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대구연수 2012-2-76 2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수( 고등학교 Ⅱ) 2012. 7. 23.( 월) ~ 2012. 8. 3.( 금) Daegu Educational Training Institute

공무원행동강령실천결의문

Action Plan 2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수과정연수번호 ( ) 성명 ( ) 1. 2. 3. 현재수준 기대수준 세부실행내용 추진일정 월월월월 비고

contents 기하와벡터 일차변환과행렬지도의이론과실제 공간도형교과서분석 이차곡선의이론적배경 이차곡선지도의실제 / 윤정호 5 / 배정득 26 / 강정호 41 / 예용대 63 기하수업에서의 Cabri 3D 활용 / 김학우 84 벡터의교과서분석 / 김용말 89 적분과통계 경우의수지도의실제 적분의활용지도의실제 / 구교석 109 파스칼의삼각형을활용한순열조합지도의실제 구조적동형을활용한순열조합의지도효과 확률의정의와역사 통계지도의실제 적분지도의실제 / 이석곤 135 / 홍갑룡 152 / 홍갑룡 156 / 이태수 161 / 최종호 175 / 김기욱 189

연수안내 연수계획 203 연수생활안내 204 연수운영에대한설문조사 206 설문평가방법안내 208 연수과정시간표 210

기하와벡터 일차변화과행렬지도의이론과실제 / 윤정호 공간도형교과서분석 / 배정득 이차곡선의이론적배경 / 강정호 이차곡선지도의실제 / 예용대 기하수업에서의 Cabri 3D 활용 / 김학우 벡터의교과서분석 / 김용말

일차변환과행렬지도의이론과실제 일차변환과행렬지도의이론과실제 윤정호 1) Ⅰ. 교육과정비교 다음 [ 표1] 은 기하와벡터 과목의일차변환단원에대한개정교육과정이 다. 일차변환단원의용어와기호는 변환, 일차변환, 대칭변환, 닮음변환, 회 전변환, 역변환, 인데, 개정교육과정은다룰수있는내 용의범위를분명하게규정할뿐만아니라제6차교육과정과비교하여내용이 축소시켰다는사실을알수있다. 또한일차변환을행렬과관련지음으로서학 생들로하여금행렬의유용성을발견토록하려고하는것도알수있다. [ 표1] 개정교육과정 기하와벡터 과목의 Ⅰ. 일차변환과행렬단원의교육 과정 Ⅰ. 일차변환과 행렬 1. 일차변환 2. 일차변환의 합성과 역변환 소단원 1.1 일차변환과행렬, 1.2 여러가지일차변환 교수 학습목표 일차변환의뜻을안다. 일차변환과행렬사이의관계를안다. 대칭변환, 닮음변환, 회전변환과행렬사이의관계를안다. 일차변환의성질을알고, 이를활용할수있다. 소단원 2.1 일차변환의합성, 2.2 일차변환의역변환 교수 학습목표 교수 학습상의유의점 일차변환의합성의뜻을알고, 그성질을이해한다. 일차변환의역변환의뜻을안다. 일차변환의역변환을나타내는행렬을구할수있고, 이를활용할수있다. 변환의합성에서는복잡한경우는다루지않는다. 1) 매천고등학교교사 / iwcth@hanmail.net - 5 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) Ⅱ. 교과서와익힘책의내용비교 개정교육과정의기하와벡터과목의검인정교과서와익힘책은 10 종이다. 10 종에대하여일차변환영역의내용을비교해보면대부분개정교육과정과대 동소이하며두가지정도가차이가있다. 첫번째는일차변환의성질을설명함에있어다음의세가지경향을띠고 있는데, 2의표현방법은표현방법을달리하는 1과 3을제외한나머지 7 종의교과서와동일하다. 1 일차변환의성질( 황석근외 12 인) 일차변환 에의하여두점 가각각 으로옮겨질때, ❶ 점 는점 으로옮겨진다. ❷ 점 은점 으로옮겨진다. 2 일차변환의성질( 황선욱외 12 인) 일차변환 와 행렬 에대하여, ❶ ❷ ( 단, 는실수 ) 3 일차변환의성질( 계승혁외 5 인) ❶ 변환 에대하여다음은서로필요충분조건이다. ❷ 는일차변환이다. 좌표평면위의임의의두점 와실수 에대하여, 가성립한다. 일차변환 에대하여 이면 를나타내는행렬은 이다. 두번째는내용전개와용어소개부분의차이이다. 일차변환과도형단원 - 6 -

일차변환과행렬지도의이론과실제 의내용전개에있어서두교과서( 더텍스트, 성지출판 ( 주)) 에서일차변환과평 면을다루고있으며, Shear Transformation 을층밀림변환 ( 더텍스트 ), 쏠림변 환( 좋은책신사고 ) 으로다르게소개하고있다. 익힘책의내용은교과서에서와 마찬가지로별다른차이가없고, 교과서내용비교에서드러난차이점과동일 하다. 일차변환단원에대하여교육과정, 교과서및익힘책의내용은제6차교육과 정과비교하여축소된편이다. 비록자연계열의학생들이일차변환의내용을 배우기는하지만역변환이존재하지않는일차변환에관련된내용이나, 좌표평 면의변환에대한내용을대부분의교과서와익힘책에서다루지않음으로서 일차변환의성질이나행렬과의관계정도만을학습하게된다. 따라서, 개정교 육과정의주요개정방향인내용의적정화와교과간의연계성은크게고려된 것으로보기엔어려움이있다. 한편으로제6차교육과정이적용되던시기의수능시험에서일차변환단원의 비중이그렇게높지않았음을감안한다면개정교육과정의수능시험에서도중 요한위치를차지할것으로보이지는않는다. Ⅲ. 선형사상 (Linear Transformation) 1. 일차변환 의행렬이 일때, 행렬 에대하여 가 성립한다. 임의의두 행렬 와실수 에대하여 가. 나. ( 단, 는실수 ) 가성립하므로일차변환 는선형사상 (Linear Transformation) 이다. 2. 위의가, 나는다음과동치이다. ( 단, 는실수 ) - 7 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) Ⅳ. 변환과일차변환 1. 변환 가. 뜻: 좌표평면위의점전체의집합을정의역과공역으로하는함수 나. 기호 ( R R ) (1) 또는 (2) 또는 2. 일차변환의뜻 가. 임의의두 행렬 R R 와임의의실수 에대하여 (1) (2) 인변환 R R 를일차변환이라고한다. 참고 ) 일때, (1), (2) 나. 가의 (1), (2) 와다음은서로동치이다. 임의의두 행렬 R R 와임의의두실수 에대하여 다. 좌표평면위의점 를점 으로옮기는일차변환 에대 하여, 이고, 라고하면, - 8 -

일차변환과행렬지도의이론과실제 이상에서위의일차변환 는두점 을각각 로옮긴후다시 의각좌표를 배, 배한두점 와원점그리고 이평행사변형을이루도록좌표 를옮기는과정임을알수있다. 요약하면, 두점 이각각어디로옮겨지는가에따라여러 가지일차변환을생각할수있다. [ 예제] 변환 이일차변환임을보이시오. 3. 일차변환의행렬표현 인일차변환일때, 가. 즉, 과 이모두 와 의상수배의합으로나타내어진다. 나. 다.,, 으로놓으면, 이다. - 9 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 4. 일차변환과행렬표현의관계 가. 일차변환 에대하여, 이고, 에서 즉, 일차변환을행렬의곱을이용하여나타낼수있다.. 행렬 나임의의두 (1) (2) 와임의의실수 에대하여 즉, 행렬의곱을이용하여일차변환을나타내는방법은일차변환의뜻을만 족시킨다. [ 예제] 일차변환 는원점을원점으로옮김을보이시오.. ( 증명) [ 예제] 일차변환 에의하여그위치가옮겨지지않는점 의존재에 ( 풀이) 대하여설명하시오. - 10 -

일차변환과행렬지도의이론과실제 5. 여러가지일차변환 변환항등변환닮음변환 기호 행렬 대칭변환 축대칭 축대칭원점대칭 대칭 참고 축, 축의방향으로 배확대( 축소) 를나타내는일차변환의행렬 ( : 확대, : 축소) 일차변환 행렬 축의방향으로 배 축의방향으로 배 축, 축의방향으로각각 배 축의방향으로각각 배, 배 축의방향으로각각 Ⅴ. 회전변환 좌표평면위의점 를원점 를중심으로 만큼회전이동시켜점 으로옮기는일차변환을구해보자. 1. 삼각함수를이용한풀이(1) 오른쪽그림에서좌표평면위의두점, 를원점 를중심으 로 만큼회전이동시킨점을각각, 이라 고하면 이므로두점, 의좌표는, - 11 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 선분 은직사각형 의대각선이므로두점, 의좌표에서 이고, 즉, 이다. 1 이상에서 과 이모두 와 의상수배의합이므로어떤점 를원 점을중심으로 만큼회전이동시키는변환은일차변환이고, 1에의하여그 행렬은 이다. 2. 삼각함수를이용한풀이(2) 두직각삼각형 와 에서두 점, 를원점 를중심으로 만 큼회전이동시킨점을각각, 이라하고, 점 에서 축에내린수선의 발을, 점 에서 축에내린수선의 발을, 점 에서 축에내린수선의발 을 라고하자. 그리고점 에서선분 에내린수 선의발을 라고하자. 오른쪽그림에서 이므로점 의좌표는 이므로 즉, 1-12 -

일차변환과행렬지도의이론과실제 이다. 이상에서 과 이모두 와 의상수배의합으로나타내어지므로이변환은일차변환이다. 1에서어떤점 를원점을중심으로 만큼회전이동시키는일차변환의행렬은 임을알수있다. 3. 벡터를이용한풀이 [ 그림1] [ 그림2] 위의 [ 그림1] 과같이점, 를잡으면점 의위치벡터 이므로, [ 그림2] 에서점 를각각원점 를중심 으로 만큼회전이동시킨점 에대해서도다음관계가성립한다. 그런데,, 의성분은 따라서, 의성분은 즉, 따라서어떤점 를원점을중심으로 만큼회전이동시키는일차변환의행렬은 임을알수있다. - 13 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) Ⅵ. 일차변환의합성과행렬의곱 두일차변환, 에대하여 즉, 일때, 1. 일차변환의합성의뜻 2. 두일차변환 의합성 의행렬은 이다. ( 행렬의곱의역사발생적인원리) 3. 두일차변환 의합성 는일차변환이다. - 14 -

일차변환과행렬지도의이론과실제 Ⅶ. 일차변환과삼각함수 1. 삼각함수의덧셈정리 오른쪽그림과같이좌표평면위의점 를원점 를중심으로 만큼회전이동 시켜점 으로옮긴후다시점 를원점 를중심으로 만큼회전이동 시켜점 으로옮기는변환은점 를원점 를중심으로 만큼회전 이동시켜점 으로옮기는변환과같다. 그러므로 가성립한다. 여기서삼각함수의덧셈정리 를얻는다. 2. 원점 를중심으로 만큼회전이동시키는일차변환은원점 를 중심으로 만큼회전이동시키는일차변환을두번합성한것과 같다. 에서 따라서 가성립하므로 가., 나. 임을증명할수있다. - 15 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 3. 원점 를중심으로 만큼회전이동시키는일차변환은원점 를 중심으로 만큼회전이동시키는일차변환을두번합성한것과같다. 따라서 가성립하고, 에서 이다. 가. 에서, 나. 에서 임을증명할수있다. Ⅷ. 역변환 1. 역변환의뜻 2. 일차변환 의행렬이 일때, 가. 역행렬 이존재하면역변환 가존재한다. 나. 역행렬 이존재하지않으면역변환 도존재하지않는다. - 16 -

일차변환과행렬지도의이론과실제 Ⅸ. 일차변환의도형에의활용 일차변환에의하여도형은어떻게변환되며그방정식은어떻게표현되는가 를알아보자일차변환. 의행렬이 일때,( 단, ) 1. 역행렬 가존재하는경우 ( 즉, 이고역변환 가존재한다.) 가. 좌표평면위의모든점은같은평면의모든점과일대일로대응된다. ( 증명) 이면일차변환 에의하여점 는점 과일대일대응된 다.( 그러나, 모든점이자기자신과대응되는것은아니다.) 나. 선분은선분에, 직선은직선으로옮겨진다. ( 증명) (1) 두점 를잇는선분위의점은 로표현되므 로역변환이존재하는일차변환 에의하여 이때, 가일대일대응이므로 이면 이다. 따라서 는 와 를잇는선분위의점이다. (2) 직선의방정식을 라고하자. 에대하여, 이것역시직선을나타낸다. 가와나의 이므로 (2) 에의하여서로만나지않는직선위의점들은역시서로만 나지않는직선위의점으로옮겨진다. 다. 선분의내분점( 외분점) 은다시내분점( 외분점) 으로옮겨지고, 옮겨진뒤에 ( 증명) 도그비는변하지않는다. 선분 를 으로내분하는점은 이므로 - 17 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 이것은선분 를 으로내분하는점이다. 외분하는경우도마찬가지이다. 라. 평행한두직선은평행한두직선으로, 수직인두직선은수직인두직선 으로옮겨진다. 2. 역행렬 가존재하지않는경우 ( 즉, 이고역변환 가존 재하지않는다.) 가. 인경우: 좌표평면위의모든점은원점으로옮겨진다. ( 증명) 이므로명백하다. 나. 이고 인경우 : (1) 좌표평면위의모든점은원점을지나는직선위의점으로옮겨진다. ( 증명), 이라고하자. 에서 이므로 라고하면 이다. 이고, 이것을 에대입하면 에서 즉, 따라서모든점은원점을지나는직선 로옮겨진다. 참고) 일차변환 의행렬이 일때, 에의하여좌표평면위의모든점 - 18 -

일차변환과행렬지도의이론과실제 이원점을지나고기울기가 인직선으로옮겨지면 이다.( 단, ) ( 증명) 좌표평면위의점 가 에의하여 으로옮겨진다고하면 에대하여성립한다. 이고 이므로 가모든실수 (2) 직선은한점또는원점을지나는직선으로옮겨진다. ( 증명) 일차변환 의행렬, 직선 에대하여 이고 이므로 에 을대입하여정리하면 1, 일때, : 직선 2 일때, 이므로 : 한점 3 일때, 이므로 : 한점 - 19 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 3. 삼각형의넓이 삼각형 이일차변환 에의하여옮겨진삼각형 의넓이는삼각 형 의 배이다. 즉, ( 증명) 세점 의좌표를각각,, 로놓고 에의 하여옮겨지는점을각각,, 이라고하자. (1) 인경우, 세점 은삼각형을이루지못한다. (2) 인경우, ( ) 그리고 1의나에의하여선분 는각각선분 으 로옮겨지므로세점 은삼각형을이룬다. 삼각형의세점의좌표가주어질때의삼각형의넓이공식을이용하여 이성질은일반도형으로확장할수있다. - 20 -

일차변환과행렬지도의이론과실제 [ 문제1] 일차변환 에의하여직선은직선이나한점으로옮겨짐을증명하 ( 증명) 시오. [ 문제2] 일차변환 가좌표평면위의점을원점을지나는직선에대하여대 ( 증명) 칭이동시키는일차변환일때, 의역변환 가존재하며, 와 는같은일차변환임을증명하시오. Ⅹ. 일본본고사문항의활용 1. 포물선 을포물선 로옮기는일차변환 의행렬 를 구하시오. 2. 행렬 로나타내어지는일차변환 에의하여자기자신으로옮겨지는직선의방정식을모두구하시오. - 21 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 3. 일차변환 는실수 ) 에대하여다음물음에답하시오.( 단, (1) 변환 에의하여자기자신으로옮겨지는점이원점뿐일 의조건을 구하시오. (2) 변환 에의하여자기자신으로옮겨지는직선이한개뿐일 의조 건을구하시오. (3) 변환 에의하여자기자신으로옮겨지는직선이두개일 의조건 을구하시오. 4. 일차변환 이 을만족할때, 의행렬 에대하여다음물음에답하시오. (1) 두벡터 의크기가모두 이고, 서로수직임을보이시오. (2) 이면일차변환 는원점을중심으로하는회전변환임을보 이시오. 5. 행렬 로나타내어지는일차변환 가 을만족할 때, 다음물음에답하시오. (1) 실수 의값과 를구하시오. - 22 -

일차변환과행렬지도의이론과실제 (2) 원점을지나는직선중에 에의하여자기자신으로옮겨지는직선이 두개있을때, 두직선의방정식을구하시오. (3) (2) 에서구한두직선의 성분이 인방향벡터를각각 라하면 평면위의임의의벡터 가 로표시된다. 로 정의되는일차변환 의행렬을구하시오. 6. 일차변환 의행렬 에대하여중심이원점이고반지름의길이가 인원위의모든점을원위의점으로옮겨진다. 다음물음에답하시오. (1) 의값을각각구하시오. (2) 이일차변환 에의하여점 이점 로옮겨진다고 할때, 를이용하여행렬 를나타내시오.( 단, ) 7. 좌표평면위에서일차변환 에의하여점 은점 이으로, 점 는점 로옮겨지고, 점 는점 으로옮겨진다고할때, 다음 물음에각각답하시오. (1) 일차변환 의행렬을구하시오. (2) 점 의좌표를구하시오. (3) 일때, 일차변환 에의하여점 는점 로옮겨진다 고하자. 점 은원 위의점일때, 삼각형 의넓 이의최댓값과최솟값을각각구하시오. 각경우의 의값도구하 시오. - 23 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 8. 좌표평면위에서일차변환 의행렬이 일때, 시오. 다음물음에답하 (1) 세점 를꼭짓점으로하는삼각형의넓이 를구하시오. (2) 세점 를꼭짓점으로하는삼각형은어떠 한 값에대하여도무게중심이항상원점이며, 이삼각형의넓이가 일정한값을가지게됨을증명하시오. (3) 일차변환 의행렬을구하시오. 1. ± 2. ± 3 (1), (2) 또는 ± (3) < 또는 > ( 단, 5. (1), ± (3) ) 4. 생략 (2) 6. (1) 차례대로 (2) ± 7. (1) (2) (3) ± 일때, 최댓값 ± ± 일때, 최댓값 8., ± - 24 -

일차변환과행렬지도의이론과실제 참고서적및문헌 1. 황석근, 윤정호(2010), 수학과개정교육과정의그래프와일차변환단원에 대한고찰, 한국수학사학회지 vol. 23, no.4, pp.83-100 2. 황석근외(2010), 기하와벡터교사용지도서, 교학사 3. 황석근외(2009), 기하와벡터교과서, 교학사 4. 황석근외(2009), 기하와벡터익힘책, 교학사 5. 교육과학기술부 (2008), 고등학교교육과정해설 ❺ 수학, 한국보훈복지의 료공단신생인쇄조합 6. 교육인적자원부 (2007), 수학과교육과정, 교육인적자원부고시제 2007-79 호 [ 별책 8], 대한교과서주식회사 7. 교육부(1997), 수학과교육과정, 교육부고시제1997-15 호 [ 별책 8], 대 한교과서주식회사 8. 김용운, 김용국(1994), 수학사대전, 우성문화사 9. 김응태, 박승안(2002), 선형대수학, 청문각 10. 이인석(2005), 학부대수학강의 I - 선형대수와군, 서울대학교출판부 11. 임재훈외(2007), 수학Ⅰ 교사용지도서, 두산 12. Anton, Howard(2005), Elementary Linear Algebra, 9/E, John Wiley & Sons - 25 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 공간도형교과서분석 배정득 2) Ⅰ. 교육과정의내용과교과서구성 1. 교육과정의내용 가. 공간도형 1) 직선과직선, 직선과평면, 평면과평면의위치관계에관한간단한증 명을할수있다. 2) 삼수선의정리를이해하고, 이를활용할수있다. 3) 정사영의뜻을알고, 이를구할수있다. 나. 공간좌표 1) 좌표공간에서점의좌표를구할수있다. 2) 좌표공간에서두점사이의거리를구할수있다. 3) 좌표공간에서선분의내분점과외분점의좌표를구할수있다. 4) 구의방정식을구할수있다. 다. 용어와기호 교선, 삼수선의정리, 이면각( 변, 면, 크기), 정사영, 좌표공간, 공간좌표, 라. 교수학습 상의유의점 1) 공간도형의성질은관찰과직관에의해이해한후증명을하도록한다. 2) 공간좌표는평면좌표를확장하는수준에서간단히다룬다. 3) 공간좌표의개념과성질을공간도형에관한문제해결에활용할수있다. 2) 운암고등학교교사 / kingotw@edunavi.kr - 26 -

