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제 5장보의응력 ( 기본주제 ) 5.1 소개 - 전단력/ 굽힘모멘트를받는보에서발생하는응력 / 변형률 - 굽힘에의해처짐 발생 처짐곡선 - 좌표축은그림에도시함 - 보의단면은 y 평면에대칭 y 축이단면의 대칭축 - 모든하중은 y 평면내에서만 작용 - 굽힘처짐은 y 평면내에서만일어남 y y 평면 : 굽힘평평면 (plane of bending) - 처짐은 y 방향으로측정된보의변위 Page 05-
5. 순수굽힘과불균일굽힘 순수굽힘 : 일정한굽힘모멘트하에서의굽힘 V d / d 0 constant 즉전단력이 0 인구간에서발생함 불균일굽힘 : 전단력이존재하는상태의굽힘 축을따라굽힘모멘트가 변함 예 -1) 두 개의우력을가지는단순지지보 예-) 자유단에우력이작용하는캔틸레버보 고정단에같은크기의 반력모멘트 발생 ( 단순지지보의경우와 같은응력상태 ) Page 05-
예-) 일부는순수굽힘상태나머지일부는불균일굽힘상태 보의응력 / 변형률 순수굽힘상태에서유도 불균일굽힘에서도활용가능함 (5.8 장 ) Page 05-4
5. 보의곡률 - 곡률중심 (center of curvature) - 곡률반지름 (radius of curvature) mo 1 - 곡률 (curvature) 1 기하학적조건 : 1 d ds 처짐량이작은경우 1 d d d ds ds d : O (5-) 이므로 (5-) Page 05-5
- 곡률의 부호규약 그림참조 - 곡률의 부호규약은좌표축의 선택과관계있음. - 처짐곡선의방정식의유도시에곡률의부호가중요함 - 부호규약은일관성을유지하면됨. Page 05-6
5.4 보의길이방향변형률 Page 05-7
단면 (mn, pq) 에관한가정 - 변형후에도평면을유지 - 길이방향축 ( 축 ) 과직각, 전단변형은고려하지않음, (Euler Beam) 변형후의형상 ( 그림-c) - 윗부분 : 길이가줄어듬 ( 압축 ) - 아랫부분 : 길이가늘어남 ( 인장 ) - 중간단면 ss 는길이가변하지않음 중립면 (neutral surface) - 중립면과단면평면과의교선 중립축 (neutral ais), e.g. z 축 변형률의계산 선분 ef 의처음길이 : d 선분 ef 의최종길이 : L1 ( y) d ( y) d d y d 변형률 : L d y d 1 y (5-4) ( 0, y 0) 이면 ( 0) ( 압축 ) Page 05-8
예제 5-1 문제 L 8.0 ft, h 6.0 in 바닥면에 문제 :, 에서 0.0015, 바닥,, 구하기. 면 - 중립면간 거리 ; in 풀이 y (1 1 0.0050 ft 1 1 in 400 in 0.0015 cos ) 며 sin L / 0.000 rad 이며 00 ft (1 cos ) (400 in) )(1 0.9998) 0.480 in Page 05-9
5.5 보의수직응력 ( 선형탄성재료 ) 선형탄성재료의경우 ; E Ey E y (5-7 7) 정역학적평형조건을사용함. (1) 방향합력은 0 이다 ( 축력이없음 ) 중립축의위치결정 () 응력에의한모멘트의합은 단면에가해진모멘트와같다. 모멘트-곡률 관계식 중립축의위치 A da A E yda 0 yda A 0 (5-8) z 축에대한단면의면적의 1차모멘트가 0 z 축은단면의 도심통과 (1) y 축에대해대칭인단면만을고려함. () 좌표의원점은단면적의도심 Page 05-10
모멘트 -곡률관계식면적 da 인요소에작용하는힘은 d yda (5-10) 을 A yda 즉 여기서 1 EI EI - 굽힘모멘트와곡률의부호규약 그림에정의됨. 참고 : 사각형부재 EI I A 다시정리하면 I : 굽힘강도 A Ey da E (5-10) 모멘트-곡률관계식 yda (5-11) I (5-1) 모멘트-곡률관계식 1 1 bh da y da A ) 관성모멘트 (oment of Inertia), 원형부재 EI I d r 64 4 4 4 Page 05-11
굽힘공식 (5-1) 를 Ey E y I (5-7) 에대입하면굽힘응력 (bending stress) 을 E y 단면에서의최대응력, 1 EI (5-1) 계산할수 있음. 굽힘공식 (fleure formula) 단면에작용하는최대인장 / 압축 굽힘응력 중립축에서가장먼곳에위치한 점에서발생 Page 05-1
중립축으로부터양 / 음 y 방향으로맨끝에있는요소까지의거리를 c 1 I 여기서 S 1 S I 1 S 1 c1 I c c I S (5-14a,b) 단면계수 (section modulus) (5-15a,b) c, 제 5 장보의응력 c 각각 1 로하면 이중 단면이 c 1 c 1 직사각형 c 원형단면 : 대칭형상 y, z 축에각 이고최대대인장 / 압축이수치적으로동일 c I 형단면 : I I 4 d 64 각각대칭이면 ( 축대칭 ) bh 1 S S or S d I c ma bh 6 S, 여기서 S I c 부록 D, E, F 참조 Page 05-1
