용봉수학교육연구, 2012, 제 12 집 Proceedings of the 12th Workshop on Mathematics Education Vol.12, , 2012 아르키메데스의업적과포물선의특성 김동수 ( 전남대학교수학과 ) 아르키메데스는 2300여년

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1 용봉수학교육연구, 2012, 제 12 집 Proceedings of the 12th Workshop on Mathematics Education Vol.12, , 2012 아르키메데스의업적과포물선의특성 김동수 ( 전남대학교수학과 ) 아르키메데스는 2300여년전에지중해시실리섬에서태어나수학 ( 특히기하학 ) 을바탕으로조선공학, 유체역학, 물리학등을연구하였다. 그의연구방법중가장중요한것은 지렛대의원리 이다. ( 중국의맹자가활동한시기와거의같다.) 아르키메데스의업적중에서도, 구면, 포물선, 포물면등의부피, 넓이의성질에관한업적을살펴본뒤이러한성질들이각각구면, 포물선, 포물면등의특별한성질 ( 특성 ) 이되는지조사하고간단하게요약하여증명한다. 마지막으로포물면에관한한가지추측을제시한다. 1 머리말 전세계역사에서모든시대를통틀어가장위대한수학자한사람을꼽으라고하면사람마다다르지만세사람을꼽으라하면흔히아르키메데스, 뉴턴, 가우스를꼽는다. 그런위대한수학자들을만난다는것은마음설레고즐거운일이기도하지만한편으론어떻게그런수학자들이세상에등장하게되었는지궁금증을자아내기도한다. 그동안뉴턴과가우스의전기는한글로번역된책이있었지만아르키메데스에관한전기는한글로번역된책이없었는데, 지난 2006년에셔먼스타인교수의작품 Archimedes. What did he do besides cry Eureka? 를 아르키메데스 : 그가유레카를외친것이외에무엇을했는가? 라는이름으로서울대이우영교수가번역하였다. 이번소개글에서는먼저 1절에서, 아르키메데스를간단하게소개한다. 2절에서는, 아르키메데스의업적중에서도포물선의성질에관한아르키메데스의업적을참고문헌 1번에소개된방법으로자세히살펴본다. 구면, 포물면에관한아르키메데스의업적은간단히살펴본다. 다음으로 3절에서는, 2절에서살펴본구면, 포물선, 포물면등의성질들이각각구면, 포물선, 포물면등의특별한성질 ( 특성 ) 이됨을간단하게요약하여증명하고포물면에대한한가지추측을제시한다.

2 90 아르키메데스의업적과포물선의특성 Figure 1: 지렛대의원리 (DW = dw) 1.1 아르키메데스할아버지를만나다 : 2010년 2학기수학사강의 2010년 2학기에수학과 4학년의 수학사 라는과목을강의하게되어적당한교재를찾던중에이우영교수가번역한책 아르키메데스 : 그가유레카를외친것이외에무엇을했는가? 를찾게되었다. 셔먼스타인교수의영어본과이우영교수의번역본을교재로하여수업을진행하였다. ( 나중에학회에서만나감사의말씀을드리고부족한시간에어떻게옮길수있었는지물었더니지하철타고출퇴근하는틈에하였다고한다. 개정판을내면서연습문제와부록도옮겨주십사부탁드렸다.) 본문은번역본을학생들이차례대로읽어가면서설명하게하고, 보충이필요한부분은보충설명을해주었다. 연습문제는원서에만있는데모든문제를학생들이나누어풀수있도록과제로제시하였다. 학생들은보고서를작성하여이클라스에파일로제출하고화면을보면서발표하였다. 강의를진행하면서그책에나온아르키메데스의업적의방대함과그방법의독창성에 ( 감탄 ) n (n ) 하게되었다. 그많은업적들의대부분을지렛대의원리와수학적추론으로이루었는데그중에서도특히아르키메데스가발견한구면, 포물선, 포물면등의넓이, 부피에관한성질에매료되었다. 1.2 아르키메데스할아버지가준선물구면, 포물선, 포물면말고도그러한성질들을가지는곡선이나곡면이존재하는지여부가무척궁금하였다. 다른말로표현하면, 아르키메데스가발견한구면, 포물선, 포물면등에관한성질들이각각구면, 포물선, 포물면등의특성이되는지여부를조사하고싶었다. 그방향으로연구한결과첫번째로구면과포물면의특성에관한논문 ( 참고문헌 5) 을완성하여투고하였고심사결과통보를기다리면서포물선의특성에관한논문 ( 참고문헌 6) 을마무리지었다. 오랜기간의심사끝에심사교수가제공해준기존연구결과에대한정보와

