Control Engineering Tutorial Stability analysis 개요 제어시스템설계목표가운데제일의목표는안정도이다. 어떤시스템이든불안정할경우에는출력이발산하게되어다른제어목표를수행할수없기때문에안정도를이루는것이제어의최우선목표가되는것이다. 이장에서는이러한안

Control Engineering Tutorial Stability analysis 개요 제어시스템설계목표가운데제일의목표는안정도이다. 어떤시스템이든불안정할경우에는출력이발산하게되어다른제어목표를수행할수없기때문에안정도를이루는것이제어의최우선목표가되는것이다. 이장에서는이러한안정도의정의와조건및이를판별하는방법을다루며, 안정도와시스템극점영점과의관계를정리한다. 그리고제어기이득이바뀜에따라이동하는극점의위치를그림으로나타내는기법과이것을제어기설계에활용하는방법을다룬다. 1) 어떤시스템이유한한입력이나외란에대해출력의크기가항상유한한응답을보이면그시 스템은안정하다 (Stable) 고말하며, 이와같이모든유한한입력에대해유한한응답을갖는시스 템의성질을안정도 (Stability) 라고부른다. 2) 선형시불변시스템에서안정도에대한필요충분조건은전달함수의모든극점들이평면의좌반 면에놓여있는것이다. 만일어느한극점이라도평면의허수축을포함하는우반면에있으면시 스템은불안정하여출력이발산하게된다. 3) 시스템이안정하지않으면출력이발산하기때문에제어시스템설계를할때에안정도는제어기설계의제1목표가된다. 시스템이안정화되면잡음이있거나계수에변화가있더라도제어대상량이원하는값으로따라가는견실한경향을나타낸다. 그러나시스템이안정하더라도극점과영점의위치에따라출력응답성능이서로다르기때문에성능목표를만족하도록제어기를잘설계해야한다. 4) 극점의위치와시간영역특성명세와의상관관계는선형시불변 1 차나 2 차시스템에서표준형의 경우에대해서는간단한공식으로나타낼수있다. 그러나일반적인경우에는관계가복잡하게 얽혀있기때문에공식으로나타내기는어려우며, 모의실험을통해성능을확인해야한다. 5) 안정도를판별하는방법으로는특성방정식을풀어서극점을구하여조사하는직접적인방법과, 우반면극점의존재여부만을조사하는간접적인방법이있다. 이가운데직접적인방법은대수방정식을풀어야하기때문에필산으로풀경우에는 2차이하의저차시스템에만적용할수있다. 그러나최근에는컴퓨터꾸러미를이용하여고차방정식의근을쉽게구할수있기때문에이방법도많이쓰이고있다. 6) 간접적인안정도판별법으로는 Routh-Hurwitz 안정도판별법과나이키스트안정도판별법이 1

있다. 이두방법은모두선형시불변시스템에적용할수있는것으로서, Routh-Hurwitz 안정도판별법은간단한연산을사용하여구성되는표를써서특성방정식의근가운데불안정한근의개수를찾아내며, 나이키스트안정도판별법은개로시스템에대한나이키스트선도를그려서이그래프로부터폐로시스템의안정도를판별하는방법이다. 7) 제어기이득이바뀜에따라변화하는폐로극점의위치변화를평면에그림표로나타낸것을근궤적 (Root locus) 이라고한다. 근궤적은간단한저차시스템의경우에는필산으로도처리하여작성할수있지만시스템이복잡해지면필산으로처리하기는어렵다. 그러나컴퓨터꾸러미를활용하면상당히복잡한시스템의경우에도근궤적을쉽게작성할수있다. 따라서이책에서는필산으로처리하는방법은생략하며, 컴퓨터꾸러미를활용한근궤적법을다룬다. 8) 근궤적을활용하면극점이어떤원하는영역에놓이도록제어이득을조정하면서제어기를설 계할수있다. 이와같이극점의위치를원하는자리에배치시키는방식으로제어기를설계하는 기법을극배치법 (Pole placement method) 이라고한다. 이장에서다루는근궤적을이용한제어기설계법의설계목표는 4.5.1 절의 1) 과 2) 에해당하는안 정도와성능이다. 이기법에서는안정도를확보하기위해극점이좌반면에놓이도록설계하되, 성 능목표달성을위해원하는과도응답특성을갖도록극점의위치를적절하게선정한다. 목차 1. 안정도와극점영점 2. 안정도 3. 극점과시간영역특성 4. 영점과시간영역특성 5. Routh-Hurwitz 안정도판별법 6. 나이키스트안정성판별법 7. 근궤적 (Root Locus) 8. 근궤적 (Root Locus) 을이용한제어기설계법 9. 요점정리 안정도와극점영점 안정도란시스템의출력이발산하지않고유한한범위안에한정되는성질을말한다. 안정도는 제어시스템이지녀야할가장기본적인성질이며또한안정도가이루어지면성능목표도어느정도 달성되기때문에제어기는시스템의안정도를이루는것을제일의목표로하여설계된다. 2

