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넣기문제와실현문제에대하여 박대희 전남대학교 제 5 회무등수학강연회 2012 년 3 월 30 일 박대희 ( 전남대학교 ) 넣기문제와실현문제에대하여 March 30, 2012 1 / 30

강의순서 1 유클리드공간에넣기 2 근사 (approximation) 와실현 (realization) 3 준대수적변환군론 박대희 ( 전남대학교 ) 넣기문제와실현문제에대하여 March 30, 2012 2 / 30

강의순서 1 유클리드공간에넣기 2 근사 (approximation) 와실현 (realization) 3 준대수적변환군론 박대희 ( 전남대학교 ) 넣기문제와실현문제에대하여 March 30, 2012 3 / 30

곡선이란무엇인가? 곡선 정의곡선은연속사상 f : I = [a, b] R n 로정의한다. C = f (I) 나선 f : R R 3, f (t) = (a cos t, a sin t, bt) 박대희 ( 전남대학교 ) 넣기문제와실현문제에대하여 March 30, 2012 4 / 30

원과원판 원 S 1 = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = 1} 연속사상 f : [0, 1] R 2, f (t) = (cos 2πt, sin 2πt) S 1 = f (I), f [0,1) 는단사 원판 D = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1} f : I 2 = [0, 1] [0, 1] R 2, f (θ, r) = (r cos 2πθ, r sin 2πθ) D = f (I 2 ) 박대희 ( 전남대학교 ) 넣기문제와실현문제에대하여 March 30, 2012 5 / 30

원과원판 원 S 1 = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = 1} 연속사상 f : [0, 1] R 2, f (t) = (cos 2πt, sin 2πt) S 1 = f (I), f [0,1) 는단사원판 D = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1} f : I 2 = [0, 1] [0, 1] R 2, f (θ, r) = (r cos 2πθ, r sin 2πθ) D = f (I 2 ) 박대희 ( 전남대학교 ) 넣기문제와실현문제에대하여 March 30, 2012 5 / 30

원통 원통 C = S 1 I = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 = 1, 0 z 1} 연속사상 f : I 2 R 3, f (s, t) = (cos 2πs, sin 2πs, t) C = S 1 I = f (I 2 ) 박대희 ( 전남대학교 ) 넣기문제와실현문제에대하여 March 30, 2012 6 / 30

Möbius strip 뫼비우스띠 M f : [0, 2π] [ 1, 1] R 3, f (u, v) = ((1 + 1 2 v cos 1 2 u) cos u, (1 + 1 2 v cos 1 2 u) sin u, 1 2 sin 1 2 u) f (I 2 ) = M R 3 박대희 ( 전남대학교 ) 넣기문제와실현문제에대하여 March 30, 2012 7 / 30

Klein bottle 클라인병 K 박대희 ( 전남대학교 ) 넣기문제와실현문제에대하여 March 30, 2012 8 / 30

Klein bottle 클라인병 K f : [0, 2π] [0, 2π] R 4, f (u, v) = ((2 + cos v) cos u, (2 + cos v) sin u, sin v cos u, sin v sin u) f ([0, 2π] 2 ) = K R 4 [0, 2π] 2 π [0, 2π] 2 / f R 4 f 박대희 ( 전남대학교 ) 넣기문제와실현문제에대하여 March 30, 2012 9 / 30

Embedding theorem of manifolds 정의사상 f : X Y 가넣기사상 (embedding) 이란 f 는단사인연속사상이고 f 1 : f (X) X도연속사상정리 (Hassler Whitney, 1936) 모든 ( 매끄러운 ) n-차원다양체는 R 2n+1 ( 매끄럽게 ) 넣을수있다. 주어진 n- 차원다양체 M 에대해넣기사상 f : M R 2n+1 이존재한다. M = f (M) R 2n+1. 박대희 ( 전남대학교 ) 넣기문제와실현문제에대하여 March 30, 2012 10 / 30

강의순서 1 유클리드공간에넣기 2 근사 (approximation) 와실현 (realization) 3 준대수적변환군론 박대희 ( 전남대학교 ) 넣기문제와실현문제에대하여 March 30, 2012 11 / 30

단순사상 (simplicial map) simplex simplicial complex 정의 단순복합체 (simplicial complex) 란단순체들의모임 ( 합집합?) 이다. ( 단, 두 simplex 의교집합은 simplex 가되어야한다.) 두단순복합체 K 와 L 사이의사상 f : K L 가단순사상 (simplicial map) 이란 f 는연속 f : vertex vertex, simplex simplex 박대희 ( 전남대학교 ) 넣기문제와실현문제에대하여 March 30, 2012 12 / 30

