ª Œª Œ 6ƒ 4A Á 006 7œ pp. 677 ~ 687 ª p-verso w ³ j ½ w» Stress Recovery Techque by Ordary Krgg Iterpolato p-adaptve Fte Eleet Method Ÿ Á xá Woo, Kwag SugÁJo, Ju HyugÁLee Dog J Abstract Krgg terpolato s oe of the geerally used terpolato techques Geostatstcs feld. Ths techque cludes the experetal ad theoretcal varogras ad the forulato of krgg terpolato. I cotrast to the covetoal least square ethod for stress recovery, krgg terpolato s based o the weghted least square ethod to obta the estated exact soluto fro the stress data at the Gauss pots. The weght factor s detered by varogra odelg for terpolato of stress data apart fro the covetoal terpolato ethods that use a equal weght factor. I addto to ths, the p- level s creased o-uforly or selectvely through a posteror error estato based o SPR (supercoverget patch recovery) techque, proposed by Zekewcz ad Zhu, by auto esh p-refeet. The cut-out plate proble uder teso has bee tested to valdate ths approach. It also provdes valdty of krgg terpolato through coparg to exstg least square ethod. Keywords : krgg terpolato, geostatstcs, a posteror error estato, SPR techque, varogra, stress recovery, adaptve p-refeet j ½ w wù. x j ½ y w swwš. w, ƒ k l w» w ƒ»., w ƒ e w ƒ w w ƒ eƒ. wr, w Zekewcz Zhu w SPR»» z sƒ w p- ³ k ƒ j.» w sq w w. w,» w j ½. w : j ½, w, z sƒ, SPR»,,, p- y 1. w wƒ œw w w w t ew. w ew sww vw. w w w ƒ w ƒ» w w w x w v. w z sƒ(a posteror error estato) w w ƒ. w w w wwš w d wš s ƒw z w w x w ¾ y j w w ƒ ww p- y wù. p- y w 1980» (resdual techque)» Babuska(1980) w. w y w (auto esh)» w w w w ƒ š. w 1980 z Dekowcz Ode(Dekowcz, 1989)» w z sƒ»» w y w ww. wr, 1987 Zekewcz Zhu(wz Z/Z t»)» (recovery techque) w š» w z û w y œw (E-al : kswoo@yu.ac.kr) z w œ 1 (E-al : etaphy@para.co) ( )w» (E-al : o13ra@aver.co) 6ƒ 4A 006 7œ 677
h- y ww., 199 Z/Z w SPR» w»» w w w., w w w yw w(supercoverget soluto) w w e w š (algorth) wš w»ƒ rw w z. SPR» h- y w» 1998 z Asworth Seor 003 Ÿ w d x w»» p-verso w w p- y ww ƒ t» w. Z/Z w SPR» w p- y w y yw s ƒwš ³ w w» h- y w r w w ƒ w z w sƒ.» SPR» w (estated exact soluto) syy p- y x w p ƒ w ƒ š ƒ w w ew ƒ ƒ w. z syy w v» š w ƒ v w. j ½ (krgg terpolato) û v eœy D.G. Krgeƒ Ÿ» Ÿ dw» w x