2.4절에서다루었듯이, 선형시불변시스템의입출력전달특성은전달함수로나타낼수있다. 이전달함수는복소변수를독립변수로갖는복소함수로서대부분의경우에분자분모부가각각다항식의형태로표시되는분수함수의꼴을갖는다. 이중에서전달함수분모부와분자부를 0이되게만드는값을각각극점과영점이라하는데, 이극점과영점은시스템의시간영역에서의과도상태및정상상태특성과밀접한관련을갖고있다. 이절에서는먼저안정도의정의를살펴보고안정도와극점영점의관계를정리한다. 그리고극점 과영점의위치에따라시간영역에서과도상태와정상상태특성이어떻게달라지는지살펴보기로 한다. 안정도 어떤시스템이유한한입력이나외란에대해크기가항상유한한응답을보이면그시스템은안정하다 (Stable) 고말하며, 이와같이모든유한한입력에대해유한한응답을갖는시스템의성질을안정도 (Stability) 라고부른다. 안정도는모든시스템이갖춰야할기본적인성질이다. 왜냐하면시스템이불안정하면응답이발산하게되는데이것은기계적시스템의경우에는속도나변위가, 전기적시스템의경우에는전압이나전류가, 화공이나열역학시스템의경우에는온도나압력따위의크기가발산하는것을뜻하므로시스템이손상되거나파괴되는아주위험한상황이일어나기때문이다. 이렇게시스템이불안정할경우에는응답이발산하게되어어떤성능목표도정상적으로수행할수없다. 따라서안정도를이루는것은제어시스템설계목표가운데가장우선하는제일의목표가된다. 그리고실제문제에서도많은경우에안정도가이루어지면성능목표는어느정도달성되기때문에제어기설계에서는안정도를우선적으로고려한다. 안정도는시스템내의어떤변수나대상를기준으로하는가에따라여러가지로정의할수있다. 유한한 ' 응답 ' 을보일때안정하다고하는데여기에서 ' 응답 ' 을어느것으로하는지기준을정해야한다. 많은경우에출력을응답으로보지만내부상태가운데하나를응답으로볼수있고이기준에따라안정도가달라질수있다. 출력만을응답의기준으로하여정의하는것으로서유한입출력 (BIBO, Bounded Input/Bounded Output) 안정도가있는데다음과같이정의된다 : < 정의 6.1> 어떤시스템에서모든유한입력에대해출력이유한한크기의응답을보이면그 시스템은유한입출력안정하다말하며, 이러한성질을유한입출력안정도 (BIBO stability) 라고부 른다. 학부과정에서는주로유한입출력안정도만을다루는데, 이책에서도안정도문제를유한입출력 안정도에한정하여다룰것이다. 따라서유한입출력안정도를간략히줄여서안정도라고부르기 로한다. 3

어떤시스템이안정한가불안정한가하는것은시스템자체의성질이며입력신호와는무관하다. 전달함수가 G( s) 인어떤시스템에서입력의라플라스변환을 U ( s) 라하면출력의라플라스변환은 Y ( s) G( s) U ( s) 적분으로표시된다 : = Y=GU 로표시되며이것을시간영역에서나타내면다음과같은중첩 ò y( t) = g( t ) u( t -t ) dt 0 (6.1) 여기에서 g( t) 는전달함수 G( s) 의라플라스역변환인순간신호응답이다. 식 (6.1) 로부터입력 이 u( t) M 로서상한 M 을갖는다면출력의상한은다음과같이구할수있다 : ò y( t) = g( t ) u( t -t ) dt ò 0 0 g( t ) u( t -t ) dt ò M g( t ) dt 0 (6.2) 따라서유한입출력안정도에대한조건은다음과같이정리된다 : < 정리 6.1> 순간신호응답이 g(t) 인어떤시스템이유한입출력안정하기위한필요충분조건은 다음과같다 : ò 0 g( t) dt < (6.3) 정리 6.1 은식 (6.3) 에보는바와같이순간신호응답을써서안정도조건을제시하고있다. 그런데 이정리를써서안정도를판별하려면순간신호응답이주어지지않은경우에는이것을직접구해 야하기때문에실제로안정도판별에사용하기에는적합하지않다. 그러면이정리로부터실제 사용하기에적합한꼴의안정도조건을유도하기로한다. 순간신호응답 g( t) 는전달함수 G( s) 의라플라스역변환이다. 그런데전달함수는분수함수이 므로이것은 2.2.3 절에서살펴보았듯이극점인수를분모로하는부분분수의합으로표시할수있 다. 극점인수들은 1 차, 2 차및다중인수들로분해되므로전달함수는일반적으로다음과같이부분 분수합의꼴로나타낼수있다 : N1 N2 M ai ci ( s - s i ) + diwi bk G( s) = å + å + 2 2 å s - p ( s - s ) + w ( s - q ) i= 1 i i= 1 i i k= 1 i k 4

여기에서 pi 는 1차극점, s i, wi 는 2차극점의실수부와허수부, qi 는 M중인수를나타내는실 수들이다. 이식에서다중인수는한가지만있는것으로가정하였는데, 두가지이상이있을경 우에는세번째항과같은꼴의항을추가하면된다. 이식에라플라스역변환을적용하면순간신호응답 g( t) 의일반형은다음과같이구해진다 : g t { G s } -1 ( ) = L ( ) 1 2 s b = åaie + åe ( ci cos wit + di sin wit ) + å t e ( k -1)! N N M p t t k k-1 q t i i i i= 1 i= 1 k= 1 (6.5) 이식으로부터순간신호응답 g( t) 는지수함수항과지수가중삼각함수및정함수항들로이 루어짐을알수있다. 식 (6.5) 에서지수항의지수들 p i, s i, q i 가운데어느하나라도 0보다크 면그항은시간이지남에따라발산하게되어식 (6.3) 의안정도조건을만족시키지못하므로시스템은불안정하게된다. 그러나 p i < 0, s i < 0, q i < 0, " i 이면, 즉극점이 s평면왼쪽에 있으면진동이있더라도시간이지나가면순간신호응답이 0 으로수렴하면서시스템은안정하게 된다. 따라서유한입출력안정도에대한조건은극점을써서다음과같이나타낼수있다 : < 정리 6.2> 전달함수가 G 인어떤시스템이유한입출력안정하기위한필요충분조건은전달함 수의극점들이모두평면좌반면에있는것이다. 정리6.2에서제시하는안정도영역은원점과허수축을제외한다. 만일원점이나허수축에극점이있는경우에는순간신호응답에상수항이나삼각함수항이나타나면서안정도조건인식 (6.3) 이성립하지않기때문에시스템은불안정하다. 그러나극점이평면좌반면에있기만하면다중극점이라하더라도시스템은안정하다. 지금까지다룬안정도조건에관한사항들을다음의몇가지예제를통해서확인해보기로한다. < 예제 6.1> 다음과같은전달함수로표시되는시스템의안정도를판별하라 G( s) = s + 1 2 2 ( s + 2) ( s + s + 1) 이시스템의극점은 s = - 2 ( 이중근 ), 로정리 6.2 에따라서시스템은안정하다. 실제로이중극점인수 호응답을구해보면 타낸다. 1 3 s = - ± j 으로서모두좌평면에있다. 그러므 2 2 2 ( s + 2) 에대응하는순간신 2t te - 인데이항은시간이지남에따라 0으로수렴하여안정한반응을나 5

