논문 05-30-11C-03 한국통신학회논문지 '05-11 Vol.30 No.11C 부분푸리에영역과선형시간- 주파수분포의옮김불변특성 정회원두락루트피에 *, 준회원강현구 **, 정회원윤석호 ***, 준회원이주미 **, 권형문 **, 최상원 **, 종신회원송익호 ** Fractional Fourier Domains and the Shift-Invariance Characteristics of Linear Time-Frequency Distributions Lutfiye Durak* Regular Member, Hyun Gu Kang** Associate Member, Seokho Yoon*** Regular Member, Jumi Lee**, Hyoungmoon Kwon**, Sang Won Choi** Associate Member, Iickho Song** Lifelong Member 요 약 시간영역과주파수영역을사이의공간을뜻하는부분푸리에영역으로 (fractional Fourier domains) 선형시간-주파수분포의옮김불변특성을일반화한다. 다른선형시간- 주파수분포와달리짧은시간푸리에변환은 (short time Fourier transform: STFT) 부분푸리에영역에서크기 (magnitude-wise) 옮김불변을지니는데, 이짧은시간푸리에변환을쓰면분포를좀더쉽게해석할수있다. 특히, 부분푸리에영역에서크기옮김불변인선형분포는짧은시간푸리에변환뿐이라는것을밝힌다. Key Words:short time Fourier transform, shift-invariance, linear distribution, time-frequency, distribution, fractional Fourier transform. ABSTRACT In this paper, we generalize the shift-invariance properties of linear time-frequency distributions to the fractional Fourier domains that interpolate between the time and frequency domains. Magnitude-wise shift invariance in arbitrary fractional Fourier domains distinguishes the short-time Fourier transform (STFT) among all linear time-frequency distributions and simplifies the interpretation of the resultant distribution. We prove that the STFT is the only linear distribution that satisfies the magnitude-wise shift-invariance property in the fractional Fourier domains. Ⅰ. 머리말신호의시간- 주파수성분특성을나타내거나시변주파수성분이있는신호를분석, 처리, 합성할때신호를변환하여시간- 주파수영역에서자주다 룬다. 이때, 가장널리쓰이는시간 -주파수분포가운데하나가짧은시간푸리에변환이다 [1]. 낮은대역단위에너지창문함수를 h(t') 라하면시간함수 x(t) 의짧은시간푸리에변환은 * 일디즈대학교 (lutfiye.durak@gmail.com) ** 한국과학기술원전자전산학과 ({khg, jmlee, kwon, swchoi}@sejong.kaist.ac.kr, i.song@ieee.org) *** 성균관대학교정보통신공학부 (syoon@ece.skku.ac.kr) 논문번호 :KICS2005-02-062, 접수일자 :2005 년 2 월 5 일 이논문은과학기술부에서지원하고한국과학재단이주관하는국가지정연구실사업의지원을받아연구한것입니다. 1060
