정도와 발화 행동 사이의 관계는 자연화된 인식론의 탐구 주제가 될 것이다. 하지만 콰인의 이러한 설명은 여전히 의문을 남긴다. 그것은 과학자들이 산술과 논리를 아예 의심의 범위 밖 에 두는 이유일 것이다. 여기서는 단순히 정도의 차이가 아닌, 원리적인 차이가 작동하고

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1 괴델과 카르납, 일관성 증명과 언어의 구문론으로서의 수학 이정민 (서울시립대) 1. 서론 한때의 과학도로서 내가 항상 하던 일은 문제를 푸는 것이었다. 토마스 쿤이 퍼즐풀이 라고 불렀던 이 활동은 주로 이전의 모범적인 풀이(범례exemplar)를 익히고 흉내 내는 것에서 시 작한다. 그렇게 익힌 풀이를 비슷한 다양한 사례에 적용하는 것이다. 예를 들어 뉴턴의 운동 법칙인 F = ma와 같은 도식을 가지고 문제를 푸는 경우를 보자. 이때 핵심은 구체적인 사례 에서 각 기호에 해당하는 요소를 식별해 내는 일이다. 자유낙하의 경우나 진자의 경우 F와 a 에 해당하는 요소는 꽤 다르다. 하지만 일단 식별에 성공한 요소를 대입하고 나면 이후의 과 정은 순전히 기호 조작일 뿐이다. 물론 미분방정식을 푸는 것과 같은 복잡한 수학이 필요할 때가 있다. 하지만 그것이 초등 산술과 같은 기호를 조작하는 과정이라는 본질은 변하지 않는 다. 그 과정에서는 자연과의 어떠한 접촉도 일어나지 않으며, 다만 조작의 결과를 다시 해석 한 것만이 경험적 의미를 갖는다. 수학적 도식 자체에는 경험적 의미가 없으며 그것이 범례와 같은 해석 절차를 거쳐야만 경험적 내용 이 생긴다는 것은 이미 쿤이 지적한 것이지만(Kuhn 1970, 188) 그 설득력은 과학자들에게는 익숙한 교육과 연구의 체험에서 비롯된다. 이와 같은 개인적 체험에서 나는 과학과 수학의 관계에 대한 어렴풋한 철학적 견해를 형성 하게 되었다. 그것은 과학에서 수학은 많이 쓰면 쓸수록 좋다는 것이다. 수학의 분야를 막론 하고 적어도 그것이 수학인 한에 있어서는 그 사용에 부담을 느낄 필요가 없다. 보통의 방법 으로는 잘 풀리지 않는 문제도 더 고등한 수학을 사용하면 마치 지름길을 질러가듯 쉽게 풀 수 있다. 이러한 경험에서 과학자들은 수학을 신뢰한다. 이것은 수학이 아닌, 다른 경험적인 과학 이론을 이용하는 경우와 분명히 대조된다. 곧 과학자들이 경험적 사실을 이용할 때에는 어떤 부담을 느끼게 되는데, 이것은 그 사실이 귀납적으로 얼마나 잘 확립되었는가와 무관하 다. 그것은 그 사실이 관여하는 대상과 경험적 내용을 같이 떠안는데서 생기는 부담인 것이 다. 콰인이 존재론적 개입ontological commitment 이라고 표현했던 이 부담은 수학적인 대 상이 아닌, 경험적인 대상과 관련해서만 생긴다는 것이 내 오랜 생각이었다. 따라서 콰인 이후 주류 자연주의에서 수학과 경험과학 사이의 이러한 구분을 인정하지 않는 다는 사실은 놀랍게 다가왔다. 콰인은 말한다. 예를 들어 어떤 분자생물학자가 한 묶음의 이론적 믿음에서 예측을 이끌어 내었더니 틀린 경우를 생각해 보자. 이 과학자는 분자생물학에 속하는 절반 정도의 믿음만을 수정이 가능한 대상으로 조사하려 할 것 이다. 더 일반적인 논리나 산술, 물체의 거시 운동에 관한 다른 절반의 믿음은 건드리려 하지도 않을 것 이다. 이는 최소 절단의 원칙처럼 합리적 전략이다. 하지만 그 결과 예측이 실패할 때 문제가 되는 이론 의 부분은 될 수도 있는 부분보다 적게 보인다. (Quine 1970, 7; 번역은 프리드만 2012, 68 참고) 콰인은 수학이나 논리학의 진술도 과학적인 사실과 마찬가지로 경험이라는 법정을 동등하게 대면하며, 따라서 수정되지 못할 원칙적인 이유가 없다고 본다. 만일 우리가 실험 결과가 예 측과 다를 때, 시험 가설이 아닌, = 12나 논리학의 배중률을 문제시할 수도 있다는 것 이다. 다만 그러한 일이 자주 일어나지 않는 이유는 산술이나 논리 법칙이 우리 믿음의 그물 망 안쪽에 비교적 고착되어 있기 때문이라는 것이다. 그리하여 과학자들은 깊게 침투한 믿음 보다 상대적으로 바깥쪽 언저리의 믿음을 수정하는 방식으로 행동한다. 믿음의 상대적인 침투

2 정도와 발화 행동 사이의 관계는 자연화된 인식론의 탐구 주제가 될 것이다. 하지만 콰인의 이러한 설명은 여전히 의문을 남긴다. 그것은 과학자들이 산술과 논리를 아예 의심의 범위 밖 에 두는 이유일 것이다. 여기서는 단순히 정도의 차이가 아닌, 원리적인 차이가 작동하고 있 다고 보는 것이 더 그럴듯하기 때문이다. 물론 그 차이는 철학사적으로는 분석과 종합 구분에 맞닿아 있으며 그 구분의 기술적인 실 패에 대해서는 여기서 상술할 필요가 없을 것이다. ( 이정민 2014 참고) 하지만 그 구분으로 카르납이 원래 의도했던 바는 좀 더 잘 이해될 필요가 있다. 나는 그것이 과학자들이 체험적 으로 알고 있는 과학과 수학의 구분을 철학적으로 해명하기 위한 장치라고 생각한다. 이는 카 르납이 분석과 종합의 논리적 구분에 매달리기 훨씬 전부터 가지고 있었던 생각이다. 초기의 카르납은 경험과학과 형식과학의 개념을 구분하며 다음과 같은 재미있는 비유를 통해 문제의 핵심을 전달한다. ( 형식적인 공리 체계를 만족하는) 실제적 개념과 공리들의 접촉을 통해, 해당 공리 체계에 의존하는 이론 도식 전체와도 단 한번에 어떤 연관이 형성된다. 이 연관점을 통해 경험적 실재의 피가 흘러들고, 지금 까지 비어 있던 도식의 가장 세세한 모세 혈관으로까지 그 피가 흘러가, 문제의 도식은 내용이 채워진 [erfüllte] 하나의 이론으로 변모하는 것이다. (Carnap 1927, 373; 번역은 전영삼 2009, 115 참고) 카르납은 수학이나 논리의 형식 체계는 내용이 없는 빈 도식이며, 따라서 경험적 내용이 없다 고 본다. 과학자들이 일상적으로 수학을 문제시하지 않는 이유는 그것이 실제적으로 해석되기 전까지 빈 도식 안에서만 돌기 때문이다. 