지금까지다룬안정도는정의5.1의유한입출력안정도이다. 이안정도는내부상태를고려하지않고입력과출력변수만을기준으로하여정의되기때문에외부안정도 (External stability) 라고도부른다. 이안정도는임의의유한입력에대해출력변수가유한하기만하면시스템이안정하다고보는것인데, 출력변수는유한하더라도내부상태가발산하는경우가있을수있기때문에이안정도는엄밀한의미에서는시스템전체의안정도를보장하는것은아니다. 이유한입출력안정도와는달리시스템안의모든내부상태를기준으로하여안정도를정의할수있는데, 이러한안정도를내부안정도 (Internal stability) 라부른다. 내부안정도에서는유한한입력에대해모든내부상태가유한한응답을보이는경우에시스템이안정하다고정의한다. 그런데출력은내부상태의선형결합으로나타낼수있기때문에내부안정시스템에서외부안정도는항상보장된다. 그러나역은성립하지않을수있으므로내부안정도가외부안정도보다더엄밀한안정도라할수있다. 내부안정도로서주로사용되는것은리아프노프 (Liapunov) 안정도인데, 이안정도는 1892년러시아의수학자인 A.M. Liapunov가정의한것이다. 리아프노프는안정도해석법도제시하였는데, 그가제시한안정도이론은선형은물론이고비선형시스템에까지적용할수있는일반적인것이다. 그러나이안정도이론은대학원과정에속하는것으로서학부과정에서다루기는어렵기때문에이책에서는다루지않기로한다. 극점과시간영역특성 극점은시스템의정상상태와과도상태특성모두에서거의결정적인영향을미친다. 극점의위치 에따라과도상태는물론이고정상상태에서의시스템출력신호의변화가크게달라지게된다. 2.4 절에서이미다룬바있는극점과시스템특성사이의관계를요약하면다음과같다 : > 극점이좌반면에있으면시스템은안정하고, 우반면에있으면불안정하다. > 극점이좌 ( 우 ) 반면에있으면서허수축으로부터멀어질수록출력신호의수렴 ( 발산 ) 속도가빨라진다. > 극점이실수축으로부터멀어질수록출력신호의진동주파수가높아진다. 이관계는극점의위치와시스템특성사이의정성적인관계를설명하고있다. 그러나제어기설계에서제어목표는상승시간몇초이내, 초과몇 % 이내따위의정량적지표로주어지기때문에극점과시스템특성사이의관계도정량적으로표현되어야이관계를제어기설계에활용할수있다. 2.2.3절에서살펴보았듯이전달함수의분모부는실수범위에서인수분해를할경우에항상 1차나 2차인수로분해되며대응하는극점은각각실극점과복소극점이된다. 따라서전달함수의실극점과복소극점각각에대응하는시간영역특성을알면이로부터이전달함수로표시되는시스템에대한시간영역특성을미루어알수있다. 극점과시간영역특성사이의관계에대해서는 5.3절에서자세히다루었는데, 여기에서는실극점과복소극점각각의경우에대해서극점의위치에따라 6

시간영역특성과시스템성능이어떻게달라지는가를요약하기로한다. 실극점 실극점은다음과같은 1 차인수를분모로갖는전달함수에대응된다 : ( ) Gp G1 s = T s 1 여기에서 c + (6.6) Gp 는직류이득, T 는시정수이다. 시정수가 T > 0 일때시스템은안정하게되며, c 이경우에극점과시간응답특성사이의관계를요약하면다음과같다 : * 상승시간 : tr» 2.2Tc * 지연시간 : td» 0.1T c * 초과 : M p = 0 * 상승시간 : ts» 4Tc * 정상상태오차 : Es 1 시정수가 = - G Tc 인 1차시스템의극점은 p c 1 s = - 로결정되며과도상태특성은시정수 c T c T 에의해 결정된다. < 그림 6.1> 의극점도에서보는바와같이시정수가클수록극점은허수축에가까이다 가가면서응답속도가느려지며, 시정수가작을수록극점은허수축에서멀어지면서응답속도가빨 라진다. 따라서과도상태특성을개선하려면이시정수를줄이면된다. 그리고정상상태특성은 직류이득 G 에의해결정되는데 G = 1일때출력은기준입력과같아지면서정상상태오차는 p p 0 이된다. 따라서 1 차시스템의제어문제는폐로시스템의시정수를줄이면서폐로직류이득을 1 로 만드는방향으로제어기를설계하는문제로귀결된다. 7