논문 / 부분푸리에영역과선형시간 - 주파수분포의옮김불변특성 STFT x (t,f)= x(t')h * (t'-t)e - j2πft' dt' (1) 로뜻매김할수있다. 짧은시간푸리에변환은시간영역과주파수영역모두에서선형이고옮김불변인분포이다. 시간옮김또는주파수옮김은신호의위치만바꿀뿐, 신호의시간 -주파수성분은바꾸지않으므로, 시간- 주파수분포가시간영역과주파수영역에서옮김불변인지아닌지는매우중요한성질이다. 옮김불변인시간- 주파수분포를쓰면분포를간단히해석할수있을뿐만아니라, 시간- 주파수영역전체에서해상도가일정하도록신호를분석할수있다. 시간영역과주파수영역에서의옮김불변특성은시간영역과주파수영역사이에있는공간을뜻하는부분푸리에영역에서의옮김불변특성으로일반화할수있다. 가장많이쓰는위그너분포를 (Wigner distribution) 포함하는 2차분포집합인코헨집합은 (Cohen s class) [2] 시간영역과주파수영역에서옮김불변이다. 한편, 선형분포가운데에서는짧은시간푸리에변환만이시간영역과주파수영역에서크기옮김불변임이알려져있고, 2차분포가운데에서는위그너분포만이부분푸리에영역에서옮김불변특성을만족시킨다는것이알려져있다 [3]. 한편, 부분푸리에변환은신호처리뿐만아니라광학, 양자역학, 회절이론, 광전달, 광학신호처리와같은곳에서도많이쓴다 [4-7]. 보기를들면, [8] 에서는연속시간선형부분옮김불변시스템을수식으로나타내었다. 이논문에서는선형시간 -주파수분포에서일반화된크기옮김불변특성을다룬다. 가장일반적인선형분포에서시작하여, 부분푸리에영역에서크기옮김불변인선형시간 -주파수분포를찾아, 부분푸리에영역에서크기옮김불변인선형분포는짧은시간푸리에변환뿐임을보인다. 이논문에서얻은선형시간- 주파수분포와부분푸리에변환사이의관계는실제신호해석과설계기술에널리응용할수있을것이다. Ⅱ. 부분푸리에변환과부분영역옮김불변 시간함수 x(t) 의 a 차부분푸리에변환은 x a (t) =F a {x}(t) = B a(t,t')x(t')dt',-2 <a <2 (2) 인데 [1], 여기서 B a (t,t')= exp { - j π 4 {a+sgn(a)} } sinφ 1/2 exp{jπ(t 2 cotφ-2tt' csc φ+ t' 2 cotφ)} (3) 은 a 차부분푸리에변환핵이고 (kernel), sgn ( ) 은부호함수이다. 곧, a차부분푸리에영역이란 a 차부분푸리에변환된신호들이이루는공간을뜻하는데, a =0일때부분푸리에영역은시간영역을, a =1일때의부분푸리에영역은주파수영역을나타낸다. 부분푸리에영역의보기로그림 1에 a 0 차부분푸리에영역을시간 -주파수평면에나타내었다. 그림 1. a 0 차부분푸리에영역축은시간영역축과각 φ 0 = a 0 π/2 를이룬다고나타낼수있다. 그림 1에서볼수있듯이부분푸리에영역은시간-주파수평면에서시간축과어떤각을이루는영역연속체로 (continuum of domains) 뜻매김할수있다. 이때, a차부분푸리에변환은시간축에서반시계방향으로 φ = aπ/2만큼기울인 a차부분푸리에영역으로신호를변환한다. 곧, 1차부분푸리에변환은널리쓰이는푸리에변환과같고, 0차부분푸리에변환은함수자신을가리킨다. 일반적으로, a차부분푸리에변환은함수가가리키는영역과푸리에변환이가리키는영역사이로함수를변환한다. 한편, [9] 에서는부분푸리에변환을구현할수있도록연속시간함수의이산표본을써서 O(N logn) 번계산으로부분푸리에변환을어림할수있는빠른계산알고리즘을다루었다. 특히, 부분푸리에변환연산자 a a F 는 F 1F a 2 a =F 1 +a 2 를만족시키고, n이정수이면 F 4n 은같음 (identity) 연산자 I 이므로, (2) 에서뜻매김한부분푸리에변 1061
한국통신학회논문지 '05-11 Vol.30 No.11C 환을 a >2 일때에도생각할수있다. 이제, 변환핵이 K(t,f,t') 일때일반적인선형시간- 주파수분포 D x (t,f)= K(t,f,t')x(t')dt' (4) 를생각하자. 선형시간- 주파수분포 (4) 에서 리즈 (Riesz) 정리를 [10] 쓰면, 입력이 x(t) 일때출력은 T{x}(t)= K(t,t')x(t')dt' (10) 이다. 따라서, 입력이충격함수 δ(t) 이면시스템 T 의출력은 D x s a (t,f) = D x (t-ρcosφ,f-ρsinφ) (5) 이면이선형시간- 주파수분포를부분영역옮김불변이라한다. 