수학은 과학의 혈맥이며 경험은 과학의 혈액이다! 수학과 과학의 관계에 대한 카르납의 이 비유는 앞으로 괴델의 비판을 검토하며 중요하게 활 용될 것이다. 2. 괴델의 비판 배경 수학에 대한 카르납의 견해를 비판한 괴델의 논문은 수학은 언어의 구문론인가? 라는 제 목으로 알려져 있다. 원래 1963년 카르납 기념 논문집에 기고하기로 한 이 글은 결국 출간되 지 않았고, 여섯 개의 수정본 가운데 세 번째와 다섯 번째( 각각 1953/9-III, V 로 지칭) 가 괴델 전집의 3 권에 실려 있다. 논문의 미출간을 둘러싼 다양한 사정은 편집자인 골드파브의 노트를 참고하면 된다. 대신 내가 먼저 검토하고 싶은 부분은 괴델이 논문에서 수학의 구문론적 해 석 이라고 부르는 카르납의 입장이 얼마나 카르납 자신의 원숙한 견해를 대변하는가이다. 그렇지 않다는 것이 내 생각이다. 괴델 자신도 각주에서 인정하듯이( 각주4, V는 각주나 절 번호가 없으므로 인용은 별도의 언급이 없으면 1953/9-III 을 가리킨다) 자신이 비판하려는 견 해는 카르납이 실제로 말한 것이라기보다 구문론적 견해 일반에 대한 것이었다. 비록 그가 카 르납 외에 한스 한이나 슐릭과 같은 논리실증주의자들을 인용하고 있기는 하지만 오히려 그가 표적으로 삼는 것은 오히려 힐베르트의 견해에 가깝다는 것이 드러난다. 이것은 그가 카르납 의 언어의 논리적 구문론 을 램지나 힐베르트 학파의 견해와 병치시키는 4 절이나, 구문론 이 제대로 기능하려면 그것은 힐베르트의 유한주의 와 동등한 것으로 이해되어야 한다는 각주19 에서도 분명하다. 괴델이 카르납의 기획을 마치 힐베르트식의 수학기초론 논의로 오해하고 있 다는 전영삼(2009, 143) 선생님의 지적은 정확하다. 카르납이라면 분명히 일관성 증명을 지상 과제로 삼는 힐베르트의 메타수학과는 다른, 자신만의 철학적 기획을 가리킬 것이다(Carnap 1963, 53).

3 힐베르트라는 배경이 괴델의 카르납 이해를 심각하게 제약하고 있다고 해도, 여전히 괴델의 비판은 검토할 가치가 있다고 믿는다. 그 비판이 비판으로서 성립하는 부분과 그렇지 않은 부 분을 가려내는 것은 괴델과 카르납 둘의 입장을 명확히 하는데 기여할 것이다. 먼저 괴델이 카르납의 구문론적 관점을 수학의 본성에 대한 하나의 수학철학으로 받아들였다는 것은 의심 의 여지가 없다. 곧 괴델은 카르납의 구문론이 수학적 대상의 존재와 그 성격, 수학적 지식의 원천이나 정당화와 같은 형이상학적이고 인식론적인 문제에 답하려 했다고 본 것이다. 구문론적 관점: 수학은 대상이나 내용이 없는, 단지 경험과학을 보조하는 문장들의 체계이다. 괴델은 카르납이 전체 수학을 기호의 사용에 관한 구문 규칙으로 환원함으로써 이러한 관점을 뒷받침한다고 본다. 곧 수학은 별도의 수학적 대상을 지칭하는 것이 아니라 다만 의미 없는 기호들의 조합으로 해석될 수 있으며, 공리와 같은 수학적 진술도 내용이 없는 구문 규칙으로 환원된다. 만약 이러한 환원에 성공한다면 수학적 대상이나 대상에 대한 직관을 배제한 채, 수학을 순수한 구문론의 기초 위에 정당화할 수 있을 것이다. 논문 전체에 걸쳐 자주 등장하 는 환원, 정당화, 기초와 같은 표현, 그리고 카르납의 입장을 유명론 또는 규약주의 로 지칭 하며 자신의 실재론 과 대비시키는 부분은 괴델의 문제의식을 잘 드러낸다. 하지만 그것이 동시에 카르납의 문제의식인지는 되짚어 볼 필요가 있다. 이미 문제의 설정 에서부터 둘 사이에 미묘한 긴장이 느껴지는 것이다. 왜냐하면 1934 년 구문론 의 카르납, 특 히 관용의 원리 정식화 이후의 카르납은 더 이상 괴델이 관심가진 형이상학과 인식론의 문 제에 답하고 있지 않기 때문이다. 분명 카르납이 수학에 대한 어떤 철학적 견해를 내놓은 것 은 사실이다. 하지만 카르납의 주된 관심은 수학 그 자체의 본성이라기보다 수학이 과학적인 인식 전체에서 차지하는 위치였다. 곧 수학이란 무엇인가 라는 문제는 과학 전체에서 수학은 어떤 기능을 하는가 의 문제로 대체된다. 실재론이나 유명론, 규약주의와 같은 여러 철학적 입 장도 옳고 그름이 아닌, 전체 과학의 언어를 이러저러하게 구성하자는 제안으로서만 의미를 가진다. 철학이 어떤 실질적인 문제를 다루고 있다는 위험한 환상에서 벗어나, 과학의 언어 구성에 대한 형식적인 문제만을 다루어야 한다는 구문론 의 과격한 기획은, 전통적인 철학적 문제의식을 유지하는 괴델과 시작부터 처음부터 교착상태에 빠진 듯 보인다. 실제로 몇몇 학자들이 카르납과 괴델의 문제의식 사이의 이러한 간극에 주목했다. 특히 골 드파브와 리케츠는 1992 년 공동 논문을 시작으로 카르납의 문제의식이 수학의 철학적 토대 가 아님을 일관되게 주장해 왔다(Goldfarb and Ricketts 1992, 68; Goldfarb 1996, 229). 콰인의 오해와는 달리 카르납은 규약에 의한 참 과 같은 환원주의적인 토대주의적인 진리론 을 거부하며, 어떤 의미에서 수학철학을 포기한다 고까지 할 수 있다는 것이다(Ricketts 2007, 211). 그렇다면 괴델의 카르납 비판이 아예 빗나간 것이며 둘 사이에 공통된 쟁점은 없다고 해야 할까? 나는 여기서 골드파브나 리케츠의 해석이 조금 멀리 나갔다고 생각한다. 물론 이들이 한동안 무시된 카르납의 반토대주의 를 부각시킨 것은 높이 평가할 만하다. 1) 그럼에도 괴델 의 비판이 여전히 의미를 가질 수 있는 부분이 있다면 그것은 바로 수학의 경험과학의 적용을 어떻게 이해할 것인가라는 문제이다. 곧 카르납이 수학철학의 문제를 과학언어의 재구성에 관 한 형식적인 문제로 재해석한다고 해도 여전히 수학이 경험과학에 유용하게 쓰인다는 사실은 1) 프리드만이 괴델에 우호적인 초기의 입장(Friedman 1988, 1999) 을 철회하고 카르납의 반토대주의를 내세우는 것(Friedman 2009) 도 바로 이들의 해석을 수용한 것이다.

