하겠습니다. 2. 이미 서평이 실린 도서에 대한 저자 혹은 다른 이의 반론을 환영합니다. 3. 회원 여러분께서 강의에 사용하셨거나 읽으신 책에 대한 서평을 투고하실 수 있습니다. 이 경우, 책을 같이 보내주시면 서평과 함께 검토하고 책은 돌려 드리겠습니다. 4. 학회에 미리 연락을 주시면 투고요령을 보내드리겠습니다. 가급적이면, 권당 서평내용을 A4 용지 2매 이내로 해주시기 바랍니다. 5. 서평 원고는 학회 보내주시기 바랍니다. 대한수학회소식 편집위원회 32 대한수학회소식 제 157호

32 학회후기 제7회 MSJ-SI 참가후기 윤석범 (서울대학교) 일본수학회가 7년째 개최하고 있는 여름학교 (MSJ-Seasonal Institute)이자 2014 서울 ICM의 위성학회중 하나인 Hyperbolic Geometry and Geometric Group Theory 학회가 도쿄대학교에서 7월 30일에 시작하였다. 도쿄의 날씨는 매우 맑았지 만 무척이나 더웠었다. 학회가 열렸던 도쿄대학교 코마바 캠퍼스는 조그마한 지하철역 옆에 위치하고 있어 매우 한적하였다. 강의가 진행되었던 lecture hall은 이번 학회 참가인원인 200명을 수용하고도 남을 정도로 굉장히 넓고 쾌적하였다. 덕분에 아침 부터 오랜 시간 진행되었던 학회를 수월하게 들을 수 있었다. 7개의 칠판이 눈에 띄었던 강연장. 덕분에 효율적으로 학회가 진행되었었다. 앞서 말했듯 이번 학회는 많은 사람들이 참여하 여 매 coffee break 시간마다 수학을 토론하는 사 람들로 hall이 가득 차있었다. 혼자 온 나에게는 조 금 어색한 시간이었지만 그들로부터 수학에 대한 열 정을 다시금 배울 수 있었다. 학회는 일요일을 제외 한 6일간 진행되었으며 오전에는 series lecture로, 오후에는 단일 lecture로 진행되었다. 강의는 한 분 야에 치우치기보다 다양하게 진행되었다. 요즘 가장 이슈인 Right Angled Artin Group을 주로 강의하 였지만 동역학, 대수, 기하에 관한 역사까지 다양한 분야를 접할 수 있었다. 아직 실제적으로 연구를 시 작하기 전 단계인 나에게는 좀 더 의미 있는 시간이 라고 생각하였다. 전반적으로 강의들이 나에게 있어 조금은 어려웠었다. 물론 모든 series lecture들이 정의부터 시작하여 사전 지식이 없는 학생들을 위해 진행되었지만 매일 진행되는 lecture들을 소화하기 에는 날이 갈수록 벅찼었다. 그래서인지 비교적 쉬운 설명들로 진행해주셨던 서울대학교의 김상현 교수님 강의와 Euler의 일화를 이야기하면서 진행되었던 프 랑스 스트라스부르대학의 Athanase Papadopoulos 교수님의 강의가 기억에 남았다. 학회 참여를 통해 지식을 크게 넓히지 못한 것에 대해서는 많은 아쉬 움이 남지는 않았지만, 많은 전문가들이 있는 좋은 기회에 적극적으로 물어보고 대화를 했었으면 하는 아쉬움이 남았다. 이번 학회를 통해 현재 사람들이 관심 있고, 연구하는 분야에 대해 많은 survey가 되 었고 hyperoblic geometry, 더욱이 knot theory를 공부하는 학생으로서 어떤 공부가 필요한지 판단하 고, 미래의 academic plan을 세우는데 큰 도움이 되었다. 학문을 떠나서도 많은 생각을 하고 배운 일주일 있었다. 사실상 방학이 없는 대학원생에게는 조금은 여유롭게 심신을 정리할 수 있는 시간이었다. 속성 으로 공부해간 일본어로 짧지만은 않았던 일주일동 안 생활하면서 많은 사람으로부터 도움을 받았고, 특히 학회 시작 전부터 많은 신경을 써주었던 일본 수학회와 이런 기회를 제공해준 대한수학회에 큰 감 사를 표하고 싶다. KMS 2014년 9월호 The Newsletter of the KMS 33

33 기관소개 BK21 PLUS 서울대학교 창의인재양성 수리과학사업단 (BK21 PLUS SNU Mathematical Sciences Division for Creative Human Resources Development) 박종일 (서울대학교, 사업단장) 1. 사업단 개요 2. 사업단 교육부문 (1) 사업단 소개 및 비전 서울대학교 창의인재양성 수리과학사업단은 세계 적 수준의 학문 및 교육 후속세대를 양성하고, 세계 적으로 수학분야를 선도하는 창의적 연구 집단을 육 성하여 세계적 수준의 연구중심 대학원을 구축하며, 수학 관련 미래 산업을 이끄는 융합적 연구 집단을 창출하는 것을 목표로 한다. 또한, 국제적 시각과 견 고한 수학적 배경을 갖춘 경쟁력 있는 차세대 인력 양성을 위하여 국제학술대회 참가 및 개최, 해외 인 턴십 및 장단기 해외연수 파견, 해외 저명학자 초청 등 다양한 국제화 프로그램을 지속할 계획이다. BK21 플러스 사업이 종료되는 7년 뒤, 지식기반 사 회 및 수학 관련 미래 산업에 적극적으로 대응하는 전문지식과 국제적 역량을 갖춘 최고의 창의적 수학 자들이 배출될 것이다. (2) 사업단 구성 <표 1> 사업단 현황 참여교수 35명 참여대학원생(석사/박사과정) 149명(72/77) 신진연구인력 9명 (1) 교육 비전 및 목표 서울대학교 창의인재양성 수리과학사업단의 교육 비전과 목표는 세계 수학계를 선도할 최고 수준의 학자를 양성하고 21세기 지식기반 사회 및 수학 관 련 미래 산업을 이끄는 창조적이며 도전적인 인재를 양성함에 있다. 이를 위하여 다음과 같은 세부적인 실행계획을 추진한다. 가. 우리나라 수학계를 이끌어갈 차세대 리더로서 필 즈상 및 아벨상 수상자 수준의 세계적 석학 반 열에 오를 성장 잠재력이 있는 최고급 석 박사를 양성한다. 창의적 연구주제의 발굴 및 지원, 최 상위 논문 발표에 대한 포상 등 각종 프로그램 을 개발하여 뛰어난 성과들이 더욱 확대될 수 있도록 노력한다. 나. 21세기 수학분야의 중요 내용인 융합수학 분야 의 개발 및 난제를 해결할 수 있는 우수 연구자 를 집중 육성한다. 타 분야 부 지도교수 선택을 통한 융합 과제 연구, 논문자격시험 시 타 분야 주제 발표 의무화 등 획기적으로 제도를 보완하 여 심도 있는 융합 수학 지식을 갖춘 인재를 양 성한다. 34 대한수학회소식 제 157호