3 김동수 91 격려에힘입어후속편을완성하였다 ( 참고문헌 7). 그뒤, 지난 4월에타원면과쌍곡면의특성에관한논문 ( 참고문헌 8) 을완성하였다. 현재는, 80년대에필즈메달을수상한싱퉁야우교수의제 1 업적이칼라비추측의증명인데, 야우교수증명을이용하여아핀초구면의새로운특성을찾는논문 ( 참고문헌 9) 을준비하고있다. 칼라비추측은아핀초구면의존재성과유일성에관한아핀기하의문제이며야우교수가몽쥬암페어편미분방정식의해의존재성과유일성을증명하여해결하였다. 포물면, 타원면, 쌍곡면은모두다아핀초구면의특별한경우이다. 초구면에관한논문을준비하면서검토해보니참고문헌 2, 3, 4번논문도모두다아르키메데스의업적과관계가있다. ( 이사실은지난 4월 28일숙명여대에서열리는 대한수학회총회및발표회 에발표하러가는기차안에서발견하였다.) 새삼깊은인연의끈을느낀다. 이지면을빌어서아르키메데스할아버지와, 셔먼스타인교수, 이우영교수께감사드리고그수업에참여했던수학과학생들에게고마움을전한다. 특히, 참고문헌 2번논문의공동저자이며참고문헌 5번논문을작성하는데많은도움을준고백정선교수께감사드린다. 1.3 아르키메데스가뉴턴, 가우스와다른점 1 수학의거인세명중뉴턴은 17세기과학혁명의거대한봉우리에서꽃을피운인물로서, 가우스는 19세기에수학의왕으로일컬어진수학적천재로서둘다모두근대이후의인물이다. 반면아르키메데스는뉴턴보다거의 2000년이전에살았던고대의인물이다. 따라서이들세인물을나란히무대위에올려놓고감상하기에는이들이살았던시대적, 문화적배경이너무나달라서그들의개인적이력을비교하여이해하기가쉽지않다. 그럼에도불구하고이들세위인을어떤측면에서든비교해보는것은자못흥미로워보인다. 첫째, 뉴턴과가우스는어린나이에위대한수학적업적을이룩하여일찍이수학적천재로인정받은반면아르키메데스는평생을한결같은자세로수학적발견들을차근차근쌓아나갔다. 둘째, 뉴턴과가우스는다른사람들이자신들을천재로인정해주는것을즐기고또그렇게원했던반면 ( 이는위대한과학적발견들이몇몇천재들에의해서혁명적으로성취된다는역사가의견해를지지한다.), 아르키메데스는진지함과성실함을과학적태도의최고의미덕으로숭상했다. ( 이는역사발전이점진적으로이루어진다는역사가의견해를지지한다.) 셋째, 뉴턴과가우스는주변사람들과수학적아이디어를나누는데인색했던반면 ( 그래서그들의발견중어떤중요한것들이훗날발견의선후논쟁에휘말리기도했다.), 아르키메데스는당시의교분이있는친구들과자유롭게수학적논의를즐겼으며자신의발견을아낌없이나누어주었다. 1 여기내용은참고문헌 1 의옮긴이머리말에나와있다.

