수능을가장수능을수능답게가장수능답게분석하는분석하는새로운새로운강자감각 현우진의현우진의 Final 행렬 _ Healing 정오판정 Camp 특강 행렬정오판정의모든것 출제 Point 2 문항출제가능 [3 점, 4 점 ] 1) 행렬의기본연산성질 ( 결합법칙에초점 ) 주어진행렬관계식을조작하여모든성분의합을구하는문제가요즘출제의포인트가되는경우가많으므로 이에집중하여학습하도록한다. 주로 [3 점 ] 으로구성될가능성이높으므로어렵지않게출제될것이다. 하지만학생들이가끔너무어려운내용만생각하다보면간단한문제임에도불구하고초점을흐려계산을하 지않으려하나교육과정의목표중하나가행렬은 [ 계산 ] 에초점이맞춰져있으므로이를항상생각하면서계산도 할수있다는점을잊지말도록하자. 마지막으로, 일반적으로행렬의연산에서는교환법칙이성립하지않으므로, 교환법칙이확인이안된다면필히 결합법칙과관련되어출제되므로괄호의순서를바꾸어가며계산할수있다는점에초점을맞추도록하자. 2) 역행렬의성질을이용한정오판정 (4 점출제 ) 4 점짜리합답형문항이출제될가능성이매우높다. 난이도는 4 점문항중中으로출제되어정답률은 50~60% 에맞춰출제될가능성이높다. 수능 / 평가원기출문제에서나왔던내용들은모두섭렵하여적재적소에써먹을필 요가있으며아직미출제된몇개의내용들을숙지하여정확하게결론을내는습관을길러야한다. 학생들이가끔 [ 출제자와의심리전 ] 을통해답을내려는습관이있는데 ( 절대로이러지맙시다.) ㄱ, ㄴ, ㄷ중에ㄷ이포인트가되는경우가많은데이는ㄱ과ㄴ을적절히활용하여결론을내는습관, 또는주 어진관계식을연립, 소거하여원하는상태를만들어나가는것을연습하도록하자. 3) 행렬과연립일차방정식또는역행렬의기하학적의미만약위의 1 번과 2 번을결합하여 4 점짜리한문항으로출제한다면남은내용은 [ 연립일차방정식 ] 또는 [ 역행렬 의기하학적의미 ] 로구성될수밖에없다. 합답형문항이이미 4 점으로확정된상황이므로이는어렵지않은수준 으로출제될가능성이높으므로 [ 기본에충실 ] 하는습관을들이도록하자. 1
해석도구 행렬정오판정의근거 (1) 교환법칙은항상성립하지않으나결합법칙은항상성립한다. 합과곱이정의되는행렬 A, B, C와실수 k, L에대하여 AB=BA : 교환법칙은일반적으로성립하지않는다. 결합법칙 {ka}b=a{kb}=k{ab}, {AB}C=A{BC} 분배법칙 A{B+C}=AB+AC, {A+B}C=AC+BC REMARK 행렬의연산에서는일반적으로교환법칙이성립하지않으므로연산의순서를결정시켜주는결합법칙 { 괄호의위치를바꾸어주는...} 이수능에서원하는출제포인트가된다. (2) 교환법칙은직접확인하는미덕이필요하다! AB=kE {k=0} 방법1} A=B, E의식 1# AB=BA B=A, E의식그렇다고해서위의관계를천편일률적으로암기하는것은수능트렌드에맞지않는다. 주어진조건에맞추어직접확인하는과정을익히도록하고암기는지양하도록... 방법2} ( 식1)( 식2)=kE 꼴로바꿀수있는지체크한다. 역행렬의성질에의해 ( 식2)( 식1)=kE이므로두식을연립 / 소거한다면결론적으로 AB=BA가도출될수있다. 결국주어진조건식을적당히인수분해하여 ke꼴을만들어내는것이관건이다. 미출제 A{AB+E}=E 1# AB=BA ; A{AB+E}={AB+E}A에서 A@B=ABA이고 A -! 존재하므로 AB=BA ( A -!B=BA -! 방법3} AB=BA $1# -AB -!=B -!A 우회적인판단의근거로많이사용된다. 9A -!B -!=B -!A -! ; A -!B=BA -! 에서 AA -!BA=ABA -!A이므로 BA=AB 2
