[8] [-],[4-] lannin rocedure of Naval rchitecture & Ocean Enineerin September, 8 rof. u-yeul ee Department of Naval rchitecture and Ocean Enineerin, Seoul National Universit of ollee of Enineerin 8_Restorin force
art. Stabilit & Trim [-],[4-] Restorin force - Transverse restorin Moment - onitudinal restorin Moment 8_Restorin force
복원력개념 복원력 선박에순간적으로외력을작용하였다가이외력을제거하였을때원래의상태로되돌아올려는힘 / 모멘트 (Restorin orce/moment 를말함 흘수의변화 (Draft hane, 횡경사 (Heel, 종경사 (Trim 에따라수직복원력 (Vertical Restorin orce, 횡복원모멘트 (Transverse Restorin Moment, 종복원모멘트 (onitudinal Restorin Moment 가존재 선박의경우, 횡경사에의해대부분전복하므로횡복원모멘트가충분한지여부가최대의관심사이며선박안정성 (Stabilit 의척도가된다. 횡복원모멘트를횡복원력또는줄여서 복원력 이라고도하며, 횡복원안정성 (Transverse Stabilit 을줄여서 안정성 (Stabilit 이라고한다. 8_Restorin force
횡복원력 ( - 선박의횡복원안정성 (Transv. Stabilit 안정상태 ( (+ + Δ ( 힘의평형 O 무게중심와부력중심가수평면에대해동일한수직선상에위치 모멘트 rm 이 임 ( 모멘트평형 + Δ + Δ o : od fied coordinate o : lobal coordinate 8_Restorin force : 수직방향무게중심 : 수직방향부력중심 : 선박무게 : 부력 Δ 4
횡복원력 ( - 선박의횡복원안정성 (Transv. Stabilit 안정상태 ( e (+ (+ 외부에서시계방향으로선박에 모멘트 e 가가해짐 ( 왼쪽그림의경우 (- 모멘트가가해짐 4 선박이시계방향으로만큼 O r Δ 회전 φ 5 부력중심이 에서 으로이동 o 에서의부력중심 의위치를어떻게구하는가? ind: Δ r φ o : od fied coordinate o : lobal coordinate 8_Restorin force : 수직방향무게중심 : 수직방향부력중심 : 선박무게 : 부력 Δ 5
횡복원력 ( - 선박의횡복원안정성 (Transv. Stabilit 안정상태 ( r O Δ γ O r γ π γ sin + π γ π γ M T O φ e φ (+ 6- 회전축 O를지나고, - 평면에수직한축에대한중력과부력에의한모멘트를구해보면, + Δ r + r Δ π sin( π γ sin γ r o : od fied coordinate o : lobal coordinate r Z 8_Restorin M T : 을지나는부력 force 작용선과선체중심선과의교점 restorin Δ, Z + i j k i j k + i+ Δ i, Δ, + Δ + Δ, Δ, ( + Δ i, Z: 을통한부력작용선과 를지나고 축과평행한선이만나는점 왼쪽예제의경우, 가 (+ 이면 ( 무게중심이부력작용선에대해왼쪽에위치 는복원모 6/5 멘트로작용함 : 수직방향무게중심 : 수직방향부력중심 : 선박무게 : 부력 Δ 6 restorin restorin
횡복원력 (4 - 선박의횡복원안정성 (Transv. Stabilit 안정상태 (4 (+ 7 Z 는기하학적조건에의해 M T 아래와같이구할수있다. φ e M T r φ O r N Z Δ φ restorin Z φ N φ Z N sin φ o : od fied coordinate : 수직방향무게중심 o : lobal coordinate : 수직방향부력중심 : 선박무게 M T : 을지나는부력작용선과선체중심선과의교점 : 부력 Δ Z: 을통한부력작용선과 를지나고 축과평행한선이만나는점 7 8_Restorin force
횡복원력 (5 - 선박의횡복원안정성 (Transv. Stabilit 안정상태 (5 M T φ e (+ 8 외부모멘트 횡복원모멘트일때까지 이오른쪽으로이동하여평형상태를이룸 r O r Z φ e + restorin Z: 을통한부력작용선과 를지나고 축과평행한선이만나는점 o : od fied coordinate o : lobal coordinate 8_Restorin force Δ restorin : 수직방향무게중심 : 수직방향부력중심 : 선박무게 : 부력 Δ 참고자료 : od fied coordinate에서수선면을기울여표시 8
횡복원력 (5 - 선박의횡복원안정성 (Transv. Stabilit 안정상태 (6 r O γ M T (+ (+ 9 선박에가해진모멘트를제거 restorin φ 횡복원모멘트에의해선박이반시계방향으로회전 무게중심와부력중심가 O r O φ 수평면에대해동일한수직선상에 Z 위치하여평형상태를이룸 Δ γ r Δ + Δ + Δ restorin :( + r o : lobal sin O o : od π fied γ coordinate + π γ π γ coordinate π 8_Restorin forcesin( π γ sin γ : 수직방향무게중심 : 수직방향부력중심 : 선박 : 무게중심 : 부력 Δ : 부력중심 9 : 선박중량
