합의기호 1. 기호 의약속 끝항의번호 제 항 일반항 첫째항번호 2. 의성질 (1) (2) (는상수 ) (3) (5) ± ± ( 평행이동 ) ( 복호동순 ) (4) (는상수 ) 3. 4. 자연수의거듭제곱의합 (1) (2) (3) 분수수열의합 (1) (2) (3) (4) (5) (6)
계차수열 수열 에서 을계차라하고계차로이루어지는수열을계차수열이라한다. a n = a 1 + n - 1 b k k = 1 (1) 단 (2) 단 멱급수 1. 멱급수 등차수열과등비수열의대응하는항끼리서로곱해서얻어지는수열의합을멱급수라고한다. 2. 멱급수의합을구하는방법 멱급수의합을 이라하면 에서 에등비수열의공비 r 을곱한값을뺀다. 곧, 의값을구한다. 군수열 수열 에서몇개의항을차례로묶어군으로나눈수열을군수열이라한다. (1) 각군안에서의규칙을찾는다. (2) 각군안의항수를조사한다. (3) 각군의첫째항들로이루어진수열에서일반항을구한다.
1. 에대한이차방정식 의두근, 에대하여 1 의값은? [4 점] (05. 4. 교육청) 2 3 4 5 2. 방정식 의한허근을 라하자. 자연수 에대하여 을 의실수부분으로정의할 때, 의 값을구하시오. [3 점] (04. 9. 평가원) 3. 수열 이, (,,, ) 를만족시키고, 수열 제 항까지의합을 이라하자. 일때, 의값을구하시오. 의첫째항부터 ( 단, 와 는서로소인자연수이다.) [4 점] (11. 10. 교육청) 4. 두점 P, Q 에대하여 P Q를 P Q 라정의하자. 두점 A 과 P 에대하여 A P 의값은? [3 점] (11. 7. 교육청) 1 2 3 4 5 5. 자연수 에대하여연립부등식, 을만족시키는좌표평면위의점 가나타내는영역의넓이를 이라하자. 수열 의 첫째항부터제 항까지의합 에대하여 log 의값을구하시오.[4 점] (11. 4. 교육청) 정답 4 332 31 4 40
6. 수열 이 이고 일때, 의값을구하시오. [3 점] (07. 6. 평가원) 7. 수열 이, 을만족시킬때, 의값은? [3 점] (11. 4. 교육청) 1 2 3 4 5 8. 수열 은다음과같이 으로나누어떨어지지않는자연수를작은수부터차례로나열한것이다. 이때 의값은? [3 점] (08. 3. 교육청) 1 2 3 4 5 9. 수열 이다음조건을만족시킬때, 의값은? [4 점] (10. 6. 평가원) ( 가) ( 나) 의계차수열 에대하여 이다. 1 2 3 4 5 10. 수열 은 이고, 을만족시킨다. 일때, 의값을구하시오.( 단, 와 는서로소인자연수이다.) [4 점] (10. 9. 평가원) 정답 156 5 1 3 39
11. 자연수 과 <, < 을만족시키는네정수 에대하여 좌표평면에서네점 A,B,C,D 를꼭짓점으로하고넓이가 인정사각형의 개수를 라고하자. 다음은 의값을구하는과정이다. ( 단, 는 이하의자연수이다.) 그림과같이넓이가 인정사각형 ABCD를만들때, 두점 A B의 좌표가주어지면 좌표의차가 인변 AB 를택하는경우 의수는 ( 가) 이다. 또두점 A D의 좌표가주어지면 좌표의차가 인변 AD 를택하는경우의수는 이다. ( 나) 이다. 따라서 ( 다) ( 가), ( 나), ( 다) 에들어갈식으로알맞은것은? [3 점] (08. 6. 평가원) ( 가) ( 나) ( 다) 1 2 3 4 5 12. 이상의자연수 에대하여집합 는자연수 의서로다른두원소를곱하여 나올수있는모든값만을원소로하는집합을 라하고, 의원소의개수를 이라하자. 예를들어, 이다. 이때, 의값을구하시오.[점] (10. 11. 수능) 정답 4 100
13. 그림과같이정육각형모양이되도록배열한바둑알의개수를육각형정수라한다. [ 첫번째] [ 두번째] [ 세번째] 예를들면, 첫번째육각형정수는 이고, 두번째육각형정수는 이다. 이때, 번째육각형정수를 구하시오. [4 점] (05. 3. 교육청) 14. 그림과같이쇠구슬과막대자석을이용하여 육각기둥모양을 개만드는데필요한막대자석의개수를, 육각기둥모양을 개만드는데필요한막대자석의개수를, 육각기둥모양을 개만드는데필요한막대자석의개수를, 이와같은과정을계속하였을때, 의값은? [4 점] (07. 4. 교육청) 1 2 3 4 5 15. 거리가 인두점 O O 이있다. 점 O 를중심으로 반지름의길이가각각 인 개의원과 점 O 을중심으로반지름의길이가각각 인 개의원이있다. 이 개원의모든교점의개수를 이라하자. 예를들어, 그림에서와같이, 이다. 의값은? [4 점] (07. 9. 평가원) 1 2 3 4 5 정답 271 2 2