공간도형교과서분석 2. 교과서구성 공간도형 1. 직선 평면의위치관계 ( 평행과수직) 2. 직선 평면의수직 ( 삼수선의정리) 3. 정사영 공간좌표 1. 공간좌표 ( 공간에서의점의좌표) 2. 두점사이의거리 3. 선분의내분점과외분점 4. 구의방정식 Ⅱ. 공간도형의구성 1. 구성순서 1 평면의결정조건 2 ( 중학교에서배우는직선과직선, 직선과평면, 평면과평면의위치관계 ) 3 직선, 평면의평행에관한명제의증명 4 두직선이이루는각 5 직선과평면의수직관계 6 삼수선의정리 7 이면각 8 정사영 2. 교과서에나오는공간도형관련명제들 2007 개정교육과정에의하여제작된기하와벡터교과서는 10 종이있다. 이들교과서에서사용된명제를찾아보고그제시순서를알아보자. 각명제의 끝부분에는그명제를사용한교과서의종류를괄호안에나타내었다. 가. 꼬인위치와관련된명제 교과서에제시된꼬인위치와관련된명제는다음과같다. - 27 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) A 평면 와직선 이한점 에서만날때, 평면 위의직선 이점 를지나지않으면직선 은직선 과꼬인위치에있다. 두산동아, 성지출판 α l P m B 직선 과그위에있지않은한점 에의하여정해지는평면을 라고하자. 점 가평면 위에있지않은점이면직선 과직선 는서로꼬인위치에있다. 두산동아 C 공간에서두선분, 가꼬인위치에있 을때, 두선분, 도꼬인위치에있 다. 더텍스트 A α C Q B P l D 나. 평행과관련된명제 교과서에서평행과관련된명제는아래표와같이 10가지가있었다 D 직선 과평면 가평행할때, 을포함하는평면 와평면 의교선을 은 과평행하다.(9 종) α m l β E 두직선, 이평행할때, 을포함하는평면 와 을포함하는평면 의교선 은, 과평행하다.(1 종) β α m n l F 직선 과평면 가평행할때, 을포함하는 두평면 와 의교선을각각 이라고 하면 은 과평행하다.(4 종) G 공간의세직선 에대하여직선 이 과평행하면 은 과평행하다.(6 종) l m n - 28 -

공간도형교과서분석 A 평행한두평면 가다른한평면 와만나서생기는교선을각각 이라고하면 과 은평행하다.(7 종) B 평행한두평면, 에대하여직선 이평면 에포함되면 은 와평행하다.(7 종) α l β C 두직선 과 이평행할때, 직선 을포함하 고직선 을포함하지않는평면 는직선 과평행하다.(9 종) D 직선 과평면 가평행할때, 을포함하는평면 와평면 의교선을 은 과평행하다.(9 종) α m l β E 두직선, 이평행할때, 을포함하는평 면 와 을포함하는평면 의교선 은, 과평행하다.(1 종) β α m n l F 직선 과평면 가평행할때, 을포함하는 두평면 와 의교선을각각 이라 고하면 은 과평행하다.(4 종) G 공간의세직선 에대하여직선 이 과평행하면 은 과평행하다.(6 종) l m n - 29 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) H 평면 에포함되지않는점 를지나고평면 에평행한두직선 과 에의하여결정되는 평면 는 와평행하다.(9 종) I 두평면, 가평행하고직선 이평면 와한점에서만나면직선 은평면 와한점에서만난다.(2 종) α l β J 한평면과평행한두평면은서로평행하다. (7 종) 각교과서별로제시된명제와제시방법은다음표와같다. 출판사저자제시된명제및방법명제의수 교학사김수환전제 G, B 예제 C, 문제 D, 문제 F / 예제 H 교학사황석근 예제 A, 문제 B / 예제 C, 문제 D, 문제 F, 문제 G / 예제 H, 문제 J 금성출판사정상권예제 A, 문제 E / 예제 H, 문제 J 4 더텍스트김해경 두산동아우정호 미래엔컬처 그룹 성지출판 유희찬 계승혁 좋은책신사고황선욱 문제 B / 예제 C, 문제 D 예제 H, 문제 J / 문제 A, 문제 G 예제 A, 문제 B / 문제 I 예제 D, 문제 C / 예제 H, 문제 J 설명 B, 예제 D, 문제 C, 문제 F 예제 H, 문제 J, 문제 G 문제 A, 탐구 B / 예제 C, 문제 D 설명 G, 설명 H, 문제 I, 문제 J 확인문제 F 예제 A, 문제 C, 문제 D 예제 H, 문제 J 지학사이강섭예제 C, 문제 D / 확인문제 H 3 천재교육최용준 예제 A, 문제 D, 문제 B 예제 C, 문제 G 6 8 7 7 7 9 5 5-30 -

공간도형교과서분석 다. 수직과관련된명제 직선과평면의수직을정의하는것은다음두가지종류가있었다. 직선 이평면 와점 에서만나고, 점 를지나는평면 위의모든직선과수직일때, 직선 과평면 는수직이라하고, 기호로 와같이나타낸다. (7 종) 직선 이평면 위의모든직선과수직일때, 직선 과평면 는수직이라고하며, 이것을기호로 와같이나타낸다.(3 종) 다음명제는모든교과서에나타난다. 직선 이평면 와점 O 에서만나고, 점 O를지나는 위의서로다른두직선 과수직이면 과 는수직이다. 직선과평면의수직을첫번째방법으로정의한교과서에서는다음명제가 제시되어있다. 직선 이평면 와수직이면, 직선 은평면 위의모든직선과수직이다.(4 종) 직선 이평면 위의평행하지않은두직선 과각각수직이면직선 은평면 와수직이다.(4 종) 수직과관련된명제들은다음과같다. A 한평면 에수직인직선 을포함하는평면 는 와수직이다.(10 종) B 평면 와수직인두평면, 의교선 은 와수직이다.(4 종) C 서로다른두직선, 이평면 에수직이면두직선은서로평행하다. (1 종) D 한점 를지나는세직선 의어느두직선도서로수직이면, 그두직선으로정해진세평면은서로수직이다.(2 종) E 두평면, 가서로수직일때, 평면 위의한점 로부터두평면, 의교선 에내린수선은평면 에수직이다.(6 종) F 직선 과수직인두평면은서로평행하다.(2 종) G 직선 이평면 와수직이고, 직선 과평행하면, 와 은평행하다.(1 종) H 직선 과평면 가수직이고직선 과평면 가수직일때, 두직선 이평행하면두평면 와 가평행하다.(1 종) - 31 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 각교과서별로제시된명제와제시방법은다음표와같다. 출판사저자제시된명제및방법명제의수 교학사김수환예제 A, 문제 E 2 교학사황석근 금성출판사정상권 예제 F, 문제 G / 예제 A, 문제 E 예제 A, 문제 E 예제 B, 문제 C, 문제 D 4 5 더텍스트김해경문제 A, 문제 B 2 두산동아우정호예제 A, 문제 D 2 미래엔컬처그룹유희찬예제 A, 문제 E 2 성지출판계승혁 예제 F, 문제 H / 문제 A, 문제 B 4 좋은책신사고황선욱예제 A, 문제 E 2 지학사이강섭예제 A, 문제 E 2 천재교육최용준문제 A, 문제 B 2 라. 정사영과관련된명제 정사영과관련된명제는다음과같다. 직선의정사영이일반적으로직선임 을설명한교과서는 10종중 9 종이었으며, 대부분예제또는설명이었다. 직선 이평면 에수직이아닐때, 직선 의평면 위로의정사영 은직 선 을포함하면서평면 에수직인평면 와평면 와의교선이다.(2 종) 직선 과평면 가수직이아닐때, 직선 의평면 위로의정사영은직 선이다.(9 종) 두평면 의교선을 이라고할때, 평면 에수직인직선 을평면 에내린정사영 은 과수직이다.(1 종) - 32 -

공간도형교과서분석 3. 직선과평면, 평면과평면이이루는각의정의 가. 직선과평면이이루는각의정의와지도순서는? 교과서를살펴보면직선과평면이이루는각의정의는두가지방법으 로진술되어있다. 또, 각정의는비슷하지만엄밀하게따져보면다소차 이가있으며일부는모순이생기는경우도있다. 1) 수선의발을이용한진술 2) 정사영을이용한진술 토의주제 1 : 직선과평면이이루는각의크기에서일반각을사용하지않 는이유는무엇인가? 토의주제 2 : 직선과평면, 평면과평면이이루는각의크기는 이상 - 33 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 토의주제 3 : 이하로제한해야하는가? 또는 이하로제한해야 하는가? 꼬인위치에있는두직선에서한직선을회전축으로다른 직선을회전시킨도형의모양을설명하는가장좋은방법을 찾아보자. 3. 정사영의길이와넓이 가. 정사영의길이의명확한정리 - 34 -

공간도형교과서분석 나. 정사영의넓이설명방법 정사영의넓이를설명하는방법은삼각형의정사영을이용하는경우와 사각형의정사영을이용하는경우가있다. 1) 삼각형의넓이를이용한정사영의넓이를설명한경우 - 35 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 2) 사각형의넓이를이용한정사영의넓이를설명한경우 - 36 -

공간도형교과서분석 Ⅲ. 오류가있는문제 [ 문제 1] [ 문제 2] [ 문제 3] - 37 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) [ 문제 1] 의풀이 [ 문제 2] 의풀이 [ 문제 1] 의오류분석이문제는타원의정사영이원이라고가정한것에오류가있다. [ 증명] 아래 [ 그림 1] 과같이밑면과모선이이루는각의크기가 인직원뿔을밑 면과이루는각의크기가 ( ) 인평면으로자른단면에나타나는타 원의장축의길이를 라고하자. [ 그림 2] 의단면도에서점 D, E, F는각각선분 AC, AB, BC 의중점이다. O O P A C B A β D E H C α F B D Q H F [ 그림 1] [ 그림 2] [ 그림 3] - 38 -

공간도형교과서분석 다. 가타원의장축이므로장축의중점인 D 는타원의중심이다. 삼각형의중점연결정리에의하여,, 이 따라서삼각형 동이다. ADE, DCF, FED은세변의길이가각각같으므로합 또, 장축의길이가 이므로 이고,,, 이므로,, [ 그림 3] 은원뿔을점 D 를지나고밑면과평행한평면으로자른단면이다. 직선 DF와수직이고점 D를지나는선분 PQ 는타원의중심을지나고, 장축 과수직이다. 또, 두점 P, Q 는타원위의점이다. 따라서선분 PQ는타원의 단축이다. PDH 는직각삼각형이므로 단축의정사영의길이는 이고, 장축의정사영의길 이는 이다. 정사영이원이되려면장축과단축의정사영의길이가같아야하므로 또는 이면원뿔이될수없고( 원기둥은가능함), 이면밑면과평행 한평면으로자른것이므로조건을만족하지않는다. 따라서이타원의밑면으로의정사영은원이될수없다. [ 문제 2] 의오류분석 이문제의풀이에는몇가지오류가있다. 한가지는정사영의모양이반원의정사영과이등변삼각형의정사영으로나 누어진다는것이다. 정사영은원뿔의꼭짓점의정사영에서원(?) 에접선을그 - 39 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 은모양이다. 아래오른쪽그림은원뿔의꼭짓점이타원의내부로정사영된경우로이풀이에서의설명이잘못된것임을알수있다. 또한가지는반원의길이를 이라고할때그정사영의길이가 라 고한것이다. 이것은평면도형의정사영의길이와각사이의관계에대한오 류이다. 길이가 인선분의정사영의길이가 라는것은선분 과두 평면의교선이이루는각이 일때임을간과한경우이다. 반례로 이면 이지만원의정사영은선분이므로그길이는 이다. 이문제에서반원의정사영의길이는장축이, 단축이 인타원둘 레의절반이다. - 40 -

이차곡선의이론적배경 이차곡선의이론적배경 강정호 3) Ⅰ. 이차곡선 ( 二次曲線, quadratic curve) 이란? 원, 포물선, 타원, 쌍곡선은원뿔을평면으로절단하였을때단면으로나타 나는곡선이란의미에서원뿔곡선 ( 또는원추곡선 ) 이라고부른다. 수학에서는 이원뿔곡선을좌표평면위에나타내면이차식이되기때문에이차곡선이라고 부르는데, 있다. 같은대상이기하학적명칭과대수적명칭으로동시에불리어지고 < 원뿔곡선이이차식으로표현됨을증명> 4) 좌표공간에서두평면, 의교선을 축주위로회전시켜얻어지 는원뿔의방정식은. 1로잘라서생기는절단면의방정식은 이원뿔의어느한모선에평행인평면, 이다. 이를 평면에투사한곡선이, 이므로포물선의방정 식이다. 같은방법으로위의 1에해당되는평면을 ( 모선보다기울 기가작은평면 ), ( 모선보다기울기가큰평면) 으로나타내면각각 타원, 쌍곡선의방정식이된다. Ⅱ. 이차곡선의역사 1. 3대작도불능문제와히포크라테스고대그리스의아테네에는전염병이나돌고있어아테네시민들은델로스의신전에모여전염병이퍼지는것을멈추게해달라고신에게간절히기도했다. 3) 오성고등학교교사 /clusterpt@hanmail.net 4) 오철, 문제해결력신장을위한원뿔곡선의연구, 제주대, 2004, p.27-41 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 이때, 정육면체모양인아폴로제단의부피를 2배로늘리면전염병을멈추 게해주겠다 는신의계시를받은그리스인들은자와컴퍼스를사용해서그 에맞는정육면체를만들려고했다. 그러나제단의부피를 2배로만들려는시 도들은모두실패로끝나고말았다. 히포크라테스 (Hippocrates) 는이문제가 와 사이에두개의비례중항 와 를구하는문제와같음을밝혔다. 즉, 를만족하는두개의비례중항 를구하는문제로바꿀 수있음을증명한것이다. 이식을만족하는 와 를구하면,, 이되고, 를소거하면 즉, 한모서리의길이가 인정육면체의부피가한모서리의길이가 인정 육면체의부피의 2 배가된다. 하지만히포크라테스는자와컴퍼스만을이용 하여위의식을만족하는 를작도할수는없었다. 2. 메나에크무스(Menaechmus) 에우독소스의제자메나에크무스 (Menaechmus, B.C. 375~325) 는처음으 로원뿔곡선을엄밀하게정의하였다. 그는히포크라테스가밝혀낸세방정식,, 을만족하는 를작도하려고시도하던중 B.C 350 년경에꼭지각이직각인직원뿔을모선에수직인평면으로잘랐을때의 생긴곡선은두방정식, 를만족하고, 꼭지각이둔각인직원 뿔을모선에수직으로잘랐을때생긴곡선은방정식 을만족하는것 을발견하였다. 이후꼭지각이예각인직원뿔을모선에수직으로잘랐을때 생긴곡선도발견하였는데, 이는당시그리스인들이원을사영한모양이라알 려진타원이었다. 직원뿔의꼭지각이예각일때의단면에나타나는곡선을 예각원뿔절단면, 꼭지각이직각일때는 직각원뿔절단면, 꼭지각이 둔각일때는 둔각원뿔절단면 이라하였는데오늘날의타원, 포물선, 쌍곡 선에해당한다. 3. 아폴로니우스(Apollonius) 메나에크무스의원뿔곡선에관한연구를계승발전시킨아폴로니우스 (Apollonius, B.C. 약 260~200 년) 의저서 원뿔곡선론 에서현재사용되 - 42 -

이차곡선의이론적배경 고있는원, 포물선, 타원, 쌍곡선의어원을찾아볼수있다. 그는하나의직원 뿔을여러가지평면으로잘라이평면이밑면과이루는각의크기와모선과 밑면과이루는각의크기를비교하여, 부족하다 는뜻의 ellipse( 타원), 같다 는뜻의 parabola( 포물선), 초과한다 는뜻의 hyperbola( 쌍곡선) 를썼다. 즉, 그림과같이단면과밑면이이루는각의크기를, 모선과밑면 이이루는각을크기를 라하면 일때원, 일때타원, 일 때포물선, 일때쌍곡선이된다. 쌍곡선원 원 타원포물선 쌍곡선 타원 포물선 쌍곡선 < 증명> 5) 일때단면이원인것은명확하다. 밑면이반지름이 인원이고모선과밑면이이루는각이 인직원뿔을밑 5) 강경관외, 아이리스수리논술, 프리미어프레스, 2007, p.99-43 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 면과이루는각의크기가 인평면으로자르고그림과같이좌표축을잡는다. 단면이그리는곡선위의임의의점 에서밑면에내린수선을발을 라하고 에서 축에내린수선의발을, 직선 에내린수선의발을 라하면, 이고 이므로 이다. 또한, 이고 이므로 양변을제곱하여정리하면 이다. 1 이면 이므로포물선이된다. 2 이면,, 이므로타원이된다. 3 이면,, 이므로쌍곡선이된다. 또한, 아폴로니우스는타원이주어진두점( 초점) 으로부터의거리의합이 일정한점들의자취이고, 쌍곡선은주어진두점으로부터의거리의차가일정 한점들의자취라는것을발견하는등원뿔곡선에관하여많은연구를하였다. < 원뿔곡선에대한증명> 6) 가. 포물선증명 모선과평행하게잘라낸평면 와원뿔 에접하는구를하나그리고, 원뿔과구 가접하는점점으로이루어진원 를 품는평면 와의교선을 이라하고포물 선위의임의의점 에서평면 와교선 에내린수선의발을각각 라하 6) 오철, 문제해결력신장을위한원뿔곡선의연구, 제주대, 2004, pp.28~30-44 -

이차곡선의이론적배경 자. 또, 평면와구의접점을 라하자. 선분 와원 가만나는점을 라하면직선 는구의접선이다. 구의접선의길이는모두같으므로 1 원뿔의축과직선 은평행하므로 ( 축과모선 가이루는각), 직선 은 공통, ( 직각) 이므로 2 1, 2에서. 따라서평면 로잘라서생기는곡선은 를초점직 선 을준선으로하는포물선이다. 나. 타원증명 모선보다기울기가작게잘라낸평면 와 원뿔에접하는두개의구를생각하자. 평면 와원뿔이만나서생기는곡선위의임의의점 을, 평면 와두구의접점을각각, 점 와원뿔의꼭지점을지나는직선의연장 선과두구의교점을각각 이라하면구 의접선의길이는모두같으므로, ( 일정) 따라서평면 와원뿔이만나서생기는곡선은두초점이 타원이다. 다. 쌍곡선증명 모선보다기울기가크게잘라낸평면 와원 뿔에접하는두개의구를생각하자. 평면 와 원뿔이만나서생기는곡선위의임의의점을, 평면 와두구의접점을각각, 점 와 원뿔의꼭지점을지나는직선의연장선과두구 의교점을각각 이라하면구의접선의길 이는모두같으므로, ( 일정) - 45 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 따라서평면 와원뿔이만나서생기는곡선은두초점이 인쌍곡선이다. 4. 17 세기이후 고대그리스의메나에크무스와아폴로니우스가수학적흥미로연구한원뿔 곡선은아르키메데스가제 2차포에니전쟁에서거울을이용하여로마군대의 배를태웠다는것이외에는별관심을끌지못하다가, 17세기좌표를이용하 여도형을수식으로나타내는해석기하학이도입됨에따라단순히도형을다 루는것이아니라식을이용하여정확한수치를계산할수있게되어, 원뿔곡 선에대한여러가지새로운사실들이밝혀지면서그의미가부각되고실생활 에응용되어과학발전에큰영향을주었다. Ⅲ. 이차곡선의분류 1. 이차형식과이차곡선의분류 (Quadratic forms and classification of quadratic curves) 가. 벡터공간 위의이차형식표현과이차곡선 < 정의1> 이차방정식 에서 을이차방정식에관한이차형식 (quadratic form) 이라고한다. < 정의2> 이차곡선의방정식이다음의식( 그래프) 으로표현되면이이차 곡선은표준위치 (standard position) 에있다고한다. - 46 -

