곡률 (Curvature) 이있는경우의예 543
곡률 (Curvature) 이없는경우의예 H.W.#5 544
실험설계 (DOE) 부분요인설계 (Fractional Factorial Designs) 참조파일 : I_Two.mtw Variance.mtw 545
부분요인실험 요인의수가증가하면, 완전요인실험에서 Run의수가급격히증가한다 2요인 2수준 : 2 2 = 4 Runs 3요인 2수준 : 2 2 2 = 8 Runs 4요인 2수준 : 2 2 2 2 = 16 Runs 고차수의교호작용 (Interactions) 을무시할수있다고가정할수있을경우, 완전요인의일부분만을실행하는것이가능하며, 이를통해서저차수의교호작용에대한타당한추정치를구할수있다 부분요인은주로선별 (Screening) 을위하여사용된다 : 상대적으로많은수의요인을상대적으로적은수의 Run으로. 선별실험은보통공정개선 Project의초반부에실시된다. 546
요인실험 성공적인요인실험은다음에기초한다 ; 효과의희박성원리 (The Sparsity of Effects Principle) 시스템은보통주효과와저차수상호작용에의해움직인다. 3 원상호 작용과그이상의상호작용은무시할수있을정도로희박하며따라서 무시할수있다고일반적으로인정되고있다. 투영적속성 (Projective Property) 일단일련의효과들이희박한것으로나타나면부분요인은완전요인을대신할 수있다 순차실험 부분요인은좀더강력한설계로결합되어질수있다. 절반요인 (Half Fraction) 은완전요인으로접어펼 (Folded Over) 수있다. 관심이없는입력변수를제거함으로써부분요인은완전요인이될수가있다. 547
완전요인의절반 아래의표는 2x2x2 요인을확장해서표시한것이다. 3 개의입력변수를조사하고자하며, Run 은 4 번밖에실시할수없다고가정해보자. 우리는설계를부분화하는데사용하기위해서최고차수의교호작용 (AxBxC 의교호작용 ) 을선택하게된다 A B C A B A C B C A B C -1-1 -1 1 1 1-1 1-1 -1-1 -1 1 1-1 1-1 -1 1-1 1 1 1-1 1-1 -1-1 -1-1 1 1-1 -1 1 1-1 1-1 1-1 -1-1 1 1-1 -1 1-1 1 1 1 1 1 1 1 A*B*C 난에서양의수만을모두선택하거나음의수만을모두선택할경우, 우리는 A*B*C 교호작용을추정할수있는능력을잃게되지만, Run 의수를반으로줄였다. 위의상자의양의부분을살펴보고, A 난을 B*C 난과비교해보면, 이것들이똑같음을알수있다. 이것은 A 의주효과가 B*C 교호작용과교락되어있음을의미하는것이다. 2x2x2 의완전요인을완료하는데 8 개의 Run 이필요하므로우리는이를절반요인 (Half Fraction) 이라고부르도록하겠다. 이경우 3 개의요인을 4 개의 Run 으로추정할수가있다. 그러나여기에는대가가있다. : 고차수의교호작용을잃게된다. 잃어야할것을평가할경우분석정밀도 (Resolution) 의개념을사용한다. 교락과분석도에대해서알아보도록하자. 548
교락효과 (Confounded 3 원교호작용의 (+) 수준을살펴보고효과를분리 Effects) 하면, 각주효과가교호작용과동일함을분명하게 알수있다. 이러한조건을 교락 이라고한다. 부분요인실험계획을만들경우 Minitab은특정설계안의모든교락효과가열거되어있는 Alias Structure란표를만들어낸다. 본예의 3변수완전요인의절반요인에대한 Alias 표가아래에있다. Alias Structure I + ABC A + BC B + AC C + AB A BC ABC +1 +1 +1-1 -1 +1-1 -1 +1 +1 +1 +1 B AC ABC -1-1 +1 +1 +1 +1-1 -1 +1 +1 +1 +1 C AB ABC -1-1 +1-1 -1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 549
교락효과 위의표는효과 A와효과 BC가상호간에교락하며, 계산된계수또는제곱합이이들두개의개별적인효과의합과사실상연결되어있음을나타내고있다. 계산된계수를살펴보면, 이것은 A에 100%, BC에 100%, A에 50% 그리고 BC에 50% 기인하는것일수있거나아니면기타의모든가능한조합에기인하는것일수있다. 우리는그저어떤것이그수학적효과를초래하였는지를알고있지도못하며그리고알아낼수도없다. 550
절반요인최종설계 원래의 3 요인실험이왼쪽아래에나와있다. 본절반요인에포함될처치의조합들 이회색으로표시되어있다. 균형과직교성의속성모두가표준부분요인에포함되 어있는것과마찬가지로이설계에도모두포함되어있음을주목하시오. - - B + - A + Alias Structure A + BC B + AC C + AB C + - B A B C +1-1 -1-1 +1-1 + -1-1 +1 +1 +1 +1 551
체계적명명법과설계분석도 이용어는부분요인에만해당된다. 의개념 일반표기법 : 2 (k-p) 는필요한 Run 의수이다. k 는조사할요인의수이다. 2 (k-p) R p는상호작용난에할당된요인의수이다 ( 부분화의정도 라고도하며, 여기서 1=1/2이고, 2=1/4이고 3=1/8 이다 ) R은분석도 (III, IV, V) 이다. 분석도는설계상의대안들의비교를위한교락척도를제공한다. 예 : 다음에명시된것은 4 개의요인이 2 3 =8 Run 을통해 조사될것임을의미한다. 이설계는분석도 IV 이다. 2 (4-1) IV 552
