6.6 전단중심의개념 - 단면이 대칭평면이 아닐 경우 비틀림 없이 보가 굽어지기 위해서는 하중이 단면의 전단중심 (Shear Center) 에작용하여야함 1 축 대칭단면을가지는캔틸레버보 ( 자유단에하중 P 작용 ) - 좌표축의원점 = 도심 - -축이대칭축이며 xy 평면이굽힘평면 - 부재단면에는 P 에의해 해 0 발생 ( 그림 (b) 참조 ) - - P 는 S 를통 통과하여야비틀림이발생하지않음 S : 전단중심 (Shear Center) 혹은 굽힘중심 (Center o Flexure) 이라고부름 Page 06-4
하중이 S 가아닌 A 점에작용하는경우 비틀림모멘트 T 가추가로작용함 ( 전단흐름에의한 모멘트때문, 6.9 참조 ) 축대칭보 ( 그림 (a)) - 전단중심 S 와도심 C 는일치함 - 도심에작용하는하중 P 는비틀림 없이굽힘을일으킴 1축대칭보 ( 그림 (b)) - 전단중심 S 와도심 C 는모두 y 축 ( 대칭축 ) 상의서로다른점에 - 하 위치함 하중 P 를 y y 축성분과 축성분으로분해하여해석함 Page 06-43
비대칭단면 - 도심 C 를찾고, - 주축 y 축을찾고, - 하중을 y 축 성분과 축성분으로 분해하여해석함 ( 일반축에대하여일반이론을사용하는것도가능함 ) 전단 중심의계산방법 - 축대칭인 - 1 축대칭인 경우 도심과일치 경우 대칭축상에서 위치를결정하여야함 - 일반단면 축의위치를모두계산하여야함 - 일부공학편람에전단중심계산공식제공 - 열린단면 : WF 보, 채널, 앵글, T 형보, Z 형보 상용구조용강재 ( 비틀림에취약 ) Page 06-44
6.7 두께가얇은열린단면 보의전단응력 전단응력구하는공식 ( 직사각형보, 원형보, 플랜지를 여기서 Q 는전단응력을구해야하는바깥쪽단면의 1 차모멘트이다. VQ Ib 갖는웨브 ), ( 식 5.83 에서유도 ) (6-41) 얇은 두께의열린단면 (thin-walled open cross section) - 벽두께가단면의높이와폭에비하여작고, - 속이빈상자형보의경우와같이닫힌단면이 아닌열린형태의단면 구조용단면 (Structural section) 또는프로파일 단면 (proile section) Page 06-45
- 임의단면의중앙선 - y 와 선 mm 축은주도심축 - 하중 P 는전단중심 C 지나서 y 축에평행 축이중립축이 되고, 굽힘은 xy 평면에에서발생함. 보의임의의점에서의수직응력은 F s 1 0 F 0 s 1 x da y da I 0 : s x da I y x I s 0 (6-4) : ad 면에작용하는합력 y da : bc 면에작 작용하는합력 Page 06-46
ad 단면의모멘트가더크기때문에 F1 F이며평형을위하여전단응력 가 cd 면에필요함따라서 tdxf F1 0 또는 tdxf1 F 1 1 s yda dx I 0 t ( )/ dx는굽힘모멘트의변화율 d / dx 이며단면에작용하는전단력과같음, 여기서 1 여기서 d dx dx 1 V Vy 는 y 축에평행하며 y 축의음의방향을양으로함 (4 장의부호규약 ) V 따라서전단응력은 0 y s y It V Q yda It, 여기서 y Q s 0 yda - 전단응력은단면의중앙선을따라단면의가장자리에평행하게작용함. - 이응력은벽의두께 t 에걸쳐일정한세기를갖는다고가정함. - 두께가얇은경우에유효하며, 벽의두께는일정할필요가없고 s 의함수로변화가능. Page 06-47
전단흐름 (Shear Flow) - 그점에서전단응력과두께의곱. VQ y t I - 여기서전단흐름 는 Vy 와 I 가일정하기때문에 - 단면의위와아래의가장자리에서 0 Q t 0 Q 에정비례함. - 축에평행한하중에의한굽힙의경우 ( 전단중심통과하는경우 ) x 평면이굽힘평면 VQ y VQ y 동일한해석방법에의해 It, t I (y 축이중립축 ) y y 여기서 V 는 축에평행한전단력, Qy 는 y 축에대한 1 차모멤트임. 전단력이전단중심을지나작용하고, 주도심축의하나에평행한경우적용가능함 - 전단력이경사지게작용하면, 주축에평행한성분으로분해하여각각해석하여중첩함. Page 06-48
6.8 WF 보의전단응력 상부 플랜지의전단응력 - 단면 bb 에서의 전단응력고려 - 거리 - 점 a - 이면적의도심으로부터중립축까지의거리는 h / - 점 a - 따라 s 는 a 를 a 와단면 bb a 와단면 bb Q st 서 원점으로측정 b 사이면적은 b 사이면적은 h / st 은 1 st 은 1 Page 06-49
