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5장 운동량 방법 (Moenu Mehod) 5. 충격량과 운동량의 원리 (Principle of Ipulse & Moenu) 5. 선형운동량의 보존 (onseraion of Linear Moenu) 5.3 충돌 (Ipacs) 5.4 각운동량 (ngular Moenu) 5.5 질량유동 (Mass Flows)

/59 5. 충격량과 운동량의 원리 Newon의 제법칙을 시간에 대해 적분하면, 다음 충격량과 운동량 의 원리(Principle of Ipulse & Moenu)를 얻는다 : F d d F d 선형운동량 (linear oenu) 선형충격량 (linear ipulse) 충격량과 운동량의 원리: 물체에 어떤 시간 동안 가해진 충격량은 물체의 선형운동량의 변화와 같다.

3/59 5. 충격량과 운동량의 원리: 충격력과 평균 충격력 시간 에서 까지 물체에 작용한 합력의 시간 평균 : F a F d F 주어진 시간 동안 물체의 속도변화를 알고 있다면, 위 식에 의해 이 시간 동안 물체에 가해진 평균 합력을 알 수 있다. a 짧은 시간 동안이지만 상당히 큰 선형 충격량을 가하는 힘을 충격력 (ipulsie force)이라고 한다. 실제로는 시간에 따른 충격력을 구하는 것은 불가능한 경우가 많지만, 시간에 대한 평균 충격력 을 구하는 것은 종종 가능하다. 예) 예제 5.3의 골프공 평균 충격력

5. 충격량과 운동량의 원리: 충격량과 운동량 원리의 스칼라 표현 충격량과 운동량의 원리식의 스칼라 식 표현 -물체 경로의 접선방향에 대한 Newon의 제법칙 식을 적분하면, 경로 상에서의 합력과 속도변화 사이의 스칼라 관계식을 얻을 수 있다 : F a d d F d, :, 에서 경로에서의 속도 경로에 접선방향인 합력의 시간평균에 의해 충격량과 운동량의 원리를 다음과 같이 나타낼 수 있다 : F a F d F a 충격량과 운동량의 원리는 외력의 적분을 물체 속도의 변화와 연결 시킨다는 점에서는 일과 에너지의 원리와 유사하지만, 속도의 크기 와 방향 모두의 변화를 구하는 벡터식인 점과 보존력에 해당하는 종류의 힘이 없다는 점이 다르다. 4/59

5/59 예제 5. 충격량과 운동량의 응용 00 kg의 헬리콥터가 =0에서 정지상태로부터 출발한다. (a) =0에서 =0 s까지 헬리콥터에 가해진 합력이 다음과 같을 때, =0 s에서의 속도를 구하라. F 70 (N), F 60 360 (N), F 0 y (b) =0 s에서 헬리콥터의 속도는 36i + 8j (/s)이다. =0에서 =0 s 까지 헬리콥터에 가해진 평균 합력은 얼마인가? z 전략 =0에서 헬리콥터의 속도와 작용하 는 합력의 성분들을 시간의 함수로 알고 있으므로, 충격량과 운동량의 원리를 이용하여 =0 s에서의 속도 를구할수있다. =0s와 =0 s에 서의 속도를 알게 되면 평균 합력을 구할 수 있다.

6/59 예제 5. (계속) 풀이 (a) = 0에서 = 0 s까지 충격량과 운동량의 원리를 적용하여, =0 s에 서의 속도 를 구한다 : 0 0 F d 70 i 60 360jd 00 0 36,000i 3600 j 00 30i 3j (/s) : (b) =0 s에서 =0 s까지의 시간 동안 가해진 평균 합력을 구한다 : Fa 0 0 Fa 0036i 8j0030i 3j F 70i 600j (N) a

7/59 예제 5. 경로에 접선인 충격량과 운동량 오토바이가 = 0에서 정지상태로에서 출발하여 반경 400 의 원형트랙 을 주행한다. = 0에서 =30 s까지 오토바이에 가해지는 합력의 접선 성분은 F = 00-6 (N)이다. 오토바이와 선수의 총 질량은 50 kg이다. (a) =30 s에서 속도의 크기는 얼마인가? (b) =0에서 =30 s까지 접선 성분의 평균 합력은 얼마인가? 전략 합력의 접선성분이 시간의 함수로 주어져 있으므로, 충격량과 운동량의 원리를 이용하여 속도 크기를 시간의 함수로 구할 수 있다.