(3) 역행렬의기본성질 {A -1 } -1 =A {AB} -1 =B -1 A -1 : 기본연산성질으로써주의요망! E -1 =E {ka} -1 = 1 k A-1 {k는실수 } {A n } -1 ={A -1 } n {n은자연수 } : 좌변을물어보면우변으로, 우변을물어보면좌변으로포커스맞추기 {BAB -1 } n =BA n B -1 {n은자연수 } ; 주로 AC=CB 등의조건에서 A=CBC -1 이므로 A n =CB n C -1 을이용한다. (4) 서로역행렬인것끼리는교환법칙이성립한다. 정사각행렬 {Square Matrix} A,B에대하여 AB=E이면 반드시 BA=E이다. [Proof] By Using Caley-Hamilton Theorem A@-pA+qE=O을만족시키는행렬이차식이반드시존재한다. 식의오른쪽에 B를곱하면, A@ B-pAB+qB=O이고, 이는 A-pE+qB=O {? AB=E} 이므로, A=pE-qB임을이끌어낼수있다. 따라서, AB=pB-qB@=BA (5) 역행렬은유일하다. 즉 AB=BA=E 이고, AC=CA=E 라면 B=C 임에틀림없다. [Proof] B=BE=B{AC}={BA}C=EC=C (6) 곱의역행렬이존재한다. 모든인수의역행렬이존재한다. {AB} -1 이존재하면 $1# A -1, B -1 모두역행렬이존재한다. [Proof] 1}! ; {AB}X=E이므로결합법칙에의해 A{BX}=E에서 A -1 존재또한역행렬의교환법칙에의해 X{AB}=E / {XA}B=E에서 B -1 존재 2} @ ; {AB}{B -1 A -1 }=E에서 {AB} -1 =B -1 A -1 이므로자명하다. REMARK 곱의역행렬에대해서는이론적인근거를이용할수있으나 합 / 차의역행렬에대해서는이론적인근거가없으므로그냥계산한다. (7) 곱의역행렬이존재하지않는다. $1# 적어도한인수의역행렬이존재하지않는다. 1} AB=O! A -1 존재하지않거나 B -1 존재하지않는다. [ 참 ]! A -1 존재한다. [ 거짓 ] 2} {AB} -1 존재하지않고, B -1 존재한다면 A -1 반드시존재하지않는다. 3
REMARK 행렬 X의역행렬의존재여부를묻는다면, { 결국 X로의식을인수분해하라.} 1} XY=kE{k=0} 꼴로정리하여역행렬의존재성뿐만아니라실제역행렬까지구할수있다. 2} XY=Z의꼴로정리하여 Z의역행렬의존재여부에따라 X의역행렬의존재성을확인할수있다. 3} X에관한 2차식의인수가아니라면역행렬이존재한다. 이차정사각행렬 A와실수 k, L, m, 에대하여 m=k, m=l일때, {A-kE}{A-LE}=O 이면 A-mE의역행렬이존재한다. { 인수를제외하면역행렬이존재한다.} w 2015학년도 6월평가원에최초출제.. 반드시알아둬야하는내용 w 역행렬의존재성을물어보는물음은말그대로존재성만확인하면된다. 구하지말라. 예 1 A@-A-2E=O를인수분해하면 {A-2E}{A+E}=O에서 1} A_!, {A-E}_!, {A+2E}_! 등은인수가아니므로역행렬이존재한다. 2} {A-2E}_!, {A+E}_! 의역행렬존재여부는알수없다. 3} 단, A=2E의조건이추가된다면, A-2E=O이므로 {A+E}_! 의역행렬은존재하지않는다. 예 2 {A-E}@=O 이면 A_!, {A+E}_! 등이존재한다. { 책임질인수가 {A-E} 단, 한개 } 또한, {A-E}_! 은역행렬이존재하지않는다. 예 3 A@+A+2E=O 은실계수에서인수분해가안되므로 {A-kE}_! 