한국해안 해양공학회논문집 /ISSN 1976-8192(Print), ISSN 2288-2227(Online) Jurnal f Krean Sciety f Castal and Ocean Engineers 27(3), pp. 190~196, Jun. 2015 http://dx.di.rg/10.9765/kscoe.2015.27.3.190 포항연안바람자료의특성분석 Characteristic Analysis n the Wind Data in the Phang Castal Zne 정원무 * 조홍연 * 백원대 * Wen Mu Jeng*, Hngyen Ch* and Wndae Baek* 요지 : 육상의바람정보를이용하여해상바람을추정하는방법은매우빈번하게사용되어왔다. 그러나자료의특성에근거하여그방법의한계를검토하는연구는매우미흡하다. 본연구에서는육상자료를이용한해상자료추정의정량적인한계를검토하기위하여포항연안의육상과바다에서관측한바람자료의특성을비교 분석하였다. 특히기존에간과되던방향자료분석에중점을두고연속적인풍향자료분석기법을제안하였다. 분석결과, 연안해상의바람자료는육상과매우인접한지점에위치하고있음에도불구하고바람정보의통계적인분포특성이크게차이가나는것으로파악되었다. 따라서육상정보를이용한해상바람정보추정은지형적인영향으로특성차이가커서근본적인한계가있기때문에관측자료를이용한정량적인오차한계가반드시검토되어야한다. 핵심용어 : 바람자료, 풍향자료분석, 분포추정, 통계적인특성, 포항연안 Abstract : The estimatin methd f the sea wind infrmatin using the nearby land wind data have been widely used. Hwever, it is insufficient t examine the limitatin f the methd based n the characteristics f the wind data. In this study, the characteristics f the wind data are analysed and cmpared t check the limitatin f the existing cnventinal methd. The data are bserved at the same time perid in the land and sea statins in Phang castal zne. In particular, the analysis are fcused n the directin data simply verlked in the analysis target. The methd is suggested as a useful tl fr the varius analysis f the wind directin data. The results shw that the statistical infrmatins between the land and sea wind data are quite different thugh the lineal distance between statins are nt large ( 3.8 km). The difference is attributed t cme frm the gemetrical gradient and elevatin difference between land and sea areas. As a cnsequence, the quantitative estimatin errr shuld be checked preliminarily using the land-sea mnitring data sets because the sea wind estimatin using land data is essentially unacceptable. Keywrds : wind data, wind directin data analysis, density estimatin, statistical characteristics, Phang castal zne 1. 서론 연안역의바람정보는연안흐름순환, 파랑발달등에직접적인영향을미치며, 최근부각되고있는해상풍력에너지평가 분석및해상구조물건설에서고려하여야하는설계인자로매우중요하다. 또한연안의증발잠열및대기와해상의물질교환에도직접적인영향을미치고있다. 해상에서측정한바람자료는설치, 유지비용및관리등의어려움으로인하여그자료량이매우부족하여일반적으로육상기상대자료를이용하여해상자료를추정하는경우가빈번하다 (K et al., 2012). 그러나해상에서의바람과육상에서의바람은바닥마찰의영향및표면의변화정도가크게차이를보이기때문에그차이도큰특성을보일수있다. 