4 해명될 필요가 있다. 바로 이 부분, 곧 수학의 적용 문제를 충분히 해명할 수 없다면 괴델의 비판은 여전히 유효하다. 실제로 괴델의 비판의 핵심이 구문 규칙의 적용 과정에 여전히 수학 적 직관이 필요하다는 것이며, 만일 카르납이 이에 적절히 답할 수 없다면 구문론적 관점은 설자리가 없게 된다. 따라서 괴델의 비판은 정곡을 찌르고 있으며 카르납의 가능한 응답도 그 의 구문론적 관점에서 수학의 적용을 어떻게 바라볼 것인가에서 찾아야 할 것이다.2) 3. 괴델의 비판 논변 괴델의 논변은 구문론적 관점이 만족해야 할 여섯 개의 필요조건을 내걸면서 전개된다. 구 문론적 관점은 결국 이 여섯 개의 조건을 동시에 만족하지 못하며 따라서 원래의 의도와 다르 게 실패할 수밖에 없다는 것이다. 그리고 구문론적 관점이 이 조건들을 만족시키지 못하는 주 된 이유가 바로 일관성 증명에 있다. 곧 이 조건들에 따르면 유한주의적 방식으로 구문 규칙 의 일관성을 증명해야 하는데 괴델 자신의 두 번째 불완전성 정리에 따르면 이것은 불가능하 다. 따라서 구문론적 관점은 실패한다는 것이다. 괴델이 왜 구문론적 관점에 일관성 증명을 요구하는지, 그 요구가 과연 정당한지에 대해서는 많은 논란이 있어 왔다. 여기서는 특히 일 관성 증명과 관련해 문제가 되는 조건4와 5를 가지고 여러 해석의 갈림길을 검토해 보자. 조건4(허용가능성 조건). 어떤 규칙이 구문 규칙이려면 그것이 사실 문장의 참이나 거짓을 함 축하지 않아야 한다(는 것을 미리 알아야 한다.) 조건5(기대가능성 조건). 수학의 정리를 적용해 확인가능한 사실에 관한 결론을 낼 때, 원래 이것은 수학의 공리가 직관적으로 참이라는 것에 근거하지만, 이제는 구문론적 고려에 의해 정당화되어야 한다. 괴델은 이들 조건 각각이 구문 규칙의 일관성 증명을 함축한다고 본다. 왜 그런지 알아보기 위해 각각의 조건을 살펴보자. 먼저 허용가능성 조건은 어떤 규칙을 구문 규칙으로 허용할 수 있는 조건에 관한 것이다. 어떤 구문 규칙이 (선험적으로) 허용가능하려면 그것은 어떤 사실적인 내용을 담고 있지 않아 야 한다. 이것은 구문 규칙 의 개념에 따르면 당연한 이야기이다. 만일 구문 규칙이 어떤 사 실적인 참이나 거짓을 함축한다면 반대로 경험에 의해서 반증될 수도 있을 것이며, 그것은 더 이상 기호 사용에 관한 규약이라고만 할 수는 없을 것이다. 또한 수학에는 (경험적) 내용이 없 다는 구문론적 해석과도 배치된다. 따라서 여기까지는 구문론자들이 수용할 수 있는 정당한 요구라고 할 수 있을 것이다. 그런데 왜 여기서 일관성 증명이 필요해질까? 괴델은 만일 구문 규칙이 일관되지 않다면 사실 문장까지를 포함한 모든 문장을 함축할 것이라고 말한다. 따라서 구문 규칙은 일관될 필 요가 있다. 그런데 괴델은 여기서 한 걸음 더 나아가 그 일관성을 증명할 필요가 있다고 주장 한다. 이 주장은 매우 논쟁적이다. 어워디와 캐러스는 일련의 논문들(Awodey and Carus 2003, 2004, 2010)에서 구문 규칙이 일관될 필요가 일관성 증명의 필요에까지 이르지는 않으 며, 따라서 괴델의 전체 논변에 문제가 있다고 본다. 곧 괴델은 일종의 증명가능성 술어를 부 당하게 끼워넣은 것이다. 2) 이러한 문제설정에서 나는 사카르(Sarkar 1992, 192)에 반대하며 박일호 선생님(2007, 31)에 동의한 다.

5 허용가능성 허용가능성 => 일관성 (ok) => 증명( 일관성) (?) 하지만 박일호 선생님(2007, 40) 은 허용가능성 조건에서 내가 괄호로 적은 부분, 곧 미리 알아야 한다 에 무게를 두어 이것이 일관성 증명 요구를 함축할 수 있다고 본다. 3) 이것은 언 뜻 타당해 보이기도 한다. 우리가 무엇을 어떤 경험적 사태 이전에 미리 알 수 있는 방법은 무엇일까? 물론 여기서는 시간적 의미의 선험이 아닌, 인식적 의미의 경험 이전을 묻고 있다. 경험 이외의 별도의 직관이나 내용 있는 인식을 인정하지 않는 구문론자에게, 그 유일한 방법 은 구문론적 증명이 아니겠는가? 곧 구문 규칙이란 이러한 일관성 증명이 없다면 여전히 어떤 인식적 기초도 없는, 임의적인 가정으로 남지 않겠는가? 이들 해석에 대한 내 자신의 평가는 다음 절로 미루고, 다음 해석을 검토해 보자. 테넌트 (Tennant 2008) 는 괴델과 여러 해석자들이 당연시한, 비일관 규칙에서는 무엇이든 따라나온 다는 규칙(ex contradictione quodlibet) 을 문제시한다. 이 규칙은 괴델이 허용가능성 조건에 서 일관성 요구를 이끌어내기 위해 쓴 것이다. 고전 논리나 직관주의 논리에서 모두 받아들이 는 이 규칙은, 하지만 모순허용(paraconsistent) 논리에서 타당하지 않다. 논리의 선택에 관 한 관용을 주장했던 카르납이라면 모순허용 논리 또한 인정할 것이며, 따라서 괴델은 허용가 능성에서 일관성 요구를 이끌어내지 못할 것이라는 것이 테넌트의 논점이다. 이러한 해석은 꽤 기발하긴 하지만, 카르납의 저작에 충실한 해석이라기보다는 테넌트 자신의 괴델에 대한 응답이라고 생각한다. 무엇보다 그는 대상 언어에 대한 카르납의 관용을 철학적 논변에 필요 한 추론에 대한 관용과 혼동하고 있다. 나 개인적으로도 모순에서 무엇이든 따라나오는 고전 규칙은 나쁜 논리 규칙이라고 생각하지만, 모순허용 논리의 성패와 무관하게 테넌트의 해석 은 더 이상 고려하지 않겠다. 또 다른 해석의 축은 리케츠와 골드파브(Ricketts 1994, 2007; Goldfarb 1995, 1996) 에 의 해 대변된다. 이들은 괴델이 정식화한 허용가능성 조건에서 사실 문장 의 존재를 문제시한다. 