확률의정의 1. 2. 용어의정의 (1) 시행 : 동일한조건에서반복이가능하고그결과가우연에의하여지배되는실험이나관찰을 시행이라고한다. (2) 사건 : 시행의결과를사건이라고한다. 1 근원사건 : 사건중에서더이상세분할수없는기본적인사건을근원사건이라고한다. 2 표본공간 : 근원사건전체의집합을표본공간또는전사건이라고한다. 전사건은반드시일어나는사건이다. 3 공사건 : 절대로일어나지않는사건을공사건이라고한다. 배반사건과여사건 (1) 배반사건 : 두사건 가동시에일어나지않을때, 와 는서로배반이라고하고, 이두사건을배반사건이라한다. (2) 여사건 : 어떤사건 에대하여 가일어나지않는사건을 의여사건이라하고 로 3. 확률의뜻 (1) 수학적확률 나타낸다. 이때사건 와그여사건 는서로배반이다. 어떤시행에서표본공간 에속하는근원사건의수가 이고각각의근원사건이일어날 가능성이같은정도로기대될때, 사건 에속하는근원사건의수를 라고하면 사건 가일어날확률 P A는 사건가일어날경우의수 일어날수있는모든경우의수 (2) 통계적확률( 경험적확률) 사건 가일어난횟수를 라하면시행총수 이매우클때, 사건 가일어나는상대도수 은일정한값 와거의같다. lim 확률의기본성질 1. 임의의사건 에대하여 P A 2. 전사건 의확률 P S 반드시일어난다. 3. 공사건 의확률 P 결코일어나지않는다.
확률의계산 1. 여사건의확률 2. 3. 4. 사건 가있을때, 가일어나지않는사건을 의여사건이라하며 으로나타내고, 확률 P A 와 P A c 사이에는 P A P A c [ 보충] 적어도 ~일확률 을구하는문제는대체로여사건의확률을이용하여계산한다. 일반사건의덧셈정리 두사건 에대하여 중적어도하나가일어나는사건 를합사건이라하고다음과같이계산한다. 배반사건의덧셈정리 두사건 에대하여 일때, 는서로배반사건이라하면, 조건부확률과확률의곱셈정리 사건 가표본공간 의두부분집합이라할때, 사건 가일어났다는조건아래, 사건 가 일어날확률을조건부확률이라하며, 또는 로표시하며다음과같은정리가 성립한다. (1) 조건부확률 : (2) 곱셈정리 : [ 보충학습] 베이스의정리 전사건이서로배반인사건 의합으로표시될때, 이들을원인으로하여사건 가 일어났다고하는조건아래에서사건 가일어날확률 P E i A 는 PE i P A E i PE i A P E PA E P E P A E P E n P A E n 이것을베이스(Bayes) 의정리라고한다. 5. 종속사건, 독립사건 표본공간의두사건 에대하여 P B A P B A c 일때 는 의종속사건 P B A P B A c 일때 는 의독립사건 이라하고, 다음곱셈정리가성립한다. P B A P B P A B P A P B A P A B P A P B P B A P B P A B P A P B P A P B [ 보충학습] 두사건의독립 두사건 가독립이면 와, 와, 와 도독립이다.
독립시행 1. 독립시행 어떤시행을여러번반복할때, 각시행의결과가다른시행의결과에아무런영향을주지않을경우즉, 매번일어나는사건이모두서로독립일경우에이시행을독립시행이라한다. 2. 독립시행의정리 (1) 이항확률 : 매회사건 가일어날확률이 로일정할때, 회의독립시행중 가 번일어날확률 (2) 삼항확률 : 매회시행마다서로배반인세사건 가각각일어날확률이 로 일정할때, 회의독립시행중 가 번, 가 번, 가 번일어날확률 ( 단, ) [ 해설] 회독립시행중사건 가 번일어나는경우의수는 C r ( 가지) 이고, 사건 가 번 일어나면 번은일어나지않으므로그때의확률은각각 이다. 그런데 C r 가지의각경우는서로배반사건이므로확률의덧셈정리에이하여 회 독립시행중사건 가 번일어날 확률은 여기서사건 가일어나지않을확률( 여사건의확률) 을 라하면
