11.4 그밖의지지조건을갖는기둥 지지점의조건이다른경우도 pin-pin 기둥의해석절차와동일함 1) 좌굴상태를가정한기둥에대해굽힘모멘트에대한식을구함 ) 굽힘모멘트방정식 ( EIv M ) 3) 미분방정식을풀어일반해를구함 4) 처짐 v 와기울기 v 에관련된경계조건적용 5) 임계하중과좌굴된기둥의처짐모양구함 을이용하여처짐곡선의미분방정식수립 * 유효좌굴길이 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno age 11-16
하단은고정되고상단이자유로운기둥 (Fix-Free Column) Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno age 11-17
EIv M ( v) v k v k 여기서 k EI v C sin kx C cos kx H v 1 vc1sin kxccos kx v v H 경계조건 v(0) 0 C 경계조건 v(0) 0 C1 0 따라서 v (1 cos kx) ; 처짐곡선의형상만나타냄 ( 은임의의미소크기 ) 경계조건 v ( ) cos k 0 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno age 11-18
해-1) 0 자명해 (trivial solution); 기둥은곧은상태유지, 좌굴은일어나지않음 n 해-) cos k 0 k n 1, 3, 5, 임계하중 n EI n1, 3, 5, 4 n x 좌굴모드형상 v 1cos n1, 3, 5, 최저임계하중은 n 1 일때 EI 4 x 이때모드형상은 v 1cos Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno age 11-19
기둥의유효길이 길이가 인 fix-free column 은 길이가 인 pin-pin column 과동일함. ( 그림참조 ) 이경우의 은유효길이 (effective length) 처짐곡선내의변곡점 ( 모멘트가 0) 사이의거리 e e Fix-free column 의경우 유효길이를이용하여임계하중을표현하면, EI e 유효길이는보통 이경우는 EI ( K) e e K 로표현됨. (fix-free 의경우 K ) Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno age 11-0
양단고정기둥 (fix-fix column) 1 e K 1 ( 그림참조 ) EI 4 EI ( K) Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno age 11-1
하단고정, 상단핀인기둥 (Fix-pin column) 이경우는기하학적대칭조건을이용할수없으므로관찰에의해 e ( 혹은 K ) 를구할수없음 처짐곡선의미분방정식을풀어서구함. Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno age 11-
A 점에서의반력은수직반력, 수평반력 R, 모멘트반력 M 0 R 하단으로부터 x 떨어진곳의좌굴된기둥에서의굽힘모멘트는 M M0 vrxvr( x) 따라서, 미분방정식은 EIv M v R( x), R ( ) EI R vc1sin kxccos kx ( x) vh v v k v x k 로하고정리하면, 경계조건 : v(0) 0 v(0) 0 v( ) 0 EI R R C 0 Ck 0 C tan k C 0 C C R ; 자명해 (trivial solution); 기둥은곧은상태유지, No Buckling 1 1 해 -1) 1 0 해 -) 처음두식에서 1 C Ck, 이식을마지막식에대입 k tan k Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno age 11-3
좌굴방정식 : k tan k 이식을수치해법으로풀면 ( 해석적인해는없음 ) k 4.4934 따라서 0.19EI.046 EI - Fix-pin column 은예상대로 in-pin column 과 Fix-fix column 사이의임계하중. - 식을비교하여, 0.699 0.7 C - 모드형상은 1-1 e Ck과 Ck R 1 0 을일반해에대입하여, v C [sin kx k cos kx k( x)] 제한 : 처짐이작아야함, Hooke 의법칙을따르는경우만유효 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno age 11-4
요약 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno age 11-5
예제 11- 문제 3.5 m, d 100 mm, 100 kn 안전계수 n 3, 을고려하여두께 t 구하기. ( E 7 Ga, 480 Ma) pl 풀이 기둥은 fix-pin 으로모델링함. 이경우.046 EI I d ( d t) 64 4 4 d 100 mm 0.1 m 이므로 I (0.1 m) (0.1 m t) 64 4 4 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno age 11-6