괴델은 마치 구문 규칙과 무관하게 사실 문장들이 이미 존재하며, 구문 규칙의 추가가 이들 문장에 어떤 영향도 주지 않아야 할 것처럼 그리고 있다. 하지만 카르납에게서 어떤 문장이 사실적 또는 종합적인지는 항상 언어 상대적으로만 답할 수 있는 문제이다. 곧 어떤 문장이 사실 문장인지는 처음부터 한 언어의 구문 규칙과 관련해서만 결정된다. 반면 괴델은 언어 초 월적인 사실의 영역을 이미 가정하고 있으며, 이것은 어떠한 언어를 선택하는가와 무관한 문 제라고 보았다. 따라서 카르납은 허용가능성 조건을 포함한 괴델의 논변전체를 자신의 견해에 대한 한갓 오해로 거부할 수 있다는 것이 이들의 해석이다. 하지만 나는 괴델의 반론이 이 지점에서 그렇게 쉽게 처리될 수 있는 것이 아니라고 본다. 박일호 선생님(2007, 45-6) 이 지적하듯 여전히 조건5에서 일관성 증명의 요구를 도출하는 길 이 남아 있으며, 경험 문장의 언어 상대성을 인정한다고 해도 바로 그 언어 상대적인 경험 문 장이 구문 규칙에서 유도되는지는 여전히 가능한 질문이다. 4) 곧 괴델은 여전히 언어 상대적인 허용가능성 조건을 요구할 수 있다. 물론 문제를 이렇게 바꾸면 박일호, 전영삼 두 선생님이 모두 지적하듯 허용가능성 조건에서 괴델이 원하는 일관성 증명으로 나아갈 수 없다. 왜냐하 3) 아래 각주5 참고. 4) 전영삼 선생님(2009, 136 각주19) 은 이 지점에서 박일호 선생님이 이해되지 않는다고 하는데, 박 선 생님은 이러한 이유로 언어 상대성만으로는 허용가능성 조건을 거부할 수 없다는 것을 지적한 것이 다.

6 면 그때에는 비일관적 규칙이라고 해도 그것이 함축하는 모든 문장은 더 이상 사실 문장이 아 닌, 분석 문장이 되어버리고 말 것이기 때문이다. 곧 사실 문장이란 존재하지 않게 되어 허용 가능성 조건은 보나마나(trivially) 만족된다는 것이다. 이러한 해석에 대한 평가 또한 다음 절로 미루고, 그렇다면 또 다른 조건인 기대가능성 조 건( 조건5) 에서 어떻게 일관성 증명의 요구로 나아갈 수 있는지 살펴보자. 내 생각에는 오히려 이 조건, 그리고 거기서 일관성 증명으로 나아가기 위한 두 사례(13, 14 절) 가 괴델 비판의 핵 심이다. 반면 학자들은 그 타당성을 자세히 검토하지 않았다. 실제로 괴델이 조건4 에 미리 알아야 한다 는 부분을 은근슬쩍 끼워넣은 것도 사실은 조건5를 염두에 두고 있었기 때문이 다. 이것은 괴델의 다섯 번째 수정본(1953/9-V) 과의 비교 검토에서 분명해진다. 박일호 선생 님(2007, 43) 의 지적대로 거기서는 허용가능성 조건이 기대가능성 조건에서 도출되는 것으로 그리고 있기 때문이다. 5) 기대가능성 조건은 수학을 경험과학에 적용할 때 그것이 수학을 쓰지 않을 때와는 다르게 어떤 새로운 기대를 만들어 낸다는 생각에 기대고 있다. 예를 들어 골드바흐의 추측이 증명되 었다고 하자. 이것은 가상적 상황이지만 이미 증명된 정리를 적용하는 경우도 별다르지 않다. 이 증명을 근거로 다음과 같은 기대를 할 수 있다. 곧 경험적으로 잘 작동하는 컴퓨터라면 어 떤 주어진 큰 수 N에 대해 두 개의 솟수 p 1, p 2 (N = p 1 + p 2 ) 를 찾아낼 것이다. 수학에 대한 실재론적 관점에서 이러한 기대는 잘 이해된다. 수학의 명제가 객관적으로 참이라면, 경험적 인 사태 또한 그 참에 동참하거나 그 참을 구현할 것이기 때문이다. 6) 반면 구문론적 관점에서 는 이 기대를 어떻게 이해할 것인가? 괴델은 여기서 구문 규칙의 일관성 증명이 필요해진다고 한다. 만일 일관성 증명이 없다면 우리는 구문 규칙이 일관되는지 알지 못하며, 따라서 경험 적인 사태에 대한 어떤 기대도 할 수 없다. 기호 사용에 관한 임의적인 규칙에서 골드바흐 추 측을 증명했다고 해도 그것은 어떠한 실질적인 기대도 발생시키지 않는 것이다. 기대가능성 조건은 수학을 사용하는 경험적인 법칙의 경우에도 다르지 않다(14 절). 예들 들어 이러저러하 게 건조된 다리가 이러저러한 하중을 받으면 무너지거나 그렇지 않을 것이라는 기대 또한 일 관성 증명 없이는 생기지 않는다. 기대가능성에서 일관성 증명을 이끌어내는 괴델의 이 두 번째 논변이 첫 번째 논변보다 강 력하다고 믿는다. 구문론적 함축 관계만을 따졌던 허용가능성 조건과는 달리, 기대가능성 조 건은 경험적 사태에서 실질적인(positive) 기대가 어디에서 발생하겠는가를 따져묻고 있기 때 문이다. 따라서 첫 번째 논변에 대해 가능했던 구문론자의 반론, 곧 규칙이 일관되기만 하면 허용가능성은 만족되며 그 일관성을 증명할 필요까지는 없다는 반론은 더 이상 먹히지 않게 된다. 반면 괴델과 같은 실재론자는 수학을 적용하면서 생기는 기대에 대한 설명을 제공할 수 있다. 그것이 객관적인 수학의 대상에 대한 믿음에서, 인식론적으로는 대상에 대한 수학적 직 관이 추가되면서 생기는 확신인 것이다. 따라서 기대가능성 논변에 의해, 수학에는 대상이나 내용이 없다는 구문론적 관점은 결정적인 위기에 처한 것으로 보인다. 다음 절에서는 괴델 자 신의 비판과 이에 대한 여러 해석을 하나하나 평가하면서 카르납이라면 어떻게 답했을지를 알 아보겠다. 5) 하지만 미리 알아야 한다 는 것을 반드시 알아야 한다 는 식으로 양상적으로 강하게 읽어서 거기서 일관성 증명 이 필요해진다고 본 것은 과한 독해이다. 박일호 선생님이 인용하면서 생략한 원문 구절 에는 적어도 가능성이 있다는 것을 (at least with probability) 알아야 한다 로 되어 있기 때문이 다. 이것만으로도 괴델은 기대가능성에 의존한 논변을 전개해 나가기에 충분하다. 6) 동참 이나 구현 은 괴델 자신의 표현이 아닌, 플라톤식 표현이지만 이 맥락에 적절한 것 같다. 괴델 이 플라톤주의를 언급하는 37 절을 보라.