복소극점 복소극점을갖는 2 차전달함수의표준형은다음과같이나타낼수있다 : G( s) = w s w s w 2 n 2 2 + 2x n + n (6.7) w 을각각제동비, 비제동고유진동수라부른다. 2 차시스템에서제동비 x 는시 여기에서 x 와 n 스템의안정도와밀접한관련이있는데, 만일 x 0 일경우에는시스템이불안정하여출력이 발산하게된다. 0 < x < 1일때에극점은 s평면좌반면에놓이게되어시스템은안정하지만복소극점을갖게되어진동성분이나타나면서부족제동상태에놓이게된다. x ³ 1일경우에는식 (6.7) 의분모부가 1 차인수로분해되어두개의실극점을가지면서초과가전혀나타나지않는과 제동상태에있게된다. 제동비가 0 < x < 1인부족제동의경우에표준형 2차시스템에대한복소극점의극점도는 < 그림 6.2> 와같으며, 시간영역특성과제동비및비제동고유진동수사이의관계를요약하면다음과같 다 : * 상승시간 : * 초과 : M p t r -1 p sin x + 2 1.8 = 0.75 = 2 w 1-x wn = e px - 2 1-x p p * 마루시간 : t p = = w 2 d wn 1-x 4 * 상승시간 : ts» x wn * 정상상태오차 : E = 1 - G(0) = 0 s n x = 0.5 여기에서특기할사항은, wn이일정한경우에, 제동비 x 가커질수록초과는줄어들지만상승시 간은커지기때문에초과와상승시간가운데어느한쪽을좋게하려면다른쪽이나빠지는상충 관계를갖는다는점이다. 따라서 2 차시스템을제어할때에는이러한상충관계를적절히절충시키 면서시스템의특성을개선하는방식으로제어기를설계해야한다. 그리고주의할사항은이관 계식들이식 (6.7) 로표시되는것과같은영점이없는 2 차시스템의표준형에서만성립하며, 영점이 8

있는경우에는특성이크게달라진다는것이다. 영점과시간영역특성 극점은시스템의안정도에직결되어있으며, 정상상태와과도상태모두에서시스템의출력응답에큰영향을미친다. 영점은이러한극점처럼시스템의특성에결정적인영향을주지는않는다. 그러나영점도위치에따라서과도상태에서의시스템출력에적잖은영향을준다. 영점과시스템특성사이의정성적인관계에대해서는 2.4절과 5.3절에서이미다루었는데그내용을요약하면다음과같다 : > 영점이허수축으로부터멀리떨어져있으면영점은시스템출력에거의영향을주지않는다. > 영점이좌반면에있으면서허수축에가까워질수록출력신호의초과가심해진다. > 영점이우반면에있으면하향초과가생기며, 하향초과의크기는영점이허수축에가까워질수록심해진다. 이와같이영점의위치에따라시스템의과도상태특성이상당히달라질수있지만, 시간영역특 성에는극점의영향도크게나타나기때문에영점과시간영역특성계수사이의관계를 5.3 절에서 처럼극점과시간영역특성계수사이의간단한공식으로정량화하여나타내기는어렵다. 최소위상및비최소위상시스템 영점의위치에따라시스템의과도응답특성이크게달라질수있기때문에, 영점이좌반면에있 9

는시스템을최소위상 (Minimum phase) 시스템, 영점이우반면에있는경우에는비최소위상 (Nonminimum phase) 시스템이라고구분하여부른다. 이와같은이름을붙이게된까닭은어떤두전달함수가똑같은크기응답을갖는경우에영점이모두좌반면에있는쪽의위상응답이그렇지않은쪽보다더작게나타나기때문이다. 최소위상시스템에서허수축에가까이있는좌반면영점때문에생기는초과현상을개선하려면그영점가까이에극점을갖는제어기를사용하면된다. 이경우에제어기의극점과플랜트의영점이상쇄되면서허수축가까이에있는플랜트영점에의한초과현상이억제되는것이다. 이러한방법을극영점상쇄법 (Pole-zero cancellation) 이라고부른다. 이방법에서극점과영점의위치가조금달라서상쇄가완벽히되지않는다하더라도영점에의한초과현상은효과적으로억제할수있다. 그러나이방법을비최소위상시스템에적용할경우에는주의해야한다. 왜냐하면, 이방법을써서비최소위상시스템에서허수축가까이에있는영점의하향초과현상을억제하려면우반면극점을갖는제어기를써야하는데, 이경우에는제어기가불안정하여전체폐로시스템의안정화가어려워지기때문이다. 비최소위상시스템이허수축가까이에우반면영점을갖고있으면과도상태에서하향초과현상이크게일어나면서응답하기때문에응답속도가최소위상시스템에비해느리다. 그런데위에서살펴보았듯이, 이시스템에서우반면영점의하향초과현상을억제하는것은상당히어려운문제이다. 실제로이문제는현대제어분야에서도완벽한해결방법이제시되지않고있는실정이다. 따라서현재까지의기술로는플랜트를구성할때에비최소위상특성이없거나, 어쩔수없이비최소위상특성이포함되더라도우반면영점이허수축가까이에나타나지않도록설계하는것이최상의방법이라고할수있다. Routh-Hurwitz 안정도판별법 앞절에서살펴보았듯이안정도는특성방정식의근인극점의위치에의해결정된다. 그런데특성방정식이 2차이하의저차일경우에는극점위치를필산에의해직접구하여안정도를판별할수있으나고차의경우에는특성방정식을필산으로는풀기가어렵기때문에컴퓨터를이용하지않고서는직접적인방법에의한안정도판별은쉽지않다. 그러나특성방정식을풀지않고서도필산이가능할정도의간단한연산에의해불안정한극점의개수를알아냄으로써안정도를판별할수있는간접적인방법이있는데이방법이 Routh-Hurwitz 안정도판별법이다. 이절에서는먼저 Routh-Hurwitz 판별법을다루고, 이어서컴퓨터꾸러미를활용하여극점을직접구하여안정도를판별하는방법을다룬다. 선형시불변시스템의경우에시스템이안정하기위한필요충분조건은시스템전달함수의모든극점이복소평면의좌반면에있는것이다. Routh-Hurwitz 안정도판별법은특성방정식의불안정극점의개수를알아낼수있는방법으로서, 안정도의필요충분조건에의해불안정극점의개수가 0 이냐아니냐에따라서안정도를판별할수있다. 10

