Lecture Note: Dynamic Force nalysis 상상은지식보다더욱중요하다. 지식은한계가있지만 상상은세상의모든것들을끌어안기때문이다. (lbert Einstein)
강체의질량중심 (Center of mass) 강체상한점 P 에위치한미소질량 m 의가속도가 P 라면, 이질점의운동방정식은 다음과같이기술할수있다. F m P 여기서 F 는질점이받는힘을나타낸다. 이제강체에작용하는힘의합을 F 라하면 F df P dm --- (1) 그런데운동학 점정리에의해 P ) ( --- () P P () 식을 (1) 식에대입하면, F Pdm dm ( P ) P dm dm P dm P --- () 그러므로 F m 따라서강체에작용하는힘의합은강체의전체질량 m 에질량중심점의가속도 를곱한 값과같다는결론이도출된다. 이는질점에대한뉴톤의운동방정식과동일한형태이다. 169
P P 앞에서유도된대로강체의운동방정식이그질량중심점에대해주어지므로질량중심점을 구하는방법을알필요가있다. 우선위그림은여러개의질점이배치된경우이다. 이때 그질량중심점을구하기위한공식은다음과같다. 원점에서질점 i 까지의벡터를 하고질량중심점 까지의벡터를 라하면 i 라 m i m i i 만일위오른쪽그림과같이질점이연속적으로분포되어있다면 P dm dm ( ) dm dm 0 P P 면적이나부피의중심점을도심이라부르는데, 만일질량의밀도가균일하게그면적이나 부피상에분포한다면도심은질량중심과일치하게된다. 차원또는 차원공간에위치 한물체의도심은질량중심과유사하게다음공식으로구할수있다. C P d d C P dv dv 원, 사각형, 삼각형, 그리고구, 직육면체등과같이규칙적형상을가진물체들의경우는 그도심을구하는것이비교적쉬우므로균일한질량밀도를갖는다면질량중심점도쉽게 구할수있다. 170
관성행렬 (Inertia Matrix) kˆ P ĵ î 강체의질량이부피를따라어떻게분포되어있느냐에따라서그강체의회전운동특성은 달라지게된다. 강체의질량분포를나타내는방법중하나가관성행렬을이용하는방법이며 관성행렬은다음과같이 의크기를갖는대칭행렬이다. I I I I xx yx zx I I I xy yy zy I I I xz yz zz 관성행렬의요소값들을결정하는것은기준점과좌표계이다. 즉, 위그림에서 와 î, ĵ, kˆ 이다. 이들에의해요소들의값은다음식들로결정된다. xiˆ y ˆ zkˆ 이라면, I xx (ˆ i ) (ˆ i ) dm ( y z ) dm I yy ( ˆ ( ˆ ) ) dm ( z x ) dm I zz kˆ kˆ ( ) ( ) dm ( x y ) dm I xy i ( ˆ (ˆ ) ) dm ( xy) dm I yz ( ˆ kˆ ) ( ) dm ( yz) dm I zx kˆ ( ) (ˆ i ) dm ( zx) dm 위에서 I, xx yy zz, I I 는관성모멘트라부르고 I, xy yz zx, I I 는관성적이라부른다. 171
예제 1 m kˆ aiˆ b ˆ c kˆ ĵ î 그림에서같이질량 m 인하나의질점이공간에위치해있을때, 이질점에의한 점을 기준점으로하는관성행렬의요소값들을구하라. 앞쪽에소개된식들에 aiˆ b ˆ c kˆ 을대입하면, I xx I yy I zz m( b m( c m( a I xy mab I yz mbc I zx mca c a b ) ) ) 이계산내용은다음쪽에설명될관성행렬의평행축정리에유용하게사용된다. 17
