Satfcng ade-off 방법을이용한유한요소모델개선 nte Element Model pdatng ng Satfcng ade-off Method 김경호 * 박윤식 ** Gyeong-Ho Km and Youn- Pa Key Wod : Model pdatng( 유한요소모델개선 ), Multobectve optmzaton( 다목적최적화 ), Satfcng tadeoff method. ABSRAC In conventonal model updatng ung ngle-obectve optmzaton technque, ncompatble phycal data ae compaed wth each othe ung weghtng facto. hee ae no geneal ule fo electng the weghtng facto nce they ae not dectly elated wth the dynamc behavo of an updated model. So one of the mot dffcult ta, n model updatng tudy, 'balancng among the coelaton',.e. 'tade-off'. In th wo, a multobectve optmzaton technque called 'atfcng tade-off method' ntoduced to extemze eveal coelaton multaneouly. he abud need fo the weghtng facto can be avoded ung th technque. And the updated model wth the mot appopate coelaton obtaned ealy n nteactve way. Epecally automatc tade-off employed to nceae the ate of convegence to the deed model. It effectvene vefed by applcaton to a eal engneeng poblem, HDD cove model updatng.. 서론 유한요소 (fnte element, E) 모델해석결과와실험결과와의상관관계를파악하고, 이에따라모델을개선할필요가있다고판단되면최적화과정을통해서모델을개선한다. 기존의단일목적최적화기법달리, 본연구에서는이러한모델개선을아래와같은다목적최적화문제 (multobectve optmzaton poblem, MOP) 로설정한다. ( ) = { ( ) ( ) ( ) ( x ) = ( x ), =,,, mnmze x x, x,, x ubect to,,,, g g m n x X R. 여기서,,, 는 E 모델과실험결과와의오 차를나타낸다. MOP 에서파레토 (Paeto) 최적해는다음과같이정의된다. 모든 {,, 에대하여 ( ) ( ) () x x 를만족 하는가용해 x 가존재하지않으면가용해파레토최적해이다. x 는 두개의목적함수 과 를최소화하는 MOP 에 * 한국과학기술원기계공학과 E-mal : gyeong@at.ac. el : (04) 869-060, ax : (04) 869-80 ** 한국과학기술원기계공학과 서가용영역이 g. 의빗금친영역과같다면, 굵은실선은파레토최적해를나타낸다. 이와같이 MOP 문제에서는많은최적해가존재할수있다. 초기 E 모델과실험결과와의상관관계, 실험결과의정확도그리고모델의사용목적에맞게개선된모델의기대치 (apaton level) 를설정하게되는데, 이는 g. 에서와같이가용영역또는비가용영역에존재하게된다. 본연구에서 atfcng tade-off 방법 (SOM) 을사용하여개선된모델의기대치와가장가까운파레토최적해를효율적으로구한다.. Satfcng ade-off 방법. 단일목적최적화기법의문제점 단일목적최적화기법을사용하는기존의 E 모델개선방법에서는목적함수를아래와같이가중치를준합으로설정한다. f ( ) ( ) x = x. () = 여기서,,, 는 E 모델과실험결과와의오차 를나타낸다. 구조동역학분야에서이러한오차를평가하는데쓰이는물리량은고유진동수, 모드형상또는주파수응답함수등이있다. 이들은서로비교될수없는물리량이지만, 기존의방법에서는가중치를사용하여서로비교하고또하나의지수로만들어모델을평가한다. 따라서이는매우불
