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단율 양
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1 과목명 : 재무관리 담당교수 : 원광대학교경영학부정호일 주교재 : 현대재무관리 ( 저자 : 장영광 )

2 제 7 장포트폴리오분석 1. 불확실성, 위험. 효용이론 3. 평균 분산기준포트폴리오이론 4. 포트폴리오기대수익과위험 5. 분산투자와위험감소효과 6. 무위험자산과효율적포트폴리오

3 1. 불확실성과투자위험 (1) 투자위험의의의 1 확실성 : 미래발생가능한상황이단한가지 위험 : 미래발생가능한상황의확률분포가객관적으로알려진상황 3 불확실성 : 미래발생가능한상황의확률분포가주관적으로알려진상황재무관리에서는위험상황과불확실한상황을동일시하여설명 미래투자수익 ( 현금흐름 ) 의변동성실제결과가기대수익에못미칠가능성 개별자산위험 (stand-alone risk) 다른투자사업 ( 증권 ) 과의관계를고려하지않고, 개별자산의독립적입장에서예상되는현금흐름의변동성 포트폴리오위험 (portfolio risk) 개별자산의독립적입장이아닌다른투자사업 ( 증권 ) 과함께투자되어포트폴리오를구성할때의투자위험, 포트폴리오결합효과로인하여투자위험이분산되는투자위험 기업고유위험 (company specific risk) 개별기업고유의신제품개발의성공이나실패와같은미시적요인의변동으로인한현금흐름의변동성 [ 비체계적위험 ] 시장위험 (market risk) 시장에존재하는모든자산에분산투자할경우안게되는투자위험으로서, 모든자산에공통적으로영향을주는요인인시중금리, 환율, 경제성장률변동등으로초래되는현금흐름의변동성 [ 체계적위험 ]

4 () 투자위험의측정 - 투자위험의계량화 1) 미래투자수익률의확률분포 상황 확률 자산 A 자산 B 자산 C 자산 D 낙관적보통비관적 ,000,000(100%) 1,150(15%) 300(-70%) 1,000 1,400(40%) 1,150(15%) 1, (-10%) 1,300 1,150 1,000 1,000 1,100 1,100 1,100 상황 확률 주식 A 주식 B 주식 C 호경기 % 40% 0% 정 상 불경기

5 ) 기대수익과위험의측정 기대수익 예상평균수익률 ( 기대수익률 ) 로측정 E(R) = Σ r i p i 위험 투자수익률의변동성, 예상기대수익이실현되지않을가능성 ( 분산 / 표준편차 ) 로측정 σ = E [r i - E(R) ] 여기서, E(R) = 기대수익률 σ = 수익률의표준편차 p i = 발생가능확률 r i = i 상황에서의발생가능수익률 σ = 수익률의분산

6 상황 확률 주식 A 주식 B 주식 C 호경기 % 40% 0% 정 상 불경기 기대수익 : E(R) = Σ r i p i E(R A )= ( )+( )+( )=0.15(15%) E(R B ) = (0.3 0.)+( )+( )=0.15(15%) E(R C ) = ( )+(0.4 0.)+(0.3 0)=0.0(0%) 위험 : σ = E [r i - E(R)] σ A =( ) 0.3+( ) 0.4+( ) 0.3 =(0.6584) σ A = σ B =( ) 0.3+( ) 0.4+( ) 0.3 =(0.1936) σ B = σ C =(0-0.) 0.3+(0.-0.) 0.4+(0.4-0.) 0.3 =(0.1549) σ C =0.1549

7 - 위험 ( 불확실성 ) 의상황하에서최적투자안을선택하는이론 1 효용이론 (utility theory) 평균 분산기준포트폴리오이론 (portfolio theory). 효용이론 (1) 기대수익극대화 (maximizing expected return) 기준의문제점 확실성하 기대수익극대화불확실성하 수익과위험의상충관계발생베루누이 (N. Bernoulli) 의세인트피터스버그역설 (St. Petersburg s Paradox) - ( 효용 ) : 투자수익과위험을동시에고려하여느끼게되는투자자의주관적인만족도를측정한것.