관성행렬을위한평행축정리 우리는학부 학년동역학교과과정에서관성모멘트의평행축정리를아래와같이배웠다. 즉, I I I add 즉, 질량 m 인강체의질량중심점 에대한관성모멘트가 I 라면임의의한점인 에 대한관성모멘트는두점사이의거리 d 를이용하여구할수있다는것이며여기서 I add md 관성모멘트의평행축정리라불리는위내용은관성행렬에대해서도유사하게확장하여적용 할수있는데그내용은다음과같다. 즉, I I I add 여기서 I add 는강체의모든질량이질량중심점 에한질점으로집중되어있다고할때 그질점의 점에대한관성행렬값이다. 즉, 강체의총질량이 m 이고 aiˆ b ˆ c kˆ 라면 ( 앞쪽결과를참조하면 ) I add m( b c ) mba mca m( c mab a ) mcb mac mbc m( a b ) 행렬의요소들이계산되는과정은앞쪽의예제문제를통해다루었다. 여기서 I, I, 그리고 I add 는모두동일한좌표계를사용하여계산된관성행렬이다. 다음에는동일한대상을다른좌표계를사용하여관성행렬을계산할때그결과가어떻게 달라지는가를살펴보도록하자. 17
서로다른좌표계를사용해계산된관성행렬 k ˆ kˆ ˆ ĵ î iˆ 동일한기준점에대한관성행렬을좌표계 iˆ, ˆ, kˆ 에대해구하면그요소값은다음과 같다. x (ˆ i ) (ˆ i ) dm ( y z ) dm I x y ( ˆ ( ˆ ) ) dm ( z x ) dm I y z kˆ kˆ ( ) ( ) dm ( x y ) dm I z x (ˆ i ) ( ˆ ) dm ( xy ) dm I y y ( ˆ ) ( kˆ ) dm ( yz ) dm I z z ( kˆ ) (ˆ i ) dm ( zx ) dm I x 그런데 xiˆ y ˆ zkˆ xiˆ yˆ zkˆ 이므로 x x( iˆ iˆ ) y( ˆ iˆ ) z( kˆ iˆ ) y x( iˆ ˆ ) y( ˆ ˆ ) z( kˆ ˆ ) z x( iˆ kˆ ) y( ˆ kˆ ) z( kˆ kˆ ) 17
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 위식에서 ( i i ), i ), ( k i ) 등을방향코사인이라부르며그들을요소로갖는다음 ( ˆ 행렬을방향코사인행렬혹은변환행렬이라부른다. C (ˆ i iˆ ) (ˆ i ˆ ) (ˆ i kˆ ) ( ˆ iˆ ) ( ˆ ˆ ) ( ˆ kˆ ) ( kˆ iˆ ) ( kˆ ˆ ) ( kˆ kˆ ) 이변환행렬을이용하면두좌표계에대한관성행렬의관계를다음과같이간단하게나타낼 수있다. I C I C T 위식은동일기준점에대해그러나서로다른좌표계를이용하여구해진관성행렬들간의 관계를보여준다. 앞에서우리는동일좌표계에대해서그러나서로다른기준점에대한관성행렬을구하는 평행축정리를배웠다. 그러므로이제우리는기준점이변하고좌표계가변하더라도그에 해당하는관성행렬을구할수있다. 주관성모멘트와주관성축 어떤좌표계를이용하여관성행렬을구했을때, 그행렬의비대각요소인관성적들의값이 모두 0 이라면그때구해진관성모멘트들의값을주관성모멘트라하고좌표계의세방향을 주관성축이라부른다. 이들을구하는방법은다음과같은고유치문제가된다. 즉, 임의의 좌표계 iˆ, ˆ, kˆ 를이용하여구한관성행렬을 I 라하면, 다음문제에서구해진고유치가 주관성모멘트이며그때구해진고유벡터가주관성축의방향을결정한다. I x x 여기서는이고유치문제에대한더상세한언급은하지않으려한다. 175
관성력과달랑베르원리 평면운동을하는강체의운동방정식은다음두식으로주어진다. n F i i1 ma n M i I i1 이두식을뉴톤 - 오일러방정식이라부른다. 그런데 F n1 ma 그리고 M n1 I 라고정의하면 n 1 i1 n 1 i1 F i 0 M i 0 결국원래의운동방정식이정적평형방정식으로변환된것과같은데, 이러한변환을통해 얻어진방정식을달랑베르원리라고한다. 달랑베르원리는 ma 와 I 를하나의 힘과토크로생각함으로써가능해지는데이가상적인힘과토크를각각관성력그리고관성토크라부른다. 본장에서는 1 장과달리운동을하는기구에발생하는힘또는모멘트를구하게되지만, 그힘또는모멘트들을구할때는 1 장에서사용한방법을그대로사용할수있다. 단지운동을하는경우는추가로관성력과관성토크를더고려하면된다. 그런데기구의해석시관성력과관성토크는합하여하나의힘으로치환될수도있다. 아래의그림은그예를보여주고있다. 즉관성토크를관성력과같은크기를갖는힘으로이루어진커플로치환을하면그커플중 아래힘은원래의관성력과상쇄가되므로위에위치한관성력만남게되는것이다. 커플을 구성하는힘간의거리 h 는다음과같이구해진다. I h m 176