92 아르키메데스의업적과포물선의특성 Figure 2: 비석에새겨진그림 위의세가지관점은왜우리가아르키메데스할아버지에대해더깊은존 경심과인간적친근감을갖게되는지잘설명해주고있다. 2 아르키메데스의업적 2 2.1 구의부피와겉넓이 아르키메데스는반지름이 r 인구의부피와겉넓이를구하기위해그것에 외접하는원기둥을생각하였다. 그원기둥은반지름이 r 이고높이가 2r 인원기 둥이다.

4 92 아르키메데스의업적과포물선의특성 Figure 2: 비석에새겨진그림 위의세가지관점은왜우리가아르키메데스할아버지에대해더깊은존 경심과인간적친근감을갖게되는지잘설명해주고있다. 2 아르키메데스의업적 구의부피와겉넓이 아르키메데스는반지름이 r 인구의부피와겉넓이를구하기위해그것에 외접하는원기둥을생각하였다. 그원기둥은반지름이 r 이고높이가 2r 인원기 둥이다. 이둘의부피와겉넓이를비교하였는데업적을간단히요약하면다음과 같다. 4 구의부피원기둥의부피 = 3 πr3 πr 2 2r = 2 3, 구의겉넓이원기둥의겉넓이 = 4πr 2 πr 2 + πr 2 + 2πr 2r = 2 3. 이업적을어느정도로중요하게생각하였는지는아르키메데스의비석에 새겨진그림 ( 구와그에외접하는원기둥 ) 을보면알수있다. 반지름이 r 인구의겉넓이를구하는과정에, 반지름이 r 인구를간격이 h 이고나란한두평면으로자르면두평면사이에있는구의겉넓이가 2πrh 가 됨을증명하였다. (h = 2r 인경우에구의겉넓이가된다.) 이를 아르키메데 스정리 라고하는데지도제작법중에서등적도법의원리가된다. 이성질은 구면의특성임을 3 절에서보인다. 2.2 포물선절단부의넓이 3 아르키메데스가도시데우스 (Dositheus) 에게쓴편지에서소개한그의논문 2 아르키메데스의업적에대한자료는참고문헌 1, 10 과거기에언급된참고문헌들에있다. 3 포물선의절단부의넓이에관한내용 (1.4, 1.5, 1.6 절 ) 은참고문헌 1 의제 7 절에나와있다.

5 김동수 93 Figure 3: 포물선의절단부 포물선의구적 (Quadrature of the Parabola) 의내용을간단히나타내면다음과같다. 그림 3에서와같이한포물선과현 AC로에워싸인영역이주어졌다고하자. B를현 AC와평행하면서포물선에접하는접선의접점이라고하자.( 그림 4) 아르키메데스는포물선의절단부의넓이가현 AC를밑변으로하고 B가세번째꼭지점인삼각형 ABC의넓이의 4/3배임을보였다. 이런식으로그는포물선영역을 직사각형영역 으로나타내려고애를썼다. 아르키메데스시대에 넓이를구하라 는말은 좀더간단한영역의넓이, 되도록다각형의넓이로나타내라 는것을의미하였다. 먼저, 우리는그의역학적증명을우선살펴보고, 그런다음그의엄밀한기하학적증명을제시할것이다. 2.3 포물선절단부의넓이 : 지렛대원리이용아르키메데스는그림 4의삼각형보다더큰삼각형을그려서시작했다. 그림 5에서 F C는 C에서의포물선의접선이고 D는 AC의중점이다. ED 는이포물선의절단부의축이다. AF 는축에평행하고 MO는삼각형 AF C의축에평행한절단선이라고하자. MO와 CH의교점을 N, 포물선과의교점을 P 라하자. 여기서 H는 CK의연장선위의 HK = KC되는점이다.( 이논의에서 K는받침점이될것이다.) 아르키메데스는여기서포물선에관한성질로단지두가지만을이용했다. 즉, MO/OP = CA/AO와 BD = DE/2. 그는첫단계에서포물선의절단부의넓이는큰삼각형 AF C의넓이의 1/3임을보였는데여기서는두등식중앞의것만을사용했다. 그의논의는간단하다. 그는다음방정식으로부터출발했다.