그럼에도불구하고육상과해상의풍속상관관계분석 ( 회귀분석 ) 및간 단한추정공식등을사용하여연안해상바람자료를추정하는방법이그간편성때문에널리이용되어왔다 (Hsu, 1988; Barthelmie and Palutikf, 1996; K et al., 2012). 그러나육상의바람자료를이용하여해상의바람자료를추정하는방법은지역적인특성이매우중요하기때문에해상관측자료를확보하여상호비교 분석하는것을우선적으로수행할필요가있다. 또한풍속의크기만의비교가아니라그발생빈도와더불어풍향에대한비교 분석등다양한검토가필요하다. 본연구에서는포항연안의육상기상대와이에인접한해상에서동시관측한 4년동안의바람자료를이용하여다양한특성인자에대한비교를수행하였으며, 육상바람자료를이용한해상바람자료추정의한계를제시하였다. 또한일반적으로분석에서제외되는풍향의발생빈도분포도비교 * 한국해양과학기술원연안공학연구본부 (Crrespnding authr : Hngyen Ch, Castal & Envirnmental Engineering Divisin, Krea Institute f Ocean Science & Technlgy, 787 Haean-r, Sangnk-gu, Ansan, Gyenggi-d, 426-744, Krea, Tel: +82-31-400-6318, Fax : +82-31-400-7868, hych@kist.ac.kr) 190
포항 연안 바람자료의 특성분석 191 분석하였으며, 기존의 방법보다 우수한 방향자료의 발생빈도 년 동안의 자료만을 본 연구에서 이용하였다. 자료 분석 시 분석에 대한 기법도 제시하였다. 에는 작은 시간 규모의 변동성분을 저감시키기 위하여 모든 평균풍속 관측 자료를 시간(hurly)/일(daily) 단위로 평균하 2. 자료 취득 및 분석방법 여 분석을 수행하였으며, 분석 자료의 전반적인 시간변동 양 상은 풍속 및 풍향자료의 시간단위 시계열 도시(time-series 2.1 바람 관측 및 포항기상대 자료 취득 본 연구에서는 해상에서의 바람 자료로 포항신항 항내 수 역에서 4년간 측정한 바람자료를, 그리고 비교분석을 위한 육 상 바람자료로는 동일한 기간의 포항기상대 자료(KMA, 2014)를 이용하여 분석하였다. 관측지점 및 기간 등 기본적 인 정보는 Table 1에 제시하였으며, 두 관측지점의 거리 차 이는 Fig. 1에 제시한 바와 같이 3.8 km 정도이다. 이 정도 의 거리는 육상 기상자료를 해상 기상자료로 환산하는 과정 plts)를 통하여 파악할 수 있다(Fig. 2. 참조). 2.2 포항기상대 자료의 풍향 보정 포항기상대에서 제공되는 방향자료는 22.5 간격으로 1/10 의 축척으로 변환한 후 반올림되어 16방위에 대해서만 제시 에서 이격 거리가 작은 경우에 해당하기 때문에, 두 지점의 바람 정보가 매우 높은 상관관계를 가질 것으로 기대할 수 있 는 상황이다. K et al.(2012)에서 사용한 육상과 해상의 바 람 자료가 가용한 이격거리는 가장 가까운 영광의 경우에도 37 km, 고창과 부안의 경우에는 각각 45 km, 60 km 정도로 해상풍속과 육상풍속의 결정계수는 0.5~0.7 범위로 제시하고 있다. 포항기상대에서는 바람 자료가 포항기상대가 건설된 이후 지속적으로 측정되고 있으며, 1시간 간격 관측 자료(매시 10 분 동안 관측한 자료를 평균)를 취득하여 사용하였다. 포항 신항 내부에서 측정한 자료는 바람의 연중 변화 특성이 뚜렷 하기 때문에 2009년 1월 1일부터 2012년 12월 31일까지 4 Fig. 1. Mnitring statins f the castal wind infrmatin and the pht f AWS installed in the Phang New Prt (Slid red circle = KMA statin, Ted circle = Phang New Prt statin). Fig. 2. Time series plts f the wind data sets. Table 1. Basic infrmatin f the wind mnitring data Cntents Phang New Prt KMA (Phang) Mnitring perids 2008. 9. 4. - 2012. 12. 31 2009. 1. 1.- 2012. 12. 31 Mnitring intervals 10 minutes 1 hur Lcatins 36 01'N, 129 25'E (sea) 36 02'N, 129 23'E (land) Height abve the grund (m) 10.0 15.4 N. f data 210,384 35,064
