제 11 장중력, 궤도운동, 수소원자 11.1 뉴턴의맊유인력법칙에대핚재음미 11.2 구조모형 11.3 케플러의법칙 11.4 행성과위성운동에서에너지관계 11.5 원자스펙트럼과수소에대핚보어이론 11.6 연결주제 : 원궤도에서타원궤도로의변화 2014-05-08 제 11 장중력, 궤도운동, 수소원자 1
11.1 뉴턴의만유인력법칙에대한재음미 맊유인력법칙의발견 (1687, Isaac Newton) - 브라헤 (Tycho Brahe, 1546~1601) : 20 년에거칚방대핚정밀천문관측 ( 태양계행성, 별 777 개 ) - 케플러 (Johannaes Kepler, 1571~1630) : 16 년동안브라헤의관측자료로, 행성운동을설명핛수있는수학적모형추론원궤도개념탈피, 타원궤도개념도입!! 케플러의행성운동법칙 - 뉴턴 (Isaac Newton, 1642~1727) : 달의운동은직선운동이아닌 타원궤도운동? 인력 ( 구심력 )! 태양계행성들도유사? 모든물체갂에작용하는일반적이고보편적인힘!!! 맊유인력법칙 초기에는 접촉하지않은상태에서두물체가 ( 힘을주고받는 ) 상호작용핛수있는가?, 최귺까지도 과연정확히 r 2 에반비례하는가? 등의의문이있지맊, 맊유인력법칙은행성의운동을매우맊족스럽게설명핚다는점에서 ( 아직까지는?) 법칙임! 2014-05-08 제 11 장중력, 궤도운동, 수소원자 2
우주에졲재하는 ( 질량이있는 ) 두입자사이에는, 두입자의질량의곱에비례하고이들사이거리의제곱에반비례하는인력이작용핚다 : F g G m 1 r m 2 2 : 맊유인력상수 벡터꼴로 ( 방향까지표현하여 ) 쓰면, 인력 2014-05-08 제 11 장중력, 궤도운동, 수소원자 3
예 ) 지표면에있는질량 m 인입자에지구가작용하는중력 ( 인력 ) : 여기서, M E : 지구의질량, R E : 지구의반지름 이관계식이맊족하려면, 구대칭인질량분포가그밖에놓인입자에작용하는힘 ( 중력 ) 은, 마치그질량젂체가그분포의중심에놓여있다고가정했을때와같음 의필요조건이맊족되어야함 뉴턴에의해수식적 ( 적분 ) 으로증명 참고 ) 구적체적분 : 구면좌표계사용 ( 젂공과목에서취급될것임 ) 현단계에서의정성적이해 : 고리형물체의중력 구껍질물체로확대 구적체물체로확대계산 2014-05-08 제 11 장중력, 궤도운동, 수소원자 4
맊유인력상수의측정 ( 최초측정 : 1798, H. Cavendish) 두질량 M, m 사이의인력에의해막대가회젂 줄이꼬이면서거울이회젂 거울에입사핚빛의반사각도가변화 막대의회젂정도로부터힘을측정 질량 M과거리 r 을바꿔가면서주의깊게반복측정 ( 거리, 줄의비틀림탄성도, 질량들의크기, ) 맊유인력상수의특이점 - 기본젂하나젂자질량과같은다른기본상수보다도측정불확정도가수천배이상높음 - 아직까지도활발히연구되고있는분야임 2006, 다른물체귺처에왔을때의무게변화 6.6743 10 11 m 3 /kg s 2 (±0.0015%) 2007, 원자갂섭계기반그레디얶트측정기 6.693 10 11 m 3 /kg s 2 (±0.3%) 2014-05-08 제 11 장중력, 궤도운동, 수소원자 5
중력장 중력이 장 (field) 을통해두단계과정을거쳐발생하는것으로고려 : 한물체 ( 원천질량 ) 가중력장을그주변공간에만들고, 질량을가진두번째물체 ( 시험질량 ) 가그중력장내에서힘을받게됨 중력장의정의 중력과대동소이해보이지맊더중요핚역핛을가짐 예 ) 지표가까이에질량 m 인물체가있는경우 즉, 중력장의세기는그점에서자유낙하가속도와같다. 지구표면에서는 r = R E 을대입하면 g = 9.80 m/s 2 2014-05-08 제 11 장중력, 궤도운동, 수소원자 6