8 () 위험에대한태도 위험보상 (risk premium) 의정도에대해서투자자들이느끼는만족도는사람마다다르다. 위험에대한투자자의태도 : 위험회피형 (risk averter): 추가적위험에대한대가를요구위험중립형 (risk neutral): 추가적위험에대한대가를요구하지않음위험선호형 (risk lover): 추가적인위험에대해대가를지불하는사람 투자자마다의위험에대한태도는효용, 효용함수로측정 1) 부가증가할때효용의증감률 ( 한계효용 ) 은사람마다다르다.

9 ) 공정게임 (fair game) 의채택여부 상황 1 3 확률 위험자산주식 X -10 % 위험자산주식 Y 1 % 6 0 무위험자산국공채 B 6 % 기대수익 ( 률 ) 10 % 6 % 6 % - ( 공정게임 ): 위험보상률의기대치가영 (0) 인위험투자안 1) 위험회피형 : fair game ( 기각 ) ) 위험선호형 : fair game ( 채택 ) 3) 위험중립형 : fair game ( 채택또는기각 )

10 3) 불확실성하의기대부 (E(w)) 와확실성등가의부 (CEW) 중에서 어느쪽이더큰지에따라평가할수있다. [ 투자자의유형별투자자의특성 ] 구분 확실성등가 (CE) 와기대수익 (ER) 과의관계 공정게임채택여부 효용함수의형태 위험회피형 CE < ER 거절 오목, 체감적증가 위험선호형 CE > ER 채택 볼록, 체증적증가 위험중립형 CE = ER 무관 직선, 단순증가

11 (3) 효용함수와확실성등가 - 효용함수 (utility function) : 위험회피도의정도에따라달라지는만족의정도를지수또는점수 (scoring system) 로나타낸것. 차효용함수 : u(w)= a + b w + c w ( 단, w는부의크기 ) 로그효용함수 : u(w)=log w 위험자산의선택순위를일관성있게결정할수있다. ( 효용 = 확실성등가 ) U = E(R) C σ ( C : 위험회피계수 ) 확실성등가 (certainty equivalent)

12 [ 예제 ] 투자안 기대수익률 E(R) 표준편차 σ 국공채 7% 0% 주식 A 0% 0% 수익증권 15% 10% 투자자의효용함수 : u = E(R) 0.0 σ ( 풀이 ) 국공채 : u = = 7 주식 A : u = = 1 수익증권 : u = = 13

13 (4) 기대효용극대화이론 (Expected utility maximization theorem) - 기대효용은위험투자안이지만, 확실성등가를나타냄 - 기대효용 : 위험투자안으로부터각상황별로얻어지는부의효용에대한기대치. 효용의확률분포로부터평균값을구한것 E( U(w) ) = Σ P(w i ) U(w i ) 단, E( U(w) ) : 효용의기대값 P(w i ) : 투자이득 w i 가발생활확률 U(w i ) : 투자이득 w i 의효용 E[ U {G(X, Y : B)}] = β U(X) + (1 - β ) U(Y ) 단, G(X, Y : B) : X의이득이얻어질확률이 β이고, Y의이득이얻어질확률이 (1 - β) 인위험투자안 - 기대효용극대화이론발생가능한모든상태에확률을부여하고각가능한상태에서얻게될결과에효용점수 ( 값 ) 를부여하여이러한효용점수의기대값을극대화하는투자안을선택하는것이최적투자안을선택하는방법

14 [ 예제 ]

15 (5) 위험보상률 위험보상률 = 위험자산기대수익률 - 무위험자산수익률 위험보상액 = 위험에노출된부의기대부 (E(W )) 확실성등가부 (CEW ) 위험투자안의불확실성을제거하기위하여기꺼이포기하고자하는富의최대액

16 [ 예제 ]

