1 1 1 2 집합 실수 1 3 함수와그의극한 14 함수의연속 15 기본함수 가우스 (Carl Friedrich Gauss, 1777~1855) 수학은과학의여왕이고, 정수론은수학의여왕이다.
집합 수학의여러분야를공부하는데있어서집합론의용어와표기를이용하는것이편리할때가 많다. 집합론은 19 세기말엽조지부울(George Boole, 1815~1864) 과게오르그칸토르 (Georg F. L. P. Cantor, 1845~1918) 에의하여개발되었는데 20세기에접어들면서수학 의발전에심대한영향을끼쳤다. 직관적으로집합(set) 이란낱말은식별가능한대상들의모임을나타내는데사용되고그모임 의개개의대상들을그집합의원소(element) 라고한다. 대상가집합의원소일때이것 을 로나타내고, 는에속한다(belong) 또는 는를포함한다(contain) 고말한 다. 또가의원소가아님을나타낼때에는기호를사용한다. 편의상원소가하나도없는집합을생각하여이것을공집합(empty set) 이라하고기호 로나타낸다. 집합이어떤원소들로이루어져있는지를나타내는데에는흔히다음의두방법이쓰인다. 첫째로, 집합을이루고있는원소를순서없이일렬로나열한다음에괄호 { } 로묶어나타내 는방법이있다. 예를들면, 세문자로이루어진집합는로나타낸다. 또, 자연수전체의집합을이라하면
4 으로나타낼수있다. 이와같은표시법을원소나열법(tabular form) 이라한다. 둘째로, 집합에속하는각원소가만족하는어떤성질를제시함으로써그집합을 나타내는방법이있다. 이때, 성질를만족하는들전체의집합은 로나타낸다. 또, 성질를만족하는의원소들전체의집합은 또는 로나타낸다. 이와같은표시법을조건제시법(set builder form) 이라한다. 집합의모든원소가집합에속할때, 를의부분집합(subset) 이라하고, 이것을 또는 로나타낸다. 특히공집합과자신은집합의부분집합이다. 두집합와사이에인동시에인관계가있을때, 이두집합은같다 (equal) 고말하고이것을 로나타낸다. 집합의부분집합가와같지않을때, 즉이지만일때, 를의진부분집합(proper subset) 이라하고이것을 로나타낸다. 또는 책에따라서는부분집합을나타낼때기호대신에를사용하고, 진부분집합을나타낼 때기호대신에 를사용하기도한다. 두집합와가있을때, 을와의합집합(union) 이라하고 또는 를와의교집합(intersection) 또는 공통부분이라한다. 또집합의원소와집합 의원소로만든순서쌍 (ordered pair) 전체의집합을로나타내고, 이것을 와의곱집합또는데카르트곱(Cartesian product) 이라한다. 즉 특히를간단히으로나타내기도한다.
5 두명제와가있을때기호 는 가참이면도참이다 를뜻한다. 또, 기호 는 가참일필요충분조건은도참인것이다 를뜻한다. 두명제와에대하여가성립할때이두명제는서로동치(equivalent) 라고말 한다. 따라서 를 와는동치이다 라고읽을수있다. 를원소나열법으로나타내어라. 집합의모든부분집합들의집합을흔히로나타낸다. 다음집합에대하여를구하여라. 임의의집합에대하여다음각각을증명하여라. (a) (b ) 실수 실수의체공리 미적분학은실수의성질에그기초를두고있으므로실수의기본성질에대하여알아보기로 하자. 실수전체의집합 에덧셈과곱셈이정의된다고가정하자. 즉임의의두실수에대 하여로표시되는합과로표시되는곱이유일하게결정된다고하자. 또이두연산 에관하여다음공리들이성립한다고가정하자. 공리 1 ( 교환법칙) 공리 2 ( 결합법칙) 공리 3 ( 분배법칙)
6 공리 4 ( 항등원의존재 ) 임의의실수에대하여인서로다른두실 수 0과 1 이존재한다. 공리 5 ( 덧셈역원의존재 ) 임의의실수에대하여인실수가존재한다. 공리 6 ( 곱셈역원의존재) 임의의실수에대하여인실수가존재한다. 위의공리들로부터지금까지통상적으로사용해온모든대수적법칙들을유도할수가있다. 가장중요한법칙들을다음정리에서살펴보자. 임의의에대하여다음이성립한다. (1) ( 덧셈에관한소거법칙) 이면 (2) ( 덧셈역원의유일성) 실수 에대하여 인실수 가유일하게존재한다. 이 를 로표시한다. (3) ( 뺄셈) 가주어지면 인 가단하나존재한다. 이 를 로표시한다. (4) (5) (6) (7) ( 곱셈에관한소거법칙) 이면 (8) ( 곱셈역원의유일성) 실수 에대하여 인실수 가유일하게존재한다. 이 를 로표시한다. (9) ( 나눗셈) (10) 이면 (11) 이면 또는 (12) 가주어지면인가단하나존재한다. 이를로표시한다.