여기서, x s a (t) = S φ, ρ{x}(t) 는부분영역옮김연산자 S φ, ρ = F - a S 0, ρf a (6) y(t)=t{δ}(t) = K(t,t') δ(t')dt' (11) = K(t,0) 이고, 입력이 δ s a (t)=s φ, ρ{δ}(t) 이면시스템 T 의출력은 (8) 과 (10) 에서 을써서신호 x(t) 를 a 차부분푸리에영역에서 ρ 만큼옮긴것이고, ρ는 a 차부분푸리에영역에서옮김값이다. 한편, (6) 에서연산자 S 0, ρ 는 y s a (t)=t { S φ, ρ{ δ}}(t) = K( t,t')e - j π ( ρ 2 sinφ cos φ -2t' ρ sin φ) δ( t'- ρ cos φ)dt' (12) S 0, ρ{x}(t)=δ(t-ρ) x(t) (7) = x(t-ρ) 로뜻매김한다. 곧, (6) 과 (7) 을바탕으로신호 x(t) 를 a차부분푸리에영역에서 ρ만큼옮긴 x s a (t)=s φ, ρ{x}(t) 를구체적으로얻으면 x s a (t)=s φ, ρ { x}(t) = e jπρ 2 cosφ sinφ K(t,ρ cos φ) 이다. 이제, 시스템 T 가부분푸리에영역에서크기옮김불변이면 (5) 에서 S φ, ρ{t{x}}(t) = T{S φ, ρ{x}}(t) (13) 인데, 이식에서 x(t) 를 δ(t) 로두고 (11) 과 (12) 를쓰면 = F - a S 0, ρ{ F a { x}}( t) = F - a { δ( t- ρ) x a (t)} = e - j π( ρ 2 sinφ cos φ -2t ρ sin φ) x(t-ρ cos φ) (8) S φ, ρ{ K( t,0)}(t) = e jπρ 2 cosφ sinφ K(t,ρ cosφ) (14) 이고위식의왼쪽에 (8) 을쓰면 이다. Ⅲ. 부분푸리에영역에서선형옮김불변시스템 K(t-ρcos φ,0) = K(t,ρcosφ) (15) 이다. 그런데, 시스템 T 의핵은일반적으로 정리 1: 선형시스템 T 가부분푸리에영역에서크기옮김불변이면, 입력이 x(t) 일때이시스템 T의출력을아래와같이쓸수있는함수 θˆ( t) 와 h(t) 가있다. T{x}(t)=e j θˆ ( t ) [h(t) x(t)]. (9) 증명 : 선형시스템 T 의핵을 K(, ) 라두고 K(t,t')=ϱ(t,t')e jθ(t,t') (16) 과같이크기함수 ϱ(t,t') 와위상함수 θ(t,t') 로쓸수있는데, (15) 는 ϱ(t,t')=ϱ(t-t') 임을뜻하므로, 시스템 T 의핵을 K(t,t')=ϱ (t-t')e jθ(t,t') (17) 로쓸수있다. 1062
논문 / 부분푸리에영역과선형시간 - 주파수분포의옮김불변특성 다음에, 위 (17) 에나온위상함수 θ(t,t') 를 θ(t,t')=-ψ(t-t')+ θˆ ( t) (18) 과같이쓸수있음을보이자. 충격함수의선형조합인 x(t)= α 1 δ(t)+α 2 S φ, τ{δ}(t) 가입력일때시스템 T 의출력 y(t) 는 (11) 과 (12) 에서 y( t)=α 1 T{ δ}(t)+α 2 T{ S φ, τ{ δ}}(t) (19) = α 1 K(t,0)+α 2 e jπτ 2 sinφ cos φ K(t,τ cos φ) 이다. 한편, x(t)=α 1 δ(t)+α 2 S φ, τ{δ}(t) 를 a 차부분푸리에영역에서 ρ만큼옮긴 x s a (t) = S φ, ρ{x} (t) 가입력이면시스템 T 의출력 y s a (t) 는 (12) 에서 y s a (t)=t {S φ, ρ{ x}}(t) = α 1 T{ S φ, ρ{ δ}}(t)+α 2 T{S φ, ρ+ τ{ δ}}(t) = α 1 T{ x s a }(t)+α 2 T{ S φ, τ{ x s a }}(t) (20) = α 1 e jπρ 2 sinφ cos φ K(t,ρ cos φ) + α 2 e jπ(ρ + τ) 2 sinφ cos φ K(t,(ρ+τ)cosφ) 이다. 