제한 - 단선형탄성재료 - 규일단면보의순수굽힘 - 전단변형으로인한뒤틀림 (Warping) 은고려하지않음 - 응력분포 / 하중의불연속에의한응력집중현상은무시함 Page 05-14
예제 5- 문제 굽힘으로인한보내의최대인장및압축응력구하기 Page 05-15
풀이 A B 에서 반력 : 0, 0 R.59 k R 1.41 k A B 집중하중좌 / 우측각각의구간의단면에대한자유물체도의평형조건에서 SFD/BD 를플롯하면그림 (c), (d) 와같다. 그림 (d) 에서최대굽힘모멘트 : ma 151.5 k-ft 단면계수 : 최대응력 : bh 1 (8.75 in)(7 in) 106 in S 6 6 ma (151.6 k-ft)(1 in/ft) t 1710 psi S 106 in ma c 1 S 1710 psi Page 05-16
예제 5-4 문제 보내의 최대인장및압축응력구하기. 풀이반력 : A 0, 0 RA.6 kn RB 10.8 kn B 에서 SFD/BDD 작도 그림 (b),(c) 에도시함. 그림에서굽힘모멘트의최대값은전단력의부호가바뀌는지점에서발생함. pos.05 kn m neg.6 kn m Page 05-17
면적 -1: y1 t/ 6 mm, A1 ( b)() t t (76 mm)( (1 mm) 1 mm Page 05-18
면적 -: y h/ 40 mm, A ht (80 mm)(1 mm) 960 mm y y, A A 면적 -: 무게중심 : c 관성모멘트 : 단면계수 : 최대응력 : i i 1 1 (6 mm)(1 mm ) (40 mm)(960 mm ) 1 Ai A1 A 1 mm (960 mm ) 제 5 장보의응력 ya ya ya 18.48 mm c hc1 80 mm 18.48 mm 61.5 mm 1 4 ( Iz) 1 ( Ic) 1 Ad 1 1 ( b t)( t) A1( c1t/ ) 555,600 mm 1 1 ( Iz) ( Iz) ( Ic) Ad ( t)( h) A( y c1) 956,600 mm 1 6 4 Iz ( Iz) 1( Iz) ( Iz).469 10 mm Iz Iz S 1 1,600 mm, S 40,100 mm c c 1 양의최대굽힘모멘트단면에서 ( 밑면 : 인장, 윗면 : 압축 );.05 kn m 50.5 Pa t pos S 40,100 mm 4 Page 05-19
c.05 kn m 15. Pa pos 1 S1 1,600 mm 제 5 장보의응력 음의최대굽힘모멘트단면에서 ( 밑면 : 압축, 윗면 : 인장 );.61 kn m 6.9 Pa t c neg 1 S1 1,600 mm.61 kn m 89.8 Pa ma neg S 40,100 mm ( ) 50.5 Pa t ( ) 89.8 Pa c ma Page 05-0
5.6 굽힘응력에대한보의설계 보의설계 : 1. 보의형태와크기결정 ( 단면계수의선택, S ma ) allow. 구조해석을통해하중작용시발생하는실제응력산정 ( 최대응력산정 ). 실제응력 < 허용응력인지검토 구조용강 : 부록 E Page 05-1
여러 가지보형상의상대효율 보의효율 : 재료가중립축에멀리분포하면 유리함 (a) 직사각형 : 높이가클수록유리함 bh Ah S 0.167Ah 6 6 (b) 정사각형과원형비교 원과같은단면적의정사각형 정사각형 : 원 : S S S circle square circle S squaree d 1.18 h d 6 48 0.098d 형 : h ( d / ) 0.1160d (c) 이상적인보 면적의절반씩을 을 h / 에위치시킴 Page 05-
Ah Ah I I, S 0.5Ah 4 h / (d) WF 형보 - 이상적인보에가깝게설계된단면 - S 0.5Ah ( 직사각형보에비하여큰값 ) - 보통폭이넓기때문에직사각형보에비하여측면좌굴에강함 - 웨브가너무얇으면국부좌굴의가능성및과단전단응력을받음. Page 05-
예제 5-5 문제 allow 1,800 psi, 비 비중량 5 lb / ft 부록 F 의표에서적절한크기선택하기. 풀이보의크기미정 보의무게미정 시행착오 (1) () 주어진등분포하중에근거한요구되는단면계수계산보에대한임시크기를선택함 ( 표 F 참조 ) () 등분포하중에보의무게를더하여 새로운단면계수계산 (4) (5) 선택된보가새로운단면계수를만족하는가확인만족하지않는경우단계 () 로돌아감. Page 05-4