7 (1) 라하자. 공리5에의해인실수가존재한다. 따라서 (2) 공리 5에의해인실수가존재한다. 만일인가존재한다면 이므로 (1) 에의해이다. (3) 로택하면이만족된다. (1) 에의해 인는단하나존재한다. (4) (2) 에의하여이므로는의덧셈역원이다. 즉. 공리 1~공리 6과정리 1 의 (1) ~(4) 를이용하여정리 1 의 (5) ~(12) 를모두증명하여라. 다음을증명하여라. (a) (c) (b) (d) (e) (f) 이면 실수의순서공리 실수전체의집합 에는순서관계, 즉대소관계가정의되어있다. 이제다음공리를만족하 는양수의집합이라고불리는어떤부분집합이존재한다고가정할것이다. 공리 7 이면이고 공리 8 임의의실수에대하여다음중하나만이꼭성립한다. ( ⅰ) ( ⅱ) ( ⅲ) 또기호 <, >,, 을다음과같이정의할것이다. 또는
8 따라서이기위한필요충분조건은가양수인것이다. 이면를음수라고부 른다. 앞의순서공리로부터부등식을계산하는모든통상적인규칙을유도해낼수가있다. 그중 중요한몇가지법칙들을다음정리에서살펴보자. 임의의실수에대하여다음이성립한다. (1) 다음중하나만이꼭성립한다. (2) 이면 (3) 이면 (4) 이면 (5) 이면 (6) (7) 이면 (8) 이면 특히 이면 (9) 이면 와 는모두양수이거나모두음수이다. (10) 이면 정리 2 를증명하여라. 공리 1~공리 8, 정리 1, 정리 2 를이용하여다음을증명하여라. (a) 인어떤실수도없다. (b) 두음수의합은음수이다. (c) 이면이고이고이다. (d) 이면 (e), 이면 (f),, 이면 (g) 임의의실수, 에대하여 (h) 모든실수에대하여인실수는없다. (i) 임의의양의실수에대하여가를만족하면이다.
9 실수의절대값 (absolute value) 를다음과같이정의한다. 일때이정의로부터 가성립함을알수있다. 또다음정리도성립한다. (1) (2) 일때다음이성립한다. 임의의실수에대하여다음이성립한다. (1) (2) 정리 3, 정리 4 를증명하여라. 이제의부분집합중에몇가지중요한부분집합을정해두도록하자. ( ⅰ) 자연수전체의집합 : ( ⅱ) 정수전체의집합 : ( ⅲ) 유리수전체의집합 :
10 실수의완비성 집합의부분집합에속하는모든원소에대하여인실수가존재할 때, 는위로유계 (bounded above)[ 아래로유계(bounded below)] 라하고, 를의상계 (upper bound) [ 하계(lower bound)] 라한다. 위로유계인동시에아래로유계일때에는유계(bounded) 라고말한다. 집합는위로유계이다. 이때1, 2, 3, 은모두의상계이다. 집합은위로유계이고또아래로유계이다. 이때 1, 2, 등은상계이고 0, - 1, 등은하계이다. 집합가위로유계일때하나의상계보다도더큰실수는역시의상계이다. 마찬가지 로, 하나의하계보다도더작은실수는역시하계이다. 실수의한집합에대하여다음두조건을만족하는실수을의상한(supremum) 또 는최소상계(least upper bound) 라한다(sup 로표시함 ). ( ⅰ) 은의상계이다. 즉, 모든에대하여 ( ⅱ) 의모든상계에대하여 이의상한일때, 인임의의에대하여인가존재한다. 마찬가지로다음두조건을만족하는실수를집합의하한(infimum) 또는 (greatest lower bound) 라한다(inf 로표시함 ). 최대하계 ( ⅰ) 는의하계이다. 즉, 모든에대하여 ( ⅱ) 의모든하계에대하여 집합은유계이며,2는하한이고 3 은상한이다. 이때상한은에속하 지않는다. 집합은유계이며,0은하한이고 1 은상한이다. 이때하한은이집합에속하지 않는다.