6 94 아르키메데스의업적과포물선의특성 Figure 4: 포물선의절단부 Figure 5: 포물선의절단부

7 김동수 95 MO OP = CA AO. 그런데 ON 과 AK 가나란하므로다음이성립한다. CA AO = CK KN. H 의정의에의해 CK = HK 이므로아르키메데스는다음을얻었다. MO OP = HK KN. 즉, 다음이성립한다. HK KN = OP HK. 이마지막방정식은다음과같이해석된다. 큰삼각형의절단선 MO는그대로놓아두고포물선의절단부의절단선을 H에있도록옮기면이들은평형을이룬다. 아르키메데스는역학적방법에의해삼각형 CAF 는그대로놓아두고포물선의절단부를 H로옮기면이들은평형을이룸을보였다. 삼각형의무게중심은중선 CK 위에서 K로부터 C에이르는길의 1/3되는지점에놓인다. 따라서삼각형의지레는 CK/3이고 H에놓은포물선의절단부의지레는 HK = CK이므로다음이성립한다. ( CK 3 )( 삼각형 CAF 의넓이 ) = CK( 포물선의절단부의넓이 ). 결국포물선의절단부의넓이는삼각형 CAF 의넓이의 1/3이다. 이제남은것은삼각형 CAF 의넓이가삼각형 ABC의넓이의 4배임을보이는것이다. 여기서방정식 BD = DE/2가사용된다. 이상을종합하면, 포물선의절단부의넓이는내접삼각형 ABC의넓이의 4/3배이다. 2.4 포물선절단부의넓이 : 기하학으로증명 아르키메데스의순수기하학적증명은포물선의절단부의내부에서만논의하는데, 여기서그넓이가삼각형으로만들어진내접다각형으로근사된다. 그첫번째근사는삼각형 ABC이다. 그러면그오차는그림 6에서볼수있듯이어둡게칠해진포물선의두절단부이다. 이제아르키메데스는어둡게칠해진두부분의각각에다삼각형 ABC에했던것처럼작은삼각형을내접시켰다. 이두작은삼각형이그림 7에서어둡게칠해졌다. 다음에논의를반복하여 4개의더작은삼각형을내접시키고이과정을계속반복하여 n번째단계에서 2 n 개의삼각형을내접시켰다. 그런다음그는각단계에서더해진삼각형의총넓이가그앞단계에서더해진삼각형의총넓이의

8 96 아르키메데스의업적과포물선의특성 Figure 6: 포물선의절단부 Figure 7: 포물선의절단부

9 김동수 97 Figure 8: 포물선의절단부 1/4 임을보였다. 그러므로모든단계에서더해진삼각형의총넓이는등비급수 를이루게된다. 그리고마지막으로그는각단계가반복됨에따라 오차 가 0 으로접근해감을보였다. 이제상세하게이를살펴보자. 현 AC 에의해절단된포물선의절단부를살펴보자. B 가 AC 와평행하면서 포물선에접하는접선의접점이라하고, D 가 AC 의중점이라고하자. 다시 P 를 BC 와평행하면서포물선에접하는접선의접점이라고하자.( 그림 8) 아르키메 데스논의의핵심은삼각형 P BC 의넓이가삼각형 BDC 의넓이의 1/4 이라는 것이다. 이를보이기위해점 P 를지나축 BD 에평행한직선을그어 DC 와 만나는점을 M, BC 와만나는점을 Y 라고하자. 또 P 를지나 CD 와평행한 직선을그어 BD 와만나는점을 N 이라고하자.( 그림 9) P Y 가포물선의절단부 BP C 의축위에있으므로 M 은 CD 의중점이다. 아르키메데스는우선다음과같이 Y M = 2P Y 임을보였다. CD = 2P N 이고다음식이성립한다. BD BN = CD2 P N 2. 그러므로 BD/BN = 4 이고, 따라서 BD = 4BN 이다. 그러므로 P M = 3BN 성 립하고또한 Y M = (1/2)BD = 2BN 도성립한다. 결국 P Y = 3BN 2BN = BN 가성립하고따라서 Y M = 2P Y 이다. 이제 Y M = 2P Y 라는사실을가지고 아르키메데스는쉽게삼각형 P BC 의넓이가삼각형 BDC 의넓이의 1/4 임을 보였다. 이를보이기위해그는그림 10 에서처럼보조선분 BM 을그렸다. M 이 CD 의중점이므로, 삼각형 BCD 의넓이는삼각형 BMC 의넓이의 2 배이다. 그런데 Y M = 2P Y 이므로, 삼각형 BMC 의넓이는삼각형 BP C 의 넓이의 2 배이다. 결국종합하면, 삼각형 BCD 의넓이는삼각형 BP C 의넓이의