예제 1 B V t B n B B, 문제 ) 위그림의현재상태에서슬라이더 의속도가일정하게 힘 F 를구하라. 이문제에서슬라이더 와 B 의질량은무시한다. V 1.6 ft / s 가되도록 풀이 ) 우선, 속도다각형을그린다. 속도다각형으로부터 V B B n B B 이결과를이용하여가속도다각형을그린다. 이에근거하여링크 의각가속도는다음과 같이결정된다. t B B ˆ ˆ ( 시계방향 ) ˆ t B B 이제링크 에걸리는관성력과 ( 우측방향 ) 관성토크를 ( 반시계방향 ) 하나의힘으로치환 하기위해서 h 를구하면, h I m 이제마지막으로링크 의힘해석을도해적방법으로수행한다. 177
F F 1 h m 네힘이합친작용선 F 1 위그림에서힘을구하는순서는다음과같다. 우선, 관성력의질량중심에대한위치를구한다. 링크 의각가속도가시계방향이므로관성토크는반시계방향이된다. 따라서관성력과관성토크를합한하나의관성력은질량중심하단에위치해야한다. 다음, 의크기에서 1 m F 를모멘트평형식을이용하여구한다. 다음에는이두힘을합친힘이 F 와 F 1 를합친힘과평형을이룬다는사실에서 F 와 F 1를구할수있다. 178
예제 문제 ) 모든기하학적운동관련정보는주어졌다고가정하고링크사이에작용하는구속력과 구동토크의값을구하라. 해석적풀이 ) 각링크의자유물체도에근거해서운동방정식을유도한다. 1) 링크 Fi F1 F m ) 0 M ) 링크 ( ( ) 1 0 F M I Fi F F m ) 0 M ) 링크 ( m I ) F 0 ( B Fi F1 F FC m ) 0 M ) 작용 - 반작용 F F ( m I ) F F 0 ( C C B F F 미지수 1 개식 1 개 179
중첩의원리 f 중첩의원리는선형시스템에만성립하는것으로원인과결과사이에선형적인관계가성립 한다는것이다. 예를들어서위와같은외팔보자유단에힘 f 가가해질때 의변위가 발생한다면그들사이의관계가선형적이라면다음과같이표시할수있다. L ( f ) 그런데 L( f 1 이고 L( f 라면 1) ) L ( f 1 f ) 1 이러한특성은그러나비선형시스템에는성립하지않는다. 예를들어 변위관계가주어지는비선형스프링이있다면 f kx 으로힘과 f 1 f kx1 kx k( x1 x) 인간의직관적능력은중첩의원리에근거하므로선형적으로성립하는자연현상에대해서는경험이쌓이면시간이지날수록예측능력이발전할수있으나비선형적인현상에대해서는아무리많은경험이쌓인다할지라도전혀예측능력이발전하지않는다. 물론비선형적인현상들도수학적모델을통해서예측이가능하나우리인간의직관은그결과를예측하지못한다. 대표적인비선형현상은기후나주가같은것들이있으며역학적으로는소성역학또는비선형진동이그범주에속한다. 기구하중해석에중첩의원리를적용하는방법 1. 운동해석을수행하여각링크의각속도와각가속도등의정보와질량중심위치등을알아낸다.. 부하로가해지는힘이나토크를고려하여정적평형해석을수행한다. 이해석의결과는각링크에작용하는구속력의방향및크기이다.. 단계 1 의결과와각링크의질량및관성모멘트를이용하여관성력과관성토크를구한다. 번에서사용된부하대신에관성력과관성토크를부하로이용하여정적평형해석을수행한다.. 단계 의결과와단계 의결과를중첩한다. 180
예제 문제 ) 기하운동학적정보가모두주어졌을때위 절기구에작용하는구속력을포함한 모든힘들을구하라. 도해적풀이 ) 1) 링크 181
