게임이론과응용 연세대학교경제학부 교수김영세 006 년봄학기 중간시험. 어떤과점시장에 N개의잠재적기업이있다. 시장수요함수는 P N q 이며 기업 의비용함수는 C ( q ) ( q ) F 라하자. 고정비용 F는 0보다크며생산량이 양 (+) 일경우에만소요된다. () 내쉬균형을구하라. () 완전담합이이루어질경우생산량, 가격, 결합이윤을구하라. () 경쟁상황에서는일부기업은퇴출하고나머지기업만조업하는결과가나오는반면완전담합하에서는 N개의기업이모두생존하는경우를찾고해석하라.. Downs 모형에서와는달리, 후보들이집권확률에는관심이없고집권자의정책포지션 (poston) 에만관심이있는상황을고려하자. 두후보가있다. 각후보는나름대로가장선호하는정책포지션이있으며실제정책이어느방향으로든자신이가장선호하는정책으로부터멀어질수록보수가낮아진다. 진보성향의후보이가장이상적으로여기는정책포지션 d 은중위유권자의그것 (m) 보다좌측에위치한다. 반면보수성향의후보가가장선호하는정책포지션 d 는 m보다우측에위치한다. ( 즉, d < m < d 임 ) 후보는전략 을선택하고후보는전략 를선택한경우더많이득표한후보가선거에서이기며그후보가약속한전략이실행된다. 두후보가똑같이 득표할경우에는타협정책인 ) 이실행된다. 이게임에서내쉬균형을구하라. ( (힌트: 다음순서로한경우한경우따져보아라. () m, m, 또는 m, m, () m 또는 m, () m, m 또는 m, m, (v) m.).. 두국가, 가있고각국에는독점기업, 가있으며재화는하나밖에없다. 기업은 단일재화를생산하여내수용으로국내에 h 단위를공급하고수출용으로해외에 단위를파는데생산비는전혀들지않는다고하자. 국가 의시장수요함수를 e
P Q ( 단 는둘상수, Q h e 임 ) 이라하자. 당연히국가의 목적함수는소비자잉여, 생산자잉여, 정부수입을합한사회후생함수이며기업의목적함수는이윤이다. () 완전폐쇄경제체제하에서부분게임완전균형을구하라. () 완전개방경제체제하에서부분게임완전균형을구하라. () 국가규모에따라개방의효과가어떻게달라지는지위의두결과를기초로해석하라.. 다음과같은최후통첩협상게임의변형을고려하자. 두경기자 과 가 0만원의돈을나누려고한다. 경기자은 0만원이나 0원은제안할수없으나그사이의어떠한금액도제안할수있다. 경기자의제안을경기자가수락하면그대로나누고거부하면둘다 0의보수를얻는다. 이제 m 를경기자가받는금전수입이라놓으면, 경기자 의보수함수는 u ( m, m ) m cm 가된다고하자.( 여기서, 0 c < ) () 전개형게임을나타내라. () 부분게임완전균형을구하라. () 위답이 c 에따라서어떻게달라지는해석하라. 5. 투자자 (nvestor) 가 ( 억 ) 원의자금가운데 T( 억 ) 원만큼은수탁자 (trustee) 에게맡기고나머지 (-T)( 억 ) 원은일단자신이갖는다. 그다음수탁자가수탁자금 T를투자하면 T억원의순이익이발생한다. 수탁자는 T억원의금액을자신과투자자에게어떻게배분할지를결정한다. 이때수탁자자신이갖는금액을 Y라놓자. 이게임은일회성이며두사람은다시는만날일이없다고가정하자. () 전개형게임을묘사하라. () 부분게임완전균형과균형보수를구하라. () 부분게임완전균형보다사회적으로우월한최적자원배분을구하라. () 부분게임완전균형보다우월한자원배분이달성하도록하려면어떠한방안이있겠는가?
