제 2 교시 2008 년 5 월고 3 모의고사문제지 성명수험번호 3 1 먼저수험생이선택한응시유형의문제지인지확인하시오. 문제지에성명과수험번호를정확히기입하시오. 답안지에수험번호, 응시유형및답을표기할때는반드시 수험생이지켜야할일 에따라표기하시오. 단답형답의숫자에 0 이포함된경우, 0 을 OMR 답안지에반드시표기해야합니다. 문항에따라배점이다르니, 각물음의끝에표시된배점을참고하시오. 배점은 2점, 3점또는 4점입니다. 계산은문제지의여백을활용하시오. 3. 함수 에대하여 의값은?3) [2 점 ][2008 년 5 월 ] 1 2 3 4 5 1. log log 의값은?1) [2 점 ][2008 년 5 월 ] 1 2 3 4 5 4. 이차부등식 의해가 일때, 분수부등식 을만족하는정수 의개수는?4) 1 2 3 4 5 2. 행렬 에대하여 의모든성분의합은? ( 단, 는단위행렬, 는 의역행렬이다.)2) [2 점 ][2008 년 5 월 ] 1 2 3 4 5 1 16
5. 두함수 log 에대하여옳은것을 < 보기 > 에서모두고르면?5 ) ㄱ. ㄴ. ㄷ. < 보기 > 1 ㄴ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 7. 인실수 에대하여 log 의지표를 이라할때, 옳 은것을보기에서모두고르면? ( 단, 는 를넘지않는최대의정수이다.) 7) [3점][2008년 5월 ] < 보기 > ㄱ. log ㄴ. log 의지표는 이다. ㄷ. log log 이면 은 자리의정수이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 6. 다항함수 가 lim 를만족할때, lim 이다. 이때, 상수 의값은?6) 1 2 3 4 5 8. 인자연수 에대하여다항식 을 로 나눈나머지를 라할때, lim 의값은?8) 1 2 3 4 5 2 16
9. 무리방정식 가실근을가질때, 실수 의최 9) 댓값과최솟값의합은? [3점][2008년 5월 ] 1 2 3 4 5 11. 그림은두함수 의그래프이다. 에서로그부등식 log 를만족하는 값의 범위는?11) 1 3 5 2 4 10. 실수전체의집합에서정의된두함수 에대하여 옳은것을 < 보기 > 에서모두고르면?1 0) ㄱ. lim 재한다. lim < 보기 > 가존재하면 lim 도존 12. 그림은삼차함수 와사차함수 의도함수 와 의그래프이다. 옳은것을 < 보기 > 에서모두고르면? ( 단, ) 12) [4점][2008년 5월 ] ㄴ. lim, lim 가존재하면 lim 도존재한 다. ㄷ. lim 가존재하면 lim 도존재한다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ < 보기 > ㄱ. 에서 는증가함수이다. ㄴ. 는한개의극솟값을갖는다. ㄷ. 라할때, 은서로다른 개의양의실근을갖는다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 3 16
13. 집합 에서 로의일대일대응중에서 한개를선택할때, 자기자신으로대응되는원소가 개인함수일확률은?13) 1 2 3 4 5 15. 모든실수 에대하여행렬 를 라하자. 다음은 인모든자연수 에대하여 이성립함을수학적귀납법으로증명한것이다. 임의의실수 에대하여 < 증명 > ᄀ (ⅰ) 일때, ᄀ에의하여 이성립한다 (ⅱ) 일때, 성립한다고가정하면 이다. 일때, 성립함을보이자. 그러므로 일때도성립한다. 이 따라서 인모든자연수 에대하여주어진등식은 성립한다. 이증명에서 ~ 에알맞은것을바르게짝지은것은?15) 14. 실수에서정의된함수 의최댓값은?14 ) 1 2 3 4 5 [4점][2008년 5월 ] ( 가 ) ( 나 ) ( 다 ) 1 2 3 4 5 4 16