이제, 시스템 T가크기옮김불변이므로 y s a (t) = S φ, ρ {y}(t) 이고, (8), (19), (20) 에서핵은 α 1 e jπρ 2 sinφ cos φ K(t,ρ cos φ) + α 2 e jπ ( ρ + τ) 2 sinφ cos φ K(t,(ρ + τ) cosφ) = α 1 e - j πρ 2 sinφ cos φ + j2πtρ cos φ K(t- ρ cos φ,0) (21) + α 2 e jπ( τ 2 - ρ 2 )sinφcos φ + j2πtρ sin φ K( t - ρ cos φ,τ cos φ) 을만족시킨다. 이때, 식 (17) 을 (21) 에쓰면 α 1 e jπρ 2 sinφ cos φ ϱ( t - ρ cos φ)e jθ ( t,ρ cos φ) +α 2 e jπ ( ρ + τ) 2 sinφ cos φ ϱ( t -(ρ + τ)cosφ) e jθ ( t,(ρ + τ) cos φ) = α 1 e - j πρ 2 sinφ cos φ + j 2πtρ cos φ ϱ( t - ρ cos φ) e jθ ( t - ρ cos φ,0) ϱ(t-(τ + ρ) cosφ)e jθ(t - ρ cos φ,τ cos φ) (22) 를얻는데, 여기서, ϱ(t) 가 0 이아니라두면, t, ρ, τ 를어떻게잡더라도 (22) 를만족시키려면 [πρ 2 sinφcosφ+θ(t,ρcos φ)] -[2πtρsinφ-πρ 2 sinφcos φ+θ(t-ρ cos φ,0)] =[π(ρ+τ) 2 sinφcos φ+θ(t,(ρ+τ) cos φ)] -[π(τ 2 -ρ 2 )sinφcos φ+2πtρsinφ +θ( t-ρ cos φ,τcosφ)] 이어야한다. 식 (23) 을간단히하면, θ( t,ρ cosφ)-θ( t-ρcosφ,0) = θ( t,( ρ+τ) cosφ)-θ( t-ρ cosφ,τcosφ) +2πτρsinφcos φ (23) (24) 가된다. 이제, θ(t,t') 가 (24) 를만족시킨다고두 면, ψ(t,t')= θ(t,t') 인 ψ(t,t') 이존재함을보일 t' 수있다. 따라서, τ 0일때 (24) 는 ψ( t,ρcosφ) =ψ( t-ρcos φ,0) 를뜻하므로, θ(t,t') 가 = ψ(t-ρ cos φ) (25) t' θ (t,t')=ψ(t-t') (26) 을만족시키고이를풀면 θ(t,t')=-ψ(t-t')+ θˆ ( t) (27) 이다. 여기서, ψ(t)= d dt Ψ (t) 이고위상함수 θˆ ( t) 는어떻게도잡을수있다. 곧 (17) 과 (27) 에서시스템 T 의핵은 K(t,t')=ϱ (t- t')e - j Ψ(t-t') e j θˆ ( t ) (28) 과같이쓸수있고, 부분영역옮김불변특성을만족시키는선형시스템의입력과출력관계는 +α 2 e jπ( τ 2 -ρ 2 )sinφ cos φ + j 2πtρ sin φ 1063
한국통신학회논문지 '05-11 Vol.30 No.11C y(t)= K(t,t')x(t')dt' G(f- f')e j θ ( f) e j2πf 't df ' = ϱ (t-t')e - j Ψ(t-t') e j θˆ ( t ) x(t')dt' (29) = κ (t '',f)e j2πf 't'' dt ''e j2πf 't df ' (34) = e j θˆ ( t ) [h(t) x(t)] 로쓸수있다. ( 증명끝 ) 정리 1을어떠한두변수분포 D x (t,f) 에서도말할수있다. 곧, (4) 에서뜻매김한두변수선형분포 D x (t,f) 가변수 t 에서크기옮김불변이면 = κ (t '',f)e j2πf '(t ''-t) dt ''df ' = κ(t,f) 이다. 따라서, 함수 G(f) 의역푸리에변환을 g(t) 라하면 D x (t,f)=e j θˆ ( t, f) κ(t-t',f)x(t')dt' (30) κ(t,f)=e j θ ( f) G(f-f ')e j2πf 't df ' = g(-t)e j2πft e j θ ( f) (35) 이다. 시간- 주파수평면에서신호의에너지분포와관계있는것은시간- 주파수분포의크기이므로, 앞으로는 e j θˆ ( t, f ) 를생각하지않도록한다. 이제, 시간변수 t 와주파수변수 f 의관계를써서, 부분푸리에영역에서크기옮김불변인분포는짧은시간푸리에변환뿐임을보인다. 