10 98 아르키메데스의업적과포물선의특성 Figure 9: 포물선의절단부 Figure 10: 포물선의절단부

11 김동수 99 Figure 11: 포물선의절단부 4 배이다. 즉, 다음이성립한다. ( BP C) = 1 4 ( BCD). 이제아르키메데스는삼각형을가지고포물선의절단부를채워나갔다. 첫 단계에서는그림 11 처럼두삼각형 ( 어둡게칠한부분 ) 을더했다. 여기서 P 에 서의접선은 BC 와나란하고 Q 에서의접선은 AB 와나란하다. 어둡게칠한두 작은삼각형의총넓이는삼각형 ABC 의넓이의 1/4 이다. 두번째단계에서 그는그림 12 에서처럼삼각형 ABC 대신에두삼각형 AQB 와 BP C 를가지 고각각이과정을반복했다. 두번째단계에서더해진네삼각형의총넓이는 첫번째단계에서더해진두삼각형의총넓이의 1/4 이다. 세번째단계에서는 같은방식으로 8 개의삼각형을더했는데그총넓이는다시두번째단계에서 더해진넓이의 1/4 이다. n 번째단계이후에, 그동안만들어진모든삼각형으로 이루어진다각형의총넓이를구하면다음과같다. ( n ) ( ABC). 이등비급수의합은 n 이증가함에따라 4/3 로접근한다. 이를아르키메데 스는재미있는방법으로증명한다. 따라서포물선의절단부의넓이는삼각형 ABC 의넓이의 4/3 배보다는클것이다. 이제남은문제는이다각형근사에의한오차가 n 이커감에따라 0 으로 접근해간다는것을보이는것이다. 이오차란 n 번째단계까지만들어진삼각 형들로이루어진다각형의바깥쪽에있는포물선의절단부의넓이이다. 어떤 단계에서도덮이지않은영역은작은포물선의절단부들로이루어진다. 그림 13 이현 F G 에의해서절단된전형적인조각을보여준다. 다음단계에서삼각

12 100 아르키메데스의업적과포물선의특성 Figure 12: 포물선의절단부 Figure 13: 포물선의절단부

13 김동수 101 Figure 14: 포물선의절단부 형 F GH가더해지는데, 여기서 H는그림 14처럼 F G에평행하면서포물선에접하는접선의접점이다. 그오차는이그림에서어둡게칠해진부분이다. 이제그림 15에서볼수있는것처럼 F G, H에서의접선, F 와 G를지나서절단부의축에평행한두직선으로만들어진평행사변형을생각해보자. 삼각형 F GH의넓이는평행사변형의넓이의반이므로그것은포물선의절단부의넓이의반보다크다. 결국각단계에서의오차는그이전의단계에서의오차의반보다도작다. 그러므로단계가거듭되면될수록오차는 0으로접근하게된다. 이것이포물선의절단부의넓이를구하는아르키메데스의엄밀한기하학적방법이다. 그의증명은당시에는표준적인것이었는데, 그때는 넓이 의개념이있는그대로받아들여졌던시기이다. 19세기말이되어서야비로소수학자들이넓이를정의하려고고민하기시작하였고 평면상의모든유계집합이넓이를가지는가? 만일그렇지않다면언제넓이를갖고언제넓이를갖지않는가? 와같은질문을고찰하기시작했다. 페아노 (Peano) 와조르당 (Jordan) 이넓이의개념에대한수학적기초를다진최초의수학자들이었다. 2.5 회전포물면의절단부의부피아르키메데스는회전포물면을축에수직한평면으로자른절단부의부피를그절단부에외접하는원기둥과비교하여다음과같이구하였다. 절단부의부피 = 1 원기둥의부피. 2 또는다음이성립한다. 절단부의부피 = 3 원뿔의부피. 2

