FGB-P 학번수학과권혁준 2008 년 5 월 19 일 Lemma 1 p 를 C([0, 1]) 에속하는음수가되지않는함수라하자. 이때 y C 2 (0, 1) C([0, 1]) 가미분방정식 y (t) + p(t)y(t) = 0, t (0, 1), y(0)

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유미 비
5 years ago
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1 FGB-P8-3 8 학번수학과권혁준 8 년 5 월 9 일 Lemma p 를 C[, ] 에속하는음수가되지않는함수라하자. 이때 y C, C[, ] 가미분방정식 y t + ptyt, t,, y y 을만족하는해라고하면, y 는, 에서연속적인이계도함수를가지게확 장될수있다. Proof y 은 y 의도함수이므로미적분학의기본정리에의하여, y 은 y 의어떤원시 함수와적분상수의합으로표시될수있다. 그러므로 t y t y tdt + C t + t + t ptytdt + C t + ptytdt + C ptyy C[, ] 따라서 y 은 t 에서우극한값을가진다. 마찬가지로 t t y t y tdt + C t t ptytdt + C t ptytdt + C ptyy C[, ] 중요하지않을수도있지만이 Lemma 는오목함수와접선의성질을 t 가 이나 인지점에서사 용하기위하여필요하다.

2 이므로 y 는 t 에서좌극한값을가진다. 또한 이고, t y t + t + ptyt py t t t ptyt py 이므로 y 은 t, t 에서각각 인우극한값, 좌극한값을가진다. 따라서 t t + t if x < y e t yt if x t y t t if < x 라고하면, y e 는 [, ] 에서 y 와같으면서, C, 에속한다. Lemma 음이아니며, [, ] 에서연속인함수 p 에대해미분방정식 y t + ptyt, t,, y y 이 C, C[, ] 에속하는 non-zero solution y 를가진다고하자. 이때 ya yb 이면 a < b, 미분방정식 y t + b a pb at + ayt, t,, y y 도 C, C[, ] 에속하는 non-zero solution 을가진다. 더나아가서 yb at + a 가해가된다. Proof y yb at + a 평균값정리에의해도함수의극한값이존재하면그값이도함수의값이됨을알수있다. 또한 값은방법이이계도함수에서도적용된다.

3 라하자. 그러면 y b a y b at + a 이다. 이제 y 를준미분방정식에대입해보면 y t + b a pb at + ay t b a y b at a + b a pb at + ayb at a y b at a + pb at + ayb at a 이므로 y 는이미분방정식을만족하며, y ya, y yb 이다. 여기서 t [, ] 에대해 y 가항등적으로 이라고하면, t [a, b] 에서 y가항등적으로 이다. 따라서 ya + b/ y a + b/ 이게되어 uniqueness and existence theorem에의해서 y또한 t [a, b] 에서항등적으로 이되어서모순이생긴다. 따라서 y 는 non-zero solution이다. Problem C[, ] 의원소인음이아닌함수 p가 C, C[, ] 의원소인 non-zero solution을다음미분방정식에서가진다고하자. y t + ptyt, t,, y y 그러면이함수는다음을만족한다. ptdt > 4 Proof 준미분방정식의주어진조건을만족하는한해 y p 를잡자. 그러면 y p 는 nonzero solution이므로우리는 y p c 인 c를잡을수있다. 이제다음과같은집합을생각하자. S {t x [c, t]y p x } 3 여기서 y p c 이고, y p y 이므로 S는공집합이아니며, 과 에의해서유계되어있다. 그러므로완비성정리에의해서 S는최대상계 a와최소하계 b를가지게되는데여기서 y가연속함수이므로 y p a y p b 이다. 그러므로 Lemma 에의해서 p t b a pb at + b 라하면 y p b at + a 가 y t + p tyt, t,, y y 3 직관적인관점에서설명을하자면, c를기준으로왼쪽, 오른쪽에서가장먼저 y p 의값을 으로만드는두값을끝점으로하는개구간이다. 3