정리 2: 선형분포가운데, 모든부분푸리에영역에서크기옮김불변인분포는짧은시간푸리에변환뿐이다. 증명 : 어떤분포가부분푸리에영역에서옮김불변이면 (30) 과같은꼴이어야하므로크기옮김불변성질을주파수영역에서다룰수있다. 이제, x(t) 의푸리에변환을 X(f) 라두고, 앞에서말한 θˆ 것처럼위상함수 ( t ) e 는분포 D x (t,f) 의크기를바꾸지않으므로생각하지않으면, (30) 을 D x (t,f)= κ (t-t',f) X(f ')e j2πf 't' df 'dt' (31) = e j2πft Γ (f,f ')e - j 2π(f-f ')t X(f ')df ' 과같이다시쓸수있다. 여기서, Γ(f,f ') 는 Γ(f,f ')= κ (t'',f)e - j 2πf 't'' dt'' (32) 이다. 그런데, 분포 D x (t,f) 가주파수영역에서크기옮김불변이면 Γ(f,f ')=G(f-f ')e j θ ( f) (33) 이어야하므로, (32) 와 (33) 에서 로쓸수있다. 앞에서도말한것처럼위상함수 e j2πft θˆ 와 e ( t ) 는분포 D x (t,f) 의크기를바꾸지않으므로생각하지않는다. 그러면, 크기옮김불변선형시간- 주파수분포는 D x (t,f)= g(t'-t)x(t')e - j 2πft' dt' (36) 이라쓸수있다. 식 (36) 은핵이 g(t) 인짧은시간푸리에변환 (1) 과같은꼴이다. 곧, 선형분포가운데에서짧은시간푸리에변환만이모든부분푸리에영역에서선형이고크기옮김불변이다. ( 증명끝 ) 한편, 함수 D(u,v) 의회전연산자를 R φ{ D( u,v)} = D(u cos φ+vsinφ,-u sinφ+v cos φ) (37) 이라둘때, x(t) 를어떻게잡더라도시간-주파수분포 D x (t,f) 가 D x a (t,f) = R - φ{d x (t,f)} (38) 이면이시간- 주파수분포는회전특성을만족시킨다고한다 [11]. 회전특성은다음과같은까닭에서실제로매우중요하다 [12]. 곧, 어떤분포가회전특성을만족시키면신호의시간- 주파수영역특성은어떤부분푸리에영역에서도바뀌지않는다는것이다. 따라서, 신호를시간영역과주파수영역에나타내거나어떤부분푸리에영역에나타내어도마찬가지이다. 그런데, [3] 에서시간-주파수분포의회전특성을만족시키는옮김불변분포는에르미트- 가우스 (Hermit-Gaussian) 핵을쓴짧은시간푸리에변환뿐임을보였다. 여기서, 결국회전특성을정리 2 1064
논문 / 부분푸리에영역과선형시간 - 주파수분포의옮김불변특성 와합치면, 부분푸리에영역에서선형이며옮김불변인시간 -주파수분포가운데, 회전특성을만족시키는변환은에르미트- 가우스핵을쓴짧은시간푸리에변환뿐이라는것을알수있다. Ⅳ. 보기 먼저, 시간과주파수는다른단위이므로, 계산하기에앞서서시간- 주파수평면의차원을표준화해야 (scaling) 한다. 시간- 주파수영역에서신호를시간영역구간 [- t/2, t/2] 과주파수영역은구간 [- f/2, f/2] 안에서나타낸다고두자. 그러면, 차원이시간인표준화변수 s 를써서시간과주파수를각각 t/s 와 fs 로표준화한새로운좌표변수를쓸수있다. 이때, 신호는 t/s 축에서본길이가 t/s이고 fs 축에서본길이는 fs 인영역에나타난다. 따라서, s = t/ f로잡으면 t/s 축에서본길이와 fs 축에서본길이가둘다 t f로같고차원이없다. 수치보기에서는, 신호를 t/s축이나 fs축에서사이가 1/ N 인표본 N = t f 개로꽤잘어림할수있다. 이논문에서는, 신호를차원표준화했다고두고, 모든좌표를차원이없는양으로나타내었다. 짧은시간푸리에변환의부분푸리에영역옮김불변특성을그림 2에나타내었다. 이그림은신호가여러성분주파수가빠르게바뀌는 (chirp) 신호인 x( t)= 1 3 exp { π t 2 18 } 2 exp {jπ tan -1 (φ k ) t 2 } k =1 (39) x 0.5 (t) 와핵이 h(t)=exp{- πt 2 /3} 일때 x 0.5 (t) 의짧은시간푸리에변환을그림 3(b) 와 (d) 에각각보였다. 이그림에서 h(t) =exp{- πt 2 /3} 을핵으로쓰면회전특성을만족시키지못한다는것을쉽게알수있다. 