34 다. 세계 수학을 선도할 국제적인 경쟁력을 갖춘 수 학 인재를 양성한다. 이를 위하여 해외 석학의 집중 강연을 수시로 개최하고 참여대학원생들을 유수의 연구기관 및 대학에 파견하여 국제 석학 들과의 공동연구 환경을 조성한다. 라. 지식기반 사회에서 점차 확대되어 가고 있는 수 학 관련 산업에서 요구하는 고급인력을 양성한 다. 인턴십 파견, 산학 협력 교육 프로그램, 기 술동향 세미나, 산업체와의 공동 워크숍을 개최 하여 참여 대학원생들과 산업체에 근무하는 연 구원 및 공학자들과의 학술 교류를 활성화 한다. 이를 통하여 산업현장에서 도출된 문제를 조기 에 접하고 더 나아가 새로운 응용 융합수학을 창출한다. (2) 교육과정 구성 및 운영계획 서울대학교 수리과학부 대학원에서는 수학 전반에 걸쳐 학사과정에서 배웠던 핵심이 되는 과목들을 깊 고 폭넓게 배울 수 있고, 각 분야별 전문지식 및 최 신 연구 성과에 대한 지식을 얻을 수 있는 과목들이 개설되어 있다. 대학원 1학년 과정을 마치고 지도교 수를 정한 학생들을 대상으로 세부전공과 관련된 과 목 및 각 분야의 특강과목을 개설하여 최신 연구 성 과에 대한 지식을 얻을 수 있도록 하였다. 또한 현재 수리과학부 대학원 학생들에게 조교 활동을 장려함 으로써, 강의 경험 및 요령을 익힐 수 있는 기회를 마련하였다. 특히, 미적분학 연습 조교 세미나 과목 을 개설하여 대학원 학생들이 강의 요령이 부족하거 나 강의에 필요한 내용 숙지가 미흡한 경우에 대비 하고, 학부생들에게는 보다 나은 연습 강의를 제공하 고 있다. 서울대학교 수리과학부에서는 대학원 신입생 입학 전 교육과 대학원 1학년 기초 과목을 통해 대학원 과정의 기초학습 및 학부과정의 중요한 부분들을 정 리, 보충하여 학생들의 실력편차를 줄이기 위한 노력 을 계속할 것이다. 다양한 특강과목 개설 등을 통해 전문적이고 세부적인 전공수학을 접할 수 있는 기회 를 학부 및 대학원에 더욱 마련할 계획이다. 뿐만 아 니라 국제적으로 인정받는 초 우수 인재 양성을 위 한 방안으로 세계적인 석학을 초빙하여 집중강연을 지속적으로 실시하고자 한다. 또한 다양한 분야에서 창의적 능력을 발휘할 미래인재양성을 위해 금융수 학, 암호, 수치해석 및 프로그래밍 이외에도 여러 응 용 교과목을 개설하여 학생들이 더 많은 응용분야를 배우고 경험할 수 있도록 할 것이다. (3) 인력양성 서울대학교 수리과학부의 학부과정은 대한민국 최 우수 인재들의 집합소로서 서울대학교 내에서도 가 장 우수한 인재들이 몰려있으며, 이와 같이 뛰어난 학생들은 학부 과정을 거쳐 본 대학원에 진학하고 있다. 수리과학부 대학원 과정에는 서울대학교 학부 학생들뿐만 아니라 지난 3년간 평균 경쟁률이 2.5:1 을 상회할 정도로 전국에서 우수한 학생들이 지원하 고 있다. 한편, 2011년에는 석사 과정으로 입학하던 대부분의 대학원생을 석박사 통합과정으로 선발하면 서 보다 안정적으로 대학원생을 확보할 수 있는 터 전을 마련하였다. 그 결과, 서울대학교 수리과학부는 지난 3년간 석사 66명, 박사 37명을 배출(<표 2, 그 림 1> 참조>)하는 등 명실공히 우리나라 최고의 수 학인재를 양성하는 중추적인 역할을 해오고 있다. <표 2> 최근 석 박사 졸업생 수 현황 석사 박사 계 연 평균 66명 37명 103명 34명 <그림 1> 최근 3년간 대학원생 배출인력 현황 또한, 서울대학교 수리과학부는 지금까지 우수한 인재들을 꾸준히 확보해 왔던 것처럼 앞으로도 안정 2014년 9월호 The Newsletter of the KMS 35

35 적이고 지속적으로 확보해 나갈 것이며, 다음과 같이 대학원생에 대한 지원 계획을 유지, 확대하고자 한다. 펠로우십/ 장학금 지원계획 대학원생들을 위한 연구 환경 개선 및 생활지원 계획 대학원생들의 국제학술활동 및 국외 파견 지원 다양한 전공의 학술캠프 제공 해외석학 및 전문가 초청강연 (4) 교육의 국제화 세계적 수준의 교육 및 연구를 목표로 하는 서울 대학교 수리과학부는 국제적 시각과 견고한 수학적 배경을 갖춘 경쟁력 있는 차세대 인력양성 을 위하여 다양한 국제화 관련 프로그램(<그림 2> 참조)을 운 영해왔다. 본 사업단은 세계 유수 대학 및 연구소와 더욱 다 양한 학점교류 및 공동 학위제를 실시하는 등 협력 관계를 확대하여 대학원생들이 세계적 수준으로 도 약할 수 있는 기반을 마련하고자 한다. 또한, 장단기 해외연수, 인턴십 및 방문 연구를 권장하고 지원을 확대하여 해외 석학과의 공동연구 환경을 조성하며, 필즈상 수상자를 포함한 석학들의 초청강연을 지속 적으로 유치할 계획이다. 그리고 우수 외국인 대학원생 및 신진 연구자의 유치를 위해 글로벌 행정시스템을 구축하는 등 처우 개선 노력을 지속하고자 한다. <그림 2> 국제화 프로그램 3. 사업단 연구부문 (1) 연구 비전 본 사업단의 연구 비전은 세계적으로 수학분야를 선도하는 창조적 연구 집단의 육성 그리고 수학 관 련 미래 산업을 이끄는 융합적 연구 집단과 인재 창 출을 목표로 한다. 이를 위하여 다음과 같은 세부적 인 실행계획을 추진한다. 가. 사업단 연구자들을 적극 지원하여 세계적인 선도 적 연구 집단으로 육성하고, 연구진 간의 상호 교류를 확대하여 새로운 융합분야를 개발한다. 또한 필즈상급 세계적 석학을 채용, 활용하여 연 구 역량을 극대화한다. 나. 논문의 우수성 향상을 위하여 질적 평가와 보상 시스템을 개선, 강화한다. 또한 도전적 연구 주 제를 권장하는 지원 시스템을 개발하여 세계적 인 연구중심 대학원으로 도약한다. 다. 현 연구진과 해외 석학간의 공동연구, 석 박사 학 생의 장단기 해외 파견 및 공동 연구, 첨단 연구 를 선도하는 국제학회의 주도적 개최와 참여, 해 외 우수 대학 및 연구소와의 연구 협력을 통한 국제화를 강화한다. 라. 차세대 성장 동력의 기반이 되는 수학적 이론을 개발하고 산업계와의 활발한 교류를 통하여 새 로운 학제 간 융합수학 분야를 개척하는 등 창 의적 패러다임을 시도한다. (2) 연구진의 구성 본 사업단은 연구 분야별 4개의 사업팀으로 구성 되어 있으며(<표 3> 참조), 수리과학부에 조직되어 있는 대학원위원회, 교과과정위원회, 학부위원회, 기 획위원회를 활용한다. <표 3> 사업팀 구성도 제1사업팀 제2사업팀 선형 및 비선형 해석학적 구조 (Linear and Nonlinear Analytic Structures) 대수적 구조와 표현론 및 그 응용 (Algebraic Structures, Representation Theory and Their Applications) 36 대한수학회소식 제 157호

36 제3사업팀 제4사업팀 (3) 연구의 국제화 기하, 위상과 그 동력학적 구조 (Geometry, Topology and Their Dynamical Structures) 응용해석과 과학계산 (Applied Analysis and Scientific Computing ) 본 사업단의 참여 교수진들은 미국수학회 AMS Fellow와 2014년 세계수학자대회(ICM)에 여러 명이 초청연사로 초대되는 등 국제학회에서 그 우수성을 인정받았다. 또한, 참여 교수들은 국제학회 및 학술 회의에서 초청강연, 기조연설, 좌장 및 위원회 활동 등을 매우 활발히 하고 있으며, 다수의 국제 학술지 에서 편집위원 등으로 참여하고 있다. 서울대학교 수 리과학부는 세계적인 학문 중심지로 자리매김 하기 위해 국제적인 학술 교류에 많은 노력을 기울이고 있으며, 타 대학 또는 연구소와 공동으로 많은 수의 국제학회 및 학술회의를 서울대학교에서 개최해 오 고 있다. 참여 교수들은 세계 유수 대학의 석학들과 매우 활발히 공동연구를 진행하여 이를 바탕으로 공동 연 구 논문들을 발표하였으며, 그 수가 매우 많고 점점 증가하는 추세이다. 또한 해외 석학을 초빙하고, 외 국인 교수들을 새로 임용하는 등, 연구진을 국제화하 기 위해 노력하고 있다. 세계 유수 대학 및 연구 기관 과 상호 연구 협력을 진행해 왔으며, 국제연구 활동 강화를 위해 새롭게 교류 협정을 체결해 오고 있다. 4. 사업단 산학협력부문 SDS 등 기업체뿐만 아니라 국립수산과학원, 지식경 제부, 문화체육관광부 등 공공 기관의 중요 사업관련 다수의 산업체 과제를 수행하였다. 현재 중소기업과의 산학협력을 통하여 핵심 기초 기술 개발 및 상업 기술을 발전시키고 있으며, 수학 의 최적화 이론, 비선형 편미분 이론 등에 기반한 수 치 계산법을 이용하여 인체인식, 화재감시, 계측 알 고리즘에 최적화된 소프트웨어 등을 개발해오고 있 다. 이 같은 중요 산학협력의 결과는 영상, 암호, 수 치 계산, 금융 등에 대한 본 사업단의 기초연구 성과 에 기반을 두고 있다. 약 800회 이상 인용되는 수치 계산과 암호 관련 논문, 50회 이상 인용된 32편의 세계적인 응용 수학 관련 논문에서 확인할 수 있듯 이 본 연구단의 우수한 응용 기초이론은 산업 연계 기술 근간을 제공한다. (2) 산학협력 교류 현재 수리과학부는 콜로퀴움이나 여러 강연회를 통하여 산업체와의 교류를 하고 있다. 앞으로도 본 사업단은 산학협력 강연회를 개최하여 산업체 및 연 구소에 근무하고 있는 연구원들 및 공학자와의 학술 교류를 더욱 활성화하며, 이를 통하여 산업체에서는 산업기술에 필요한 지식을 조기에 습득하게 하고, 학 교에서는 산업 현장에서 도출된 문제를 조기에 접함 으로써 새로운 응용 수학 분야를 창출하는 기회를 얻도록 한다. 또한 강연회와 토론을 통해 서로의 공 통 관심사를 발견하고 산학과제 등 추가적인 산학협 력을 모색하고자 한다(<그림 3> 참조). <그림 3> 산학협력 교육 프로그램 실행 방안 (1) 산학협력 현황 본 사업단은 지난 2단계 BK21 사업에서 다양한 산업관련 수학(정보보호, 수치계산, 영상처리, 금융공 학, 양자암호 등)에 대한 심도 있는 연구를 바탕으로 산업체와의 적극적 협력 방안을 도모하여 왔다. 이는 영상기술, 암호기술, 기후예측 등 현 한국 사회의 핵 심 과제를 적극적으로 해결해왔으며 삼성전자, 삼성 2014년 9월호 The Newsletter of the KMS 37