14 102 아르키메데스의업적과포물선의특성 Figure 15: 포물선의절단부 Figure 16: 회전포물면의절단부 : 절단평면이축에수직한경우

15 김동수 103 Figure 17: 회전포물면의절단부 일반적인경우, 즉, 절단평면이축에수직하지않은경우의절단부의부피를구하기위해먼저다음을증명하였다. 회전포물면 z = a(x 2 +y 2 )(a > 0) 을평면 Π 로자른절단면은타원이다. P 에서접평면이평면 Π 와나란하다고하자. P 를지나고축에나란한직선이평면 Π와만나는점을 V 라하면 V 는타원의중심이다. 이때다음이성립함을보였다. 절단부의부피는 P V 2 에비례한다. 즉, 다음식이성립한다. 절단부의부피 = k P V 2. 여기서 k는 P 와무관한상수이다. 그리고 P V 를절단부의축이라고한다. 아르키메데스는포물선의절단부의넓이도축의길이로나타내었다. 즉, 다음식을증명하였다. 절단부의넓이 = k P V 3/2. 여기서 k는 P 와무관한상수이다. 회전포물면의일반적인절단부의부피는, 위의공식 절단부의부피 = k P V 2 을이용하여다음과같이구하였다. 절단부의부피 = 1 타원기둥의부피. 2 또는다음과같이타원기둥을타원뿔로바꾸어나타낼수있다. 절단부의부피 = 3 타원뿔의부피. 2

16 104 아르키메데스의 업적과 포물선의 특성 Figure 18: 아르키메데스의 작품 h부체에 관하여i 원본사진

17 김동수 구면, 포물선, 포물면의특성 이절에서는구면, 포물선, 포물면의특성에대하여간단하게결과를요약 하여증명하고마지막으로포물면에관한추측을소개한다. 3.1 구면의특성 질문 1. 3 차원유클리드공간의볼록하고닫힌곡면 M 을간격이 h 이고나란한 두평면으로자를때가운데부분의겉넓이가항상같다면 M 은구면인가? 정리 1. ( 참고문헌 5) 그렇다. 증명. 곡면위의한점 p 에서접평면과나란하면서간격이 h 인평면으로자른 부분의겉넓이를 S p (h) 라고하자. 적당한좌표계를선택하여 p = (0, 0) 이고 M : z = f(x 1, x 2 ), f(p) = 0 이되게할수있다. 여기서, f 는영보다크거나 같은볼록함수 f : R 2 R이다. 이때 S p (h) 는다음과같이표현된다. S p (h) = 1 + f 2 dx, dx = dx 1 dx 2. f(x)<h 먼저, 다음식을증명한다. S p(0) 1 = lim h 0 h S p(h) = 2π. K(p) 여기서 K(p) 는 p 에서곡면 M 의가우스곡률이다. 마지막으로, 위의식과가정에의해곡면 M 의가우스곡률이상수임을알 수있다. 닫힌곡면중에서가우스곡률이상수인곡면은구면뿐이므로정리가 증명된다. 위의식은가우스곡률에관한새로운해석인데참고문헌 5 번논문의심사 자가매우높게평가하였다. 질문 2. n + 1 차원유클리드공간의볼록하고닫힌초곡면 M 을간격이 h 이고 나란한두초평면으로자를때가운데부분의겉넓이가항상같다면초곡면 M 은초구면인가? 정리 2. ( 참고문헌 7) 그렇다. 증명. 초곡면위의한점 p에서접평면과나란하면서간격이 h인초평면으로자른부분의겉넓이를 S p (h) 라고하자. 적당한좌표계를선택하여 p = (0,, 0) 이고 M : z = f(x 1,, x n ), f(p) = 0이되게할수있다. 여기서, f는영보다크거나같은볼록함수 f : R n R이다. 이때 S p (h) 는다음과같이표현된다. S p (h) = 1 + f 2 dx, dx = dx 1 dx 2 dx n. f(x)<h