이차곡선의이론적배경 < 보기> 방정식 은어떤그래프인가? 이므로 운 - 좌표계에서다음과같이나타내어진다. 으로치환하면새로 이식은 - 좌표계에서표준위치에있는쌍곡선의방정식이다. 따라서 그래프는 로 - 좌표계에서표준위치에있는쌍곡선을 축으로 2 만큼, 축으 3 만큼평행이동한그래프이다. 나. 이차형식의대각화및이차곡선의분류 교차항 (항) 을갖는이차방정식의그래프를쉽게그리는방법은좌표계를 직교변환에의해회전하여교차항을제거하는것이다. 교차항을제거하기위한 좌표계의변환과관계되는것이대각화이다. 이차방정식 을행렬로표현하면 - 47 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 이때, 라고하면, 다음과같이표현된다. 1 새로운 - 좌표계에서교차항( 항) 이없는이차방정식을얻기위해아래와같은단계로 좌표축을회전시킬것이다. STEP 1 이차형식 을직교대각화하는 를찾는다. 7) STEP 2 이되기위해필요하다면 의열을바꾼다. 직교행렬 는 꼴의 상의회전변환을나타내는행렬이 다. 이러한행렬 에의하여얻어진새로운좌표계를 - 좌표계라하자. 그러면 즉, 2 STEP 3 -좌표계에서이차곡선의방정식을얻기위해서 2을 1에대입하면 에의하여 는대각화가능하므로 3 λ (λ λ λ 는 의고유값 (eigenvalues) 그러면 3은다음과같이표현할수있다. 7) HOWARD ANTON (1994) ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA(EDITION7) - 48 -

λ λ 또는, λ λ 이차곡선의이론적배경 의주축정리 (Principal Axes Theorem for ) 대칭행렬 의고유값을 λ λ 라할때, 좌표축의회전에의하여이 차형식 는새로운 -좌표계에서 으로표현될수있다. 여기서이회전은행렬식이 1이고 를대각화하는직 교행렬을 라할때, 이라는치환에의하여얻어진다. 이차곡선의판별식 (Discriminant of a conic section) 8) : 위에서우리는 λ λ 의부호에따라이차곡선이결정됨을알수있다. 의고유방정식 (characteristic equation) 은 의해가 이므로, 근과계수의관계에의하여 (1) 과 는서로다른부호 : 쌍곡선 (2) 과 는서로같은부호 : 타원 (3) 또는 는 0 : 포물선 < 보기1> 이어떤이차곡선인지알아보자. 1 8) http://en.wikipedia.org/wiki/discriminant - 49 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 의고유방정식은 따라서 의고유값은 이고, 대응되는고유공간의정규직교기저 를찾으면, :, : 이다. 는 을직교대각화하고 이므로직교좌표계의변형 변환이다. 2을 1에대입하면 따라서주어진방정식은 또는 2 은회전 또는 ( 는 의열벡터 들이다.) < 보기2> 이어떤이차곡선인지알 아보자. 1-50 -

이차곡선의이론적배경 < 보기1> 에서 을 1에대입하면 이므로따라서 2은 이고, 평행이동 에 의하여축을이동시키면 2 또는 따라서타원이다. ( 는 의열벡터들이다.) 2. 이차곡선의중심( 中心 ) 과이차곡선의분류 (classification of quadratic curves by center) 곡선 에대하여정점 를지나는임의의직선이곡선 와두점 에서만날때, 점 가항상선분 의중점이되면점 를곡선 의중 심( 中心,Center) 이라고한다. 이차곡선 은 일때, 단하나의중심을갖고, 그중심 - 51 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 의좌표는연립방정식 의해이다. 또, 일때, 이차곡 선은중심을갖지않거나무수히많은중 심을갖는다. 과같다. 9) 이차곡선을분류하면다음 (1) 유심이차곡선 ( 有心二次曲線 ) : (i) : 타원류 곡선의방정식은 + 이며, > 이면타원( 또는원) 이면두허직선( 虛直線 ) 또는점타원( 또는점원) < 이면허타원( 또는허원) (ii) : 쌍곡선류 ( 쌍곡선, 만나는두직선) 곡선의방정식은 이며, 이면쌍곡선 이면서로만나는두직선 (2) 무심이차곡선 ( 無心二次曲線 ) :, 포물선류 ( 포물선, 평행한두직선) 곡선의방정식은 + 이며 이면포물선 이면평행한실( 實 ) 또는허( 虛 ) 인두직선, 또는서로겹치는두직선 이차곡선 이중심 를가질때,, 로평행이동하여신좌표 의원점이 가되도록한다음 9) 이성헌 (1989), 해석기하학, 진명문화사 - 52 -

ζ η ζ η, 이차곡선의이론적배경 로 축을원점둘레로 만큼회전시켜 ζ η 평면에서표준형으로나타 내어이차곡선을판단한다. 무심이차곡선의경우에는회전이동에의한신좌표 평면에서표준형으로나타내어이차곡선을판단한다. < 보기1> 이어떤이차곡선인지알아보자. 이므로타원류이다. 을풀면중심은 이다. 원점을 로옮기는좌표축의평행이동 에의하여주어진이차방정식은 이된다. 에서 1 ζ η ζ η 를 1 에대입하여정리하면 ζ η ζ η ζ η 따라서주어진이차곡선은타원이다. < 보기2> 이어떤이차곡선인지알아보자. 이므로포물선류이다. 에서 인해는 이다. - 53 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 이때 ζ η ζ η ζ η ζ η 을주어진식에대입하여정리하면 η ζ η η ζ 따라서주어진이차곡선은포물선이다. Ⅳ. 이차곡선의반사성질 ( 광학적성질) 1. 기하학적증명Ⅰ 10) 가. 포물선 포물선의축에평행하게입사한빛은초점을지나고, 초점에서나간 은축에평행하게반사된다. < 증명> 축위에각각초점 와점 를잡는다. 선분 의수직이등분선과점 를지나고 축에수직인직선의교점을 라고하자. 점 가 축위를움직일때 이므로점 의자취는포물선이다. 빛 이때, 축은준선, 점 는초점이다. 그림에서직선 위에점 를잡으면 ( 맞꼭지각 ) 그런데, 이므로 10) 남호영외, 원뿔에서태어난이차곡선, 수학사랑, 2007, p.180, pp.189~190-54 -

이차곡선의이론적배경 가성립한다. 따라서, 점 를지나축에평행하게들어온빛은점 에서포물선에부딪 쳐꺽인후초점 를지나게되고거꾸로초점을지난빛은축에평행하게반 사된다. 나. 타원 타원의한초점에서나간빛은다른초점으로반사된다. < 증명> 원 위의점, 원내부의임 의의점 에대하여 의수직이등분선 을 이라하면 ( 원의 반 지름) 이므로그림에서점 가원 위를 움직일때점 의자취는타원이다. ( 맞꼭지각 ) 이므로 이성립한다. 따라서, 타원의한초점에서나간빛은다른 초점으로반사된다. 다. 쌍곡선 쌍곡선의한초점을향해직진하는빛은쌍곡선에부딪히면다른초점을향 해반사된다. < 증명> 원 위의점, 원외부의임의의 점 에대하여직선 을 의수직이등 분선이라하면 ( 원의반지름) 이므로그림에서점 가원 위를움직일때점 의자취는쌍곡선이다. ( 맞꼭지각 ) 이므로 이성립한다. 따라서, 쌍곡선의한초점을향해직진하는빛은쌍곡선에부딪히면다른 초점을향해반사된다. - 55 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 2. 기하학적증명Ⅱ 11) 가. 포물선 포물선에서축과평행하게들어온빛은포물선위의점에서반사된후 항상초점으로들어간다. < 증명> 빛이 에서 축과평행하게포물선위의 한점 로들어왔다고하자. 에서포물선의준선 에내린수선의발을 라하고, 포물선의초점을 라하면포물선의성질에서 이다. 또한 축위에점 를잡아 가되도록하면, 사 각형 는마름모가된다. 두점 와 를지나는직선이포물선과 이외 의점 에서만나다면, 점 는마름모 의대각선위의점이므로 이다. 또한점 는포물선위의점이므로그림에서 이므로 가되어모순이다. 따라서직선 는포물선과점 이외의점에서 는만나지않으므로직선 는포물선의접선이된다. 한편 이므로, 포물선에서축과평행하게들어온 빛은포물선위의점에서반사된후항상초점으로들어간다. 나. 타원 타원의한초점에서나온빛은타원위의한점에서반사된후항상타 원의다른한초점으로들어간다. < 증명> 그림과같이타원위의한점 에서타원에접선을긋고, 타원의 한초점 를그접선에대하여대칭이동한점을, 접선과 축과의교점을 라한다. 또한 와 를이은직선이접선과만나는점을 라하고, 타원 과만나는점을 이라한다. 면 이고 이때만일두점 와 가서로다른점이라 이므로 1이다. 11) 강경관, 아이리스수리논술, 프리미어프레스,2007, pp.28~32-56 -

이차곡선의이론적배경 또, 2 1과 2는동시에성립할수없으므로두점 와 는동일한점이고, 따라서세점,, 는동일한직선위의점이다. 그런데삼각형 는 인이등변 삼각형이므로, 의중점을 이라할때,, 각) 이므로 이다. ( 맞꼭지 따라서타원의한초점에서나온빛은타원위의한점에서반사된후항상 타원의다른한초점으로들어간다. 다. 쌍곡선 쌍곡선의한초점으로들어가다가쌍곡선위의점에서반사된빛은쌍곡 선의다른한초점으로들어간다. < 증명> 그림에서빛이 에서쌍곡선의 초점 방향으로진행하다가쌍곡선위의 점 에서반사되었다고할때, 반사된빛 이쌍곡선의다른초점 로들어간다는 것을설명하면된다. 직선 이점 에 서쌍곡선에그은접선일때, 임을보이면된다. 런데 이므로 그 임을보이면된다. 쌍곡선의초점 를접선 에대하여대칭이동한점을 라하고, 선분 의연장선이쌍곡선및접선 과만나는점을각각 라한다. 이 때두점 와 이서로다른점이라가정한다. 그러면삼각형 에서 이고, 삼각형 는 인이등변삼각형이므로 1이다. 또한두점 이모두쌍곡선위의점이므로 이고, 삼각형 - 57 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 에서 이므로 즉 2이다. 1과 2는동시에성립할수없으므로두점 와 는동일한점이고, 따 라서세점,, 는동일한직선위의점이다. 그런데삼각형 는이등변삼각형이므로 이다. 따라서쌍곡선의한초점으로들어가다가쌍곡선위의점에서반사된빛은 쌍곡선의다른한초점으로들어간다. 3. 대수적증명12) 가. 포물선 포물선의축과평행으로들어오는빛은포물선에반사된후항상포물선 의초점으로모인다. < 증명> 포물선의방정식을 라하면, 포물선 위의점 에서의접선의방정식은 이다. 이접선과 축과의교점 의 좌표는 이므로 이므 로사각형 는마름모가된다. 따라서 이므로포물선에 서축과평행하게들어온빛은포물선위의점에서반 사된후항상초점으로들어간다. 나. 타원 타원의하나의초점에서나온빛은타원위의한점에서반사된후항상 타원의다른하나의초점으로들어간다. < 증명> 타원 위의점 에서의접선의방정식은 12) 강경관, 아이리스수리논술, 프리미어프레스,2007, pp.29~33-58 -

이차곡선의이론적배경 이고, 이접선과 축과의교점은 이다. 타원의두초점을, 이라하면,, 이다. 한편, 이다. 따라서 같은방법으로 따라서 이므로탈레스정리에서 이 다. 그런데 ( 맞꼭지각 ) 이므로 따라서타원의하나의초점에서나온빛은타원위의한점에서반사된후 항상타원의다른하나의초점으로들어간다. 다. 쌍곡선 쌍곡선의한초점을들어가는빛은쌍곡선에반사된후항상쌍곡선의 다른한초점으로들어간다. < 증명> 쌍곡선 위의점 에서의접선의방정식은 이고, 이접선과 축과의교 점은 이다. 쌍곡선의두초점을, 이라하면, - 59 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ), 이다. 한편, 이다. 따라서 같은방법으로 따라서 이므로탈레스정리에서 이다. 그런데 ( 맞꼭지각 ) 이므로 따라서쌍곡선의한초점을들어가는빛은쌍곡선에반사된후항상쌍곡선 의다른한초점으로들어간다. 4. 벡터를이용한설명13) 가. 포물선 포물선의초점으로부터의운동과준선으로부터의운 동을생각해보면초점에서동점까지의거리와준선으로 부터동점까지의거리가항상같으므로두운동의속도 벡터또한같은크기여야한다. 따라서질점 의속 도벡터는크기가같은두벡터의합으로표현됨으로포 물선위의한점에서의접선은점 와초점을연결한 선분과점 를지나면서준선에수직인직선이만드는각을이등분한다. 따 13) 김일호, 대학별수리논술기출문제만공부한다, 경문북스, 2007, pp.111~113-60 -

이차곡선의이론적배경 라서입사각과반사각이같으므로포물선의초점에서나온빛이포물선에반 사되어축에평행한직선을따라나아간다. 나. 타원 타원위의두초점에이르는거리의합은일정하 므로타원위의점 가곡선을따라운동하게되 면하나의초점에이르는거리는줄게되고그만 큼다른초점에이르는거리는늘게된다. 따라서 질점 의속도벡터는크기가같은두벡터의합 으로표현됨으로타원위의점 에서의접선은두초점을잇는직선이이 루는각을이등분한다. 따라서타원의한초점에서나온빛이타원과만나 서다른하나의초점을지나게되고, 한초점을향해서들어오는빛은다 른하나의초점에서나온방향으로빛이나아간다. 다. 쌍곡선 쌍곡선위의한점 가쌍곡선을따라운 동할때, 한초점에이르는거리가늘거나줄 게되면다른초점에이르는거리도같은크 기로줄거나늘게된다. 따라서질점 의속 도벡터는크기가같은두벡터의합으로표현됨으로쌍곡선위의점 에서 의접선은 를이등분하므로, 하나의초점에서나온빛이다른초 점이있는쪽의곡선과만나서반사하게되면그쪽의초점을잇는직선을 따라서진행하고, 반대로하나의초점을향해서들어온빛이쌍곡선과만 나서다른쪽의초점을향해서나아가게된다. - 61 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 참고문헌및사이트 오철 강경관외 이은실 이상구 신항균외 (2004). 문제해결력신장을위한원뿔곡선연구. 제주대학교. (2007). 아이리스수리논술. 프리미어프레스. (2009), 이차형식과이차곡선의분류, 인제대학교 (2009), 현대선형대수학, 경문사 (2003), 선형대수학과응용, 경문사 STEVEN J. LEON (2004), 선형대수학과응용, 경문사 이승우외, 선형변환을이용한이차곡선에관한연구, HOWARD ANTON (1994) ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA(EDITION7) 이성헌 최대호외 (1989), 해석기하학, 진명문화사 (1996), 대수학과기하학, 충북대학교 GARDING (1977), Encounter with Mathematics, Springer-verlag 남호영외 강경관 김일호 (2007), 원뿔에서태어난이차곡선, 수학사랑 (2007), 아이리스수리논술, 프리미어프레스 (2007), 대학별수리논술기출문제만공부한다, 경문북스 송정화 (2008). 아폴로니우스가들려주는이차곡선 1 이야기. ( 주) 자음과모음 송정화 (2009). 아폴로니우스가들려주는이차곡선 2 이야기. ( 주) 자음과모음 http://en.wikipedia.org/wiki/discriminant http://pythagoras0.springnote.com/pages/1999008 http://blog.naver.com/k_huibum?redirect=log&logno=30100081222-62 -

이차곡선지도의실제 이차곡선지도의실제 예용대 14) Ⅰ. 들어가며 2007 개정교육과정에제시된 기하와벡터 과목의목표는수학적개념, 원 리, 법칙을이해하고, 수학적으로사고하고의사소통하는능력을신장하여여 러가지문제를합리적이고창의적으로해결하며, 수학의실용성을인식하여 수학에대한긍정적태도를가진다. 가 2007 개정교육과정에제시된 기하와 벡터 과목의목표이다. 그러나, 지필위주의수업환경과 5지선다형과단답형으 로치루어지는대학수학능력시험준비를위한수업이진행되어야하는학교 현장에서는이러한교과목목표를달성하기위한수업을진행하기에는적지않 은부담이따른다. 또한, 홍성관 박철호(2007) 는역사발생적원리의도입을 생략한채, 정의로부터출발하는기하학의형식적이고공리적인구조의특징은 그것을학습하려는많은학생들에게장벽을느끼게한다고하였다. 고등학교교육과정에서기하와관련된내용중이차곡선단원은아주중요 한개념이지만, 학생들이학습하는데많은어려움을겪는단원중의하나이다. 홍성관 박철호(2007) 는구성주의적학습소재로각광받고있는이차곡선단원 이교육현실에서는기하학적관점으로접근하지않고, 대수적인 ( 또는해석기하 학적인) 관점만을강조하여학생들이그개념의기원을무시한채, 오로지기 계적인계산으로만해결하는형식주의에빠져있다고보았다. 접 고등학교교육현장에서의이러한문제점을극복하는방안으로학생들이직 체험할수있는여러가지방법을제시하여, 학생들에게흥미를유발하고 자기주도적학습을할수있게하는방안이강구되어야할것이다. 14) 호산고등학교교사 / yongdye@hanmail.net - 63 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) Ⅱ. 이차곡선만들어보기 1. 이차곡선의정의를활용한문제 1 평면위에그림과같이정점 와이점을지나지않는한정직선 이있 을때, 직선 위를움직이는점 를지나고 에수직인직선과선분 의수직이등분선이만나는교점 의자취는? 2 평면위에그림과같이직선 를지나는원의중심 의자취는? 에접하고이직선위에있지않은한점 3 평면위에그림과같이선분 중심 의자취는? 를지름으로하는반원에내접하는원의 - 64 -

이차곡선지도의실제 4 평면위에그림과같이원 내부의한정점을, 원위의임의의점을 라할때, 선분 의수직이등분선 과선분 의교점 의자취는? 5 평면위에그림과같이두원 외접하는원의중심 의자취는? 가있다. 원 에내접하고원 에 6 평면위에그림과같이원 외부의한정점을, 원위의임의의점을 라할때, 선분 의수직이등분선 과선분 의교점 의자취는? - 65 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 7 평면위에그림과같이두원 외접하는원의중심 의자취는? 가있다. 원 에외접하고원 에 2. 동심원을이용한방법15) 가. 포물선나. 타원 준 다. 쌍곡선 15) 오철, 문제해결력신장을위한원뿔곡선의연구, 제주대, 2004, pp.22~23-66 -

이차곡선지도의실제 < 참고사이트> http://clowder.net/hop/parabola.html http://clowder.net/hop/elpshypr.html http://clowder.net/hop/eccentric.html 3. 도구를이용한방법 가. 포물선나. 타원 16) 17) 다. 쌍곡선 18) 16) http://edu.bgs.hs.kr/bbs/data/math_ii/qudradic%20curve/para.html 17) http://edu.bgs.hs.kr/bbs/data/math_ii/qudradic%20curve/ellip.html 18) http://edu.bgs.hs.kr/bbs/data/math_ii/qudradic%20curve/hyper.html - 67 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 4. 종이접기19) 가. 포물선 직선 위의점 에서의수선과선분 의수직이등분선의교점을점 라하면, 이다. 따라서점 가직선 위를움직일때점 의자 취는포물선이다. 이사실을이용하여종이를그림과같이접으면접힌선 이직선 가된다. 이것은포물선의접선이며이러한접선들의외곽선으 로이루어지는곡선을포락선(envelope) 이라고한다 나. 타원 원의중심 와원내부의점, 원위의 에대하여선분 의수직이 등분선과선분 의교점을 라하면 ( 원의반지름의 길이) 이다. 따라서점 가원위를움직일때점 의자취는타원이다. 이 사실을이용하여종이를그림과같이원의내부에초점을표시하여초점과 원위의점에겹치도록접으면접힌선이직선 이고이때의포락선은 타원이된다. 19) 오철, 문제해결력신장을위한원뿔곡선의연구, 제주대, 2004, pp.20~22-68 -