37 (Proc. Lond. Math. Soc., 2013) Atanas Iliev 교수 On cubic hypersurfaces of dimensions seven and eight (Proc. Lond. Math. Soc., 2014) (2) 박사 졸업생들의 최근 해외기관 연구원 임용 5. 사업단 우수성 (1) 교수 우수 논문 김영훈 교수 Localizing virtual cycles by cosections (J. Amer. Math. Soc., 2013) 조철현 교수 Lagrangian floer potentials and crepant resoulutions for toric orbifolds (Comm. Math. Phys., 2014) 변순식 교수 -regularity for elliptic equations with measurable coefficients in nonsmooth domains (Comm. Math. Phys., 2014) 하승열 교수 Formation of phase-locked states in a population of locally interacting Kuramoto oscillators (J. Differential Equations, 2013) 이기암 교수 Regularity results for fully nonlinear parabolic integro-differential operators (Math. Ann., 2013) 김판기 교수 Parabolic Littlewood-Paley inequality for -type operators and applications to stochastic integro-differential equations (Adv Math., 2013) 강석진 교수 Geometric realization of Khovanov-Lauda-Rouquier algebras associated with Borcherds-Cartan data 미국 Univ. of Texas-Austin, Bing Fellow(Instructor) 싱가폴 Nanyang Technology Univ 독일 Univ. of Muenster 일본 Nippon Telecom and Telegraphy 영국 Imperial College of London 6. 사업단 주관 국제학술대회 및 국제교류 (1) 대학원생 해외 장기연수 프랑스 ENS de Lyon: 박사과정생 1명 프랑스 Institut Henri Poincare: 박사과정생 1명 미국 Institute for Mathematics and its Applications: 석사과정생 1명 (2) From Mechanics to Geometry 2014년 5월 26일부터 5월 29일까지 서울대학교 상산수리과학관에서 국제학술대회가 개최되었다. 제 4사업팀장인 하승열 교수가 조직위원으로 활동한 이 번 학회에서는 총 20명의 국내 외 연사가 강연을 펼 쳤다. KMS 38 대한수학회소식 제 157호

38 올림 피아드 지난 2014년 5월 24 일(토)에 개최되었던 제28회 한국수학올림피아드(KMO) 중등부 1차 시험 및 고등부 수행평가 문제와 남아프리카공화국 케이프타운에서 2014 년 7월 8일(화) 9일(수) 양일간 개최되었던 제55회 국제수학올림피아드(IMO) 시험 문제를 소개합니다. 제28회 한국수학올림피아드(KMO) 중등부 1차시험 문제 1. 숫자 1, 2, 3, 4, 5, 6이 하나씩 적혀 있는 카드 여섯 장이 있다. 이 중 다섯 장의 카드를 나열하여 만들 수 있는 다섯 자리 수 중 6의 배수의 개수를 구하여라. 2. 소수 p와 정수 x, y 가 4xy = p(p + 2x + 2y)를 만족할 때, p 2 + x 2 + y 2 의 값이 될 수 있는 수 중 가장 큰 것을 구하여라. 3. 실수 a, b, c가 다음 부등식을 만족할 때, 1 의 값을 구하여라. abc a 2 + 2b 2 + 2c 2 + b 2 c (abc + b + c) 4. 각 C 가 90 인 직각삼각형 ABC 가 있다. 변 AB 위의 점 M 을 중심으로 하고 두 변 AC, BC 와 모두 접하는 원의 반지름이 12이다. 변 AB 의 B 쪽으로의 연장선 위의 점 N 을 중심으로 하고 점 B 를 지나며 직선 AC 와 접하는 원이 직선 AB 와 만나는 점을 D ( B)라 하자. AM = 15일 때, 선분 BD 의 길이를 구하여라. 5. 집합 {1, 2, 3,..., 7}의 부분집합 중에서 연속한 4개의 수를 포함한 것의 개수를 구하여라. 6. 양의 정수 a, b, c가 a + b + c + 9 = ab + bc + ca를 만족할 때, abc의 값이 될 수 있는 수 중 가장 큰 것을 구하여라. 7. 다음 등식을 만족하는 정수의 순서쌍 (a, b, c)의 개수를 구하여라. (a 2 + b 4 + c 6 )(a 4 + b 6 + c 2 )(a 6 + b 2 + c 4 ) = 27a 4 b 4 c 4 8. 볼록사각형 ABCD 가 AB = 15, BC = 16, CD = 17, DA = 18 을 만족한다. 삼각형 ABC, BCD, CDA, DAB 의 무게중심을 각각 I, J, K, L이라 할 때, 사각형 IJKL의 둘레의 길이를 구하여라. 9. 삼각형 ABC 의 각 B 는 둔각이고 BC = 90이다. 변 AC 의 중점을 M 이라 할 때, 선분 BM 을 지름으로 하는 원이 직선 AB, BC 와 각각 점 K ( B), L ( B)에서 만난다. BL = 30, ML = 20일 때, 선분 AK 의 길이를 구하여라. (단, 점 L은 선분 BC 위에 있다.) 10. 평면 위에 평행한 서로 다른 10개의 직선이 주어져 있다. 10개의 직선을 더 그려서 만들 수 있는 삼각형의 최대 개수를 구하여라. (예를 들어, 아래 그림에서 삼각형의 갯수는 3이다.). 2014년 9월호 The Newsletter of the KMS 39

39 11. 다음 정수를 107로 나눈 나머지를 구하여라. ( 1 106! ) (단, 106! = ) 12. 총 합이 80인 10개의 실수 a 1, a 2,..., a 10 중 5보다 큰 수들의 합이 60일 때 의 최댓값과 최솟값의 차를 구하여라. a 1 + 2a a 내심이 I 인 삼각형 ABC 의 내접원이 변 BC, AC 와 접하는 점을 각각 D, E 라 하고, 삼각형 IBC 와 IAC 의 외심을 각각 U, V 라 하자. 점 D 가 선분 UV 위에 있고 선분 BV 와 변 AC 가 점 K 에서 만난다. BD = 32, KE = 18일 때, 삼각형 ABC 의 내접원의 반지름을 구하여라. 14. 갑과 을이 게임을 반복해서 한다. 어느 한 사람의 이긴 횟수가 진 횟수보다 3만큼 크면 그 사람이 우승하고 더 이상 게임을 하지 않는다. 예를 들어 을이 4승 2패인 상태에서 을이 다음 게임을 이기면 을이 우승한다. 0 승 0 패에서 게임을 시작하여 7 승 4 패로 을이 우승하는 경우의 수를 구하여라. 단, 각 게임에서 비기는 경우는 없다. 15. 양의 정수 m, n에 대하여 2m 2 + mn + 3n 2 이 1017의 배수일 때, m + n의 값이 될 수 있는 수 중 가장 작은 것을 구하여라. 16. 실수 x, y, z 가 0 x, y, z 30을 만족할 때, 의 값이 될 수 있는 수 중 가장 큰 것을 구하여라. xy 3y 2 xz + 5yz 2z 정수 (m )(m )이 어떤 정수의 제곱이 되도록 하는 양의 홀수 m 중 가장 작은 것을 구하여라. 18. 실수 a, b, c가 a + b + c = 0, abc 0을 만족할 때, ( 1 8abc a + 1 b + 1 c 의 값이 될 수 있는 수 중 가장 작은 것을 구하여라. 19. 숫자 1, 2, 3, 4, 5, 6 으로 만들 수 있는 7 자리 양의 정수 중 i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 에 대해 왼쪽에서 i 번째 자리의 숫자는 i + 1이하이면서, 숫자 1은 항상 짝수개씩 연이어 나타나는 것의 개수를 구하여라. 예를 들어 , , 은 세지만, , , 는 세지 않는다. 20. 삼각형 ABC 에서 변 BC 의 점 B 쪽으로의 연장선 위에 점 D 를 AB = BD 가 되도록 잡자. 각 C 의 외각의 이등분선이 직선 AD 와 점 K 에서 만나고, AK = AB + BC + CA이다. 변 AC 의 점 C 쪽으로의 연장선 위에 점 E 를 BC = CE 가 되도록 잡자. 직선 AD 와 삼각형 ABC 의 외접원의 교점을 L( A) 이라 할 때, 세 점 B, E, L이 일직선 위에 있다. CAB = x (0 < x < 180)라 할 때, x를 넘지 않는 가장 큰 정수를 구하여라. ) 3 제한시간 4시간 ; 문제 1 4번은 각 4점, 문제 17 20번은 각 6점, 나머지는 각 5점 <정답> (1) 120 (2) 017 (3) 016 (4) 280 (5) 020 (6) 012 (7) 009 (8) 022 (9) 052 (10) 570 (11) 051 (12) 720 (13) 024 (14) 081 (15) 565 (16) 075 (17) 205 (18) 054 (19) 065 (20) 대한수학회소식 제 157호