위그림에서 (a) 는링크 의관성력에의해서만초래되는하중을구한것이고 (b) 는링크 의관성력과관성토크만작용할때발생하는하중이며, (c) 는 F C 에의해발생하는하중 해석결과이다. 세경우의결과를중첩의원리를이용하여더하면총하중을구할수있다. 그런데위에서 (a) 와 (c) 의경우는그크기가위그림에의해모두결정되나 (b) 의경우는 아직그크기를알수없다. 따라서다른링크들의분석을통해서결정되어야한다. 아래 그림은링크 의분석내용을보여준다. ) 링크 위그림에서 (b) 의경우가링크 의관성력과관성토크를고려한경우이며, 나머지 (a) 와 (c) 의경우는단순히축방향으로두개의힘이작용한다. 여기서 (b) 의경우는관성력과 F 의방향이결정되어모든힘들의크기가결정되므로링크 의 (b) 의경우에결정되지 않았던힘이결정되게된다. 그러므로이제모든힘들을중첩의원리에의해구할수있다. 예를들어, F F F F 18
) 링크 이제앞에서 그러므로 F 이결정되었으므로 F F F 1 F F M 1 hf 고정점에대한회전운동 운동방정식에서 tˆ nˆ F m M I r M M r F I kˆ rn m r tˆ ˆ r nˆ ( I mr ) kˆ I 따라서다음형태의달랑베르원리를적용할수있다. M I 0 18
타격중심 (Center of Percussion) r b 충격량 - 운동량원리에의해 점에아무반발이없으므로 mv 점에대한각충격량을 라하면 b 따라서 I b mbv bmr 그러므로 I mbr 관성반경을 k 라하면, I mk, 그러므로 k b r 18
요동하중및모멘트 (Shaking Forces and Moments) F F F F F 1 1 링크,, 로구성된시스템의자유물체도를그리면, 위 5 개의힘이서로평형을이루고 있다. 따라서 F 1+ F 1 + F + F + F =0 따라서기반링크에전달되는힘의합은 ( 이를요동하중이라부름 ) F s = F 1 + F 1 =-( F + F + F ) 이관성력들과관성토크들이발생시키는모멘트의합은 ( 이때, 모멘트를정의하기위한 기준점을어디에정하느냐에따라결과가달라진다 ) M s r i F i T i 185
186 복소대수방법본절에서소개되는방법은다음절차를따라해석이진행된다. 1. 운동해석을수행한다.. 각링크에대해자유물체도를그린다.. 각링크에대해동적힘방정식을기술한다.. 각입력각도에따라다음값들을계산한다. (a) 움직이는링크의축방향과횡방향의힘 (b) 지반베어링에걸리는하중성분 (c) 관성토크 (d) 지반에걸리는요동모멘트위그림의예제를이용하여위방법을설명하기로하자. 우선운동해석부분은앞에서배운 장과 장내용을이용하여수행할수잇다. 다만그값들을복소수를이용하여다음과같이나타낸다. y x e e l y x e e l e r y x e e l
위그림은 개링크들의자유물체도를나타낸다. 이제각각에대해운동방정식을기술하면 먼저링크 에대해서, 병진운동방정식은 x x y y x y ( F F ) ( F F e m e --- (1) 1 1 ) 에대한회전운동방정식은 r y F T I ml ) ( --- () 링크 에대한병진운동방정식은 x x y y x y ( F F ) ( F F e m e --- () ) 에대한회전운동방정식은 ( r l ) F l F I --- () y y 마지막으로링크 에대한병진운동방정식은 x x y y x y ( F F ) ( F F e m e --- (5) 1 1 ) 에대한회전운동방정식은 r y F I ml ) ( --- (6) 187
이제작용 - 반작용관련식을기술하면다음과같다. ( x y x y F F ) e ( F F ) e 0 --- (7) ( x y x y F F ) e ( F F ) e 0 --- (8) ( x y 1 x y F F ) e ( F F ) e 0 --- (9) 1 1 1 1 ( x y 1 x y F F ) e ( F F ) e 0 --- (10) 1 1 1 1 이상에서식 1 개와 T 를포함한미지수 1 개로이루어진문제이므로풀이가가능하다. 188