Routh-Hurwitz 판별법에서제시하는따라다음과같은특성방정식에서모든근이복소평면상에서 왼쪽에있을필요충분조건을구해보기로한다 : Q( s) = a s + a s + a s + + a s + a = 0 n n-1 n-2 0 1 2 L n-1 n (6.8) 위의특성방정식에대해다음과같은 Routh-Hurwitz 표를작성한다 : 여기서계수 b i, i = 1,2,3, L 는 i a1a2 - a0a3 a1a4 - a0a5 b1 =, b2 =, b3 =L a a a 계수들로부터다음과같이계산한다 : 1 1 bi 의계산은그뒤의것들이모두 0이될때까지계산한다. i 구하며다음과같이 ai 로부터 bi 를구할때와똑같은방법으로계산한다 : b a - a b b a - a b c =, c =, c =L 1 3 1 2 1 5 1 3 1 b 3 b1 b1 c, i = 1,2,3, L 는 i b 계수로부터 이러한과정을수행하여위의표를완성한다. Routh와 Hurwitz는위의표에서첫번째열계수의부호가바뀌는회수와특성방정식의양의실수부를갖는근의개수가서로같다는사실을증명하였다. 따라서이사실에근거하여 Routh- Hurwitz 표로부터불안정극점의개수를알아낼수있는것이다. 이표를만들때에제1열이 0 이되어이후의계수를계산할수없는특수한경우가있는데이문제는이책에서는다루지않기로한다. < 예제 6.4> 다음의특성방정식에서불안정극점의개수를구하라. Q s s s s 3 2 ( ) = + + 2 + 24 = 0 주어진특성방정식에 Routh-Hurwitz 판별법을적용하면다음과같은표를얻을수있다 : 이시스템이안정하기위해서는이표에서제 1 열들을모두양수가되어야한다. 즉, 4-K>0, K>0 11

이어야하므로이조건으로부터시스템이안정하기위한 K의범위는 0<K<4 이다. 셈툴 (CEMTool) 의명령어가운데에는다항식의근을구하는 'roots' 라는함수가있는데, 이를사용하여특성방정식의근을조사해보면실제로다음과같이우반면에근두개가존재함을알수있다 : >roots([1 1 2 24]) ans = -3.0000 1.0000 + 2.6458i 1.0000-2.6458i 특성방정식에미정계수가들어있는경우에는 'roots' 명령어를직접사용할수없다. 이경우에는미정계수값을여러가지로바꿔가면서근을계산하는방식으로문제를풀어나갈수있다. 이과정은몇단계를거쳐야하기때문에셈툴작업창에서직접처리하기보다는묶음 (Macro) 파일을만들어사용하는것이더편리하다. 묶음파일로만들어두면필요한경우에또다시같은작업을반복하지않아도되고, 또한중간과정을수정하여다른비슷한작업도처리할수있기때문에편리하다. 따라서, 다루는문제가아주간단한경우가아니라면, 될수있는대로묶음파일을만들어서처리하는방식을권장한다. 예제6.5를처리하는묶음파일을만들어보면다음과같다 : < 예제 6.5> 다음의특성방정식에서안정도를보장하는계수의범위를구하라. Q s s s s K K 3 2 ( ) = + + 4 +, (0 < < 20) Ex1.cem // ex1.cem ( 묶음파일의이름 ) // 특성방정식 Q(s)=s^3+s^2+4s+K (0<K<20) 근계산 K = 0:20:0.1; p = []; for(i=1;i<=length(k);i=i+1) { q = [1 1 4 K(i)]; r = roots(q); 12

p = [p r]; } // 근궤적을그리기위한부분 p = p'; pa = [p(:;1);p(:;2);p(:;3)]; pr = real(pa); pi = imag(pa); plot(pr,pi,"+"); 위와같이실행시키면그결과는 < 그림 6.3> 과같다. < 그림 6.3> 3 2 Q( s) = s + s + 4 s + K, (0 < K < 20) 의근궤적 Routh-Hurwitz 안정도판별법은시스템의안정도에대한판별만해주고근의정확한위치는알려 주지않으나셈툴을사용하면근을직접계산하기때문에근의정확한위치를알수있다. 이절 13