(a) apaton level feable obectve functon pace {, feable obectve functon pace {, Paeto optmal et g. Illutaton of multobectve optmzaton. 합리하다. 초기 E 모델과실험결과와의상관관계, 개별적실험결과의정확도또는중요도에따라서개선된모델의기대치또는목표치를설정하는것은비교적쉬운일이지만, 이에대응되는가중치를설정하는것은매우힘든일이다. 따라서, 보통가중치를조절하면서원하는결과를얻을때까지반복적으로최적화문제를풀게된다. 간단한예로써, 그리고 를최소화하는문제를고 려하자. 가용영역은다음과같다. {( ) ( ) ( ) ( ),,. () = = = 로설정하여목적함수를수립하고,, =,, 이다. 문제를풀면, ( ) ( ) 현재값보다 을많이, 는약간감소시키고싶 어서 = 0, =, = 로설정하고문제를풀면, (,, ) = ( 0, 05 ), 05 로된다. 를 05 개선하려고초기보다가중치를늘였지만계산된최적해는초기보다오히려나빠졌다. 다시 를 더욱증가시켜 = 0, = 7, = 로설정한결과,,, = 0, 7, 이 최적해는 ( ) ( ) 50 50 50 다. 를더욱증가시켰지만, 는여전히초기치 보다나쁘다는것을알수있다. 이와같이간단한문제에서조차원하는결과를얻기위한가중치설정은어렵다. 모델개선문제에서가용영역은설정된매개변수그리고제약조건으로결정된다. 식 () 와같이단일목적함수를설정한경우, 최적해는가중치벡터 {,, w= 에수직인평면과파레토면 (uface) 이접하는점이다 (g. ). 그러므로가중치벡터선택할때는개별적실험데이터의정확도또는중요도뿐만아니라선택된매개변수에따른가용영역을특성을파악해야만모델개선의 (b) feable obectve functon pace {, {, g. Illutaton of ngle-obectve optmzaton. feable obectve functon pace dualty gap Sunen pat of Paeto uface g. Dualty gap fo nonconvex poblem. 기대치에부합되는최적해를구할수있다. 문제에따라 g. (a) 에서와같이최적해가가중치에민감하게변화되는경우도있지만, g. (b) 에서와같이가중치를많이변화시켜도최적해는거의변하지않는경우도있다. 이와같이가중치벡터의선택은매우어려운일이다. 가중치방법의또다른큰문제점은파레토면이 convex 하지않는경우, dualty gap 으로인하여오목한 (unen) 영역에존재하는해는구할수없다는것이다 (g. ). 모델개선에서단일목적함수최적화기법의이와같은문제점을해결하기위해본연구에서는다목적최적화기법으로 SOM 를도입한다.
feable obectve functon pace P ( ) g. 4 와같은최적해를계산한다. 즉, 와 를지나는직선과파레토면과만나는지점을해로구한다. 식 (5) 의목적함수는미분불가능한형태인데, 아래와같이목적함수가미분가능한단일목적최적화문제의형태로변경이가능하다. ( ) P g. 4 Satfcng tade-off method.. Satfcng tade-off 방법 SOM 은대화식 (nteactve) 다목적최적화기법의일종이다. 즉, 설정된기대치에가장가까운파레토최적해를구하고, 만일구한최적해가만족스럽지않은경우, 새로운기대치를설정하고문제를푸는과정을되풀이하게된다. 번째반 복과정 (teaton) 에서목적함수의기대치다음과같이변경된다. ( ) 는 = P. (4) P 연산과정 (opteaton) 을통해서 에가장가 까운파레토최적해를구한다. P( ) 가만족스럽 지않은경우, 연산과정을통해서목적함수의은이미파레토 기대치를조절하게된다. P( ) 최적해이므로모든목적함수를줄일수있는가용해는존재하지않는다. 따라서, 연산과정에서일부목적함수를감소시키려면다른일부목적함수를증가시켜야한다 (tade-off). () 연산과정 P 식 () 과같은다목적최적화문제의특수한경우라고할수있는아래와같은문제를고려하자. mnmze ubect to max ( ( x ) ),, = (5) ( ( x ) ) 0, =,,, g g 0, =,, m. ( x ) 여기서, 는각각의목적함수를최소화했을때또는최소라고추정되는다목적함수값을나타낸 다 (deal o utopa pont). 따라서 는비가용영역에나타난다. 