11 실수전체의집합 에는체공리, 순서공리와더불어다음과같은공리가가정된다. 이성질 을실수의완비성( 연속성)[completeness] 이라한다. 공리 9 ( 완비성의공리 ; the axiom of completeness) 공집합이아닌실수의부분집합 가위로유계[ 아래로유계] 이면, 의상한[ 하한] 이존재한다. 보기 4 에서보는바와같이, 유리수만으로이루어진집합의상한또는하한이역시유리수일 수있다. 그러나때에따라서는유리수만으로이루어진유계집합(bounded set) 의상한과하 한이유리수가아닌경우도있다. 이경우에도완비성공리에의하여상한과하한은역시실수 이다. 이와같이유리수만으로이루어진유계집합의상한또는하한이면서유리수가아닌실수가 바로무리수(irrational number) 인것이다. 예를들어집합 를생각해보자. 실제로계산하면 는유리수이고 이므로,1.2,1.3,1.4는모두에속하고 1.5는의상계이다. 따라서는위로유계인 집합이므로완비성공리에의하여 의상한은존재한다. 이상한을로나타낸다. 집합의상한을구하여라. 이상한은이집합에속하는가? 집합의상계를말하여라. 또이집합의상한을구하여라. 함수와그의극한 함수 함수개념은수학전반에걸쳐가장기본이되는개념이다.
12 두집합, 가있을때, 의각원소를의단하나의원소에대응시키는대응규칙를집합로부터집합로의함수 (function from to ) 라한다. 이때 를함수 의정의역 (domain), 를 의공역(codomain) 이라하고흔히 쓴다. 로 함수에의하여정의역의원소에대응하는원소를로나타내고, 이것을에서의 의값(value) 또는에의한의상(image) 이라하며 전체의집합을의치역(range) 이라한다. 에의한정의역의각원소의상들 한편함수에대하여의공역과치역이같을때함수를집합에서집합 위로의함수 (function of onto ) 또는전사함수(surjection) 라하며치역의각원소에정 의역의단하나의원소가대응되는함수를 1대 1(one-to-one) 함수또는단사함수 (injection) 라한다. 전사이면서동시에단사인함수를 1대 1 대응함수(one-to-one correspondence) 또는전단사함수(bijection) 라한다. 함수를정의할때, 그정의역이명시되지않을경우에는함수값이존재하는모든실수의집 합을이함수의정의역으로생각한다. 함수의정의역과치역은각각 D, R 로나타내기도한다. 함수 가있을때, 집합 를이함수의그래프(graph) 라한다. D 으로정의된함수의정의역은 D 이고치역은 R 이다. 이함수의그래프를좌표평면위에나타내면그림 1 1 과같은반원이된다. 함수 가
13 그림 1 1 그림 1 2 로정의될때, 이함수의그래프를좌표평면위에그리면그림1 2 와같다. 이함수의정의역은반개구간이고치역은이다. 함수의정의역이이고치역이일때, 의각원소에의원소가대응하면 로나타내고흔히를독립변수(independent variable) 라하고 를종속변수 (dependent variable) 라한다. 종속변수의값은독립변수의값에의하여완전히결정되는셈이다. 이 러한의미에서 는의함수 라고말하기도한다. 또방정식로정의된함수를간단히 함수 또는 함수 라 고말하기도한다. 함수의정의에있어서변수의하나의값에대해서그함수의값이오직하나만정해져