에서는특성방정식에미정계수가있는문제에는묶음파일을만들어서처리하는예를보였는데이러한문제는제어기설계문제에자주나타나기때문에셈툴에는이문제에사용할수있는명령어로서 'rlocus' 라는함수를제공하고있다. 이명령어사용법과활용에관한보다상세한내용은 6.5절의근궤적에서다룰것이다. 나이키스트안정성판별법 나이키스트선도 : 전달함 G( s) 수의주파수응답인 G( jw) 의크기와위상을극좌표로하여복 소평면위에점으로대응시키면서입력주파수 w 가 0 부터 까지변화할때나타나는궤적. < 그림 6.4> 나이키스트경로 < 예제 6.8> 나이키스트선도그리기 G( s) = s 2 25 + 4s + 25 Control5_8.cem num = 25; 14

den = [1 4 25]; nyquist(num,den); title("nyquist diagram of G(s)"); xtitle("real Axis"); ytitle("imag Axis"); 대상시스템의전달함수가주어졌으므로나이키스트선도는 `nyquist' 명령을이용하여다음과같 은프로그램으로그릴수있다 : < 그림 6.7> 예제 6.8 의나이키스트선도 되먹임시스템기본형 : 15

< 그림 6.10> 나이키스트안정성판별법의폐로시스템기본형 폐로시스템의전달함수 : Y ( s) G( s) = R( s) 1 + G( s) H ( s) 폐로시스템의특성방정식 : 1 + G( s) H ( s) = 0 (6.9) < 정리 6.3> G(s)H(s) 의나이키스트선도는다음과같은성질을만족한다. Z = N + P Z : 우반평면에있는특성방정식 (6.9) 의근의수 ( 불안정폐로극점의수 ) N : 의궤적이점 (-1, 0) 을시계방향으로감싸는횟수 P : 우반평면에있는의극점의수 ( 불안정개로극점의수 ) 1 폐로시스템안정성에대한필요충분조건 Z= N + P = 0, 따라서 N = -P가만족되어야한다. 만일개로시스템 G(s)H(s) 가갖고있는불안정한극점의수가세개일경우에는 P = 3이므로폐로시스템이안정하려면 N = -P = -3이어야한다. 즉, 점 (-1, 0) 을반시계방향으로세번감싸야한다. 2 개로시스템이안정한경우 P = 0 이므로 N = -P = 0 이되어야폐로시스템의안정성을보장할수있으며, 따라서 G(s)H(s) 의나이키스트선도가점 (-1, 0) 을감싸지않아야한다. < 예제 6.10> < 그림 6.10> 에서개로전달함수과다음과같은경우에나이키스트선도를구하고되 먹임시스템의안정성을판별하라. 16

H 1 ( s ) = K, G ( s ) =, ( 1, 2 0) ( T s + 1)( T s + 1) T T > 1 2 Control6_10.cem 주어진개로전달함수에서는 T 1, T2 가모두 0보다클경우에는우평면에극점을갖지않는다. 따라서 T 1 = 1, 2 1 T = 일때개로전달함수는안정하므로 P = 0 이다. K = 1; T1 = 1; T2 = 1; num = K; den = conv([t1 1],[T2 1]); nyquist(num,den); title(" 나이키스트선도 (K=1)"); xtitle(" 실수축 "); ytitle(" 허수축 "); - 을 이를실행한결과는 < 그림6.11> 과같다. 이그림에서 GH 의나이키스트선도는점 ( 1,0) 둘러싸지않으므로 N = 0 이다. 따라서, 폐로전달함수의우반면의극점의수는 Z = 0 시스템은안정하다는것을알수있다. 이며이 17

< 그림 6.11> 예제 6.10 의나이키스트선도 < 예제 6.11> 되먹임제어시스템의개로전달함수 G( s) H ( s) 가다음과같다. G( jw) H ( jw) 의나이키스트선도를그리고폐로시스템의안정성을판별하라. 만일시스템이 불안정한경우에는폐로전달함수의우반평면에있는극점수를구하라. 또한나이키스트선도가음의실수축과만나는점을구하라. G( s) H ( s) = 20 s(1 + 0.1 s)(1 + 0.5 s) Control6_11.cem num = 20; 18

den = conv([0.1 1 0],[0.5 1]); w = logspace(0.5,3,100); nyquist(num,den,w); [cnum,cden] = cloop(num,den); roots(cden) 이문제의대상시스템은안정한시스템이므로폐로시스템안정도에대한필요충분조건은나이키스트선도가 (-1,0) 점을둘러싸지않는것이다. 이파일을실행한결과는 < 그림6.12> 를얻을수있으며, 이그림을보면나이키스트선도가점 (-1,0) 을감싸고있다. 따라서폐로시스템은불안정하다는것을알수있다. < 그림 6.12> 예제 6.11 의나이키스트선도 그리고불안정한폐로극점의수는다음과같다. ans = 19

-12.8628 0.4314 + 5.5598i 0.4314-5.5598i root 함수를통해서폐로전달함수분모의근을직접구할수있다. 이것이곧폐로극점인데결과 를살펴보면우반평면에있는폐로극점의수는두개임을알수있다. 그리고나이키스트선도가 음의실수축과만나는점을 < 그림 6.12> 에서구해보면약 -1.7 정도가된다. 1 최소위상시스템에대해서는나이키스트선도를주파수전구간이아니라적절한부분에대해그린다음나이키스트안정성판별법을써서폐로시스템의안정성을판별할수있다. 2 비최소위상시스템에서극점이원점이나허수축에있는경우에나이키스트안정성판별법을적용하기위해서는나이키스트선도를나이키스트경로전구간에대해그려야하는데이것은컴퓨터꾸러미를사용하더라도쉽지않은작업이다. 따라서이경우에는안정성판별을위해다른방법을써야한다. 근궤적 (Root Locus) 근궤적법 (root locus method) : 시스템의어떤한계수값의변화에따른폐로시스템의극점의위 치를그림으로나타냄으로써시스템의안정성과성능을함께조사하는방법. < 그림 6.15> 폐로시스템의기본구조 폐로전달함수 : Y ( s) KG( s) = R( s) 1 + KG( s) H ( s) 폐로특성방정식 : 1 + KG( s) H ( s) = 0 근궤적 (root locus) : 미정계수를포함하는특성방정식에서미정계수가부터까지변할때, 이특성 방정식의근이변화하는궤적을평면에그림으로나타낸것. 20