횡복원력 (6 - Δ (Displacement X Z M T O Z: 을통한부력작용선과 를지나고 축과평행한선이만나는점 o : od o : lobal fied coordinate coordinate φ Z Δ 8_Restorin M T : 을통한부력 force 작용선과선체중심선과의교점 φ restorin : 수직방향무게중심 : 수직방향부력중심 : 선박무게 : 부력 Δ ( + 횡복원력 Δ rchimedes rinciple Δ Δ 부력의크기 배수량 Δ Δ Z 는힘의평형조건에의해 Δ 로주어짐 횡복원력을구하기위해알아야함 Z 값을 경사각도가미소한범위 ( 정도 에서는 M 은변하지않는다고가정. 기하학적조건에따라, Z M T 로구할수있음 횡복원력 M T Δ Z 을알아야함 sin φ M T: 메터센터높이 Δ M T sinφi φ /5 /
횡복원력 (7 Δ - (Displacement X M T φ Z ( + 횡복원력 Δ Z rchimedes rinciple Δ Δ 부력의크기 배수량 Δ M T sinφi φ r O r Z φ 기하학적조건에따라, M T + M T : 부력의높이방향중심 M T : 횡메터센터반지름 (Transverse Metacenter Radius : 높이방향의무게중심 Z: 을통한부력작용선과 를지나고 축과평행한선이만나는점 o : od o : lobal fied coordinate coordinate Δ 8_Restorin M T : 을통한부력 force 작용선과선체중심선과의교점 restorin : 수직방향무게중심 : 수직방향부력중심 : 선박무게 : 부력 Δ, M T 는선박의형상이주어지면결정됨 는화물적재에따라결정됨
횡복원력 (8 - M T 값계산 Z: 을통한부력작용선과 를지나고 축과평행한선이만나는점 계산 ( O M T Δ φ Z Δ ( + M // restorin M T : 횡메터센터반지름 (Transverse Metacenter Radius 가정. 배수량의변화없이선박이경사 가정. 수선근처의선측이수직벽 O 의배수용적 v 는 O 의배수용적과같다고가정 tan φ v, 가정. M T φ 가작음 M T tanφ v o : od fied coordinate : 수직방향무게중심 M T : 수직방향부력중심 o : lobal coordinate tanφ tanφ tanφ : 선박무게 M T : 을통한부력작용선과선체중심선과의교점 : 부력 Δ 8_Restorin : 을지나고 force 선박의 축과평행한선과, 부력작용선이만나는점
횡복원력 (9 - M T 값계산 Z: 을통한부력작용선과 를지나고 축과평행한선이만나는점 o : od o : lobal fied 계산 ( / coordinate coordinate O M T Δ φ Z M T Δ M T : 을통한부력작용선과선체중심선과의교점 tanφ restorin tanφ ( + tan φ 8_Restorin : 을지나고 force 선박의 축과평행한선과, 부력작용선이만나는점 v tanφ 가정. 배수량의변화없이선박이경사 가정. 수선근처의선측이수직벽 φ 가정. 가작음 O 과 O 의면적은 tanφ 수선면의미소길이 d O 과 O 의미소용적 dv tanφ d O v dv d tanφ M T tanφ I T I d T v IT tanφ IT tan φ tan φ : 수직방향무게중심 : 수직방향부력중심 : 선박무게 I : 부력 Δ M T T
폭방향면적 차모멘트 (I T d d d I T, 반폭 d d d d 8_Restorin force 전폭에대한폭방향면적 차모멘트 : I T d 4
횡복원력 ( - 선박의횡복원안정성(Transv. Stabilit 불안정상태 ( ( + 선박의무게중심 가높은경우 : + Δ ( 힘의평형 O 무게중심와부력중심가수평면에대해동일한수직선상에위치 모멘트 rm이 임 ( 모멘트평형 + Δ + o : od o : lobal coordinate 8_Restorin force fied coordinate Δ : 수직방향무게중심 : 수직방향부력중심 : 선박무게 Δ : 부력 5
횡복원력 ( - 선박의횡복원안정성 (Transv. Stabilit 불안정상태 ( ( + 외부에서시계방향으로선박에 모멘트 e 가가해짐 ( 왼쪽그림의경우,(- 모멘트가가해짐 e 4 선박이시계방향으로회전 φ 만큼 O φ 5 부력중심이 에서 으로이동 o : od fied 8_Restorin force o : lobal coordinate coordinate Δ : 수직방향무게중심 : 수직방향부력중심 : 선박무게 Δ : 부력 6
횡복원력 ( o - 선박의횡복원안정성 (Transv. Stabilit 불안정상태 ( γ r o Δ r γ o : od o : lobal fied coordinate coordinate Z ( + 6회전축 O를지나고, - 평면에수 직한축에대한중력과부력에의한모멘트를구해보면, M T + Δ r φ + r Δ e r O r Δ 8_Restorin M T : 을통한부력 force 작용선과선체중심선과의교점 φ i j k i j k + i+ Δ, i Δ, + Δ + Δ, Δ, ( + i, Z + Δ, 왼쪽예제의경우, 가 (- 이면 ( 무게중심이 heelin 부력작용선에대해오른쪽에위치, 는선박에경사모멘트 heelin 로작용함 : 수직방향무게중심 : 수직방향부력중심 : 선박무게 : 부력 Δ ( 선박이점점더기울게됨 Z: 을통한부력작용선과 를지나고 축과평행한선이만나는점 7/5 7/ heelin