1. 주머니속에 개의흰바둑돌과 개의검은바둑돌이있다. 이주머니에서임의로 개의바둑돌을동시에 꺼낼때, 개모두검은바둑돌일확률이 이다. 이때, 자연수 의값은? [3 점] (11. 10. 교육청) 1 2 3 4 5 2. 주사위를 개던져서나오는눈의수가 의약수이면동전을 개동시에던지고, 의약수가아니면 동전을 개동시에던진다. 개의주사위를 번던진후그결과에따라동전을던질때 나오는동전의개수가 일확률은? [3 점] (11. 9. 평가원) 1 2 3 4, 앞면이 5 3. 두개의주사위, 를동시에던져나오는눈의수를각각, 라할때, 일확률은? ( 단, 주사위의각눈이나올확률은모두같다.) [3 점] (05. 10. 교육청) 1 2 3 4 5 4. 수직선위를움직이는점 P 가있다. 한개의주사위를던져짝수의눈이나오면오른쪽으로 만큼, 홀수의눈이나오면왼쪽으로 만큼점 P 가움직인다. 주사위를 번던진후원점에서출발한 점 P 가다시원점으로돌아왔을때, 점 P 가점 A 을들러왔을확률은 ( 는서로소인 자연수) 이다. 이때, 의값을구하시오.( 단, 주사위의각눈이나올확률은같다.) [4 점] (05. 10. 교육청) 정답 3 3 1 13
5. 좌표평면에서원 위에있는 개의점 P, P, P, P, P, P, P 에서임의로세점을선택할때, 이세점을 꼭짓점으로하는삼각형이직각삼각형일확률은? [4 점] (04. 9. 평가원) 1 2 3 4 5 6. 명씩탑승한두대의자동차 A, B가어느휴게소에서만났다. 이들 명은연료절약을위해 좌석수가 개인자동차 B에모두승차하려고한다. 자동차 B의운전자는자리를바꾸지않고나머지 명은임의로앉을때, 처음부터자동차 B에탔던 명이모두처음좌석이아닌다른좌석에앉게될 확률은 (, 는서로소인자연수) 이다. 이때, 의값을구하시오점교육청. [4 ] (05. 10. ) 7. 개의수 이오른쪽표와같이배열되어있다. 각행에서한개씩 임의로선택한세수의곱을 으로나눈나머지가 이될확률은 (06. 9. 평가원) 1 2 3 4? [4 점] 5 8. 그림과같이한변의길이가 인정사각형 개를붙여놓은도형이있다. 개의꼭짓점중에서임의의두점을연결한선분의길이가무리수일 확률이 일때, 의값을구하시오. ( 단, 는서로소인자연수이다.) [3 점] (06. 10. 교육청) 정답 1 33 3 17
9. 흰공이 개, 검은공이 개들어있는주머니에서두개의공을동시에꺼낼때, 적어도한개가흰공일 확률은? [3 점] (06. 10. 교육청) 1 2 3 4 5 10. 부터 까지의자연수가하나씩적힌 개의구슬이들어있는주머니가있다. 이주머니에서 임의로한개의구슬을꺼내어그구슬에적힌수를 이라할때, 직선 과포물선 이만나도록하는수가적힌구슬을꺼낼확률은? [4 점] (07. 6. 평가원) 1 2 3 4 5 11. 명의학생 A, B, C, D, E, F 를임의로 명씩짝을지어 개의조로편성하려고한다. A 와 B 는 같은조에편성되고, C 와 D 는서로다른조에편성될확률은? [4 점] (07. 11. 수능) 1 2 3 4 5 12. 학년에 개의반이있는어느고등학교에서토너먼트 방식으로축구시합을하려고하는데이미 반은부전승으로결정되어있다. 다음과같은형태의대진표를 만들어시합을할때, 반과 반이축구시합을할 확률은? ( 단, 각반이시합에서이길확률은모두 이고, 기권하는반은없다고한다.) [3 점] (06. 6. 평가원) 1 2 3 4 5 정답 5 4 3 5
13. 상자 에는빨간공 개와검은공 개가들어있고, 상자 는비어있다. 상자 에서임의로 개의 공을꺼내어빨간공이나오면 실행 을, 빨간공이나오지않으면 실행 를할때, 상자 에있는 빨간공의개수가 일확률은? [3 점] (11. 11. 수능) 실행 꺼낸공을상자 에넣는다. 실행 꺼낸공을상자 에넣고, 상자 에서임의로 개의공을더꺼내어 상자 에넣는다. 1 2 3 4 5 14. 학생의주머니에는빨간구슬 개와노란구슬 개, 학생의주머니에는노란구슬 개와 파란구슬 개가들어있다. 두명의학생이각자의주머니에서한개의구슬을꺼내어색깔에따라 승부를가리는데, 빨간구슬이노란구슬에이기고, 노란구슬은파란구슬에이기고, 파란구슬은 빨간구슬에이긴다고한다. 이때, 학생이이길확률은? ( 단, 같은색의구슬이나왔을때는구슬을 한개씩더꺼내어승부를가리고, 꺼낸구슬은다시넣지않는다.) [ 점] (08. 7. 교육청) 1 2 3 4 5 15. 집합,, 에대하여조건 ( 가) 를만족시키는모든 함수 중에서임의로하나를선택하고, 조건 ( 나) 를만족시키는모든함수 중에서임의로하나를선택하여합성함수 를만들때, 이합성함수의 치역이 일확률은 이다. 의값을구하시오. ( 단,, 는서로소인자연수이다.) [4 점] (08. 6. 평가원) ( 가) X 의임의의두원소 에대하여 이면 이다. ( 나) 의치역은 이다. 정답 4 2 13