특성방정식의일반형 : N( s) 1+ K = 0 (6.13) D ( s ) < 예제 > 극점이 -1 이고, 영점이 0, -2, -3 인시스템의근궤적을그려라. 그리고특정근 (-2.3, 1.2) 에해당하는계수값 K 를구하라. Ex2.cem % 근궤적을그리기위한코드 zeros = -1; // 개로시스템의영점 poles = [-2-3 0]; // 개로시스템의극점 [num,den] = zp2tf(zeros,poles,1); // 극영점으로부터전달함수를얻음 // 근궤적을계산할미정계수범위지정 k=logspace(-3,2,200); // 0.001부터 100까지대수눈금간격으로 200개사용 rlocus(num,den,k); // 근궤적그리기 % 근궤적에서특정근에해당하는계수값구하는명령어 s = -2.3+1.2*j; K = rlocval(num,den,s) K 가증가함에따라서근궤적이실수축으로부터두개의가지로분리되어뻗어나간다. 즉, 두개 의복소수근을가지게된다. 이에해당하는그림은 < 그림 6.16> 과같다. 21

< 그림 6.16> 해당시스템의근궤적 근궤적에서특정근에해당하는계수값구하는명령은 rlocaval 함수를이용하여구할수있다. Input point is not on the Root Locus! Search the nearest point on Root Locus... Nearest point to -2.3000+1.2000i : -2.3219+1.1659i K = 2.4048 근궤적 (Root Locus) 을이용한제어기설계법 22

폐로극점의위치를원하는자리에배치시키는방식으로제어기를설계하는기법인극배치법을이 용하여설계한다. < 예제 6.13> 다음폐로시스템을안정화하는보상기미정계수 K값의범위와주극점의감쇠비가가되도록만드는미정계수의값을결정하라. 1 K G( s) =, H ( s) = s( s + 1) s + 2 < 그림 6.17> 미정계수를가진제어시스템 Control6_13.cem num=1; poles=[0,-1,-2]'; den=poly(poles); // 극점에대응하는분모다항식계수얻기 rlocus(num,den); s = 0+1.44*i; K = rlocval(num,den,s) figure; num1=1; den1=[1 1 0]; num2=1.5014; den2=[1 2]; 23

[fnum,fden]=feedback(num1,den1,num2,den2); step(fnum,fden); figure; num1=1; den1=[1 1 0]; num2=0.5; den2=[1 2]; [fnum,fden]=feedback(num1,den1,num2,den2); t=[0:20:0.1]; step(fnum,fden,t); 이묶음파일을실행하여근궤적을얻으면 < 그림 6.18> 과같다. < 그림 6.18> 예제 6.13 의근궤적 24

이그림에서근궤적이허수축과만나는점의좌표를셈툴의좌표추적기능을이용하여구해보면 대략 X:0, Y:1.44 가나오므로 rlocval 명령을써서 K 값을다음과같이구할수있다 : Input point is not on the Root Locus! Search the nearest point on Root Locus... Nearest point to 0.0000+1.4400i : -0.0028+1.4082i K = 5.9381 따라서폐로시스템을안정화하는보상기미정계수의범위는 0<K<5.9381 이다. < 그림 6.18> 의근궤적을보면두개의극점들이나머지하나에비해허수축 ( j 축 ) 에훨씬가까우므 로이두개의극점들이주극점을이루게된다. 문제에서요구하는제동비가 0.5인주극점은원점과극점을이어주는직선과허수축의각도가 30[ ] 를이루는경우에이직선과근궤적이만나 는점이므로, 이점에해당하는점의근궤적상의좌표를 < 그림 6.18> 에서좌표추적기능을써서구 하면대략 s=-0.27+0.75i 이며, 이때대응하는 k 값을 'rlocval' 명령을써서구하면 K=1.5014 정도이 다. 실제로 K=1.5014 일때의계단응답을구하면 < 그림 6.19> 와같다. 여기에서 num1, den1은 G( s) 의분자, 분모이고 num2, den2는 K=1.5014일때의 H ( s) 의분 자, 분모이다. 그리고 'feedback' 은 < 그림 6.17> 과같은되먹임시스템의폐로전달함수 G( s) 1 + G( s) H ( s) 의분자와분모다항식을구해주는명령이다. 위와같은과정을거쳐제어이득 이 K=1.5014 일때의계단응답을구하면 < 그림 6.19> 를얻을수있다. 이결과를보면제동비가 0.5 에해당하는적당한응답곡선이얻어짐을확인할수있다. < 그림6.18> 의근궤적에서는다른정보도얻을수있다. 한가지예로, 적당히작은 K값에대해서는모든극점들이실수축에있으므로계단응답에서초과가일어나지않을것이라는것을예측할수있다. 실제로제어이득을 K=0.5로하고다음과같이계단응답을구해보면 < 그림6.20> 에서볼수있듯이초과가없어진다. 예제6.13에서는미정계수가하나인보상기를써서제어하면서제어목표로서안정도와제동비를고려하고있다. 따라서설계한제어시스템의계단응답인 < 그림6.19> 와 < 그림6.20> 을보면제동비조건을만족하면서초과성능지표를만족시키지만정상상태오차는매우크게나타나고있다. 이러한결과가나타나는까닭은제어목표로서성능가운데초과나제동비만을고려했기때문이다. 정상상태오차까지고려할경우에는예제6.13의보상기로는제어목표를달성하기어렵기때문에 25