횡복원력 ( - 선박의횡복원안정성 (Transv. Stabilit 중량물의이동 ( ( + + Δ ( 힘의평형 r,( + w 중량물 선박 O Δ 무게중심와부력중심가수평면에대해동일한수직선상에위치 모멘트 rm 이 임 ( 모멘트평형 + Δ + o : od fied coordinate o : lobal coordinate 8_Restorin force : 수직방향무게중심 : 수직방향부력중심 : 선박 + 중량물무게 : 부력 Δ 8
횡복원력 (4 - 선박의횡복원안정성 (Transv. Stabilit 중량물의이동 ( ( + r 중량물이오른쪽 (방향 으로이동 4 ( 선박 + 중량물 의무게중심가 으로이동 O r 5회전축O를지나고, - 평면에수직한축에대한중력에의한모멘트 r Δ o : od fied coordinate o : lobal coordinate 8_Restorin force : 수직방향무게중심 : 수직방향부력중심 : 선박 + 중량물무게 : 부력 Δ 9
횡복원력 (5 r - 선박의횡복원안정성 (Transv. Stabilit 중량물의이동 ( 6 선박이만큼회전 ( + φ r 7 부력중심 가 으로이동 O r r φ 8회전축O를지나고, - 평면에수직한축에대한부력에의한모멘트를구해보면 r Δ Δ 9무게중심 과부력중심 이수평면에대해동일한수직선상에위치하여평형상태를이룸 Δ + Δ Δ r + r Δ o : od fied coordinate o : lobal coordinate 8_Restorin force : 수직방향무게중심 : 수직방향부력중심 : 선박 + 중량물무게 : 부력 Δ
횡복원력 (6 r r - 선박의횡복원안정성 (Transv. Stabilit 중량물의이동 (4 ( + Δ Δ r 9 중량물을다시중앙으로이동 O φ ( 선박 + 중량물 의무게중심 이 로이동 r Δ Δ o : od fied coordinate o : lobal coordinate 8_Restorin force : 수직방향무게중심 : 수직방향부력중심 : 선박 + 중량물무게 : 부력 Δ
횡복원력 (7 - 선박의횡복원안정성 (Transv. Stabilit 중량물의이동 (5 ( + r 선박이반시계방향으로회전 O 무게중심 와부력중심 이 수평면에대해동일한수직선상에위치하여평형상태를이룸 + Δ + Δ o : od fied coordinate o : lobal coordinate 8_Restorin force : 수직방향무게중심 : 수직방향부력중심 : 선박 + 중량물무게 : 부력 Δ
art. Stabilit & Trim [-],[4-] Restorin force - Transverse restorin Moment - onitudinal restorin Moment 8_Restorin force
종복원력 ( (+. Δ o. + Δ ( 힘의평형 무게중심 와부력중심 가수평면에대해동일한수직선상에위치 모멘트 rm 이 임 ( 모멘트평형 + Δ + 8_Restorin force o : od fied coordinate o : lobal coordinate
종복원력 ( e : 수직방향무게중심 : 수직방향부력중심 : 선박무게 ( Δ : 부력 M (+ o θ. restorin Δ. M 외부에서반시계방향으로선박에모멘트 ( 위그림의경우 (- 모멘트가가해짐 e 가가해짐 θ θ 4 선박이반시계방향으로만큼회전 5 배가미소각도로종경사한다고가정할때, 종경사시배의자세가변화하더라도노출부의용적과몰입부의용적이같아지는어떤점 를중심으로종경사함. : 부면심 (: onitudinal enter of loatation o : od fied coordinate 8_Restorin force o : lobal coordinate Δ
종복원력 ( -( 부면심 ( e M : 수직방향무게중심 : 수직방향부력중심 : 선박무게 Δ : 부력 (+ o θ. restorin Δ. ( 원래의수선 과 ( 새로운수선 과의교점 노출부와몰입부의용적은 v로같다고가정노출부용적의중심 몰입부의용적의중심 미소용적 δv δ v ( tan θ d tanθ d : 에서선수쪽으로떨어진거리 : 반폭 θ tanθ M θ d 8_Restorin force o : od fied coordinate o : lobal coordinate Δ
종복원력 (4 -( 부면심 ( e M : 수직방향무게중심 : 수직방향부력중심 : 선박무게 Δ : 부력 (+ o : od fied coordinate o : lobal coordinate. restorin Q δ v tan θ d Δ o θ Q 점 를중심으로선미까지의거리를 Q, 선수까지의거리를 -Q ( 선박의길이. 후반부 ( 몰수부 용적 전반부 ( 노출부 용적 v dv tan θ d a Q f tanθ Q v dv tan d 배수량의변화가없다고가정하였으므로, va + v f tanθ Q d + tanθ Q d θ tanθ d Q Q d 와 d 는점를지나는횡축 (축 에대한 후반부와전반부수선면적의 차모멘트를나타냄. Q + + Q M d d d d Q Q 8_Restorin 중심을통과하는 force 축에대한모멘트가 이기때문에점 는수선면적의중심 ( 부면심 d dd