16. 그림과같이넓이가 인정삼각형모양의타일을다음과같은규칙으로붙인다. [ 단계] : 정삼각형모양의타일을한개붙인다. [ 단계 ] : 단계에서붙여진타일의바깥쪽테두리의각변에정삼각형모양의타일을 붙인다. 이와같이 단계를시행했을때, 타일로덮인부분의전체의넓이를구하시오. [ 점] (08. 7. 교육청) 단계 단계 단계 17. 정삼각형 A B C 에서변 AC 를 등분한점을각각 A, A, A,, A 이라하고, 변 B C 를 등분한점을각각 B, B, B,, B 이라하자. 다음 [ 단계] 와같은순서로 선분을긋는다. [ 단계 ] 꼭짓점 C 와선분 AB 의중점 M 을연결한선분 C M 을긋는다. [ 단계 ] 꼭짓점 A 와점 B, B, B,, B 을각각연결한선분 AB, AB, AB,, AB 을긋는다. [ 단계 ] 꼭짓점 B 와점 A, A, A,, A 을각각연결한선분 BA, BA, BA,, BA 을긋는다. 이때, 나누어진정삼각형 A B C 의내부영역의개수를 이라하자예를들어 의값은? [4 점] (08. 10. 교육청)., 이다. 1 2 3 4 5 정답 136 1
18. 함수 의그래프위에다음조건을만족시키도록점 P, P, P, 을차례로정한다. ( 가) 점 P 의좌표는 이다. ( 나) 직선 P P 의기울기는 이다. ( ) 점 P 의 좌표는? [4 점] (09. 3. 교육청) 1 2 3 4 5 19. 그림은다음과같은규칙으로제 행에 개의바둑돌을놓은것이다. ( ) ( 가) 제 행에는검은돌, 제 행에는흰돌을놓는다. ( 나) 각행에놓은바둑돌은좌우대칭이되도록한다. ( 다) 각행에서두검은돌사이에는흰돌을두개놓는다. ( 라) 각행에서흰돌은세개이상연속되지않게놓는다. 제 행에놓인검은돌의개수를 이라할때, 의값은? [4 점] (09. 3. 교육청) 1 2 3 4 5 20. 자연수 에대하여 을 으로나눈나머지를 이라할때, 를만족시키는 이하의 자연수 의개수를구하시오. [3 점] (09. 3. 교육청) 정답 5 5 34
21. 한평면위에다음과같은규칙으로직선들을차례로그려나간다. [ 단계] : 직선을 개그린다. [ 단계 ] : [ 단계] 에서그린직선과수직인직선을 개그린다. [ 단계 ] : [ 단계] 에서그린직선과수직인직선을 개그린다. [ 단계 ] : [ 단계] 에서그린직선과수직인직선을 개그린다. ( ) [ 단계 ] [ 단계 ] [ 단계 ] [ 단계] 부터 [ 단계] 까지그린직선들의모든교점의개수를 ( ) 이라하자. 예를들어,, 이다. 의값을구하시오. ( 단, 모든직선은서로겹치지않도록그린다.) [4 점] (09. 3. 교육청) 22. 두함수 log 와 log 의 그래프의교점을 A, 직선 가세함수,, 의그래프와만나는 점을각각 B, A, C 이라하고삼각형 A B C 의 넓이를 이라하자. 직선 이세함수,, 의 그래프와만나는점을각각 B, A, C 라하고 삼각형 A B C 의넓이를 라하자. 직선 이세함수,, 의 그래프와만나는점을각각 B, A, C 라하고삼각형 A B C 의넓이를 이라하자. 이와같은 과정을계속하여 번째얻어진삼각형 A B C 의넓이를 이라할때, 의값은?[4 점] (09. 4. 교육청) 1 2 3 4 5 정답 840 1
23. 함수 는 를만족하고, 그그래프는그림과같다. 모든자연수 에대하여 인수열 이있다. 이 보다 작은자연수일때, 을만족시키는 의최솟값을 구하시오. [4 점] (09. 6. 평가원) 24. 수열 에서 일때, 의값은? 점 [4 ] (09. 6. 평가원) 1 2 3 4 5 25. 수열 의제 항 을 이자연수가되게하는음이아닌정수 의최댓값이라하자. 예를들어 이고 이다. 일때, 의값을구하시오 (09. 9. 평가원). [4 점] 26. 수열 이모든자연수 에대하여다음조건을만족시킨다. ( 가) 은자연수이다. ( 나) 의값을구하시오. [4 점] (11. 3. 교육청) 정답 5 1 31 570