40 제28회 한국수학올림피아드(KMO) 고등부 수행평가 문제 1. 다항식 f(x)와 실수 a, b, c에 대하여 일 때, f(1) + a 2 + b 2 + c 2 의 값을 구하여라. f(x)(x 1) 20 = (x 2 + ax + 1) 30 + (x 2 + bx + c) 아래와 같은 2 6 격자의 각 칸에 1 또는 2 중 하나를 써 넣으려고 한다. 각 i = 1, 2, 3, 4, 5, 6에 대하여 i 번째 열의 두 수의 곱을 c i 라 할 때, c 1 + c 2 + c 3 + c 4 + c 5 + c 6 이 짝수가 되도록 하는 방법의 수를 구하여라. 3. 양의 정수 중 6의 배수가 아니고 2014 이하인 수들의 곱을 a라 하자. k 중 가장 큰 것을 구하여라.. a 가 정수가 되도록 하는 양의 정수 5k 4. 선분 AB 위에 AS = 3, SB = 4인 점 S 가 있다. XBS = AXS 를 만족하는 점 X 에서 직선 AB 까지 거리를 d라 할 때, d 2 의 최댓값을 구하여라. 5. 집합 {1, 2, 3,..., 8}의 부분집합 중에서 연속한 4개의 수를 포함한 것의 개수를 구하여라. 6. 최고차항의 계수가 1인 4차 다항식 f(x)가 을 만족할 때, f(1)의 값을 구하여라. f(2 n + 1) = 8 n + 1 (n = 1, 2, 3, 4) 7. 삼각형 ABC 의 세 변의 길이가 AB = 5, BC = 7, CA = 8 이다. 직선 AB 까지의 거리가 3 이고 직선 BC 까지의 거리가 2인 점이 여러 개 있다. 이러한 점들에서 직선 CA까지 거리의 총합을 x라 할 때, x 2 의 값을 구하여라. 8. 다음 조건을 만족하는 정수 n중 가장 큰 것을 구하여라. n은 정수의 세제곱이 아니며, n 2 은 ([ 3 n ]) 5 의 배수이다. (단, [x]는 x를 넘지 않는 가장 큰 정수이다.) 9. 내심이 I 인 삼각형 ABC 의 내접원이 변 BC, CA, AB 와 각각 점 D, E, F 에서 접할 때, 직선 EF 와 BC 가 점 J 에서 만나고 BJ = 100, CJ = 60 이다. 삼각형 ABC 의 한 방접원이 변 BC 와 점 K 에서 접하고, 직선 IK 가 변 CA 를 5 : 3 으로 내분하는 점 L 을 지난다. 삼각형 ABC 의 내접원의 반지름을 r 이라 할 때, r 2 의 값을 구하여라. 10. 한 변의 길이가 1인 정20각형 P 1 P 2 P 20 의 꼭짓점 다섯 개로 이루어진 오각형 중 모든 변의 길이가 2 보다 큰 것의 개수를 구하여라. (단, 두 오각형을 이루는 꼭짓점이 하나라도 다르면 다른 것으로 본다.) 11. 정수 (m + 164)(m )이 어떤 정수의 제곱이 되도록 하는 양의 홀수 m 중 가장 작은 것을 구하여라. 12. 모든 실수 x > 1에 대하여 부등식 x 100 ax 51 + ax 49 1 이 항상 성립하게 하는 실수 a 중 가장 큰 것을 구하여라. 13. 변의 길이가 모두 양의 정수이며 다음 조건을 모두 만족하는 육각형의 둘레의 길이의 최댓값을 구하여라. 2014년 9월호 The Newsletter of the KMS 41

41 (i) 내각의 크기가 모두 같다. (ii) 두 변이 평행하면 그 길이가 같다. (iii) 이웃한 두 변의 길이는 다르다. (iv) 넓이는 12 3 이하이다. 14. f(m) = 6 m 일 때, 분수식 20 n=1 x f(n) ( 1 x f(20n)) 1 x f(n) (x ±1) 을 간단히 하면 정수 계수 다항식을 얻는다. 이 다항식에서 x 의 계수를 구하여라. 15. 모든 m, n, k 0에 대하여 0 < a m+n+k 3 max{a m, a n, a k } 를 만족하는 임의의 수열 a 0, a 1, a 2, a 3,...에 대하여 a i1 + +i 201 max{a i1,..., a i201 } 이 가질 수 있는 값 중 가장 큰 것을 구하여라. (단, max{x 1,..., x l }은 x 1,..., x l 중 가장 큰 수이다.) 16. 양의 정수 m, n (m < n)에 대하여 m 이상 n 이하인 정수의 집합을 [m, n]이라 하자. 8 이하인 양의 정수 a 1, a 2, a 3, b 1, b 2, b 3 을 고를 때, a 1 < a 2 < a 3 을 만족하고, [a 1, b 1 ], [a 2, b 2 ], [a 3, b 3 ] 중 어느 것도 다른 것의 부분집합이 아닌 경우의 수를 구하여라. (단, a 1 < b 1, a 2 < b 2, a 3 < b 3 ) 17. 모든 1 x 1에 대하여 0 f(x) 1인 6차 다항식 f(x)에서 x 6 의 계수가 될 수 있는 수 중 가장 큰 것을 구하여라. 18. 각 A가 예각인 삼각형 ABC 에 대하여 각 B 의 이등분선이 변 AC 와 만나는 점을 D, 각 C 의 이등분선이 변 AB 와 만나는 점을 E 라 하자. 선분 DE 의 중점 F 에서 직선 AB 와 BC 에 내린 수선의 발을 각각 J 와 K 라 하면, AD = 30, F J = 12, F K = 20이다. DE = x일 때, x 2 의 값을 구하여라. 19. 수열 {a n }을 다음과 같이 정의한다. a 1 = 1, a n+1 = 1 2[a n ] a n + 1 (n 1) a 2014 = q p 정수이다.) (p, q 는 서로소인 양의 정수)일 때, p + q 의 값을 구하여라. (단, [x]는 x를 넘지 않는 가장 큰 20. 두 종류의 타일. 과. 을 겹치지 않게 배치하여 아래 모양을 만드는 방법의 수를 구하여라. 예를 들어,. 모양은 세 가지 방법으로 만들 수 있다.. 제한시간 4시간 ; 문제 1 4번은 각 4점, 문제 17 20번은 각 6점, 나머지는 각 5점 <정답> (1) 010 (2) 080 (3) 419 (4) 021 (5) 048 (6) 025 (7) 300 (8) 972 (9) 125 (10) 504 (11) 205 (12) 050 (13) 020 (14) 007 (15) 243 (16) 490 (17) 016 (18) 580 (19) 064 (20) 140 본 문제의 저작권은 대한수학회에 있습니다. 대한수학회의 허락 없이 문제의 전부 혹은 일부를 인쇄하거나 전자매체를 통하여 배포하는 것을 금합니다. 42 대한수학회소식 제 157호