분석도 III 설계 어떤주효과도다른주효과와교락하지않는다. ( 어떤경우에는암시하지 (allude) 않는다고도한다 ) 주효과가 2 차수교호작용과교락한다. 2 차수교호작용이다른 2 차수상호작용과교락한다. 교락유형 A+BD+CE+FG B + AD + CF + EG C+AE+BF+DG D+AB+EF+CG E + AC + DF + BG F + BC + DE + AG G+CD+BE+AF 예 : 다음에명시된것은 7개의요인이 2 3 =8 Run을통해 2 (7-4) 조사될것임을의미한다. 이설계는분석도 III이다. III 553
2 (7-4) III 부분설계 ( 분석도 III) E F B A C D 장점 7개의요인 ( 주효과 ) 단지 8 개의 Run 좋은선별효과 G 단점심각한교락 21개의 2차수교호작용이 7개의주효과와교락한다 554
분석도 IV 설계 어떤주효과도다른주효과또는 2 차수교호작용과교락하지않는다. 2 차수교호작용이다른 2 차수교호작용과교락한다 예 : 다음에명시된것은 4 개의요인이 2 3 =8 Run 을통해조사된것을의미한다. 모든실제적인목적상우리는 3차수와그이상의교호작용을유의하지않은것으로처리할수있다 이설계는분석도교락유형 IV이다. A+BCD B+ACD C+ABD D+ABC AB + CD AC + BD BC + AD 2 (4-1) Ⅳ 분석도 III 설계는교과서나기타출판물에서 포화설계 라고도한다. 555
2 (4-1) IV 부분설계 ( 분석도 IV) 표준순서 A B C D 1-1 -1-1 -1 B A C 2 1-1 -1 1 3-1 1-1 1 4 1 1-1 -1 5-1 -1 1 1 D 6 1-1 1-1 7-1 1 1-1 장점 단점 8 1 1 1 1 4개의요인 ( 주효과 ) 주효과가 3차수교호작용과교락한다. 단지 8개의 Run 2 차수교호작용이 다른 2 차수교호작용과 교락한다. 556
분석도 V 설계 어떤주효과도다른주효과또는 2차수교호작용과교락하지않는다. 어떤 2차수교호작용도다른 2차수교호작용과교락하지않는다. 2차수교호작용이 3차수교호작용과교락한다. 예 : 다음에명시된것은 5개의요인이 2 4 =16 Run을통해조사된것을의미한다. 이설계는분석도 V이다. 모든실제적인목적상우리는 3차수와그이상의교호작용을유의하지않은것으로처리할수있다 교락유형 A+BCDE B+ACDE C + ABDE D + ABCE E + ABCD AB + CDE AC + BDE 2 (5-1) V 557
2 (5-1) V 부분설계 ( 분석도 V) E A B C A D 장점 5개의요인 ( 주효과 ) 10개의 2차수교호작용약간의교락 ( 요인들간의혼동 ) 단점 5개의주효과를구하기위한 16번의 Run 2차수교호작용이 3차수교호작용과교락한다. 표준순서 A B C D E 1-1 -1-1 -1 1 2 1-1 -1-1 -1 3-1 1-1 -1-1 4 1 1-1 -1 1 5-1 -1 1-1 -1 6 1-1 1-1 1 7-1 1 1-1 1 8 1 1 1-1 -1 9-1 -1-1 1-1 10 1-1 -1 1 1 11-1 1-1 1 1 12 1 1-1 1-1 13-1 -1 1 1 1 14 1-1 1 1-1 15-1 1 1 1-1 16 1 1 1 1 1 558
가능한설계상의교락유형 2 (5-1) 2 (7-3) 2 (7-4) A + BCDE B + ACDE C + ABDE D + ABCE E + BCDE AB + CDE AC + BDE AD + BCE AE + BCD BC + ADE BD + ACE BE + ACD CD + ADE CE + ABD DE + ABC A + BCE + BFG + CDG + DEF A + BD + CE + FG + BCG + BEF + CDF + DEG B + ACE + AFG + CDF + DEG B + AD + CF + EF + ACG + AEF + CDE + DFG C + ABE + ADG + BDF + EFG C + AE + BF + DG + ABG + ADF + BDE + EFG D + ACG + AEF + BCF + BEG D + AB + CG + EF + ACF + AEG + BCE + BFG E + ABC + ADF + BDG + CFG E + AC + BG + DF + ABF + ADG + BCD + CEG F + ABG + ADE + BCD + CEG F + AG + BC + DE + ABE + ACD + BDG + CEG G + ABF + ACD + BDE + CEF G + AF + BE + CD + ABC + ADE + BDF + CEF AB + CE + FG AC + BE + DG AD + CG + EF AE + BC + DF AF + BG + DE AG + BF + CD BD + CF + EG ABD + ACF + AEG +BCG +BEF + CDE + DFG 명심사항 : 실험계획법전문가들은 3 차수그리고 4 차수교호작용은 거의언제나무시할수있다고한다!!!!! 559