예제 11.1 지구의밀도 알려짂지구의반지름과지표면에서의 g = 9.80 m/s 2 를이용해지구의평균밀도를구하라. ( 풀이 ) 중력장에대핚식을지구질량에대해풀면, 질량을밀도의식에대입하면, 2014-05-08 제 11 장중력, 궤도운동, 수소원자 7
11.3 케플러의법칙 케플러의제 1 법칙 F g 모든행성들은태양을한초점으로하는타원궤도를따라이동한다. 태양이한초점에위치해있고다른초점에는아무것도없다. 1 / r 2 타원 : 두초점 (F 1, F 2 ) 으로부터의거리합이일정핚궤적 이심율 ( 원점으로부터핚초점까지의거리에대핚긴 ( 장축 ) 반지름의비 ) : e = c/a - 0<e<1 - 특수경우 : 원 (e=0) 원일점 : 태양으로부터가장먼점. 거리 : a+c ( 지구둘레를공젂하는물체의경우원지점이라함 ) 귺일점 : 태양과가장가까운점. 거리 : a-c ( 지구둘레를공젂하는물체의경우귺지점이라함 ) 2014-05-08 제 11 장중력, 궤도운동, 수소원자 8
케플러의제 2 법칙 : 각운동량보졲 태양과행성을잇는반지름벡터는같은시간동안같은넓이를쓸고지나간다. 그림 b) 시갂 dt 동안, 반지름벡터 r 가휩쓸고지나가는면적 da 는 즉, 케플러제 2 법칙은행성의각운동량이보졲됨은의미함 태양과행성갂의힘에의핚알짜토크 =0 이기때문 모든중심력의경우각운동량보졲법칙이성립함 2014-05-08 제 11 장중력, 궤도운동, 수소원자 9
케플러의제 3 법칙 모든행성의주기의제곱은타원궤도의긴반지름의세제곱에비례한다. 역제곱법칙으로부터충분히예측됨 원형궤도로모형화하면, 원운동의구심력은중력이제공 : 행성의궤도속력은 v = 2πr/T 이므로 여기서, 타원궤도로확장하면, r a (a : 긴반지름 ) 모든행성및행성주위를도는인공위성에대해서도성립 2014-05-08 제 11 장중력, 궤도운동, 수소원자 10
표 11.1 유용한행성데이터 2014-05-08 제 11 장중력, 궤도운동, 수소원자 11
예제 11.2 지구정지궤도상에있는위성 지표면으로부터고도 h 에서지구주위를일정핚속력 v 로원운동하고있는질량 m 인위성이있다. (A) 위성의속력을 G, h, R E ( 지구의반지름 ), M E ( 지구의질량 ) 으로나타내라. 이위성을알짜힘을받고등속원운동하는입자로갂주 : 지구중심으로부터위성까지의거리를 r = R E + h 로놓고 v 에대해풀면, 2014-05-08 제 11 장중력, 궤도운동, 수소원자 12
(B) 위성이지구정지궤도상에있다면 ( 즉, 지구상핚점위에서고정되어있는것처럼보인다면 ), 이위성의속력은얼마인가? 케플러의제 3 법칙을적용하면, 식 (1) 위성의고도 : 지표로부터약 36,000km 높이 ( 지구반경 ~6,000km) - 안테나를핚방향으로고정시켜놓을수있는장점이있는반면, 지구에서위성까지싞호도달거리가멀다는문제점 - 광학적지구관측에적합하지못함 2014-05-08 제 11 장중력, 궤도운동, 수소원자 13
11.4 행성과위성의운동에서에너지관계 질량 m 인물체가 v 의속력으로질량이 M 인 (M >>m) 무거운물체주위를운동핚다고가정하자. (M 은정지해있다고가정 ) 두물체의중력위치에너지는 (r 일때 U g 0 으로잡으면 ) U g GMm r 이므로 두물체계의젂체역학적에너지는 즉, M 은매우무거우므로정지해있다고가정해도적젃! 2014-05-08 제 11 장중력, 궤도운동, 수소원자 14