7 4. 카르납의 가능한 응답 먼저 비교적 쉬운 문제부터 답하겠다. 많은 학자들이 지적한 대로 카르납의 체계에서는 과 연 언어 상대적인 경험 문장만이 존재하는 것일까? 카르납은 언어틀 이전에 주어진 사실 이 나 경험 세계 의 개념이 없거나 어떠한 언어 초월적인 경험적 사실 또는 참 개념도 거부 하는 것일까?(각각 Goldfarb 1995, 328; Ricketts 2007, 210) 그렇지 않다는 것이 내 생각이 다. 이 지점에서 카르납을 옹호하려는 학자들은 괴델의 비판에 과도하게 대응하고 있다. 무엇 보다 이러한 대응은 문장의 언어 상대성 자체를 절대시하고 있으며, 카르납의 원숙한 기획인 해명(explication)으로서의 철학 과도 배치된다. 어떤 개념의 해명 이라는 것은 일상이나 철 학에서 이미 쓰이는 개념을 정확한 과학적 개념으로 대체하려는 시도를 말한다. 물고기(fish) 를 어류(pisces)로 대체하는 것이 대표적인 예이다. 하지만 그러한 대체 이전에 물고기는 경험 적 개념으로 잘 쓰이고 있다. 이미 우리는 경험적 사실이나 내용, 그리고 이와 짝을 이루는 분석적 참이나 내용 없음 에 대한 선이론적인 이해를 가지고 있는 것이다.7) 서론에서 내가 서술한 수학과 과학의 대조가 바로 이것이다. 해명 작업은 과학자들의 이러한 직관과 느낌을 정확한 개념으로 점진적으로 대체하려는 일종의 언어공학 (language engineering)이다. 카르 납은 철학이 과학에 해 줄 일이 어떤 정당화나 기초도 아닌, 바로 해명 작업이라고 한다.8) 카르납이 언어 상대적인 사실을 이야기할 때는 모든 사실 일반에 대한 것이 아니라 비교적 제한된 맥락 안에서이다. 그것은 사실을 구문 규칙이나 언어틀의 옳고 그름을 결정하는 증거 로 동원할 수 없다는 것이다. 과학적인 옳고 그름이나 증거의 개념은 특정 언어틀 안에서만 의미 있는 개념이기 때문이다. 따라서 언어틀은 옳고 그름이 아닌, 실용적 장단점에 의해서만 평가된다. 그리고 이러한 실용적 평가에 필요한 것이 또 다른 경험적 사실이다. 곧 어떤 특정 언어틀이 단순한지, 효율적인지, 생산적인지 등은 과학자들의 언어 사용 경험에서 올 수밖에 없다(이정민 2014, 33-34). 적어도 이러한 경험적 사실이 널려 있다는 점에서 모든 문장의 언어 상대성 은 과도한 해석이다. 체계 밖의 여러 사실 문장을 과학자들의 사회언어학이나 자 연화된 인식론 안에서 재구성해 나아간다고 해도 그것은 점진적인 대체일 뿐 모든 문장의 상 대성에 이르지는 못할 것이다. 이는 카르납의 반토대주의가 상당히 뿌리 깊으며, 정작 그러한 반토대주의를 내세운 학자들 도 놓칠 만큼 여러 문제에 걸려 있다는 것을 시사한다. 카르납의 언어적 전회 를 세계나 사 실이 언어 상대적 이라는 또 다른 형이상학으로 오해해서는 안 될 것이다. 카르납의 경험주 의 또한 과학적 가설을 관측에 의해 시험할 수 있는 언어를 구성하자는 제안으로 이해해야 지, 참의 근거나 지식의 원천에 관한 인식론적 토대주의로 오해해서는 안 된다. 내게는 경험주의의 원칙을 단언(assertion)의 형태가 아닌 제안(proposal) 또는 조건의 형태로 정식화하 는 것이 바람직해 보인다. 경험주의는 모든 지식은 경험적이다 라거나 우리가 알 수 있는 모든 종합 문 장은 경험에 근거한다(또는 경험과 연결된다) 와 같은 단언이 아니다. 경험주의자로서 우리는 과학의 언 어가 다음처럼 제한될 것을 내건다. 곧 서술 술어나 종합 문장은 그것이 가능한 관측과 연결될 때에만 허용한다(Carnap 1937, 33). 7) 조금 다른 맥락에서 지나가면서 한 말이지만 분석성은 그것이 기본 논리 법칙에서 유도되는지와 무 관하게 수학 이론에 부여된다 고 한 데모폴로스(Demopoulos 2007, 251, 강조는 원문)에 동의한다. 8) 카르납의 해명으로서의 철학 에 관한 자세한 해명은 (Carus 2007; Wagner and Beaney 2012)를 보라.