42 제55회 국제수학올림피아드(IMO) 시험 문제 <2014 년 7 월 8 일, 화요일> 문제 1. 양의 정수로 이루어진 무한수열 a 0 < a 1 < a 2 < 에 대하여, 다음의 부등식을 만족하는 유일한 정수 n 이 존재함을 증명하여라 : a n < a 0 + a a n a n+1. n 문제 2. 정수 n 2 에 대하여, n 2 개의 단위정사각형으로 이루어진 n n 체스판 위에 n 개의 체스말이 놓여 있고 각각의 체스말은 단위정사각형 안에 놓여 있다. 체스판의 각 행과 각 열에 체스말이 정확히 하나씩 포함되어 있을 때, n 개의 체스말이 놓인 형태를 좋은 형태라고 부르자. 다음의 조건을 만족하는 양의 정수 k 의 최댓값을 구하여라 : (조건) 모든 좋은 형태에 대하여, 어떠한 체스말도 포함하지 않는 (k 2 의 단위정사각형으로 이루어진) k k 정사각형 블록이 존재한다. 문제 3. 볼록사각형 ABCD 에 대하여, ABC = CDA = 90 이다. 점 H 를 꼭지점 A 에서 대각선 BD 에 내린 수선의 발이라 하자. 변 AB 위의 점 S 와 변 AD 위의 점 T 에 대하여, 점 H 는 삼각형 SCT 의 내부에 있고, CHS CSB = 90, T HC DT C = 90 이다. 이때, 직선 BD 가 삼각형 T SH 의 외접원에 접함을 증명하여라. 제한시간 4시간 30분 ; 문항당 7점 <2014 년 7 월 9 일, 수요일> 문제 4. 예각삼각형 ABC 의 변 BC 위의 두 점 P, Q 가 각각 P AB = BCA, CAQ = ABC 를 만족한다. 직선 AP 위의 점 M, 직선 AQ 위의 점 N 에 대하여, 점 P 는 선분 AM 의 중점이고, 점 Q 는 선분 AN 의 중점이다. 두 직선 BM 과 CN 의 교점이 삼각형 ABC 의 외접원 위에 있음을 보여라. 문제 5. 임의의 양의 정수 n 에 대하여 케이프타운은행은 가치가 1 n 인 동전들을 발행한다. 그러한 동전들 유한개(가치가 다 다를 필요는 없는)의 모임에 대하여, 그 가치의 총합이 이하일 때, 이 모임을 가치의 총합이 1 이하인 100 개 이하의 소모임으로 쪼갤 수 있음을 보여라. 문제 6. 평면 위의 직선들이 어느 두 직선도 서로 평행하지 않고, 어느 세 직선도 한 점에서 만나지 않을 때, 그 직선들이 보편적으로 배치되어 있다 고 하자. 보편적으로 배치되어 있는 직선들은 평면을 여러개의 영역으로 쪼개고, 그 영역들 중 일부는 유한의 넓이를 갖는다. 이처럼 유한의 넓이를 갖는 영역을 그 배치의 유한영역 이라고 할 때, 다음을 증명하여라 : 충분히 큰 모든 n 에 대하여, n 개의 직선들로 이루어진 어떠한 보편적 배치에 대하여도, 최소한 n 개의 직선을 파란색으로 칠하되 그 배치의 어떠한 유한영역도 그 경계를 이루는 변들이 모두 파랗지는 않도록 칠할 수 있는 방법이 있다. Note : 만일 n에 대해서는 결과를 구하지는 못 하였으나 대신 c n 에 대한 결과를 구한 경우에는, 상수 c 의 값에 따라 부분 점수를 준다. 제한시간 4시간 30분 ; 문항당 7점 2014년 9월호 The Newsletter of the KMS 43

43 수학계 소식 화제의 뉴스 박형주 교수(포항공대), 한국인 최초 국제수학연맹 집행위원으로 선임 지난 2014년 8월 10일(일)~11일(월), 경주에서 개최된 제17차 국제수학연맹 총회(The 17th General Assembly of the International Mathematical Union, IMU GA 2014) 에서 박형주 교수(포항공대)가 한국인 최초로 국제수학연맹 집행위원으로 선임되었다. 박형주 교수는 2014년 8월 13일(수)부터 21일(목)까지 국제수학연맹(IMU)의 주최로 코 엑스에서 개최된 세계수학자대회(ICM) 조직위원장으로, 지난 2007년 7월부터 대한수학 회의 세계수학자대회 유치위원장을 맡아 지난 2009년 4월에 서울이 2014년 ICM 단일 개최후보도시로 추천되는데 주도적인 역할을 했다. 국제수학연맹은 세계의 수리과학의 발전을 위해 1919년 설립된 비영리 국제협력단체이 며, 회원국은 70여 개국이다. 국제과학이사회(International Council for Science) 회원 으로 수학의 국제적 협력을 촉진하고, ICM 및 수학 분야의 국제회의를 지원하며 관련 상의 수여, 개발도상국의 수학발전 및 교육을 지원하고 있다. IMU 집행위원회 (Executive Committee)는 IMU의 실질적 의사결정권을 갖는 기구로 IMU 회장 1인, 부 회장 2인, 사무총장 1인, 당연직의 전임회장 1인, 집행위원 6인 등 총 11명 위원으로 구성되어 있다. 제55회 제55회 국제수학올림피아드(IMO) 국제수학올림피아드(IMO) 종합 7위 7위 달성 달성 세계 수학 영재들이 겨루는 제55회 국제수학올림피아드(International Mathematical Olympiad)에서 한국대표단이 금메 달 2개, 은메달 4개를 받아 종합점수 172점으로 종합 7위의 성적을 거두었다. 제55회 국제수학올림피아드(IMO)가 총 101개국 560 명의 대표학생들이 참가한 가운데 7월 3일에서 13일 까지 남아프리카공화국 케이프타운에서 개최되었다. 이 기간 중 시험은 7월 8일~9일 양일간 치러졌으며, 채점은 10일~11일 이루어졌다. 우리나라는 서울과학고 3학년 김동률 군(18세)이 한 국 학생 중 처음으로 IMO에서 3년 연속 금메달을 수 상하는 쾌거를 이루었으며, 참가한 6명 학생 전원이 메달을 획득하여 중국, 미국, 타이완 등에 이어 7위 를 기록하였다. 이번 대회의 한국대표단 수상 내역 및 상위 입상국은 다음과 같다. 한국대표단 IMO AB: 김명환(서울대) 단 장: 송용진(인하대) 부 단 장: 김상현(서울대), 조철현(서울대) 참 관 인: 장재원(서울대), 최태영(한국과학창의재단) 대표학생: 김동률(서울과학고 3), 김민혁(서울과학고 2), 김재형(서울과학고 2) 송영근(서울과학고 2), 이산하(서울과학고 3), 조홍권(서울과학고 2) 수상자 명단 금메달(Gold medal) 은메달(Silver medal) 44 대한수학회소식 김동률(서울과학고 3) 김민혁(서울과학고 2) 김재형(서울과학고 송영근(서울과학고 이산하(서울과학고 조홍권(서울과학고 2) 2) 3) 2) 1위 2위 3위 4위 5위 6위 7위 8위 14위 중국 미국 타이완 러시아 일본 우크라이나 한국 싱가포르 북한 국가별 순위 201점(금5, 193점(금5, 192점(금4, 191점(금3, 177점(금4, 175점(금2, 172점(금2, 161점(금3, 154점(금1, 이하 생략 은1) 은1) 동2) 은3) 은1, 은3, 은4) 은2, 은4, 동1) 동1) 동1) 명예상1) 제 157호