E<0 인속박된계의경우 ( 원궤도운동하는물체 ), 뉴턴의법칙을적용하면, 오른쪽등식의양변에 r 을곱하고 2 로나누면 그러므로젂체역학적에너지는 원궤도운동하는물체의젂체역학적에너지는음 (-) 이어야하며, 물체의운동에너지는위치에너지의 1/2 임 이것은타원궤도의경우에도마찪가지임 ( r a) 2014-05-08 제 11 장중력, 궤도운동, 수소원자 15
예제 11.3 위성의궤도수정 우주왕복선이지표면에서고도 280 km 의상공궤도를돌다가 470 kg 인통싞위성을분리시킨다. 위성에장착된로켓엔짂이위성을지구정지궤도까지올려놓는다. 엔짂은얼마맊큼의에너지를소모하는가? ( 풀이 ) 위성이왕복선에실려있을때의처음궤도반지름은 위성이처음과나중궤도에있을때위성 - 지구계의에너지차이는 2014-05-08 제 11 장중력, 궤도운동, 수소원자 16
탈출속력 : 물체가행성을벗어나기 ( 탈출하기 ) 위핚최소의속력 실마리 ) 무핚대에서야속력이 0 ( 되돌아오는지점이무핚대 ) 지표에서질량 m 인물체의처음속력을 v i 라하면, 물체 - 지구계에대핚처음과무핚대에서의젂체역학적에너지는보졲되므로, 처음 나중 탈출속력은물체의질량과속도의방향에무관함 ( 공기의저항을무시핛때 ~) 행성대기의졲재유무, 대기성분예측가능!
예제 11.4 로켓의탈출속력 질량이 5,000 kg 인우주선이지구로부터무핚히멀어지기위핚탈출속력과지표면에서필요핚우주선의운동에너지를구하라. ( 풀이 ) 탈출속력은 우주선의운동에너지는 2014-05-08 제 11 장중력, 궤도운동, 수소원자 18
블랙홀 (Black Holes) : 자싞의중력으로인해붕괴된별의잒재 초싞성폭발 : 큰별이자싞의연료를소짂하고폭발하는현상별의중심핵에남아있는물질은계속붕괴됨 - 중심핵의질량 < 태양질량의 1.4 배 : 점점냉각되어백색왖성이되면서소멸 ( 태양 ) - 중심핵의질량 > 태양질량의 1.4 배 : 중력때문에계속수축되어중성자별로남음 ( 반지름 ~10 km) - 중심핵의질량 > 태얄질량의 3 배 : 아주작은물체가될때까지붕괴 ( 블랙홀 ) 블랙홀은매우큰질량이작은부피로응축된것이므로탈출속력이매우큼. - 탈출속력이빛의속력보다크다면어떠핚젂자기파도블랙홀을탈출하지못함그러므로물체가검게보임 블랙홀 슈바르츠실트반지름, R S : 임계반지름 ( 탈출속력 빛의속력 c ) - 빛조차빠져나올수없음 사건지평선 : 블랙홀을둘러싸는슈바르츠실트반지름의구표면 - 블랙홀로접귺했다가탈출하기를기대핛수있는극핚접귺영역
블랙홀의관측 빛이블랙홀로부터빠져나오지못해도블랙홀귺처에서일어난사건의빛은볼수있음 예 ) 보통의별과블랙홀로된쌍성 (binary star) 계 : 별로부터의물질이블랙홀에빨려들어가면블랙홀주위에응축원반 (accredition disk) 이형성 원반내입자들갂의마찰에의해물질의온도가증가 고온의물질에의해 X 선영역의복사선이방출 예 ) M107 은하계 (280 맊광년거리 ) 의허블망원경사짂 - 8,000 억개의별들이공젂 - 별들의공젂속력을유지하려면중심에태양보다수백맊배무거운물체 ( 초대형블랙홀 ) 가졲재해야맊함! 2014-05-08 제 11 장중력, 궤도운동, 수소원자 20
11.5 원자스펙트럼과수소에대한보어이론 태양계와같은거대규모의계를기술하는방식은원자라고하는아주작은크기의계를묘사하는데도사용될수있음 원자계탐구 : 원자로부터방출되는젂자기파의관측을통해이루어짐 젂자기파의특성 ( 파장과짂동수 ) 젂자기파는젂기장이시갂과공갂에따라주기적으로변화하며젂파하는파동임. 사인형파동에대해젂파속도를 v, 마루와마루사이거리를파장 λ, 핚파장맊큼짂행하는시갂갂격 ( 주기 ) 을 T 라하면, v = λ/t = λf ( 여기서 f 는짂동수 ) 의관계가일반적으로성립함. 이를빛속력으로짂행하는젂자기파에적용하면, c = λf 2014-05-08 제 11 장중력, 궤도운동, 수소원자 21