š x w (Gudud, 1998). z w ƒ š w š. j ½ ƒ j p w w ƒ ƒ ƒ e w. ƒ e w. w j ½ w š ü w, p w w ƒ š ƒ EFG(eleet free Galerk) j ½ w ƒ t š (Da, 003). w ƒ e w p- y xw p (stress sgularty) y (stress gradet)ƒ j y s y w zw q. w j ½ p- y w w w»(preprocessor)ƒ C ++ - w, w»¾ p- s v ùkü,» w. ƒx (cut-out) ƒ sq ew w w» SPR» w p- y w ³ j ½(ordary Krgg) w p- y w. w w w s ³ j ½ w d» w s w w ƒ¾ ew w.. j ½.1 j ½ w» wÿ dw» w x. Ÿ sƒ x yw ƒ l x y w, y w y w ƒ. j ½ w, Ÿ r Ÿ š e x yw. e ƒ e w w dwš w l d. j ½ w w d w s³ dw ù. Ÿ w e y w w» w. j ½ ³ j ½ w rw w. ³ j ½ rw(ubas) swwš j ½ w yw d w. j ½ w d w w y v w. j ½ 1 w.. p- y w j ½ e, d 1. j ½ w 678 ª Œª Œ
4.. h-verso w ƒ e 5.» w syy 3. p-verso w ƒ e ƒ d dw. w» w t œ z d w e w w. SPR» p- verso w» h-verso w SPR» q q ü w ƒ ˆ eƒ w. w ƒ w š ƒ. h-verso w j ½ w ƒ ƒ ƒ š w ƒ e w y ƒ. w h-verso w w q sw ƒ w ˆ w. j ½ w w ü y w d ƒ p-verso w š x w ˆ ƒ j ½ p-verso w yw w.» SPR» w w w σ w. σ sƒ w» SPR» w wš. σ sƒ w. 4 5 w σ w w w w 1 l w, l w w syy. syy w w w j ½ w y ww yw sƒƒ ƒ w w y w w w..3 x (experetal varogra) j ½ w ƒ e w» w ƒƒ w txw w. w w tx ƒ e w ƒ w w. ƒ h r(h) (1) tx w w r(h) () tx (, 00). r( h)=e z( x) z x+ h [( ( )) ] 1 r( h)= ----- z ( x ) z x + h = 1 [ ( )] (1) r(h) w» z(x ) ùkù. sƒ ƒ ƒ¾ (1) () 6ƒ 4A 006 7œ 679
Model Lear Sphercal Expoetal Power t 1. w [13,16] Varogra h C --, for h 0 a r( h)= a C, for h a 0 3 h h C 1.5 -- 0.5 -- 0 r( h)= a a ùkùš ƒ f ù y w w ƒ. t œ w yw 6 e t w - w, x w..4 (theoretcal varogra) x ùkü y(fttg) w w w. x œ txwš œ txw w. œ txw w w w w. () hƒ w ƒ z(x+h) 0 ù y w ƒ š z(x)ƒ ù w ƒ. w w w. w œ w w w ù w» w a (rage) w. w w w tx w t 1. wr, hƒ 0 w 0, > C, for h a 0 > 3h r( h)=c 0 1 exp ----- a r( h)=c 0 1 H 0, for h a ( ( ))+αh β, 0 < β < ; h 0 6. x x w ü 0 0 ùký ½(ugget) w t 1 C o tx. ½ ƒ ùkü y ùkü. w, t 1 h(0) Heavsde w ƒ 0 1 š, 0 p α β. t 1 (Che, 01; Zhag, 1995; Ja, 1996)..5 ³ j ½ (ordary krgg terpolato) t œ w x wš w j ½ yw. w j ½ w j ½ ³ j ½. ³ j ½ w (usapled data) d z 0» w (eghbor data) z w ƒ e w» w ƒ w w. w w ƒ j ½ ƒ j ½ d rw(ubased). j ½ w d (3) š (4) d z 0 w» E txw (Che, 001; Clayto, 1996). z 0 = (3) (4) z 0 š d z 0 ƒ e w w w ƒ e w. (varace) Var(z 0 ) j w ù ƒ ùkü œ (covarace) Cov(z 0, z 0 ) (4) tx w (5) σ. σ =Var(z 0 ) Cov(z 0, )+Var( ) (5) d z 0 ƒ e λ w w ã (6) j ½ ùký (Che, 001; Clayta, 1996). where, λ z = 1 σ =E z 0 z 0 [( ) ] σ =σ z0 λ σ 0 = 1 + σ =Var z 0 z 0 = 1 (6) j ½ ƒ ƒ e λ w j ½ š (6) rw w ³ j ½. ³ j ½ rw s ³ t s³ w ƒ ƒ g rw š w. rw z 0 λ λ j σ j j = 1 z0, z ( ), σ 0 ( ), σ j =Cov z, z j ( ) (3) (4) (6) 680 ª Œª Œ
(7) ùký rw w l b w. b =Ez ( 0) E( z z 0 )=E( z 0 ) E λ z = 1 z (7) j ½ w s³ ƒ š (7) rw ƒ 0» w ƒ e w 1 w w. ³ j ½ w (8) sw. 1 λ =0 = 1 (8) wš (6) w ƒ e w ³ j ½ w d. 3. ³ j ½ w p- y 3.1 x SPR» ü r q (patch)» syy ww σ w w q ³ j ½ ww» w t œ. ƒ l š ƒ ƒ ³ j ½ ww. t œ ƒ z ƒ e l x w w. x w š w ƒ š l œ y q w» w w. ƒ ƒ w ƒ. ƒ j ƒ h j hj. š () s ³ w ƒ. ƒ ƒ wš ƒ w yw x 7. w (polyoal odel) w x =0 (7) (8) š w» w ƒ. 3. x» ƒ w w - ùkü tw w. w w v w. w, Power xk š w. w ƒ (weghted least squares) w Ja (1996) Che (001) d de l w w x ƒ ƒà y (fttg) j ½ de ƒ e ƒ yw š. w wš ³ j ½ v g yƒ w 7 w (polyoal odel) w. x w - w txw ww xk w. 5 w w w k 0, 5» w w k1,...k š x(zhag, 1995). rh ( )=k 0 +k 1 h+k 1 h + +k h 5 3.3 ³ j ½ y ³ j ½ w rw l j ½ rw w w. (7) rw l (8) wš w ƒ ƒ e w ³ j ½ w d ƒ w. Mze, σ λ σ + 0 = 1 = Subject to, 1 λ =0 = 1 1 λ λ j σ j j = 1, σ j =Cov( z, z j ) (9) (10) (10) ³ j ½ ƒ ùküš. w ƒ w y w (Lagrage ultpler ethod) w w w. w w w w w š w w, w. w w (Lagrage objectve fucto) š w w (Lagrage ultpler) w. ³ j ½ w w (11). L( λ 1, λ,, λ ; ω)= 6ƒ 4A 006 7œ 681
σ λ σ 0 + = 1 = 1 L( λ 1, λ,, λ ; ω) : Lagrage Objectve Fuctos ω : Lagrage Multpler λ λ j σ j j = 1 +ω 1 λ = 1 (11) (11) sww xk w, w ƒ e λ ω w ƒƒ r w w w. L ------- = σ λ 0l l + L ------= 1 λ ω = 1 λ σ l = 1 =0 ω=0, l=1,,, (1) (13) (1) (13) w (14) (15) tx w. e = ( σ σ p ) T [ D] 1 ( σ σ p )dω Ω (17) (17), e -, Ω -, [D] w (costtutve atrx) ùkü. (10) w [D] w L -, y (stress or) š e σ tx. wr, σ-œ σ w w ƒ œ ùkü e σ l w ƒ q w σ-œ d w (11) w. η ƒ w q w t. η Ω w wš w w. Ω e σ η Ω= --------------------------------------- 100( %) e ( Ω + eσ Ω ) 1/ (18) λ σ l = 1 (14) (14) ³ j ½ ùkü. w ³ j ½ w xk tx ƒ w j ½ w rw w w» w w w xkƒ. ³ j ½ l d dw ω=σ 0l ( + 1) +( + 1), l=1,,, j» ƒ w. σ 11 σ 1 σ 1 1 λ1 σ 01 σ 1 σ σ 1 λ σ 0 = λ σ 1 σ σ 1 σ 0 ω 1 1 1 0 1 (16) rw w w j w j»ƒ f š w. (16) w xk tx ³ j ½ ùküš. 3.4 z sƒ(a