- 단면 bb 에서의플랜지의전단응력은 VQ y Pst ( h/) shp It It I - 응력의방향은그림 (c) 를고려함. - 방향은그림 (d) 에도시함. - 응력은점 a ( s 0) 에서 0 으로부터 s b/ bhp bht P, 이에대응하는전단흐름은 1 1t 4I - 1 4I 에서최대값 1 까지변화함. - 상부플랜지의좌측부분상의점 c 로부터우측으로 s 를측정하여플랜지좌측계산. Page 06-50
제 6장보의응력 ( 심화주제 ) 웨브의전단응력 - 웹의상단을수평으로잘라낸부분 ( 플랜지와웨브의접합부 ) 을고려하면, Q bt h/ - 이에대응하는전단응력은 bht P bht P, 전단흐름은 tw (6-51, 5) It I - 주목!! 1 플랜지좌 / 우의전단흐름이합해져서웹으로전단됨. - 단면 dd 에서는 w bt h h h/r bt h t w h Q r( tw) r 4 - 따라서중립축으로부터거리 r 떨어진웹의전단응력은 - r h/ - 0 w bt h h P r tw 4 I 일때이식은 (6-51, 5) 로축소됨. r 일때최대전단응력이구해짐. max bt h Ph tw 4I - 모든계산은단면의중앙선치수를근거로계산 근사계산값임 (c. 5.10 절결과 ) - 웨브의전단응력은포물선분포, 그리고 - h b이고 t t max w 인값을취하면 max htw 1 4 bt / 1.5 (6-53) Page 06-51
하부플랜지의전단응력 - 하부플랜지도같은방법으로해석가능한. 일반적인유의사항 - 상 / 하부플랜지의전단력합계는서로상쇄됨. - 웨브에서의전단응력은합력 R 을가지며, 전단응력을웨브의높이에걸쳐적분하여구함. bt h h P bt hht P R da t dr t r dr h/ h/ w 0 w w 0 tw 4 I tw 6 I (6-56) - I-Beam 의관성모멘트는 3 th bt w h I, 윗식에대입하면, R P 1 Page 06-5
6.9 두께가얇은열린단면의전단중심 채널 단면 - 플랜지의최대전단응력을 - 따라서플랜지의최대전단응력은 1 - 웨브의상부에서의응력은 - 중립축에서 면적의 1 차 구하기위해 (I-형보와 은 Vy Q It 모멘트는 Q VQ y It w w bt hv ti y 동일 ); bhv I bt h ht w h Q bt 4 y Q bt h / htw h 4 Page 06-53
- 따라서최대전단응력은 max - 각플랜지에걸리는수평전단력 VQ bt h hv It t 4 I y y w w F 1 1 ( ) hb t Vy b t 4I ( 그림 (b) 의삼각형면적 ) - 웹의수직력은사각형면적 + 포물선의면적 - 즉 - 여기에 - 두개의 1 3 th ( max ) w F htw htw 3 1 bh t 3 th bt w h I 를대입하면 F Vy 1 F 과 F ( ) V y - 즉 Fh 1 Fe 0 V I ( 예상된결과 ) 은전단중심에대해비틀림을유발하지않아야함. bht 3bt, 이식을풀면, 전단중심의위치는 e 4I ht 6bt y w Page 06-54
앵글 단면 - bb 단면의 - 단면끝에서 - 여기서 - 그 Q b s / st ; ( 면적 s 떨어진점의전단응력은 tb tb I I BB 6 3 그러므로 3Vs y s b 3 bt 3 3 적중립축에서면적의도심거리 ) VyQ I t ( 부록 D 의경우 4 의 Vs y s b I 45 o 인경우 ) Page 06-55
- 최대전단응력은 s b 에서발생함 max - 각변의전단력은 max V y F ( b )( t ) 3 - 힘 F 의수평성분은서로상쇄 3 V y bt - 수직성분은 F/ V y /, 즉수직합력은전단력 Vy 와같다. - 합력은두개의힘 F 의작용선의교차점을통과 전단중심 S 는앵글두변의교차점 Page 06-56
두개의좁은직사각형을접합하여만든단면 - 각단면의합력을고려하면쉽게 S 를구할수 있음. Z 형 단면 Page 06-57
예제 6-8 문제전단중심의위치구하기풀이 - 전단중심은 축상에위치함. - 점 a 로부터 s 의거리에위치한점의단면 bb 를고려하자. - 점 a 와단면 bb 사이의단면적의 1차모멘트는면적요소 da 를 적분하여구할수 있다. - Q - 단면 bb 에서의전단응력은 - 여기서 yda ( r cos )( tr d) r t sin 0 Vy Q Vr y sin I t I - 확인 : 0 I rt 3 / ( 부 또는 부록 D 의경우, 3) 을 일때 0 대입하여 sin V y rt Page 06-58
