퍼즐로떠나는논리여행 논리적사고개발을위한퍼즐활동지 준정다면체만들기 (Geostick-Semiregular solids)
학습개요 단원 : 준정다면체 학습목표 : 준정다면체의정의와종류, 성질에대해알아본다. 지도상의유의점 1. 준정다면체의정의를정다면체의정의와비교해가며알아본다. 2. 정다면체로부터준정다면체의유도과정을간단히일러준다. 3. 준정다면체의모형을통해준정다면체의성질을알아본다. 사용교구/ 준비물 : 지오스틱, 정다면체활동지, 지오스틱워크북 학습조직 : 개인또는조별활동 학습활동 학습단계 교수-학습활동내용시간비고 도입 1. 정다면체와준정다면체 15분활동 1 2. 준정다면체의종류 활동 2 전개 3. 4. 정다면체로부터준정다면체의유도과정 축구공속의수학과풀러렌 30 분 활동 3 활동 4 5. 준정다면체의면, 꼭지점, 모서리 활동 5 정리 6. 7. 오일러의정리를통해알아본준정다면체 준정다면체의성질과전개도 30 분 활동 6 활동 7 발전 8. 지오스틱으로만들어볼수있는다양한다면체워크북
# 활동 1 정다면체란? 1 모든면이합동인정다각형이고 2 각꼭지점에모인면의수가같은 3 볼록한다면체 정사면체정육면체정팔면체정십이면체정이십면체 준정다면체란? 1 두가지이상의정다각형으로구성되어있으며 2 각꼭지점에모인정다각형의배열이모두같은 3 볼록한다면체를준 정다면체라고합니다. 준정다면체를흔히 아르키메디안입체 라고도합니다. 아르키메디안입체 준정다면체가아르키메데스에의해처음으로언급되었기때문에 아르키메디안입체 라고도합니다. 하지만아르키 메데스의원저서가소실( 消失 ) 됨으로인해서아르키메데스의입체는그구체적인모양을알수는없었습니다. 중 세유럽의르네상스시대를거치면서점차이들입체의모양이복원되었는데마침내 하게복구되었습니다. 1619년케플러에의해서완전 생각해봅시다 1. 정다면체와준정다면체의공통점을설명해보시오. 2. 정다면체와준정다면체의차이점을설명해보시오.
# 활동 2 준정다면체의종류 준정다면체는모두 13가지가있는데이중 11개는정다면체를잘라서만들수있으며나머지 2개는부풀려만들수있습 니다. 1. 정다면체를한번잘라만든준정다면체 (1) 정다면체의각꼭지점으로부터일정한거리에있는점을지나는평면으로잘라만든준정다면체 정사면체의각꼭지점으로부터모서리의 지점을지나는평면 으로잘라만든다. 정육면체의각꼭지점으로부터 모서리의 1 1 + 2 는평면으로잘라만든다. 지점을지나 깎은정사면체 깎은정육면체 정팔면체의각꼭지점으로부터모서리의 1 지점을지나는평면 3 으로잘라만든다. 정십이면체의각꼭지점으로부터 모서리의 지점을지나는평면으로잘라 만든다. 깎은정팔면체 깎은정십이면체 정이십면체의각꼭지점으로부터 1 3 만든다. 지점을지나는평면으로잘라 깎은정이십면체 (2) 정다면체의각모서리의중점을지나는평면으로잘라만든준정다면체 정육면체또는정팔면체의각모 서리의중점을지나는평면으로 자르면 육팔면체 가된다. 정십이면체또는정이십면체의 각모서리의중점을지나는평면 으로자르면 다. 십이이십면체 가된 육팔면체 십이이십면체
2. 정다면체를두번잘라만든준정다면체 - 정다면체를한번잘라만든준정다면체를한번더잘라서다음과같은준정다면체를만들수있습니다. 육팔면체의각모서리의중점을지나는평면으로잘라만든다. 그러나이때잘린면은변의길이의비가 1: 인직사각형이되므로모양을적절하게조절해야한다. 육팔면체의각꼭지점으로부터모서리의 1 지점을지나는평면 3 으로잘라만든다. 그러나이때잘린면이직사각형이되므로다듬어야한다. 이중절단정육면체 이중절단정팔면체 십이이십면체의각모서리의중 점을지나는평면으로잘라만든 다. 그러나이때잘린면은변의 길이의비가 인직사 십이이십면체의각꼭지점으로부터모서리의 1 지점을지나는 3 평면으로잘라만든다. 그러나이때잘린면은변의길이의비가 이중절단정십이면체 각형이된다. 다. 따라서다듬어야한 이중절단정이십면체 인직사각형이된다. 따라서다듬어야한다. 3. 정다면체를부풀려만든준정다면체 - 정육면체또는정십이면체를부풀린다음 를만들수있습니다. 그사이를정삼각형으로메워각각부풀린정육면체와부풀린정십이면체 정육면체의각면을떼어내서적당한간격을두고떨어지게한후그사이를정삼각형으로메우면부풀린정육면체가된다. 정십이면체의각면을떼어내서적당한간격을두고떨어지게한후그사이를정삼각형으로메우면부풀린정십이면체가된다. 부풀린정육면체 부풀린정십이면체