16. 그림과같이바둑판의중앙에바둑돌한개가놓여있다. 한개의주사위를던져나온눈의수에따라다음과같은 규칙으로바둑돌을이동시킨다. 위쪽 나온눈의수 또는 또는 이동방법오른쪽으로 칸왼쪽으로 칸아래쪽으로 칸위쪽으로 칸 왼쪽 A 오른쪽 한개의주사위를 번던졌을때, 바둑돌이 A지점에 놓이게될확률은? [4 점] (08. 4. 교육청) 1 2 3 4 5 아래쪽 17. 검은공 개, 흰공 개가들어있는주머니가있다. 이주머니에서한개의공을꺼내어색을확인한 후다시넣지않는다. 이와같은시행을반복할때, 흰공 개가나올때까지의시행횟수를 라하면 P > 이다. 의값을구하시오. ( 단, 와 는서로소인자연수이다.) [4 점] (07. 6. 평가원) 18. 집합 를 는 이하의자연수 라하자. 집합 에서임의로하나의 행렬을선택할때, 그행렬이역행렬을가질확률은 이다. 의값을구하시오. ( 단,, 는서로소인자연수이다.) [4 점] (08. 10. 교육청) 정답 4 17 49
19. 주머니 A와 B에는,,,, 의숫자가하나씩적혀있는다섯개의구슬이각각들어있다. 철수는 주머니 A에서, 영희는주머니 B에서각자구슬을임의로한개씩꺼내어두구슬에적혀있는숫자를확인한 후다시넣지않는다. 이와같은시행을반복할때, 첫번째꺼낸두구슬에적혀있는숫자가서로다르고, 두번째꺼낸두구슬에적혀있는숫자가같을확률은? [4 점] (08. 11. 수능) A B 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 20. 주사위를두번던질때, 나오는눈의수를차례로, 이라하자. 의값이 이될 확률이 일때, 의값을구하시오. ( 단, 이고, 는서로소인자연수이다.) [4 점] (08. 11. 수능) 21. 다음조건을만족하는상자가 ( ) 개있다. [ 상자] 흰구슬 개, 검은구슬 개 [ 상자] 흰구슬 개, 검은구슬 개 [ 상자] 흰구슬 개, 검은구슬 개 [ 상자] 흰구슬 개, 검은구슬 개 개의상자에서임의로한상자를택하여 개의구슬을동시에꺼낼때 P 이라하자. P 의값은? [ 점 1 2 ] (09. 7. 교육청) 3 4, 모두흰구슬이나올확률을 5 정답 1 23 4
22. 부터 까지자연수가하나씩적혀있는 개의공이주머니에들어있다. 이주머니에서임의로 개의 공을동시에꺼낼때, 꺼낸공에적혀있는수 가다음조건을만족시킬확률은? [3 점] (09. 9. 평가원) ( 가) 는홀수이다. ( 나) 는 의배수이다. 1 2 3 4 5 23. 보리, 팥, 수수, 조, 콩의다섯가지잡곡중한가지이상의잡곡과쌀을섞어서모든종류의잡곡밥을지었다. 이중임의로하나의잡곡밥을선택할때 가지잡곡만들어간잡곡밥을선택할확률은 이다. 서로소인 두자연수, 의합 의값을구하시오 무시한다.) [4 점] (09. 10. 교육청).( 단, 각잡곡밥을선택할확률은모두같고잡곡이섞인비율은 24. 각면에 의숫자가하나씩적혀있는정육면체모양의상자를던져윗면에적힌수를읽기로 한다. 이상자를 3 번던질때, 첫번째와두번째나온수의합이 이고세번째나온수가홀수일확률은? [4 점] (09. 11. 수능) 1 2 3 4 5 25. 주머니안에스티커가 개, 개, 개붙어있는카드가각각 장씩들어있다. 주머니에서임의로 카드 장을꺼내어스티커 개를더붙인후다시주머니에넣는시행을반복한다. 주머니안의각 카드에붙어있는스티커의개수를 으로나눈나머지가모두같아지는사건을 라하자. 시행을 번 하였을때, 회부터 회까지는사건 가일어나지않고, 회에서사건 가일어날확률을 라하자. 의값을구하시오. ( 단, 와 는서로소인자연수이다점평가원.) [4 ] (10. 9. ) 정답 1 41 1 11