6. 두경기자가용의자의딜레마게임을무한반복해서경기한다고하자. ( 단, F> 는상수 ) Coop Fnk Coop, 0, F Fnk F, 0, () 두경기자가모두무자비촉발전략을사용한다고가정할때협조체제 (,) 이반복게임의내쉬균형으로달성가능하려면할인인자가최소한얼마나되어야하겠는가? [6 점 ] () 두경기자가모두 tt-for-tat 전략을사용한다고가정할때, 협조체제 (,) 가반복게임의내쉬균형보수로달성되려면할인인자가어떠한조건을만족해야하겠는가? [6 점 ] () 부분적협조체제 (,) 의달성가능여부에대하여위의 (), () 각각의경우에대하여풀어보고설명하라. [8 점 ] 모범답안. () 경기자 - 의극대화문제는 이다. 제계조건을구하 ma q u q q ( q ) F 여정리하면경기자 - 의최선응수상응 q q 이도출된다. 대칭성에의해모든 q 를 똑같이놓고풀면개별기업생산량은 q 이며개별기업이윤은 u F 로일 N ( N ) 단구해진다. 이렇게구한이윤이양 (+) 수라면 N개의기업이모두조업을하는내쉬균형이성립하 겠으나, 음 (-) 수라면일부기업만조업하고나머지기업은퇴출될것이다. 이러한아이디어에 착안하여아래식을만족하는非陰 (non-negatve) 정수가운데가장큰정수를 N* 라고표기하자. F 0 혹은 N f ( N ) 결국내쉬균형에서 N* 개의기업은산업에남아서조업을하고나머지 (N-N*) 개의기업은퇴출하 게된다. 이때생존기업의생산량은 q* 이고생존기업의이윤은 u* * F * ( N ) 이다. N
() 결합이윤은모든기업의이윤을더한것이므로카르텔의최적화문제는 ma ( ) N ( q,, q ) U u q q q NF 제계조건 ( 기업-의생산량 q 에대하여편미분하여 0으로놓은식 ) 을구하면최선응수상응 q q 이도출된다. 대칭성에의해모든 q 를똑같이놓고풀면개별기업 생산량은 q ( N ) 이며결합이윤은 U N F 로일단구해진다. 이렇게구한 ( N ) 이윤이양 (+) 수라면 N 개의기업이담합하는상황이성립하겠으나, 음 (-) 수라면심지어독점산 업하에서도손실이발생함으로의미하므로산업생산이 0 이될것이다. 결론적으로 F ( N ) 이라면, ˆ q 이며 ( N ) F ( N ) 이라면, ˆ 0 q 이며 uˆ 0. uˆ F ( N ) () 위의 () 에의하여내쉬균형에서일부기업은퇴출하고나머지만조업할조건은 F 이고, 위의 () 에의하여완전담합에서 N개의기업이모두조업할조건은 ( N ) F 이다. 한편 은언제나성립함을쉽게보일수있다. 결론적으로 ( N ) ( N ) ( N ) 초기장치비용 F가아래부등식의범위에있으면된다. F ( N ) ( N ) 장치비용 F가지나치게크면완전담합하에서도손실이발생하여아무도생산에참여하지 않을것이다. 장치비용이매우작으면경쟁상태에서도 N 개의기업이이윤을내며조업에참여할 것이다. 따라서장치비용 F 가중간정도의범위에속해있어야완전담합하에서는모든기업들이 참여하나경쟁상태에서는일부기업들만살아남는상황이발생하게된다.. 유일한내쉬균형은 (m,m) 이다. ( 힌트 : 그림을그려서잘생각해보라.) 문제를푸는데 이라고가정해도무방하다.