8 문제를 이렇게 축소할 때에만 경험주의자는 실재론자와 공통의 중립적 근거에서 의미 있는 대 화를 이어갈 수 있을 것이며, 마침내 형이상학의 미로에서 빠져나올 수 있을 것이다. 쉬운 문제에 대한 답이 길어졌다. 다시 괴델로 돌아가자. 카르납의 반토대주의를 배경으로 하면 괴델의 요구가 여전히 토대주의적 문제의식에 묶여 있음이 드러난다. 이것은 그가 허용 가능성 조건( 조건4) 에서 일관성 증명 요구를 이끌어내는 과정에서도 분명했다. 어떤 구문 규칙 이 사실 문장을 함축하지 않는다는 것을 어떻게 경험 이전에 미리 알 수 있을까? 괴델은 구 문론자에게 그 앎의 원천은 직관이 아닌, 구문론적 증명뿐이라고 한다. 괴델의 입장에서 허용 가능성 조건에서 일관성을 증명할 필요가 생긴다고 일단 가정해 보자. 구문론자들은 일관성 증명을 위해 그와 동등하게 강력한 공리를 가정하거나, 아니면 어떤 귀납적인 추론에 호소할 수 없다. 공리를 참으로 알 수 있는 직관이나, 공리의 적용 사례들에서 모순이 발생하지 않는 다는 귀납 모두 인식적으로 배제되기 때문이다. 물론 카르납이라면 경험 아니면 증명 과 같은 지식의 원천에 관한 단언적인 주장을 하지 않을 것이며, 비일관적 규칙을 인식적 고려가 아 닌, 실용적인 고려에 의해 배제하려 할 수도 있을 것이다. 그럼에도 일관성 증명과 구문 규칙 의 인식적 확실성에 관한 철학적 문제는 여전히 남는다( 다음 절 논의 참고). 그렇다면 기대가능성 조건( 조건5) 에서 일관성 증명의 요구를 이끌어내는 괴델의 강력한 논 변에 카르납이 어떻게 대응할지를 살펴보자. 지금까지의 대응과 달리 이 문제는 언어 상대성 이나 반토대주의를 근거로 쉽게 피해갈 수 없다. 수학이나 논리의 적용가능성은 카르납이 자 신의 철학적 과제로 공언한 것이기 때문이다. 지식의 전체 체계에서 논리와 수학의 과제는 개념, 진술, 추론의 형식을 제공하는 것이다. 이 형식은 어 디에나 적용가능하며 따라서 비논리 지식에도 적용가능하다. 이러한 관점에서 논리나 수학의 본성을 분 명히 이해하려면, 오직 그것이 비논리 분야, 특히 경험과학에 적용되는 상황을 주의해서 살펴보아야 한 다.... 이러한 관점이 내 몇몇 철학적 입장을 자극한 중요한 요인이었다. 예를 들어 언어 형식의 선택이 나, 논리와 비논리 지식 사이의 근본적인 구분에 대한 강조가 그것이다(Carnap 1963, 12-13). 따라서 수학의 무내용성에 관한 구문론적 관점과 그것의 경험적 적용가능성 사이의 충돌을 지 적한 괴델의 비판은 놀랍도록 정곡을 찌르고 있다. 과연 수학의 적용이 실질적인 기대를 만들 어내는 상황을 어떻게 이해할 것인가? 여기서 일관성 증명이 필요하지 않겠는가? 이를 위해서 괴델이 제시한 두 사례를 좀 더 자세히 살펴볼 필요가 있다. 괴델은 골드바흐 추측의 증명을 적용한 컴퓨터와 경험 법칙을 적용한 다리를 대칭적인 사례로 제시하고 있지만 두 사례는 조금 다르다. 먼저 컴퓨터의 경우 그것이 경험적으로 잘 작동한다 는 표현이 기만 적이다. 컴퓨터는 본질적으로 논리 연산을 구현하고 있는 논리 기계 이기 때문이다. 따라서 컴퓨터가 어떻게 작동할 것이라는 기대가 있다 해도 그것을 수학을 경험 사태에 적용해서 나 온 실질적인 기대라고 할 수 있을지는 의문이다. 반면 다리의 경우에는 분명 다리가 무너지거 나 무너지지 않는 경험적인 사태에 대한 실질적인 기대가 있다. 그렇다면 그러한 예측을 이끌 어내기 위한 자연법칙이 있을 것이다. 이 법칙은 수학 공식으로 표현되며 여기서 수학적 조작 을 통해 예측을 이끌어낸다. 따라서 실질적인 기대가 발생하려면 수학적 직관이나 일관성 증 명이 필요해진다고 할 수도 있다. 하지만 그러한 기대나 내용을 자연법칙에만 국한시키고 수 학은 편리하긴 하지만 내용 없는 도식만을 제공한다고 볼 수는 없을 것인가? 괴델은 이런 식 으로 수학과 자연법칙을 분리해 법칙에만 내용을 부여할 수는 없다고 본다(34 절). 수학 없이

9 는 법칙에서 예측을 이끌어낼 수 없으며 따라서 법칙 단독으로는 실질적 내용이 없기 때문이 다. 카르납 또한 수학을 경험과학에 적용하려면 구문 규칙만으로는 불충분하다는 점은 인정할 것이다. 실질적인 기대가 발생하려면 무엇보다 그러한 구문 규칙의 의미가 부여돼지 않으면 안 되기 때문이다. 하지만 카르납은 그 의미가 추가적인 수학적 내용이나 직관에 의해 주어진 다는 괴델의 추론은 거부할 것이다. 오히려 그 의미는 수학이나 논리 체계를 고립된 언어가 아닌, 과학의 전체 언어의 부분으로 볼 때에만 주어진다고 할 것이다. 카르납은 이러한 추가 조건이 중요하다 고 강조한다. 수학적 개념이 의미를 획득하려면 그 경험과학에의 적용 규칙이 주어져야 한다. 수학 언어의 구문 규칙 만이 아닌 또 다른 규칙, 곧 수학 기호가 종합 문장에 나타나는 방식에 관한 규칙을 본다면 수학 개념의 의미를 포착할 수 있다(Carnap 1934/2004, 125). 구문 규칙과 경험 법칙 이외에 별도의 적용 규칙이 필요해지는 것이다. 이것은 명시적으로 주 어질 수도 있고 아니면 경험 법칙의 수학적 변환 과정( 예측을 이끌어내는 과정 같은) 에 함축 되어 있을 수도 있다. 바로 이런 적용 규칙을 통해 괴델이 말하는 실질적인 기대가 발생하는 것이다. 서론의 비유대로라면, 혈액이 통하기 위해 그것은 어디에선가 혈관으로 흘러들지 않 으면 안 된다. 카르납이 라이헨바흐를 따라 조율 또는 상관(Zuordnung) 이라고 부르는 별도의 규칙 또는 정의가 바로 혈액이 빈 혈관으로 흘러드는 지점이라고 할 수 있다. 카르납은 이런 정의를 통해서만 공리체계가 경험문장에 적용가능하다 고 못박는다(Carnap 1934/1937, 78). 