44 제13회 중국여자수학올림피아드(CGMO) 한국대표 전원 금메달 수상 2014년 8월 10일(일)~14일(목) 중국 광동성 중산에서 개최된 제13회 중국여자수학올림피아드에 한국대표 4명이 참가 하여 전원 금메달을 수상하는 쾌거를 이루었다. CGMO는 기초과학에 진출할 여학생을 조기 발굴 및 육성하고, 수학 영 재들의 국제 친선 및 문화교류, 수학교육의 정보교환 등을 도모하기 위하여 대한수학회와 고등과학원이 공동으로 한국 대표단 선발 및 교육을 지원하였다. 대 회 명: China Girl s Mathematical Olympiad 2014 (CGMO 2014) 대회일시: 2014년 8월 10일(일)~14일(목) 대회장소: 중국 광동성 중산 참 가 팀: 38개팀 150여명(중국 국내팀 31개, 외국팀 7개) 한국대표단 단 장: 이정례(대진대) 부 단 장: 양서하(서울대 학부과정) 대표학생: 강지수(서울과학고 3), 김지수(서울과학고 3) 김보경(경기과학고 2), 양서연(서울과학고 1) 결 과 수상자 명단 금메달(Gold medal) 강지수(서울과학고 3) 김지수(서울과학고 3) 김보경(경기과학고 2) 양서연(서울과학고 1) 2014 ICM 조직위원회 활동 현황 1. ICM 성황리 폐막 나눔으로 희망이 되는 축제: 후발국에 꿈과 희망을 이라는 주제로 지난 8월 13일부터 9일간 총 122개국 5,217명의 등록자와 21,227명의 대중프로그램 참가자를 포함하여 총 27,359명이 참가한 2014 서울 ICM이 8월 21일 폐막식을 끝 으로 대단원의 막을 내렸다. 박형주 조직위원장의 대회사와 잉그리드 도브시 국제수학연맹(IMU) 회장의 환영사로 막을 올린 첫날 개막식에는 박근혜 대통령이 참석하여 필즈상, 네반리나상, 가우스상, 천상 등을 시상하였고, 축사를 통해 서 울 ICM에 참석한 각국의 수학자들을 환영하고 인류 문명 발전의 근간이 되고 있는 수학의 중요성을 강조하였다. 이날 개막식에는 국내외 수학계, 산업계, 언론계 등 각계 인사 4,000여 명이 참석하였고, 개막식은 EBS 채널을 통해 생중계 되었다. 국내외 많은 언론사가 이를 취재하기 위해 대회를 방문하여 9일간 국내매체에서만 423건의 뉴스 보도와 204건 의 주요 일간지 보도, 830건의 잡지 및 온라인 매체를 통한 보도가 이루어져 그 어느 때보다 뜨거운 호응과 열기로 가 득했다. <수학강국 도약 계기 마련> 이번 대회에서는 한국인 최초의 기조강연자 황준묵 교수(고등과학원)를 비롯해 강석진(서울대) 김범식(고등과학원) 김병한(연세대) 이기암(서울대) 하승열(서울대) 등 5명의 한국인 수학자가 초청강연자로 선정되는 등 한국 수학의 높아진 위상을 확인할 수 있었다. 5회의 수상자 강연, 9회의 칭송강연 및 특별강연, 19회의 기조강연, 188회의 초청 강연 외에도 657회의 일반발표 및 400회의 포스터발표를 포함하여 총 1,278회의 연구결과가 소개되어 최근의 수학 발전을 엿볼 수 있는 장이 마련되었다. <개발도상국 수학발전 지원 확대> 이번 대회는 원활한 학술 프로그램의 운영뿐만 아니라 개발도상국 지원 확대 수학 대중화 강화 등으로 역대 어떤 대 회보다 성공적이었다는 평가를 받고 있다. 나눔 2014 초청 프로그램을 통해 남미, 동남아시아, 동유럽, 아프리카 등 85개국 662명의 수학자가 한국을 찾았고, 국제수학연맹(IMU)은 한국의 나눔(NANUM) 프로그램을 계기로 개발도상 국 수학발전에 대한 메나오(MENAO Mathematics in Emerging Nations: Achievements and Opportunities) 심포 지엄을 개최하고 연구장학금을 제정하는 등 개발도상국과 동반성장할 수 있는 계기를 마련했다. 2014년 9월호 The Newsletter of the KMS 45

45 영예의 수상자 ICM의 꽃이자 하이라이트인 필즈상 시상식에서 필즈상 제정 후 78년 만에 최초의 여성 수상자(마리암 미르자카니 미국 스탠포드대학교 교수)와 제3세계 박사학위 수상자(아르투르 아빌라 프랑스 국립과학연구소 석학연구원)가 배출되어 ICM 에 새로운 역사를 썼다. 올해 필즈상 수상자는 총 네 명으로 만줄 바르가바 미국 프린스턴대학교 교수와 마틴 헤어러 영국 워릭대학교 교수가 함께 수상의 영예를 안았다. 네반리나 상은 수브하시 코트 미국 뉴욕대학교 쿠랑연구소 컴퓨터 학과 교수가, 가우스 상은 스탠리 오셔 미국 UCLA 교수가, 천 상은 필립 그리피스 미국 프린스턴대학교 고등연구원 명 예교수가, 그리고 대중에게 수학을 널리 알린 사람에게 수여하는 릴라바티 상은 저널리스트 및 평론가로서 활발히 수학 의 대중화 노력을 펼쳐온 아드리안 파엔자 아르헨티나 부에노스아이레스대학교 교수가 수상하였다. 릴라바티 상을 제외 한 나머지 상은 8월 13일 개막식에서 발표 및 수여되었으며, 릴라바티 상은 8월 21일 폐막식에서 수여식을 가졌다. 3. 수학문화행사 8월 13일 열린 제임스 사이먼스 박사의 대중강연과 8월 20일 열린 릴라바티 상 수상자 아드리안 파엔자 교수의 대중강 연에는 각각 4,500여명과 1,000여명의 일반대중 참가자가 참여했다. 8월 19일 열린 수학영화상영회에서는 약 1,630명의 수학자 및 일반대중을 대상으로 프랑스 다큐멘터리 영화 나는 어 떻게 수학을 싫어하게 되었나(How I Came to Hate Maths) 를 상영하고, 2010 필즈상 수상자이자 영화 실제 등장인 물인 세드릭 빌라니 프랑스 앙리푸엥카레연구소 소장이 직접 영화를 소개하고 영화 상영 후에는 장피에르 부르귀뇽 유 럽연합 산하 유럽연구이사회 의장과 전 오버볼파흐 독일수학연구소 소장인 거트마틴 그로이엘 등 유럽의 저명한 수학자 들이 패널로 참석하여 청중들과 질의응답 시간을 가졌다. 유창혁 9단, 이창호 9단 등 세계적인 바둑국수와 수학자들의 지도다면기와 바둑강연, 바둑 이벤트에도 800명이 참가하 는 성황을 이뤘다. 독일 오버볼파흐 연구소가 개발하여 전 세계 120여 개국에서 순회전시한 수학체험프로그램인 이매지 너리 전시관을 포함한 대중전시관에는 사전참가신청과 현장접수를 통해 13,275명의 학생 및 일반인이 방문하였다. ICM의 문화프로그램에 총 21,227명의 일반 참가자 수를 기록한 것은 역사상 유례가 없는 일로 평가된다. 4. 주관방송사 EBS 방송 홍보 양질의 방송 콘텐츠 확보를 통한 대회 홍보효과 극대화를 위하여 EBS를 서울 ICM 주관방송사로 선정하고 7월 17일 정 부과천청사에서 협약식을 가졌다. EBS는 서울 ICM의 성공적인 개최와 수학 저변 확산을 위해 조직위원회와 긴밀하게 협력하고, 8월 4일부터 21일까지 18일간을 수학 대중화 주간으로 지정하여 수학다큐멘터리 등 다양한 수학 관련 콘텐츠 를 집중 편성하였다. 개막식 특집 생방송과 대중강연 특별기획을 포함한 주요행사 중계방송 및 대회 관련 보도 영상을 통해 일반대중에게 수학 및 서울 ICM에 대한 이해와 접근 기회를 확대하였다. 5. 서울 ICM 현장 소식 서울 ICM 기간에는 주요 상 수상자와 특별초청연사 등의 인터뷰와 행사장 곳곳의 이야기를 사진과 글로 담은 데일리 뉴스 Math&Presso 를 배포하여 대회 참가자들에게 현장 소식을 발 빠르게 전했다. 또한 서울 ICM 공식홈페이지 ( 유튜브 채널( 개막식 등 주요 공식행 사와 학술강연 VOD 다시보기 서비스를 제공하고 있다. 행사 주요사진은 홈페이지와 페이스북( com/seoulicm2014)에서 확인할 수 있다. 6. ICM 집행위원회 회의 및 ICM 점검워크숍 개최 6월 27일 개최된 제21차 집행위원회 회의에서는 개막식 및 주요강연 중계방송과 지상파 보도를 위한 EBS의 주관방송 사 선정 건이 확정되었으며, 수학대중화 프로그램의 등록 참여를 증대하기 위해 해당 등록 대상을 일반 대중으로까지 그 범주를 확장하는 방안이 의결되었다. 7월 11일 개최된 제22차 회의에서는 조건부 승인된 1개의 위성학회가 최종승인 을 받음에 따라 총 51개(국내 35개, 국외 16개)의 위성학회가 최종 승인되었다. 7월 25일에는 제23차 회의가 개최되어 제2차 ICM 점검회의를 앞두고 그 일정이 검토되었으며, 대회 기간 위원회별 추가 업무의 효율적인 진행을 위한 겸임 및 초청위원 임명 안이 검토되었다. 8월 1일 고등과학원에서 개최된 ICM 점검워크숍에서는 각 전문위원회의 대회 준비 현황 보고와 실행계획에 대한 총체적인 세부검토가 이루어졌다. 학회소식 학회 활동 2013년도 대한수학회지(JKMS) 및 대한수학회보(BKMS) SCI Impact Factor 순위 발표 대한수학회지(Journal of the KMS)의 2013년도 IF는 0.415로, 299개 저널 중 227위를 차지하였고, 대한수학 회보(Bulletin of the KMS)의 2013년도 IF는 0.448로, 299개 저널 중 212위를 차지하였다. 다음 표에서 볼 수 있듯이 저널의 전체적인 영향력을 보 여주는 여러 가지 다른 요소들의 전체 등위는 다음과 같다. 46 대한수학회소식 제 157호