14 야한다고요구하는것은아니다. 예를들면 의제곱근을라한다 라는함수 에서가 4일때는두값를취한다. 의하나의값에대하여의값이오직하 나가결정될때는의 1가함수(single-valued function) 라고하며 의값이둘이상정 해지면는의다가함수(multi-valued functiion) 라고한다. 앞으로는특별히언급이없는 한 1 가함수만생각하기로한다. 함수가있을때의값을먼저주고인의값을정하는법칙을생각할 수있다. 이법칙으로정해지는함수를의역함수라고한다. 의역함수를보통로표시 한다. 함수와그역함수사이에는다음과같은관계가있다. 즉 기호와는두변수사이의대응의법칙을나타내는것이므로보통독립변수를같은문 자로나타내어 의역함수는이다 라고말한다. 예를들면의 역함수는이다. 이면이므로의값은 2와 -2 이다. 이와같이가1 가함수라도그역함수가 1 가라고는말할수없다. 1가함수의역함수가 1가이기위한조건 은의정의역내의모든에대하여 가성립하는것이다. 이면 함수의정의역내의모든에대하여 이면 (1 1) 일때는단조증가(monotone increasing) 라고한다. 식 (1 1) 대신에 이면 (1 2) 가성립하면는좁은뜻의단조증가(strictly monotone increasing) 라고한다. 단조감소 (monotone decreasing) 및좁은뜻의단조감소(strictly monotone decreasing) 도같은 방법으로정의된다. 단조증가및단조감소함수를통틀어단조함수(monotone function) 라고 한다. 식(1 2) 에의하면다음정리가성립함을알수있다.
15 는 가에서좁은뜻의단조함수이면일때구간 ( 또 ) 에서의역함수는 1 가함수이며, 이것은좁은뜻의단조함수이다. 다음함수의역함수를구하여라. (a) (b) 다음함수 의합성함수 를구하여라. 단 는 의정의역에 놓여있다. (a) (b) (c) (d) 함수의극한 다음에함수의극한에관하여생각해보자. 함수가수를포함하는어떤구간에서 이외의모든 에대하여정의되어있다고하자. 이때만일를에가까이가게할때 의값이어떤수에한없이가까이간다면, 가에수렴할때는극한값에수렴한다 고하고다음과같이나타낸다. 즉일때, 또는 여기서일때의의극한값과는반드시같은것은아니다. 예를들면 에서는정의되지않지만일때이므로이다. 특히인범위에서가에접근할때, 즉수직선위에서가의왼쪽에서에접 근할때에는와같이나타내고인범위, 즉가의오른쪽에서에접근할 때에는와같이나타낸다. ( 또는 ) 일때가어떤수에한없이접근하면이를의 에있어서의좌극한값또는 ( 우극한값이라 ) 하며
16 ( 또는 ) 로나타낸다. 특히일때, 각각, 로표기한다. 복잡한함수의극한에관하여고찰하고자할때에는앞에서기술한 가에가까이가면가에한없이가까이간다 (* ) 와같은정의방식으로는충분하지못하므로수학적으로엄밀히극한을정의하기로한다. 들어 가에한없이가까이간다는것은가한없이작아진다는것과같다. 예를 0.01, 0.001, 0.0001, 등어떤양의수를비교의상대로취한다하여도를에충 분히가까이가져가기만하면 이다. 이렇게생각하면 (*) 가뜻하는내용은다음과같다. 를그상대보다도더작게할수있다는것이될것 ( 비교의상대로서) 어떤 ( 충분히작은) 양의수을취해도거기에대응하여적당한양의 수를취하여를만족하는모든에대하여부등식이성립 한다. 다시말하면 임의의양의수 에대하여, 적당한양의수가존재하여서 이면 (1 3) 이될때, 가에수렴하면는에수렴한다고한다. 는이고임을뜻한다. 극한값의이러한정의방법을 식정의라부르기도한다. 이식정의는처음에는매우난해한것으로생각되지만, 그것이어떤내용을나타내고있는지를기회있을때마다잘생각해서충분히이해하도록하여야한다. 일때임을증명하여라. 임의의양의수 에대하여
17 따라서 으로잡으면 일때이성립한다. 그러므로정의 2에의하여이다. 다음을식으로증명하여라. (a) (b) (c) 일때 일때 일때 다음에인경우를생각해보자. 가한없이커진다는것은비교하는상대로어떠한( 충분히큰) 양의수을잡아도의값을그것보다도더크게할수있다는것이다. 그러므로정의 2 와마찬가지로다음정의가얻어진다. 임의의양의수에대하여적당한양의수가존재하여 이될때, 이면라고한다. 이면 (1 4) 임의의양의수에대하여적당한양의수이존재하여 이면 (1 5) 이될때이면라고한다.