이차곡선지도의실제 다. 쌍곡선 원의중심 와원와부의점, 원위의 에대하여선분 의수직이 등분선과직선 의교점을 라하면 ( 원의반지름 의길이) 이다. 따라서점 가원위를움직일때점 의자취는쌍곡선이 다. 이사실을이용하여종이를그림과같이원의외부에초점을표시하여 초점이원위의점에겹치도록접으면접힌선이직선 이고이때의포 락선은쌍곡선이된다. 5. 직사각형을이용한방법20) 가. 포물선 ( 그림1) 와같이직사각형 의변와변를같은개수의선분 으로등분하여점 와 에서차례로번호를붙이고점 에서변 위 의점 과연결한직선들과변 에평행인선분 과의교점들 중에서같은번호끼리의교점들을연결하면포물선이된다. ( 그림2) 와같 이간격을작게등분할수록점점더매끈한모양의포물선을만들어나갈 수있다. 같은방법으로축에대칭이되는쪽의포물선도완성할수있다. 20) 오철, 문제해결력신장을위한원뿔곡선의연구, 제주대, 2004, pp.23~26-69 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) < 증명> 점 를원점이라하고 라하면점 와선분 위의 번째점 를지나는직선의방정식은 이다. 이직선과 축에평행한 번째직선과의교점을구하면 이므로 를소거하여 사이의관계를구하면 이므로이곡선은포 물선이다. 나. 타원 ( 그림3) 과같이장축, 단축 를그리고이것을포함하는점 가 중심이되는직사각형을그린다. 를 등분하여 에서부터번호를 붙이고점 에서 위의 등분된점을연결하고, 점 에서 위의 등분된점들을연결해같은번호를지나는선분의교점들을연결하면타원이 된다. 좀더세밀하게등분하면매끈한모양의타원을얻을수있다. - 70 -

이차곡선지도의실제 다. 쌍곡선 ( 그림4) 와같이선분 를대칭축으로직사각형 를그리고선분 와 를같은개수로등분하고점 에서차례로번호를매긴다. 점 로부터각각선분, 위의점 에직선을긋고같은번 호를지나는교점들을연결하면쌍곡선이만들어진다. 좀더세밀하게등 분하면매끈한모양의쌍곡선을얻을수있다. < 증명> 점 를원점이라하고, 라하자. 점 와 위의 번째점 를지나는직선의방정식은 1 점 와 위의 번째점 를지나는직선의방정식은 2이다. 1, 2를연립하여풀면 이므로 를소거하여 정리하면, 이므로이 곡선은타원이다. - 71 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 6. 광원의위치에따른평면위에놓인공의그림자가나타내는이차곡선 21) 원 : 광원이구의중심상단에있을때, 구의평면위로의 그림자는원이고, 구와평면과의접점은원의중심이다. [ 그 림 1] 타원 : 광원이구의위쪽에서비껴있을때, 구의평면위로 의그림자는타원이고, 점이다. [ 그림2] 구와평면과의접점은타원의한초 포물선 : 광원이구의높이와같은높이에있을때, 구의 평면위로의그림자는포물선이고, 구와평면과의접점은포물선의초점이다. [ 그림3] 쌍곡선 : 광원이구의높이보다아래에있을때, 구의평면위로의그림자는 쌍곡선이고, 구와평면과의접점은쌍곡선의한초점이다. [ 그림4] 21) 강경관외, 아리리스수리논술, 프리미어프레스, 2007, p.100-72 -

이차곡선지도의실제 7. 종이와손전등을이용하여이차곡선만들어보기22) 종이의한변만테이프로고정시킨후손전등을종이바로위에서수직으로 세워불빛의모양을관찰한다. 손전등을움직이지않고종이의고정되지않는 쪽을잡고바닥에서점점세우면서불빛의모양을관찰한다. 처음불빛의모양 은원이고점점종이의각도를높이면타원, 포물선, 쌍곡선이나타난다. Ⅲ. 이심율 23) 1. 이심율 이차곡선위의한점 와평면위의한정 점 ( 초점) 과직선 ( 준선) 에이르는거 리의비 ( 이심율) 는 로서정의할수있다. 포물선 에서의준선의방정식은, 타 원 ( 단, ) 에서의준선의방정식은 ±, 쌍곡선 ( 단, ) 에서의준선의방정식은 ± 이다. 이때, 이면타원, 이면포물선, 이면쌍곡선이성립한다. < 증명> 이심율은 이므로 이고 이므로 이면 이므로포물선이다. 이면 이므로타원이다. 22) 송정화. 아폴로니우스가들려주는이차곡선 1 이야기. ( 주) 자음과모음. 2008. pp.43~44 23) 오철, 문제해결력신장을위한원뿔곡선의연구, 제주대, 2004, pp.16~18-73 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 이면 이므로쌍곡선이다. 타원 단 의이심율은 이고, 쌍곡선 단 의이심율은 이다. < 증명> 점 가타원 위의점이고, 점 를한초점이 라고할때, 준선의방정식을 ± 라하면 이므로 2. 모든포물선은닮았다24) 원뿔곡선의모양은그규모나크기와는관계없이이심율의값에따라다르 다. 원의이심률은 이므로원들의크기가다르더라도모양은모두같아 모든원은닮았다고할수있다. 타원과쌍곡선은이심율이변함에따라모양 이변한다. 그러나, 포물선의이심율은 이므로준선과초점사이의거리 가길수록곡선의규모만커질뿐같은모양이므로확대하거나축소하면겹쳐 진다. 24) 남호영외, 원뿔에서태어난이차곡선, 수학사랑, 2007, p.180, pp.107-74 -

이차곡선지도의실제 Ⅳ. 수직인두접선의교점의자취25) 1. 원 원 밖의한점 에서이원에그은두접선이서로수직일때두접선의교점 의자취는 이다. < 증명> 원밖의임의의점을 이라하면그점을지나는직선의방정식은 이고원에접하므로 에대입하여정리하면 이므로 을 에관하여정리하면 두직선이서로수직이므로기울기곱이 이다. 이를정리하면 이된다. 즉, 는원점을중심으로반지름의길이가 인원위의점들이다. 2. 포물선 포물선 밖의한점 에서이포물선에그은두접선이서로수직 일때두접선의교점 의자취는 ( 준선) 이다. < 증명> 포물선밖의임의의점을 이라하면그점을지나는직선의 방정식은 이고포물선에접하므로 에대입하여정 리하면 이므로 을정리하면 25) 이차곡선총정리( 심화편) - 기하학적특성을중심으로. Gauss Academy. p.17, p.34, p.54. - 75 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 두접선이수직이므로기울기의곱이 이다. 따라서, 두접선이수직이되는점들의자취는 ( 준선) 가된다. 역으로, 준선위의점 에서포물선에그은접선의방정식은 이고근과계수와의관계에의하여 이므로두 접선은항상수직이된다. 3. 타원 타원 밖의한점 에서이타원에그은두접선이서로수직일 때두접선의교점 의자취는 이다. < 증명> 타원밖의임의의점을 이라하면그점을지나는직선의 방정식은 이고타원에접하므로 에대입하여 정리하면 이므로 을 에관하여정리하면 두직선이서로수직이므로기울기곱이 이다. 이를정리하면 이된다. 즉, 은원점을중심으로반지름의길이가 인원위의점들이다. 4. 쌍곡선 쌍곡선 밖의한점 에서이쌍곡선에그은두접선이서로수 직일때두접선의교점 의자취는 이다. ( 단, 이고, - 76 -

이차곡선지도의실제 와두점근선 ± 와의교점은제외한다.) < 증명> 쌍곡선밖의임의의점을 이라하면그점을지나는직선의 방정식은 이고쌍곡선접하므로 에대입하여 정리하면, 이므로 ± 이고 을 에관하여정리하면 두직선이서로수직이므로기울기곱이 이다. 이를정리하면 이된다. 즉, 은 일때에만존재하며, 원점을중심으로반지름의길이가 인원위의점들이다. 단, 이므로점근선과의교점은제외한다. Ⅴ. 이차곡선에서의작도26) 1. 기울기가같은직선에의해잘린이차곡선위의두점의중점의자취 기울기가같은직선에의해잘린포물선위의두점의중점은축에평행한 직선( 의일부) 이다. < 증명> 포물선 와직선 (은일정) 이서로다른두 점 에서만나고 의좌표를각각, 라하자. 26) 이차곡선총정리( 심화편) - 기하학적특성을중심으로. Gauss Academy. pp.23~ 24, pp.39~ 40, p.54, pp.62~63. - 77 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 와 을연립하여풀면 이므로근과 계수와의관계에의해, 이다. 따라서, 두점 의중점 의좌표는 점 의 좌표가 이므로점 의자취는 값에관계없이 축에평 행한직선이된다. 단, 와 이서로다른두점에서만나야 하므로 와 를연립하여구하면 의범위는 이다. 따라서, 구하는자취는 으로직선의일부가된다. 기울기가같은직선에의해잘린타원의현의중점은타원의중심을지나는 직선위에있다. < 증명> 타원의방정식을 과직선 (은일정) 이서로다른 두점 에서만나고 의좌표를각각, 라하자. 와 를연립하여풀면 이므로근과계수와의관계에의 해 이다. 두교점 의중점을 라하면 이고이를 에대입하면 이 다. 의관계식을구하면 자취는 의값에관계없이일정한직선 는직선이다. 이고, 이상수이므로점 의 이된다. 즉, 원점을지나 - 78 -

이차곡선지도의실제 기울기가일정한직선이쌍곡선과서로다른두점에서만날때두점의중 점의자취는쌍곡선의중심을지나는직선( 의일부) 이다. < 증명> 타원의방정식을 과직선 (은일정) 이서로다른 두점 에서만나고 의좌표를각각, 라하자. 와 를연립하여풀면 이므로근과계수와의관계에의해 이다. 두교점 의중점을 라하면 이고이를 에대입하면 이 다. 의관계식을구하면 이고, 이상수이므로점 의자 취는 의값에관계없이일정한직선 이된다. 즉, 원점을지나는 직선이다. 수학에서작도란눈금없는자와컴퍼스를가지고도형을그리는것을말한다. 2. 원의중심찾기 주어진원에서임의의두현의수직이등분선의교점은원의중심이된다. 3. 포물선의축, 꼭짓점, 초점, 준선찾기 기울기가같은직선에의해잘린포물선위의두점의중점은축에평행 한직선( 의일부) 이다. 를이용하여주어진포물선에서임의의평행한두직 선과포물선의교점의중점을연결하면축과평행한직선이된다. 이직선과 포물선을교점을 라하고점 에서직선에수선을그어포물선과만나는다 - 79 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 른교점을 라하자. 이때, 선분 의수직이등분선이포물선의축이된다. 포물선의축과포물선의교점이포물선의꼭짓점이된다. 포물선위의한점 에서축에내린수선의발을 라하고포물 선의꼭짓점 에서점 의반대편에 가되도록 를잡으면 직선 는포물선의접선이된다. 이때, 선분 의수직이등분선과축의 교점이포물선의초점이된다. 포물선의꼭짓점에서초점까지의거리와준선까지의거리가같으므로꼭짓 점과초점사이의거리와같게반대편에축에수선을그으면그직선이준선이 된다. 4. 타원의중심, 꼭짓점, 장축, 단축, 초점찾기 기울기가같은직선에의해잘린타원의현의중점은타원의중심을지나 는직선위에있다. 를이용하여주어진타원에서임의의평행한두직선과 타원의교점의중점을연결하면타원의중심을지나는직선이되므로두쌍의 평행한직선과타원과의교점의중점을연결한두직선의교점이타원의중심 이된다. 타원의중심에컴퍼스를대고타원과네점에서만나는원을그리고네교 점을연결하여만든직사각형의대변의중점끼리연결한직선과타원과의네 교점이타원의꼭짓점이고, 꼭짓점끼리연결한선분중긴것이장축이고짧은 것이단축이다. 장축의길이와두초점에이르는거리의합이같다는성질을이용하여타원 의심에서장축과타원의한교점까지의거리를잰후이거리를 라하면, 단축과타원의한교점을중심으로반지름의길이가 인원을그리면그원과 장축의교점이초점이된다. 5. 쌍곡선의중심, 꼭지점, 주축, 점근선, 초점찾기 기울기가일정한직선이쌍곡선과서로다른두점에서만날때두점의 중점의자취는쌍곡선의중심을지나는직선( 의일부) 이다. 를이용하여주어 진쌍곡선에서임의의평행한두직선과쌍곡선의교점의중점을연결하면쌍 곡선의중심을지나는직선이되므로두쌍의평행한직선과쌍곡선과의교점 - 80 -

이차곡선지도의실제 의중점을연결한두직선의교점이타원의중심이된다. 쌍곡선의중심에컴퍼스를대고쌍곡선과네점에서만나는원을그리고네 교점을연결하여만든직사각형의대변의중점끼리연결한직선과쌍곡선의 교점이쌍곡선의꼭짓점이고, 꼭짓점끼리연결한선분이쌍곡선의주축이다. 쌍곡선 의한꼭짓점 에서 축과수직인직선이 와 만나는점 를잡고, 원점 를중심으로반지름의길이가 인원을 그려 축과의교점을 라하면점 의좌표는 이다. 점 를지나 고 축과수직인직선을그었을때쌍곡선과만나는점의 좌표는 가된다. 이제점 를작도할수있음으로직선 가점근선 가된다. 같은방법으로다른하나의점근선 를작도할수있다. 쌍곡선의중심을중심으로하고반지름의길이가 인원을그렸을때, 주 축의연장선과의교점이쌍곡선의초점이다. 6. 활동지를통한이차곡선의작도실습 활동지를통해원의중심, 포물선의축, 꼭짓점, 초점, 준선, 타원의중심, 꼭짓점, 장축, 단축, 초점, 쌍곡선의중심, 꼭지점, 주축, 점근선, 초점을직접 찾아보자. Ⅵ. 실생활에의활용 1. 포물선 파라볼라안테나. 자동차상향등과하향등, 탐조등( 서치라이트 ), 손전등, 포 물면을이용한먼거리대화하기 ( 대구교육과학연구원 ), 거울광선무기( 아르키 메데스의포에니전쟁), 현수교( 포물교), 던져진물체의궤적( 갈릴레이 ), 성화 채화, 회전하는유체의표면은포물면을이룸 - 81 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 2. 타원 신장결석제거장치(Lithotripter), 치과용전등, 속삭이는회랑( 영국런던 의성바오로대성당), National Statuary Hall( 미국국회의사당 ), 태양주위를 공전하는행성의궤적( 케플러), 핼리혜성, 기울어진유리잔에담긴물의면, 원기둥을어슷하게자른단면( 가래떡, 오이), 곱슬머리, 초점을공유하는두 타원사이의지나는빛이나소리는내부의작은타원에접하면서나감, 3. 쌍곡선 LORAN(Long Range Navigation) 시스 템, 기계로깍은연필, 화분, 꽃병, 꼬인위 치에있는두직선( 수직이아닌두직선) 중 한직선을축으로해서다른직선을회전시 키면그회전체의축을포함한단면 4. 기타 카세그레인식안테나 그레고리식안테나 토의 토론주제 - 주반사경포물선, 부반사경쌍곡선 - 주반사경포물선, 부반사경타원 이차곡선지도에서해석기하학적인관점으로의접근보다학생들의흥미를 끌수있는기하학적관점으로의효율적인접근방법에대해토의해보자. 참고문헌 1. 홍성관 박철호 (2007). 이차곡선학습에서고등학생들의오개념분석. 부산 대학교. 2. 오철 (2004). 문제해결력신장을위한원뿔곡선연구. 제주대학교. 3. 남호영외 (2007). 원뿔에서태어난이차곡선. 수학사랑. 4. 강경관외 (2007). 아이리스수리논술. 프리미어프레스. 5. http://edu.bgs.hs.kr/bbs/data/math_ii/qudradic%20curve/para.html 6. http://edu.bgs.hs.kr/bbs/data/math_ii/qudradic%20curve/ellip.html - 82 -

이차곡선지도의실제 7. http://edu.bgs.hs.kr/bbs/data/math_ii/qudradic%20curve/hyper.html 8. 송정화 (2008). 아폴로니우스가들려주는이차곡선 1 이야기. ( 주) 자음과모음 9. 송정화 (2009). 아폴로니우스가들려주는이차곡선 2 이야기. ( 주) 자음과모음 10. 이차곡선총정리 ( 심화편 ) - 기하학적특성을중심으로. Gauss Academy. - 83 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 기하수업에서의 Cabri 3D의활용 김학우 27) 1. Cabri 3D 소개 Cabri 3D는 3차원공간기하를역동적으로탐구하는데도움을주는수학 프로그램이다. 학교현장에서주로사용하는동적기하소프트웨어로는 GSP, Cabri Ⅱ plus 등이있는데이들은주로 2차원의평면기하를다루는프로그 램이어서학교수학의교수학습에서는 공간과관련된수학학습내용을구체화 하고시각화할수없다는한계가있다. 반면 Cabri 3D 는중 고등학교수학에 서다루는입체기하와관련된학습내용을구체화하여역동적으로탐구할수 있는학습의장을제공한다. Cabri 3D를이용하면학습자가몇번의마우스 조작만으로직접도형을만들어 3차원형상을구성할수있으므로시각적모 델을가지고실제물과같이조작하면서중고등학교 수학에서배우는평면, 입 체, 원뿔, 구와관련된수학적개념들을직관적으로학습할수있다( 김남희 외, 2008). 2. Cabri 3D 의특징 Cabri 3D 는아래와같은특징을갖는다( 장유진, 2007). (1) Cabri 3D 는공간상에서기본적인점, 직선, 구, 평면을이용하여여러 기하학적표현을쉽고명확히구현할수있다. (2) 모든상태의도형을간단한마우스의조작을통하여변형시킬수있다. 도형을변화시킬수있는이런능력은모든상태의도형을빠르고불변 의접근을하게하고기하적인규칙을조사하기위한아주다재다능한 도구로사용된다. (3) Cabri 3D 는평면에서뿐아니라공간상에서각의이등분선, 선의중점, 27) 원화여자고등학교 / likemath@paran.com - 84 -

기하수업에서의 Cabri 3D의활용 평행선그리기, 수직선그리기등의작도가되는기본적인기능과도형 을일정한비율로확대 축소할뿐만아니라평행, 대칭, 회전이동의변 환도한번에수행할수있다. (4) Cabri 3D 는원근감을표현할수있다. (5) 그림그리는과정을기록할수있고, 그기록에따라다시재생할수 있으며애니메이션도쉽게구현할수있다. (6) Cabri 3D 는작도된도형을어떠한방향으로도회전시킬수있다. 칠판 에서는입체도형의한단면밖에그릴수없어서학생들의이해가어려 웠던내용을 있을것이다. Cabri 3D를이용하면쉽게입체도형의성질을이해할수 (7) 도형의여러요소의색상처리, 변환, 계산, 도형의방정식등의표현이 쉽게구현되며, 주석을다는여러표현도손쉽게처리할수있다. 3. Cabri 3D 의활용 Cabri 3D 의모든기능을다익히면좋겠지만우선기하와벡터교과서에 나와있는공간도형단원에서아래내용을지도하는데활용하고자한다. 두직선의위치관계 삼수선의정리 정사영 꼬인사변형 ( 고슈사변형 ) 다면체절단( 준정다면체 ) 및쌍대다면체 1. 두직선의위치관계( 공간에서 ) 한점에서만난다. 평행하다. 꼬인위치에있다. 꼬인위치를여러각도에서관찰할수있다. 2. 삼수선의정리 평면 위의직선을 이라하고평면 위에있지않은한점을 라할때, (1) 점 에서평면 에내린수선의발을, 에서 에그은수선의발 을 라하면 - 85 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) (2) 점 에서평면 에내린수선의발을, 에서 에그은수선의발 을 라하면 (3) 점 에서 에그은수선의발을, 평면 위에서 를지나 에수직 인직선을긋고점 에서이직선에내린수선의발을 라하면 3. 정사영 두평면 가이루는각의크기가 이고평면 위의넓이가 인도 형 의평면 위로의정사영 의넓이를 이라할때, 4. 꼬인사변형 ( 고슈사변형 ) 문제) 한평면위에있지않은네점 를차례로이어서만든 사각형의각변의중점을각각 라하면사각형 는평행사변형임을증명하여라. 두직선의위치관계 삼수선의정리 이면각 정사영( 삼각형) - 86 -