18 106 아르키메데스의업적과포물선의특성 먼저, 다음식을증명한다. lim h 0 1 ( h) S p(h) = ( 2) n ω n. n K(p) 여기서 ω n 은 n 차원단위구의부피이고 K(p) 는 p 에서초곡면 M 의가우스 - 크 로네커곡률이다. 마지막으로, 위의식과가정에의해초곡면 M 의가우스 - 크로네커곡률이 상수임을알수있다. 닫힌초곡면중에서가우스 - 크로네커곡률이상수인초 곡면은초구면뿐이므로정리가증명된다. 위의식은초곡면의가우스 - 크로네커곡률에관한새로운해석이다. 3.2 포물선의특성질문 3. 다음성질을만족하는볼록곡선 C : y = f(x) 는포물선뿐인가? 임의의점 P 에서접선과나란한 C 의현 AB 에대하여 P 를지나고 y 축에나란한직선이현 AB 와만나는점을 V 라고하면다음이성립한다. 절단부의넓이 = k P V 3 2. 정리 3. ( 참고문헌 6) 그렇다. 증명. 점 P 에서접선과나란한 C 의현 AB 에대하여, h 를 P 에서현 AB 에이르는거리라하고다음과같이정의하자. S P (h) = 절단부의넓이, l P (h) = 현 AB의길이. 먼저다음식이성립함을보인다. 이를이용하면정리를증명할수있다. S P (h) = l P (h), l P (h) lim = 2 2, h 0 h κ(p ) 여기서 κ(p ) 는 P 에서곡선 C의곡률이다. 위의식은아래와같이바꿔보면이는볼록평면곡선의곡률에대한새로운해석이다. κ(p ) = 8{ dl P (h) 2 (0)} 1. dh 질문 4. 다음성질을만족하는볼록곡선 C 는포물선뿐인가? 임의의점 P 에서접선과나란한 C 의현 AB 에대하여다음이성립한다. 절단부의넓이 = 4 3 ABP.

19 김동수 107 다음사실은어렵지않게보일수있다. 질문 4가참 질문 3 도참. 그러므로질문 4가참임을보이는것이제일중요한데정리 3을증명한뒤에백방으로노력하였으나성공하지못하였다. 그러다가작년 8월말어느일요일저녁에시골집에서해결을하였다. 우리의조건을상미분방정식으로바꿀수있었고이미분방정식을풀어서질문 4가참임을보였다. 정리 4. ( 참고문헌 6) 그렇다. 질문 4 에대응되는포물면에관한질문은아직도미해결이며마지막에추 측으로제시하였다. 3.3 포물면의특성과추측 질문 5. 다음성질을만족하는볼록곡면 M : z = f(x, y) 은회전포물면뿐인가? 임의의점 p 에서접평면과나란한 M 의절단평면 Π 에대하여 p 를지나고 z 축에나란한직선이절단평면 Π 와만나는점을 v 라고하면다음이성립한다. 절단부의부피 = k pv 2. 정리 5. ( 참고문헌 5, 7) 아니다. 다음성질을만족하는볼록곡면 M : z = f(x, y) 은타원포물면 M : z = ax 2 + by 2 (a, b > 0) 뿐이다. 임의의점 p에서접평면과나란한 M 의절단평면 Π 에대하여 p 를지나고 z 축에나란한직선이절단평면 Π 와만나는점을 v 라고하면다음이성립한다. 절단부의부피 = k pv 2. 질문 6. 차원이높아지면어떤가? 정리 6. ( 참고문헌 5, 7) n + 1 차원유클리드공간의볼록초곡면 M : z = f(x 1,, x n ) 중에서다음성질을만족하는것은타원포물면 M : z = Σ n i=1 a2 i x2 i (a 1,, a n > 0) 뿐이다. 임의의점 p 에서접평면과나란한 M 의절단평면 Π 에대하여 p 를지나고 z 축에나란한직선이절단평면 Π 와만나는점을 v 라고하면다음이성립한다. 절단부의부피 = k pv n+2 2.