종복원력 (5 - 종복원모멘트 ( rchimedes rinciple Δ Δ 부력의크기 배수량 M : 수직방향무게중심 : 수직방향부력중심 : 선박무게 Δ : 부력 (+ o : od fied coordinate o : lobal coordinate. restorin Q Δ Z o θ Q 점 를중심으로선미까지의거리를 Q, 선수까지의거리를 -Q ( 선박의길이. Z : 을통한부력작용선과 를지나고수선 평행한선이만나는점 M 종복원모멘트 Z Δ θ 만일배가미소각도 ( ~5 로종경사할때는 M 이변하지않는다고하면, 기하학적조건에의해 Z M sinθ M : 부력작용선과 를지나면서 과평행한선이만나는점 ; 메타센터 (onitudinal metacenter Δ 8_Restorin force Z
종복원력 (6 - 종복원모멘트 ( M : 수직방향무게중심 : 수직방향부력중심 : 선박무게 Δ : 부력 (+ o : od fied coordinate o : lobal coordinate. restorin Q Δ Z o θ Q 점 를중심으로선미까지의거리를 Q, 선수까지의거리를 -Q ( 선박의길이. 종복원모멘트 Z Δ M Z M sinθ Z : 을통한부력작용선과 를지나고수선 평행한선이만나는점 θ M + M M : 종메타센타높이 (onitudinal Metacentric Heiht : 부력의높이방향중심 M : 종메타센타반지름 (onitudinal Metacentric Radius : 배의높이방향의무게중심 (V: Vertical enter of ravit, M 는화물적재에따라결정됨 는선박의형상이주어지면결정됨 8_Restorin M : 부력작용선과 를 force 지나면서 과평행한선이만나는점 ; 종메타센터 (onitudinal metacenter Δ Z
종복원력 (7 -M 값계산 ( M : 수직방향무게중심 : 수직방향부력중심 : 선박무게 Δ : 부력 (+ o : od fied coordinate o : lobal coordinate. restorin Q Δ Z o θ Q 점 를중심으로선미까지의거리를 Q, 선수까지의거리를 -Q ( 선박의길이. 배수량의변화없이선박이경사한다고가정노출부와몰수부의용적은 v 로같음 용적이동에의한중심이동에의하여 // tan θ, v, M M tanθ 종경사각이작은경우 ( ~5 라면 8_Restorin force 이라가정할수있다. v M tanθ tanθ tanθ Z : 을통한부력작용선과 를지나고수선 평행한선이만나는점 : 선박의배수용적 : 을지나고선박의 축과평행한선과, 부력작용선이만나는 점 Δ Z M θ
종복원력 (8 -M 값계산 ( M v tanθ M : 수직방향무게중심 : 수직방향부력중심 : 선박무게 Δ : 부력 (+ o : od fied coordinate o : lobal coordinate. restorin Q Δ Z o θ Q 점 를중심으로선미까지의거리를 Q, 선수까지의거리를 -Q ( 선박의길이. M v v + v 만일종경사각이작다면 v v ( + v + v M + a M f M a : 후반부몰수부용적의길이방향 차모멘트 M f : 전반부노출부용적의길이방향 차모멘트 Z θ 8_Restorin force : 선박의배수용적 : 을지나고선박의 축과평행한선과, 부력작용선이만나는점 Δ
종복원력 (9 -M 값계산 ( v v M tanθ v + v M + v a M f δv tanθ d M : 수직방향무게중심 : 수직방향부력중심 : 선박무게 Δ : 부력 (+ o : od fied coordinate o : lobal coordinate. restorin Q Δ Z o θ Q 점 를중심으로선미까지의거리를 Q, 선수까지의거리를 -Q ( 선박의길이. 부면심을지나는가로축에대한미소용적모멘트, δ v M 후반부몰수부용적의길이방향 차모멘트 M a M f v δv v δv tanθ d Q tanθ Q Q Q 전반부노출부용적의길이방향 차모멘트 8_Restorin force d tanθ d Q tanθ : 선박의배수용적 d 부력작용선이만나는점 을지나고선박의 축과평행한선과, : Δ Z θ
종복원력 ( -M 값계산 (4. v M M v M tanθ v + v M + v a f tanθ tan θ Q Q Q d a M f d Δ δv tanθ d M Z o θ : 수직방향무게중심 : 수직방향부력중심 : 선박무게 Δ : 부력 Q (+ o : od fied coordinate o : lobal coordinate 점 를중심으로선미까지의거리를 Q, 선수까지의거리를 -Q ( 선박의길이. restorin 전반부 + 후반부용적의길이방향 차모멘트 M v M a + M f d + Q Q d + Q Q 은부면심 d tanθ 을 지나고 - 평면에수직인축에대한수선면의 차모멘트임을알수있다. v I I 8_Restorin force d tanθ 을지나고선박의 축과평행한선과, : 부력작용선이만나는점 Δ Z d θ dd d
종복원력 ( -M 값계산 (5. v restorin I v M M tanθ v M tanθ v + v M + v a f tanθ tan θ Q Q Q v d a M f d Δ δv tanθ d M Z o θ : 수직방향무게중심 : 수직방향부력중심 : 선박무게 Δ : 부력 Q (+ o : od fied coordinate o : lobal coordinate 점 를중심으로선미까지의거리를 Q, 선수까지의거리를 -Q ( 선박의길이 M. v M tanθ I tanθ tanθ I M : 8_Restorin force 선박의배수용적 부력작용선이만나는점 을지나고선박의 축과평행한선과, : Δ Z d θ dd d
