< 2017 수능가형 29 번 > 한모서리의길이가 인정사면체 에서삼각형 의무게중심을, 선분 의중점을 라하자. 정사면체 의한면 위의점 에대하여두벡터 와 가서로수직일때, 의최댓값을구하시오. < 둘째날 > 정사면체의성질은여러가지가있습니다. 정사면체의경우꼭짓점은 개, 모서리는 개, 면은 개가있는데이것도하나의성질이라고할수있습니다. 계속강조하지만우선이것은 정사면체 를관찰하여찾은것입니다. 그런데수학적활동은여기서그치는것이아니라한걸음더나아가는것입니다. 그것은그 개수 들의 관계 를생각해보는것입니다. 왜냐하면정사면체를이루는점, 선, 면은서로 관계 가있기때문에당연히그 개수 도어떤관계를갖고있을것이기때문입니다. 정사면체라는용어가의미하듯면이 개임은알수있습니다. 그렇다면이 개의면에서 모서리 ( 선분 ) 의개수를 이끌어낼수 없을까요? 이렇게생각하면우선정사면체의각면이어떤도형인지를생각해야할것입니다. 왜냐하면면이생긴모양에따라서 선분 의개수가결정될것이기때문입니다. 정사면체의모든면은 정삼각형 입니다. 즉 선분 개로이루어져있습니다. 그렇다면다 음의 추론 ( 짐작 ) 은어떤가요? 정사면체의선분의개수 정사면체를이루는정삼각형의개수 우리는이추론이틀렸음은 관찰 을통하여이미알고있습니다. 그럼이 공식 은어디가잘못되었을까요? 정사면체를이루는정삼각형은서로떨어져존재하는것이아니라 모서리 를 공유 하고있기때문임을알수있습니다. 즉위와같은공식으로모서리의개수를구하면 한 모서리가여러번세어지게될것입니다. 그렇다면이제제대로된공식을만들어보면어떻게될까요? 정사면체의선분의개수 정사면체를이루는정삼각형의개수 --- 1 이번에는정사면체의꼭짓점의개수는? 정사면체의꼭짓점의개수 = 정사면체의모서리의개수 이렇게하지는않을것입니다. 선분은양끝점을갖고있으므로 가틀린것은아니지
만우리는이미그렇게하면 중복 되어서세어짐을알고있기때문입니다. 정사면체의꼭짓점의개수 = 정사면체의모서리의개수 역시틀린공식임을알수있습니다. 이것은모서리의개수를구할때사용한 공식 을 기계적으로적용 했기때문입니다. 공식 1 에서 를한이유는한모서리가각각 번 씩중복되기때문입니다. 그럼이번에는꼭짓점은몇번중복되어서세어질까요? 정사면체의꼭짓점의개수 = 정사면체의모서리의개수 --- 2 이렇게해서 관찰 을통하여정사면체의면이 개, 모서리가 개, 꼭짓점이 개라는사실 을 아는것 에서더나아가서왜그렇게되는가를생각해서두개의공식을이끌어내었습니다. 이런 과정 을수학적활동이라고하는것입니다. 이런과정을통해서얻은 결론 의암기는무의미합니다. 교육과정에서중요한부분이라면때가되면배우고, 특히우리현실에서는조금은지겨울정도로반복하여익히게될것입니다. 뿐만아니라이런결론자체는검색하면금방찾을수있는것일뿐입니다. 사실수학적활동은여기서그치는것이아닙니다. 그렇다면? 네, 가능한수준에서 일반 화 하는것입니다. 일반화란이제이런 공식 을만들어보겠다고생각하는것입니다. 정 면체의꼭짓점의개수, 모서리의개수, 면의개수의관계는? 나아가서는 면체의꼭짓점의개수, 모서리의개수, 면의개수의관계는? 수학적활동의가장핵심은이런과정을거치면서 해결해야할문제 를만들어내는것입 니다. 어떤문제는해결될것이고, 어떤문제는해결하지못할것입니다. 심지어어떤문 제는 인류 가아직해결하지못한문제일수도있습니다. 그것이 발전 인것입니다. 여기서한번생각해보기바랍니다. 어떤다면체가있을때그다면체의꼭짓점의개수, 모서리의개수, 면의개수사이에 어떤관계가있는가? 참고로이문제는현대수학에서가장어렵다는 위상수학 에서다루는수준의문제입니 다. 고등학교과정에서는다면체에대한조건을매우제한해야만해결이가능하다고할수 있으며, 이것도교육과정에서는다루지않습니다.