수학의 과학의 적용 과정을 소박하게 바라봐서는 안 된다. 바로 이런 장치를 통해서 과학의 전체 체계에 혈액이 흘러들고 의미가 생기는 지점을 추적할 수 있는 것이다. 이 모든 과정에서 구문론적 관점, 곧 수학의 무내용성은 유지된다. 괴델은 수학의 적용에 대한 카르납의 이러한 해명이 여전히 논점을 선취하고 있다고 반박할 것이다(43 절). 곧 내용 을 처음부터 경험적 또는 비논리적 내용 으로 좁게 정의한다는 것이다. 괴델도 수학에 경험적 인 내용이 없다는 것은 인정한다. 하지만 여전히 수학적 직관의 대상인 개념적인 내용이 배제 되는 것은 아니다. 괴델이 수학의 적용에서 기대가 발생하거나 내용이 추가된다고 할 때에는 바로 이러한 내용, 사물의 조합에 관한 개념[ 적 내용] (34 절) 이 더해지는 것이다. 실제로 구문론 에서 카르납의 언어 체계마다 구문론적인 내용 을 정의한다(Carnap 1934/1937, 42, 120, 175). 어떤 문장의 내용은 그것의 귀결 가운데 분석 문장 또는 타당 문 장( 모든 문장의 귀결) 을 제외한 것이다. 하지만 이러한 정의는 괴델의 혐의를 불러일으키기에 충분하다. 정의에 의해 논리나 수학의 문장이 내용을 갖지 않는 것이다. 이후 콰인이 임의로 이름붙인 것에 지나지 않는다고 했던 분석과 종합의 구분처럼 이러한 정의는 내용 에 대한 철학적 논점선취가 아닌가? 이에 대해 카르납은 다시 한 번 과학의 전체 언어와 관련하여 그런 정의가 갖는 실용적인 장점을 내세울 것이다. 물론 수학이나 논리가 내용을 가지지 않는다는 것 자체만으로는 실용 적인 장점이라고 할 수 없다. 그것이 실용적인 장점으로 변모하는 것은 바로 수학이 경험과학 어디에도 제한 없이 적용가능하다는 사실에서 온다. 법칙이나 개념의 원천이나 소재를 막론하 고 수학이나 논리는 아무 곳에나 수십 번 수만 번 갖다붙여 사용할 수 있는 것이다. 만일 괴 델이 믿는 대로 수학이 적용될 때마다 개념적인 내용이 추가된다면 어떤 내용적인 폭발 이 일어나지는 않겠는가? 비록 이런 실용적인 고려가 인식적인 논변을 원하는 괴델의 입장에서는

10 불만족스러울지 몰라도, 괴델 또한 수학적 직관 이나 개념적 내용 을 적절히 해명한 것은 아 니기에 논의는 여기에 머물 것이다. 5. 일관성 증명은? 논의를 정리해 보자. 우리는 구문론적 관점에서 출발해 두 개의 조건을 집중적으로 검토했 다. 그리고 각각의 조건에서 일관성 증명을 이끌어내는 괴델의 논변에 카르납이 어떻게 대응 할지를 알아보았다. 그럼 이제 이들 조건과 무관하게 일관성 증명에 대한 카르납의 태도를 알 아보자. 결국 괴델은 어떤 논변을 동원해도 구문론적 관점은 불완전성 정리, 특히 산술 체계 의 일관성 증명에 관한 두 번째 정리를 피해갈 수 없다고 볼 것이다. 나는 1925년 이래 개념적, 수학적 실재론자였으며, 수학은 언어의 구문론이라는 견해를 가진 적은 없습 니다. 오히려 이 견해는 어떤 그럴듯한 방식으로 이해해도, 내 결과에 의해 반증될 수 있습니다(Gödel 1975/2003, 444). 여기서 내 결과 가 가리키는 것은 분명하다. 하지만 내가 묻고 싶은 것은 왜 특히 구문론적 관점만이 괴델의 기술적 결과와 충돌하는가이다. 과연 괴델 정리에 그런 철학적 함축이 있기 라도 할까? 흔히 회의주의적 해석 이라고 하는 견해에 따르면 괴델 정리는 산술의 일관성에 대한 우리 의 믿음을 침식한다. 하지만 조금만 검토해 보면 이것은 근거 없는 결론이라고 할 수 있다. 산술의 일관성 증명에 대한 괴델의 두 번째 불완전성 정리가 증명한 것은 어떤 일관되고 충 분히 강력한 체계 S에 대해 S의 일관성을 표현하는 문장은 S에서 증명불가능하다는 것이다. 여기서 충분히 강력한 체계는 일정 정도의 산술 을 포함하는 체계인데, 그 일정 정도란 괴델 의 첫 번째 불완전성 정리, 곧 체계 S가 일관되면, 괴델 문장 G는 S에서 증명불가능하다 는 정리 자체를 형식화하고 증명할 있는 정도를 말한다. 이 경우 S에서 S의 일관성을 형식적으 로 증명하면, S의 괴델 문장 G 또한 증명가능하다. 하지만 S가 일관되면 첫 번째 정리에 의 해 G는 증명불가능하다. 따라서 S가 일관되면 S의 일관성은 S에서 증명이 불가능하다. 문제 는 이 정리 자체가 조건문으로 우리는 여전히 전건, 곧 S가 일관되는지 아닌지를 모른다는 것 이다. 따라서 괴델 정리 자체는 S의 일관성에 대한 의심을 더해주지도, 덜해주지도 않는다. 만일 처음부터 체계의 일관성을 의심한다면, S에서 S의 일관성을 증명해도 믿을 수 없는 증 명이 될 것이며, 처음부터 체계의 일관성을 믿는다면, S에서 S의 일관성을 증명해도 그 믿음 은 강해지지 않을 것이다(비일관 체계는 S의 일관성을 포함한 아무것이나 증명하므로).9) 따라서 괴델의 정리는 일관성 자체에 대한 믿음이 아닌, 일관성이 유한주의와 같은 약한 방 법으로 증명될 수 있다는 믿음(또는 그러한 증명만이 일관성의 유일한 근거라는 믿음)만을 건 드린다. 하지만 이러한 믿음과 카르납은 관련 없는 이야기이다. 괴델 정리 이후 힐베르트의 기획의 난점을 지적한 뒤 카르납은 온당하게도 다음과 같이 말한다. [여기서 행한 언어 II의 일관성 증명 과정에] 어떤 형식적인 오류가 없다고 해도 대상 언어 II에서 모순이 없을지는 절대적으로 확신할 할 수 없다. 이 증명이 언어 II보다 강력한 자원을 포함하는 구문[메타] 언 어에서 행해졌으며, 이 구문 언어에서 (또한 우리 증명에서) 모순이 나타나지 않으리란 보장이 없기 때문 이다(Carnap 1934/1937, 129). 9) 괴델 정리와 철학적 회의의 무관련성을 주장하는 (Franzén 2005, 105)과 이를 따르는 (Berto 2009, 10장)을 보라.