종복원력 ( 중량물이동 ( a : 수직방향무게중심 : 수직방향부력중심 : 선박 + 중량물무게 w: 중량물무게 : 부력 Δ (+ o : od fied coordinate o : lobal coordinate w o. Δ. + Δ ( 힘의평형 무게중심 와부력중심 가수평면에대해동일한수직선상에위치 모멘트 rm 이 임 ( 모멘트평형 + Δ + 8_Restorin force
종복원력 ( 중량물이동 ( a w a w : 수직방향무게중심 : 수직방향부력중심 : 선박 + 중량물무게 w: 중량물무게 : 부력 Δ (+ o : od fied coordinate o : lobal coordinate. Δ o θ 점 를중심으로선미까지의거리를 Q, 선수까지의거리를 -Q ( 선박의길이. 중심이 a 인중량 w 를거리 l 만큼이동하여 a 에위치, ( aa l 4 선박 + 중량물의무게중심 가 으로이동 5 배가미소각도로종경사한다고가정할때, 종경사시배의자세가변화하더라도노출부의용적과몰입부의용적이같아지는어떤점 를중심으로종경사함. o o : 부면심 (: onitudinal enter of loatation Δ 8_Restorin force
종복원력 (4 중량물이동 ( a w M a w : 수직방향무게중심 : 수직방향부력중심 : 선박 + 중량물무게 w: 중량물무게 : 부력 Δ (+ o : od fied coordinate o : lobal coordinate. Δ Δ o θ 점 를중심으로선미까지의거리를 Q, 선수까지의거리를 -Q ( 선박의길이. 6원점 O를지나고, - 평면에수직한축에대한중량이동에의한경사모멘트를구해보면, r 7 부력중심이 에서 으로이동 M 8 원점 O 를지나고, - 평면에수직한축에대한부력에의한모멘트를구해보면 Δ r Δ 9무게중심 과부력중심 이수평면에대해동일한수직선상에위치하여평형상태를이룸 + Δ r + r Δ r r o o : 부면심 (: onitudinal enter of loatation Δ 8_Restorin force
inked Slide 8 8_Restorin force
횡복원력 - lobal coordinate 와 od fied coordinate 에서바라본형상 lobal coordinate 에서선박을기울여표시 od fied coordinate 에서수선면을기울여표시 M T (+ M T φ φ O φ Z O -φ o : od o : lobal fied coordinate coordinate Δ Δ 9 8_Restorin force
횡복원력 면적이동에의한중심의이동 ( a 면적에해당하는힘이면적중심에작용 ( aj (aj (+ < 힘의평형 > + + ( a j + ( aj + j + < 모멘트평형 > a 중심 를통하여그면에수직한축에대한 모멘트평형조건을고려하면, ( a k, ( + + a k k a + 4 8_Restorin force
횡복원력 면적이동에의한중심의이동 ( a a 면적에해당하는힘이면적중심에작용 ( ai (ai 8_Restorin force a (+ < 힘의평형 > + + ( a i + ( ai + i < 모멘트평형 > 중심 를통하여그면에수직한축에대한 모멘트평형조건을고려하면, ( a k, ( + + k k a + a 4
횡복원력 면적이동에의한중심의이동 ( a (+ a,, 에의해 삼각형 과삼각형 은닮은꼴 (SS 닮음 // a a a 닮음비이용 a a, 4 8_Restorin force
문제 : o 에서의부력중심 의위치를어떻게구할까? 방법. o 에서부력중심 의위치계산 방법. o 에서부력중심 의위치를계산한후, φ 만큼회전시킴 M, M c 구하기 O r φ d,,,, O r -φφ d c M, M 구하기 d d d d dd dd d M, M, d ( 면적분 ( 면적분 reen s theorem reen s theorem ( 선적분 ( 선적분 ( 수치적분 aussian quadrature o 에서의부력중심의위치 (, M, M,, : 예제 선박의자세가변화할때마다모든구간에대해매번적분을수행해야함 8_Restorin force o : od fied coordinate o : lobal coordinate ( 수치적분 aussian quadrature o 에서의부력중심의위치, ( M, M, M M,,, d d d o 에서구한부력중심좌표 φ 만큼회전시킴 cos φ sin φ sinφ cosφ : 예제 4 선박의자세가변화더라도수선면과교차하는부분을제외한적분구간에에서의적분값을그대로사용할수있음
면적 ( 면적 차모멘트 (M,M 와도심 ( 면적 차모멘트 (I,I 미소면적 d d 면적 dd d dd 8_Restorin force 축에대한 방향면적 차모멘트 M, M d,i, d d 도심 M, d, ( 면적분 M, reen s theorem d d ( 선적분 (, dd 미소면적 d 에대한 M 모멘트암, d reen s theorem d d 축에대한 방향면적 차모멘트 M, d d reen s theorem d d 축에대한 방향면적 차모멘트 I, I I,, d dd d reen s theorem d d 축에대한 방향면적 차모멘트 I, d d reen s theorem d d 44 44/5