다른제어기를사용해야한다. 이다른제어기에대해서는 7 장과 8 장에서다룰것이다. < 그림 6.19> 일때예제 6.13 의단위계단응답 26

< 그림 6.20> 일때예제 6.13 의단위계단응답 예제6.13에서설계한제어시스템의계단응답인 < 그림6.19> 와 < 그림6.20> 을보면감쇠비조건을만족하면서초과성능지표를만족시키지만정상상태오차는매우크게나타나고있다. 이러한결과가나타나는까닭은제어목표로서성능가운데초과나감쇠비만을고려했기때문이다. 정상상태오차까지고려할경우에는조정계수가하나뿐인예제6.13의보상기로는제어목표를달성하기어렵기때문에다른제어기를사용해야한다. 이다른제어기에대해서는 7장과 8장에서다룰것이다. 요점정리 이장에서는이러한안정도에대한정의와조건을정리하고, 안정도을판별하는방법으로서 Routh-Hurwitz 안정도판별법, Nyquist 안정도판별법을다루었다. 그리고시스템극점영점과시간영역특성사이의관계를살펴보았다. 그리고제어기이득이바뀜에따라이동하는극점의위치를그림으로나타내는근궤적법과이것을제어기설계에활용하는방법을다루었다. 1) 어떤시스템이유한한입력이나외란에대해출력의크기가항상유한한응답을보이면그시스템은안정하다 (Stable) 고말하며, 이와같이모든유한한입력에대해유한한응답을갖는시스템의성질을안정도 (Stability) 라고부른다. 선형시불변시스템에서안정도에대한필요충분조건은전달함수의모든극점들이평면의좌반면에놓여있는것이다. 만일어느한극점이라도평면의 27

허수축을포함하는우반면에있으면시스템은불안정하여출력이발산하게된다. 2) 시스템이안정하지않으면출력이발산하기때문에제어시스템설계를할때에안정도는제일의설계목표가된다. 시스템이안정화되면많은경우에성능이어느정도달성되고, 잡음이있거나계수에변화가있더라도성능이유지되는견실한경향을나타낸다. 그러나시스템이안정하더라도극점과영점의위치에따라출력응답성능이서로다르기때문에성능목표를만족하는지를검토하고이목표가이루어지도록제어기를잘설계해야한다. 3) 극점의위치와시간영역특성명세와의상관관계는선형시불변 1 차나 2 차시스템에서표준형의 경우에대해서는간단한공식으로나타낼수있다. 그러나일반적인경우에는관계가복잡하게 얽혀있기때문에공식으로나타내기는어려우며, 모의실험을통해성능을확인해야한다. 4) 시스템이안정하면시스템전달함수에제 2 장의최종치정리를써서출력의정상상태값을미리 간단한계산으로쉽게얻을수있다. 이값은시스템의직류이득과관련되며제어기성능목표인 명령추종의지표로서자주활용된다. 5) 안정도를판별하는방법으로는특성방정식을풀어서극점을구하여조사하는직접적인방법과, 우반면극점의존재여부만을조사하는간접적인방법이있다. 이가운데직접적인방법은대수방정식을풀어야하기때문에필산으로풀경우에는 2차이하의저차시스템에만적용할수있다. 그러나최근에는컴퓨터꾸러미를이용하여고차방정식의근을쉽게구할수있기때문에이방법도많이쓰이고있다. 6) Routh-Hurwitz 안정도판별법은특성방정식에대해간단한연산을적용하여구성되는표를작성하고, 이표의첫째열의계수부호가바뀌는회수가불안정한근의개수와같다는원리에의해안정도를판별하는방법이다. 이판별법은특성방정식에미정계수가하나있을때안정도가보장되는미정계수의범위를결정하는데에응용할수있기때문에이방식으로제어기설계에활용할수도있다. 7) 나이키스트안정도판별법은개로시스템에대한나이키스트선도를그려서이그래프로부터폐로시스템의안정도를판별하는방법이다. 안정한개로시스템의경우에는나이키스트선도가 (- 1,0) 점을둘러싸지않는것이폐로시스템안정도의필요충분조건이된다. 이선도는컴퓨터꾸러미를활용하면쉽게그릴수있다. 단, 비최소위상이면서원점이나허수축에극점이있는시스템에대해서는전구간의나이키스트선도가필요한데이선도작성이어렵기때문에허수축극점을좌평면으로조금이동시킨근사모델에대해나이키스트선도를작성하거나, 아니면폐로극점을직접계산하는방법을써야한다. 8) 근궤적을이용하면폐로시스템의안정도를쉽게판별할수있을뿐만아니라제어기설계에도 활용할수있다. 근궤적은간단한저차시스템의경우에는필산으로도처리하여작성할수있지만 28

시스템이복잡해지면필산으로처리하기는어렵다. 그러나컴퓨터꾸러미를활용하면상당히복 잡한시스템의경우에도근궤적을쉽게작성할수있다. 9) 폐로극점의위치를원하는자리에배치시키는방식으로제어기를설계하는기법을극배치법이라고한다. 이장에서근궤적을이용한극배치법을다루었는데이제어기설계법의설계목표는안정도와성능이다. 이기법에서는안정도를확보하기위해극점이좌반면에놓이도록설계하되, 성능목표달성을위해원하는과도응답특성을갖도록극점의위치를적절하게선정한다. 참고문헌 제어시스템공학, 권욱현, 권오규, 홍금식, 이준화저, 1999, 청문각. 29