제 4 장전단력과굽힘모멘트 4.1 개요 - 보 (beam): 하중이봉의축에수직인힘또는모멘트를받는구조용부재 - 평면구조물 : 모든하중이같은평면내에있고, 모든처짐이그평면에서발생 굽힘평면 (plane of bending) - 보에서의전단력과굽힘모멘트 echanics of aterials, 6 th ed., James. Gere (ecture Note by Prof. S.W.Cho) Page 4-1 4. 보, 하중및반력의형태 단순지지보 (Simply Supported) 돌출보 (eam with an Overhang) 캔틸레버보 (Cantilever beam) ( 외팔보 ) echanics of aterials, 6 th ed., James. Gere (ecture Note by Prof. S.W.Cho) Page 4-
경계조건 echanics of aterials, 6 th ed., James. Gere (ecture Note by Prof. S.W.Cho) Page 4-3 하중의형태 집중하중, 등분포하중 ( 균일하중 ) 집중하중, 우력 우력, 집중하중, 선형변화하중 echanics of aterials, 6 th ed., James. Gere (ecture Note by Prof. S.W.Cho) Page 4-4
반력 단순 ( 지지 ) 보 (Simple beam) horiz = : H cos P α 1 = H cos = P1 α = : R+ P a+ P b+ qc = ( 1sin α)( ) ( ) / = : R ( P1sin α)( a) Pb qc ( c/) = R ( Psin α)( a) P( b) qc 1 = + + Note: = R, = ( Psin α) a Pb q ( c/) 1 = + + ( 두점에대한모멘트평형식 ) C =, = ( 한점에대한모멘트식 + 수직방향평형식 )) echanics of aterials, 6 th ed., James. Gere (ecture Note by Prof. S.W.Cho) Page 4-5 외팔보 (Cantilever) horiz = : H = 5 P3 /13 = : R 1P q + q 13 b 3 1 = + = : 점을선택해야 H, R 항이제거됨. 1P qb b qb b 13 = 3 3 3 1 a 돌출보 (eam with an Overhang) = : R + P4( a) + 1 = = : Pa 4 + R + 1 = R P( a) = + 4 1 Pa 4 1 R = echanics of aterials, 6 th ed., James. Gere (ecture Note by Prof. S.W.Cho) Page 4-6
4.3 전단력과굽힘모멘트임의의절단면 mn 에작용하는힘. 합응력 (stress resultant) 전단력 (Shear Force) 굽힘모멘트 (ending oment) 예 : = : P V = V = P = : Px= = Px echanics of aterials, 6 th ed., James. Gere (ecture Note by Prof. S.W.Cho) Page 4-7 부호규약변형부호규약 : - 좌표계의선택과무관 - 하중의절대방향 / 부호에무관 - 재료의변형모양으로결정 - 임의로선택가능 ( 일관성유지 ) - 축력의경우이미사용됨. ( 인장의경우 +) 정역학적부호규약 - 평형방정식에사용됨 - 좌표축의선택에따른힘의방향 echanics of aterials, 6 th ed., James. Gere (ecture Note by Prof. S.W.Cho) Page 4-8
예제 4-1 문제 (a) 보의중앙점의왼쪽에서 V, (b) 보의중앙점오른쪽에서 V, 구하기 구하기 echanics of aterials, 6 th ed., James. Gere (ecture Note by Prof. S.W.Cho) Page 4-9 풀이 에서 반력 : =, = R 3P P = R = + 4 4 (a) 자유물체도 (b) 에서 = : R P V = V R P P 4 = = 4 = : R + P + = P = R P = 4 8 (b) 자유물체도 (c) 에서 = : R P V = V R P P 4 = = 4 = : R + P + = P = R P + = + 4 8 echanics of aterials, 6 th ed., James. Gere (ecture Note by Prof. S.W.Cho) Page 4-1