18 다음극한을정의 2~4 의방식, 즉식으로정의하여라. (a) (b) (c) 일때임을식으로증명하여라. 극한값을구할때다음정리들이이용된다. 이면 (1) (2) ( 는상수 ) (3) (4) 이면 일때 (1) (2) (3) (4) (1) 과 (3) 은일때도성립한다. 이정리2 및3의결과는또는인경우의극한값을생각할때도성립한다.
19 다음극한값을구하여라. (a) (b) (c) (d) 앞으로다음과같은표현을자주보게될것이다. 즉, 에충분히가까운에대하여는라는성질을갖는다. 이말의뜻은다음과같다. 적당한양의수를잡으면인 모든에대하여는라는성질을갖는다. 마찬가지논법으로 충분히큰에대하여 이라는표현은 적당한양의수 잡으면인모든에대하여 라는뜻이다. 다음정리는그러한표현의한예이다. 을 이면에충분히가까운에대하여는와같은부호를갖는다. 라하자. 그러면가정에의하여에대해서적당한양의수가존재하여 이면 이다. 그런데에서 이얻어지므로인모든에대하여이다. 인경우는 로취하여같은방법으로증명할수있다.
20 (1) 를포함하는어떤구간에서 이외의모든 에대하여 이고 이면 이다. (2) 를포함하는어떤구간에서 이외의모든 에대하여 이고 이면 이다. (1) 라놓으면가정에의하여이면이고, 이다. 만일라하면정리4에의하여에충분히가까운에대하여 는 와같은부호를가지므로 이다. 이것은 에모순된다. 따라서 가성립한다. (2) 정의 2 에의하여쉽게증명할수있다. 정리 5 의 (2) 를증명하여라. 정리 5 의 (1) 에서이면임을증명하여라. 이면이다. 이정리 6도식논법으로증명되지만여기서는생략하기로한다. 함수의극한값과마찬가지로수열의극한값을생각할수가있다. 자연수 1, 2,,, 의 각각에대응하여실수,, 이정해질때이것을수열이라하고으로나타 낸다. 따라서수열은자연수전체를정의역으로하는함수로생각할수있다. 각각의을이 수열의항이라한다. 수열의극한값이라는것, 즉라고하는것은다음과 같이정의된다.
21 임의의양수에대하여적당한자연수이존재하여 이면 (1 6) 이될때은에수렴한다고한다. ( 또는 ) 라는것을식으로나타내어라. 다음수열의극한을조사하여라. (a) ( 는상수 ) (b) 수열 이다음조건을만족할때단조증가한다고한다. 즉 또, 모든에대하여인수이존재할때은위로유계(bounded) 라고한다. 단조감소, 아래로유계라는말도같은방식으로정의된다. 다음정리는수열의극한값에관해서기본적인것이다. 위로( 아래로) 유계인단조증가( 감소) 수열은수렴한다. 은위로유계인단조증가수열이라하자. 실수의완비성공리에의하면위로유계인수열 은상한 를갖는다. 따라서각에대하여인자연수이존재한다. 모든에대하여은단조증가수열로이므로이성립한다. 그러므로은에수렴한다. 아래로유계인단조감소수열도마찬가지로증명할수있다.
