24 장. 가우스의법칙 (Gauss s law) 24.1 전기선속 24.2 가우스의법칙 24.3 다양한형태의전하분포에대한가우스의법칙의적용 24.4 정전기적평형상태의도체
24.1 전기선속 (lectric Flux) o A New Look at Coulomb's Law - Coulomb's Law : 전하간의상호작용력 각전하에의한전기장의 Vector 합에의하여전체전기장 or 전하간의상호작용력을구한다. 복잡하다 - Carl Friedrich Gauss (1777-1855) German Mathematician and Physicist - Gauss Surface 를고안 - 전하 Q 에의한 Coulomb Force 와전기장은같은방향의 Vector 이다. F C q o 전기선속 lectric Flux : 각각의전기장 들을화살표로표시하면, 마치 Flow 의형태가된다. 전기력선
o 전기선속 lectric Flux : - 전기력선의정의에의하면단위면적당전기력선의수 ( 면적선밀도 ) 는전기장의세기에비례한다. - 단면 A 를수직으로관통하는전체전기력선의수는전기장의세기와면적의곱인 A 에비례한다. A 전기선속 ( 단위 : N. m 2 /C) ( 정의 ) A Acos - 일반적으로전기장은넓은면에걸쳐변할수있다. A i i cos i A i i i A i da surface
폐곡면을통과하는전기선속을구하는것은아주중요하다. 여기서폐곡면이란어떤표면이내부공간과외부공간을분리하고, 이표면을지나지않고는한공간에서다른공간으로이동할수없는그러한표면을의미한다. 면적요소 1: θ < 90 선속은양 (+) 의값 면적요소 2: θ = 90 선속은영 면적요소 3: 90 < θ < 180 선속은음 (-) 의값 표면을통과하는알짜선속은표면을통과하는알짜전기력선의수에비례한다. 알짜전기력선의수는표면을통과하여나가는전기력선수에서표면을통과하여들어오는전기력선수를뺀값을의미한다. 폐곡면에대한알짜선속은다음과같다. - Closed Surface 내의전하가 Q in 이라면, 가우스법칙 (Gauss s Law) : da da n da n ; 표면에수직인전기장성분 q in 0
o lectric Flux ( 전기선속 ) 연습 I (Q in =0) 예제 24.1 정육면체를통과하는선속 균일한전기장 가 x 축방향으로향하고있다. 그림과같이한변의길이가 l 인정육면체의표면을통과하는알짜전기선속을구하라. Sol 전기장의방향과평행한네면을통과하는선속은 0 이된다.
Aside x Cylinder 형 Gauss' Surface o lectric Flux ( 전기선속 ) 연습 II (Q in 0) Aside x 전기다발과둘러싸인전하 Gauss s Law da q in 0 Aside x Gauss' Law for Point Charges
24.2 가우스의법칙 (Gauss s Law) 전하를둘러싸고있는폐곡면을지나는전기선속을고려하자. ( 가우스면의설정이중요 ) 전기장의방향과면적벡터의방향은구면의모든점에서동일하므로 A i A i da da da 점전하에의한전기장에대한식과구의면적을대입하면 k e q r 2 (4r ) 4k 2 e q 구형의가우스면을통과하는알짜선속은 r 의크기에는무관하고가우스면내의전하량과관계된다. q 0
점전하 q 를둘러싸고있는폐곡면을지나는알짜선속은폐곡면의모양에무관하고, 폐곡면내의전하량에만의존한다고할수있으며, 크기는항상 q/ε 0 으로주어진다. 전하를포함하고있지않는폐곡면을통과하는알짜전기선속은영이된다. 여러개의전하에의해만들어진전기장은각각의전하에의한전기장들의벡터합으로주어진다. 따라서어떤폐곡면을통과하는선속은 d A ( 1 2 ) da da q in 0 Gauss s law q in 은가우스면내부에있는알짜전하만을의미하지만, 전기장 는가우스면내부와외부에있는모든전하에의해만들어지는전체전기장이다.
Aside x Point Charge Q 에서거리 r 떨어진곳에서의전기장의세기 o Point Charge Q 에서반경 r 인 Gaussian Surface를잡으면 구 (Sphere) 형 Gaussian Surface cf) Coulomb Force : consider a test charge q
24.3 다양한형태의전하분포에대한가우스의법칙의응용 (Application of Gauss s Law to Various Charge Distributions) 전하분포가매우대칭적인경우에는가우스의법칙이전기장을계산하는데에매우유용하게사용된다. 가우스면을설정할때, 전하분포의대칭성을이용하면전기장 를적분기호밖으로낼수있어쉽게계산할수있다. 가우스면을설정할때고려할사항 : 1. 주어진대칭성때문에전기장의크기가가우스면상에서일정한크기 의상수가되는것을쉽게알아볼수있는경우. 2. 전기장 와면적요소벡터 da 가평행하기때문에식 (24.6) 의스칼라 곱이 da 로주어지는경우. 3. 와 da 가수직이기때문에스칼라곱이영으로주어지는경우. 4. 전기장이가우스면상에서영이되는것을쉽게알아볼수있는경우.