reen s theorem 을이용한면적구하기 Erwin resi, dvanced Enineerin Mathematics, 9 th edition, pp.49-445, 6. R 면적구하기 ( d dd M, N 이라고한다면,.H.S R N M dd R N M dd + R 면적분 ( Md Nd 선적분 M, N : 영역내부에서연속하는도함수를가지는 와 R 의함수들 ( ( dd dd R ( : 면적 R.H.S 8_Restorin force ( Md + Nd ( d + d ( d d ( d d ( d d 45
reen s theorem 을이용한 차면적모멘트구하기 ( Erwin resi, dvanced Enineerin Mathematics, 9 th edition, pp.49-445, 6. M, N R 이라고한다면, N M dd + R ( Md Nd 면적분선적분 M, N : 영역내부에서연속하는도함수를가지는 와 R 의함수들 ( 축에대한 방향 차면적모멘트구하기 d dd M.H.S R.H.S R, 8_Restorin force M, N M dd ( dd dd ( R R ( Md + Nd d + d d d M, d d d d M, 46
reen s theorem 을이용한 차면적모멘트구하기 ( Erwin resi, dvanced Enineerin Mathematics, 9 th edition, pp.49-445, 6. R 이라고한다면, N M dd + R ( Md Nd 면적분선적분 M, N : 영역내부에서연속하는도함수를가지는 와 R 의함수들 ( 축에대한 방향 차면적모멘트구하기 M d dd M M, N N.H.S R.H.S R, 8_Restorin force M dd, R ( Md + Nd d + d d d M, ( ( dd dd d d d R d M, 47
reen s theorem 을이용한 차면적모멘트구하기 ( Erwin resi, dvanced Enineerin Mathematics, 9 th edition, pp.49-445, 6. M, N R 이라고한다면, N M dd + R ( Md Nd 면적분선적분 M, N : 영역내부에서연속하는도함수를가지는 와 R 의함수들 ( 축에대한 방향 차면적모멘트구하기 d dd.h.s R I, N M dd ( dd dd ( R R d R.H.S ( Md + Nd d + d d I d d, I d d 48, 8_Restorin force I,
reen s theorem 을이용한 차면적모멘트구하기 ( Erwin resi, dvanced Enineerin Mathematics, 9 th edition, pp.49-445, 6. M.H.S R, N 이라고한다면, N M dd + R ( Md Nd 면적분선적분 M, N : 영역내부에서연속하는도함수를가지는 와 R 의함수들 ( 축에대한 방향 차면적모멘트구하기 d dd R N M I, dd ( R ( dd dd d R.H.S ( Md + Nd d + d d I d d, I, d 8_Restorin force R d I, 49
예제 면적, 차면적모멘트, 도심구하기 -lobal coordinate ( π 4 기하학적형상으로부터삼각형의면적과 도심은아래와같이구할수있다., (, : 면적 d dd reen s theorem d d 구간 : ( t t, ( t t, t d d d dt ( o : od fied coordinate o : lobal coordinate 8_Restorin force d dt dt ( t( ( t dt t dt 5
예제 면적, 차면적모멘트, 도심구하기 -lobal coordinate ( π 4 면적 d d 구간 : 구간 : d d d d 기하학적형상으로부터삼각형의면적과 도심은아래와같이구할수있다., (, ( 8_Restorin force : o : od fied coordinate o : lobal coordinate ( t t, ( t t, t d dt d dt dt ( t ( t dt t dt 5
예제 면적, 차면적모멘트, 도심구하기 -lobal coordinate ( π 4 기하학적형상으로부터삼각형의면적과 도심은아래와같이구할수있다., (, ( : o : od fied coordinate o : lobal coordinate 8_Restorin force 면적 d d 구간 : d d 구간 : d d 구간 : ( t t,, t d d d dt d dt dt ( t dt d d + + 5
예제 면적, 차면적모멘트, 도심구하기 -lobal coordinate (4 축에대한 방향면적 차모멘트 M, M d dd reen s theorem π 4 기하학적형상으로부터삼각형의면적과 도심은아래와같이구할수있다., (, ( : o : od fied coordinate o : lobal coordinate 8_Restorin force, 구간 : d d ( t t, ( t t, t d dt d d dt dt t d ( t( t t + t dt dt t + t 6 5
예제 면적, 차면적모멘트, 도심구하기 -lobal coordinate (5 축에대한 방향면적 차모멘트 M, M, d d 구간 : d d π 구간 : ( t t, ( t t, t 4 d d 기하학적형상으로부터삼각형의면적과 도심은아래와같이구할수있다., (, ( : o : od fied coordinate o : lobal coordinate 8_Restorin force t t + d d dt dt dt t( t t + t 6 t dt dt 54