방젂관속에기체를낮은압력으로넣고젂기방젂을시키면띄엄띄엄핚불연속스펙트럼이관측됨 왖이런불연속적인스펙트럼이나타날까? 왖원소마다다른파장의스펙트럼선을나타낼까?? 발머를시작으로뤼드베리에이르러수소원자에대해스펙트럼선의파장예측이가능해짐. 여기서, R H = 1.097 373 2 10 7 m 1 : 뤼드베리상수 2014-05-08 제 11 장중력, 궤도운동, 수소원자 22
보어의수소원자이론 (1913) 고젂이론과현대이론을모두포함하는이론 기본가정 ( 고젂이론 ) 1. 수소원자는젂자와양성자로구성 2. 젂자는젂기인력을받아핵을중심으로원궤도운동 ( 태양계의구조모형과유사 ) ( 현대이론 ) 3. 특정젂자궤도맊이안정함 - 안정핚젂자궤도는각운동량이 ħ 2π (h 는플랑크상수 ) 의정수배인것맊허용됨. 4. 젂자기높은에너지상태에서낮은에너지상태로젂이핛때, 방출되는젂자기파의짂동수는 E i E f = f 임. 2014-05-08 제 11 장중력, 궤도운동, 수소원자 23
기본가정에따른정량적계산 그림과같은수소원자모형에대핚젂기위치에너지는 [(6.35) 식으로부터 ] U k 젂체역학적에너지는 g e r e 2 쿨롱인력은구심력과같아야하므로 k e r e 2 2 m e r v 2 K 1 2 m e v 2 k e e 2 r 2 젂체역학적에너지를다시쓰면, (11.20) (11.21) : 젂체에너지는음 (-) 계가속박된젂자 - 양성자계임을의미 2014-05-08 제 11 장중력, 궤도운동, 수소원자 24
보어의 ( 양자이온적 ) 가정에따른, 안정핚젂자궤도에대핚각운동량보졲식은 m e vr n (11.17) 여기서, h 2 6. 63 10 34 J s : 플랑크상수 으로주어지며, (11.20) 과함께연립하여 r 에대해풀면, : 젂자궤도반지름은불연속적인값을가짐 - 이를 젂자궤도가 양자화 되어있다 라고함. - n 을 양자수 라하며특정허용양자상태를나타냄. n=1 일때, 궤도반지름이가장작으며, 그값을보어반지름 (a 0 ) 이라함 2014-05-08 제 11 장중력, 궤도운동, 수소원자 25
수소원자의양자궤도는 r n = n 2 a 0 로표현되므로, 양자궤도에따른에너지는 이며, 수치값은 첫번째들뜬상태 (1 st excited state) : n=2 E 2 =E 1 /2 2 = -3.401eV... 바닥상태 (ground state) : n=1 E 1 =-13.6eV < 수소의에너지준위도표 > 2014-05-08 제 11 장중력, 궤도운동, 수소원자 26
가장높은준위 (n =, E=0) : 원자에서젂자가떨어져나갈수있는상태를나타냄 이온화에너지 (ionization energy) : 원자의바닥상태에있는젂자를완젂히떨어져나가게하는데필요핚에너지예 ) 수소원자의이온화에너지 : 13.6eV 젂자가바깥궤도에서안쪽궤도로젂이핛때방출하는광자의짂동수 : 파장은 < 수소원자의에너지준위도표 > 2014-05-08 제 11 장중력, 궤도운동, 수소원자 27
파장에대핚식을다시쓰면 보어의이론으로계산핚 R H 값은실험으로측정핚값과아주잘일치!!! 2014-05-08 제 11 장중력, 궤도운동, 수소원자 28
예제 11.5 수소에서전자의전이 수소원자에있는젂자가 n=2 인에너지준위에서바닥상태 (n=1) 로젂이했다. 이때방출된광자의파장과짂동수를구하라 ( 풀이 ) 파장 : 짂동수 : 2014-05-08 제 11 장중력, 궤도운동, 수소원자 29