5 장. 운동의법칙 (The Laws of Motion) 5.1 힘의개념 5. 뉴턴의제 1 법칙과관성틀 5.3 질량 5.4 뉴턴의제 법칙 5.5 중력과무게 5.6 뉴턴의제 3 법칙 5.7 뉴턴법칙의응용 5.8 마찰력 Newton 의운동법칙 : in "Principia" o Philosophiae Naturalis Principia Mathematica " 자연철학의수학적원리 " (1686)
장과 4장에서는운동이왜일어나는가를고려하지않고위치, 속도, 가속도로물체의운동을정의 ( 운동학 ) 이제무엇이물체의운동을변화시키는가를공부 - 고려해야할두개의중요한요인은물체에가해지는힘과물체의질량이장에서는거의 3세기전에뉴턴 (Isaac Newton, 164-177) 에의해공식화된힘과질량에관한 3개의운동법칙을다룸 ( 달의운동, 사과의떨어짐 ( 만유인력 ) 1665~1666년, 유럽의흑사병창궐, 1687년저서 프린키피아 발표 ) - 이법칙을이해하고나면 무엇이운동상태를변화시키는가? 왜어떤물체가다른것보다빨리가속되는가? 의질문에답을할수있게됨
5.1 힘의개념 (The Concept of orce) 힘 (orce) : 물체의운동상태를변화시킬수있는작용 접촉력 (Contact orce) : 두물체사이에물리적인접촉을수반하는힘 마당힘 (ield orce) : 빈공간을통해작용
- 알짜힘 (Net orce) : 물체의외부에서그물체에작용하는모든순힘 알짜힘은물체에작용하여가속도에변화를일으킨다. 알짜힘의증가 물체에작용하는외부힘의증가 물체의운동에가속도가증가 Newton의제 법칙 o 힘의정의 (Newton) : - 질량 1 kg을 1 m s으로가속시키는데필요한힘 - 단위 : 1 kgm s = 1N (N : Newton) cf) 질량약 100g 의무게 ( 중력가속도 g 10 m s ) cf) cgs 계 : 1g cm /sec = 1dne cf) lb (Pound : 영국에서의단위, 실제로는미국에서사용 ) 중력가속도 g = 3.1734 ft/sec 인지구상의어떤장소에서질량이 0.453937 kg인물체의무게 1 lb = 1 ft/sec = 1 slug ft/sec 4.45 N
( 참고 ) 자연에존재하는기본적인힘들은모두마당힘 (1) 두물체사이의중력 () 전하와전하사이에작용하는전자기력 (3) 원자핵내부에서작용하는강한핵력 (4) 어떤방사성붕괴과정에서나타나는약력고전물리학에서는단지중력과전자기력에대해서만고려 -우주는 Quark와 Lepton 등의입자와이들의반입자로구성 -우주에존재하는물질과현상들은이 4개의상호작용과이입자들로설명 ( 표준이론 ) -통일장이론 -초끈이론 5
힘의벡터성질 한물체에두힘이작용할때, 각힘의방향에따라서대상물체가받는알짜힘의크기와방향이달라진다. 따라서, 힘의벡터의성질을갖고있음을알수있다. 13 1.4
o 알짜힘 (Net orce, 벡터힘, Vector orce) - 물체에작용하는알짜외부힘 ma - Σ : Summation (Sigma) " 합 " 을의미 - 뉴턴의제 법칙의응용 : 가속도의법칙 - 물체의가속도는그물체에작용하는모든알짜힘 ( 물체에작용하는외부의힘 ) 들의 Vector 합이된다. o 자유물체도 (Degree of reedom) - 성분분해 : ma ma z ma z cf) 정지상태의물리학 - 물체에작용하는알짜힘 = 0 - 평형상태 Equilibrium (" 병진평형 ") 0
5. 뉴턴의제 1 법칙과관성틀 (Newton s irst Law and Inertial rames) o 제 1 법칙 : "Law of Inertia" ( 관성의법칙 ) 모든물체는외부에서의힘의작용에의하여운동상태를변경하도록강요 ( 알짜힘 ) 당하지않는한정지상태나등속직선운동의상태를계속유지한다. - 관성 (Inertia) : 물체가정지상태나등속직선운동상태를유지하고자하는경향 - 관성계 (Inertia Sstem) : 관성을지키는 Sstem Galilean Transformation 성립 cf) Inertial Reference rame cf) 비관성계 : Newton 역학이성립하지않는다. 한물체가다른어떤물체와도상호작용하지않으면, 이물체의가속도가영인기준틀이존재한다. 이러한기준틀을관성기준틀 (inertial frame of reference) 이라고한다. 관성틀에대해등속으로움직이는기준틀은모두관성틀이다.