예제 면적, 차면적모멘트, 도심구하기 -lobal coordinate (6 축에대한 방향면적 차모멘트 M, M, d d 구간 : d d π 4 구간 : d d 구간 : ( t t,, t d d d d dt dt dt 기하학적형상으로부터삼각형의면적과 도심은아래와같이구할수있다., (, ( 8_Restorin force : o : od fied coordinate o : lobal coordinate M t t dt, + + d d 55
예제 면적, 차면적모멘트, 도심구하기 -lobal coordinate (7 축에대한 방향면적 차모멘트 M, M, d d reen s theorem π 4 구간 : d d ( t t, ( t t, t d dt d d dt dt d 기하학적형상으로부터삼각형의면적과 도심은아래와같이구할수있다., (, ( : o : od fied coordinate o : lobal coordinate t( t ( t ( t + t + t + t dt t dt t dt t t 6 56 8_Restorin force
예제 면적, 차면적모멘트, 도심구하기 -lobal coordinate (8 π 4 축에대한 방향면적 차모멘트 M, M, d d 구간 : d d d d dt 기하학적형상으로부터삼각형의면적과 도심은아래와같이구할수있다., (, : 구간 : ( t t, ( t t, t d d dt dt t ( t ( o : od fied coordinate o : lobal coordinate 8_Restorin force ( t t t + t t t dt dt dt t t 6 57
예제 면적, 차면적모멘트, 도심구하기 -lobal coordinate (9 π 4 축에대한 방향면적 차모멘트 M, M, d d 구간 : 구간 : d d d d 구간 : ( t t,, t 기하학적형상으로부터삼각형의면적과 도심은아래와같이구할수있다., (, ( 8_Restorin force : o : od fied coordinate o : lobal coordinate M d d d d dt dt dt t dt, d d + 58
예제 면적, 차면적모멘트, 도심구하기 -lobal coordinate ( 면적 d d 축에대한 방향면적 차모멘트 M, M π, d d 4 축에대한 방향면적 차모멘트 M, M, d d 기하학적형상으로부터삼각형의면적과 도심은아래와같이구할수있다., (, : 도심 M,,, M, ( o : od fied coordinate o : lobal coordinate 8_Restorin force (,,, 59
예제 면적, 차면적모멘트, 도심구하기 -od fied coordinate ( 면적 d dd reen s theorem π 4 d d 구간 : ( t t, ( t, t d d d d dt dt dt ( t ( dt dt t 기하학적형상으로부터삼각형의면적과 도심은아래와같이구할수있다. 4, ( ( o : od fied coordinate o : lobal coordinate 8_Restorin force, 4 : : 구간 : ( t, ( t t, t d d d d dt dt dt ( t dt t ( 6
예제 면적, 차면적모멘트, 도심구하기 -od fied coordinate ( 면적 d d 구간 : π d d 4 구간 : d d 구간 : ( t t, ( t t, t d d d dt d dt dt ( dt dt 기하학적형상으로부터삼각형의면적과 도심은아래와같이구할수있다. 4, ( ( o : od fied coordinate o : lobal coordinate, 4 : : d d + + 6 8_Restorin force
예제 면적, 차면적모멘트, 도심구하기 -od fied coordinate ( 축에대한 방향면적 차모멘트 M, M, d d d π 4 reen s theorem d d 구간 : ( t t, ( t, t d dt d d dt dt d (, (, o : od fied coordinate o : lobal coordinate t t( dt tdt t 4 6 8_Restorin force
예제 면적, 차면적모멘트, 도심구하기 -od fied coordinate (4 π 4 축에대한 방향면적 차모멘트 M, M, d d 구간 : d d 구간 : ( t, ( t t, t d dt d d dt dt d t dt dt 4 t (, (, o : od fied coordinate o : lobal coordinate 6 8_Restorin force
예제 면적, 차면적모멘트, 도심구하기 -od fied coordinate (5 (, (, o : od fied coordinate o : lobal coordinate 8_Restorin force π 4 M 축에대한 방향면적 차모멘트 M, M, d d 구간 : d d 구간 : d d 구간 : ( t t, ( t t, t d d dt d d dt dt t t t dt dt t t dt 6 d d + 664,