은모두역행렬이존재한다. (8) n{n 에대하여 A n =O 이면반드시 A@=O 이다. ( 차수줄이기 ) (9) AB=O, B=O 이면 A -1 이존재하지않는다. ( 귀류법으로확인가능 ) 서로다른 A, B 에대해서 AB=B@ 라면, AB-B@=O, A-B=O 에서 {A-B}B=O 이고 A-B=O 이므로 B -1 이존재하지않는다. (10) 영인자는역행렬을가지지않는다. AB=O, A=O, B=O이면 A -1, B -1 이존재하지않는다. { 이때, A, B를영인자라고한다.} 이때는주로문자로주지않고말로주기때문에혼란스럽거나문제에서파악을잘못하는경우가있다. 예를들면단위행렬이아닌 A라고주어지면 A=E이므로 A-E=O을의미한다. 문제를잘읽도록하자. A@+A-2E=O, A=kE{k는실수 }! A-E, A+2E의역행렬이존재하지않는다. REMARK = 의구조는주로문장으로주어진다. 1} 영행렬이아닌 A! A=O 2} 단위행렬이아닌 A! A-E=O 3} 서로다른 A,B! A-B=O 4
(11) {A-kE} 와 {A-lE} 의역행렬이모두존재하지않으면 w {A-kE}{A-lE}=O{ 단, k=l} REMARK 위를이용하면행렬 A에대한이차방정식이주어지고 A+kE 꼴의행렬의역행렬의존재여부를물을때 ( 곱 )=ke, ( 곱 )=O 의두가지방식으로확인해볼수있다. 예를들면, A@+A-2E=O일때 A+E의역행렬의존재여부를물으면 A{A+E}=2E이므로 A+E의역행렬은존재한다. {A+2E}{A-E}=O에서인수가아니므로 A+E의역행렬은존재한다. 5
02 01 2011 2014 학년도 9예비평가월평가원교환법칙이역행렬의보장되지교환법칙과않는다면유일성결합법칙에초점을맞추도록한다. A@=A-E, {AB}@=E를만족시킬때, 옳은것만을 에서있는대로고른것은? { 단, E는단위행렬이다.} [4점] ㄱ. A와 B는모두역행렬을가진다. ㄴ. BAB=-A@ ㄷ. B@AB@=A@+B@ 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ ㄱ, ㄴ, ㄷ의연결성이매우돋보이는문제. ㄴ을이용하여ㄷ을구하는과정이매우중요하다. 특히ㄷ에서교환법칙이보장되지않으므로결합법칙에초점을맞추어다루도록한다. 02 2011 학년도 9 월평가원역행렬의교환법칙과유일성 이차정사각행렬 A, B, C에대하여 ABC=E이고 ACB=E일때, 옳은것만을 에서있는대로고른것은? { 단, E는단위행렬이다.} [4점] ㄱ. A=E이면 B=E이다. ㄴ. AB=BA ㄷ. 모든자연수 n에대하여 A n B n C n =E이다. 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 6
03 2013 학년도사관학교곱의역행렬이존재하면모든인수의역행렬이존재한다. 세이차정사각행렬 A, B, C가 {AB}@=A@B@, BA=AC를만족시킬때, 옳은것만을 에서있는대로고른것은? [4점] ㄱ. B@A=AC@ ㄴ. B의역행렬이존재하면 A@B=A@C이다. ㄷ. AC의역행렬이존재하면 B=C이다. 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 04 2005 학년도 9 월평가원역행렬의교환법칙, 곱의꼴의존재성 두이차정사각행렬 A와 B에대하여 AB+A=E AB+BA=A+B 일때, 에서옳은것을모두고르면? { 단, E는단위행렬이다.} [4점] ㄱ. 행렬 A의역행렬은 B+E이다. ㄴ. AB=BA ㄷ. 행렬 B가역행렬을갖는다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 거의 10 년전문제... 하지만ㄷ단하나만으로도최신트렌드로적합하다. 아직수능에서정확하게출제하지 않은형태이므로주목할필요가있다. ㄷ에서역행렬의존재성을물어볼때는역행렬을구할필요없이존재 성만확인하면된다. { ㄷ의연결보기가없기때문!} Plus B -1 을구한다면? 7