o 관성기준틀 "Inertial Reference rame" Newton 의제 1 법칙이성립하는기준틀 e) 지구 cf) 비관성기준틀 : Newton 의제 1 법칙이성립하지않는기준틀 e) 달리는기차내의사람은기차안에서는정지상태 지구는태양주위로공전운동을하고지구축에대해자전운동을해서두회전운동의구심가속도를가지므로관성틀이아니다. 그러나이가속도는중력가속도 g 에비해작아서무시할수있다. 따라서지구와지구상에고정된좌표계를관성틀로취급한다. 관성기준틀에서볼때, 외력이없다면정지해있는물체는정지상태를유지하고, 등속직선운동하는물체는계속해서그운동상태를유지한다. 5.3 질량 (Mass) 질량 (mass): 속도의변화를거스르는정도를나타내는물체의속성 - 질량 (Mass) : 물체가가지는고유의물질의양 관성계에무관한양
o 관성질량 : - 동일한두힘 가두개의질량 m 1 과 m 를각각가속시킬경우, m 1 을알고있다면, a 1 과 a 를측정함으로써미지의질량 m 를알수있다. pf) 1 m1a1 ma 1 m1a1 ma m a a 1 1 m m1 m a a 1 두질량의비는작용한힘에의해발생하는가속도크기의역비로정의 m1 m 질량은물체가가지고있는고유속성으로주위환경과그것을측정하는절차에무관하다. 또한질량은스칼라량이며보통의산술법칙을따른다. 질량과무게는서로다른양이다. 물체의무게는그것에작용하는중력의크기와같고물체의위치에따라달라진다. W mg a a 1
5.4 뉴턴의제 법칙 (Newton s Second Law) - 제 법칙 : 가속도의법칙 힘 (Net orce) 의법칙 관성기준틀에서관찰할때물체의가속도는그물체에작용하는알짜힘에비례하고물체의질량에반비례한다. 비례상수를 1 로하면 a m 벡터표현을성분으로표현하면 ma ma ma z ma z 단위 : 1N 1kg m / s
Aside) o ( 선 ) 운동량 (Linear Moment, "Momentum" or Momenta") - 뷔리당 (Jean Buridan 1330 년대 ) - 나무공과쇠공이같은초속도로출발시쇠공이더멀리나간다. - 무거운쇠공이가벼운나무공보도운동량이더크고속도와같은방향 - Define) "Momentum" : p mv - 갈릴레오 Galileo Galilei (1564 ~ 164) : "Momento" - 데카르트 : 운동의양 "Quantit of Motion" o 뉴턴 (Newton) : 운동량 "Momentum" - Quantit of Motion 의라틴어 - 운동의변화는가해진힘에비례하고, 힘이가해진직선방향으로일어난다 - 제법칙 : 물체에작용한힘은물체의운동량의변화율과같다 p av cf) 이때운동량은힘의작용시간에도비례한다 p av t 비례계수를 1로하면, ( 운동량과힘은같은방향 ) p p av t av t
- 힘 = 운동량의순간변화율 ( 힘의재정의 ) ( t) o Modified "Newton's nd Law lim t 0 p dp t dt - 헤르만 (Jacob Hermann) and 오일러 (Leonhard Euler) dp d ( mv) dv ( t) m ma dv dt dt dt a dm 0 dt ma Modified "Newton's nd Law" Aside E) Bump ( 혹 ) A person walking at 1 m s. Hits his head on a steel beam. Assume his head stops in 0.5 cm in about 0.01sec. Assume the mass of his head is 4 kg. Sol a) What p is the force developed? ( mv) mv 4kg (1m sec - 0 m sec) 4kg m cf) vδm=0 Δm = 0 ( 변화하지않는양 ) ( mv) 4kg m sec 400 N t 0.01sec sec
b) If beam has cm of padding, that increase Δt to 0.04sec ( mv) 4kg m sec 100 N t 0.04 sec
예제 5.1 가속되는하키퍽 질량이 0.30 kg 인하키퍽이스케이트장에마찰없이수평방향으로미끄러지고있다. 그림 5.4 처럼두개의하키스틱이동시에퍽을가격하여힘이작용했다. 1 은크기가 5.0N 이고 는크기가 8.0N 이다. 퍽이가속되는가속도의크기와방향은어떻게되겠는가? Sol a m 1 8.7N 5.N 1 8.7 0.3 9m / s 1 cos( 0) cos(60) 1 sin( 0) sin(60) a m 5. 0.3 17m / s 가속도의크기 가속도의방향 a 9 17 34m / s a 1 1 tan tan a 17 9 30