곧, x 0.5 (t) 의짧은시간푸리에변환은 x(t) 의짧은시간푸리에변환을돌린꼴이아니다. 한편, 그림 4에서보인것처럼, 에르미트-가우스핵 h 0 (t) =exp{-πt 2 } 을쓰면회전특성을얻을수있다. 곧, 핵이 h 0 (t)= exp{-πt 2 } 일때 x 0.5 (t) 의짧은시간푸리에변환은 x(t) 의짧은시간푸리에변환을 φ = π/4만큼돌린꼴임을그림 4(a) 와 (b) 에서바로알수있다. 그림 2. (a) 신호 x( t). (b) 신호 x( t) 의짧은시간푸리에변환. (c) a =0.5 이고 ρ =4 일때신호 S φ, ρ{ x}(t). (d) S φ, ρ{ x}(t) 의짧은시간푸리에변환. 일때인데 φ 1 =π/6 이고 φ 2 =-π/6 이다. 신호 x(t) 와 x(t) 의짧은시간푸리에변환을그림 2(a) 와 (b) 에각각보였다. 신호 x(t) 를차수 a =0.5 인 ( 곧, φ = π/4인 ) 부분푸리에영역에서 ρ =4만큼옮긴신호 S φ, ρ{ x}(t) 와 S φ, ρ{ x}(t) 의짧은시간푸리에변환을그림 2(c) 와 (d) 에보였다. 이그림에서 x(t) 는차수 a = 0.5 인부분푸리에영역에서위치만바뀌었을뿐, 그시간- 주파수성분은처음과마찬가지라는것을알수있다. 짧은시간푸리에변환의회전특성은그림 3과 4 에나타나있다. 신호 x(t) 와핵이 h(t) =exp {- πt 2 /3} 일때 x(t) 의짧은시간푸리에변환을그림 3(a) 와 (c) 에각각보였다. 비슷하게, 신호 그림 3. (a) 신호 x( t) 의실수부분. (b) 신호 x 0.5 (t) 의실 - π t 수부분. (c) 핵이 h(t)=e 2 /3 일때신호 x( t) 의짧은 - π t 시간푸리에변환. (d) 핵이 h(t)=e 2 /3 일때 x 0.5 (t) 의짧은시간푸리에변환. 1065
한국통신학회논문지 '05-11 Vol.30 No.11C 그림 4. (a) 0 차에르미트 - 가우스핵을썼을때신호 x( t) 의짧은시간푸리에변환. (b) 0 차에르미트 - 가우스핵을썼을때 x 0.5 (t) 의짧은시간푸리에변환. Ⅴ. 맺음말 이논문에서는선형시간- 주파수분포의크기옮김불변특성을부분푸리에영역에서해석하였다. 위그너분포가 2차분포에서특별한뜻이있듯이, 짧은시간푸리에변환은부분푸리에영역옮김불변특성을지닌다. 특히, 부분영역옮김불변을만족시키는선형분포는짧은시간푸리에변환뿐임을보였다. 또한, 모든부분푸리에영역에서선형이고옮김불변인시간- 주파수분포가운데, 회전특성을만족시키는변환은에르미트 -가우스핵을쓴짧은시간푸리에변환뿐임을보였다. 신호는어떤부분푸리에영역에서든똑같이나타낼수있으므로, 옮김불변과회전특성을써시간- 주파수분포를쉽게해석할수있다. 참고문헌 [1] X. Ouyang and M. G. Amin, Short-time Fourier transform receiver for non stationary interference excision in direct sequence spread spectrum communications, IEEE Trans. Signal Process., vol. 49, pp. 851-863, Apr. 2001. [2] L. Cohen, Time-frequency distributions - A review, Proc. IEEE, vol. 77, pp. 941-981, July 1989. [3] L. Durak and O. Arikan, Short-time Fourier transform: Two fundamental properties and an optimal implementation, IEEE Trans. Signal Process., vol. 51, pp. 1231-1242, May 2003. [4] V. Namias, The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics, J. Inst. Math. Appl., vol. 25, pp. 241-265, Apr. 1980. [5] 배장근, 