posteror error estato) w w w w» w. ƒ w xk» w w w wwš p sww ù y sw x w p ƒ k. p- y p p ƒ j ù ƒ w» w p w v w w w óù z w w z sƒ» v w. SPR p-verso w w ( w σ p ) w ( w σ ) œ l wš l ùkü eσ(=σ σ p ) l ³y w l (eergy or) (17) w. 68 Ω 1/ σ Ω = σ e e = 1 (19) (18) σ w ƒ œ ùkü e σ w ƒ œ ùkü ùküš. (18) w w ³y ùkü. w ƒ x w p ƒ j t w» w ³y w ƒ d wš p ƒ q w. (1) ùküš. SPR» w r q š q x q ƒ. w ƒ q w z j t w w s³ š w. e σ e η e = --------------------------------------- 100( %) ( + eσ ) 1/ e e = e e e σ e = 1 1 --- e σ e = e 1 σ e --- = 1 (1) () (3) (3) p ƒ ƒ q w z, η e s³ w w ùkü., (18) (1) w t (4) w. η e ξ e = ------ η Ω ξ e (4) ª Œª Œ
11. w p- y (5 w, NDF=168) 8. ep»wx w (4) ξ e > 1 p- ƒ j., η e d η Ω j x w ƒ j p- y ww. wr, SPR w q w r p sww q (patch assebly pot) q w z ƒ» w w w. w σ ³ j ½ w wš w w. q w w w syy w., ƒ yw d yw w w. q ƒ w š w w p ƒ w w j sƒw w. ww w w w. w w š w». w ³ j ½ w š 9. p- y w w» 1. ³ j ½ w p- y (4 w, NDF=13) w š w yw w. w w» w j w e. 4. ew 4.1 Catlever Bea w ew ep w ww. ep 9. ep Ì ƒ s (plae stress) w w w ep w Toseko w. ( )x+( + ν) y D ----- Py u = -------- x 6L 3x 6EI P u = -------- y 3νy L x 6EI (5) (6) p- y w w» 9 š 8 ƒƒ D=10 c, L=10 c, w w P=1 kgf/c. k E= 10 6 kgf/c, ν=0.3 ep» ³ j ½ ƒƒ w ep w w (collecto) 4 ( )+( 4+ 5ν) D x -------- + ( 3L x)x 4 10. w p- w 13. ƒ sq 6ƒ 4A 006 7œ 683
그림 로 고정된 체눈설계 14. p=4 그림 그림 전영역 로 유한요소해석 한 후의 가우스적분점에서의 응력분포 15. =0, 즉 그림 p=4 축을 따라 이루어졌다. 그림 10과 같이 정해와 적응적 체눈 세분화의 결과 비 교는 유한요소해석결과와 이론적 정해가 매우 정확한 것을 알 수 있다. 위의 결과에서 보듯이 정해와 같은 수준의 결 과를 도출해내므로 정해를 얻기 위해 지나친 형상함수의 고 차화나 요소재분할이 불필요함을 간접적으로 나타낸다 할 수 있다. 또한 정규 크리깅 보간법을 사용한 적응적 유한요소해 석의 안정성 및 통용성을 입증한다 하겠다. 그림 11과 그림 1에는 SPR기법 사용시 응력복구를 위해 최소제곱법과 정규 크리깅을 사용하였을 때의 최종 적응적 체눈을 나타내며, 그 때의 자유도 비교를 보여주고 있다. 동일한 수준의 정확도를 갖기 위해 정규크리깅 방식(NDF=13)이 최소제곱법 (NDF=168)에 비해 적은 자유도를 필요로 하고, 반복회수도 5회에서 4회로 빠른 시간내에 적응적 -체눈을 결정함을 알 수 있다. 개구부를 갖는 평판 개구부(cut-out)가 존재하는 평판은 개구부의 모서리 부분 에서 응력특이(stress sgularty)가 발생하게 되므로 적응적 유한요소해석을 위한 검증 예제로 많이 사용된다. 다음의 그림 13은 개구부가 있는 평판의 해석 전 영역을 y 16. FEM raw data 17. 최소제곱법 x p- p 4. (Cut-out plate) 그림 18. 크리깅 보간법 보여주고 있다. 그림 13에서 =50 c이며 두께 =1 c이다. 재료상수는 각각 = 10 kgf/c, ν=10으로 설정하고 인장력 σ=1 kgf/c 이 작용하고 있다. 전 해석 영역에서 기하형상과 경계조건, 하중조건 등이 대 칭성을 만족하므로 1/4모델을 통해 해석을 수행하였다. 적응 적 -유한요소해석을 수행하기 전에 형상함수의 차수를 고정 684 a 6 E t p 大韓土木學會論文集