5.5 중력과무게 (The Gravitational orce and Weight) - 질량 (Mass) : 물체가가지는고유의물질의양 관성계에무관한양 - 무게 (Weight) : The orce Due to Gravit : 물체에작용하는중력의세기 관성계의성질에따라영항을받는다. e) 달에서의중력 : 지구의 1/6 달에서의물체의무게는지구에서의무게의 1/6 - 중력 : 공기의저항을무시할경우, 지구표면에서의낙체의운동은모두동일한가속도 g 로떨어진다. "Galileo Galilei 지구가물체에작용하는인력을중력 (gravitational force) g 라고한다. 이힘은지구의중심을향하고, 이힘의크기를무게 (weight) 라고한다. W mg g cf) 단위 (Unit) : kg중 ( 과거 ), 생황에서는그냥kg으로사용과학에서는무게의단위는힘의단위인 N 으로사용해야만한다. - 1 kg중 = 1 kg 1g = 1 kg 9.8 m s = 9.8N 10N cf) 달에서 1 kg의무게는 9.8/6 = 1.7N
5.6 뉴턴의제 3 법칙 (Newton s Third Law) o 작용반작용의법칙 (Law of Action and Reaction) 한물체가다른물체에힘을작용할때에는언제나다른물체는자신에게힘을가한물체에크기가같고반대방향인힘을작용시킨다. 두물체가상호작용할때, 물체 1 이물체 에작용하는힘 1 는물체 가물체 1 에작용하는힘 1 과그크기는같고방향이반대이다. 1 1 모든작용에는크기가같고방향이반대되는반작용이있다. " 작용반작용 " e) 그냥벽을미는경우와롤라스케이트를신고벽을미는경우의차이 cf) 반작용 (eedback)
Aside) o 인체 "Homeostatics" : - Negative eedback : Produceable Control e) 적당한 Calcium 뼈, 치아, 피등에영양을공급 아이가자랄때 세포의성장과균형 어른 - Positive eedback : Change Direction íµ Unstable control e) 과량의 Calcium : 신장 (Kidnes) 에서제거 혈압이떨어지게된다. 성인 : 세포의크기가변하거나수가변하게되면, Loose Control Tumor 발생 수직항력 (normal force) N 한물체가바닥을누르는힘에대한반작용으로주어지는힘 o 항력, 수직력 (Normal orce) 임의의면위에물체가놓이게되면, 면은 Newton 의제 3 법칙에따라물체의무게에대항하는힘, " 항력 " 이생긴다. - " 수직력 " ( 접촉면의 Normal 방향, "Normal orce") - " 접촉력 " (Contacting orce)
작용력 : 모니터에작용하는지구의인력 ( Em = g ) 반작용력 : 지구에작용하는모니터의인력 ( me ) 작용력 : 모니터가책상을누르는힘 ( mt ) 반작용력 : 책상이모니터를밀어올리는힘 ( tm =n) me Em mt tm 모니터가받는힘만을고려하면 tm Em n g n mg 0 n mg
5.7 뉴턴법칙의응용 (Some Applications of Newton s Laws) 뉴턴의법칙을적용할때오직물체에작용하는외력에만관심을갖는다. 물체를입자로가정하여회전운동은고려하지않는다. 별도의언급이없는한줄이나끈의질량도무시. 이와같은가정에의해줄의한점에작용하는힘은줄을따라어디에서나일정하게작용한다 평형상태의물체 (The Particle in Equilibrium) 평형상태란가속도가 0 인상태를말한다. 0 0 T g 0 T g
알짜힘을받는입자 (The Particle Under a Net orce) n g 수직항력이항상중력과같은것은아니다. n g ma g g n n m T a ma T 0
예제 5. 매달려있는신호등 ( 다음참조 ) 무게가 1N 인신호등이세줄에매달려있다. 위의두줄은수직줄에비하여그렇게강하지못하여장력이 100N 을초과하면끊어진다. 이상태에서신호등은잘매달려있을수있을까? 아니면둘중하나의줄이끊어질까? 신호등에서보면 ( 그림 (b)) T 3 T g 3 g 1N 0 매듭에서보면 ( 그림 (c)) T 1 cos37.0 T cos53.0 0 orce Diagram T 1 sin 37.0 T sin 53.0 ( 1) 0 T1 73.4N T 97. 4N
Sol
예제 5.4 승강기안에서물고기무게측정 ( 다음참조 )