22 (1) 일때, 수열은수렴한다. 이극한값을로표시한다. (2) (1) 이단조증가임을보이기위하여다음항등식을이용한다. 이면음부등식이성립한다. 이므로다 이면 여기서이라놓으면이므로 이항하고정리하면 따라서은단조증가수열이다. 즉 다음에 이위로유계임을밝혀보자. 이항정리에의하면 여기서 임에유의하면 즉은위로유계이다. 따라서정리 7에의하여은수렴함을알수있다. (2) 먼저라하자. 인음이아닌정수을잡으면
23 따라서 가성립한다. 그런데 이며일때이므로정리5 의(2) 에의하여 다음에라하자. 라놓으면일때이고 따라서이다. 실제로는 이며, 이것은무리수이다. 다음극한값을구하여라. (a) (b)
24 1. 임의의두집합 A, B 에대하여다음이성립함을보여라. (a) (b) 2. 명제 S 가 명제 S 는거짓이다 라고하면 S가참이든거짓이든우리의언어에한모순이생긴다는것을보여라( 이문제는 진리 에대한정확한이론을만드는데있어서한철학적난점을보여준다 ). 3. 다음집합의상한, 하한을구하여라. (a) (b) (c) (d) 4. 다음에주어진집합은함수의그래프인가? 함수의그래프인경우그정의역과치역을구하고그래프를그려라. (a) (b) (c) 5. 다음과같이정의된함수의정의역과치역을구하여라. 는유리수는무리수 6. 일때다음극한값을구하여라. 7. 다음각경우에, 일때되는를구하여라. 단,. (a) (b) (c) 일때일때일때
25 함수의연속 가어떤구간에서정의되어있다고하자. 이구간내의한점에있어서 (1 7) 가성립하면는에서연속(continuous) 이라고한다. 이것은 1 3절정의 2에의하여식으로다음과같이나타낼수있다. 임의의양의수에대해서적당한양수가존재하여 이면 (1 8) 이될때는에서연속이라고한다. 이정의는를에충분히가깝게접근시킴으로써의값을에얼마든지가깝게할수있다는것을말한것이다. 따라서도포함하여생각하므로 13 절정의 2의대신에로바꾸어놓은것이다. 이정의와 1 3절정리2, 4, 6 에서다음정리가성립함을알수있다. 및가에서연속이면다음각함수도에서연속이다. (1) ( 는상수 ) (2) (3) ( 단, )
26 가에서연속이고이면에충분히가까운에대하여는 와같은부호를갖는다. 가에서연속이고가에서연속이면합성함수는 에서연속이다. 가어떤구간의모든점에서연속일때는이구간에서연속이라한다. 가 어떤구간에서연속이면이구간에서의그래프는하나의연결된곡선으로된다. 가폐구간 에서연속이라고할때, 구간의끝점와에있어서는 와가성립하는것을뜻한다. 절에서정리 가에서연속인좁은뜻의단조함수일때라하면 1-3 1에의하여 ( 또는 ) 에서정해지는의역함수는이구간에서 연속인것을증명할수있다. 폐구간에서연속인함수의중요한성질로서다음정리가있다. 중간값의정리 가폐구간 에서연속이고 이면 인임의의실수 에대하여 인 가적어도하나존재한다. 인경우도마 찬가지이다. 최대최소값의정리 가폐구간 에서연속이면 에서 가최대값을취하는점및최소값 을취하는점이존재한다.
27 그림 1 3 그림 1 4 위에적은두정리는의그래프가두점을맺는연결된곡선 임을생각할때그림 1 3과그림 1 4 에서분명한것으로간주될것이다. 그러나이들은실수 의기본적인성질이나실제로는그증명이쉬운것이아니므로당분간은그결과만인정하기로 한다. 정리 4와 5 에서다음정리가얻어진다. 가에서연속일때에있어서의의최대값을, 최소값을 이라하면 인임의의 에대하여 인 가적어도하나존 재한다. 실계수의홀수차다항방정식은적어도하나의실근을가짐을증명하여라.