3. 1- w w 19. 3-» (p=1) 4. 1- w j ½ w 0. 1-» (p=1) No. of Iterato t. 1- w (η Ω ) ³j ½ NDF η Ω (%) NDF η Ω (%) 1 36 0.4856 36 33.1167 89 13.8159 96 15.106 3 135 8.3546 149 7.1086 4 190 7.8897 14 4.0010 5 4 7.1 34 4.3044 6 7 6.18 64 3.0146 7 8 6.1883 301 3.549 8 314 6.948 353 4.1743 9 343 9.507 10 363 5.476 1. 3- w w. 3- w j ½ w w z w w wwš ³ j ½ w syy ww. w w w w» w w syy w ƒ z y w. 14 x w w š w. w w ww z ƒ ƒ l w syy» w. 15 w ƒ v q w k ùk, s³ vo-mses w. w ƒƒ, j ½ ww syy š 16-18 ùkü. 16-18 3-D esh grd w w l w w w syy. s syy s w j ½ w s wš. p p tx wš. 6ƒ 4A 006 7œ 685
5. 1- ƒ, p- y w p- w w ww. w wš» x w p- 1 w sƒ w ƒ w. w z ƒ ƒ x w ùk ü w ƒ ƒ ƒ w. w» w ƒ w w w p- y š (algorth) z hp- y w. ƒƒ w w 1 4 ùkü. ³ w x ƒ w xk ùküš. x ƒ j w, w š x w w w y š. w w w» w w z (terato uber) w. w w w ü w ƒ w ƒ w». ƒ w ƒ sƒ t ùkü. w ƒ, yƒ y 1-10z w, ³ j ½ 8z w w z w. w w z ƒ š y w». j ½ w w ƒ w w w. 5 w w z j ½ j ùkù. j ½ w ˆ w w. z w w w w. ù, 5 3 ƒ ƒ wš ƒ ƒ o x š. t 3. 1- w we ( e ) E ³j ½ No. of Iterato 1 3 4 5 6 7 8 9 10 l» w š q. SPR» w Zekewcz/Zhu w w, w w(exact soluto) FEM w w., w w sƒ w ƒ w. w» w t 3 w. t 3 ƒ š.» we(lt value) ƒ w w w(exact soluto) Babuskaƒ w (extrapolato techque) w w w w w sƒ w w SPR» w zw ƒ s ƒw» w. wr, Babuska w we š x(babuska, 1980)»., š SPR» Adaptve Mesh w»¾ w FEMw ww z ƒ ù j ½ w syy(stress soothg) k w(estated exact soluto) ƒ w, w FEMw eergy or w sƒw., (4) t(error dcator)ƒ ξ e >1 p- ƒ j., η e d η Ω j x w ƒ j p- y ww., w p- ƒ k ƒ ƒ w t. w t 3 Babuska (Babuska, 1980) w w (adaptve esh) w»¾ ƒ. ù, ù w» w syy w w FEM w r ƒ» q ù yw w» ƒ. 5. š NDF (%) NDF (%) 36 89 135 190 4 7 8 314 343 363 e E 33.588 15.6584 11.9939 9.5106 8.0518 6.8090 6.3787 5.7867 5.7830 5.7819 36 96 149 14 34 64 301 353.. e E 33.588 13.3313 11.3313 9.5978 8.797 7.4504 6.3864 5.6089.. y w Zekewcz Zhu w 686 ª Œª Œ