) 16. 보고서에의하면 년예상되는세계석유소비량은 이고전년도에비해매년 씩증가한다고가정할때, 매장된석유는 년부터 년간사용할수있는양이라고한다. 대체에너지개발을통해 년부터세계석유소비량을전년도에비해매년 식감소시킨다고할때, 석유가완전히고갈되는 해는? ( 단, log log )16 17. 그림과같이반지름의길이가 인원에내접하는정사각형을 그린다. 원의내부와정사각형의외부에모두접하는가장큰원 개를그려어둡게칠한다. 1 년 3 년 5 년 2 년 4 년 여기에아래의과정을반복한다. < 과정 > ㄱ. 안에있는정사각형에내접하는원을그리고그원에내접하는정사각형을그린다. ㄴ. 새로그려진원의내부와정사각형외부에모두접하는가장큰원 개를어둡게칠한다. [ 일때 ] [ 일때 ] 정사각형의개수가모두 일때, 어두운부분의넓이를 이라 하자. 이때 lim 의값은?1 7) 1 3 5 2 4 5 16
3) 18. 등차수열 에대하여 일때, 의값을구 하시오.18) 21. 함수 에대하여 lim 값을구하시오. 21) 19. 의전개식에서 의계수를구하시오.19) 22. 주사위를 번던져서나오는눈의수를차례로 라하자. 일때, 일확률이 이다. 의값을구하시오. ( 단, 는서로 소인자연수이다.) 22) 20. 정규분포 를따르는모집단에서크기 인표본을임 의추출하여조사한결과표본평균이 이었다. 모평균 을 의신뢰도로추정한신뢰구간이 일때, 의값을구하시오. ( 단, 20) 23. 여섯개의숫자 를일렬로나열하여만든여 섯자리자연수들의집합을 라할때, 집합 의원소의개수를구하시오.( 단, 는 를넘지않는최대의정수이다.) 2 6 16
24. 모든실수 에대하여 를만족하는다항함수 가있다. 에서연속인함수 를 26. 그림과같이원 과 의그래프와의두교 점을각각 P, Q 라하자. OP OQ 가 축의양의방향과이루는각의크기를각각 α, β 라할때, cosα β 의값은?26) 으로정의할때, 의값을구하시오.24) 1 2 3 25. 그림과같이크기가같은정육면체모양의블록을쌓아 10 층 의탑모형을만들었다. 탑모형의위, 앞, 뒤, 오른쪽, 왼쪽에서보이는모든정사각형모양의면에자연수를 1 부터차례대로한개식빠짐없이썼을때, 가장큰수를구하시오.25) 4 5 27. 함수 sin cos 의그래프를 축의방향으로 만큼 평행이동하면 cos 의그래프와일치한다. 이때, 의값은? ( 단, ) 27) 1 2 3 4 5 7 16
28. 일때, 방정식 sin sin cos cos 의 모든해의합은?28 ) 1 2 3 4 5 30. lim sinsin 의값을구하시오.30) cos 29. 그림과같이반지름의길이가 1 인두원이서로다른두점 에서만나고있다. 이두원내부의공통부분의길이를, 두원의교점을잇는선분의길이를 이라하자. 두원의중심사이의 거리가 2 에한없이가까워질때, 의극한값은? 29) 1 2 3 4 5 확인사항문제지와답안지의해당란을정확히기입 ( 표기 ) 했는지확인하시오. 8 16
2008년 5월고3 모의고사가형해설지 log log 1) 5 log 의지표는 이고 [ 출제의도 ] 로그의성질을이해하기 log log log 2) 1 [ 출제의도 ] 역행렬을구하여행렬연산하기 이므로 모든성분의합은 3) 3 [ 출제의도 ] 곱의미분법으로미분계수구하기 이므로 4) 1 [ 출제의도 ] 분수부등식의해구하기 양수 에대하여 꼴이므로 양변에분모 의제곱을곱하여정리하면 ( 단, ±) 부등식의해는 가되어정수 는 이므로모두 개다. 5) 4 은 자리정수이다. 참 8) 4 [ 출제의도 ] 나머지정리를활용하여극한값을구하기 러하면 이다. 을대입하면 을대입하면, lim 9) 3 [ 출제의도 ] 그래프를이용한무리방정식이해하기 두그래프 과 의교점이존재해야하므로 [ 출제의도 ] 지수함수와로그함수의값구하기 ㄱ. 이므로 거짓 ㄴ. log log 참 ㄷ. 6) 4 log log log 참 [ 출제의도 ] 극한의성질을이용하여극한값구하기 lim 에서 ( 는상수 ) 꼴이고 lim 에서 이므로 lim 7) 3 [ 출제의도 ] 상용로그의지표와가수의성질을이해하기 log 라하면 ㄱ. log 이므로 log 참 ㄴ. log log 이므로지표는 이다. 거짓 ㄷ. 10) 2 [ 출제의도 ] 극한의성질이해하기 ㄱ. ( 반례 ) 에대하여 lim, lim 이지만 lim 는존재하지않는다. 거짓 ㄴ. lim, lim 라하면 lim lim lim lim 참 ㄷ. ( 반례 ) 라하면 lim lim lim 않는다. 거짓 11) 2 [ 출제의도 ] 로그부등식의해구하기 가되어극한값이존재하지 로그의밑이 이므로 ⅰ 일때, 의해는 이다. ⅱ 일때, 의해는 에서없다. ⅰ ⅱ 에의하여해는 9 16