식 (5) 와같은최적화문제는 mnmze ubect to z α ( x ) = ( ( x ) ) z, =,,, (6) ( ( x ) ) 0, =,,, g g 0, =,, m. ( x ) 여기서, α 는목적함수가최적해로잘수렴될수 6 있도록충분히작은수 ( 예, 0 ) 로설정된다. () 연산과정 가만족스럽지못한경우, 새로운 최적해 P( ) 기대치 x 라고하고, ( ) 를설정하게된다. 이때의최적해를 P 값에따라서목적함수는다 음 개의범주로나뉜다.. cla of ctea whch ae to be mpoved moe, I, I. cla of ctea whch may be elaxed, I, R. the cla of ctea whch ae acceptable a they ae, I. A 따라서, I I 의경우, ( ) 의경우, ( ) I A < x 로설정하고, = x 로설정하게된다. 또 I R 에해당되는기대치 는완화시켜야한다. x 는식 (6) 의최적해이므로다음과같은식을만족한다. ( ) ( x m ) g ( x ) = 0, =,, n, (7) βα λ µ = x = x λ =, =, =,,, β = 0 =,,. 여기서,,, λ λ 와,, µ µ m 는라그랑지승수를나타낸다. 식 (7) 에 x 를곱하고각식을더하 여정리하면다음과같이변분식을구할수있다
( λ α ). = 0. (8) m g λ µ = = 식 (8) 을이용하면, 새로운목적함수의기대치를좀더현실적으로설정할수있다. 즉, 아래의식이만족되도록목적함수및제약조건의기대치를설정하면, 새로운기대치는근사적으로가용영역에존재하게된다. ( m ( )) ( g g ( )). λ x µ x ε (9) = = g. 4 에서와같이새로운기대치 를식 (9) 가만족되도록설정된경우, 목적함수의기대치와 P 를구할수 매우인접한파레토최적해 ( ) 있게된다.. SOM 을이용한유한요소모델개선 SOM 을이용한 E 모델개선과정은다음과같다. SEP : 다목적함수수립. 구조동역학분야에서 E 모델을평가하는데많이쓰이는물리량은고유진동수와모드형상이다. 모델개선과정에서고려되는모드의개수를 p 라고하면다목적함수를아래와같이수립할수있다. fa f x =, p = MAC( φa, φ ),,,. x = p f (0) x 여기서, f, φ 는 E 모델로부터구한 번째고유 a a 진동수와모드형상을나타내고, fx, φ 는모드해석 x 실험으로부터구한 번째고유진동수와모드형상을나타낸다. SEP : 설정. 각각의목적함수를최소화했을때다목적함수값또는최소라고추정되는값으로설정한다. 식 (0) 과같이다목적함수를수립한경우, = 0 으로설정할수있다. 이값은초기에설정되면모델개선절차중에바뀌지않는다. SEP : 설정. 초기 E 모델과실험결과와의상관관계, g. 5 HDD cove. 실험결과의정확도그리고모델의사용목적에맞게개선된모델의기대치 (apaton level) 를설정한다. SEP 4: 최적화문제수립및최적해탐색. 현재의다목적함수에서설정된기대치를만족하는목적함수는제약조건으로설정하고식 (5) 와같은최적화문제를푼다. 이렇게함으로써이미기대치를만족하는상관관계가최적화과정에서기대치이하로나빠지는것을방지할수있다. SEP 5: ade-off. ( ) x 값에따라목적함수를 I, I, I 의 개 I R A 의범주로나눈다. 만일, I I =0 이면모델개선 과정을마치게된다. 그렇지않으면, I I,I 의범 R 주에속하는목적함수의새로운기대치를설정한 다. I A = x 로설정하게된다. 의경우, ( ) SEP 6: 가용성검사. 새롭게설정된기대치 가가용영역에있는지식 (9) 를사용하여검사한다. 기대치가가용영역에존재하면 SEP 4 를수행한다. 만일새롭게설정된기대치가비가용영역에존재하면, SEP 5 의기대치설정단계를반복하거나또는설정된기대치로 SEP 4 를수행할수도있다. 4. 적용 : HDD 커버유한요소모델개선 4. HDD 커버의해석결과와실험결과와의비교 g. 5 와같이 HDD 커버는 차원구조물로표면위치에따라두께의변화가심하고비교적복잡한형상을보인다. 커버를잘라서두께를측정하고 차원도면을활용하여 E 모델을수립하였다. 커버모델의총자유도수는 6, 7 이다. 모드해석결과는 g. 6 에나타나있다. E 모델의타당성을검토하기위해자유단경계조건에서모드해석실험을수행하였다. 극소형충격망치를이용하여가진하였고접촉식센서의질량효과를없애기위해비접촉식레이저변위센서를이용하여 66 개지점에서응답을측정하였다.