기둥은다음의하중에의해설계되어야함. n3(100 kn) 300 kn 9.046 (710 a) 4 4 t 300,000 N (0.1 m) (0.1 m ) (3.5 m) 64 t 0.00685 m 6.83 mm 보조계산 I d ( d t).18 10 mm 64 4 4 6 4 A d d t 4 4 ( ) 1,999 mm, r 33.0 mm 98 d r ( 가느다란기둥 ), 15 t ( 국부좌굴방지범위에들어감 ) 300 kn 150 Ma, 이값은비례한도 pl 480 Ma 보다작으므로 A 1999 mm Euler 좌굴이론을이용한임계하중에대한계산은유효함. I A Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno age 11-7
11.5 편심축하중을받는기둥 - 지금까지는이상기둥으로가정 1) 임계하중도달시까지는곧은상태 ) 임계하중도달후급격한굽힘 ( 불확정한크기 ) 하지만, - 편심기둥 1) 하중이작용하면즉시굽힘발생 ( 확정된크기 ) ) 하중이커지면처짐량도증가 EIv M M 0 ( v) e v v k v k e 여기서 k EI vc1sin kxccos kx e v v H 경계조건 v(0) 0 v( ) 0 e (1 cos ) C e C k etan k sin k 1 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno age 11-8
처짐곡선방정식은 k v etan sin kx cos kx 1 기둥중앙에서의처짐은 k k k k v etan sin cos 1esec 1 한편 k EI e sec 1 1) 0 when e 0 ) 0 when 0 3) when k ( 에대한비선형식 ) Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno age 11-9
최대굽힘모멘트 Mmax ( e ) k Mmax e sec e sec ( 정역학적으로발생하는모멘트가증폭됨 ) 다른단부조건 - Fix-Free 의경우는 그대로사용가능 - Fix-in 의경우는 0.699 e e 로하면앞의식을 로하여도앞의식을사용할수없음 이경우는미분방정식을다시수립하여해석하여야함 - Fixed End 에편심이있으면그영향이없음. Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno age 11-30
예제 11-3 문제 B 단에편심 e0.45 in, 1500 lb, h1. in, b 0.6 in allow 0.1 in 일때최대허용길이 max 6 ( E 16 10 psi) 풀이 =? 3 3 hb (1. in)(0.6 in) 4 I 0.0160 in 1 1 EI (16, 000, 000 psi)(0.0160 in ) 85, 700 lb-in 4 4 4 이값을 4 e sec 1 에대입하면, 1500 lb 0.1 in (0.45 in) sec 1 85,700 / 0.667 sec(0.06588 ) 1 max 10.0 in Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno age 11-31
11.6 기둥의시컨트공식 편심축하중을받는기둥에서최대응력은기둥의중앙점에발생 ( 압축력에의한응력과굽힘응력의합성응력 ) max A M I max M 여기서 max e sec, c EI I Ar, (r 은회전반지름 ) 따라서발생되는최대응력은 ec sec 1 ec sec A I r EA A r r EA max 시컨트공식 (secant formula) 편심거리 e 를가진축력 가작용하는기둥 (E, A,, r, c) 에서좌굴을고려할때발생하는최대응력산정 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno age 11-3
ec r 여기서편심비 (eccentricity ratio) 는 (0~3 사이의값, 보통 1 보다작은값 ) Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno age 11-33
e 0 인경우 Euler s Curve 에의한임계응력과동일 EI E (11-61) A A ( / r) 시컨트공식에대한논의 - 세장비 r 가증가함에따라, 특히 r 값의중간구간에서하중 - 지지능력이급격히감소 길고가느다란기둥은짧고뭉툭한기둥보다덜안정적임 - 하중 - 지지능력은편심 e 가증가함에따라감소함. 이러한영향은긴기둥보다짧은기둥에대하여상대적으로더큼. - 시컨트공식은 e 로하면 Fix-Free Column 에서도적용가능 ( 그러나다른단부조건에서는사용할수없음 ) ec r - 기둥은항상결함이있으므로편심비 ( 구조용강재의경우 0.5) 를적절히가정하여사용함. Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno age 11-34