8/59 예제 5. (계속) 풀이 (a) 충격량과 운동량의 원리를 이용하여 속도 크기 를 구한다 : F d ( ) 00 3 50 (30 s) (/s) : 0 /s 00 6 d 50 0 (b) =0에서 =30s까지에 대한 합력의 접선성분 평균값과 속도의 접선성분 변화에 대한 식으로부터 합력의 접선성분 평균을 구한 다: F a : 30s 0 F 50 kg /s F a a 0 (N) 0

예제 5.3 충격력 구하기 날아가는 골프공을 0.00 s 간격으로 찍었다. 무게가 0.6 N인 공의직경 은 4 이다. 클럽이 공과 0.0006 s 동안 접촉하였다면 클럽이 가한 평균 충격력은 얼마인가? 전략: 0.00 초 간격으로 찍은 두 공 사이의 거리를 측정하여 타격 후 공의 속도를 추정하고, 충격량과 운동량의 원리로부 터 공에 가해지는 평균 합력을 구한다. 풀이: 0.00 초 동안 날아간 거리는 48, 방향은 위쪽 으로 이다. 따라서 공의 속도크기는 (48 )/(0.00 s)=48 (/s) 이다. 9/59

0/59 예제 5.3 (계속) 공의 무게가 0.6 N이므로 공의 질량은 0.6/9.8=0.06 kg이다. 충격량과 운동량의 원리로부터 평균 합력을 구한다 : Fa : 0.0006Fa 0.06 kg48 /scos i sin j F 4.556i.749j (kn) a 0

5. 선형운동량(linear oenu)의 보존 물체 와 에서 F 는 가 에 가하는 힘이며, 역으로 F 는 가 에 가하는 힘이다. 두 힘은 예를 들어 접촉상태에서 일어나 거나 두 물체를 연결한 스프링 에 의해 일어날 수도 있다. Newon의 제3법칙에 따라 두 힘은 크기가 같고 방향이 반대 이다. /59 0 F F 와 에 가해지는 외력이 없거나 서로에게 가하는 힘과 비교하여 외력을 무시할 수 있다고 가정하면, 임의의 시간 과 에대해물체 와 에 충격량과 운동량의 원리를 적용할 수 있다. cons 0,, d d F F 위 두식을 더하면

/59 5. 선형운동량(linear oenu)의 보존 두물체와 에 외력이 없다면, 또는 두 물체의 내력에 비해 외력을 무시할 수 있다면, 두 물체의 전체 선형운동량은 보존된다 : consan 물체 와 의 전체 질량중심(즉, 두 물체를 하나의 시스템으로 생각할 때의 질량중심)의 속도도 일정함을 증명해 보자 : r 와 r 를 두 물체의 각각의 질량중심 위치벡터라고 하면, 전체 질량중심의 위치 r 은 r =dr/d r r consan

3/59 5. 선형운동량(linear oenu)의 보존; 적용 어떤 문제에서는 전체 질량중심의 운동만이 얻을 수 있는 유일한 정보인 경우가 있으므로, 전체 질량중심의 속도가 일정하다는 사실 을 아는 것이 중요하다. 와 에 무시할 수 없는 외력이 작용할 지라도 특정 방향에 대해서 는 이 외력을 무시할 수 있다면 그 방향에 대해 선형운동량 보존을 적용할 수 있다. 선형운동량의 보존은 고려 대상인 물체의 개수와는 상관이 없으며, 어떤 물체들의 집합이라도 작용하는 외력들을 무시할 수 있다면 물체들의 전체 선형운동량은 보존되며 또한 전체 질량중심의 속도 도 일정하다.

예제 5.4 선형운동량의 보존 질량이 P 인 어떤 사람이 질량 의 정지 상태인 바지선(barge) 중심에 서 있다. 물이 바지선에 가하는 수평력은 무시한다. (a) 만일 이 사람이 물에 대해 P 의 속도로 달리기 시작한다면 이로 인해 얻어지는 바지선의 물에 대한 속도는 얼마인가? (b) 이 사람이 바지선의 우측 끝부분에 도달해서 멈춘다면, 원래 위치에 대한 사람과 바지선의 상대적인 위치는 얼마인가? 4/59 전략 (a) 사람과 바지선에 대한 유일한 수평력은 서로가 가하는 힘이다. 따라서 수평방향의 전체 선형운동량 보존으로부터 바지선 속도를 구할 수 있다. (b) 사람과 바지선의 전체 질량중심은 처음에 정지상태였으며 계속 유지되어야 한다. 이로부터 사람과 바지선의 위치를 구할 수 있다.