17 3. 평균분산기준포트폴리오이론 (1) 평균 분산기준 (Mean-Variance Approach) 모든투자결정은예상수익률의평균 분산 가지기준만으로행한다. 투자가치 = f ( 기대수익, 위험 ) = f (E(R), σ ) () 지배원리와효율적투자안의선택 - 기대수익과위험을계량화시키면우월한투자대상을쉽게선별할수있다. < 예 > 단위 : % 투자자산 A B C D 기대수익률 E(R) 표준편차 σ

18 최적투자안의선택과정 지배원리 (dominance principle) 효율적포트폴리오 X Y P Q R E( R ) σ E(R) 10 5 Y Q R X P 위험이동일한투자대상중에서기대수익이가장높은것을선택하고기대수익이동일한투자대상중에서위험이가장낮은것을선택 효율적포트폴리오 (efficient portfolio ) : 지배원리 를만족시키는포트폴리오 위험 (σ) 투자자의주관적위험에대한태도 최적포트폴리오선택

19 상황 확률 주식 A 주식 B 주식 C 호경기 % 40% 0% 정 상 불경기 기대수익 E(R A )= ( )+( )+( )=0.15(15%) E(R B ) = (0.3 0.)+( )+( )=0.15(15%) E(R C ) = ( )+(0.4 0.)+(0.3 0)=0.0(0%) 위험 σ A =( ) 0.3+( ) 0.4+( ) 0.3 =(0.6584) σ A = σ B =( ) 0.3+( ) 0.4+( ) 0.3 =(0.1936) σ B = σ C =(0-0.) 0.3+(0.-0.) 0.4+(0.4-0.) 0.3 =(0.1549) σ C =0.1549

20 (3) 투자자의주관적위험성향과최적투자안의선택 최적포트폴리오 (optimal portfolio) 무차별효용곡선 (indifference utility curve) 위험회피형투자자의유형별무차별효용곡선형태

21 4. 포트폴리오기대수익과위험 (1) 포트폴리오의기대수익과위험의측정방법1: pf수익률의확률분포이용방법 기대수익 ( 평균 ) 의측정 포트폴리오위험 (portfolio risk)-pf 수익률의확률분포이용방법

22 주식X(50%) + 주식Y(50% 인포트폴리오 주식X(50%) + 주식Z(50%) 인포트폴리오 주식X(0%) + 주식Z(80%) 인포트폴리오의기대수익률과위험을구하라. 예상수익률 (ri ) 경제상황 확률 X( 캔디 ) Y( 초콜릿 ) Z( 설탕 ) 비관 중립 경제상황 확률 3 주식 X 4 주식 Y 낙관 E(R) 10% 5% 5% σ s 상황에서의포트폴리오수익률 ( rp) ( 각자산의예상수익률 자산투자비율 50:50) 불황정상호황 (0.5) (0.5) = (0.5) (0.5) = (0.5) (0.5) = % 5% E(Rp )=-0.05(0.5) (0.50) + 0.0(0.5) =7.5% 표준편차 = 8.84% 1 경제상황 확률 3 주식 X 4 주식 Z 5s 상황에서의포트폴리오수익률 ( rp) ( 각자산의예상수익률 자산투자비율 50:50) 불황정상호황 (0.5) (0.5) = (0.5) (0.5) = (0.5) (0.5) = % 5% E(Rp )=0.0(0.5) (0.50) (0.5) =7.5% 표준편차 = 5.30%

23 1 경제상황 확률 3 주식 X 4 주식 Z 5 s 상황에서의포트폴리오예상수익률 ( 각자산의예상수익률 자산투자비율 50:50) 불황정상호황 (0.5) (0.5) = (0.5) (0.5) = (0.5) (0.5) = % 5% E(Rp )=-0.05(0.5) (0.50) + 0.0(0.5) =7.5% 표준편차 = 5.30% 1 경제상황 확률 3 주식 X 4 주식 Z 5s 상황에서의포트폴리오예상수익률 ( 각자산의예상수익률 자산투자비율 0:80) 불황 (0.) (0.8) = 0.06 정상 (0.) (0.8) = 0.06 호황 (0.) (0.8) = % 5% E(Rp )=-0.06(0.5) (0.50) (0.5) =6.0% 표준편차 = 0.00%