단순근사 정리 (L. Brouwer) K, L 이단순복합체라하자. 만약 K 가유한단순복합체이면연속사상 f : K L 은단순사상으로원하는만큼근사시킬수있다. 정리 (J. Alexander, 1926) K, L 이단순복합체이라하자. 모든연속사상 f : K L 에대해 f 와 homotopic 한단순사상 g : K L 이존재한다. 박대희 ( 전남대학교 ) 넣기문제와실현문제에대하여 March 30, 2012 13 / 30

단순실현 정의 f : X Y 가위상동형사상이란 정의 f 는전단사연속 f 1 : Y X 도연속 M 이 n- 차원다양체란각점의근방이 B = {(x 1,..., x n ) R n x 2 1 + + x n < 1} 또는 H = {(x 1, x 2,..., x n ) R n x 1 0} 형태임을의미한다. 박대희 ( 전남대학교 ) 넣기문제와실현문제에대하여 March 30, 2012 14 / 30

단순실현 정리 모든 1, 2, 3 차원다양체는삼각분할이가능하다. 즉, 모든 1, 2, 3 차원다양체 M 에대하여단순복합체 K 와위상동형사상 f : K M 이존재한다. Triangulation of manifolds. Simplicial realization of manifolds n = 2, 3 : T. Radó(1925) 곡면의분류정리 n = 4 : 4- 차원다양체 E 8 은삼각분할을갖지않는다. n 5 : open problem 박대희 ( 전남대학교 ) 넣기문제와실현문제에대하여 March 30, 2012 15 / 30

단순실현 박대희 ( 전남대학교 ) 넣기문제와실현문제에대하여 March 30, 2012 16 / 30

대수적근사 Stone-Weierstrass theorem 만약 X 가 R m 상의 compact 공간이면모든연속사상 f : X R n 은다항함수 p 로원하는만큼근사시킬수있다. X = [a, b] 인경우 : K. Weierstrass(1885) X 가 compact 인경우 : M. Stone(1937) Taylor Series : sin x = x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! + 박대희 ( 전남대학교 ) 넣기문제와실현문제에대하여 March 30, 2012 17 / 30

대수적실현 정의 M R n 이대수적다양체란 M = p 1 (0) 인다항함수 p : R n R 가존재 M 은미분다양체이다. Nash-Tognoli Theorem(1973) 모든닫힌매끄러운 (closed smooth) 다양체는대수적다양체와미분동형이다. Hilbert(1900) 16 번째문제. 실대수곡선과곡면의위상에대한연구 H. Seifert(1936) 다양체에대한대수적근사연구 J. Nash(1952) 실대수다양체연구 A. Tognoli(1973) Nash-Tognoli 정리완성 박대희 ( 전남대학교 ) 넣기문제와실현문제에대하여 March 30, 2012 18 / 30

강의순서 1 유클리드공간에넣기 2 근사 (approximation) 와실현 (realization) 3 준대수적변환군론 박대희 ( 전남대학교 ) 넣기문제와실현문제에대하여 March 30, 2012 19 / 30

군표현 정의 M n (R) : n n 행렬집합 GL n (R) = {A M n (R) det(a) 0} : n n 정칙행렬집합 O n (R) = {A GL n (R) A t A = AA t = E} : 직교행렬집합 G, H 가군일때, 함수 f : G H 이 group homomorphism 이란 f (g 1 g 2 ) = f (g 1 )f (g 2 ) f (e) = e 군 G 의표현 (reprentation) 이란 group homomorphism ρ: G GL n (R) 을의미한다. 박대희 ( 전남대학교 ) 넣기문제와실현문제에대하여 March 30, 2012 20 / 30

군표현 S 1 C에복소수곱연산 을준군 G = (S 1, ) 의표현 ( ) cos θ sin θ ρ: G GL 2 (R), ρ(e iθ ) = sin θ cos θ G = ρ(g) O 2 (R) 박대희 ( 전남대학교 ) 넣기문제와실현문제에대하여 March 30, 2012 21 / 30

준대수적공간 정의 M R n : 준대수적 (semialgebraic) 유한개다항함수 f ij, g ij s.t. M = i {x R n f ij (x) > 0, g ij (x) = 0 j}. 보기 : f, g : R 2 R, f (x, y) = y x 2, g(x, y) = x y + 2. 박대희 ( 전남대학교 ) 넣기문제와실현문제에대하여 March 30, 2012 22 / 30