그럼이런의문이있을수있습니다. 수학적활동은어느정도까지나아갈것인가? 제한은없습니다. 스스로문제를만들어내고, 문제를해결하는과정에서지혜가만들어질것입니다. 적절한수준에서유보할것은유보하고, 훗날의과제로남겨둘것은남겨두고, 도전을계속할것은계속하고. 개인적으로는믿지않는일화이긴하지만, 인류역사상가장위대한천재중의한사람으로평가되는 알버트아인슈타인 은그가 어린이 였을때, 내가빛의속도로달리게되면세상이어떻게보일까? 라는의문을품었다고합니다. 당연히당장에해결할수없었을것입니다. 하지만 성장 해서어린시절부터품었던그의문을해결했고, 그위대한 특수상대성이론 이탄생합니다. 그러니반대로이런문제들을서둘러해결할어떤이유도없습니다. 시험을위한공부를해야하는형편을고려하면교육과정에서는언제어떻게배우는지정도만알면될것이고, 사실그것도알필요가없습니다. 그저학교에서진행되는수업을성실하게따라가면만약시험을위해서해결해야할문제라면때가되면자연스럽게해결되고있을것입니다. 정사면체를만들어서다른몇가지성질을더찾았다면이제그것은여러분에게남겨둡니 다. 우리는이제다시 도전하는 문제로복귀해서문제를해결하기위하여필요한것을더 알아볼차례입니다. 문제를해결하기위해서는문제를읽어나갈때, 제시된수학적용어의성질이중요한것이아니라 정의 ( 약속 ) 가중요할뿐입니다. 문제가무엇을묻고있는가에따라서그정의로부터이끌어내야할성질이어떤것인지를결정할수있기때문입니다. 지금문제에서는정사면체의점, 선, 면의개수의관계는필요하지않습니다. 문제를해결하기위해서는정사면체가갖고있는어떤성질을이끌어내야할것인지는이제주어진용어에대하여약속을알고나서문제를어떻게해결할것인가를생각하는과정에서찾아볼것입니다. (4) 정삼각형의무게중심 삼각형의 무게중심 에대해서는현교과과정에서는중학교수학 2에서배우게되어있습니다. 사실 무게중심 이라는용어는 물리 와연관이되어있습니다. 이주제도생각해볼내용은매우많습니다. 하지만이제는해결해야할문제에제한하고정리된약속만받아들이기로하겠습니다. 삼각형의한꼭짓점과마주보는변의중점을이은선분을중선이라고하고삼각형의세 중선이만나는점을무게중심이라고한다. 선분의중점은선분의길이를 로나누는점입니다. 중점이기도합니다. 사실선분 의무게중심은그 문제에서주어진정사면체상황을이제표현해보면다음과같습니다.
(5) 벡터 벡터는 크기와방향 을갖는어떤수학적개념입니다. 그런데이문제를해결하기위해서 는벡터개념에대한어려운이해를필요로하지않습니다. 이럴경우이해된수준에서문 제를해결하는것으로충분합니다. 벡터 와 가서로수직이다. 아무튼선분 와선분 가수직임을뜻하는것으로보입니다. 졌지만지금의경우에는 수직 이기때문에큰관계는없습니다. 화살표방향이주어 일단이런정도로이해하 고넘어가도록합니다. 만약에이수준의이해로문제해결이잘안된다면다시화살표방 향에대한이해를찾아보면될것입니다. 의최댓값 점 는고정된점이고, 점 는삼각형 내부에있는임의의점입니다. 표현의뜻하는바는선분 의길이라는짐작이가능합니다. 실제로검색해보면 따라서이 는벡터 의크기를나타내는표현임을알수있습니다. 갖는다고했으니그때의 크기 를뜻하는것임도짐작할수있습니다. 벡터란것이크기와방향을 문제가묻고있는것을알기위해서필요한수학용어에대한이해를이정도로충분합니 다. 이제드디어문제를해결해볼차례입니다.
수놀음 에서의수학활동 ( 알파고수학 ) 에서제일먼저권고하는해결방법은? 네. 직접관찰, 조사하는것입니다. 점 와점 는그위치가결정되어있습니다. 즉선분 는결정되어있습니다. 그렇다면우리가할일은간단합니다. 삼각형 안에점하나를가정하고그때선분 와 선분 가수직이되는가를 관찰 하면됩니다. 필요하면각도기나주변에서쉽게찾을수있는 직각 을갖고있는도구를이용하면됩니다. 그렇게해서 (1) 삼각형 안에있는점중에서선분 와선분 가수직이되는점 들 을찾아 보면됩니다. (2) 이제그렇게찾은점들중에서어떨경우에선분 의길이가제일최대가될것인지를찾아보면됩니다. (3) 마지막으로그때선분 의길이는어떻게계산할것인지를생각해보면됩니다. (1)/(2) 번은여러번반복하면서관찰, 측정해보면될것입니다. (3) 은마땅한계산방법을 찾지못한다고해도역시 측정 하면됩니다. 이문제의정답은 입니다. 필요한것은? 수학적재능? 아닙니다. 처음에틀릴수도있습니다. 그러면다시해보면됩니다. 필요한것은오로지끈기와인내일뿐입니다. 그렇게문제를해결하고나서이제관찰, 조사, 측정이아니라다른방법으로 도 문제를해결하는방법을수학적개념과성질을이용하여찾아가면될것입니다. 문제는 관찰, 조사, 측정 을하는과정이없으면그이후의과정은 사상누각 이될가능성만커지는것입니다. 끈기와인내, 그것을가능하게해주는의지가부족하면수학을잘할수없다는것은옳은말입니다. 사실은수학뿐아니라적어도 합리적 이고 이성적 으로생각하고행동을결정해야하는모든분야에서성과를내기는어렵습니다. 하지만 수학적재능 이없으면수학을잘할수없다는것은틀린말입니다. 역사적으로이름을남길만큼 유명한수학자 는수학적재능을필요로할수있습니다. ( 사실은그런수학자도노력파 >>>> 재능파입니다. ) 하지만우리는이사회가필요로하는인간의기본적소양으로써의수학을공부하는것입니다. 그러한수준은 수학적재능 과는전혀관계가없는것입니다. 오늘은여기까지입니다.