정원무 조홍연 백원대 192 (0~360 범위의 방향자료가 0~36 정보로 제공, 즉 0, 2, 5, = 함수의 차수를 의미)를 각각 나타낸다. vn Mises 분포함수의 7, 9, 11, 14, 16, 18, 20, 23, 25, 27, 29, 32, 34, 36)되고 매개변수는 각각 정규분포의 평균, 표준편차에 해당되며, 간단 있다. 따라서 그 간격이 2 또는 3이 불연속적으로 반복되기 한 방법으로 매개변수 추정이 가능하다(부록 참조). 그러나 다 때문에 적절한 처리가 필요하다. 여기서는 방향 정보에 포함 수의 첨두가 존재하는(multi-mdal) 분포인 경우에는 혼합 된 반올림과 축척계수에 의한 영향을 제거하고, 불연속적인 (mixture) 분포함수를 사용하여야 하며 매개변수 추정과정이 자료를 연속적인 자료로 변환하기 위하여 ±22.5 /2 구간에 대 복잡해지기 때문에 본 연구에서는 비모수(nn-parametric) 추 하여 정방법에 해당하는 quadratic Kernel 분포함수를 이용하여 분 균일분포(unifrm distributin)를 이용한 흐트림 (jittering) 기법을 이용하여 방향자료를 다시 구성하고 그 결 포함수를 추정하였다(Fisher, 1993). 과를 Fig. 3에 제시하였다. 흐트림 기법은 자료의 반올림 등 한편, 연간 자료를 모두 이용하는 경우에는 우세한 방향이 다양한 원인으로 발생하는 자료의 불연속성을 제거하기 위하 하나 이상일 수 있기 때문에 Kernel 분포함수를 이용한 추정 여 작은 변동 성분(perturbatin, nise)을 자료에 추가하는 방 이 적절하나, 특정 월 또는 계절에는 하나의 방향이 우세한 법으로, SAS 등 다양한 통계프로그램에서 활용되는 간단하 경우가 많기 때문에 Kernel 분포함수와 더불어 vn Mises 분 고 유용한 방법이다. 한편, 포항신항 내에서 관측한 방향자료 포함수를 이용한 추정도 가능할 것으로 판단된다. 는 연속자료이기 때문에 별도의 흐트림 기법 등을 이용한 자 3. 관측자료 간 상관관계 분석 료 전처리과정은 필요하지 않다. 2.3 바람자료의 분석인자 및 방법 바람 자료는 풍속과 풍향으로 구성되어 있으며, 풍향정보 도 매우 중요하지만 풍속정보만을 비교 분석하는 것이 일 반적이다. 풍속정보와는 달리 풍향정보는 일정 범위(0~360) 내에서만 존재하고, 그 경계에서는 연속되는 정보(0 = 360) 이기 때문에 방향자료에 대한 특별한 분석기법을 필요로 한 다. 본 연구에서는 Breckling(1989), Fisher(1993) 등이 제안 한 방법을 이용하여 방향자료를 분석하였다. 풍향 자료의 발 생빈도 분포 분석에는 방향 자료에서 널리 이용되는 다음의 vn Mises 분포함수가 이용되고 있다. 1 fvm ( θ ;µ, κ ) = ------------------exp ( [ κcs ( θ µ ) ] ) 2π I0 (κ ) (1) 여기서, θ 는 바람 자료의 방향성분, µ, κ 는 각각 vn Mises 분포함수의 매개변수, I0 ( κ ) 는 Mdified Bessel 함수(첨자 0 3.1 풍속 상관관계 분석 바람 자료의 상관관계 분석은 주로 풍속만을 대상으로 수 행되어 왔다. 그러나 바람은 크기와 방향을 가지는 인자이기 때문에 다른 정보 하나(전체의 50%)를 무시하는 자료의 손 실 효과가 발생하게 된다. 따라서 본 연구에서는 전통적인 방 법과 풍속을 성분별로 추출하여 각각 비교하는 방법, 선형조 합 방법에 대하여 각각 상관관계를 분석하였다(Table 2. 참 조). 전통적인 방법(Cnventinal methd, CM)은 육상 풍속 자료와 해상 풍속자료의 상관관계를 도출하고, 육상풍속만으 로 해상 풍속을 추정하는 방법이다. 각각의 풍속성분으로 추 정하는 방법(New Methd 1, NM1)은 바람자료의 동서방향 성분과 남북방향 성분을 각각 추출하고, 각각의 풍속성분에 대한 상관관계를 도출하고, 육상 바람자료의 각각의 풍속 성 분으로 해상 풍속 성분을 각각 추정하는 방법이다. 반면 새 로운 선형조합 방법(New Methd 2, NM2)은 육상의 각각의 풍속 성분에 대한 해상의 풍속 성분 모두(동서 및 남북방향 성분)를 이용하여 최적 조합을 도출하고, 도출된 선형함수 관 계를 이용하여 해상의 풍속을 추정하는 방법으로 각각의 추 정방법을 식으로 표현하면 다음과 같다. CM : WS = αwl + β NM1 : ( WS )x = αx ( WL )x + β x ( WS )y = αy ( WL )y + βy MM2 : ( WS )x = αxl ( WL )x + βxl ( WL )y + γ xl ( WS )y = αyl ( WL )x + βyl ( WL )y + γyl 여기서, Ws, WL 은 각각 해상, 육상에서의 풍속이며, 풍속에 포 함된 첨자 x, y 는 각각 동서방향의 풍속, 남북방향의 풍속을 의미한다. 