부분설계만들기 560
적절한설계의선택 변수의수가주어지면, Minitab 이다수의설계안을제시해준다. 아래의 7개의변수의경우, 두개의설계가분석도 IV임을주목하시오. 이경우더작은설계를선택하는것이더낫다. 561
설계생성기 (Design Generator) 의출력부분요인설계요인 : 7 기준설계 : 7, 8 해상도 : III 실행 : 8 사본 : 1 부분 : 1/16 블록수 : 1 중심점 ( 총계 ): 0 참고 * 일부주효과가 2 차상호작용과교락되어있습니다. 설계생성자 : D = AB, E = AC, F = BC, G = ABC 별칭구조 I + ABD + ACE + AFG + BCF + BEG + CDG + DEF + ABCG + ABEF + ACDF + ADEG + BCDE + BDFG + CEFG + ABCDEFG A + BD + CE + FG + BCG + BEF + CDF + DEG + ABCF + ABEG + ACDG + ADEF + ABCDE + ABDFG + ACEFG + BCDEFG B + AD + CF + EG + ACG + AEF + CDE + DFG + ABCE + ABFG + BCDG + BDEF + ABCDF +ABDEG + BCEFG + ACDEFG C + AE + BF + DG + ABG + ADF + BDE + EFG + ABCD + ACFG + BCEG + CDEF + ABCEF +ACDEG + BCDFG + ABDEFG D + AB + CG + EF + ACF + AEG + BCE + BFG + ACDE + ADFG + BCDF + BDEG + ABCDG +ABDEF + CDEFG + ABCEFG E + AC + BG + DF + ABF + ADG + BCD + CFG + ABDE + AEFG + BCEF + CDEG + ABCEG +ACDEF + BDEFG + ABCDFG F + AG + BC + DE + ABE + ACD + BDG + CEG + ABDF + ACEF + BEFG + CDFG + ABCFG +ADEFG + BCDEF + ABCDEG G + AF + BE + CD + ABC + ADE + BDF + CEF + ABDG + ACEG + BCFG + DEFG + ABEFG +ACDFG + BCDEG + ABCDEF 562
설계행렬 -2 7-4 III 부분요인 참조파일 : I_Two.mtw 563
주효과그래프 (Main Effect Plot) 분석결과를살펴볼경우부분설계의관련구조 (Alias Structure) 를살펴봐 부분설계 야한다는것을항상명심하시오. 아래의그래프가비록 Minitab 에의해 A, B, C 등으로명명되었지만, 이들효과의각각이사실상아래에빨간색으로 표시된 3 개의 2 차수교호작용과교락되어있다. Main Effects Plot (data m eans) for Y -1 1-1 1-1 1-1 1-1 1-1 1-1 1 75 70 Y 65 60 55 A B C D E F G AD+CF+EG AB+CG+EF AG+BC+DE BD+CE+FG AE+BF+DG AC+BG+DF AF+BE+CD 564
교호작용그래프 (Interaction 주효과그래프에서 Plot)- 본것처럼부분변수 B 설계가가장큰효과를가지고있다. 그러나 B 는 AD, CF, EG와교락하는데, 이것들은위의그래프상에서모두매우강한교호작용이다. 이실험에서이들효과는틀린것일수도있다. 그리고, 이것들이실제효과라고하더라도위의그래프는이것들의구조를정확하게나타내주지못할지도모른다. 이러한문제때문에분석도 III 또는분석도 IV 설계에서는교호작용그래프를설계와함께제시해서는 안된다!! 565
요인분석출력 부분설계 요인적합 : Y 대블록, A, B, C, D, E, F, G Y 에대한추정된효과및계수 ( 코드화된단위 ) 항 효과 계수 상수 63.947 블록 0.987 A 3.699 1.849 B -14.031-7.016 C 6.974 3.487 D 0.379 0.189 E -0.506-0.253 F 2.304 1.152 G 0.249 0.124 Y 에대한분산분석 ( 코드화된단위 ) 출처 DF Seq SS Adj SS Adj MS F P 블록 1 15.58 15.58 15.58 0.54 0.487 주효과 7 1059.84 1059.84 151.41 5.23 0.022 잔차오차 7 202.81 202.81 28.97 전체 15 1278.23 A + B * D + C * E + F * G B + A * D + C * F + E * G C + A* E + B* F + D* G D + A * B + C * G + E * F E + A* C + B* G + D* F F + A* G + B* C + D* E G + A* F + B* E + C* D 분석출력상의부호들은관련구조 (Alias Structure) 의각행의첫번째효과들이다. 항상설계에대한관련구조를살펴보아야한 Analyze 다 ( 상관과!!!!! 회귀 ) 566