mode mode mode mode mode mode mode 4 mode 5 mode 6 mode 4 mode 5 mode 6 mode 7 mode 8 mode 9 mode 7 mode 8 mode 9 Mode no. mode 0 g. 6 Analytcal mode hape of HDD cove. able Compaon of expemental and analytcal modal popete. EMA EA Eo MAC natual natual (%) value feq.(hz) feq. (Hz) 409.7 404. -.507 0.9847 908. 9.9.606 0.98 707.6 669.0 -.6 0.86 4 748.9 709. -.77 0.7754 5 79. 757.9 -.968 0.88 6 475.0 99. -.066 0.9496 7 84. 7. -4. 0.9469 8 976. 878. -.85 0.960 9.8 06.4 -.98 0.958 0 69.0 8.8 -.674 0.8905 모드해석은 CADA-X 를이용하여수행하였다. g. 7 은모드해석결과를나타내며 able 은 E 모델과실험으로부터구한모드매개변수를비교한것이다. 고유진동수오차의경우, 6, 7, 8, 9 번째모드의상대오차가 % 보다크게나타나고, 4, 5, 0 번째모드의 MAC 값은 0.9 보다작다. 4. HDD 커버 E 모델개선앞서언급한바와같이 HDD 커버는표면의위치에따라두께변화가심하다. 대표적인위치에서두께를측정하여모델에반영하였지만, 이로인하여초기 E 모델과해석결과는차이를보인다. 모델링오차가포함된위치를찾기위해서힘-평형방법 (foce balance method) 을사용하였고 g. 8 과같이모델개선을위한 개의두께매개변수를설정하였다. 두께측정오차를고려하여매개변수최대변화량을 5%( 약 50µ m ) 로제한하고모델개선을수행하였다. able 에나 mode 0 g. 7 Expemental mode hape of HDD cove. 7 8 9 6 4 5 0 g. 8 E model updatng paamete (thcne). 타난 0 개의모드를고려하여다목적함수를식 (0) 과같이수립하였고 = 0 로설정하였다. 초기 E 모델의실험결과와의상관관계를고려하여고유진동수오차는 %, MAC 값은 0.9 로기대치를설정하였다. 즉, = 9 0, = 0., =,,0. () 4 0 설정된기대치를만족하는목적함수는제약조건으로설정하고최적화문제를풀었다. able 에이와같은모델개선과정이정리되어있다. 첫번째반복계산에서설정된기대치 ( 식 ()) 를만 족하는최적해 ( x ) 를구할수있었다. MAC 값 을좀더증가시키기위해기대치를아래와같이변경하였다. = 9 0, = 0.05, =,,0. () 4 0 새롭게설정된기대치 는식 (9) 를만족하지
able E mode updatng pocedue ung SOM. Index Iteaton Iteaton ( x ) ( x ) 0.0009 0.000 0.0009 0.000 0.0009 0.0009 0.0009 0.0009 0.0009 0.000 0.0009 0.000 4 0.0009 0.000 0.0009 0.000 5 0.0009 0.0004 0.0009 0.0004 6 0.0009 0.0005 0.0009 0.0006 7 0.0009 0.0008 0.0009 0.0009 8 0.0009 0.0008 0.0009 0.0009 9 0.0009 0.0006 0.0009 0.0005 0 0.0009 0.0006 0.0009 0.0005 0.000 0.048 0.0500 0.049 0.000 0.066 0.0500 0.069 0.000 0.074 0.0500 0.055 4 0.000 0.090 0.0500 0.076 5 0.000 0.090 0.0500 0.076 6 0.000 0.0490 0.0500 0.049 7 0.000 0.0460 0.0500 0.0470 8 0.000 0.0455 0.0500 0.04 9 0.000 0.097 0.0500 0.04 0 0.000 0.090 0.0500 0.076 change (%) 0. 0.05 0-0.05 Iteaton Iteaton SOM 방법을소개하였다. SOM 을사용하면파레토최적해집합중기대치에가장가까운해를쉽게구할수있게된다. SOM 을이용한모델개선방법을정리하였고, 이를공학적실제문제에성공적으로적용하였다. 후기 본연구는국가지정연구사업 진동저감을위한동특성변경기술 (M-000-00-09) 의지원에의한것이다. 참고문헌 () 김경호, 박미유, 박윤식, 000, "HDD 소음제어를위한 SDM 기술개발 ", 추계학술대회논문집, 한국소음진동공학회, pp. 765~770. () 김경호, 박윤식, 00, " 다목적최적화기법을이용한하드디스크커버유한요소모델개선 ", 추계학술대회논문집, 한국소음진동공학회, pp. 565~570. () 김경호, 박윤식, 00, " 대화식다목적최적화기법을이용한유한요소모델개선 ", 춘계학술대회논문집, 한국소음진동공학회, pp. 660~665. (4) well, M. J. and Mottehead, J. E., 995, nte Element Model pdatng n Stuctual Dynamc, Kluwe Academc Publhe. (5) Naayama, H. and uuawa, K., 985, "Satfcng tade-off method wth an applcaton to multobectve tuctue degn", Lage Scale Sytem, Vol. 8, pp. 47~57. -0. 4 5 6 7 8 9 0 updatng paamete g. 9 pdated paamete (% change n thcne). 않는다. 즉, 는가용영역에존재하지않으므로이로부터구한최적해는이러한기대치를만족시킬수없다는것을예상할수있다. 최적화결과 x 에서 는 able 와같다. ( ) x 에비해, ( ) 고유진동수오차는약간증가하였지만, MAC 값은향상되었다는것을알수있다. g. 9 는모델개선과정중매개변수의변화량을그린것이다. 5. 결론 E 모델개선문제에서단일목적최적화기법, 특히가중치방법의여러문제점을토의하였고이의대안으로다목적최적화기법의일종인