예제 5.4 (계속) 5/59 풀이 선형운동량 보존으로부터, 사람이 달리기 전에 사람과 바지선의 수평 방향 전체 선형운동량이 0이었으므로 사람이 달리기 시작한 후에도 0 이어야 한다. 사람이 달리고 있는 동안 바지선의 좌측방향 속도 크기 를 라고 하면, 다음 식으로부터 사람이 달리고 있는 동안의 바지선 속도를구할수있다: P P P 0 P

(b) 바지선과 사람의 초기 질량중심 위치를 좌표계의 원점으로 하고, 원점의 왼쪽으로 바지선의 질량중심 위치를 라고 하자. 사람이 바지선의 우측 끝에 도달하여 멈추었을 때, 전체 질량중심은 여전히 = 0에 있어야 한다는 사실로부터 해를 얻을 수 있다 : 6/59 P P P P P P P P G L L L, & 0 예제 5.4 (계속)

7/59 5.3 충돌(Ipacs) 충돌 전의 두 물체의 속도를 알고 있다면, 충돌 후 두 물체의 속도를 구할 수 있는가? 즉, 충돌이 두 물체의 운동에 미치는 영향은? 충돌하는 물체들이 외력을 받지 않는다면, 이들의 전체 선형운동량 은 보존되어야 한다. 설사 외력을 받는다고 해도 충격력이 대개는 매우 크며 충돌시간이 매우 짧아서 외력들이 물체의 운동에 미치는 영향은 충격력에 비해 무시할 만 한다. 물체 와 가 속도 와 로충돌 하며 충돌 후의 속도가 과 라 고 하자. 충돌 직전과 충돌 직후의 시간 간격은 매우 짧아서 외력의 영향을 무시할 수 있으므로, 와 로 구성된 시스템의 전체 선형 운동량은 보존된다 :

8/59 5.3 충돌(Ipacs): 완전 소성충돌 와 의 질량중심의 속도 는 충돌 전과 후가 동일하다 : 와 가 충돌 후 들어붙는다면, 두 물체는 완전 소성충돌 (perfecly plasic ipac)을 한다고 하며, 위 식으로부터 충돌 후 의 합쳐진 물체의 질량중심의 속도를 구할 수 있다. 이 식은 충돌 의 물리적인 성질을 고려하지 않고 충돌 후의 속도를 구할 수 있 게 한다. 만일 와 가 충돌후서로붙 지 않는다면, 선형운동량 보존 만으로는 충돌 후의 두 물체의 속도를 구하는데 충분한 식을 얻을 수 없으므로 추가로 다른 식이 필요하다.

5.3 충돌: 정면중심충돌(Direc cenral ipac) 와 의 질량중심이 충돌 전에 속도 와 로 같은 직선상에서 움직 인다고 가정하자. 충돌하는 동안 물체 와 가 서로에게 가하는 힘의 크기를 R이라 하고, R은 운동경로에 평행하며 두 물체의 질량중심을 향한다고 가정하자. 이 충돌을 정면 중심충돌(direc cenral ipac)이 라 하며, 두 물체는 충돌 후에도 동일한 직선을 따라 운동한다. 충돌하는 동안 외력의 영향을 무시할 수 있다면, 전체 선형운동량은 보존된다 : ' ' 9/59

5.3 충돌: 정면중심충돌(Direc cenral ipac) 속도 와 를 구하기 위해서는 또 하나의 식이 필요하다. 이를 위해 충돌 과정을 자세히 고찰해 보자. 와 가 처음 접촉하게 되는 시각을 이라고 하자. 충돌 결과 두 물체는 변형 하게 되며 두 질량중심은 점점 더 가까 워진다. 에서, 두 질량중심은 가장 근접한 거리 가 되며 이 시각에서 두 질량중심의 상대속도는 0이며 두 물체는 같은 속도 를 갖는다. 그 다음 두 물체는 서로 떨어지기 시작 하여 시각 에서 분리된다. 에서 까지, 에서 까지의 시간구간에 대해 에 충격량과 운동량 의 원리를 적용한다 : R d, R d ' 0/59