24 방법 기대치성질을이용하는방법 - 포트폴리오기대수익률 r pi = r xi w x + r yi w y E( R p ) = w x ㆍ E( R x ) + w y ㆍ E( R y ) n E(R p ) = Σ w j ㆍE(R j ) j = 1 단, w j : 개별증권 j 에대한투자비율 --N 자산 pf E(R j ) : 개별증권 j 에대한기대수익률 - 포트폴리오위험 ( 분산 ) 또는 σ p = w x x + w y p = w x x + w y y + w x w y xy y + w x w y x y ρ xy 공분산 σ xy = E [ (r xi - E(R x ) (r yi - E(R y ) ] 상관계수 : -1 상관계수 (ρ xy =σ xy /σ x σ y ) + 1 * σ xy = σ x σ y ρ xy

25 두종목의경우포트폴리오기대수익률과분산 E( R p ) = w x ㆍE( R x ) + w y ㆍE( R y ) p = w x x + w y y + w x w y xy = w x x + w y y + w x w y x y ρ xy

26 < 공분산및상관계수의계산 > 공분산 : 공분산에는수익률변동이같은방향인지반대방향인지가측정됨 σ xy = E[(r xi -E(R x )(r yi -E(R y )] 상관계수 : ρ xy = σ xy /(σ x σ y ) -1 상관계수 (ρ xy ) 주식 X 와 Y, 주식 X 와 Z 간의공분산및상관계수 Cov(r x, r y ) = σ xy = 0.5( )( ) + 0.5( )( ) + 0.5( )( ) = Cov(r x, r z ) = σ xz = 0.5( )( ) + 0.5( )( ) ρ xy = = +1 (0.1414)(0.0354) ρ xz = = -1 (0.1414)(0.0354) + 0.5( )( ) =

28 분산투자시포트폴리오위험 (portfolio risk) 을줄이는방법 - 구성자산간의상관관계가적은자산들로포트폴리오 - 투자비율조정

29 주식X(50%) + 주식Y(50% 인포트폴리오 주식X(50%) + 주식Z(50%) 인포트폴리오 주식X(0%) + 주식Z(80%) 인포트폴리오의기대수익률과위험을구하라. < 기대수익 > (1) E(R p ) = (0.5)(0.10) +(0.5)(0.05)=0.075 () E(R p ) = (0.5)(0.10) +(0.5)(0.05)=0.075 (3) E(R p ) = (0.)(0.10) +(0.8)(0.05)=0.060 < 분산 > (1) σ (R p ) = (0.5) (0.0) + (0.5) (0.0015) + (0.5)(0.5)(0.005) = () σ (R p ) = (0.5) (0.0) + (0.5) (0.0015) + (0.5)(0.5)(-0.005) = (3) σ (R p ) = (0.) (0.0) + (0.8) (0.0015) + (0.)(0.8)(-0.005) = 왜 의경우가 의경우보다도위험이감소하는가? 왜 의경우가 의경우보다도위험이감소하는가?

30 () 위험감소의원천 상관관계와포트폴리오위험 1 ρ xy = +1, 즉두자산간의상관관계가완전정 (+) 의관계에있을경우 σ p = ( w x σ x + w y σ y ) σ p = w x σ x + w y σ y ρ xy = -1, 즉두자산간의상관관계가완전부 (-) 의관계에있을경우 σ p = ( w x σ x - w y σ y ) σ p = w x σ x - w y σ y 3 ρ xy = 0, 즉두자산간의상관관계가영 (0) 인경우 σ p = w xσ x + w yσ y σ p = x x y y w σ + w σ

31 두종목의경우포트폴리오기대수익률과분산 투자비율과상관계수에따른포트폴리오위험

32 < 포트폴리오결합선 > E( R p ) = w x ㆍ E( R x ) + w y ㆍ E( R y ) p = w x x + w y y + w x w y x y ρ xy 기대수익률 E(R p ) 0` ρ xy = -1 인경우 X 0 < ρ xy < + 1 인경우 w * Y(Z,G) ρ xy = 0 인경우 ρ xy = + 1 인경우 - 최소분산포트폴리오 (MVP) σ y σ xy w * = σ x + σ y σ xy 위험 σ p