기하수업에서의 Cabri 3D의활용 정사영( 원) 정사영( 구) 꼬인사변형 다면체의절단 다면체의절단( 준정다면체 ) 원뿔곡선 구분구적법 사이클로이드 - 87 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 4. Cabri3D 의파워포인트삽입 1 파워포인트새문서를연다. 2 Office 단추클릭 PowerPoint 옵션선택 3 기본설정 리본메뉴에개발도구탭표시 체크 4 개발도구탭에서기타컨트롤클릭 5 목록중에서 Cabri3D 선택 확인 6 슬라이드창위를마우스왼쪽클릭 오른쪽클릭하여 Cabri3ActiveDoc 개 체 Importer 선택 7 삽입할파일을선택하고파일은연다. 5. 마치며 수학수업에서프로그램의활용은늘고민이다. 활용하면좋을것같은데 구지안써도큰일나는건아니니말이다. 오히려학생들은칠판을이용한 수업을더좋아할지도모른다. 그런데해보면재밌다. 이재미있는걸선생님 혼자보기는아깝지않은가? 하하언젠가우리가개발한수학프로그램을수 업시간에자랑스럽게소개할그날을기대하며마무리한다. - 88 -

벡터의교과서분석 벡터의교과서분석 김용말 28) Ⅰ. 벡터영역의교과서분석 과제. 개정고등학교기하와벡터교과서를최대한확보하여벡터영역( 벡 터의뜻, 벡터의연산, 벡터의내적, 직선과평면의방정식) 의도입을어떻게 하였는지비교분석하시오.( 표로작성하되구분은출판사별로구분하여작성) 1. 벡터의뜻부분의도입은어떻게할까? 벡터의뜻 그림교학사 -2 28) 대구과학고등학교 / ym9933@hanmail.net - 89 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 그림두산동아 -5 2. 벡터의내적의도입은어떻게할까? 위치벡터 그림교학사 -2-90 -

벡터의교과서분석 벡터의성분 그림더텍스트 -4 그림교학사 -2-91 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 그림지학사 -9 벡터의내적 그림교학사 -2-92 -

벡터의교과서분석 그림교학사 -1 3. 직선과평면의방정식의도입은어떻게할까? 직선의방정식 그림교학사 -2-93 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 그림더텍스트 -4 평면의방정식 그림교학사 -2-94 -

벡터의교과서분석 그림지학사 -9 Ⅲ. 벡터에서몇가지지도방법 1. 벡터의영역 예1 : 세정점 에대하여 이고 일때 를만족시키는점 가존재하는영역은? 풀이 ) 을만족시키는 의범위를그래프로나타내면아래와같다. 축절편 2 축절편 3 은 두 절편을잇는직선과그아랫부분 그림 - 95 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 축절편 2 축절편 3 점 는 2 와 3 의두끝점을 잇는직선과그 아랫부분 그림 < 활동1> 가. 평행사변형내부및그둘레 일때 가나타내는점 1 1 나. 삼각형내부및그둘레 일때 가나타내는점 1 1 < 활동2> 점 가다음을만족할때, 점 가그리는영역은? 1., 2., - 96 -

벡터의교과서분석 3., 4., 5., 6.,, 7., 8.,,, < 활동3> 점 점, 점가있다. 답 :, 일때점 가그리는도형의넓이를구하면? 2. 공식및활용 가. 각 의이등분선이대변과만나는점을 라할때 를 로표현 하기 ( ) - 97 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 나. 내부의한점 에대하여 이성립할때길이 비구하기 다. 두벡터 에수직인벡터 라. 점 에서평면 에내린수선의발을 라 할때, 구하기 점 와평면 사이의거리 의단위벡터 - 98 -

벡터의교과서분석 Ⅳ. 벡터개념을설명할수있는사이트 -http://www.ies.co.jp/math/java/ 1. 벡터의성분- http://standards.nctm.org/document/eexamples/chap7/7.1/index.htm - 99 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) V. 수학능력시험에서벡터영역부분의출제분석 출제경향 벡터단원은난이도가낮은계산문제에서부터여러도형들과결합한고난 이도의이해력문제들이골고루출제되고있다. 최근에는공간좌표에서도형을 그리고도형위의점들에대한위치벡터를다루는고난이도문제가자주출제 되어수험생들이가장어려워하는단원이되고있다. 또한직선위의점들을매 개변수로나타내어푸는문제와구와평면이만나서이루는도형을그려서벡 터의연산을해야하는문제들이출제되고있다. 1. 수학능력시험기출문제출제분석 - 벡터영역 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 합계 1. 벡터의뜻과연산 1 1 2. 벡터의내적 1 1 1 1 1 1 6 3. 직선과 평면의방정식 1 3 1 2 2 1 9 연도별출제횟수 1 2 1 3 2 2 2 2 2 16 2. 년도별기출문제 2010 년도 - 100 -

벡터의교과서분석 2009 년 20. 그림과같이, 인직육면체 분하는점을 - 에서모서리를으로내, 모서리,, 의중점 을각각,, 라하자. 선분의중점을 라할때, 벡터와벡터의내적 의값을구하시오. [3 점] 22. 좌표공간의점과중심이원점인구위 를움직이는점에대하여의최댓값은 이다. 의값을구하시오. ( 단,, 는유리수이다.) [4 점] - 101 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 2008 년 9. 좌표공간에서중심이인구와평면 2007 년 이만나서생기는도형을 라하자. 도형위의두점, 에대하여두벡터, 의내적의최소값은? [4 점] 1 2 3 4 5 20. 타원의두초점을이라하자. 이타원위의점가 을만족시킬때, 선분의길이는이다. 의값을 구하시오. ( 단, 는원점이다.) [3 점] 21. 좌표공간의점에서평면에내린수선의발을 라할때, 의값을구하시오. ( 단, 는원점이다.) [4 점] 23. 그림과같이평면 α 위에한변의길이가인정삼각형가있고, 반지름의길이가인구는점에서평면 α 에접한다. 구위 의점에대하여선분가구의중심를지날때, 의값을구하시오. [4 점] 2006 년 4. 좌표평면위에원점를시점으로하는서로다른임의의두벡터, 가있다. 두벡터의종점, 를축방향으로만큼, - 102 -

벡터의교과서분석 축방향으로만큼평행이동시킨점을각각, 이라할때, < 보 기> 에서항상옳은것을모두고른것은? [3 점] ᄀ. ᄂ. ᄃ. < 보기> 1 ᄀ 2 ᄃ 3 ᄀ, ᄂ 4 ᄂ, ᄃ 5 ᄀ, ᄂ, ᄃ 24. 구와평면이만나서생기는원을라하자. 2005 년 축을포함하는평면 α 와구가만나서생기는원이 와오직한점에서만날때, 평면 α 의한법선벡터를 라하자. 의값을구하시오. [4 점] 6. 점을지나고직선에수직인 평면을 α 라하자. 평면 α 와직선의교점을 라할때, 선분의길이는? [3 점] 1 2 3 4 5 15. 좌표공간에두점이있다. 평면 점 ] 에있는점에대하여의최소값은? [4 1 2 3 4 5 21. 중심이이고반지름의길이가인구와직선 가만나는두점을라하자. 삼각형의넓 이를라할때, 의값을구하시오. [4 점] - 103 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 2004 년 20. 좌표평면위의점가부등식 이나타내는영역에서움직 일때, 벡터 는원점이다.) [3 점] 의종점가나타내는도형의길이는? ( 단, 1 π 2 3 4 π 5 Ⅵ. 교과서파일을구할수있는사이트 1. 한국검정교과서 - http://www.ktbook.com/modify/browse/bastable.asp e 자료실/ 수정보완자료실 /2007 개정교육과정 / 수학/ 기하와벡터 교과서종류확인가능 2. 교학사 - http://www.kyohak.co.kr/textbook/ 교수학습센터 / 고등학교선생님아이디비번 3. 금성출판사 -http://www.kstext.com/ 4. 회원가입이필요함고등학교 / 교사용수업자료실 더텍스트 - http://www.ybmtext.com/pds/list.asp?f_scate=100&s_scate=1003 자료실/ 고등학교아이디비번 5. ( 주) 지학사- http://www.jihak.co.kr/ 교과서/ 개정교과서 / 고등교과서 / 수학/ 상세보기 / PDF보기 6. 두산동아 - http://textbook.doosandonga.com/ 교과서자료실 / 고등학교 7. ( 주) 미래엔컬처그룹 - http://textbook.mirae-n.com/dataroom/data_list.asp?code=highschool 교과서자료 / 고등학교자료실 / - 104 -

벡터의교과서분석 8. 좋은책신사고 -http://textbook.sinsago.co.kr/textbook/bbs/data.asp 선생님공간 / 아이디비번 9. 중앙교육 http://eduaplus.com/home/main/index.php 선생님/ 아이디비번 10. 성지출판 http://www.sungjipub.com/ 선생님자료실 / 아이디비번 11. 천재(T 셀파)-http://www.tsherpa.co.kr/main/main.aspx 비번필요 참고문헌 1. 김수환외 13 인(2009), 고등학교기하와벡터 : ( 주) 교학사 2. 유희찬외 12 인(2009), 고등학교기하와벡터 : ( 주) 미래엔컬처그룹 3. 정상권외 8 인(2009), 고등학교기하와벡터 : ( 주) 금성출판사 4. 우정호외 7 인(2009), 고등학교기하와벡터 : 두산동아 5. 계승혁외 5 인(2009), 고등학교기하와벡터 : 성지출판 ( 주) 6. 최용준외 9 인(2009), 고등학교기하와벡터 : 천재교육 7. 이강섭외 3 인(2009), 고등학교기하와벡터 : ( 주) 지학사 8. 김해경외 23 인(2009), 고등학교기하와벡터 : 더텍스트 9. 허은숙, 고등학교에서의선형대수개념지도에관한연구(2005), 서울대 석사학위논문 - 105 -

적분과통계 경우의수지도의실제 / 구교석 적분의활용지도의실제 / 이석곤 파스칼의삼각형을활용한순열조합지도의실제 / 홍갑룡 구조적동형을활용한순열조합의지도효과 / 홍갑룡 확률의정의와역사 / 이태수 통계지도의실제 / 최종호 적분지도의실제 / 김기욱

경우의수지도의실제 경우의수지도의실제 구교석 29) 1. 경우의수 가. 비둘기집의원리 [simple form] 개의물건을 개의상자에넣는다면, 적어도한상자에는 2개 이상의물건이들어간다. [strong form] 은자연수이다. 개의물건을 개의상자에넣는다면, 첫번째상자에 개이상의물건이들어가거나, 두번째상자에 개이상의물건이들어가거나,, 번째상자에 개 이상의물건이들어간다. [ 보조정리 ] 1 개의물건을 개의상자에넣는다면, 개이상의 2 물건이들어가는상자가반드시존재한다. 정수 의평균이 보다크다면, 그들중 이 상인정수가반드시있다. [ 예제1] 바둑대회에참석한 A 기사는 11주간동안매일한판이상씩바둑을 두어야하는데, 한주간동안에는 12판을넘지않도록대진표가짜여 있다. 이기사가꼭 21 판을두게되는기간이있음을밝혀라. 29) 대구과학고등학교교사 / gguson@edunavi.kr - 109 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) [ 풀이] : 첫째날부터 번째날까지둔바둑판의수 ( ), 은 154 개의수이고구간 내의정수이므로 [ 예제2] 1부터 200까지의정수중에서 101 개의정수를뽑으면, 그중에 약수와배수의관계가있는두개의숫자가반드시있음을보여라. [ 풀이] 뽑힌모든정수는 음아닌정수 홀수 로분해할수있다. 그런데 ~ 까지의정수를위의꼴로고치면 중의 한개가된다. 따라서 개의정수중에는같은 을가지는두수가반드시존재 한다. 두수를 이라하면, 은 의약수가된 다. [ 예제3] 다음을보여라. 1 한칸마다흰색또는검은색이칠해진 체스판이있다. 이체 스판에서네모퉁이의색이똑같은직사각형을잡을수있음을보 여라. 2 체스판에서는위와같은직사각형을잡을수없음을보여라. [ 풀이] 1 체스판에서생각해보자 한열에는 가올수있는데 열중 적어도 열은 가 개이상이거나 가 개이상이된다. 가 개이상이라하자. 그러면최소한오른쪽과같이 가 자리잡게되고네번째열에 를 개이상어떻게배열 하더라도 열중적어도 열은같은배열이된다. 즉 에서네귀퉁이의색 이같은직사각형을반드시잡을수있다. - 110 -

경우의수지도의실제 2 이므로같은배열이없을수있다. 예를들면, 오른쪽과같은배열을얻을수있다. [ 예제4] 명의수학자가국제학회에참석을 했는데, 이들중어떤 명을뽑아도그중의 명은같은언어를구 사할수있으며, 각사람은 개이하의언어만구사할능력이있다 면, 이들중 명이상이같은언어를구사할수있음을보여라. [ 풀이] 명의수학자를 이라하자 ᄀ 의입장에서 9 명모두와의사소통이가능하다면, 이므로같은언 어를구사하는사람이적어도 명이상있다. ᄂ 과의사소통이불가능한사람이있는경우그중한명을 라하자. 세명이모이면, 명은같은언어를구사할수있으므로 는각각 와의사소통이가능해야한다. 즉 명중 명은 과 또는 와의사소통이가능하다. 과 명이의사소통이가능하다면 이므로 과적어도 명의참가자가한가지언어로의사소통이가 능하다. 따라서적어도 명은같은언어를구사한다. 나. 포함배제의원리(Inclusion-Exclusion Principle) [ 기본예제 ] 이고, 인 에대하여 일때, 에대하여 인 의개수는? - 111 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 포함배제의원리 집합 중 개의집합의 의 size의합을 라하면 ( 단,, ) [ 증명] 공헌하는값 : 그원소가세어지는횟수 에속해있는임의의원소에대해양변에공헌하는값이같다는것을증명 한다. 지고, 가 중정확히 번속한다고하자. ( ) 좌변 : 일때 1 일때 우변 : 가 : 1 공헌, : 0 공헌 일때 에속한다면 즉 를셀때정확히한번헤아려 에서는 에서각 번씩 번헤아려지며 에서는 에서 번헤아려지므로 에서는 번공헌한다. 는우변에서 2 일때 는 에서 0 번공헌한다. 1 공헌한다. 포함배제의원리따름정리 - 112 -

경우의수지도의실제 [ 증명] 좌변 = = = = [ 예제1] 중 모두를반드시품고있는숫자의 개수는? [ 풀이] : 1 을품지않는수의집합, : 2 를품지않는수의집합, : 3 을품지않는수의집합, : 와 j 를품지않는수의집합, 이라하면,,, 이므로 구하는수 100000- [ 예제2] 다음물음에답하여라. 1 에서 개를뽑는중복조합의수는? 2 에서 개를뽑는중복조합중 가 개이상포함하는방법의수는? 3 multi set 를뽑는조합의수는? 의 개 4 가 개, 가 개, 가 개, 가 개있다. 여기에서 개를뽑는방법의 수는? [ 풀이] 1 2 3 a, b, c에서 10 개를뽑는경우를전체경우로하면, : a 가 4 개이상포함된조합의수, - 113 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) : b 가 5 개이상포함된조합의수, : c 가 6 개이상포함된조합의수, 이라하면, 구하는 수 4 에서 개를중복을허락하여뽑는방법의수 : 가 개이상포함된경우의수, : 가 개이상포함된경우의수, : 가 개이상포함된경우의수, : 가 개이상포함된경우의수, 이라하면 0,, 구하는수 [ 예제3] 개의원소를갖는집합 와 개의원소를갖는집합 가있을 때, 에서 위로의함수의총개수는? [ 풀이] 라하고 가치역에서빠진함수 라하면,,,,,, 이므로, 구하는수 - - 114 -

경우의수지도의실제 다. 순열과조합 합의법칙 집합 가 개의서로다른원소를가지고있을때, 이들 개의집합에서한개의원소를선택하는방법은 이다. 곱의법칙어떤한과정이 개의순서화된다단계로나누어진다고하자. 번째단계에서 개의서로다른결과가나온다고하면전과정은모두 개의서로다른결과를갖는다. [ 예제] 마을 A에서마을 B 로가는네개의서로다른길이존재한다. 또 마을 B에서마을 C 로가는세개의서로다른길이있고, 마을 A에 서마을 하라. C로가는두개의서로다른길이있을때다음물음에답 1 A에서 C 로가는서로다른길은몇가지인가? 2 A에서 C로가서다시 A 로돌아오는길은몇가지인가? ( 단어떤길이 든지각방향에대하여 1 번만지나갈수있다.) 3 문제 2에서어떤길이든지한번만사용하여 A에서 C로가서다시 C로 돌아오는길은몇가지인가? [ 풀이] 1 A에서 B를통하여 C로가는길은곱의원리에의해 2 가 지의길이존재한다. 또 A에서 C로직접가는길은두가지이므로 답은 이다. A에서 C로가는길은 14 가지이며, C에서 A로가는길도 14 가지이다. 따라서 A에서 C로갔다가다시 A로돌아오는것은 가지의 서로다른길이존재한다. - 115 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 3 ᄀ 먼저 A에서 C로갈때 B를거치지않는경우 갈때두가지길이존재하고, 돌아올때 가지의길이존재하 므로 가지이다. ᄂ A에서 C로갈때 B를거치는경우 갈때 가지의길이존재하며돌아올때는이미지나온길은다 시지나갈수없으므로 C에서 B 로두가지, B에서 A 로세가지, 그리고 C에서 A로바로가는길이둘이므로총 가지의길로돌아올 수있다. 따라서구하는길의수는 가지이다. 그러므로어떤길이든지한번만사용하여 A에서 C로가서다시 A로 돌아오는길의수는위의두가지경우를합하면 이다. 순열과조합 1 조합 : 개의대상중 개를뽑는방법의수, 2 순열 : 개의대상중 개를뽑아배열하는방법의수 3 중복순열 : 개의대상중중복을허락하여 개를뽑아배열하는방법의수 4 중복조합 : 개의대상중중복을허락하여 개를뽑는방법의수 라. 중복조합공식유도 중복조합 서로다른 개의원소중에서중복을허락하여 개를택하는조합 1) 공식을유도하는방법 1 서로다른 개의원소중에서중복을허락하여 개를택하는조합으로 - 116 -

경우의수지도의실제 다음의상황을생각할수있다. 즉, 서로다른 개의 원소중에서중복을허락하여 개의원소들을택하는조합의수이다. 위그림에서 지점에서 지점까지최단거리로이동하면서지나는길의원 소를택하는경우의수가바로 개중에서 개를택하는중복조합의수이다. 2) 공식을유도하는방법 2 중복조합 은 개의원소들을순서에상관없이나열하는것이므로, 개의빈칸에중복을허용하여 개의원소를넣는개수를구하는문제로 생각할수있다. 여기에 가지의경우로구분할수있는원소들을순서에 상관없이집어넣어야하므로, 개의칸막이를두고 가지경우를임의 의순서로배열한다고할수있다. 예를들어, 세개의문자 에서중복을허용하여 5개를뽑는경 우의수에서칸막이기호를 로나타내어표시해보자., 이때칸막이사이에아무원소도없을수도있다. 이것은그원소가선 택되지않은경우에해당한다. 예를들어 - 117 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 이제중복조합의문제는원래문자가들어갈 개의빈칸과 개의칸 막이가들어갈빈칸을모두합한 개의빈칸에서, 칸막이가들어갈 개의칸을선택하는문제로변형되었다. 결국중복조합 이다. 한편, 이므로 이다. 중복조합의성질 마. 함수의개수로본경우의수 [ 문제] 두집합, 에대하여함수 (1) 중다음의개수를구하여라. 함수의개수 (2) 일때, 일대일대응( 전단사함수 ) 의개수 (3) 일때, 이면 인함수의개수 (4) 이면 인함수의개수 (5) 이면 인함수의개수 (6) 일때, 인함수의개수 (7) ( 단, ) 인함수의개수 바. 분배문제 서로다른대상물 개의서로다른대상물을 개의서로다른상자들에분배하는문제는 서로다른대상물을일렬로세운다음 개의서로다른상자의이름을붙이는 것과같다. 만약, 반드시 대상물은상자 에넣어야한다면, 가지방법의분배가존재한다. - 118 -