4 의해가된다. 여기서 y p c > 이면, y y p b at + a, y p c < 이면, y y p b at + a 라하면 y 는위의미분방정식의해가된다. 또한 이다. ptdt b a ptdt b apb at + bdt p tdt 여기서우리는 Lemma 에의해서 y 를 C, 에속하게확장할수있 다. 이때 y t 는 [, ] 에서음수가아니므로우리는 y t + p ty t 에서 y t 가양수가아니라는것을알수있다. 따라서 y 는아래로오목인함수이다. y 는 [, ] 에서연속이므로우리는최대값, 최소값정리에의해서 [, ] 에서최 대가 y 를최대로만드는 M 을찾을수있다. 그러면 p tdt p t y t y M dt y t y M dt y y y M 이다. 또한 y 은 [,] 에서아래로오목인함수이므로 t 에서그은접선에서 t M일때의값은 y M 이상이다. 그러므로 y M y M 이다. 마찬가지로 t 에서그은접선에서 t M일때의값은 y M 이상이다. 그러므로 y M y M 이다. 따라서다음식이성립한다. 4 y y ym M + M 4 그러므로다음과같은부등식이성립함을알수있다. ptdt 4 4 y, y 은각각양수, 음수이므로 M이 이나 이아님을알수있다. 4

5 여기서이부등식의등호가성립하려면 이어야하므로 M 여야하고, 이므로 5 결국 y 는 M + M 4 y M y M y M y M y t { kt if x k t if < x 꼴이되어서 t 에서미분이불가능해져서모순이생긴다. 따라서등호는성 립하지않는다. 그러므로 이성립한다. ptdt > 4 Corollary 3 음이아니며, [, ] 에서연속인함수 p 에대해미분방정식 y t + ptyt, t,, y y 이 C, C[, ] 에속하는 non-zero solution y 를가진다고하자. 이때 yc 이면 단, < c <, 이다. ptdy > 8 proof Lemma 에의해서 c pct, c p ct + c 도, 미분방정식 y t + ptyt, t,, y y 이 non-zero solution을갖게하는 pt 이다. 따라서 ptdt ptdt + c 5 M, y M 이 t가 인지점에서그은 y 의접선에있으려면 y 가아래로오목이므로결국 t [, 에서 y t 의값이일정해야한다. 마찬가지로 M, y M 이 t가 인지점에서그은 y 의접선에있으려면 y 가아래로오목이므로결국 t, ] 에서 y t 의값이일정해야한다. ptdt 5

6 cpctdt + c pctdt + > 8 By Problem cp ctdt c p ctdt Problem {p n } n 를 C[, ] 에속한 non-negative function 들의 family 라고 하자. 이때모든 n 에대해미분방정식 y t + p n tyt, t,, y y 이 C, C[, ] 에속하는 non-zero solution 을가진다고하자. 여기서 라하면, 임의의 C[, ] 에속하는 ϕ 에대해 이다. proof 이므로, n > N 이면 p n tdt 4 p n tϕtdt 4ϕ p n tdt 4 p n tdt 4 < 이게하는 N 을잡을수있다. 그러면 Corollary 3 에의해서 n > N 이면준 미분방정식의임의의해 yt 가 이되게하는 t [, ] 은 과 뿐이다. 따라서 준미분방적식의 non-zero 인해는, 을제외한모든점이부호가같고, yt 가 준미분방정식의해이면, yt 도해이므로, 결국우리는미분방정식의 nonnegative and non-zero solution 을찾을수있다. 또한이러한 y 에대해서주어진 미분방정식에의해 y 은 이하이므로이함수는아래로오목한함수가된다. 앞 으로 p n 에대해서이조건을만족하는 y 를 Lemma 를사용하여, 로확 장한함수를각각의 N 보다큰 n 에대해서하나씩뽑아서 y n 이라고할것이고, y n t 를 [, ] 에서최대로하게하는 t 를 이라고할것이다. 이제 n > N 일때 Problem 와같은방법으로 p n tdt + 4 6