# 활동 3 정다면체로부터준정다면체의유도과정
# 활동 4 축구공속의수학 오른쪽그림은 2002 년한일월드컵당시사용되었던공인구 피버노바(FeverNova)' 입니다. 그런데사진속축구공의무늬를잘살펴보면우리는준정다면체를발견할수있습니다. 흔히 벅민스터풀러공 이라고도하는축구공은바로 깎은정이십면체 모양의가죽에 바람을불어넣어구형으로만든것입니다. 깎은정이십면체 는 12개의정오각형과 20 개의정육각형으로이루어지는데, 이것은 정이십면체의꼭지점부분을모서리길이의 3분의 1 이되는지점에서깎아내만든것입니다. ' 피버노바(FeverNova)' 실험실의축구공 ' 풀러렌' 탄소결정체 C60의모형 새로운탄소동소체 (Fullerene) 깎은정이십면체의구조는화학의세계에서도찾아볼수있습니다. 탄소결정체 C60은지오데식돔을설계한미국의건축가 B. 풀러(Richard Buckminster Fuller) 의이름을따서 풀러렌 (fullerene) 이라고도부르는데 풀러렌은탄소원자 60개가깎은정이십면체의 60개꼭지점자리에놓여 있는구조를하고있습니다. 풀러렌의발견은나노기술분야에새바람을몰고와 1991년에는가늘고긴 튜브모양으로탄소원자들이배열되어있는분자가발견되었고( 탄소나노튜 브) 얼마지나지않아다양한나노튜브들이합성되기시작하였습니다. 풀러렌은다이아몬드만큼강하면서도미끄러운성질이있어서윤활제로도 개발되었으며, 탄소원자끼리강한결합을하여반응성이적은대신인체 에독성이없다는특징을이용하여의약성분의저장및체내운반체등 으로이용하려는연구가활발하게진행되고있습니다. 한마디로풀러렌은 실험실의축구공인것입니다. 깎은정이십면체의전개도
# 활동 5 관찰 지오스틱으로아래와같은 6 개의준정다면체를만들어보고다음빈칸에알맞은수를넣어보세요. 깍은정사면체깍은정팔면체육팔면체십이이십면체이중절단정육면체부풀린정육면체 준정다면체 면의개수 정삼각형정사각형정오각형정육각형 합계 꼭지점의 개수 모서리의 개수 깎은정사면체 깎은정팔면체 육팔면체 십이이십면체 이중절단정육면체 부풀린정육면체 는꼭지점(vertex) 의개수, (edge) 는모서리의개수, (face) 는면의개수입니다. 활동2 를통해알아본 13 개의준정다면체를잘관찰해보고다음물음에답하시오. 1. 한꼭지점에모이는면( 모서리) 의개수가일정하지않은준정다면체를모두찾아보시오. 2. 2 개의정다각형으로만들어지는준정다면체를모두찾아보시오. 3. 3 개의정다각형으로만들어지는준정다면체를모두찾아보시오.
# 활동 6 분석 다각형과다면체의 평면도형에서오일러의정리가어떻게되는지알아봅시다. 다각형꼭지점의개수모서리의개수면의개수 삼각형 사각형 오각형 각형 오일러의정리다면체의면의개수를, 꼭지점의개수를, 모서리의개수를 라할때, 오일러의지표 를오일러의지표라고하고다각형(2 차원) 과다면체(3 차원) 에서의 오일러의지표는다음과같습니다. 오일러지표다각형다면체 1 2 오일러의정리를통해알아본준정다면체 오일러의정리를이용하여다음빈칸에알맞은수를구해보시오. 준정다면체꼭지점의개수모서리의개수면의개수 깎은정육면체 24 14 깎은정십이면체 90 32 깎은정이십면체 60 90 이중절단정팔면체 72 26 이중절단정십이면체 60 62 이중절단정이십면체 120 180 부풀린정십이면체 150 92
# 활동 7 비교 / 추리 생각해봅시다 모서리의개수를참고하여준정다면체를만들기위해필요한지오스틱의개수를구하시오. 준정다면체모서리의개수지오스틱의개수준정다면체모서리의개수지오스틱의개수 깎은정사면체 18 깎은정육면체 36 깎은정팔면체 36 깎은정십이면체 90 깎은정이십면체 90 육팔면체 24 십이이십면체 60 이중절단정육면체이중절단정팔면체이중절단정십이면체이중절단정이십면체부풀린정육면체부풀린정십이면체 48 72 120 180 60 150 정육면체와정팔면체의각모서리의중점을지나는평면으로절단하면같은모양의준정다면체, 육팔면체 를만들수있습니다. 마찬가지로정십이면체와정이십면체의각모서리의중점을지나는평면으로잘 라도똑같이 십이이십면체 를얻을수있습니다. 어떻게해서서로다른두개의정다면체가같은준 정다면체로될까요? 이유를생각해봅시다. 준정다면체와쌍대관계(Dual) 에있는입체를 카탈란다면체 라고합니다. 그렇다면십이이십면체와쌍대관계에있는카탈란다면체는면, 꼭지점, 모서리의개수가각각몇개씩 일까요? 쌍대관계(dual) 란? 쌍대관계란두다면체의면의수와꼭지점의수는서로대응되며모서리의수는같은관계를 말합니다. 예) 정육면체 정팔면체 면의개수 꼭지점의개수모시리의개수 정육면체 6 8 12 정팔면체 8 6 12
한변의길이가 3cm 인부풀린정육면체의모든변의길이의합은얼마일까요? 준정다면체중에서면의개수가꼭지점의개수보다많은것을모두찾아보시오. 지오스틱으로깎은정사면체와깎은정팔면체를만들어본후전개도를아래그림에나타내시오. 다음전개도중육팔면체가되지않는것을고르시오. 다음은이중절단정육면체의전개도입니다. 이전개도를원래대로접었을때, 점 A와만나는점을모두 찾아보시오.