E) 엘리베이터와무중력 - 겉보기무게와지구의회전 o Elevator 에서의중력가속도변화 ( 무게변화 ) - Elevator 정지시물체의무게측정 : Weight W = mg net = W -mg = 0 - Elevator 상승시 ( 운동가속도 a ) 물체는 Elevator 의운동에관성을받는다 net = W -mg = ma W = m (g +a ) > mg ( 무겁게측정 ) - Elevator 하강시 ( 운동가속도 -a) net = W -mg = -ma W = m (g a ) < mg ( 가볍게측정 ) cf) Elevator 의줄이끊어지면 자유낙하 -g 의운동가속도로하강 W = m (g g ) = 0 무중력상태 (apparent weightlessness : 겉보기무중력 )
예제 5.5 애트우드기계 (Atwood Machine 도르레 ) ( 다음참조 ) 서로다른질량을가진두물체가그림과같이질량을무시할수있고마찰이없는도르래에수직으로매달려있다. 두물체의가속도와줄에걸리는장력을구하라. 도르래의질량과마찰을모두무시하면두물체에작용하는장력은같다. 물체1: 물체 : T m g m 1 g T m a 1 m a a m m m m 1 1 g T m m m g a g m m 1 1( ) 1
Sol
5.8 마찰력 (orces of riction) o 마찰 "riction - 물체가움직이면, 접촉면과의접촉부분에서물체의움직임에방해하는힘 - 마찰에의한힘 : 마찰력 "rictional roce cf) 마찰력이모든운동의근원 - 물체와면사이의원자, 또는분자들간의 정전기력 ( 정확한원인은아직미지 ) - 대략 100 원자지름정도 cf) 저온용접 (Cold Welding) - 두면을함께눌러주어서접촉점들의융해력만으로접합 (e) 금조각, 플라스틱등 - 두표면을움직이게하려면이용접을끊어주어야한다 - 기름이나윤활유, 베이비파우더의피부보호등
마찰력 (force of friction) : 물체가주위와의상호작용때문에운동하는데받는저항. 정지마찰력 : 물체가움직이지않는상태에서작용하는마찰력. 운동마찰력 : 물체가움직이는상태에서작용하는마찰력. 운동속도가크지않은경우대개접촉하고있는두물체사이의마찰력은수직항력에비례. 운동마찰력 (Kinetic riction) - 운동중인물체가가지는마찰력 - 마찰력의크기 fr 은수직력 N ( 항력, Normal orce) 에비례 -b Ep. fr N - 비례계수 μ k : fr k N 운동마찰계수 "Kinetic riction Coefficient" 운동마찰력 - μ k 는물체의종류, 형태그리고접촉면의성질에따라실험적으로결정 ( 표참고 )
정지마찰 ( 력 ) (Static riction) - 물체가움직이기시작하는순간의마찰력 - 역시, 수직력 N 에비례 - 비례계수 μ s : 정지마찰계수 "Static riction Coefficient" fr s N 정지마찰력 - μ s 역시실험적으로결정 접촉하고있는두물체사이의정지마찰력 s s N s : 정지마찰계수 접촉하고있는두물체사이의운동마찰력 k k μ k < μ s : k s N k : 운동마찰계수
굴림마찰력 (Rotational riction) 구형, 또는원통형의물체가접촉면에서굴러갈때굴림마찰력은운동마찰력의한종류이나, 같은물체의경우굴림마찰력이운동마찰력보다 ( 훨씬 ) 작다. 마찰력의방향은접촉하고있는물체의표면에평행하고움직이는방향과반대이며, 정지마찰력도움직이려는방향의반대방향으로작용한다. - 마찰력은운동의방향에대하여반대로작용하며, 접촉면에대하여평행이다. ( 수직력에대하여수직이다 ) 마찰계수는접촉면의면적과거의무관하다 Aside E) -축방향으로 100N의, -축방향으로 100N의 의외력이작용한다면, 실제물체에작용하는힘 (Net orce) net 는? Net 1 1 ˆ Net 100 100 141N 1 cf) 두힘의크기가같고사이각이 45 일때만성립
E) 물건을들어서옮기는것보다밀거나당겨서옮기는것이힘이적게드는이유. - 질량 10 kg의물체를드는데필요한최소한의힘 : = 질량 10 kg의무게에상대하는힘 M = 10 kg g = 10 9.8=98N 무게 9.8 kg중에해당한다. - 이물체를 40N 의힘으로 30 의각도로끌거나밀어보자 (40N 의힘 4 kg중의무게를드는데필요한힘 ) A A A A 40 N 40 N sin sin 30 cos cos 30 40 N 40 N 1 3 a ) - 축방향으로받는가속도 a? 0 N 1.73 40 35N a =0 -tot = 0 ( 물체는 - 축방향으로는움직이지않는다.)