46 Abbreviated Journal Title 대한수학회지 (JKMS) 대한수학회보 (BKMS) {2013} Total Cites Impact Factor Year Impact Factor Immediacy Index {2013} Articles Cited Half-Life Eigenfactor Score* Article Influence Score * (회지-Journal of KMS) 2012년 IF: 0.323(258/296) 2011년 IF: 0.223(275/288) 2010년 IF: 0.464(192/277) 2009년 IF: 0.374(206/251) 2008년 IF: 0.339(185/214) 2007년 IF: 0.171(199/207) 2006년 IF: 0.327(143/186) * (회보-Bulletin of KMS) 2012년 IF: 0.388(233/296) 2011년 IF: 0.244(271/288) 2010년 IF: 0.37(229/277) 2009년 IF: 0.272(237/251) * Eigenfactor Score(EF): A measure of the overall value provided by all of the articles published in a given journal in a year. 참고로 다른 요소의 전체 등위는 다음과 같다. 1 5-Year Impact Factor: 회지(232/299), 회보(214/299) 2 Immediacy Index(즉시성): 회지(146/299), 회보(185/299) 3 Eigenfactor Score: 회지 (178/299), 회보(187/299) 4 Article Influence Score: 회지(240/299), 회보(253/299) 올해 IF가 향상된 것은 회장단과 학술지 편집장 및 편집위원들의 수고와 노력에 의한 것입니다. 그 분들 의 노고에 감사드리며, 앞으로 더욱 분발하여 대한수 학회 학술지의 수준을 높이도록 노력하겠습니다. 또 한, 회원 여러분께서 대한수학회 학술지에 보내주신 관심과 애정에 감사드리며, 앞으로도 좋은 논문을 많 이 투고하여 주시기 바랍니다. -대한수학회 학술지 편집위원회 2014년도 WISET-KMS 젊은 여성 연구자상 수상자 발표 대한수학회와 한국 여성과학기술인지원센터(WISET)가 젊 은 여성과학기술인들의 연구의욕을 제고하고 지속적인 연구를 격려하고자 제정한 WISET-KMS 젊은 여성 우 수연구자상 수상자를 다음과 같이 선정하였다. 시상식은 이번 정기총회에서 있을 예정이며, 수상자에게는 상장과 연구장려금 50만원이 지급된다. [수상자] 김연진 박사(카이스트 수리과학과) 이영애 박사(Center for Advanced Study in Theoretical Science, Nat l Taiwan Univ.) 이은주 박사(고등과학원 수학부) [기초과학학회 협의체] 문 이과 통합을 위한 교육과정 개정에 대한 의견서 교육부에 전달 (5. 29 / 7. 4 / 8. 18) 2015 수학, 과학 교육과정 개정안 세미나 개최 (8. 22) 지난 8월 22일 한국과학기술회관 소회의실 3에서 수학, 과학 교육과정 개정안에 대한 기과협 세미나가 개최되었 다. 박경미 교수(홍익대)가 문 이과 통합형 수학과 교육 과정 개정 연구의 추진 경과 및 쟁점 을, 송진웅 교수 (서울대, 과학과 재구조화 연구과제 책임자)가 창의융합 형 인재 양성을 위한 통합형 과학과 교육과정 (안) 에 대하여 발표하였다. 기과협 교육과정 대책위원회 구성 위원장: 김명환(서울대 수리과학부 교수, 기과협 회장) 위 원: 정진수(충북대 물리학과 교수) 이덕환(서강대 화학과 교수) 조진원(연세대 생물학과 교수) 김찬종(서울대 지구과학교육과 교수) 이종우(광운대 수학과 교수, 기과협 간사) 창조경제시대의 미래인재양성교육 국민대토론회 개최 (9. 3) 수학과 과학교육의 강화를 통한 국가경쟁력 제고를 위해 공감대 형성과 이슈 확대의 장을 마련하고자 9월 3일, 여의도 중소기업중앙회 그랜드홀에서 국민대토론회를 개 최하였다. 토론회는 현재 진행중인 문 이과 통합형 교육 과정 개정 작업에서 과학계의 의견을 교육부가 단순히 과학 시수 확대를 위한 이기주의적 요구라고 무시하고 있어 준비되었다. 이번 토론회는 기초과학학회협의체 주 관, 한국과학기술한림원 외 10개 과학기술단체의 공동주 최로 개최되었으며, 황우여 교육부 장관, 설훈 국회 교문 위 위원장, 윤종록 미래창조과학부 2차관이 참석하였다. 기조연설을 한 정운찬 전 총리는 경쟁이 점점 치열해지 는 세계화 시대에는 언어, 수학, 과학이 학생에게 필요한 핵심지식이라 지적하며, 특히 수학, 과학 교육의 중요성 을 강조하였고, 국가교육과정에는 반드시 가르쳐야 할 것 을 분명하게 밝히고, 이를 가르치는 것이 어른과 국가 의 책임이며, 이를 위해 사회의 다양한 요구를 적극적으 로 수용해야 한다고 주장하였다. 기초과학학회협의체 교육과정 대책위원인 정진수 교수(충 북대)는 현황발표에서 어른들의 잘못으로 학생들의 행 복 이 사라진 마당에, 국가교육과정이 또 다시 졸속으로 개정되어서는 안 된다고 말하며, 과학계의 요구사항을 밝 혔다. 교육과정 개정 관련 성명서 발표 (조선일보 지면광고 9. 3 / 동아일보 지면광고 9. 26) 미래를 위한 국가교육과정 개정의 방향 토론회 - 무엇을 어떻게 가르칠 것인가? 개최 (9. 23) 미래를 위한 국가교육과정 개정의 방향 토론회가 9월 23 일 국회 의원회관 제2소회의실에서 열렸다. 토론회는 기 초과학학회협의체 외 20여개 과학기술단체가 주최하고, 국회 법사위원장 이상민 의원실과 한국과학기술단체총연 회의 주관으로 열렸다. 주제발표자인 이덕환 교수(서강 2014년 9월호 The Newsletter of the KMS 47

47 대)는 교육부가 과학기술에 대한 인식이 부족한 상태에서 교육학자 중심의 폐쇄적인 문이과 통합작업을 진행했다 고 지적하였다. 지정토론에서는 교육계, 과학기술계, 인 문사회계, 현장교육계, 언론계에서 각각 토론자가 나와 교육과정 개정에 대하여 열띤 토론을 벌였다. 회장단 동정 IMO AB (7. 1~7. 14) 기과협 회장단 등 황우여 교육부 장관 내정자 방문, 교육 과정 개정 중단 요청 (7. 25) 교육과정 개정 반대 과학기술계 조찬모임 (7. 31) 서울 ICM 2014 최종 점검회의 (8. 1) 학술단체총연합회(학총) 이사회 (8. 22) 교육과정 개정 미래부-교육부 회의 (9. 2) 기과협 교육과정 대책위원회 발족 모임 (9. 4) 교육과정 대책위 국가과학기술자문위 박상대 부의장 방문 (9. 11) 기과협 교육과정 대책위원회 (9. 13) 기과협 교육과정 대책위 국가과학기술자문위 지원단장 방문 (9. 16) 기과협 교육과정 대책위 청와대 양성광 과학기술비서관 방문 (9. 17) After ICM 후속사업을 위한 미팅 (9. 17) 기과협 교육과정 대책위원회 (9. 26) 한국과학창의재단 수학교육 종합계획 자문위원회 참석 (9. 30) 회의 개최 임시 총무단 회의 (7. 8) 2014년도 제13차 총무단 정례회의 (7. 17) 2014년도 제14차 총무단 정례회의 (7. 24) 2014년도 제15차 총무단 정례회의 (8. 4) 2014년도 제16차 총무단 정례회의 (8. 29) 2014년도 제5차 이사회 (8. 29) 1 대한수학회상 심사위원회 구성 2 편집위원 위촉 동의 년 가을 연구발표회 준비 4 기타 한국수학올림피아드 2014년도 가을학기 통신강좌 실시 제24기 한국수학올림피아드 여름학교 입교생을 대상으로 실시하는 가을학기 통신강좌를 2014년 9월 4일(목)~11 월 6일(목), 총 8주간의 과정으로 진행하고 있다. 통신강 좌는 대한수학회의 한국수학올림피아드(KMO) 홈페이지 와 우편물을 통하여 진행되며, 진행방법은 다음과 같다. 매주 주요정리와 관련문제가 KMO 홈페이지 게시판에 게 시되고 같은 내용을 각 학생들에게 우편으로 우송하면 각 학생들은 주어진 문제를 풀어 우편, Fax 또는 이메일 등을 통하여 제출한다. 제28회 한국수학올림피아드(KMO) 2차시험 실시 예정 제28회 한국수학올림피아드 2차시험이 2014년 11월 2일 (일) 전국 6개 대학(서울대, 건국대, 충남대, 전남대, 부 산대, 경북대)에서 실시될 예정이다. 응시대상은 제28회 한국수학올림피아드 고등부 1차 교육 및 수행평가 성적 우수자, 중등부 1차시험 성적우수자와 한국수학올림피아 드위원회에서 추천한 학생들이며, 이 시험의 성적우수자 를 선발하여 2015년 제28기 한국수학올림피아드 겨울학 교(1월 예정) 및 28회 최종시험(3월 예정)을 실시할 예 정이다. 송용진 교수(인하대) 국제수학올림피아드 Advisory Board (IMO AB) 위원 선출 이번 제55회 국제수학올림피아드(IMO)에서는송용진 단장 (인하대)이 IMO AB (Advisory Board) 위원으로 선출되 었다. IMO의 의사결정기구인 IMO위원회는 참가국 단장 들의 투표로 결정되며, 회장(Geoff Smith), 총무(Gregor Dolinar) 및 선출직인 3명의 IMO AB(송용진, Rafael Sánchez, Nazar Agakhanov)위원, 당연직인 4명의 위원 (개최국 조직위원장)으로 이루어져 있다. 임기는 4년이다. 공지사항 년도 개인회비 및 대의원회비 납입 안내 2014년 9월 29일 현재 2014년도 회비납부 상황은 개 인회비 911명, 대의원회비(단체회비) 42개교입니다. 아직까지 회비를 납부하지 않은 회원이나 대의원께서 는 빠른 시일 내에 무통장입금, 은행지로 또는 온라인 으로 납부하여 주시기 바랍니다. 한국씨티은행 (예금주: 대한수학회) 우체국 (예금주: 대한수학회) 신용카드 결제: 회원로그인 년도 대한수학회 대의원회 개최 안내 1 일자: (토) 2 장소: 연세대학교 과학관 자세한 사항은 추후 홈페이지를 통해 공지 예정 48 대한수학회소식 제 157호