경우의수지도의실제 동등한대상물 개의동등한대상물을 개의서로다른상자에분배하는문제는 개의 상자로부터 개를중복을허용하여선택하는것과같으므로 가지방법의분배가존재한다. 이것은방정식 의음이 아닌정수해의개수와같다. [ 예제] 외교관 10명을 5 개국가에파견하는방법은몇가지인가? 또, 각국 에 2 명씩일정하게파견하는방법은몇가지인가? [ 풀이] 외교관을한줄로세워놓고서로다른국가의이름을각외교관에부 여하는것과같은방법이다. 따라서 가지방법이있다. 또, 2명씩동일하게 5개국가에파견하는방법은외교관을한줄로세 운다음 5개국가의이름을 2 명씩동일하게부여하면된다. 따라서, 가지방법이있다. [ 예제] 5명의아이들에게 10개의빨간색볼펜과 15개의검은색볼펜을분 배하는방법은몇가지가있는가? [ 풀이] 동등한대상물들의분배모형을이용하면, 빨간색볼펜 10개에중복 을허용한 5 명의아이들이름을붙일수있다. 이것은방정식 의음이아닌정수해의개수와같으므로 가지방법이있다. 마찬 가지로 15개의검은색볼펜을 5명의아이에게분배하는방법은 가지가있다. 이두경우를모두고려하면분배방 법은 가지방법이있다. - 119 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 사. 이항계수 (Binomial coefficient) 는 집합의 조합의수를나타낸다. 의계수를나타내기도하는데이런의미에서 는다항식 의 항 를이항계수라고부른다. 여기서는이항계수의다양한성질과항등성에대해공부하게될것이다. 이항정리 이자연수일때, 이항계수의성질 (1) (2) (3) (4) (5) [ 증명] (1) 을대입한다. (2) 을대입한다. (3) (4) - 120 -

경우의수지도의실제 (5) 아. 이항계수의항등성의조합론적설명 2 이항계수의중요한성질중하나는대칭성이다. 즉, 이다. 이것은 개의대상물의집합에서 개의대상물을선택하는방법 의수는 개의대상물을제외하는방법과같다는점에서쉽게알수 있다. 이항계수는대칭성과함께 파스칼공식 또는 ᄀ- 법칙 이라고부르 는중요한성질을갖는다. 파스칼공식 가음이아닌정수이고, 일때, 다음이성립한다. [ 증명] 명으로구성된모임에서 명의위원으로구성된 개의위원회를 특별한한사람 라는사람을포함하는가포함하지않는가에의하여 두가지로분류한다. 를포함하지않는경우, 명의사람들로부터 명을뽑아위원회를구성하는방법의수는 이다. 또다른 - 121 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 방법은 를포함하는경우, 명의사람들로부터 명을뽑아위원회를구성하는방법의수는 이다. 따라서 [ 예제] 다음항등식을증명하여라. [ 증명] 좌변의식은 명의사람의집합으로부터 명의위원그룹을선택하 고이그룹에서선택한 명중 명의지도자를뽑는방법을나타낸 다. 동일한방법으로우변을보면 명의사람들로부터 명의지도자 를먼저선택하고남아있는 명중 명의위원을구성하는 방법이다. 일때, 위식의특별한형식은, 혹은 이다. 파스칼삼각형 이항계수 관찰하기에편리하다. 를오른쪽표와같이나타내면 표에서숫자가표시된 부분은삼각형모양을하고있는데이것을파 스칼삼각형(Pascal's triangle) 이라고한다. 표에서 ᄀ" 자로인접한세수에대하여위 의두수의합은그두수중오른쪽아래의 수와같다. 이것은앞에서정리한파스칼공 식에의하여성립한다. 이런의미에서파스칼 공식을 ᄀ법칙 이라고도한다. 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 [ 예제] 파스칼삼각형에서다음항등식을설명하여라. - 122 -

⑴ ⑵ (3) 피보나치수열을이룬다. 경우의수지도의실제 이라하면 은 [ 증명] 생략 자. 이항계수의확장과다항계수 (Multinomial coefficient) 지금까지이항계수 를 가음이아닌정수일때정의하였다. 이제 수 와정수 에대하여다음과같이이항계수를확장할수있다. 실 이항계수의확장 : 임의의실수, : 정수일때 [ 예제] 다음을증명하여라. (1) α α α (2) α (3) (4) α α - 123 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 확장된이항계수의성질 ⑴ 가양의정수일때, ⑵ 가양의정수일때, ⑶ 가실수이고, 가양의정수일때, 증명 ⑵ ⑶ [ ]⑴ 확장된이항계수에대해서도파스칼공식이성립한다. - 124 -

경우의수지도의실제 확장된이항계수의성질 임의의실수 와정수 에대하여다음이성립한다. [ 증명] ⅰ) 일때 : 양변이 으로서같다. ⅱ) 일때 : 양변이 로서같다. ⅲ) 일때 : ( 좌변), ( 우변) 이므로성립한다. ⅳ) 일때 : 차. 다항계수 이서로다른물건이라고하자. 을만 족하는음이아닌정수 에대하여다중집합 의순열의개수 을간단히 로나타내고, 이것을다항계수 (multinomial coefficient) 라고한다. 다항계수 : 0 이상인정수이고, 일때, - 125 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) (1) 다항계수의성질 (2) (3) (4) ( 단, 는 의음아닌정수해 ) [ 증명] (3) 좌변 = [ 예제] 임을밝혀라. [ 풀이] 좌변 = = ( 예), 카. 재배열(Derangements : Forbidden-Position Problem) 재배열 을일렬로배열하는순열중에서임의의 에대하여 번 째숫자 ( ) 가 가아닌순열들의집합을 이라할때, 이런순열을 derangement 라한다. 이때, 라하면 - 126 -

경우의수지도의실제 [ 증명] = { = j 인순열 } 이라고두면 ( ) = n! - [ 예제1] 사이의관계식을구해보시오. [ 풀이] 21 : 2 : ( 맨앞의수가 2인경우에두번째수가 1 이거나( ), 1 아닌경우( ) 가있다 ) [ 예제2] 을이용하여 을구하시오. [ 풀이] - 127 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) [ 예제3] 의순열중 의어느것도나 타나지않는순열의개수 ( ) 는? [ 풀이] 전체집합 는 명을일렬로세우는모든경우이므로 이고, 구하고자하는수는 의순열중 이 나타나지않는순열의개수이다. 각 에대하여 이나타나는순열전체의집 합을 라고하면하면 구하는수는 이다. 이것을 이라하자. 의원소는 의순열이므로 이고, 마찬가지로 이다. 따라서 이다. 의원소는 의순열이므로 이고, 의원소는 의순열이므로 이다. 같은식으로임의의 에대하여 이다. 따라서 이다. - 128 -

경우의수지도의실제 마찬가지로 이다. 따라서포함배제의원리에의해구하는수는 이다. [ 예제4] 과 의관계식을찾으시오. [ 풀이] [ 예제5] 이성립할때빈칸에알맞은 것을넣으시오. (1) (2) (3) [ 답](1) (2) (3) 타. 대칭성에의한경우의수 1) 순열 - 원순열 - 염주순열 순열원순열염주순열 - 129 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 2) 정다면체주사위 구분과정답 정사면체 정육면체 정팔면체 정십이면체 정이십면체 2. 점화관계(Recurrence Relation) 상수계수선형동차점화식 수열 이있다. 상수 에대하여 단 ( ) 를상수계수선형동차점화식이라한다. 특성방정식, 특성근 에대하여 를 의특성방정식이 라하고특성방정식의근을특성근이라한다. ( 주의 : 특성근 0) [ 정리] 수 λ에대하여 λ : 특성근 은 를만족한다. - 130 -

경우의수지도의실제 [ 증명] 이 를만족한다. 특성근 [ 정리] 이 n에관한식으로서 이각각점화식 를만족할때, 의일차결합은 를만족한다. ( 상수 에대하여 를 의일차결합이라한다.) [ 증명] 이라고두면 변변더하면, 즉, [ 정리] 가 의서로다른특성근일때, 일반해는 의일차결합으로표시된다. 즉, 초기치 이주어지면 이되는상수 를결정할수있다. [ 예제1] - 131 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) [ 풀이] 초기치를대입하면, [ 예제2], [ 풀이] 초기치를대입하면, [ 예제3] Fibonacci 수열 ( ) 의일반항 을구하시오. ± [ 풀이] 에서특성근은 초기치를대입하면,,, - 132 -

경우의수지도의실제 [ 예제4] 을만족하는 일반항 은? [ 풀이] 에서 라두면,,, [ 정리] 단 1 에대하여 라하자. 이때방정식 가중근 를가질때, 이 만족한다. 1을 [ 증명] 이 l을만족함을보이면충분하다 이므로, 이 1을만족한다. [ 정리] 가특성방정식의 - 중근일때, 의각각이 점화식을만족하면, 의일차결합이점화식의 일반해가된다. [ 예제5] - 133 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) [ 풀이] 중근 라두면, 주어진초기치에의해 [ 예제6] 이고, 일때, 은? [ 풀이] 에서,, ( 삼중근), 라두면, 1-134 -

적분의활용지도의실제 적분의활용지도의실제 이석곤 30) Ⅰ. 서 론 미분과적분은변화의현상을탐구하는수학적도구이다. 쉽게말하면사과 를잘게한없이썰어나아가는것이미분이고, 잘게썰어진조각을합하여원 래의사과로환원시키는것이적분이라생각해도좋다. 우리의생활과자연현상등세상은운동과변화로가득차있다. 계절의변화, 밀물과썰물, 움직이는물체의속도와가속도, 경기나물가의변동, 생산비의증 감, 인구의변화등우리가마주치는수많은운동과변화에는질서와규칙이있 기마련이다. 이질서와규칙을다루는도구가곧미분과적분인것이다. 미분과적분은자연과학, 사회과학, 경제와경영에서도필수적이며생활속 에서도이용된다. 세상의모든것이변하고있다. 모양, 위치, 온도가변할뿐만아니라변화 의양상이다양하며, 변화의양상자체도변한다. 수학에서어떻게변하고있 는지를연구하는것이미분이고변화의결과어떻게되었는지를다루는것이 적분이다. 한편, 우리는거시적으로전체를내려다보기도하지만극히작은범 위를확대하여보기도한다. 예를들면인공위성사진은지구가둥글다는것을 보여주지만내가서있는부근만생각하면평평하다. 포물선 도아주작 은부분직선처럼보인다. 또한신석기시대의유물토기는발굴당시에는모 두조각나있지만토기의복원작업을거쳐원래의모습을하고있다. 토기가 부서지는과정이미분이라면조각들을모아서전체를만드는것은적분이라 할수있다. 교통사고로머리를다쳤을때머리의내부를조사하기위해서 CT촬영을하 는데원리는머리의내부를둥글게자른형태로사진을계속하여촬영한뒤, 한장한장을보는것이며이사진을종합하면머리내부전체가된다. 30) 대구고등학교교사 / gsab5501@hanmail.net - 135 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 생활과밀접한관련을맺고있는태풍, 비등의기상변화를분석하고예측 하기위해서도미분이필요하다. 기온, 기압, 바람, 습도등의초기값과적분을 이용하면원하는시각의기온, 기압, 바람, 습도등을계산할수있다. 미분과적분은그응용이다양하기때문에오늘날수학의핵심분야가되었 으며미분과적분의응용으로는속도, 가속도, 길이넓이, 부피등을구하는 문제와미분방정식, 테일러급수그리고수치해석이있다. 적분은처음에평면도형의넓이를구하는것이그목적이었으나 점차입체 도형의부피, 곡선의길이, 일그리고힘을구하는것에까지확장되었다. 미적 분이도입되면서이루어진큰성과는움직이는물체의초기위치와속도함수 를잘살펴보면앞으로의위치나운동까지도예측할수있다는점이다. 이런 성질이이용되어적분이응용되는분야는참으로넓다. 예를들어, 적분을이 용해서가속도를알고있는물체의속도를구할수있으며, 현재의인구의수 와그변화율에서부터미래의인구의수를예측할수있고, 방사능폐기물의 감쇄율에서이것이인체에무해하게될시간을계산할수도있다. 또한, 곡선 으로둘러싸인도형의넓이계산, 실효전압의계산, 댐이받는힘등도계산 할수있다. Ⅱ. 도형의면적 1. 좌표축과곡선사이의면적 가. 축과곡선사이의넓이 1) 구간 에서 2) 구간 에서 3) 구간 에서 인경우 또는 일때 인경우 넓이 - 136 -

적분의활용지도의실제 나. 축과곡선사이의넓이 1) 구간 에서 2) 구간 에서 3) 구간 에서 인경우 인경우 또는 일때 이므로 이므로 넓이 - 137 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 2. 두곡선사이의면적 가. 구간 에서 일때, 두곡선 와 로둘러싸인부분의넓이 나. 구간 에서 일때, 두곡선 와 로둘러싸인부분의넓이 3. 이차함수와접선사이의면적 가. 포물선과 축사이의면적( 단, 는 절편 ) 나. 포물선과직선, 포물선과포물선사이의면적 1) 포물선과직선( 단, 는포물선과직선의교점의 좌표 ) 2) 포물선과포물선( 단, 는두포물선의교점의 좌표 ) - 138 -

적분의활용지도의실제 다. 포물선과두접선사이의면적 포물선 와곡선밖의점 에 서그은두접선을 이라하고접점을, 라하면 사이의면적 는 증명 ) 포물선과두접선 ( 단, ),, 4. 삼차함수와접선사이의면적 곡선 가직선 에 접할때곡선과직선으로둘러싸인부분의넓이는 ( 는교점의 좌표이고, < ) 증명 ) 의해는 로둘수있다. ( 근과계수와의관계) - 139 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 5. 사차함수와접선사이의면적 곡선 가직 선 과서로다른두점에서 동시에접할때, 곡선과직선으로둘러 싸인부분의넓이는 ( 는교점의 좌표이고, < ) 6. 극좌표계에서의면적 극좌표계에서 로주어진영역의넓이를구하는법 을살펴보자. 이때, 는연속함수인것을가정하자. 우선구간 을잘게나누어조그만구간 에서 의최대점과최 소점을각각 으로두면, 조그만영역은큰부채꼴과작은부채꼴의사이 에있으므로, 그넓이 는부등식 를만 족시킨다. 따라서, 이부등식을모두더하면, 구분구적법에의하여주어진영역의 넓이가 임을알수있다. - 140 -

적분의활용지도의실제 심장형곡선 에의하여둘러싸인부분의넓이는 이다. 7. 회전체의표면적 함수 는구간 에서미분가능하고 가연속인함수라하자. 이곡선을 축을중심으로회전할때, 생기는회전체의겉넓이를구해보자. 위그림에서 로놓으면 이므로 구하는회전체의겉넓이 는 lim lim 반지름의길이가 인구의겉넓이를알아보자., - 141 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) Ⅲ. 도형의부피 1. 일반입체의부피 가. 단면적이주어진경우 어떤방향을선정하여 축으로잡고, 적당히원점 를 정한다. 축에수직인평면으로입체를잘랐을때, 그잘리운 단면의넓이가 이면, 이입체의 와 ( < ) 와의사이에있는입체의부피 는다음과같이 나타내어진다. 단면적 나. 원기둥의밑부분을잘라낸입체의부피 밑면의반지름, 밑면과의사이각 2. 회전체의부피 가. 좌표축을회전축으로하는회전체의부피 1) 축을회전축으로하는회전체 곡선 와두직선 로둘러 싸인부분을 축의둘레로회전하여생기는 회전입체의부피 는 단면적 - 142 -

적분의활용지도의실제 2) 축을회전축으로하는회전체곡선 와두직선 로둘러 싸인부분을 축의둘레로회전하여생기는회전체의부피 는 단면적 나. 두곡선으로둘러싸인부분의회전체의부피 1) 일때, 구간 에서두곡선, 로둘러싸인부분을 축의둘레 로회전하여생기는회전체의부피 는 2) 일때, 구간 에서두곡선 로둘러싸인부분을 축의둘레 로회전하여생기는회전체의부피 는 3. 원환체의부피 파푸스굴딘 원환체의체적 (Pappus - Guldin) 의정리( 파푸스의무게중심의정리) ( 단, 는단면적( 원의면적), 은단면의중심( 원의중심또는평면도형의무게중심 ) 이 1회전한원 둘레의길이 ) - 143 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 도넛 A, B, C, D 가있다. 도넛 A의단면의반지름을, 도넛중심에서 도넛단면의중심까지의거리를 라할때, 다음을만족한다.,,,,, 비례할때, 도넛 A, B, C, D 가격의비를구하여라. 도넛의가격은부피에 풀이) 회전체의체적을이용하여도넛단면의반지름이 r, 도넛중심에서단 면의중심까지의거리가 의내부를 R 인도넛의부피를구할수있다. 실제로원 x축둘레로회전시켜생기는입체가도넛 이다. 정적분으로도넛 A의부피 를구하면 이므 로도넛 A, B, C, D 의부피의비를구할수있다. 세점 을세꼭지점으로하는 를 축을 회전축으로하여 1 회전시켜얻은회전체의부피를구하여라. 풀이 ) 의넓이 =1, 의무게중심의 좌표 = 무게중심 - 144 -

적분의활용지도의실제 Ⅳ. 곡선의길이 1. 곡선의길이 가. 곡선 의구간 에서의호의길이 는 나. 곡선 의구간 에서의호의길이 는 (1) 곡선 ( 단, ) 의길이를구하여라. (2) 다음곡선의주어진구간에서의호의길이를구하여라. 풀이 ) (1) (2) 2. 극좌표계와곡선의길이 극좌표계로 로주어진곡선의길이를구하여보자. 우선 로부터, 이다. - 145 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 따라서, 곡선의길이는 이다. 극좌표계에서 로주어진곡선의길이를구하여 보자. 풀이 ), Ⅴ. 속도거리와적분 직선위를움직이는점 의시각 에서의속도 가 로주어질때, 1. 일때부터 일때까지 점 P 의위치의변화량( 변위) 은 2. 일때의점 의위치는 ( 단, 은출발점의위치 ) - 146 -

적분의활용지도의실제 3. 일때부터 일때까지점 가실제로움직인거리 ( 운동 거리) 는? 뜻한다. ] [ 위의그림에서검은부분의넓이를 [ 참고] 가속도가주어질때속도 : ( 단, 는초기속도 ) 4. 평면위의운동에서움직인거리( 적분) 평면위를움직이는점 의시각 에서의위치가 일때, 부터 까지점 가움직인거리 은 원통은회전하고 는페인트붓이며직선으로내려간다. 가윗면에있을때를기준으로하여 초후의붓 가내려가는속도를 초라하면 와 의관계그래프가아래와같다. 1 1mm 1 3 m 1 2 3 4 5 6 A 3mm B - 147 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 원통의회전각속도는 초를단위로하여 이다. (1) 붓 는같은곳을다시칠하지않음을보여라. (2) 가원통의가장아래에도달했을때, 붓이칠한도형의넓이를구하시오. 풀이 )(1) 는주기 2인함수 ( 즉, 2초에 1내려간다.) 따라서, 8초마다한바퀴회전하며 내려가게된다. (2) 가원통의가장아래에내려갈때까지 20 초가걸린다. 2초동안칠한도형의넓이는 20초동안칠한도형의넓이는 이다. 원점을착륙지점으로하여하강하기시작하는비행기의고도가 라고하자. 원점까지의수평거리를 라하고그때의비행기의고도를 라하면 의삼차함수로나타낼수있다. ( 고도) 10(km) (km) ( 착륙지점까지의수평거리) 승객의안전을위하여다음과같은세가지조건을만족시켜야한다고할 때, 착륙을시도해야하는수평거리 의값을구하는방법을설명하여라. - 148 -

적분의활용지도의실제 Ⅰ. 하강하려는순간과착륙하는순간비행기는활주로와평형을이루어야 한다. Ⅱ. 착륙할때까지수평등속도를유지해야한다. ( 단, 이때의수평등속도는 이다.) Ⅲ. 착륙을시도하는순간하강가속도의한계는 으로지켜야한다. 풀이 ) 에서 이므로 1 조건 Ⅰ에서 이므로 2 1, 2에서 3 조건 Ⅱ에서 이므로 이고, 일때, 즉, 이다. 또한, 하강가속도는이계도함수 이다. 이므로 일때, 이고 3에서구한 의값을대입하면 하강가속도가 이하이므로 가성립하여야한다. 이부등식을풀면, 즉, 비행기는수평거리 전부터착륙을시도해야만한다. 5. 물리에의응용 가. 각종양의총합 어떤양이소구간 에대응하는부분의양이근사적으로 라고생각하면, 구간 에서의전체의양은 - 149 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) lim 나. 구체적인예 1) 유수량 단면적이, 물의속도가 일때시각 에서 까지의유수량 2) 수압 깊이가 와 사이의측면적을 라하고, 높 이 인용기에물이가득찼을때물의전체압력 3) 전기량 전류의세기가 일때, 시각 에서 까지의흐른전 기량 4) 일의양 힘이 일때, 물체가 에서 까지이동할때의일 의양 Ⅵ. 확률에로의활용 이산확률변수가아닌연속확률변수의경우에는변수가유동적이기때문에 정적분을이용하여정확한확률을구할수있다. -모든연속확률변수 에대한확률밀도함수 를갖는다. 이것은 가 와 사이에있을확률이 에서 까지 의정적분으로구해진다는것을의미한다. ( 단, 는확률밀도함수 ) 실험용쥐가어떤미로를통과하는데걸리는시간을측정한것을확률변 수 로나타낸확률밀도함수는 ( 단, ) 이다. 단, 는임의로선택한쥐가미로에서소비한시간을말한다. 임의로선택한 - 150 -