27. 다음수열에서 는제몇번째항인가? [4 점] (05. 5. 교육청) 1 2 3 4 5 28. 좌표평면위에다음 [ 단계] 와같은순서로점을찍는다. [ 단계 ] 에점을찍는다. [ 단계 ],, 에이순서대로 개의점을찍는다. [ 단계 ],,,, 에이순서대로 개의점을찍는다. ( 단, 는자연수이다.) 이와같은과정으로 [ 단계 ] 부터시작하여점을찍어나갈때, 번째찍히는점의좌표는 이다. 의값은? [4 점] (07. 11. 수능) 1 2 3 4 5 정답 4 4
29. 그림과같이홀수를삼각형모양으로배열하고어두운부분에있는수를크기순으로나열하여수열 을만들었다. 이수열의제 항을구하시오. [4 점] (06. 3. 교육청) 30. 수열 에대하여, 가성립할때, 의값을구하시오. [3 점] (07. 10. 교육청) 31. 어떤학생이계발활동시간에목걸이를만들고자한다. 그림과같이세종류의인조보석,, 을사용하여처음에는 개, 개, 개를꿰고난뒤, 다음규칙을순서대로반복한다. Ⅰ. 는바로전단계에꿴의개수보다 개더많이꿴다. Ⅱ. 는바로전단계에꿴의개수보다 개더많이꿴다. Ⅲ. 는 Ⅰ과 Ⅱ에서꿴과의개수를더한만큼꿴다. 인조보석 개를사용하여목걸이를만들었을때, 목걸이에있는의개수를구하시오. [4 점] (06. 4. 교육청) 정답 241 96 64
32. 자연수 에대하여상용로그 log 의지표를 이라할때, 수열 을 ( ) 으로정의한다. 의값은? ( 단, log 이다.) [4 점] (07. 3. 교육청) 1 2 3 4 5 33. 수열 을 의일의자리의수로정의할때, 옳은내용을 < 보기> 에서모두고른것은? [4 점] (06. 10. 교육청) < 보기 > ㄱ ㄴ ㄷ 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄷ 4 ㄱ ㄴ 5 ㄴ ㄷ 34. 자연수 에대하여점 P n 이원 위의점일때, 점 P n 을다음규칙에따라정한다. ( 단, 점 P n 은좌표축위의점이아니다.) ( 가) 점 P n 이제1 사분면위의점이면, 점 P n 은점 P n 을원위의호를따라 시계반대방향으로 만큼이동시킨점이다. ( 나) 점 P n 이제2 사분면또는제4 사분면위의점이면, 점 P n 은점 P n 을 축에 대하여대칭이동시킨점이다. ( 다) 점 P n 이제3 사분면위의점이면, 점 P n 은점 P n 을 축에대하여대칭 이동시킨점이다. 점 P 의좌표가 1 일때, 점 P 의좌표는? [3 점] (06. 6. 평가원) 2 3 4 5 정답 5 4 1
35. 자연수 에대하여 P n 을다음규칙에따라정한다. ( 가) 점 P 의좌표는 이다. ( 나) 점 P n 의좌표가 일때, < 이면점 P n 의좌표는 이고 이면점 P n 의좌표는 이다. 점 P n 의좌표가 일때, 의값은? [4 점] (06. 9. 평가원) 1 2 3 4 5 36. 아래에서제 행은 의양의약수를나열한것이다. 제 행부터제 행까지나열된수의개수를 구하시오. [4 점] (06. 10. 교육청) 제 행 제 행 제 행 제 행 제 행 제 행 제 행 제 행 37. 수열 이 으로정의될때, 의값을구하시오. [4 점] 정답 3 66 496
38. 좌표평면에서자연수 에대하여 을 개의 점 을꼭짓점으로 하는정사각형이라하자. 정사각형 과함수 의 그래프가만나도록하는자연수 의개수를 이라할때, < 보기> 에서옳은것을모두고른것은? [4 점] (06. 11. 수능) < 보기> ㄱ. ㄴ. ㄷ. 1 ㄴ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 39. 다음그림은동심원 O O O 과직선 의 교점위에자연수를 1 부터차례로적은것이다. 이미채워진수들의규칙에따라계속하여적어나가면 는 원 O m 과직선 의교점위에있다. 의값을구하시오. [4 점] (07. 6. 평가원) 40. 그림과같이크기가같은정육면체모양의블록을쌓아 층의탑모형을만들었다. 탑모형의위, 앞, 뒤, 오른쪽, 왼쪽에서보이는모든정사각형모양의면에자연수를 부터차례대로한개씩빠짐없이썼을때, 구하시오. [4 점] (08. 5. 교육청) 가장큰수를 정답 4 64 761