또한 매개변수 α, β, αx, βx, αy, βy, αxl, βxl, γxl, γyl 는 육상자료와 해상자료의 선형 그리고 다중 회귀분석 계수 Fig. 3. Time-series plts f the riginal, adjusted and jittered KMA wind directin data. 에 해당한다. 상관계수는 풍속만을 대상으로 한 경우가 0.48 정도로 약
포항연안바람자료의특성분석 193 Table 2. Crrelatin cefficient and rt-mean-squared errrs f the sea-wind speed estimatin using three different methds Mnth Mean wind speed CM NM1 NM2 Land Sea Crr. ceff RMSE Crr. ceff RMSE Crr. ceff RMSE 1 2.25 7.00 0.55 1.94 0.41 2.25 0.57 1.97 2 1.73 5.01 0.49 2.27 0.42 2.71 0.45 2.64 3 1.78 5.27 0.45 2.45 0.51 2.88 0.48 2.83 4 1.92 4.79 0.28 2.81 0.32 3.35 0.28 3.33 5 1.57 3.91 0.32 2.27 0.26 3.00 0.27 2.96 6 1.49 3.70 0.54 1.92 0.51 2.59 0.50 2.60 7 1.58 3.93 0.43 2.08 0.31 3.16 0.31 3.00 8 1.51 3.59 0.42 1.86 0.41 2.81 0.33 2.67 9 1.37 3.63 0.72 2.06 0.72 2.72 0.70 2.73 10 1.51 4.37 0.51 1.98 0.30 2.66 0.24 2.70 11 1.97 5.51 0.63 2.25 0.50 2.77 0.58 2.53 12 2.19 6.63 0.47 2.22 0.32 2.72 0.37 2.63 Mean 1.74 4.78 0.48 2.18 0.41 2.80 0.42 2.72 Ref. CM, NM1, NM2 methds are described in Sec. 3.1, respectively. Crr. ceff = Pearsn crrelatin cefficient, RMSE = Rt-mean squared errr 간크게나타나고있으나, 이는풍속이우세한영향으로판단된다. 월별상관계수변화에서 4월, 5월이상대적으로작은이유는작은평균풍속에비하여풍속의변동정도가크기때문으로판단되며, 9월의결정계수가뚜렷하게큰이유는일부큰풍속 (Fig. 2 (b) 참조 ) 이상관계수를높이는역할, 즉영향자료 (influential bservatins) 의역할을한것으로판단된다. 다른방법도 0.41~0.42 정도로상관계수가크지않기때문에상관관계를이용하여육지의바람자료로바다의바람정보를추정하는오차는큰차이가없는것으로파악되었다. 정량적인평균 RMS 오차는 2.2~2.8 정도이다. 기존의방법이오차가적은이유는추가로풍향성분을고려하는경우의추정오차증가가반영되지않았기때문으로판단된다. 3.2 풍향통계정보및발생빈도분포함수비교분석일반적으로풍향은풍속보다는간과되는인자이지만, 바람자료의반을차지하는중요한정보이다. 풍향은방향자료라는특성을가지고있기때문에풍속과더불어제시되는바람장미도 (rse diagram) 라는기본적인분석을제외하고는통계적인분석이간과되어왔다. 본연구에서는풍향의기본적인정보에해당하는평균방향및크기, 방향의분산을육지와바다의바람자료를대상으로추정하여비교 분석하였다. Fig. 4에는육상과해상자료의평균풍향, 분산정보등을월별로추정하여비교 분석하였다. 그림에서볼수있는바와같이하계에해당하는 5~9월의기간에는평균풍속은큰변화가없으나, 평균풍향의차이가크게나타나고있다. 그리고풍향자료의분산은전반적으로동계에감소하고하계에증가하는계절변화가뚜렷하게나타나고있으며, 하계에는육상과해상자료의방향분산에서차이가크게발생하고있음을알수있다. 대표적인방향정보인자인평균풍향단위길 Fig. 4. Directinal statistical infrmatin f the wind directin data sets. 이 (mean resultant length) 는분산에반비례하는인자로 ( 계산과정은부록참조 ), 방향분산변화와반대되는양상을보이고있다. 풍향의발생빈도분포함수는 quadratic Kernel 함수를이용하여월별로추정하였으며, 추정결과는 Fig. 5에제시하였다. Fig. 5는월별풍향발생빈도분포를보여주는그림으로, 동계에해당하는 12월, 1월에는특정풍향으로발생빈도가집중되는양상을볼수있으나, 하계에는아주우세한방향도없고풍속도작게나타나고있음을알수있다. 또한정도의차이는있으나모든기간에걸쳐육상과바다에서의풍향분포가뚜렷한차이를보이고있음을알수있다. 이러한차이