33 [ 참고 ] 최소분산포트폴리오 (MVP) 의도출 투자위험이최소가되는포트폴리오 (minimum variance portfolio) σ p = w 1 σ 1 + w σ + w 1 w σ 1 w 1 = w 라고하면 w = ( 1 w ) σ p = w σ 1 + (1 w) σ + w(1 w) σ 1 w * = σ p w = 0 이되는 w를구하면? σ σ 1 σ 1 + σ σ 1 첫번째종목에 w * 만큼투자하고, 두번째종목에는 1-w * 만큼 투자할경우, 위험이최소인포트폴리오를구성하게됨

34 [ 예제 ] 투자기회로서다음과같은수익률의확률분포를가지는증권 1,, 3 이있다. 시장여건 확률 증권 1 증권 증권 3 낙관 1/4 16% 4% 0% 중립 1/ (1) 한종목씩투자할경우의기대수익률과위험 ( 표준편차 ) 을구하라. 비관 1/ () 두증권으로포트폴리오를구성할경우의공분산과상관계수? (3) 증권 1과 에 50% 씩투자한포트폴리오의기대수익률과위험 ( 분산 )? (4) 증권 1과 로구성되는포트폴리오에있어서최소분산포트폴리오를구하라.

35 5. 분산투자와위험감소효과 (1) N 종목의경우 Portfolio 기대수익과위험의측정 w 1, w, w n E(R 1 ), E(R ), E(R n ) σ 1, σ, σ n σ 1, σ 3, σ n-1, n : 주식 1,, n에대한투자비율 : 주식 1,, n의기대수익률 : 주식 1,, n의분산 : 주식 1과, 와 3, n-1과 n간의공분산 1) n= case E(R p ) = w 1 E(R 1 ) + w E(R ) σ p = w 1 σ 1 + w σ + (w 1 w σ 1 ) = 개별종목고유위험 + 타종목과의공분산위험 [ 예제 ] E(R j ) σ j σ ij w j X 자동차 0% Z 항공 30% 0.40

36 E(R p ) = w 1 E(R 1 ) + w E(R ) σ p = w 1 σ 1 + w σ + (w 1 w σ 1 ) = 개별종목고유위험 + 타종목과의공분산위험 ) n=3 case E(R p ) = w 1 E(R 1 ) + w E(R ) + w 3 E(R 3 ) σ p = w 1 σ 1 + w σ + w 3 σ 3 + (w 1 w σ 1 + w w 3 σ 3 + w 1 w 3 σ 13 ) = 개별종목고유위험 + 타종목과의공분산위험 [ 예제 ] E(R j ) σ j σ ij w j X자동차 0% Z항공 30% W정유 15% 0.10

37 ) n= case E(R p ) = w 1 E(R 1 ) + w E(R ) + w 3 E(R 3 ) w n E(R n ) E(R p ) = Σ w j E(R j ) σ p = w 1 σ 1 + w σ + w 3 σ w n σ n + ( w 1 w σ 1 + w w 3 σ w n w 1 σ n1 ) = n 개분산 + n(n-1) 개공분산 σ p = w 1 w 1 σ 11 + w w σ + w 3 w 3 σ w n w n σ nn + ( w 1 w σ 1 + w w 3 σ w n w 1 σ n1 ) n n σ p = Σ Σ w i w j σ ij i=1 j=1 σ p = Σ w i σ i + Σ Σ w i w j σ ij (i=j) (i j) 개별종목고유위험 + 타종목과의공분산위험