b ) - 축방향으로받는가속도 a? a A m A cos m 35N 10Kg 3.5m / s cf) 이경우, A (0N) 은 M (98N) 보다훨씬작음에도불구하고물체가움직인다. cf) -tot = 0 의의미? Newton 의제 3 법칙에의해, 바닥이물체에연직방향으로항력 ( 수직력 ) 을작용시키기때문이다. 이수직력의크기는? tot Net mg 0 A M sin N A N 98N 0 N N N mg A sin 78N c) 만일, 이물체와접촉면과의운동마찰계수가 0.3 이라면물건을움직이는가속도는? a tot Net ma A 35N 0.3 78N 1 N Net 1N 1.m / s m 10Kg fr A cos k N cf) E 5-3, 5, 6 등은 6 장에서종합보충
예제 5.3 미끄러지는자동차 ( 경사면해석 ) 그림처럼경사각이 θ 이고빙판인비탈길에질량 m 인자동차가있다. (A) 비탈길이마찰이없다고가정하고자동차의가속도를구하라. Sol mg sin ma n mg cos 0 a g sin (B) 정지상태에서꼭대기로부터맨아래에도달하는데걸리는시간과그곳에서자동차의속력 i 0 d v 0 등가속도운동이므로 v f f i a d gd sin 1 d at t d g sin
경사면문제 (Ski 탈때속도 ) 질량 m 인물체가기울기인경사면에서미끄러져내려온다. 이물체의운동마찰계수가 μ k 라고하면, 이때의가속도 a 는, 또 t 초후의속도 v 는? cf 1) 이문제의경우, 그림과같이방향을잡으면가속도의방향은 -, - 방향이되어음의값을가지게되어, 감가속도와혼동하기가쉽다. 이를방지하기위해서는아래의그림과같이좌우를대칭이동하여생각하는것이유리하다. cf ) 보통의 차원 좌표계를잡아주면, 상당히풀이가복잡하게된다. 그래서맨아래그림과같이좌표축을회전하여빗면을기준으로하여미끄러지는방향으로 - 축으로하여주면편하다. o 빗면에대하여 - 축으로하면, - N 은 - 축방향, - a 는 + (or -)- 축방향이된다. 이경우너무방향에집착하기보다는결과에서가속도 a 가미끄러지는방향이라고표시하는정도로간단하게해결하면된다. - fr 역시 - 축방향.
Sol - g 를성분분해하면 : g mg sin g mg cos -Net orce 의성분분해 - 축방향의 Net orce ( 총힘 ) Net- = 0 ( 빗면에서 - 방향의운동은없다 ) - 축방향의 Net orce 성분만고려하면된다. Net ma N g 0 N g mg cos Net a ma g mg sin mg cos k fr mg sin a g sin g cos ( 가속도 a로미끄러진다 ) k cf) 미끄럼가속도 a 는질량 m 에무관하다. Ski 탈때속도는몸무게에무관! k N cf) 빗면과의 ( 운동 ) 마찰계수 : 등속도운동 (a = 0) 일경우 k sin cos tan
예제 5.8 마찰이있는경우연결된두물체의가속도 ( 다음참조 ) 거친수평면위에질량 m 1 인블록이가볍고마찰없는도르래에걸쳐진가벼운줄에의해질량 m 인구와연결되어있다. 수평과이루는각이 θ 인방향으로블록에힘 가작용해서오른쪽으로미끄러지고있다. 블록과표면사이의운동마찰계수는 n k 이다. 두물체의가속도의크기를구하라. 블럭에대해뉴턴운동법칙을적용하면 (1) () cos T m a n sin m g f k 1 1 0 m a 1 구에대해뉴턴운동법칙을적용하면 ( 3) T m g m a m a n f k m1 g sin ( m1 g sin ) k a (cos k sin ) ( m m m 1 km1 ) g
예제 5.6 줄에의해연결된두물체 ( 다음참조 ) 가벼운줄에의해질량을무시할수있고, 마찰없는도르래에질량이 m 1 과 m 인두물체가연결되어있다. 질량이 m 인블록은경사각 θ 의비탈면에놓여있다. 두물체의가속도와줄의장력을구하라. 공에대해뉴턴운동법칙을적용하면 (1) () 0 T m g 1 m a 1 ma 블럭에대해뉴턴운동법칙을적용하면 (3) (4) ' ' m n m g sin T m a g cos 0 () 식과 (3) 식에서 T 를소거하면 ' m a a mg sin m1 g m m 1 T m m m 1 g(sin 1) 1 m