11 만일 메타 언어의 일관성을 증명하려 한다면 메타-메타 언어의 자원(반드시 더 강력할 필요는 없다)이 필요한 것이며, 메타-메타-메타 언어와 같은 식으로 올라갈 것이다. 결정불가능한 문 장에 대해서도 마찬가지 논리가 성립한다. 바로 이런 상황에서 카르납은 모든 수학적인 것이 형식화될 수 있지만 수학 자체는 한 체계에 의해 소진될 수 없으며, 더 강력한 언어의 무한한 계열이 필요하다 (Carnap 1934/1937, 222, 원문 강조)고 하는 것이다. 괴델 정리의 긍정적인 측면이 있다면 그것은 수학의 이러한 소진불가능성(inexhaustibility)을 보였다는 것이다. 괴델 자신(Gödel 1951, 309)도 바로 이것이 두 번째 정리의 함축이라고 강조한다. 적어도 이 함축을 이끌어냈다는 점에서 괴델과 카르납은 의견이 일치한다. 물론 괴델은 여기서 한 걸 음 더 나아가 그렇게 소진되지 않는 객관적인 수학의 내용에 대한 실재론을 타진할 것이고, 카르납은 과도한 철학 앞에 겸허해질 것이다. 하지만 카르납은 적어도 자신의 철학적 동기에 대해 그것이 인식론적 확실성이나 토대주의를 목표로 한다는 오해를 푼 것에 기뻐할 것이다. 위 인용은 구문론 에서 카르납의 기획에 대해 많은 것을 시사한다. 산술의 일관성에 대한 절대적인 확신이 없다면 여전히 산술은 일관되는가 라는 의문이 남을 것이며 괴델 정리에 의 해 이것은 어떠한 일관성 증명으로도 해소될 수 없다. 그렇다고 수학적 참을 직관할 수 있는 능력이 유일한 출구는 아니다. 실제로 페아노 산술 체계나 체르멜로-프랑켈의 집합론 체계가 일관되는가라는 물음에 대부분의 수학자는 그렇다고 대답할 것이다. 그리고 그 근거로는, 어 떤 증명이나 철학적 견해보다도 지난 한 세기 간 수학의 실제를 거론할 것이다. 이 체계들은 풍부한 성과를 냈으며 거기서 아직 어떠한 모순도 발견되지 않았다. 이것은 귀납이긴 하지만 인식론적으로 우려할 만한, 그래서 다른 방법으로 해소돼야 할 그런 귀납은 아니다. 오직 수 학의 실제를 철학적 토대 위에 정당화하려는 기획에서만 우려할 상황인 것이다. 반면 카르납의 관용의 원리는 바로 이런 기획과의 결정적인 결별을 의미하는 것이다. 논리 에는 도덕이 없다. 이것은 무엇을 의미하는가? 우리 작업은 [철학적] 금지를 설정하는 것이 아니라, [과학자들이 서로 합의할 수 있는] 규약에 이르는 것이다. 카르납은 논리가 그 철학 적 함축 이나 정당성, 의미 에 구애받지 말고 과학의 언어를 지속적으로 강력하고 풍부하게 해갈 것을 주문하는 것이다. 철학적 회의와 논쟁은 바로 이런 기술적이면서도 건설적인 과업 으로 대치되어야 한다. 이에 실패할 경우 철학은, 이전 시대의 신화나 종교처럼 현시대 과학 의 진보를 가로막는 독단과 편견으로 남을 것이다. 참고문헌 박일호 (2007) 괴델과 카르납: 수학은 언어의 구문론인가?, 과학철학 10-1, pp 이정민 (2014) 카르납, 콰인, 과학의 실제, 철학적분석 29, pp 전영삼 (2009) 괴델 이후의 힐베르트와 카르납: 체계 상대성 문제를 중심으로, 과학철학 12-2, pp 프리드만, 마이클 (2012) 박우석, 이정민 옮김, 이성의 역학, 서광사. Awodey, S. and Carus, A. W. (2003) Carnap vs. Gödel on Syntax and Tolerance, in P. Parrini et. al. (eds.) Logical Empiricism: Historical and Contemporary Perspectives, Pittsburgh: Pittsburgh University Press, pp Awodey, S. and Carus, A. W. (2004) How Carnap Could Have Replied to Gödel, in S. Awodey and C. Klein (eds.) Carnap Brought Home: The View from Jena, LaSalle, IL: Open Court, pp Awodey, S. and Carus, A. W. (2010) Gödel and Carnap in S. Feferman et. al. (eds.) Kurt

12 Gödel: Essays for his Centennial, Cambridge: Cambridge University Press, pp Berto, F. (2009) There's Something About Gödel: The Complete Guide to the Incompleteness Theorem, UK: Wiley-Blackwell. Carnap R. (1927) Eigentliche und uneigentliche Begriffe, Symposion 1, pp Carnap R. (1934/2004) Über den Charakter der philosophischen Probleme, in Scheinprobleme in der Philosophie und andere metaphysikkritische Schriften, T. Mormann (ed.) Hamburg: Felix Meiner, pp Carnap R. (1934/1937) Logical Syntax of Language, London: Kegan Paul. Carnap R. (1937) Testability and Meaning-Continued, Philosophy of Science, 4-1, pp Carnap, R. (1963) Intellectual Autobiography, in P. A. Schilpp (ed.) The Philosophy of Rudolf Carnap, LaSalle, IL: Open Court. Carus, A. W. (2007) Carnap and Twentieth-Century Thought: Explication as Enlightenment, Cambridge: Cambridge University Press. Franzén, T. (2005) Gödel's Theorem: An Imcomplete Guide to Its Use and Abuse, Wellesley, MA: A K Peters. Friedman, M. (1988) Logical Truth and Analyticity in Carnap s Logical Syntax of Language, in W. Aspray and P. Kitcher (eds) History and Philosophy of Modern Mathematics, Minneapolis: University of Minnesota Press, pp Friedman, M. (1999) Tolerance and Analyticity in Carnap s Philosophy of Mathematics, in M. Friedman, Reconsidering Logical Positivism, Cambridge: Cambridge University Press, pp Friedman, M. (2009) Tolerance, Intuition, and Empiricism, in P. Wagner (ed.) Carnap s Logical Syntax of Language, UK: Palgrave-Macmillan, Demopoulos, W. (2007) Carnap on the Rational Reconstruction of Scientific Theories in M. Friedman and R. Creath (eds.) Cambridge Companion to Carnap, Cambridge: Cambridge University Press, pp Gödel, K. (1951) Some Basic Theorems on the Foundations of Mathematics and their Implications, in S. Feferman et al. (eds.) Gödel, Collected Works, vol. III: Unpublished Essays and Lectures, Oxford: Oxford University Press, pp Gödel, K. (1953/9) Is Mathematics Syntax of Language?, version III and version V, in S. Feferman et al. (eds.) Gödel, Collected Works, vol. III: Unpublished Essays and Lectures, Oxford: Oxford University Press, pp Gödel, K. (1975/2003) Correspondence with Burke D. Grandjean, S. Feferman et al. (eds.) Gödel, Collected Works, vol. IV: Correspondence A-G, Oxford: Oxford University Press, pp Goldfarb, W. (1995) Introductory Note to *1953/9, in S. Feferman et al. (eds.) Gödel, Collected Works, vol. III: Unpublished Essays and Lectures, Oxford: Oxford University Press, pp. pp Goldfarb, W. (1996) The Philosophy of Mathematics in Early Positivism, in R. Giere and A. Richardson (eds.) Origins of Logical Empiricism, Minneapolis: University of Minnesota Press, pp Goldfarb, W. and Ricketts, T. (1992) Carnap and the Philosophy of Mathematics, in D. Bell and W. Vossenkuhl (eds.) Science and Subjectivity: The Vienna Circle and Twentieth Century Philosophy, Berlin: Akademie-Verlag, pp Kuhn, T. (1970) The Structure of Scientific Revolutions, 2nd Edition, Chicago: Chicago University Press.

13 Quine, W. V. O. (1970) Philosophy of Logic, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. Ricketts, T. (1994) Carnap s Principle of Tolerance, Empiricism, and Conventionalism, in P. Clark and B. Hale (eds), Reading Putnam, Oxford: Blackwell, pp Ricketts, T. (2007) Tolerance and Logicism: Logical Syntax and the Philosophy of Mathematics, in M. Friedman and R. Creath (eds.) Cambridge Companion to Carnap, Cambridge: Cambridge University Press, pp Sarkar, S. (1992) The Boundless Ocean of Unlimited Possibilities : Logic in Carnap's Logical Syntax of Language Synthese 93, pp Tennant, N. (2008) Carnap, Gödel, and the Analyticity of Arithmetic, Philosophia Mathematica III, Wagner, P. and Beaney, M. (2012) Carnap s Ideal of Explication and Naturalism, UK: Palgrave-Macmillan.