(1) 보의최대굽힘모멘트 ql (40 lb/ft)(1 ft)(1 in/ft) ma 90, 70 lb-in 8 8 요구되는단면계수 S 90, 70 lb-in ma allow 1800 psi () 부록 F 의표로부터 이보의단면계수는 50.4 in 제 5 장보의응력 50.4 in 이상의단면계수를갖는가장가벼운보인 1 in보선택 5.7 in, 무게는 5 lb / ft 6.8 lb / ft () 보의균일하중은이제 46.8 lb / ft 이며이에대응되는요구되는단면계수는 46.8 lb / ft S (50.4 in ) 51. in 40 lb / ft (4) 앞서선택한 1 in의단면계수 5.7 in 는요구되는단면계수 51. in 보다크다. (5) 이경우는여기서풀이가종료되지만, 만일 (4) 항에서만족이안되면 () 항으로돌아간다. Page 05-5
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예제 5-7 문제 allow 18,000 psi, 자중을고려하여 WF 형보형상의구조용강철보 선정하기. 풀이 (1) 등분포하중에의한최대굽힘모멘트계산 () 최대 () 부록 굽힘모멘트로부터단면계수추정 E-1 에임시의 WF 보선정및무게 추산 (4) 하중에무게를추가하여 (1),() 과정반복 (5) 선택된보가여전히만족하는지판별 (6) 만족되지않으면 () 항으로돌아가반복함. Page 05-7
A B 에서 반력 : 0, 0 RA 18,860 lb RB 17,140 lb 좌측지지점으로부터 V 0 이되는단면까지의거리 1 은 V RA q1 0 (0 1 ft) 1 최대굽힘모멘트는 V 0 인단면에서발생함. q1 ma RA1 88,90 lb-ft 요구되는단면계수는 S 임시보의선택 (88,90 lb-ft)(1 in /ft) ma allow 18,000 psi 부록표 E-1 에서 W 150 의특성 : R A 18,860 lb 9.40 ft q,000 lb / ft 59. in 제 5 장보의응력 S 59. in 보다큰단면계수의 WF 형보중가장가벼운보는 W 1 50 S 64.7 in, 무게는 50 lb / ft 주어진하중과자중을고려한굽힘모멘트를다시계산함. A B 에서 반력 : 0, 0 R 19,80 lb R 17,670 lb A B Page 05-8
좌측지지점으로부터 V 0 이되는단면까지의거리 1 은 V RA q1 0 (0 1 ft) 1 최대굽힘모멘트는 V 0 인단면에서발생함. 요구되는단면계수는 S W 150 (91,610 lb-ft)(1 in / ft) ma allow 18,000 psi 의단면계수 R A 19,80 lb 9.454 ft q,050 lb / ft q1 ma RA1 91, 610 lb-ft 61.1 in 제 5 장보의응력 S 64.7 in 이므로선택된보는아직도만족됨. Page 05-9
예제 5-8 문제 s 0.8 m, h.0 m, 8.0 Pa 일 allow 때기둥의요구되는치수 b 구하기. Page 05-0
풀이 기둥에작용하는분포하중은삼각형분포임 ( 그림 (c) 참조 ), 최대세기는 q0 hs 최대굽힘모멘트는밑판에서발생 ma qh 0 h h s 6 요구되는단면계수는 : 정사각형보의단면계수는 : b S ma allow 6 hs allow b S 6 hs (9.81 kn / m )(.0 m) (0.8 m) 0.007848 m 8.0 Pa 7.848 10 mm 6 allow b 199 mm Page 05-1
5.7 불균일단면보 - 단면이 길이에대해균일하지 않음 - 무게를줄이고, 겉모양개선을 위해사용됨. - 단면치수가점차적으로변하면 기존의굽힘공식사용가능. - 단면계수가변화하므로 최대응력점과최대굽힘모멘트점불일치함 완전응력보 (fully stressed beam) - 모든단면에서최대허용굽힘응력을가짐. - 설계시 가정된것과다른하중의가능성 실제로얻기는 힘듬 - 완전응력보의성질이해 최소무게의구조물설계에도움이됨. - 자동차겹판스프링, 테이퍼거더, 등등 Page 05-
예제 5-9 문제고정단에서의응력 B 와최대굽굽힘응력 ( d / d ) B A ma 구하기. 풀이 단면계수 : d d ( d d A B A ) L S d d A ( d B d ) A L 굽힘응력 : 굽힘모멘트가 P 이므로 1 S d P ( d d A B A )( / L) (5-) 고정단에서의최대응력 ; 식 (5-) 에 L, B 4PL d A d B d A 를대입하여구함. Page 05-
보의최대응력 : 4P 식 (5-) 는 db da인경우 ; 1 (1 / ) (b) da L 식 (b) 의최대값은 d / d 0 1 으로부터 1 이최대가되는 값을구할수있다. Note: 제 5 장보의응력 L, 이값을 (b) 에대입하면, 18PL PL 4.741 d d ma 7 A A ma 4.741 1.19 4 B Page 05-4
예제 5-10 문제모든단면의최대응력이 allow 가되도록 h 구하기 풀이 굽힘모멘트와단면계수 P S bh /6 굽힘공식 : allow S P bh /6 6P bh 높이에대해풀면, h 6P b allow (f) 이식에 L 을대입하면, hb 6PL b allow (g) (g) 을이용하며 (f) 를 h h 간단히하면, B L Page 05-5