예제 4- 문제 자유단에서 x 떨어진점의 V, 구하기 풀이 - x 점에서의하중크기는 qx q = 그림 (b) 에서분포하중의합력은삼각형의면적이므로, 1 qx qx ( x) = = V qx = (4-a) - x = : 1 qx x ( ) 3 + x = qx 6 3 = (4-3a) ( 굽힘모멘트는고정단 x = 에서최대값 q 6 max = 이됨 ) echanics of aterials, 6 th ed., James. Gere (ecture Note by Prof. S.W.Cho) Page 4-11 예제 4-3 문제 D 점에서의전단력, 굽힘모멘트 V, 구하기 D D echanics of aterials, 6 th ed., James. Gere (ecture Note by Prof. S.W.Cho) Page 4-1
풀이 에서 R = 11 k R = 9 k 반력 : 그림 (a) 에서 =, = 그림 (b) 에서구하기 = : 11 k 14 k (. k/ft)(15 ft) V = V = 6 k D = : (11 k)(15 ft) + (14 k)(6 ft) + (. k/ft)(15 ft)(7.5 ft) + = = 58.5 k-ft 그림 (c) 에서구하기 = : 11 k 14 k (. k/ft)(15 ft) V = V = 6 k D = : (11 k)(15 ft) + (14 k)(6 ft) + (. k/ft)(15 ft)(7.5 ft) + = = 58.5 k-ft echanics of aterials, 6 th ed., James. Gere (ecture Note by Prof. S.W.Cho) Page 4-13 4.4 하중, 전단력및굽힘모멘트사이의관계부호규약 : 분포하중및집중하중 : 아래방향이양우력 : 반시계방향일때양 - 전단력과굽힘모멘트 V, 은축에따라변함. - 좌측면에서의크기 : V, - 우측면에서의크기는 분포하중의경우 : V + dv, + d 집중하중 / 집중모멘츠의경우 : V + V1, + 1 echanics of aterials, 6 th ed., James. Gere (ecture Note by Prof. S.W.Cho) Page 4-14
분포하중 ( 그림 -a) (1) 전단력 = : V qdx ( V + dv) = dv q dx = (4-4) dv - q = 이면 dx = 이고전단력은일정함 dv - q = contant 이면, constant dx = 이고전단력은선형적으로변함. - 예제 4- 에서 q qx qx =, V = 식 (4-4) dv q dx = 을만족함 - 식 (4-4) 를적분하면 dv = q dx = -( 와 사이의하중선도의면적 ) (4-5) V V qdx - 분포하중의경우만성립하며, 집중하중이작용하는경우는 (4-4), (4-5) 를사용할수없음. echanics of aterials, 6 th ed., James. Gere (ecture Note by Prof. S.W.Cho) Page 4-15 () 굽힘모멘트 dx = : qdx ( V + dv) dx+ ( + d) = d V dx = (4-6) d - V = 이면 dx = 이고굽힘모멘트는일정함 - 분포하중의경우만성립하며, 집중하중의작용점에서전단력의갑작스런변화 (Jump) 가있고, d / dx 는정의되지않음 - 예제 4- 에서 3 = qx qx, V 6 = d 식 (4-6) V dx = 을만족함 - 식 (4-6) 을적분하면, d = V dx = ( 와 사이의전단력선도의면적 ) (4-7) V dx 집중하중이작용하는경우에도사용가능, 우력이작용하는경우는사용불가능 echanics of aterials, 6 th ed., James. Gere (ecture Note by Prof. S.W.Cho) Page 4-16
집중하중 ( 그림 -b) = : V P ( V + V1 ) = V 1 = P (4-8) dx = : P ( V + V1) dx+ + 1 = dx P = + V dx+ Vdx 1 1 - dx 는미소하므로, 1 역시미소함 집중하중점을지나갈때굽힘모멘트는변하지않음 - 굽힘모멘트 은집중하중점에서변하지않지만 ( d / dx) 는갑작스럽게변화함. 요소의왼쪽변 : d / dx = V 요소의오른쪽변 : d / dx = V + V1 = V P 집중하중의 P 의작용점에서굽힘모멘트변화율 ( d / dx) 는 P 만큼갑작스럽게감소함 echanics of aterials, 6 th ed., James. Gere (ecture Note by Prof. S.W.Cho) Page 4-17 우력형태의하중 ( 그림 -c) = : V ( V + V1 ) = V 1 = = : + ( V + V1) dx+ + 1 = = (4-9) 1 - 왼쪽에서오른쪽으로하중작용점을지나감에따라 굽힘모멘트는감소함 - 굽힘모멘트는우력의작용점에서갑작스럽게감소함. echanics of aterials, 6 th ed., James. Gere (ecture Note by Prof. S.W.Cho) Page 4-18