05 2014 학년도수능교환법칙의우회적인확인과식조작 AB+A@B=E,{A-E}@+B@=O 를만족시킬때, 에서옳은것만을있는대로고른것은? { 단, E는단위행렬이고, O는영행렬이다.} [4점] ㄱ. B의역행렬이존재한다. ㄴ. AB=BA이다. ㄷ. {A#-A}@+E=O 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ ㄴ에서새로운내용을제시하고있다. 물론ㄴ의경우여러가지방법으로확인할수도있다. 06 2014 학년도 6 월평가원역행렬이존재한다는것은소거할수있다는말과동치이다. 이차정사각행렬 A 가다음조건을만족시킨다. { 가 } A#=E { 나 } A-E 의역행렬이존재한다. 행렬 {A-E} 60 의모든성분의합은? ( 단, E 는단위행렬이다.) [4 점 ] 1 3 30 2 2K3 30 3 3 31 4 4K3 30 5 5K3 30 현실적으로 60 승을물어보기에는무리가있으므로, 규칙성이있을것임에확신하도록하고단위행렬의모든 성분의합은 1 이아니라 2 이다! 8
07 2015 학년도 9 월평가원출제자와심리전을하지말것. AB+A+B=2E, A#+E=O 를만족시킬때, 에서옳은것만을있는대로고른것은? { 단, E는단위행렬이고, O는영행렬이다.} [4점] ㄱ. A+E의역행렬이존재한다. ㄴ. AB=BA ㄷ. A+B=-E 1 ㄴ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ ㄱ, ㄴ은거의 [ 구지가 ] 같은출제. 사실 [ 조건1] 이인수분해를하는형태라서낯설수있지만, 많이다뤄본형태라서그닥어렵지는않을텐데. 교환법칙은직접확인하는것이 21세기의미덕. 그나저나인수분해가트렌드인가봄.. 6월도그랬던걸보니. ㄷ은출제자와심리전하다가 5번고른사람많을듯. 모의고사반에서그렇게심리전하지말라했건만..! 9
08 2015 학년도 6 월평가원인수가아니면역행렬이존재한다. A@=-A, A@+B@=A+E 를만족시킬때, 에서옳은것만을있는대로고른것은? ( 단, E는단위행렬이다.) [4점] ㄱ. A#=A ㄴ. AB@=B@A ㄷ. B의역행렬이존재한다. 1 ㄴ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ ㄷ에서역행렬의존재성을물어보므로구하는것에집중하지말고존재성만확인하는게포인트! ㄴ에서교환법칙을물어보므로직접확인하는미덕을보이면좋을듯.. 10
09 2013 학년도수능역행렬은유일하다, 관계식은연립 / 소거할수있다. ㄷ의다중성 2A@+AB=E, AB+BA=2A+E를만족시킬때, 옳은것만을 에서있는대로고른것은? ( 단, E는단위행렬이다.) [4점] ㄱ. A -1 =2A+B ㄴ. B=2A+2E ㄷ. {B-E}@=O ( 단, O는영행렬이다.) 1 ㄴ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ ㄱ은말도못하게쉽고... ㄴ은ㄱ을이용하여푼다면 ( 역행렬의유일성 ) 쉽게해결할수있다. ㄷ의경우다중의출제의도를지닌다고봐도좋겠다. 식의성질을이용하여모순점을유도할수도있고, 2차식이라는점에초점을맞춘다면인수논의도가능하다. 실제로ㄷ의보기에서 {B-E}@=O이라면 {B-E} 의역행렬은존재하지않아야한다. ㄴ을이용하여행렬에대한 2차식을만들어내면 B@-3B+E=O가등장하고인수가아니므로역행렬이존재할수밖에없다. 따라서ㄷ은모순이다. 11