예제 면적, 차면적모멘트, 도심구하기 -od fied coordinate (6 π 4 축에대한 방향면적 차모멘트 M, M, d d d reen s theorem d d 구간 : ( t t, ( t, t M, (, (, o : od fied coordinate o : lobal coordinate d dt d d dt dt d ( t( dt t 4 dt 65 8_Restorin force
예제 면적, 차면적모멘트, 도심구하기 -od fied coordinate (7 π 4 축에대한 방향면적 차모멘트 M, M, 구간 : 구간 : d d d d ( t, ( t t, t d d d d dt dt dt t t dt M, (, ( o : od fied coordinate o : lobal coordinate, tdt 4 t 66 8_Restorin force
예제 면적, 차면적모멘트, 도심구하기 -od fied coordinate (8 π 4 축에대한 방향면적 차모멘트 M, M, d d 구간 : d d 구간 : d d 구간 : ( t t, ( t t, t M, (, (, o : od fied coordinate o : lobal coordinate 8_Restorin force M d dt d d dt dt d t t t t t dt dt, d d + 6 67 6
예제 면적, 차면적모멘트, 도심구하기 -od fied coordinate (9 π 4 면적 d d 축에대한 방향면적 차모멘트 M, M, d d 축에대한 방향면적 차모멘트 M, M, d d M, (, ( o : od fied coordinate o : lobal coordinate, 도심 (, ( M, M,,,,, 68 8_Restorin force
예제 면적, 차면적모멘트, 도심구하기 -od fied coordinate ( M, (, 면적의도심 ( 부력중심 구하기 od fied coordinate, π 4 o o M, ( o : od fied coordinate o : lobal coordinate 8_Restorin force, lobal coordinate, π 에서의부력중심 의좌표를 o 에대해만큼 4 회전한좌표계에서의좌표값으로변환 r π π cos sin 4 4 π sin cos 4 4 π (, (, π 4 69
Numerical Interation Method - aussian a quadrature atu iven: 함수 f(t ind: 구간 [-,] ] 에서 f(t 의적분 <aussian quadrature 방법 > f f f f (t n f ( t dt j j f j ( t j t t t t t n oefficients Node j j t.5555555556 t -.774596669.8888888889 t.5555555556 t.774596669 8_Restorin force
차원평면에서의점의회전과좌표계회전 고정된좌표계에서물체의회전 o iven: 에서정의된점 의좌표값 ind : 점 을 o 에대해 φ 만큼회전시킨점 Q구하기 좌표계회전 o iven: 에서정의된점 의좌표값 ind: o 에대해 φ 만큼회전한새로운좌표계 o 에서의 의좌표값 o α φ o φ α r r r Q Q Q Q cosφ sinφ sinφ cosφ cosφ sinφ sinφ cosφ 점의회전변환 좌표계회전변환 8_Restorin force o : od fied coordinate 점을 φ 만큼회전시키는변환행렬과 o : lobal coordinate 좌표계를 φ 만큼회전시키는변환행렬이동일함 7
iven: o 에서정의된점 의좌표값 ind: 점 을 o 에대해 φ 만큼회전시킨점 Q 구하기 o α φ r Q Q r 점 Q 의좌표를삼각함수의차공식으로전개하면, Q r r Q Q cos( α + φ cosα cosφ r sinα sinφ ( r cos α cos φ ( r sin α sin φ r cosφ r sin(α α + φ sinφ 점 Q의좌표를각으로표현하면 ( r sinα cosφ + ( r cosα sinφ 점,Q 의좌표를각으로표현하면, r cosα Q r Q Q cos( α + φ r Q Q sinα cosφ + r Q Q cosα sinφ, ( r rq r ( r r cosφ + r sinαα Q r Q sin( α + φ 4 행렬로표현하면, 삼각함수합공식 sin( α + φ sinα cosφ + cosα sinφ cos( α + φ cosα cosφ sinα sinφ 8_Restorin force sinφ Q Q, Q cosφ sinφ sinφ cosφ 7
iven: o 에서정의된점 의좌표값 ind: o 에대해 φ 만큼회전한새로운좌표계 o 에서의 의좌표값 o φ α r 점 의좌표를삼각함수의차공식으로전개하면, r r cos( α + φ sinα sinφ ( r cos α cos φ ( r sin α sin φ cosα cosφ r cosφ sinφ r sin( α + ϕ r sinαcosϕ+ r cosαsinϕ ( r ϕ+ ( r 점 의좌표를각으로표현하면 점 의좌표를각으로표현하면, r cosα r cos( α + φ sinα cosϕ cosα sinϕ cos ϕ+ r sinαα r sin( α + φ 4 행렬로표현하면, 삼각함수합공식 sin( α + φ sinα cosφ + cosα sinφ cos( α + φ cosα cosφ sinα sinφ 8_Restorin force sinϕ cosφ sinφ sinφ cosφ 7