/59 5.3 충돌: 반발계수 e 물체 에 대해서도 에서 까지, 에서 까지의 시간구간에 대해 충격량과 운동량의 원리를 적용한다 : R d, R d ' 충돌 결과, 물체의 운동에너지의 일부는 영구변형과 열, 소리 등으 로 소실되므로, 에서 까지의 충돌의 복원 단계에서 두 물체가 서로에게 준 충격량은 에서 까지의 충격량보다 일반적으로 더 작다. 이들 두 충격량의 비율을 반발계수(coefficien of resiuion) e 라고 한다 : e R d R d 반발계수 e의 값은 두 물체가 충돌할 때의 속도와 방향뿐만 아니라, 두 물체의 성질에도 좌우되며, 충돌과정에서의 변형의 상세 해석이 나 실험에 의해서만 결정될 수 있다.

앞에서 얻은 충돌과정에서의 식으로부터, 반발계수 e를 충돌 전후의 두 물체의 상대 속도로 나타낼 수 있다 : /59 ' ' ' ' e e R d R d e e R d R d e e가 주어지면, 선형운동량 보존식과 함께 충돌 후의 두 물체의 속도 와 를구할수있다. e = 0(완전소성충돌)이면, 반발계수 식으로부터 = 임을 알 수 있다. e = (완전탄성충돌)이면, 충돌 전의 전체 운동에너지는 충돌 후의 전체 운동에너지와 같다. 즉, 전체 운동에너지는 보존된다. 5.3 충돌: 반발계수 e

e = (완전탄성충돌)인 경우, 총 운동에너지가 보존됨을 보여줄 수 있다 : 3/59 & e ' ' ' ' ' ' ' ' 위의 두 식으로부터 와 를 구하면, ' ' ' ', 충돌 전후의 두 물체의 운동에너지가 같음을 다음과 같이 알수있다: 운동에너지가 보존되는 충돌을 완전탄성이라고 부른다. 실제로는 어떤 충돌에 서도 에너지는 일부 손실된다. (소리나 영구변형도 에너지 손실 형태) 5.3 충돌: 완전탄성충돌의 운동에너지 보존

와 가 속도, 로 서로 접근하여 충돌하게 되며, 충돌하는 동안 서로 가하는 힘이 축에 평행하면서 상대방의 질량중심을 향한다고 가정하자. 4/59 축 방향의 선형충격량 보존 : z z z z y y y y,,, y 축이나 z 축 방향으로는 어떤 힘도 나 에 가해지지 않으므 로이들방향으로는충돌후에도 속도가 변하지 않는다 : e 축 방향의 반발계수 : 5.3 충돌:경사중심충돌(Oblique cenral ipac)

5/59 5.3 충돌:벽과의 충돌 후 물체의 속도 마찰을 무시한다면, 물체 가 정지상태의 물체 에 비스듬하게 부딪치는 경사 중심충돌 문제를 해석할 수 있다. 가 정지상태의벽에 부딪치며, 와 사이의 마찰을 무시할 수 있다 면, y와 z 방향으로는 충돌이 아무런 힘도 가하지 않으므로 의 y, z 방향 속도성분은 변하지 않는다. 충돌 후의 의 방향 속도성분은 반발계수 식에 =0을 대입하여 구 할수있다: e e 0 0

6/59 예제 5.6 충돌 해석 4 kg의 질량와 가 매끄러운 수평 막대 상에서 미끄러진다. 다음 두 경우에 대해 충돌 후 두 물체의 속도를 구하라 : (a) 두 물체가 Velcro 로 덮여 있어서 충돌 후 서로 붙는 경우; (b) 두 물체의 반발계수가 e = 0.8인 경우. 전략 (a) 만일 두 질량이 서로 붙는다면, 충돌 후 두 질량은 같은 속도를 같게 된다. 선형운동량 보존으로부터 두 질량의 속도를 구할 수 있다. (b) 반발계수에 대한 식과 선형운동량 보존 식으로부터 충돌 후 각 물체의 속도를 구할 수 있다.