4.5 전단력과굽힘모멘트선도 - x 의함수로구한선도 - 구간별로구함 - SFD ( 전단력선도 ) D ( 굽힘모멘트선도 ) echanics of aterials, 6 th ed., James. Gere (ecture Note by Prof. S.W.Cho) Page 4-19 집중하중 에서 R R 반력 : =, = 자유물체도 (b) 에서 ( < x< a) = Pb Pa = (4-1a,b) = : R Pb V = V = R P= (4-11a) a = : Rx Pbx + = = Rx= (4-11b) 자유물체도 (c) 에서 ( a< x< ) = : R P V Pa = V = R P= (4-1a) a = : Rx Px ( a ) Pa + + = = Rx Px ( a) = ( x) (4-1b) Note: 이경우는구조물우측부분의자유물체도를고려하는것이더간편함 echanics of aterials, 6 th ed., James. Gere (ecture Note by Prof. S.W.Cho) Page 4-
- V = V() = R V( x) = constant, ( < x< a) 및 ( a< x< ) V( x) 의값은 x= a에서 P 만큼갑자기감소함. V = V( ) = R - = () = ( x) = linear, ( < x< a) 및 ( a< x< ) max = ( a) = Pab ( < x< a) - dv ( x) =, ( < x< a) 및 ( a< x< ) ; 이경우 q = dx 이므로타당함. d ( x) = V, ( < x< a) 및 ( a< x< ) dx - x = 에서 x= a사이의전단력선도의면적 Pab / 두점사이의굽힘모멘트증가량. echanics of aterials, 6 th ed., James. Gere (ecture Note by Prof. S.W.Cho) Page 4-1 등분포하중 반력 : = 에서 R q = R = 자유물체도 x - 의위치고려 = : R qx V = ( ) q V x = R qx= qx x a = : Rx + qx + = qx qx ( x ) = echanics of aterials, 6 th ed., James. Gere (ecture Note by Prof. S.W.Cho) Page 4-
- V = V() = R, V = V( ) = R - - - dv ( x) dx = q = = = dx d ( x) d qx qx q q V dx q 8 max = ( d ( x) = V = dx 이되는 x = 에서발생 ) q - 하중선도의면적 = q 전단력의크기가 에서 q 로감소하므로 dv q dx = 만족 - x = 에서 x= /상의전단력선도의면적 = q /8 두점사이의모멘트증가량 - x= /에서 x= 상의전단력선도의면적 = q /8 두점사이의모멘트감소량 echanics of aterials, 6 th ed., James. Gere (ecture Note by Prof. S.W.Cho) Page 4-3 여러개의집중하중 ( < x< a ) (1) 첫째구간 1 V R =, = Rx ( a < x< a ) () 두번째구간 1 V R P = 1, = Rx Px 1 a1 (3) 세번째구간 3 V R P ( ) ( a < x< a ) ( 우측부분의자유물체도고려 ) = + 3, 3 3 (4) 네번째구간 3 = R ( ) ( ) x P b x ( a < x< ) ( 우측부분의자유물체도고려 ) V = R, = R ( x) echanics of aterials, 6 th ed., James. Gere (ecture Note by Prof. S.W.Cho) Page 4-4
- 전단력은각구간내에서일정, 하중작용점에서하중의크기만큼극격한변화 - 굽힘모멘트는각구간내에서선형 - 하중점에서모멘트값을구하여연결하면 D 를쉽게그릴수있음. = Ra = Ra Pa ( a) = Rb 1 1 1 1 3 3 - 전단력선도의불연속점에서 d ( x) dx 의변화가있다. - 두점사이의굽힘모멘트의변화량 두점사이의전단력선도의면적 예 ) 1, P P 사이의굽힘모멘트의변화 1 = ( R P1)( a a1) - max 는하중점에서발생하지만, 어느점인지는알수없음. 일반적인유의사항 - 최대 / 최소 가장큰 / 가장작은 ( 부호고려하지않음 )( 양의 / 음의등을규정할수있음 ) - 개별적인하중의중첩으로구할수도있슴. echanics of aterials, 6 th ed., James. Gere (ecture Note by Prof. S.W.Cho) Page 4-5 예제 4-4 SFD / D 구하기풀이 에서 반력 : =, = R qb ( b + c ) qb ( b + ) = R a = (1) 첫째구간 ( < x< a) V R =, = Rx () 두번째구간 ( a< x< a+ b) V = R q( x a), qx ( a) = Rx (3) 세번째구간 ( a+ b< x< ) ( 우측부분고려 ) V = R, = R ( x) echanics of aterials, 6 th ed., James. Gere (ecture Note by Prof. S.W.Cho) Page 4-6