적분의활용지도의실제 쥐가미로를통과하는데 ( 풀이) 5 분이상걸리지않을확률을구하여라. 참고문헌 1. 김홍종, 미적분학 1,2, 서울대학교출판부, 2001 2. 김용운외 8 명, 미분적분학과해석기하학, 청문각, 1987 3. 미분적분학교재편찬위원회, 미분적분학, ( 주) 북스힐, 2001-151 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 파스칼의삼각형을활용한순열조합지도의실제 홍갑룡 31) Ⅰ. 파스칼삼각형의도입 1. 현교과서의파스칼의삼각형도입방법 - 부분집합의개수 - 의확장 - 최단경로의가지수=> 구조적동질성을이해시킨다. 2. 파스칼의삼각형구조파악 -,, 등을계산하여첨자의배열상태를이해시키고. 이항계수는자연수의합으로표현됨을이해시킨다.( 하키스틱 ) 예1) 예2) 31) 대구과학고등학교교사/ hgldragon@hanmail.net - 152 -

파스칼의삼각형을활용한순열조합지도의실제 예3) Ⅱ. 파스칼삼각형의성질 1. 2. 3. (1) - 153 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) (2) (3) (4) 4. - 154 -

파스칼의삼각형을활용한순열조합지도의실제 Ⅲ. 파스칼삼각형의응용 1. 서로다른 개의직선으로평면을분할할때, 나누어지는영역의최대개 수를조합으로나타내고이를파스칼삼각형에나타내시오. 2. 원둘레에 개의점이있다. 이때원은최대몇개의영역으로나누어지 는지조합을이용하여구하고이를파스칼삼각형에나타내시오. 3. 공간에놓인서로다른 개의평면으로공간을분할할때, 나누어지는영 역의최대개수를조합으로나타내고이를파스칼삼각형에표현하시오 - 155 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 구조적동형을활용한순열조합의지도효과 홍갑룡 32) Ⅰ. 이론적배경 1. 순열조합문제해결전략 비형식적문제 => 1. 빠짐없이, 2. 중복되지않고, 3. 효율적으로 헤아리는것 기본해결전략 1. 합의법칙, 곱의법칙 => 김서령(2007) 2. 구조적동형을활용한방법 => 이지현(2005), 이주영(2006), 홍갑룡 (2011) cf ) 김미정(2009) : 발견을통한순열과조합지도방안연구 2. 조합문제에서의인식론적장애: 곱의법칙과합의법칙중심으로 (2007, 김서령외) 실생활에서제기되는세기문제들은한개의곱의법칙으로만해결될수없 는문제들이대부분이므로, 다음과같은교수학습전략이필요하다. 1. 하나의곱의법칙이적용될수있도록세고자하는전체집합을적절히 분할한다. ( 곱의법칙의정확한개념형성을유도하여야한다.) 2. 각각의경우에곱의법칙을적용한다. 3. 각각의경우의수를모두합한다. ( 합의법칙적용) => 문장제를한번의곱의법칙이적용될수있는지아니면여러개의곱 32) 대구과학고등학교교사 / hgldragon@hanmail.net - 156 -

구조적동형을활용한순열조합의지도효과 의법칙을사용하여야하는지를파악하는것이중요하다. 또한, 먼저단 순한상황에서의곱의법칙을지도하고다음에는복잡한상황에서합의 법칙도적용하도록지도하는것이좋다. 즉, 곱의법칙을합의법칙보다 먼저다루는것이바람직하다. 3. 순열조합문장제의문제변인과오류분석 (2005, 이지현. 이정연. 최영기) 순열조합의문제를선택, 분배, 분할의세가지의유형으로분류하였다. 이 연구결과, 순열조합의연산과문제유형의변인이문제의난이도에유의미한 영향을나타내었다. 특히학생들에게선택, 분배, 분할문제간의변환은쉽지 않으며순열조합의문제에서학생들이겪는어려움중하나는바로문제유 형의차이에서비롯된다는것을알수있었다. 또한현교과서에서는선택, 분 배, 분할을고려한다양한문제유형이부족한것으로나타났다. 따라서, 순열 조합의지도에있어문제유형을활용하여다양한의미구조의문제를제시하 고, 공식위주가아닌문제상황을충분히이해하고이에대한해법을변형, 확장하는경험을강조하는것이필요하다. 선택문제 (Selection model) ( 예시) 상자에각각 2, 4, 7 이적힌세개의공이들어있다. 공을하나씩꺼 내서숫자를적어세자리자연수를만든다. 만들수있는세자리 자연수는모두몇가지인가? 분배문제 (Distribution model) ( 예시) 똑같은연필 3 개를빨강색, 노랑색, 파랑색, 초록색 4개의필통에넣 고싶다. 한필통에연필을하나씩만넣는다면, 연필들을넣는방법 은모두몇가지인가? 분할문제 (Partition model) ( 예시) 1부터 4까지의숫자가적힌네장의우표를갑과을이각각두장씩 나누어가지는방법은모두몇가지인가? - 157 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 검사도구및정답률( 검사대상 : 순열, 조합을학습한학생) 문제유형연산조합같은것이있는순열중복순열순열 ( ) 순열 ( ) 분배선택분할 평균정답률 3 번(55.8) 8 번(71.4) 10 번(56.9) (61.4) 12 번(67.3) 2 번(58.1) 7 번(52.5) (59.3) 6 번(35.7) 11 번(70.8) 4 번(20.4) (42.3) 1 번(94.4) 5 번(90.0) (92.2) 9 번(66.7) 13 번(77.6) (72.1) 평균정답률 (64.0) (73.6) (43.3) 결론 1. 2. 현순열과조합단원은공식중심으로전개되고있어공식을그대로대입 하여계산하는연습에치중하고있으나, 그대안으로선택, 분배, 분할이라 는수학적인상황을중심으로단원을전개하는방법도고려할수있다. 순열이나조합의개념을이해한다는것은그공식을단순히재생산하는것 이아니다. 주어진문제상황에대한해법을다른문제로변형하거나확장 하는것이학생들에게는어렵다는것을연구결과알수있었다. 그러므로 공식위주의교육에서벗어나문제상황을충분히이해하고이에대한해 법을강조하는순열과조합지도가요청된다. Ⅱ. 구조적동형을활용한순열조합지도 1. 조합문제사이의구조적동형(2006, 이주영, 김서령, 박혜숙, 김완순 ) 문장제사이의구조적대응이라는것은문제를구성하는요소들사이의대 응을뜻하며, 특히두문제가구조적으로동형이라는것은문제에서같은역할 을하는요소사이의일대일대응이존재하는경우를의미한다. 1. 선택유형에서배치유형으로의요소대응과정분석 2. 배치유형에서선택유형으로의요소대응과정분석 - 158 -

구조적동형을활용한순열조합의지도효과 가. 대응을잘찾는경우 나. 대응을잘찾지못한경우 4 명의후보중에 3 명의위원을선택하기 <==> 구별이안되는공 3개를 4개의서로다른상자에넣기 <==> 3 개의똑같은편지를 4 개의서로다른봉투에넣기 선택유형구심점문제배치유형 2. 구조적동형을활용한고등학교 2 학년학생들의순열 조합지도 효과(2011 홍갑룡) 구조적동형을활용한학습이란학생들이순열 조합문제를공 상자모델로 재진술하여, 공상자 모델의구성요소와일대일대응인문제의구성요소를찾 는것을말한다. 공: 구별상자 : 구별 공 : 비구별상자 : 구별 조건없음 각상자에많아야하나 ( ) 각상자에적어도하나 ( ) 비고 순열 조합 공 : 구별상자 : 비구별 1 집합의분할 공 : 비구별상자 : 비구별 1 자연수분할 공의수 :, 상자수 : 문제진술 1 개공, 개상자 구조적동형 2 상자 3 공 4 하나의상자에기껏해야한개들어감 계산공식 선택다른다른 Yes 분배다른같은 Yes 분할 다른다른 No 다른같은 No - 159 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 연산 문제진술 분배선택분할기타 순열 (1 번) (5 번) (8 번) 조합 (3 번) (12 번) (9 번) 중복순열 (6 번) (10 번) (4 번) 중복조합 (2 번) (7 번) (11 번) 결론은다음과같다. 1. 구조적동형을활용한순열조합 학습이학업성취도향상에유의미한효과 가있다.(7.46 : 5.65 12 점만점) 2. 구조적동형을활용한순열 조합학습집단은두가지방식으로문장제를 3. 해결한다. 학생들은기존의방법을이용하여시도한후, 해결이되지않을 때구조적동형을이용한방법으로문제를해결하였다고한다. 구조적동형을활용한지도는일관성있고체계적인지도방식임 ( 중복조합까지지도가능) Ⅲ. 기본으로돌아가기 1. 발견을통한순열과조합지도방안연구(2009 김미정) 순열과조합은 수세기 에대한비형식적인선행지식에서출발하여비형식 적문항인문장제로부터 수세기형식화 인사칙연산개념을활용해야한다. 전통적교수학습법으로는문장제가대부분인순열과조합의이해에어려움을 겪을수밖에없었으며, 비형식적인개념에서출발하여형식적완성을도모할 수있는발견학습법의도입이적절하다. - 160 -

확률의정의와역사 확률의정의와역사 이태수 33) Ⅰ. 확률의역사적배경 확률(probability) 의라틴어의어원은 시험을보다 증명하다 승인하 다 는의미의 probare 와 할수있다. 는의미의 ilis 를합한말이다. 16세 기에의사이며호기심이많은도박꾼인카르다노는 < 운에맡기는승부> 에서 확률에대한당시의의미때문에주로가능성(chance) 이라는단어를사용하 였던것같다. 어쨌든도박의일상어로서확률과랜덤(random) 이라는단어 사이의결합은 < 운에맡기고하는승부> 라는책이후로 100년이나지난후에 이루어진다. 그러나오늘날확률을분수로표시하는전통적인형식은그가처 음정의한것이다. 확률은언제나이중적인적인의미를지녀왔다. 하나는 믿음의정도 나 의견의승인가능성 을의미한다. 또하나는통계적인측면의 증거를채 택할수있는신뢰성의정도 를의미하기도한다. 33) 포산고등학교교사/ tslee@edunavi.kr - 161 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) Ⅱ. 확률역사속에서생각해볼문제 확률개념의복잡성은확률개념이역사적으로더디게발전하게된또다른 이유가되었다. 무엇보다도우연현상은연역적이고논리적인분석을쉽게허 용하지않는애매한현상으로수학화가용이하지않았기때문에다른수학분 야와비교하여더디게이루어졌다고볼수있다. 그속에서공정한내기와주 사위게임에대한논의를한최초의수학자는 16세기의 Cardano 이었으며 Galilei 도비슷한내용을연구하였다고한다. 그러나 Pascal 과 Fermat 가서신 왕래를통해확률의개념화에큰진적을이룩한것은그후 1세기가지난 1654년이었으며그내용이공표된것은 1679 년이었다. 그들이확률의초기역 사에서보여준문제의해결방법을통하여확률의정의의시도와확률의고전 적정의로확률현상을수학화하는데따르는한계점을살펴보고자한다. 가. [de Mėr ė의문제] 첫번째게임에서는주사위한개를네번던질때적어도한번 이나 오면이기는것으로한다. 두번째게임에서는주사위두개를 번던질 때 이적어도한번나오면이기는것으로한다. 어느쪽이유리한가? 나. [ 상금의분배문제] 게임을시작할때 A, B 두사람은같은내기돈을건다. 정해진횟수만큼 이기는사람이내기돈을모두가지기로한다. 그러나두사람중의누구도 필요한횟수만큼이기기전에게임을중단할수밖에없는상황이일어났다. 만일승자가되기위해서 게임을먼저이겨야하고, 게임이중단된상태에 서 가? A가 으로유리한상황이라고하면내기돈을어떻게나누어야공정한 다. [Bertrand 현문제] 반지름 인원에내접하게정삼각형을그리고그원을지나도록정삼각 형을그리고그원을지나도록한직선을무작위로그릴때, 현의길이 가 삼각형의한변이길이 보다길어질확률은얼마인가? - 162 -

확률의정의와역사 라. [ 도서관문제] 1) 어떤대학도서관에책이모두 권이고영어책이 권이다. 무작위 로책한권을뽑을때, 그책이영어로쓰여진책일확률은얼마인가? 2) 도서관에큰서고와작은서고가있고, 그사이에넓은복도가있으며, 동전을던져서어떤서고로들어가야할지결정한다고한다. 큰서고 에는총 권의책중에영어책은 권이고, 작은서고에는총 권중에영어책이 권이다. 무작위로책한권을뽑을때, 그책이영 어로쓰여진책일확률은얼마인가? Ⅲ. 확률의정의 가. 수학적확률( 확률의고전적정의, 고전적확률) 개의원소로구성된표본공간에서각각의근원사건이일어날가능성이 같은정도일때, 개의원소로구성된사건 가일어날확률 는다음 과같다. [ 문제] 수학적확률의한계는? 나. 통계적확률( 확률의상대도수적정의, 경험적확률) 주사위던지는실험을무한히시행하여오랜관찰끝에 의눈이 로 관찰되었다면주사위던지는실험에서 의눈이나올확률은 이다라고 일정한패턴을찾아말할수있다. 이처럼동일한확률실험을무한히반복할 때한사건에대한상대도수의극한에의하여얻은수치를확률로정의할 수있다. 즉, 같은시행을 번반복할때, 어떤사건 가일어나는횟수를 이라고할때, 는다음과같다. lim - 163 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) [ 문제] 통계적확률의한계는? 다. 공리적확률 공리적확률은러시아수학자콜모고로프 (Kolmogorov) 가정의한다음의 공리를바탕으로하는확률을의미한다. [ 공리1], [ 공리2] 어떤사건 에대하여도 [ 공리3] 두사건, 가서로배반이면 [ 문제] 다음을증명하시오. (1) (2) (3) 이면 공리학적확률은수학적확률또는통계적확률과같이구체적인식으로확률 을정의하는것이아니라확률이가지고있어야할수학적성질을형식적으로 나타내어확률을정의한것이다. 따라서, 공리적확률로는확률의값을구체적 으로구할수없다. 따라서, 표본공간이유한이거나셀수있는경우, 즉이산 인경우에각원소가같은정도로일어날것이기대되면그경우에는수학적 확률이위의공리를만족하게되므로수학적확률로확률을구하고, 표본공간 이이산이고각원소가같은정도로일어날것이기대되지않으면통계적확 률이위의공리를만족하게되므로통계적확률을구하면된다. 또, 표본공간이 연속이면길이, 넓이, 부피등의기하적측도( 기하하적확률) 가위의공리를 만족하게되므로적분으로도입하여확률을구하면된다. 이렇게확률이공리 적으로정의됨으로써라플라스의확률의정의를콜모고로프의확률의정의의 특수한경우로만들어버렸다. 비로소확률론은순수수학의한분야로정착되 었다. - 164 -

확률의정의와역사 Ⅳ. 교육과정상의확률의계통과내용 1. 확률단원의계통 학습한내용확률단원의내용학습할내용 중 1 집합의연산 1. 확률의뜻과활용 01. 시행과사건 02. 확률의뜻 03. 확률의기본성질 적분과통계확률분포이항분포 중 고 2 1 확률의뜻과기본성질확률의계산경우의수순열과조합 2. 조건부확률 01. 조건부확률 02. 사건의독립 적분과통계순열과조합 2. 확률단원의내용 - 165 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) Ⅴ. 엑셀을활용한확률지도 1. 베르누이의대수의법칙 가. 프로그램의목적 통계적확률을수학적확률로볼수있는베르누이의대수의법칙을간 접적으로체험해볼수있다. - 166 -

확률의정의와역사 나. 프로그램의효과 고둥학교교육과정상엄밀하게증명할수없는베르누이의대수의법칙 을간접적으로체험해봄으로써이해를높일수있다. 다. 프로그램의과정 1) B2 셀에 =TRUNC(RAND()*6)+1 을입력시킨다. 여기서 RAND() 은 0보다는크도 1보다작은실수인난수를발생시켜주는 함수이고, TRUNC 는소수점아래부분을잘라주는역할을하는 함수이다. 결론적으로 TRUNC(RAND()*6)+1 은 1이상 6이하의 정수를발생시키는명령어이다. 100 개의셀에입력한다. 2) C13 셀에 =COUNT(B2:K11) 을입력하여던진횟수에해당하는 것을구하고, B15부터 E15 까지다음그림과같이입력한다. - 167 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 3) C16 셀에 =COUNTIF($B$2:$K$11,B16) 을입력하여눈이나온횟수를계산한다. 4) D16 셀에 =C16/$C$13 에입력하여기본적인틀을완성한다. 5) 차트마법사를이용하여주사위의눈을 축으로횟수를 축으로하여 차트를만든다. 기타상세한 축의범위와서식들을결정한다. - 168 -

확률의정의와역사 F9 를한번누를때마다난수를발생시키면서주사위한면이나오는통계 적확률을계산해준다. 2. 라플라스의중심극한정리 시행횟수를무한히크게하면이항분포가정규분포에근접한다. 엑셀에내장된 BINOMIST 함수를활용할수있다. Ⅵ. 확률문제해결 [05 년수능] 키가서로다른네사람이있다. 이들을일렬로세울때, 앞에서세번째사 람이자신과이웃한두사람보다키가작을확률은? 1 2 3 4 5 [09 년수능] 주사위를두번던질때, 나오는눈의수를차례로 이라하자. 의값이 이될확률이 일때, 의값을구하시오. ( 단, 이고 는서로소인자연수이다.) - 169 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) [08 년수능] 명의학생 를임의로 명씩짝을지어 개의조로편성 하려고한다. 와 는같은조에편성되고, 와 는서로다른조에편성 될확률은? 1 2 3 4 5 [11 년수능] 한국, 중국, 일본학생이 명씩있다. 이 명이그림과같이좌석번호가지 정된 개의좌석중임의로 개씩선택하여앉을때, 같은나라의두학생끼 리는좌석번호의차가 또는 이되도록앉게될확률은? 1 2 3 4 5 [10 년수능] 각면에 의숫자가하나씩적혀있는정육면체모양의상자를 던져윗면에적힌수를읽기로한다. 이상자를 번던질때, 첫번째와두번 째나온수의합이 이고, 세번째나온수가홀수일확률은? 1 2 3 4 5 [07 년수능] (은자연수) 의숫자가하나씩적혀있는 장의카드중 임의로꺼낸 장의카드에적혀있는두수를각각 < 라하자. < 일확률을 이라할때, 다음은 lim 의값을구하는과정이다. - 170 -