12) 5 [ 출제의도 ] 도함수의성질이해하기 ㄱ. 에서 이므로 는증가한다. 참 ㄴ. 의세근을 라하고 의증감표를완성하면 극대 극소 극대 log log log log 이므로 년에는고갈될것으로예측할수있다. 따라서 는극솟값 개이다. 참ㄷ. ㄴ의증감표를이용하여 의개형을그려보면이고 의개형은이므로 은서로다른 개의향의실근을갖는다. 참 17) 5 [ 출제의도 ] 무한등비급수의합을적용한문제해결하기 번째그린정사각형을, 의외접원을, 원 의반지름의 길이를, 의내부와 의외부에서접하는최대원의넓이를, 반지름의길이를 이라하면 lim 13) 1 [ 출제의도 ] 조합을이용한확률구하기 일대일대응의총개수는 개이다. 자기자신으로대응되는원소 개를고르는방법의수는 이고나머지 의원소는서로교차하여 대응하므로대응하는방법의수는 개이다. 14) 5 [ 출제의도 ] 지수함수를활용한함수의최댓값구하기 분모, 분자를 으로나눈 이최소일때이다. 15) 2 이므로 의최대값은 [ 출제의도 ] 수학적귀납법으로행렬의거듭제곱증명하기 16) 2 [ 출제의도 ] 로그를활용한실생활문제해결하기 매장된석유량, 의최댓값은분모인 년부터 년동안의소비량 이므로 18) [ 출제의도 ] 등차중항을이용하여항의값구하기 이므로준식은 이다. 에서공차 19) 10 이므로 일때, 의계수는 20) 110 [ 출제의도 ] 정규분포를이용하여모평균추정하기 신뢰도로모평균을추정하면신뢰구간은 21) 36 [ 출제의도 ] 미분계수의정의를이용하여미분계수구하기 이므로신뢰구간의길이는 10 16
라하면 준식 lim 22) 41 [ 출제의도 ] 순열을이용한확률값구하기 를일렬로나열할때이웃한두수가같지않은 경우의수는 이고이중에서 이고 인 경우를 부터 까지차례로정하는방법으로경우의수를조사하면 는 가지, 는 과다르므로 가지, 는 와다르므로 가지, 는 와다르므로 가지, 는 와다르므로 가지이다. 따라서 23) 72 [ 출제의도 ] 같은것이있는순열의경우의수구하기 중 개를사용하여 자리 정수의개수를구하는경우의수와같으므로 (ⅰ). 을한개사용하는경우 (ⅱ). 을두개사용하는경우 (ⅲ). 을세개사용하는경우 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ) 에의하여모두 개 27) 1 [ 출제의도 ] 삼각함수의합성및평행이동적용하기 cos cos sin cos 축방향으로 만큼평행이동하면 cos 와일치한다. 28) 4 [ 출제의도 ] 삼각방정식의해구하기 sin sincos cos sin cos sin sin cos sin sin cos sin 또는 sin cos 에서 모든해의합은 29) 3 [ 출제의도 ] 삼각함수의극한값구하기 24) 13 [ 출제의도 ] 연속의정의를이용하여함숫값구하기 라하면 이항등식이므로 를제외한모든 은 이다. 따라서 는상수 ) 꼴이다. 에서 는연속이므로 lim 이므로 sin lim sin 30) [ 출제의도 ] 삼각함수의극한값구하기 lim sinsin cos cos lim sinsin cos sin 25) [ 출제의도 ] 여러가지수열을이용하여도형문제해결하기 한개의빠짐없이썼을때, 가장큰수는탑모형의위, 앞, 뒤, 오른쪽, 왼쪽에서보이는정사각형모양의면의수와같다. 위에서보이는면의수 앞, 위, 오른쪽, 왼쪽에서보이는면의수 이므로보이는면의수는모두 761 이다. 26) 2 [ 출제의도 ] 삼각함수덧셈정리를이용하여함숫값구하기 sinα cosα, sinβ cosα β cosαcosβ sinαsinβ cosβ 이므로 11 16