준대수적공간 성질 (H. Hironaka, 1975) 준대수적공간은준대수적으로삼각분할가능하다. 즉, 임의의준대수적공간 X 에대하여단순복합체 K 와준대수적동형사상 f : K X 가존재한다. 준대수적공간은유한개의연결성분을갖는다. 박대희 ( 전남대학교 ) 넣기문제와실현문제에대하여 March 30, 2012 23 / 30

준대수적사상 정의 M, N: 준대수적공간연속사상 f : M N 이준대수적 그래프가준대수적 n x 는준대수적사상이다. f (x) = n x 는연속이고 Gr(f ) = {(x, y) R 2 y = n x, x 0} = {(x, y) R 2 x y n = 0, x 0} sin x, cos x, tan x, e x, log x 는준대수적이아니다. 박대희 ( 전남대학교 ) 넣기문제와실현문제에대하여 March 30, 2012 24 / 30

준대수적군 정의 G 가준대수적군 (semialgebraic group) 이란 G 는준대수적공간이고군 두사상 µ: G G G, (g, h) gh i : G G, g g 1 이모두 ( 연속인 ) 준대수적사상이다. 다음은모두준대수적군이다. GL n (R), O n (R), SO n (R) GL n (R) 의모든 compact 부분군. GL n (R) M n (R) = R n2 박대희 ( 전남대학교 ) 넣기문제와실현문제에대하여 March 30, 2012 25 / 30

준대수적작용 모든준대수적군의준대수적부분군은닫힌집합이다. 준대수적군의닫힌부분군은준대수적이아니다. Lie 군의닫힌부부군은 Lie 군이다. 준대수적군 GL n (R) 의닫힌부분군 {( ) e t 0 } {( G = e t ) 0 } 0 e t t R, H = 0 e 2t t R 정의 M 이준대수적 G- 공간이란군작용사상 θ : G M M 이준대수적임을의미한다. θ(g, θ(h, x)) = θ(gh, x) θ(e, x) = x θ(g, x) = gx 로표기 박대희 ( 전남대학교 ) 넣기문제와실현문제에대하여 March 30, 2012 26 / 30

준대수적작용 정의 f : M N 가준대수적 G- 사상이란 f 는 G- 사상 ( 즉, f (gx) = gf (x)) f 는 ( 연속 ) 준대수적사상. 준대수적 G- 공간이 proper 란다음사상이준대수적으로 proper 함을의미한다 : θ : G M M M, (g, x) = (gx, x) 만약 G 가 compact 이면모든준대수적 G- 공간은 proper 이다. 박대희 ( 전남대학교 ) 넣기문제와실현문제에대하여 March 30, 2012 27 / 30

준대수적작용 정리 모든 proper 준대수적 G- 공간은준대수적 G-CW 복합체구조를갖는다. 정리 ( 준대수적넣기정리 ) G 가선형 (linear) 일때, 모든 proper 준대수적 G- 공간에대해준대수적표현 ρ: G GL k (R) 과준대수적 G- 넣기사상 f : M R k (ρ) 가존재한다. 질문 준대수적군 G 이선형이란적당한자연수 n 에대해단사 (faithful) 인준대수적표현 ρ: G GL n (R) 이존재함을의미. n k Slice theorem, 유한성, double induction 준대수적군 G 에대해단사 (faithful) 인준대수적표현 ρ: G GL n (R) 이존재하는가? 박대희 ( 전남대학교 ) 넣기문제와실현문제에대하여 March 30, 2012 28 / 30

준대수적작용 정리 M, N 이 proper 준대수적 G- 공간, f : M N 을연속인 G- 사상이라하자. 만약 G 와 M 이모두컴팩트이면 f 는준대수적 G- 사상으로원하는만큼근사시킬수있다. 나머지경우는 f 와 homotopic 한준대수적 G- 사상 g : M N 이존재한다. 박대희 ( 전남대학교 ) 넣기문제와실현문제에대하여 March 30, 2012 29 / 30

준대수적작용 문제 유한개의연결성분을갖는 G- 다양체와 G- 위상동형인준대수적 G- 공간이존재하는가? 위상적 G- 다발과동형인준대수적 G- 다발이존재하는가? E k (Ξ) M f,g p G k (Ξ) 박대희 ( 전남대학교 ) 넣기문제와실현문제에대하여 March 30, 2012 30 / 30