- / 일때최대전단응력발생 - 전단응력의합력은수직전단력 V y - 중심 O 에대한전단응력의모멘트 0 는전단력 - 즉 0 Ve y (g) - da 요소에의한모멘트는 0 - 전단응력에의한모멘트는 0 0 - (g) 에대입하여 V y ( 전단중심 S 통과 ) 의모멘트와동일. Vysin da rvysind d r( da) t rvysin d 4rVy d 0 0 4r e 1.7r V y Page 06-59
*6.10 탄소성굽힘 - 선형영역을넘어서는하중에 대한해석 - 그림과같은탄소성거동을가정 - 구조용강재 ( 변형경화는무시) - 변형경화는강도의증가를일으키므로 이를고려할경우부담할수있는모멘트가 증가 항복 모멘트 중립축에서가장멀리떨어진점 c 가 항복응력에도달할때의모멘트 I c S 항복모멘트 Page 06-60
소성모멘트와중립축 (c): 최대 변형률이항복변형률 에도달함 : 모멘트의 크기는항복모멘트 가됨 (d)(e): 최대변형률은계속증가함 - 보의중앙부 ( 탄성핵심부 ) 는탄성을유지하나바깥 - 축이대칭축이아니면, 중립축은도심이아님 () 보전체가완전소성상태가된경우 영역은완전소성상태 ( 응력은 을유지 ) - 최대모멘트저항능력에도달함 ( 이때의모멘트를소성모멘트 - 모든단면의응력값이 이됨. P 라고 함 ) - 최대변형률은 항복변형률 보다매우커짐 * 모든경우변형률은선형을유지함. Page 06-61
중립축은축방향힘의평형으로부터, T A C A 1 A 1 A / A 즉, 완전소성상태의 중립축은단면을 두개의같은면적으로나누어서 구함. 소성모멘트는모멘트평형조건으로부터, P 혹은 P A Ay ( ( y1a1) ( ya) Cy y da Ty 1 A 1 ( ) y da ( 1 Ayy ) y da A 1 y ) Page 06-6
소성계수및형상계수 위의식에서 P Z Z Ay ( y) 1 를단면에대한소성계수로정의하면, 소성모멘트 / 항복모멘트비율 형상계수 (shape actor) 라고부름 ( 단면형태만의함수 ) P Z S - 항복이처음시작된후의보의예비강도의척도 - 재료가중립축가까이있으면그값이커짐 (e.g. 중실원형단면 ) - 재료가중립축멀리있으면그값이작아짐 (e.g. WF 단면 ) Page 06-63
직사각형단면보 단면계수는 bh S 6 따라서항복모멘트 bh 6 y y 1 h 4 이므로 소성계수는 Z A( y1 y ) bh h h bh 4 4 4 소성모멘트형상계수는 P P bh 4 Z 3 S Page 06-64
C P T 1 1 h b e 인경우의고찰 C T C 1 e b h e C bh 3 e 6 h 4e h b e h be 4e e 3 3 3 e h P Page 06-65
Check: e h/일때 Check: 0 e 일때 3 / P 위식을 e 에대해풀어쓰면, 굽힘모멘트를알때탄성핵심부의크기를구할수있음 13 e h Check: 이면 e h/ Check: 3 /이면 e 0 P Page 06-66
WF 보 h t h 1 h Z bt ( tw) t t h t 1 bt ( ht ) tw ( 4 bh b tw)( h t 1 1 t 3 1 3 h t w h t bt bt 1 S h Z S WF 보에대한 Z 값은 AISC매뉴얼 ( 혹은부록의단면표 ) 에있음보통 WF 보의 1.1 ~ 1. ) Page 06-67
예제 6-9 문제원형단면에대한항복모멘트 / 소성계수 / 소성모멘트 / 형상계수구하기풀이 I ( d 4 /64) d c d / 3 A d d y1 y ( 부록 4 3 Ay ( 1 Z y ) d 3 6 3 d P Z 6 P 16 1.70 3 3 록 D 의경우-9/10) Page 06-68
예제 6-10 문제 탄소성재 플랜지는항복상태, b 5.0 재료 ( 33 ksi) 의박 in, b1 4.0 박스형보 웨브는선형탄성거동일 in, h 9.0 in, h 7.5 in 1 때 구하기 Page 06-69
풀이 모멘트를 부분으로나누어서생각함 (1) 탄성핵심부웨브의모멘트 () 플랜지에서의항복응력 에의한모멘트 S 1 (b b1) h1 6 1 Page 06-70
( b b ) h S 6 1 1 1 1 플랜지부분의응력에대한모멘트를구하기위한플랜지에서의합력 F 는 F h h 1 b hh1 b( h h1 ) F 4 1 3 bh ( b b1) h1 1 1330 k-in 수치를대입하면, 주 : 이예제에서 1196 k-in, 1485 k-in ( 문제 6.10-13) 에서구해짐 P 이예제의 은 와 P 사이의값이다. Page 06-71