38 n 종목포트폴리오의위험 : 공분산행렬 주식 i 주식 j n W 1 1 =w 1 w 1 11 W W 1 1 W 3 W 1 31 W 4 W 1 41 W n W 1 n1 W 1 W W 1 W 3 W 3 W 4 W 4 W n W n =ww W 1 W 3 13 W W 3 W =w 3 w 3 33 W 4 W 3 43 W n W 3 n3 4 W 1 W 4 14 W W 4 4 W 3 W 4 34 W 4 4 =w 4 w 4 44 W n W 4 n4 n W 1 W n 1n W W n n W 3 W n 3n W 4 W n 4n W n n =w n w n nn σ p = Σ Σ w i w j σ ij σ p = 개별종목고유위험 + 타종목과의공분산위험 σ p = Σ w i σ i + Σ Σ w i w j σ ij (i=j) (i j)

39 () 구성자산의수와위험감소효과 n 종목, 동일투자비율포트폴리오 W 1 = W = 1/n σ p = Σ Σ W i W j σ ij = Σ W i σ i + Σ Σ W i W j σ ij (i=j) (i j) = Σ (1/n) σ i + Σ Σ (1/n)(1/n)σ ij = (1/n) Σσ i + (1/n ) Σ Σ σ ij ( 개별종목분산평균 : σ, 공분산평균 : σ ij ) σ p = (1/n) σ i n + (1/n ) σ ij n(n 1) = (1/n) σ i + (1 1/n) σ ij lim σ p 0 + σ ij n = 기업고유위험 + 시장공통위험 ( 분산가능위험 ) ( 분산불가능위험 ) ( 비체계적위험 ) ( 체계적위험 )

40 [ 투자관리에의함축 ] 1) 종목수증가에따른위험저감현상은 ( 체감 ) 한다. ) 여러종목에걸쳐분산투자하는경우투자위험관리의주된대상은 ( 시장위험 ) 이지개별종목고유위험이아니다.

41 (3) 위험자산의최적선택 1) 효율적포트폴리오구성

42 6. 무위험자산과효율적포트폴리오 1) 무위험자산 E(R f ) = R f, σ(r f ) = 0 ) 무위험자산과위험자산 (A) 으로구성된포트폴리오의기대수익률과위험 E(R p ) = w E(R A ) + (1 w) R f = R f + w [ E(R A ) R f ] ) σ p = w σ A + (1 w) σ Rf + w(1 w) σ A,Rf = w σ A σ p = w σ A ) ) 를 w에대하여정리하여 1) 에대입한후기대수익률에대하여정리하면포트폴리오투자기회집합 ( 자본배분선 ) 이도출된다. E(R p ) = R f + σ p E(R A ) R f σ A

43 < 그림 > 위험자산만을투자대상으로할경우의투자기회 E(R p ) 0 M Q X E(R A ) A D E Y 4 0 σ A σ p

44 < 그림 > 무위험자산이포함될때의투자기회 E(R p ) 0 E(R m ) E(R p ) = R f + E(R m ) R f σ p σ m A M D Q E N X 1 10 C E(R A ) R f E(R p ) = R f + σ p σ A R f 8 6 B Y 4 0 σ A σ m σ p

45 새로운효율적포트폴리오 : R f M N 주식과같은위험자산만으로포트폴리오를구성하는것보다 무위험자산을포트폴리오에포함시켜자산을배분하는것이 훨씬우월한투자성과를기대케함 E(R E(R p ) = R f + A ) R f σ p σ A RVAR = E(R A ) R f σ ( RVAR = 투자보수대변동성비율 ) A RVAR = 투자보수대변동성비율이가장큰직선이효율적포트폴리오집합 E(R p ) = R f + σ p E(R m ) R f σ m * R f a, R f MN 상의 RVAR( 기울기 ) 는변하지않는다.

46 예제

= Fisher, I. (1930), ``The Theory of Interest,'' Macmillan ,

= Fisher, I. (1930), ``The Theory of Interest,'' Macmillan , Finance Lecture Note Series 학습목표 제4강 소유와 경영의 분리 효용함수(utility function): 효용함수, 한계효용(marginal utility), 한계대체율(marginal rate of substitution) 의 개념에 대해 알아본다 조 승 모2 (production possibility curve): 생산가능곡선과 한계변환율(marginal