예제 24.2 구형대칭전하분포에의한전기장 1 (Conductor Sphere) 반지름 R 인속이찬도체구가전체 ( 양 ) 전하 Q 를가진다. (A) 구밖의한점에서전기장을구하라. (B) 구표면의한점에서전기장을구하고표면전하밀도 σ 를구하라. (C) 구내부의한점에서전기장을구하라. Sol (A) - 구의표면에만전하 Q 가균일하게분포 - Conductor Sphere : 전자의움직임이자유롭다 척력에의해표면으로밀린다. 구의외부 : r > R 반경 r 인 Gauss' Surface 를잡아주면 (B) 구의표면 : r = R 반경 R 인 Gauss' Surface 를잡아주면 (C) 구의내부 : r < R 반경 r 인 Gauss' Surface 를잡아주면
예제 24.2 구형대칭전하분포에의한전기장 2 (Insulator Sphere) 반지름 R 인속이찬부도체구가전체 ( 양 ) 전하 Q 를가진다. (A) 구밖의한점에서전기장을구하라. (B) 구표면의한점에서전기장을구하라. (C) 구내부의한점에서전기장을구하라. Sol - Insulator : 전하의움직임이구속된다. 전하는구의내부에균일하게분포 (A) 구의외부 : r > R (B) 구의표면 : r = R (C) 구의내부 : r < R 반경 r 인 Gauss' Surface 를잡아주면
예제 24.3 원통형대칭전하분포에의한전기장 (Cylindrical Symmetry) 단위길이당양 (+) 전하가 λ 의크기로균일하게대전되어있는무한히길고곧은도선으로부터거리가 r 만큼떨어진점에서의전기장을구하라. Sol - Cylindrical Gaussian Surface
예제 24.4 절연체판에대전된전하 (Non-Conducting Sheet) 단위길이당양 (+) 전하가 λ 의크기로균일하게대전되어있는무한히길고곧은도선으로부터거리가 r 만큼떨어진점에서의전기장을구하라. Sol 평면판전하의경우마치양쪽에균일한전하밀도가둘존재하는것같다. Aside x Two Non-Conducting Plates
24.4 정전기적평형상태의도체 (Conductors in lectrostatic quilibrium) 만약도체내에서이들전하의알짜운동이없는경우, 도체는정전기적평형상태 (electrostatic equilibrium) 에있다고한다. 1. 도체내부가차있거나비어있거나상관없이, 도체내부의어느위치에서나전기장은영이다. 2. 고립된도체에생긴과잉전하는도체표면에만분포한다. 3. 대전되어있는도체표면바로바깥의전기장은도체표면에수직이고 σ/ε 0 의크기를갖는다. 여기서 σ 는표면전하밀도이다. 4. 불규칙한모양을가지는도체인경우, 표면전하밀도는면의곡률반지름이가장작은곳, 즉뾰족한점에서가장크다. da A 0 qin A 0 0
Aside x 직육면체 ( 도체 ) 의한표면에만전하밀도 σ 가존재하는경우 - 전하가있는면을포함하는 Cylindrical Gauss' Surface - Gauss' Surface 내의전하밀도 Aside x 반경 R, 표면전하 σ 인도체구의표면에서의전기장
Aside x 지구의전기장 : 지구표면의평균전기장 = -150N/C a) 지구표면의전하밀도 b) 지구표면의총전하량 (R =6.38X10 6 m) cf) 전하의개수 지구대기권에같은수의 "+" 전하 (cf) 전자부족 ) 전체는중성 : cf) 번개!
예제 24.5 구껍질 (Spherical Shell) 내의구 ( 교재참고 ) Sol 양전하 2Q 로대전된반지름이 a 인도체구가, -Q 로대전되어있는안쪽반지름이 b 이고바깥쪽반지름이 c 인도체구껍질의중심에위치하고있다. 가우스의법칙을이용하여그림에표기된영역 1, 2, 3, 4 에서의전기장을구하고, 정전기적평형상태에있는구껍질의전하분포에대하여설명하라. i) r < a : 반경 a 인도체구의내부 : 도체에서는표면에만전하가분포 내부전하 = 0 ii) a < r < b : 반경 r 인 Gauss' Surface 내부의전하량 q in =2Q
iii) r > c : 도체구각의외부 - Gauss' Surface 내부의전하량 q in = 2Q-Q=Q iv) b < r < c : 도체구각의내부 - 도체내부에서의전하량 = 0 cf) v) r = a : 구의표면 vi) r = b : 구각내부면 내부도체구의 2Q 에의하여, r = b 에는 -2Q 의전하가모인다 vii) r = c : 구각의외부면 r = b 에있는 -2Q 의전하에대하여 +Q 의전하분포