20 108 아르키메데스의업적과포물선의특성 추측. ( 참고문헌 7) 다음성질을만족하는볼록곡면 M은타원포물면뿐이다. 임의의점 p에서접평면과나란한 M 의절단평면 Π 에대하여다음이성립한다. 절단부의부피 = 3 뿔의부피. 2 추측의증명은지금까지사용했던방법만가지고는거의불가능하다. 왜냐하면, S p (h) 를 h = 0에서한번미분하여가우스곡률과가우스-크로네커곡률에관한정보를알아낼수있어서정리 5와정리 6은증명할수있었지만추측을증명하기위해서는또다른정보가필요하기때문이다. 20세기의최고미분기하학자인싱쉥천교수가말한 안풀리면미분해봐라!!! 라는격언대로 S p (h) 를 h = 0에서두번미분하면새로운정보를얻을수있을것같은데그미분이현재로서는난공불락이다. 구면에관한추측도참고문헌 7번논문에있다. 참고문헌 [1] 셔먼스타인지음, 이우영옮김, 아르키메데스 : 그가유레카를외친것이외에무엇을했는가?, 경문사, 서울, [2] Baek, Jeong-Seon, Kim, Dong-Soo and Kim, Young Ho, A characterization of the unit sphere, Amer. Math. Monthly, 110(2003), no.9, [3] Kim, Dong-Soo and Kim, Young Ho, A characterization of ellipses, Amer. Math. Monthly, 114 (2007), no.1, [4] Kim, Dong-Soo and Kim, Young Ho, New characterizations of spheres, cylinders and W-curves, Linear Algebra and Its Applications, 432(11) 2010, [5] Kim, Dong-Soo and Kim, Young Ho, Some characterizations of spheres and elliptic paraboloids, Linear Algebra and Its Applications, 437 (2012), no. 1, [6] Kim, Dong-Soo and Kim, Young Ho, New approach to Archimedean theorems, Submitted. [7] Kim, Dong-Soo and Kim, Young Ho, Some characterizations of spheres and elliptic paraboloids II, Submitted. [8] Kim, Dong-Soo, Ellipsoids and elliptic hyperboloids in the Euclidean space E n+1, Submitted.

21 김동수 109 [9] Kim, Dong-Soo, A characterization of homogeneous affine hyperspheres, In preparation. [10] Stein, Sherman, Archimedes. What did he do besides cry Eureka?, MAA, Washington, DC, 1999.

원뿔곡선과 이차곡면의 성질과 특성

원뿔곡선과 이차곡면의 성질과 특성 원뿔곡선과이차곡면의성질과특성 김동수 ( 전남대학교수학과, dosokim@chonnam.ac.kr) 2013 년 5 월 31 일 원뿔곡선은아름다운곡선들중의하나이다. 고등학교수학교과서와대학교해석기하학관련교재에무수히많이제시된원뿔곡선의성질들은이러한주장을뒷받침한다. 이렇게제시된원뿔곡선의성질을공부하면서그성질을원뿔곡선만이가지는가? 라는질문을제기하는것은자연스러운일이다. 이에본논문에서는원뿔곡선의몇가지성질을조사하고,