SPR p- y w w w SPR w ƒ w š w SPR» w w. w ƒ j ½ œw w.» w w ew ww ƒƒ w ƒ ƒ w. yƒ w we» w w w w ù j ½ w w œw ü š. w w š x w wì w ƒ š yw e w. j ½ w w x w w. w w» w š x w wš w yw ww hp- y zw ƒ. ³ j ½ w w ƒ w y w w w w w. w w w w w w š ƒ. 005 w w w (KRF-005-0-D00495), ¾ tw. š x Ÿ, x, (003) z sƒ w p- y, w wz, w wz, 3«A y, pp. 177-185. (00) œ -j ½ y»,, pp. 83-163. Asworth, M. ad Seor, B. (1997) A adaptve refeet strategy for hp-fte eleet coputatos, Appl. Nuer. Math., Vol. 101, pp. 1-88. Asworth, M. ad Seor, B. (1997) Aspects of a adaptve hpfte eleet ethod : adaptve strategy, coforg Approxato ad Effcet Solvers, Coput. Meth. Appl. Mech. Egrg., Vol. 101, pp. 65-87. Babuska,G I. ad Rheboldt, W.C. (1980)G Relable error estato ad esh adaptato for the fte eleet ethod, J.T. Ode, Ed., Coput. Meth. Nolear Mech., North-Hollad Publshg Co., pp. 67-109. Clayto V. Deutsch (1996) Correctg for egatve weghts ordary krgg, Coputers & Geosceces, Vol., No. 7, pp. 765-773. Da, K.Y., Lu, G.R., L, K.M., ad Gu, Y.T. (003) Coparso betwee the radal pot terpolato ad the Krgg terpolato used eshfree ethod, Coputatoal Mechacs, Vol. 3, pp. 60-70. Dekowcz, L., Ode, J.T., Rachowcz, W.S ad Hardy, O. (1989) Toward a uversal h-p adaptve fte eleet strategy Part II: A Posteror Error Estato, Coput. Meth. Appl. Mech. Egrg., Vol. 77, pp. 113-180. Gudud Host (1998) Krgg by local polyoal, Coputatoal Statstcs & Data aalyss, Vol. 9, pp. 539-551. Ja, X., Olea, R.A., ad Yu, Y.S. (1996) Sevarogra odelg by weghted least squares, Coputer & Geosceces, Vol., No. 4, pp. 387-397. Jorge Kazuo Yaaoto (000) A alteratve easure of the relablty of ordary krgg estates, Matheatcal Geology, Vol. 3, No. 4, pp. 489-509. Yoglag Che, Xguo Jao (001) Sevarogra Fttg wth Lear Prograg Coputers & Geosceces, Vol. 7, pp. 71-76. Zhag, X.F., Va Ejkere, J.C., ad Heek, A.W. (1995) O the weghted least-square ethod for fttg a sevarogra odel, Coputer & Geosceces, Vol. 1, No. 4, pp. 605-608. Zekewcz, O.C. ad Zhu, J.Z. (1987) A sple error estator ad adaptve procedure for practcal egeerg aalyss, It. J. Nuer. Meth. Egrg., Vol. 4, pp. 337-357. Zekewcz, O.C. ad Zhu, J.Z. (199) The supercoverget patch recovery ad a posteror error estate Part I: The Recovery Techque, It. J. Nuer. Meth. Egrg., Vol. 33, pp. 1331-1364. Zekewcz, O.C. ad Zhu, J.Z. (199) The supercoverget patch recovery ad a posteror error estate Part II: Error Estate ad Adatvty, It. J. Nuer. Meth. Egrg., Vol. 33, pp. 1365-138. ( : 005.1.14/ : 006..8/ : 006.4.8) 6ƒ 4A 006 7œ 687