41. 그림과같이나무에 개의전구가맨위첫번째줄에는 개, 두번째줄에는 개, 세번째줄에는 개,, 열번째줄에는 개가 설치되어있다. 전원을넣으면이전구들은다음규칙에따라작동한다. ( 가) 이 이하의자연수일때, 번째줄에있는전구는 초가 되는순간처음켜진다. ( 나) 모든전구는처음켜진후 초간격으로꺼짐과켜짐을반복한다. 전원을넣고 초가되는순간켜지는모든전구의개수를 이라고하자. 예를들어 이다. 의값은? [3 점] (08. 6. 평가원) 1 2 3 4 5 42. 수열 에서 일때, 좌표평면위의점 P n 을 cos sin 라 하자. 점 P 와같은점은? [3 점] (08. 9. 평가원) 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 43. 수열 을다음과같이정의하자. 을 으로나눈나머지를 이라할때, ( ) 의값은? [3 점] (08. 10. 교육청) 1 2 3 4 5 정답 5 5 1
44. 자연수 을이진법의수로나타내었을때, 그이진법의수가 자리의수이면 로정의한다. 예를들면 이므로 이고, 이므로 이다. 수열 의첫째항부터 제 항까지의합을구하시오. [4 점] (05. 3. 교육청) 45. 부터 까지의자연수중에서서로다른 개의수를선택할때, 개의수중에서두번째로작은수가 인경우의수를 라하자. 예를들어, 은선택된 개의수중에서 보다작은수가한개이고 보다 큰수가 개인경우의수이므로 이다. < 보기> 에서옳은것을모두고른것은? [4 점] (05. 6. 평가원) < 보기> ㄱ. C C ㄴ. ㄷ. C 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 46. 그림과같이자연수 에대하여 log 을만족시키는자연수 를 행에차례로배열할때, 행에배열된자연수의개수를 라하자. 의값을구하시오. ( 단, 는 보다크지않은최대의정수이다.) [4 점] (05. 6. 평가원) 47. 양수 에대하여 는 보다크거나같은최소의정수를나타내기로한다. 예를들면, 이다. 수열 을 로정의할때, 의값을구하시오. [4 점] (06. 3. 교육청) 정답 74 3 440 16
48. 한변의길이가 cm 인정육면체모양의상자에한변의길이가 cm 인정육면체 모양의나무블록을다음규칙에따라빈틈없이가득채우려고한다. 번째에넣는나무블록의개수를 이라할때, ( 가) ( 나), ( 단, 는 를넘지않는최대의정수이다.) ( 다) 상자를가득채우면나무블록넣기를멈춘다. 번째에상자를가득채웠다고할때, 의값을구하시오. ( 단, 상자의두께는무시한다.) [4 점] (05. 9. 평가원) 49. 부터 까지자연수의합을 이라할때, log 의값을구하시오. ( 단, 는 보다크지않은최대의정수이다.) [4 점] (08. 3. 교육청) 50. 인자연수 에대하여수열 이다음세조건을만족시킨다. ( 가) ( 나) ( ) ( 다) ( ) < 보기> 에서옳은것을모두고른것은? [4 점] (05. 11. 수능) ㄱ. ㄴ. ㄷ. < 보기> 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 56 24 4
51. 두수열, 이자연수 에대하여, 을만족시킨다. 이하인두자연수 에대하여 와 의곱이홀수가되는순서쌍 의 개수를구하시오. [4 점] (08. 6. 평가원) 52. 그림과같이좌표평면의제사분면을한변의길이가 인 정사각형들로나누어자연수를배열하였다. ( ) 의 그래프가지나는한변의길이가 인정사각형에배열된수들의 합은? ( 단, 그래프가정사각형의내부를지나지않는경우는 제외한다.) [4 점] (08. 4. 교육청) 1 2 3 4 5 O 53. 그림과같이곡선 과두직선, 의교점을각각 A A 이라하자. 점 A 를지나고 축에평행한직선과직선 이 P A 만나는점을 P 라하고, 세점 A, A, P 를 연결한삼각형의넓이를 라할때, 의값은? [ 점 ] (08. 7. 교육청) 1 2 3 4 5 O A 정답 30 3 2
54. 수열 의제 항 을자연수 의양의제곱근 를소수점아래첫째자리에서반올림하여 이되는 의개수라하자. 의값을구하시오. [4 점] (08. 9. 평가원) 55. 자연수 으로나누었을때, 몫과나머지가같아지는자연수를모두더한값을 이라하자. 예를들어 로나누었을때, 몫과나머지가같아지는자연수는,, 이므로 이다. >을만족시키는자연수 의최솟값을구하시오. [4 점] (08. 11. 수능) 56. 수열 이모든자연수 에대하여 를만족시킨다. log 라할때, 의값을구하시오점수능. [4 ] (10. 11. ) 정답 110 11 21