194 정원무 조홍연 백원대 Fig. 5. Mnthly distributin functin f the wind directin data sets (Blue line = Sea wind directin data, Red line = Land wind directin data). Fig. 6. Jint prbability distributin functin f the wind speed and directin (The vlumes f each jint pdf shuld be ne(1), respectively). 는 바다는 수면의 고도변화가 매우 작은 평평한 형태를 보이 결합 확률분포에 대한 검토가 필요하다. 전통적인 바람장미 는 반면, 육지는 해안에서부터 내륙으로의 고도변화 및 고도 도가 불연속적인 결합확률분포의 형태로 간주될 수 있으나, 분포 변화가 매우 심한 영향에 기인되는 것으로 판단된다. 풍속 및 풍향에 대한 분석의 해상도를 개선시키기가 곤란하 기 때문에 본 연구에서는 연속적인 분포형태를 제시하는 비 3.3 풍속-풍향 결합 확률분포 비교 분석 바람 정보는 기본적으로 풍속과 풍향이 모두 필요한 정보 이기 때문에 어느 한 항목만을 분석하면 한 쪽으로 치우친 분 석이 될 우려가 크다. 따라서 풍속과 풍향을 모두 포함하는 모수적 Kernel 분포함수를 이용하였다. Kernel 분포함수를 이용하여 추정된 결합 확률분포 형태를 Fig. 6에 제시하였다. 그림에서 보면 육지와 바다에서 취득된 자료들이 모두 뚜렷한 2개의 첨두(peak)를 보여준다. 이러한
포항연안바람자료의특성분석 195 첨두는연간자료에서나타나는특정시기의우세한풍향의영향으로간주할수있다. 또한첨두및분포의퍼짐정도를살펴보면, 육지와바다의바람분포가뚜렷한차이를보이고있음을알수있다. 이러한차이는육상의바람자료를이용하여해상의바람정보를추정하는방법은전체적으로지형분포를고려하는기상모형의도움없이상관관계만을이용하는추정에는근본적인한계가있음을의미한다. 4. 결론및제언 포항신항연안에서관측한바다바람자료와육상바람자료의통계적인특성을비교 분석하여도출된결론은다음과같다. (1) 자료의상관관계를이용한바다에서의바람정보추정은풍속의크기만을이용하는경우, 풍속의성분을각각이용하는경우, 각각의성분을선형조합하는경우등보다개선된방법을사용하여도추정정도는개선되지않았다. (2) 우세한풍향이있는바람자료는 vn Mises 분포함수가방향분포의양상을적절하게반영하는것으로나타났다. (3) 육지와바다에서의바람의방향분포는계절적인차이를보이고있었으며, 평균풍속이감소할수록풍향의분산은증가하는경향을보였다. (4) 풍향과풍속의결합확률분포함수에서육상과바다의바람자료모두 2개의첨두를가지는형태를보였으나, 방향과크기에는뚜렷한차이를보였다. 따라서육상자료를이용한바다의바람자료추정은육상의바람자료측정지점에따라바다바람자료와의상관계수가크게변할수있고, 한계가있기때문에불가피한경우정량적인추정오차분석이반드시수행되어야한다. 한편바다의바람정보추정은단기간의관측자료가가용한경우, 기상모형을이용한검증과정을거쳐오차분석을수행하여야하 며, 이러한과정이장기간의추정오차감소에기여할것으로판단된다. 감사의글 본논문은국토교통부가주관하고국토교통과학기술진흥원이시행하는 2012년도지역기술혁신사업 (12 지역기술혁신 B01) 과해양수산부가주관하고한국해양과학기술진흥원이시행하는 10 MW급부유식파력-해상풍력연계형발전시스템설계기술개발및인프라구축 연구사업의지원을받아수행되었습니다. References Barthelmie, J.P. and Palutikf, J.P. (1996). Castal wind speed mdelling fr wind energy applicatins. Jurnal f Wind Engineering and Industrial Aerdynamics, 62, 213-236. Breckling, J. (1989). The analysis f directinal time series: Applicatins t wind speed and directin, Lecture ntes in statistics, Springer-Verlag. Fisher, N.I. (1993). Statistical analysis f