7 이므로결국, + 4 이다. 따라서다음과같은사실을알수있다 이제임의의 보다작은고정된양수 c에대해서 p n tdt 임을보일것이다. 먼저 이므로, 우리는임의의 n > N 인 n 에 대해서 < 4 c 이게하는 N 를잡을수있다. 또한 n > N 이면, nonnegative and non-zero solution yt 를찾을수있이므로 n > max{n, N } 일때 Problem 와같은방법으로, 임을알수있으므로 p n tdt y n y n y n + 4 y n y n y + 이다. 여기서또다시 y n y y n + y n y n + y n y n 7

8 임을알수있으므로 y n y n y n y n 이다. 따라서 ε c +c 라고하면, ε은양수이므로, N 3가존재해서임의의 n > N 3 인 n에대해서 y n y < ε y n y n < ε y n y n y n y n < ε + ym < y 이게한다. 그러므로 n > max{n, N, N 3 } 이면, ε + 이게되어서, y n c y n y n c c y n y n + ε y M n n cy n + ε y M n n c + cε 4c + c + cε < 4 c 4 + c < 4c c c + + c + c 4c c < + + c + c 따라서 A 4c +c + c c +c 그러므로최종적으로다음과같은결과를얻을수있다. p n y nt dt y n 라하면 A 는양의상수이고, A yc y 이다. 8 p n y nc y n dt

9 t [, ] y t A 여기서 Problem 과같은방법으로생각하면 Ap n dt p n dt p n tdt 4 p n t y nt y n dt 이므로 인데, 이어서결국 p n t y nt dt y n p n t y nt dt y n p n t y nt dt y n p n t y nt dt y n t [, ]p n t ynt y n > p n t y nt p n t dt y n dt y nc y n A p n tdt 이므로 p ntdt 이다. 또한 p n t 가준미분방정식에서 non-zero solution yt 을가지면, p n t 는 y t 를해로가지므로, 우리는 p n tdt p n tdt c 임을알수있다. 그러므로임의의 보다작은 c에대해 c c p n tdt 4 p n tdt + p n tdt c c p n tdt + p n tdt c 9

10 이제같은결과를얻을수있다. s + s + s p n tϕtdt s + s < s + p n tϕtdt +s + s > s p n tϕtdt p n tϕtdt +s 또한 m s, M s 를각각 [ s, + s] 에서의 ϕ의최소값과최대값이라하면, ϕm +s +s s p n tdt p n tϕtdt ϕm +s s p n tdt s s s 이므로 squeeze theorem 에의해, 4ϕm s +s 임을알수있고, ϕ 가 [, ] 에서연속이므로 p n tϕtdt 4ϕM s s s ϕm s ϕ + ϕm s ϕ s + 이어서다시한번 squeeze theorem 을사용하면, s + +s p n tϕtdt 4ϕ s 임을알수있다. 따라서임의의 [,] 에서연속인함수 ϕt 에대해다음의결과 를얻을수있다. s + s + 4ϕ p n tϕtdt p n tϕtdt 좌변은 s와독립이기때문 +s p n tϕtdt + p n tϕtdt + p n tϕtdt s +s s

제 12강 함수수열의 평등수렴

제 12강 함수수열의 평등수렴 제 강함수수열의평등수렴 함수의수열과극한 정의 ( 점별수렴 ): 주어진집합 과각각의자연수 에대하여함수 f : 이있다고가정하자. 이때 을집합 에서로가는함수의수열이라고한다. 모든 x 에대하여 f 수열 f ( x) lim f ( x) 가성립할때함수수열 { f } 이집합 에서함수 f 로수렴한다고한다. 또 함수 f 을집합 에서의함수수열 { f } 의극한 ( 함수 ) 이라고한다.