확률의정의와역사 장의카드중 장의카드를꺼내는경우의수는 이다. < 인경우에는 이므로 < 이다. 따라서 라하면 < 를만족시키는 의경우의수는 ( 가 ) 이므로 ( 이다. 나 ) 그러므로 lim ( 다 ) 이다. 위의과정에서 ( 가), ( 나), ( 다) 에알맞은것은? ( 가) ( 나) ( 다) 1 2 3 4 5 [06 년수능] 각면에 의숫자가하나씩적혀있는정사면 체모양의상자가있다. 이상자를던져서밑면에적힌 숫자가 이면오른쪽그림의영역 에, 숫자가 이면 영역 에색을칠하기로하였다. 두영역에색이모두 칠해질때까지이상자를계속던질때, 번째에마칠확률을 라하자. 의값을구하시오. ( 단,, 는서로소인자연수이다.) [09 년수능] 주머니 와 에는 의숫자가하나씩적혀있는다섯개의구 슬이각각들어있다. 철수는주머니 에서, 영희는주머니 에서각자구슬 을임의로한개씩꺼내어두구슬에적혀있는숫자를확인한후다시넣지 않는다. 이와같은시행을반복할때, 첫번째꺼낸두구슬에적혀있는숫자 가서로다르고, 두번째꺼낸두구슬에적혀있는숫자가같을확률은? - 171 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 1 2 3 4 5 [12 년수능] 두사건 A, B 는서로독립이고, 이고, 일때, 의값은? ( 단, 은 의여사건이다.) 1 2 3 4 5 [96 년수능] 부터 까지의자연수가하나씩적힌열개의공이들어있는상자가있 다. 이상자안의공들을잘섞은후에차례로두개의공을꺼낼때, 두번째 꺼낸공에적힌수가처음꺼낸공에적힌수보다큰수일확률은 이다. 다 음은이에대한증명이다.( 단, 꺼낸공은다시넣지않는다.) 처음꺼낸공에적힌수를, 두번째꺼낸공에적힌수를 라하 고구하는확률을 라하자. 부터 까지의자연수 에대하여 인사건을 이라하고, 인사건을 이라하자. 그러면 1 2 이다. 위의증명에서 1, 2에알맞은것은? - 172 -

확률의정의와역사 1 4 2 5 3 [12 년수능] 주머니 A에는 1, 2, 3, 4, 5의숫자가하나씩적혀있는 5장의카드가들어 있고, 주머니 B에는 1, 2, 3, 4, 5, 6의숫자가하나씩적혀있는 6장의카드 가들어있다. 한개의주사위를한개던져서나온수가 3의배수이면주머 니 A에서임의로카드한장을꺼내고 3의배수가아니면주머니 B에서임의 의카드한장을꺼낸다. 주머니에서꺼낸카드의수가짝수일때, 그카드가 주머니 1 A 에서꺼낸카드일확률은? 2 3 4 5 [11 년수능] 어느디자인공모대회에서철수가참가하였다. 참가자는두항목에서점수 를받으며, 각항목에서받을수있는점수는표와같이 가지중하나이다. 철수가각항목에서점수 를받을확률은, 점수 를받을확률은, 점수 를받을확률은 이다. 관람객투표점수를받는사건과심사위원점 수를받는사건이서로독립일때, 철수가받는두점수의합이 일확률은? 항목 점수 점수 점수 점수 관람객투표 심사위원 1 2 3 4 5-173 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) < 토론주제 > 현장에서확률수업을할때각자어떤부분이어려웠는지학생들은어떤 부분에서오개념이나어려움을느끼는것같은지서로의견을교환해봅시다. < 참고문헌 > 우정호 (2004). 학교수학의교육적기초. 서울대학교출판부. 이석훈외 1 명(2003). 통계와확률지도론. 경문사 김원경외 5 명(2010). 확률과통계. 교육과학기술부 우정호외 7 명(2012). 적분과통계. 두산동아 김향숙외 7 명(2005). 수학교육에서의엑셀활용. 경문사 김종학 (2008). 엑셀 2007 무작정따라하기. 길벗 이태수 (2007). EXCEL 을활용한수학Ⅰ 지도방법에관한연구 - 174 -

통계지도의실제 통계지도의실제 최종호 34) Ⅰ. 통계학개요 1. 통계학 통계학은영어로 state( 국가) 와 itics( 학문) 로이루어진합성어이다. 국가를 운영하기위하여세금징수, 군대를만들기위한호구조사등국가에서수집한 정보를뜻한다. 한자로통계( 統計 ) 는모두모아서계산한다는의미이다. 통계학의정확한정의는관심의대상전체에서표본자료를수집하고, 이자 료를정리요약하여자료의특성을쉽게파악할수있도록하며, 내재되어있 는자료의성질, 규칙성등을분석하여모집단의특성을추론하는학문이다. 2. 용어 가. 모집단과표본 모집단 : 연구자의관심의대상이되는모든개체의집합 표본 : 모집단에서조사대상으로채택된일부 나. 모수와표본통계량 모수 : 모집단의특성치(parameter) 표본통계량 다. 특성치 대표치 산포도 : 표본의특성치(statistic) : 평균, 중앙값, 최빈값 : 범위, 중간범위, 평균편차, 표준편차 34) 경북대학교사범대학부설고등학교교사/ hahachoi@hanmail.net - 175 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 평균편차 : ( 절대값때문에대수적연산이불편하여통계적추론에이용도가낮음) 통계학의궁극적목적 : 며, 확률변수인포본통계량을이용하여모수를추론 필요로하는정보는모수인테이는미지의상수이 모집단 표본 모평균 또는 표본평균 모분산 표본분산 모표준편차 표본표준편차 모비율 표본비율 모수 표본통계량 < 토론과제 > 평균편차대신표준편차를쓰는이유 Ⅱ. 확률분포 1. 확률분포 가. 이산확률분포 1) 확률변수 (random variable) 확률변수는표본공간내의사상들을실수값으로변환하는함수를뜻한다. 2) 이항분포 가) 베르누이분포 베르누이실험 : 실험의결과가상호배타적이고전체를포괄하는 두결과중하나로나타나는확률실험 베르누이시행 : 베르누이실험이매시행마다확률 가같고독립적으로반복해서이루어지는시행 - 176 -

통계지도의실제 나) 이항분포 이항실험의성질 - 베르누이실험이 회시행된다. - 각실험은독립이다. - 각시행에서성공의확률은상수 이고실패의확률은 이다. - 확률변수 는 회시행에서성공의횟수와같다. 이항분포 : 베르누이시행이 번반복되었을때성공횟수 회의독립시행에서사건 가일어나는횟수를확률변수 라하면 는 0, 1, 2,, 의값을가지는확률변수가된다. 이때, 1회의시행에서사건 가일어날확률을 라고하면 는이항분포 를따른다고한다. 통계프로그램 - http://math.exeter.edu/rparris 에서 Winstats프로그램다운 [ 문제] 확률변수 가이항분포 를따를때, 임을보이시오. ( 이항정리와미분법이용한증명) 에서양변을 에관하여미분하면 1-177 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 여기서 이라고하면 한편, 1의양변을 에관하여다시한번미분하고 로놓으면 를얻을수있다. 나. 정규분포 1) 연속확률변수 확률변수 가어떤구간의모든실수의값을가질때, 확률변수 를 연속확률변수라고한다. 2) 가) 확률밀도함수 나) 평균과표준편차 정규분포 정규분포는연속확률분포의대표적인유형으로서널리쓰이고있으며 통계적추론에가장많이쓰이는중요한분포이다. 역사적으로정규분포 의기원은 17세기프랑스수학자 De Moivre(1667~1754) 가도박에서 기회의출현확률을설명하기위하여처음제시하였다. 그후프랑스수 학자 Laplace(1749~1827) 에의하여함수관계가정립되었다.. 별도로독 일의수학자 Gauss 가오차(error) 의분포를연구한끝에이분포가종 모양의분포를한다는사실을발견하였다. 이오차의분포를공식화함으 로써오차의법칙을유도하였는데, 이것이정규분포와일치하엿다고한다. 그래서정규분포를가우스분포라고부르기도한다. 확률밀도함수가 로주어질때, 의 확률분포를정규분포라하며 으로나타낸다. [ 참고] 정규분포의표준화 - 178 -

통계지도의실제 라하면 ( 준식)= 이다. 3) 이항분포의정규분포화 < 라플라스의정리> 확률변수가이항분포를따를때, 이충분히큰확률변수의 분포는근사적으로정규분포를따른다. 문제. 하나의주사위를 720번던질때 5의눈이나오는횟수를확률변수 sol) 1. 라할때, 확률 의값을구하라. 이항분포정의에따른계산 2. 정규분포의근사에의한계산 =0.8345833548 < 토론과제 > 이항분포 에서 이므로충분히커서 정규분포에가깝다. 따라서 즉, 이충분히크면정규분포를쓸수있다는것은올바른설명일까? : 시행횟수 이크다고하여도 가 0.5에비해크게차이가나면이항분포 의그래프는한쪽으로치우치게된다. 즉 이일정할때, 가 0.5보다작 을수록그래프는오른쪽이가라앉은모습(skewed right) 을띠고, 반대로 0.5 보다클수록그래프는왼쪽이가라앉은모습(skewed left) 을띤다. 이 런문제를고려하여일반적으로 와 가모두 5이상인경우에이 항분포를정규분포로바꾸어계산하는것이바람직함이알려져있다. 이런 성질은드므와브르, 피에르- 사이먼, 라플라스에의해알려져있는데이 - 179 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 를 ' 드므와브르 / 라플라스정리 ' 라한다. 아울러 가작을때, 이항분포는포 아송분포를사용하여계산할수있음이알려져있다. 2. 표본분포 가. 표본평균의분포 평균이, 분산이 인모집단에서크기가 인표본평균 의평균과 분산은모집단의분포와상관없이, 이다. ( ) 모집단에서 개의임의표본을추출할때 이다. 나. 중심극한정리 모평균이, 모표준편차가 σ 인모집단에서크기가인표본을임의추출 할때, 표본평균을라하면 1 모집단이정규분포 을따르면표본의크기 에관계없이표본평 균 는정규분포 σ 을따른다. 2 모집단의분포가정규분포가아닐때에도이충분히크면의분포는 근사적으로정규분분포 σ 을따른다. 다. 표본비율의분포 모집단의성공비율이 이며, 표본의크기가, 성공횟수가 라하면, 이다. 따라서, 표본비율분포의기댓값과분산은 각각 이다. - 180 -

통계지도의실제 3. 통계적추정 가. 추정의기본개념 1) 추정량과추정치 미지인모수 의추정에사용되는통계랑을추정량이라하고, 추정치는 추정량 의표본관측값을말한다. 2) 추정량 불편추정량 (unbiased estimator) : 추정량의기대값이모수와일치하는통계량을지칭한다. 외의통계량을편의추정량이라한다. ( 편의(bias) : 모수와추정량의차이) 일치추정량 (consistent estimator) 그리고그 : 표본의크기 이커질수록추정량이모수에가까워지는성질을일치성 이라고하며, 이러한성질을만족하는추정량을일치추정량이라한다. 유효추정량 (efficient estimator) : 기본적으로추정량의분산이작아야좋은추정량이되는데, 추정량을말한다. 충분통계량 (sufficient estimator) 이러한 : 추정량이모수에대한정보와지식을모두가지고있을때, 충분성을 만족한다고하며충분통계량이라부른다. 나. 모수의점추정(point estimation) 모수를단일값으로추정하는것을점추정이라하고, 구체적인값을모수의점추정치라한다. 모수의추정량의 모집단에서임의로고른 개의확률변수 에대해 을 통계랑 에대한점추정량이라고한다. 이때, 추정량의평균, 즉그기댓 값과모수(parameter) 가일치하는경우이추정량이불편향성을갖는다 고하고, 그렇지않은경우이추정량이편향성을갖는다고한다. - 181 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 1) 모평균의점추정 개의확률표본을 이라할때, 표본평균 는 이다. 모평균의점추정량은불편추정량이면서유효추정량이다. 2) 모분산의점추정 개의편차의총합은항상 0이므로 개의편차의값이주어지면나 머지하나는자연히결정된다. 이러한개념의 을자유도 (dgrees of freedom) 라하며, 제곱합을자유도로나눈것을표본분산 ( ) 이라하 며, 제곱합을 으로나눈것을표본최우분산 ( ) 이라한다. 로알려져있으며, 표본분산 은모분산 의 불편추정량이고, 최우표본분산 은모분산 의불편추정량이아니다. < 토론과제 > 표본분산을모분산과달리편차제곱의총합을 으로나누지않고 로 나누는이유 : 표본분산의기댓값이모분산이되는불편성(unbiased), 즉 에 있기때문이다. ( 불편성에대해서는뒤에다시설명하기로하겠다.) 따라 서표본분산을불편분산이라고도한다. 이때, 을자유도 (degree of freedom) 라하고, 기호로는 로표시한다. Q. 표본자료에서편차제곱의평균은? 최우분산 (maximum likelihood variance) 이라고함( 으로표시 ) 모분산은최우분산임 1 σ 의 unbiased estimator - 182 -

통계지도의실제 은 σ 의 unbiased estimator 이다. 2 은 σ 의 biased estimator 이다., ( 이므로,) 효율성을비교할때, 확률적으로모분산에수렴하는편의추정량 이더 효율적이다.( 분산이큰추정량일수록추정량은모통계량에가가이분포한 다할수없다.) 1. 불편추정량 은우리가알고있는분산에관한일반법칙이들어 맞지않는다. 예를들어 그러나, - 183 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 2. 이작은경우평균제곱오차 (mean square error) 입장에서편의추정량 이불편추정량보다좋다는것이실험을통해알려져있다고한다. 아울러 모집단이정규분포를따르면 제곱오차를가진다는것이알려져있다. [ 예제] 모집단{1, 3, 5} 일때, 을구하시오. 이가장작은평균 표본 (1,1) (1,3) (1,5) (3,1) (3,3) (3,5) (5,1) (5,3) (5,5) 1 2 3 2 3 4 3 4 5 0 1 4 1 0 1 4 1 0 0 2 8 2 0 2 8 2 0, 이다. 대신 값을사용하면신뢰구간의넓이가줄어든다고볼수있다. 개정이 전대부분의교과서에서는 대신 으로나눈것으로정의하고있는데, 자 료의분산과같은형식을가지며불편추정량 (unbiased) 이되지않는다. 이론 적으로 로나누는사용해야하지만, 이크면 과 은큰차이가없 으므로어느것을사용해도무방하다고한다. 다. 모평균의구간추정 모평균 의구간추정에는가장좋은추정량인표본평균 의분포를이 용하여구간추정을한다. 모평균의구간추정에서는모분산을아는경우와모르 는경우에표준오차의차이가있으므로경우를나누어구간추정을하여야한 다. 신뢰구간을추정할때신뢰수준이높을수록, 신뢰구간의길이는작을수록 좋다. 그러나표본의크기 이일정하면신뢰수준이높을수록신뢰구간의길 이는커진다. 1) 모분산을아는경우 모집단이정규분포를따르면표본평균 는정규분포를따르며, 모집단 이정규분포를따르지않더라도확률표본의크기 이충분히크면중심극 한정리에의하여표본평균의분포 는정규분포에근사한다. 모집단에서임의로추출한크기 인표본의표본평균을 라하면, 모 평균 의신뢰구간은 - 184 -

통계지도의실제 신뢰도 95% 신뢰도 99% 구간추정 구간추정 2) 모분산을모르는경우 가) 표본이클경우 에서 이므로모분산을모르면불편추정량 인표본분산 을이용한다. 나) 소표본의경우(Student's t distribution) 표본의크기 이작고, 모분산을모르면표본평균 는정규분포를 따르지않는다. 이때, 는정규분포를따르지않고자유도가 인 t 분포를따른다. 다. 모비율의구간추정 모집단에서어떤특성 를갖는것의전체에대한비율을모비율이라하 고, 기호 로나타낸다. 이모집단으로부터크기가 인표본을임의추출할 때, 개의표본중에서특성 를갖는것이 개라하면 를표본비율 이라하고, 기호 로나타낸다. 으로정규분포 를따른다. 이다. 따라서, 이충분히클때, 은근사적 < 토론과제 > 평균 의신뢰구간추정에서신뢰도 95% 의의미 [ 탐구과제 ] 모비율의신뢰구간 표본비율 표본의크기 이충분히클때, 근사적으로정규분포 을 - 185 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 따르고표준화한 는근사적으로표준정규분포를따른다. 그런데, 표본의크기 이충분히클때 의분산인 에서 를각각 으로바꾸어구한 도근사적으로정규분포를따른다는 것이알려져있다. 이때, 가된다. 이를정리하면신뢰도 95% 인신뢰구간추정을할수있다. Ⅳ. 수능기출문제를통한통계지도법 1. 어느공장에서생산되는병의내압강도는정규분포, 을따르고, 내압강도가 보다작은병은불량품으로분류한다. 이공장의공정능력을평가하는공정능력지수 는 으로계산한다. 일때, 임 의로추출한한개의병이불량품일확률을표준정규분포표를이용하여 구한것은? [점] 1 2 3 4 5 2. 확률변수 의확률분포표는다음과같다. 계 - 186 -

통계지도의실제 확률변수 의분산 의값은? [ 점 ] 1 2 3 4 5 3. 어느방송사의 뉴스 의방송시간은 평균이 분, 표준편차가 분인정규분포를 따른다. 방송된 뉴스를대상으로크기 가 인표본을임의추출하여조사한방송시 간의표본평균을 라할때, 의값을오른쪽표준정규분포표를이용하여 구한것은? [ 점 ] 1 2 3 4 5 4. 어느회사에서생산하는음료수 병에들어있는칼슘함유량은모평균이, 모표준편차가 인정규분포를따른다고한다. 이회사에서생산한음료수 병을임의추출하여칼슘함유량을측정한결과표본평균이 이었다. 이회사에서생산한음료수 병에들어있는칼슘함유량의모평균 에대 한신뢰도 의신뢰구간이 일때, 의값은? ( 단, 가 표준정규분포를따를때 이고, mg 이다.) [점] 1 2 3 4 5 칼슘함유량의단위는 5. 확률변수 의확률분포를표로나타내면다음과같다. 계 의값은?[ 점 ] 1 2 3 4 5-187 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 5. 구간 에서정의된연속확률변수 의확률밀도함수가 이다. 의평균 이 이고 일때, 상수 의값을구하시오. [4점] 참고문헌 한국교원대학교국정도서편찬위원회, 확률과통계, 교육인적자원부. 2008 윤재한외 이해영외 23 인, 고등학교적분과통계, 더텍스트. 2009 1 인, 통계학의기초와활용, 형설출판사. 2007 최봉대외 5 인, 고등학교수학Ⅰ 교사용지도서, ( 주) 중앙교육진흥연구소. 2007 황석근외 12인, 고등학교미적분과통계기본교사용지도서, ( 주) 교학사. 2010 김수환외 13 명, 고등학교적분과통계교사용지도서, ( 주) 교학사, 2010 수능기출문제, 교육과정평가원 통계와 SAS, http://cafe.naver.com/supermd - 188 -

적분지도의실제 적분지도의실제 김기욱 35) Ⅰ. 적분개념의기원 1. 에우독소스의실진법( 착출법, method of exhaustion ) 실진법은흔히에우독소스가제논의역설에대한대응으로고안한것으로 알려져있다. 이방법은양의무한가분성을가정한후다음명제에기초하고 있다. 만일어떤양으로부터절반이상의부분을빼내고다시나머지부분으로 부터절반이상의부분을빼내는과정을계속할경우결국어떤정해진양보 다도작은양만남을수있다. 이방법은일단하나의식이알려지면이를입증하기위한엄밀한도구는 될수있으나, 어떤결과를발견하는데는무익하다. 실진법을가장잘응용한 학자는아르키메데스를꼽을수있다. 구하였다. 아르키메데스는포물선영역의면적을 점 를선분 의중점을지나고포물선의축에평행한선 분 을그어얻은포물선의호위의점이라고하자. 이포물선의 35) 대구고등학교교사 kee_wook@hanmail.net - 189 -

2012 중등수학과교재연구및지도방법직무연수 ( 고등학교 Ⅱ) 기하학적성질로부터아르키메데스는다음이성립함을밝혔다. 이착상을반복하면 = 아르키메데스는기하급수의합의극한값을이용함으로써 2. 아르키메데스의평형법 아르키메데스는실진법에서더나아가구적법의결과를발견하기위한방법 으로평형법을사용하였다. 평형법의기본적인생각은다음과같다. 어떤도형의넓이나부피를찾기위해서그것을매우많은얇고평행한가 로평면또는세로평면으로자르고그조각을넓이와무게중심을이미알고 있는도형과평형을이루도록주어진지레의한끝에매단다. 아르키메데스의 사고천칭에서이를확인할수있는데, 그는평면곡선으로둘러싸인내부의 넓이와곡면으로둘러싸인부피를구할수있는일반적인방법을발견하였다. 아르키메데스의평형법( 지레의원리) 으로구해보는구의부피 4 여기서 1 중심이 인원 을정리하면 이다양변에 를 곱하면 -- 2 여기에서 은각각원 과직선 를 축둘레로회 전시켰을때, 의단면의넓이이다. 생기는구와원뿔 3 식의양변에 를곱하면, -- 는밑면의반지름이 이고높이가 인원기둥의단면의 넓이를나타낸다. - 190 -