풀이 (a) 충돌 전 두 물체의 속도는 =0 /s, = -5 /s이다. 선형운동량 의 보존으로부터 충돌 후 두 물체의 공통 속도인 를 구할 수 있다: 7/59 /s.5 ' ' 4 4 5/s 4 0 /s 4 : ' (b) 선형운동량의 보존법칙과 반발계수로부터 충돌 후의 두 물체의 속도인 와 를 구한다 : /s 8.5 /s, 3.5 5) ( 0 0.8 : 5 4 4 5 4 0 4 : e 예제 5.6 (계속) 충돌 후 결합된 두 물체는 오른쪽으로.5 /s의 속도로 움직인다.

예제 5.6 (계속) 충돌 후, 물체 는 3.5 /s의 속도로 왼쪽으로 움직이며, 는 8.5 /s의 속도로 오른쪽으로 움직인다. 8/59 비판적 사고 만일 두 질량이 충돌 후에 서로 붙는다면 충돌 후에 결정해야 할 속도 는 하나뿐이므로, 선형운동량의 보존만으로도 그 속도를 구할 수 있다. 그러나 만일 두 질량이 서로 붙지 않는다면 충돌 후의 두 속도를 구하 기 위해서는 다른 식이 더 필요하다. 반발계수는 이 때 필요한 식을 추 가로 제공한다. 비록 충돌하는 물체가 서로 붙지 않는다고 하더라도, 충돌후이둘의전체질량중심의 속도는 붙었을 때 갖게 될 속도와 동 일하다. 이 예제에서 충돌 후 전체 질량중심의 속도는 (4)( 3.5) (4)(8.5) 4 4 이며, (a)에서 구한 속도와 같다..5 (/s)

9/59 예제 5.6 운동량의 우주선 도킹 적용 아폴로 사령선()이 소유즈 캡슐()과 도킹을 시도한다. 이들의 질량은 = 8 Mg, = 6.6 Mg이다. 소유즈는 기준좌표계에 대해 정지상태 이며, 사령선은 속도 = 0.i + 0.03j 0.0k (/s)로 접근한다. (a) 만일 첫 번째 도킹 시도가 성공이면, 도킹 후 결합된 우주선의 질량 중심의 속도는 얼마인가? (b) 만일 첫 번째 도킹 시도가 실패하고 이로 인한 충돌 반발계수가 e = 0.95이면 충돌 후 두 우주선의 속도는 각각 얼마가 되겠는가? y V z

예제 5.6 (계속) 전략 (a) 도킹이 성공적이라면, 충돌은 완전 소성이며 전체 질량중심의 속도는 변하지 않는다는 사실을 이용하여 충돌 후의 질량중심 속도를 구한다. (b) 도킹용 연결고리가 가하는 힘이 축에 평행한 경사중심충돌을 가정함으로써 축 방향으로의 운동량 보존과 반발계수 식으로 부터 충돌 후의 두 우주선 속도를 구할 수 있다. 풀이 (a) 전체 질량중심의 속도는 충돌 전후가 동일하다. 도킹은 완전소성 과 같으므로 도킹 후의 속도는 전체 질량중심의 속도와 같다 : 30/59 0.46i 0.00j 0.046k 8Mg0. i 0.03j 0.0k 8Mg 6.6 Mg (/s) 0

3/59 (b) 두 우주선의 y, z 방향 속도성분은 변하지 않는다. 축방향선형 운동량 보존과 반발계수 식으로부터 충돌 후 두 우주선의 속도를 구한다 : e 예제 5.6 (계속) : 0.95 0. 0 80. 0 8 0.9 6.6 위의 두 식을 풀면 = 0.0954 (/s), = 0.85 (/s)이므로, 충돌 후 두 우주선의 속도는 다음과 같다 : ' ' 0.0954i 0.03 j 0.0k 0.85i (/s) (/s)

3 Hoe Work of haper 5 다음 연습문제를 풀고 리포트로 제출 #5.3, #5.7, #5.8, #5.0, #5., #5., #5.0, #5., #5.3, #5.4 #5.43, #5.49, #5.5, #5.53, #5.56, #5.57, #5.60, #5.63, #5.76, #5.78 제출 기일: 03년 월 9일 3:00