예제 11-4 문제 W148 WF 기둥, 5 ft, 중앙하중 1 30 k, 편심하중 40 k, 편심위치 13.5 in E 30, 000 ksi (a) (b) 항복응력 인경우시컨트공식을이용한최대압축응력구하기 4 ksi 일때항복에대한안전계수는? Y Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno age 11-35
풀이 (a) 최대압축응력 : 두개의조합하중은그림 (c) 와같이편심 e 1.5 in, 크기 360 k 인하중과등가. 부록표 E-1 으로부터 A4.1 in r 6.05 in c14.31 in 7.155 in 시컨트공식에필요한상수계산 360 k ec (1.5 in)(7.155 in) 14.94 ksi 0.93 A 4.1 in r (6.05 in) (5 ft)(1 in/ft) 360 k 49.59 497.9 10 r 6.05 in EA (30,000 ksi)(4.1 in ) 시컨트공식에대입하면, 6 ec 1 sec (14.94 ksi)(1 0.345) 0.1 ksi A r r EA max 오목한쪽의기둥중간높이에서발생함. Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno age 11-36
(b) 항복에대한안전계수 Y 4 ksi 을최대응력으로하는하중 Y Note: 처음의하중 에 (a) 에서구한 를구하여야한다. / 의곱으로는구해지지않음 시컨트공식은하중에대해서비선형식이기때문. ec Y 1 sec A r r EA 을 Y Y 즉 Y 49.59 4 ksi 1 0.93sec Y max 에대해풀어야함 Y Y 4.1 in (30,000 ksi)(4.1 in ) 101 k Y 10.93sec 0.0916 Y 이식을수치적으로풀면 Y 716 k Y 716 k n 1.99 360 k Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno age 11-37
Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno age 11-38
11.7 탄성및비탄성기둥의거동 Euler 곡선이유효한세장비의하한값은임계응력이비례한도와같은경우이다 EI E 에서 A A ( / r) r c E pl (C 점에해당 ) : 임계세장비 - CD 구간 : 긴기둥 오일러법칙을따름. - BC 구간 : 중간기둥 비탄성좌굴에의한파괴임계하중은오일러하중보다작음 - AB 구간 : 짧은기둥 재료의항복과파쇄에의한파괴 - 편심축하중을받을경우 Secant formula line Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno age 11-39
11.8 비탄성좌굴 중간길이의기둥 오일러하중에도달하기이전에응력은비례한도에도달함 비탄성좌굴이론이필요함 접선계수이론비례한도를초과하는응력작용시 ( 예를들어 A 점 ) 탄성계수 = 접선계수 (tangent modulus), 즉 E t d ( 비례한도이내에서는탄성계수 E 와동일 ) d 비탄성임계하중에도달할때까지기둥은곧은상태를유지 이상태에서좌굴이시작되면그때의모멘트는 1 dv dx 굽힘모멘트 M M Et I v 이므로 EIv t v 0 ( 앞식에서 E 를 t E 로바꾼식과동일 ) Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno age 11-40
이식을풀면 Et t (11 67) 또한 A t t E ( / r) t 접선계수 Et 는작용하는응력 (/A) 에따라변하므로 비탄성임계하중의산정을위해서는다음과같은과정이필요 1) t 를추정값 1 을정함 ( 이하중은 A pl 보다큰값임 ) ) 1 1 A 3) 응력변형률선도에서 Et 를구함 4) Et t (1167) 에서새로운 t 위의과정을반복함. 의추정값을구함. Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno age 11-41
감소계수이론 - 좌굴이시작될때단면에는압축응력 A 에새로생기는굽힘응력이더해짐 - 단면의안쪽 ; 압축굽힘응력이더해지므로응력이증가탄성계수 = E t - 단면의바깥쪽 ; 인장굽힘응력이더해지므로응력이감소탄성계수 = E. 두가지재료로구성된보와같은거동 Et 와 E 의중간값을가진 Er 의기둥처럼거동함 E r : 감소계수 (reduced modulus); 응력의크기및단면모양에좌우됨. (중계수로도불리움 ) 예 -1) 직사각형단면기둥 E r EE 4 t E E t 예 -) WF 보에서강한축에대한굽힘에서는 E A r t r 그리고 r E ( / r) r E r EEt E E 접선계수이론과마찬가지로반복시행을통하여구해짐. t Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno age 11-4