28 ( 은홀수라하자 ). 이홀수이므로 이고는에서연속이므로인가존 재한다. 따라서중간값의정리에의하여인, 즉의실근 가존재한다. 방정식는와사이에실근을가짐을보여라. 은에서연속이지만이구간에서최대값도최소값도갖지않음을보여라. 기본함수 (Elementary functions) 미분적분학에서구체적으로계산의대상이되는함수는대체로다음과같은것들이다. 유리함수 의분수식으로표시되는함수 를유리함수라한다. 특히, 인꼴의유리함수를다항식또는유리정함수라한다. 는상수 무리함수및대수함수 (Algebraic function) 몇개의상수와변수에사칙연산및제곱근을구하는연산의 5가지연산을유한번시 행하여얻어지는함수를무리함수라한다. 예를들면
29 등은무리함수이다. 다음에가령은라는에관한 2차방정식의해 라고생각할수있다. 일반적으로 를의유리함수라할때에관한차방정식 (1 9) 의해로서정해지는함수를의대수함수라한다. 무리함수는대수함수의일종이지만그역 은성립하지않는다. 일반적으로방정식 (1 9) 의근를에사칙연산 및제곱근을구하는연산의 5 가지연산을유한번시행하여구할수없기때문이다. 삼각함수 (Trigonometric function) 6 개의삼각함수 의정의및성질등은이미배운바있으므로여 기서는다시다루지않기로한다. 다만덧셈정리및거기서얻어지는여러공식등은자주나타 나므로확실히기억해두어야한다. 또삼각함수를다룰때의변수의단위는언제든지라디안 (radian) 인것을명심하도록하자. 삼각함수에관한중요한공식을들어라. 삼각함수의극한으로서의중요한 을증명하여라. 다음극한값을구하여라. (1 10) (a) (b) 역삼각함수 (Inverse trigonometric function) 삼각함수의역함수를역삼각함수라한다. 의역함수를또는로나타
30 낸다. 정의에서곧 이다. 따라서의정의역은임을알수있다. 그런데에서의값 을하나정했을때를만족하는의값은무수히많다. 즉, 그가운데하나를 라하면 은정수 도모두를만족한다. 이런의미에서는무한다가함수이다. 그러나 를만족하는 의값을 (1 11) 의범위로제한하면의하나의값에대응하여의값은하나만결정된다. 이식 (1 11) 로제한된의값을의주치 ( principal value) 라한다. 주치만을생각하 면는 1 가함수로취급할수있다. 다시말하면 이다( 그림 1 5a). 주치 : (1 12) 의역함수를또는로나타낸다. ( 그림 1 5b) 도 [-1, 1] 을정의역으로하는무한다가함수이지만주치로서의범위를취하면 1가함수로 다룰수있다. 즉 이다( 그림 1 5b). 주치 : (1 13) 마찬가지로의역함수를또는로나타낸다. 는 를정의역으로하는무한다가함수이지만, 주치로서 의범위를취하면 1 가함수로취급할수있다. 즉 주치 : (1 14)
31 그림 1 5 이다( 그림 1 5(c)). 앞으로 로한다. 등역삼각함수에서는특별히언급이없는한모두그주치만생각하는것으 이밖에,, 등도같은방법으로생각할수있다. 역삼각함수의그래프는삼각함수의그래프를직선에관하여대칭이동하면얻어진다. 그림 1 5(a), (b), (c) 에서굵은선이주치를나타내는부분이다. 다음값을구하여라( 주치). (a) (b) (c) 다음극한값을구하여라. (a) (b) (c) 단, 임을증명하여라. 라놓으면