<Case > m, m 어떤경우에도후보가전략을바꿀유인이존재함. 좀더구체적으로만일 d m d이면, 후보는 대신 d 을선택함으로써더높은보수를얻을수있다. d m d 만일 이면, 후보는 대신 (m-d -ε) 을선택함으로써더높은보수를얻을수 있다. m, m 인경우도유사한논리로후보이전략을바꿀유인이있다. m <Case > Wthout loss of generalty, assume that m ( 즉, 후보이승자가될상황 ). 만일 d m,m ] 이면, 에서 d 으로전략을바꿀유인이있다. [ 만일 d m 이면, 에서 (m- ) 으로전략을바꿀유인이있다. <Case > m, m 후보 가 m 에서왼쪽으로옮길유인이있다. d m 이면, 후보 은 m 대신 (m- -ε) 을선택함으로써더높은보수를얻을수 있다. 만일 d m 이면, 후보은 m 대신 d 을선택함으로써더높은보수를얻을수있다. m, m 인경우에도유사한논리를적용. m <Case v> 후보, 후보 어느누구도다른전략으로바꿀유인이없다.. ma () 기업-의이윤극대화문제 u ( Q ) Q 를풀면균형가격, 기업이윤, 소비자잉여가 Q 각각다음과같이구해진다. P utarky, u utarky ( ), CS utarky ( ) 8 () 기업 - 의이윤극대화문제 ma u ( ) ( ), h e h h e h e e 로부터제계조건을 구하여연립방정식을풀면균형가격, 기업이윤, 소비자잉여가각각다음과같이구해진다. LF LF P, u ( ) ( ) 9, utarky ( ) CS 9 () 폐쇄경제체제에서완전개방체제로이행함에따라나타나는효과는다음과같다. 첫째, 대국이나 5
소국할것없이가격은하락하고소비자잉여는증가한다. 둘째, 대국의독점기업의이윤은적어지고소국의독점기업의이윤은두시장의상대적인크 기에따라증가할수도있고감소할수도있다. 구체적으로 5 ( 즉, 대국과소국이규모에서큰차이가없으면 ), 소국의독점기업이윤도낮아진 다. 반면 높아진다. 5 ( 즉, 대국의시장규모가상대적으로훨씬크면 ), 소국의독점기업이윤은 셋째, 소국의사회후생은언제나상승하나대국의사회후생은두국가의상대적규모에따라 증가할수도있고감소할수도있다. 구체적으로 6 ( 즉, 대국과소국의규모가상 대적으로엇비슷하면 ), 대국의사회후생도증가한다. 그러나 6 ( 즉, 대국의시장규 모가상대적으로훨씬크면 ), 대국의사회후생은오히려낮아진다. 여기서국가 - 의사회후생은 W utarky ( ) 에서 8 LF W ( ) ( ) 으로변함에유의하라. 9. () 표준적 단계게임나무 () 부분게임에서경기자는 m cm이 0보다클경우에는수락하고작을경우에는거부할것이 0 다. 그런데수락할경우 mm 0 이라는사실에착안하면, 경기자는 m 이면수락 c 하고그렇지않으면거부할것임을계산할수있다. 이제전체게임으로거슬러올라가면부분게 0 0c 임완전균형에서경기자이, 를제안할것임을알수있다. c c () 매개변수 c가 0에가까우면부분게임완전균형은 (0,0) 에근접하고반대로 에가까우면 (5,5) 에근접한다. 또일반적으로 c가 0과 사이에있으면경기자이상당부분을갖고경기자에게일부를주는균형이형성된다. 여기서매개변수 c는이타주의 (altrusm) 과는정반대개념인 sptefulness를나타냄에도불구하고부분게임완전균형에서 far dvson이나타나는재미있는결과를얻게된다. 6
5. Problem Set에서똑같은문제출제. () 간단 () 균형보수 (,0) () 투자자는 억원을전부신탁하고 억원의투자수입이발생하면수탁자는자신이 0과 사이의보수를챙기고투자자에게 과 사이의보수를돌려준다. 둘다에게좋을뿐아니라사회적으로도최적상태임. () 신탁회사의도덕적해이, 그로인하여사회적으로열악한자원배분이균형현상으로관찰, 개인간의계약으로일부해결가능하나한계가있음, 법제도 ( 예컨대간접투자운용관리에관한법률 ) 의중요성 6. () ( ) F F F F () ( )( F 0 F ) F () 무자비촉발전략 : F F Tt-for-tat 전략 : F 7