circular data, Cambridge University Press. K, D.H., Jeng, S.T., Ch, H., Kim J.Y., and Kang, K.S. (2012). Errr analysis n the ffshre wind speed estimatin using HeMOSU-1 data, (in Krean), J. f Krean Sciety f Castal and Ocean Engineering, 24(5), 326-332. Krea Meterlgical Administratin (2014). http://www.kma.g.kr Received 10 April, 2015 Accepted 8 May, 2015
196 정원무 조홍연 백원대 부록 : 풍향 (wind directin) 자료의기본적인통계정보추정방법 바람자료에서풍향성분자료 θ i ( i = 12...,, n ; n = 자료의개수 ) 에대한기본적인통계정보는 Fisher(1993) 의방법을이용하여다음과같이추정할수있다. (1) 평균풍향 ( θ ) 의추정. n n C = cs( θ i ), S = sin( θ i ), R 2 = C 2 + S 2 ( R 0 ) i = 1 i = 1 (A1) C S cs( θ ) = ---, sin( θ ) = --, θ = tan 1 ( S C) R R 수라고하며, 최우도법으로위치매개변수는다음과같이간단한식 (A4) 로추정된다. µˆ = θ (mean directin) (A4) 그리고 cncentratin 매개변수는식 (A5) 와같은비선형함수로표현되며, 직접매개변수를구할수없기때문에대표적인반복기법에해당하는 Newtn-Raphsn 방법을이용하여추정하였다. 여기서, θ i 는풍향자료, n 은자료의개수를각각나타낸다. R = I 1 ( κˆ ) I 0 ( κˆ ) (A5) (2) 풍향의분산 (variance, V θ, 0 V θ 1 ) 및표준편차 ( v θ ) 추정. 풍향의분산은 0~1 범위의값으로 0인경우에는분산이없는경우로하나의특정방향으로만바람이부는경우이며, 1 인경우에는균등분포 (circular unifrm distributin) 에해당하며바람방향의분포가모든방향이동일함을의미한다. R = R n V θ = 1 R (Α2) 여기서, R = 평균거리 (mean resultant length, Eq. (A1) 참조 ) 이다. (3) 풍향의발생빈도분포함수 (vn Mises pdf, f VM ( µκ, )) 추정 vn Mises 분포를따른다는가정에서, 매개변수를최적추정하면된다. vn Mises 분포함수는식 (A3) 와같으며, 이하에서는매개변수최적추정을기술하였다. 여기서추정된매개변수는 Kernel 함수를이용한방향분포함수의매개변수 (bandwidth parameter, h 0 ) 를결정하는데이용된다. f VM ( µκ, ) 1 = ------------------ 2πI 0 ( κ) exp [ κcs ( θ µ )] 2π f ( VM θ ; µκ, ) dθ = 1 0 (A3) 여기서, I 0 ( κ) 는차수가 v(=0) 인 mdified Bessel 함수이며, 분포매개변수는 µκ, 로각각 lcatin, cncentratin 매개변 여기서, f( κ) = RI 0 ( κ) I 1 ( κ) = 0, ( κ) = RI 0 ( κ) I 1 ( κ) = R 1 조건을이용하면, 을 κ -- I1 ( κ) I 2 ( κ) κ n+ 1 κ n f ( κn ) = ------------ f ( κ n ) 이용하여최적추정할수있다. 반복추정을위한 cncentratin 매개변수의초기값은아래식 (A6) 와같은근사식을이용한다. 3 2R+ R + 5R 5 6 κˆ ML = 0.4 + 1.39R + 0.43 ( 1 R) 1 ( R 3 4R 2 + 3R) max( κˆ ML 2( nκˆ ML ), 0) κˆ = ( n 1) 3 κˆ ML ( n 3 + n) κˆ ML < 2 κˆ ML 2 ˆK θ (4) Kernel 방향분포함수추정 f ( ). n R < 0.53 0.53 R < 0.85 R 0.85 (A6) ˆK f ( θ ) ----- 1, nh K θ i = ----------- h i = 1 functin K( θ S ) = quadratic Kernel (A7) 2 K( θ S ) = 0.9375 ( 1 θ S ) 2, 1 θ S 1 여기서, h는 smthing 매개변수 (bandwidth) 로다음식 (A8) 을이용하여최적추정 (h 0 ) 할수있다. h 0 = 7 1 2 ζˆ n 1 5, ζˆ = 1 κˆ 1 2 (A8)