- 전단력선도는하중이작용하지않는부분 ( < x< a), ( a+ b< x< ) 에서수평선 - 전단력선도는하중작용구간 ( a< x< a+ b) 에서음의기울기 ( dv / dx = q) - 굽힘모멘트선도는하중이작용하지않는부분에서는경사직선이며 ( < x< a) 에서기울기 R, ( a+ b< x< ) 에서기울기 R ( d / dx = V ) - 굽힘모멘트선도는하중이작용하는구간에서는포물선 - 굽힘모멘트의최대치 max d ( x) 의위치는 = V = dx 에서구함 b x1 = a+ ( b+ c) qb x b c a bc b 8 max = ( 1) = ( + )(4 + + ) qb( b) - 특수한경우 : 균일하중이보에대칭적이면 a= c 에서 x 1 =, max = ( x1 ) = 8 - 특수한경우 : 균일하중이전체스팬에작용하면, b=, max = ( 1) = /8 x q echanics of aterials, 6 th ed., James. Gere (ecture Note by Prof. S.W.Cho) Page 4-7 예제 4-5 문제 SFD / D 구하기 풀이 에서 반력 : F =, = R = P + P = P+ Pb 1 1 (1) 첫째구간 ( < x< a) V = P 1, = Px 1 () 두번째구간 ( a< x< ) V = P1 P, = Px P( x a) 1 echanics of aterials, 6 th ed., James. Gere (ecture Note by Prof. S.W.Cho) Page 4-8
- 전단력은하중사이에서일정함 - 전단력은지지점에서최대수치에도달함 - 지지점에서전단력의크기는수직반력의크기 ( R ) 와동일 - 굽힘모멘트는두개의경사직선으로구성됨 각각의직선은해당되는보의구간의전단력과같은기울기 - 최대굽힘모멘트는지지점에서발생하며크기는반응모멘트 ( 반력모멘트 ) ( ) 와동일 이값은전체전단력선도의면적과도동일. echanics of aterials, 6 th ed., James. Gere (ecture Note by Prof. S.W.Cho) Page 4-9 예제 4-6 SFD / D 구하기풀이 에서 반력 : F =, = q R = q = x - 떨어진지점의자유물체도의평형조건에서 V = qx, qx = V, 의최대값은 x= 에서발생하며, Vmax = q, q max = 이값은반력과동일함. echanics of aterials, 6 th ed., James. Gere (ecture Note by Prof. S.W.Cho) Page 4-3
별해 : 미분방정식을이용하여구하기 V( x) V = qdx x V( x) = V( x) = qdx = qx x x = ( x) V dx x x qx ( x) = ( x) = V dx = ( qx) dx = - 이경우는하중작용패턴이연속적이고적분구간내에집중하중이나우력이없음 미분관계식의적분이간단함 - 집중하중이있는경우 = 의적분을할수없음. V V qdx - 우력이있는경우 = 의적분을할수없음. V dx echanics of aterials, 6 th ed., James. Gere (ecture Note by Prof. S.W.Cho) Page 4-31 예제 4-7 문제 SFD / D 구하기 풀이 C 에서 반력 : =, = 전단력 : R = 5.5 k R = 1.5 k - 점 : V = C - 점의바로왼쪽 : V = qb= 4. k - 구간 : 직선 ( 음의기울기 ) C - 구간 : 집중하중 / 분포하중이없음 수평 크기는 R = 1.5 k 와같음. C echanics of aterials, 6 th ed., James. Gere (ecture Note by Prof. S.W.Cho) Page 4-3
굽힘모멘트 : - 점 : = - 구간 : 은감소함 ( 수치적으로는증가함 ) 굽힘모멘트선도의기울기는전단력과동일하며 - 점에서, - 점에서 4. k qb 1 (1. k/ft)(4. ft) = = = 8. k-ft ( - 사이의전단력선도면적과동일 ) C - 구간 : 굽힘모멘트선도의기울기는전단력의크기 1.5 k 와동일. 우력 의작용점바로왼쪽에서는 8. k-ft + (1.5 k)(8. ft) =. k-ft 우력 의작용점에서급격히변감소함 : 식 (4-9) 에서 1 = 이므로 우력 의작용점바로오른쪽에서는. k-ft 1 k-ft = 1. k-ft C- 점에서의굽힘모멘트는 : 1. k-ft + (1.5 k)(8. ft) = - 굽힘모멘트의최대 / 최소값은 (1) 전단력의부호변경점 () 우력이가해지는점중에서발생 이경우는우력 의작용점바로오른쪽에서음의최대값 1. k-ft 이됨. echanics of aterials, 6 th ed., James. Gere (ecture Note by Prof. S.W.Cho) Page 4-33