32 그런데이고에서 즉, 따라서 다음을증명하여라. (a) (b) 지수함수 (Exponential function) 와로그함수 (Logarithmic function) 인수를밑(base) 으로하는지수함수와그역함수인로그함수의 정의및그성질들에대해서는이미배웠을것이므로다시논하지않기로한다. 지수함수와로그함수가운데서 13 절정리 8에서정한수를밑으로하는와가특 히중요하다. 를밑으로하는대수를자연로그(natural logarithm) 라한다. 앞으로는 자연로그를나타내는것으로한다. 다음두극한값은앞으로가끔이용될것이다. (1) (2) (1 15) 1 3절정리8 의(2) 에서자리에을대입하면를얻고이양변 의로그를취하면식 (1 15) 의 (1) 을얻는다. 또라놓으면이고 일때 이므로 이것에서식 (1 15) 의 (2) 가얻어진다. 쌍곡선함수 (Hyperbolic function) 이제우리는삼각함수와아주비슷한성질을가지고있는여섯가지지수함수에대하여생각 하기로한다. 이함수들은직각쌍곡선과밀접한관계가있으므로이것을쌍곡선함수라하고개
33 별적으로는 hyperbolic sine, hyperbolic cosine, 이라부른다. 그정의는다음과같다. 이것들은예를들어 hyperbolic sine 라읽는다. 위의정의에서에를대입함으로써다음관계를얻는다. 또주어진정의를이용하면다음항등식을얻는다. (1 17) (1 16) (1 18) 예를들어 (1 16) 을증명하여보자. 그림 1 6 쌍곡선함수의그래프
34 이면 따라서 정의의두식에서 임도알수있다. 이관계식은여러가지다른공식을유도하는데이용된다. 관계식 (1 17), (1 18) 을증명하여라. 일때를구하여라. 일때를구하여라. 다음관계식을증명하여라. (a) (b) (c) 다음극한값을구하여라. (a) (b) 다음함수의그래프를그려라. (a) (b) (c) 역쌍곡선함수 (Inverse hyperbolic function) 삼각함수에서와같이방정식를와같이나타내기로하고함수 를역쌍곡선함수 (Inverse hyperbolic sine ) 라한다. 같은모양으로다른다섯가
35 지역쌍곡선함수도정의한다. 즉. 쌍곡선함수가지수함수에의하여정의되었으므로역쌍곡선함수는로그로써나타낼수있다. 그관계식은다음과같다. ( 모든 ) (1 19) (1 20) (1 21) (1 22) (1 23) 예를들어 (1 24) (1 19) 를증명하여보자. 방정식는다음관계식과동치이다. 를곱함으로써, 을얻는다. 이차방정식의근의공식을써서이방정식을풀면, 임을알수있다( 여기서는의모든실수값에대하여양이므로음의해은 버렸다). 끝으로로그를취하므로서 ( 모든 ) 함수와는 2 가이다. 그러나앞으로는주치로서각각 과을택해서사용하도록한다. 위의관계식 (1 20) ~(1 24) 를모두증명하여라. 다음을증명하여라. (a) (b)
36 다음함수의그래프를그려라. (a) (b) (c) 지금까지열거한에서까지의함수및그들의합성해서얻어지는함수를통틀어기본함수라한다. 초등함수가운데서대수함수가아닌것을기본초월함수 (elementary trans- cendental function) 라한다. 1. 함수가다음과같이정의된다고하자. 여기서 ( ) 는상수이다. 이때가점에서연속이되는의값을구하여라. 2. 함수의그래프를구간에서대략적으로그려보고 일때는어떻게되는지알아보고, 가 0에서연속이되도록의값을정하여라. 3. 에서연속이고 가 에서연속일때 가 에서연속임을 보여라. 4. 함수가구간안의모든에대하여이면는의각점에서연속임을증명하여라. 5. 아래그림은다음함수의그래프의일부를대략적으로그린것이다.
37 에대하여 이다. 이곡선은그러한한점즉과0 사이에서무한히진동한다. 이는의값이일때어떤고정된값으로접근하지않음을암시해 주고있다. 이제일때의극한값이존재하지않음을증명하여라. 6. 은에서불연속임을증명 하여라. 7. 이에서연속이되도록의값을정하여라. 8. 다음극한값을구하여라. (a) ( 은자연수 ) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) 9. 점가곡선을따라원점을접근할때의극한값을구하여라. 10. 2차방정식이실근을가질때, 절대값이작은근은일때로접근 함을증명하여라.