48 년도 대한수학회 정기총회 개최 안내 1 일시: (토) 16:30 2 장소: 연세대학교 과학관 111호 4. 제33회 전국 대학생 수학경시대회 개최 안내 1 일시: 11월 15일(토) 2 장소: 전국 6개 대학 자세한 사항은 추후 홈페이지를 통해 공지 예정 회원동정 1. 신임교수 서이혁 성균관대학교 수학과 조교수 조화해석학 Ph.D.(서울대) 조진환 국가수리과학연구소 책임연구원 (수원대학교에서 전임) 위상수학, 응용수학 Ph.D.(카이스트) 덕성여자대학교 수학과 조교수 대수학 Ph.D.(Emory Univ) 승진 및 보직발령 윤주한(충북대): 교수, 충북대 사범대학장 겸 교육대학원 장, ~ 이상준 내한 수학자 성균관대학교 Matthieu Josuat-Vergès(Univ. of Paris in Marne-la-Vallee, 프랑스) 전공분야: Combinatorics 체재기간: 10. 2~ 초청교수: 김장수(jangsookim@skku.edu) 강연일시: 포항공과대학교 Marco Fontelos(ICMAT, 스페인) 전공분야: Partial Differential Equations and Fluid Mechanics 체재기간: ~ 초청교수: 황형주(hjhwang@postech.ac.kr) Jean-Pierre Serre(CNRS, Collège de France, 프랑스) 전공분야: algebraic topology, algebraic geometry, and algebraic number theory 체재기간: ~ 초청교수: 최영주(yjc@postech.ac.kr) 세미나 & 학술회의 IMA-NIMS Joint Workshop on Math in Industry 일자: ~ 장소: 국가수리과학연구소 주관교수: 박형주(alanpark@postech.ac.kr), Richard Braun (IMA), Carlos Tolmasky(Univ. of Minnesota Twin Cities) 홈페이지: 한국여성수리과학회 차세대 여성수학자 커리어 리더스 포럼 일자: 장소: 고등과학원 홈페이지: p-진 호지 이론에 관한 겨울학교 (GL_2상의 Brueil-Mezard 추측) 일시: ~1. 16 장소: 고등과학원 주관교수: 배성한(shbae@kaist.ac.kr), 최도훈(choija@ kau.ac.kr), 최윤서(y-choi2@kias.re.kr), Shin Hattori (Kyushu Univ.), Yuichiro Taguchi(Kyushu Univ.) 강연자: Naoki Imai(Univ. of Tokyo), Stefano Morra (Univ. of Toronto), Yoshiyasu Ozeki(RIMS), Chol Park(Max Planck Institute for Mathematics), Seidai Yasuda(Osaka Univ.) 홈페이지: The 9th ILJU School of Mathematics - Banach Spaces and Related Topics 일자: ~2. 6 장소: 포항공대 주관교수: 최윤성(mathchoi@postech.ac.kr) 홈페이지: ead.php?id= 년 9월호 The Newsletter of the KMS 49

49 2014년도 대한수학회 정기총회 및 가을 연구발표회 일 시: (금)~10. 25(토) 장 소: 연세대학교 과학관(서울) 홈페이지: 1. 일정 10.24(금) 17:00~18:00 60분 Open KIAS 대중강연 박형주 교수 08:40~16:40 등록 09:00~10:30 90분 신진연구자 연구발표 (Slot A) 10:30~10:40 10분 휴식 10:40~12:10 90분 신진연구자 연구발표 (Slot B) 12:10~12:20 10분 단체사진 촬영 12:20~13:40 80분 중식 10.25(토) 13:40~15:10 90분 신진연구자 연구발표 (Slot C) 15:10~15:20 10분 휴식 15:20~15:30 10분 개회식 15:30~16:20 50분 Open KIAS 기조강연 기하서 교수 16:20~16:30 10분 휴식 16:30~17:30 60분 대한수학회상 시상식 및 정기총회 17:30~19:30 120분 연회 상기 일정은 변동될 수 있습니다. 2. 초청연사 (1) Open KIAS 기조강연 기하서(연세대) Zeros of L-functions (2) Open KIAS 대중강연 박형주(포항공대, 국가수리과학연구소 수학원리응용센터) 세상을 바꾸는 수학 3. 프로그램 (10.25(토)) Session Code 명칭 주관교수 Slot A Slot B Slot C 09:00~ 10:30 10:40~ 12:10 AL 대수학 Algebra 이용남(카이스트) O O O AN 해석학 Analysis 계승혁(서울대) O O O GE 기하학 Geometry 박정형(성균관대) O O TO 위상수학 Topology 박종일(서울대) O O PS 확률 및 통계학 Probability and Statistics 지운식(충북대) O AM 응용수학 Applied Mathematics 곽도영(카이스트) O O O ME 수학교육학 Mathematical Education 이상구(성균관대) 포스터 발표만 운영 IS 전산수학 Mathematics for Information Sciences 김서령(서울대) O O CR 암호학 Cryptography 이향숙(이화여대) O P 포스터 발표 게시 10:00~15:10 / 질의응답 14:40~15:10 상기 일정은 변동될 수 있습니다. 13:40~ 15:30 50 대한수학회소식 제 157호

50 4. 등록비 회원구분 2014년도 연회비 2014 가을 연구발표회 등록비 사전등록비 (10.13(월) 마감) 현장등록비 사전등록비 등록비 지원 대상자 현장등록비 등록비 지원 대상자 100,000원 ( 연회비 80,000원 30,000원 100,000원 40,000원 지원대상자: 60,000원) 교육/학생/일반회원 25,000원 20,000원 25,000원 비회원 100,000원 대한수학회 정회원 등록비 지원 프로그램: 대한수학회 봄, 가을 연구발표회에 참가하는 회원 중 소속 기관이나 연 구재단 등으로부터 학술대회 참가 경비를 지원받지 않는 분에게 등록비를 지원하는 프로그램입니다. 정회원: 사전등록비 8만원 중 5만원 지원 / 현장등록비 10만원 중 6만원 지원 단, 등록비 영수증에 참가 경비 지원을 받지 못하는 국내수학자 지원프로그램으로 5만원(현장등록의 경우, 6만원)이 지원됨 이란 내용이 표기됨 등록 안내사항 1. 등록하신 분께는 프로그램 및 논문초록집 1권과 중식 및 연회(10.25)를 제공합니다 년도 연회비 납부가 완료된 회원만 사전등록 및 현장등록이 가능합니다. 3. 사전등록 신청과 사전등록비 납부가 모두 이루어져야 사전등록이 완료됩니다. 4. 당일 등록의 혼잡을 피하기 위하여 가능한 사전에 등록하여 주시기 바랍니다. 사전등록일 이후에는 현장등록을 하셔야 합니다. 정회원 5. 캠퍼스 안내 연세대학교 교내 도로공사로 인하여 주차공간이 많이 협소하고, 행사 당일에는 학교 내부사정(수시면접 전형)으로 매우 혼잡할 것으로 예상되므로, 대중교통 이용을 권장합니다. 2014년 9월호 The Newsletter of the KMS 51