10 2012 학년도수능교환법칙은스스로확인할수있어야한다! A@+B=3E, A$+B@=7E를만족시킬때, 옳은것만을 에서있는대로고른것은? ( 단, E는단위행렬이다.) [4점] ㄱ. AB=BA ㄴ. B -1 =A@ ㄷ. A^+B#=18E 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 11 2013 학년도 9 월평가원 역행렬이존재하는 {A+B}{A -1 +B -1 }=4E 를만족시킨다. 옳은것만을 에서있는대로고른것은? ( 단, E는단위행렬이다.) [4점] ㄱ. A -1 +B -1 의역행렬이존재한다. ㄴ. A=E이면 B=E이다. ㄷ. AB=2!E이면 A@+B@=E이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ ㄴ에서살짝새로운시도를하지만어렵지는않다. X@=O 라고해서 X 에대한별다른조건이없다면 X=O 을만족시킨다는보장을할수없다. 12
12 2015 학년도사관학교ㄷ에서빅주의! AB=O, {A+2B}{2A-B}=E 를만족시킬때, 에서옳은것만을있는대로고른것은? ( 단, E는단위행렬이고 O는영행렬이다.) [4점] ㄱ. BA=O ㄴ. 행렬 A+B의역행렬이존재한다. ㄷ. A@+B@=2!E이면 B=O이다. 1 ㄴ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 어떻게보면더이상참신할수도없는사골같은유형의문제이지만ㄷ에서새로운시도! 항상답이맞도록의지표현을하면서문제를푸는것이중요하다. 모든조건은문제안에있다!! 13 2014 학년도사관학교 2 차식의인수가아니면역행렬이존재하는것은확실하다. A@-A=O, A-B=E를만족시킬때, 옳은것만을 에서있는대로고른것은? ( 단, O는영행렬이고, E는단위행렬이다.) [3점] ㄱ. AB=O ㄴ. A=E이면 A의역행렬은존재하지않는다. ㄷ. A+B의역행렬이존재한다. 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ ㄱ에서단순식조작을, ㄴ에서곱의조건을물어보고있다. ㄷ에주목하길.. 13
14 2012 학년도 9 월평가원 just 계산일수도있으나...! 행렬 A=[ 1 1 ] 와이차정사각행렬 B가다음조건을만족시킬때, 행렬 A+B의 {1, 2} 성분과 {2, 1} 성분의합은? [4점] a a ( 가 ) B[ 1-1 ]=[0 0 ] 이다. ( 나 ) AB=2A이고, BA=4B이다. 1 2 2 4 3 6 4 8 5 10 15 현우진의실전모의 영행렬이아닌 A@+2A=O, AB-2E=A-B 를만족시킬때, 에서옳은것만을있는대로고른것은? ( 단, O는영행렬이고 E는단위행렬이다.) [4점] ㄱ. 행렬 A+E의역행렬이존재한다. ㄴ. 행렬 B의역행렬이존재한다. ㄷ. 행렬 A 2n +B 2n 의모든성분의합은 4 n 이다. ( 단, n은자연수 ) 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 14
16 현우진의실전모의 AB+AB@=E {A+B}@+{A+B@}@=2E 를만족시킬때, 에서옳은것만을있는대로고른것은? ( 단, E는단위행렬이다 ) [4점] ㄱ. AB=BA ㄴ. A -1 =B+B@ ㄷ. 2A@+{A -1 }@=B# 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 15