전상우, 김철수, 김정우, 도양회, 김수중, 적외선영상구성을위한주파수- 시간합성회전격자의제안, 한국통신학회논문지, 20 권, 409-419쪽, 1995년 2월. [6] H. M. Ozaktas and D. Mendlovic, Fractional Fourier optics, J. Opt. Soc. Am. A, vol. 12, pp. 743-751, Apr. 1995. [7] 박형근, 주양익, 김용석, 차균현, 시간주파수다이버시티를위한분할된확산코드를이용한멀티케리어 CDMA 시스템, 한국통신학회논문지, 27권, 569-578쪽, 2002년 6월. [8] O. Akay, Linear fractional shift invariant systems, Proc. Seventh Int. Symp. Signal Proc., Appl., Paris, France, vol. 1, pp. 585-588, July 2003. [9] H. M. Ozaktas, O. Arikan, M. A. Kutay, and G. Bozdagi, Digital computation of the fractional Fourier transform, IEEE Trans. Signal Process., vol. 44, pp. 2141-2150, Sep. 1996. [10] A. W. Naylor and G. R. Sell, Linear Operator Theory in Engineering and Science, New York: Springer-Verlag, 1982. [11] L. B. Almedia, The fractional Fourier transform and time-frequency representations, IEEE Trans. Signal Process., vol. 42, pp. 3084-3091, Nov. 1994. [12] Z. Bao, G. Wang, and L. Luo, Inverse synthetic aperture radar imaging of maneuvering targets, Opt. Eng., vol. 37, pp. 1582-1588, May 1998. 두락루트피에 (Lutfiye Durak) 정회원 1996년 6월빌켄트 (Bilkent) 대학교 ( 터키 ) 공학사 1998년 10월빌켄트대학교 ( 터키 ) 공학석사 2003년 12월빌켄트대학교 ( 터키 ) 공학박사 2004년 2월 ~2005년 2월한국과학기술원박사후연구원 2005년 3월 ~ 현재일디즈대학교 (Yildiz Technical University) 조교수 < 관심분야 > 디지틀신호처리, 시간-주파수해석, 통계학적신호처리 1066
논문 / 부분푸리에영역과선형시간 - 주파수분포의옮김불변특성 강현구 (Hyun Gu Kang) 준회원 2004년 8월고려대학교전자및정보공학부공학사 2004년 9월 ~ 현재한국과학기술원전자전산학과석사과정 < 관심분야 > 이동통신, 정보이론, 검파와추정윤석호 (Seokho Yoon) 정회원한국통신학회논문지제30권 4C호참조이주미 (Jumi Lee) 준회원 1998년 2월이화여자대학교수학과이학사, 전자공학과공학사 2000년 2월한국과학기술원전자전산학과공학석사 2000년 3월 ~ 현재한국과학기술원전자전산학과박사과정 < 관심분야 > 이동통신, 정보이론 권형문 (Hyoungmoon Kwon) 준회원 2000년 2월연세대학교기계전자공학부전기전자전공 ( 공학사 ) 2002년 3월한국과학기술원전자전산학과 ( 공학석사 ) 2002년 3월 ~ 현재한국과학기술원전자전산학과박사과정 < 관심분야 > 이동통신, 통계학적신호처리, 검파와추정최상원 (Sang Won Choi) 정회원 2002년 2월고려대학교전기전자전파공학부공학사 2004년 2월한국과학기술원전자전산학과공학석사 2004년 3월 ~ 현재한국과학기술원전자전산학과박사과정 < 관심분야 > 이동통신, 통계학적신호처리, 검파와추정송익호 (Iickho Song) 종신회원한국통신학회논문지제30권 5C호참조 1067