26. 어느디자인공모대회에서철수가참가하였다. 참가자는두항목에서점수를받으며, 각항목에서받을 수있는점수는표와같이 가지중하나이다. 철수가각항목에서점수 A 를받을확률은 받을확률은, 점수 B 를, 점수 C 를받을확률은 이다. 관람객투표점수를받는사건과심사위원점수를받는 사건이서로독립일때, 철수가받는두점수의합이 일확률은? [ 점] (10. 11. 수능) 항목 점수 점수 A 점수 B 점수 C 관람객투표 심사위원 1 2 3 4 5 27. 한국, 중국, 일본학생이 명씩있다. 이 명이그림과같이좌석번호가지정된 개의좌석중임의로 개씩 선택하여앉을때, 같은나라의두학생끼리는좌석번호의차가 또는 이되도록앉게될 확률은? [점] (10. 11. 수능) 1 2 3 4 5 정답 3 4
28. 집합 에서임의로 개의원소를선택할때, 이 원소가연속하는자연수일확률을 P 라한다. < 보기> 에서옳은것을모두고르면? [4 점] (04. 9. 평가원) ㄱ. P < 보기> ㄴ. P k P k ㄷ. P k 중에서최솟값은 P 이다. 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5ㄱ, ㄴ, ㄷ 29. 정보이론에서는사건 가발생했을때, 사건 의정보량 가다음과같이정의된다고한다. log PE < 보기> 에서옳은것만을있는대로고른것은? ( 단, 사건 가일어날확률 P E 는양수이고, 정보량의단위는비트이다.) [4 점] (08. 11. 수능) < 보기> ㄱ. 한개의주사위를던져홀수의눈이나오는사건을 라하면 이다. ㄴ. 두사건, 가서로독립이고 P A B>이면 이다. ㄷ. P A>, P B >인두사건, 에대하여 이다. 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 3 5
30. 두사건 와 는서로독립이고,, 일때, 의값은? ( 단, 은 의여사건이다점수능.) [3 ] (11. 11. ) 1 2 3 4 5 31. 두사건, 가서로독립이고, 일때, 의값은? [3 점] (11. 9. 평가원) 1 2 3 4 5 32. 어느학급은 명으로이루어져있다. 이학급의모든학생중대학수학능력시험사회탐구영역에서 국사를선택한학생은 명이고세계사를선택한학생은 명이다. 국사와세계사중어느것도 선택하지않은학생은 명이다. 이학급에서한명의학생을뽑을때, 이학생이국사와세계사를모두 선택하였을확률은? [3 점] (06. 9. 평가원) 1 2 3 4 5 33. 다음은어느회사에서전체직원 명을대상으로 재직연수와새로운조직개편안에대한찬반여부를 조사한표이다. 재직연수가 년미만일사건과 조직개편안에찬성할사건이서로독립일때, 의 값을구하시오. [4 점] (04. 11. 수능) ( 단위: 명) 찬반여부재직연수 찬성 반대 계 년미만 년이상 계 정답 5 5 3 50
34. 개의동전을동시에던질때, 앞면이나오는동전이 개이하인사건을, 동전 개가모두같은면이 나오는사건을 라하자. < 보기> 에서옳은것을모두고른것은? [4 점] (06. 11. 수능) < 보기> ㄱ. PA ㄴ. P A B ㄷ. 사건 와사건 는서로독립이다. 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 35. 부터 까지자연수가각각하나씩적힌 장의카드중에서임의로한장을뽑을때, 의 배수가적힌카드를뽑는사건을 이라하자. 이때 < 보기> 에서옳은것을모두고른것은? [3 점] (07. 3. 교육청) ㄱ. 과 는서로배반사건이다. < 보기> ㄴ. P ㄷ. 와 는서로독립이다. 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 36. 두사건, 가서로독립이고 P 일때, P 이되도록하는실수 의 최솟값은? [4 점] (10. 4. 교육청) 1 2 3 4 5 정답 5 3 5
37. 남학생 명과여학생 명에게봄과가을중에서언제수학여행을가고싶은지하나만선택하도록 하였더니, 남학생의 와여학생의 가봄을선택하였다. 이 명의학생중에서임의로한명을 뽑았더니봄을선택한학생이었을때, 이학생이여학생일확률은? [3 점] (11. 10. 교육청) 1 2 3 4 5 38. 남학생수와여학생수의비가 인어느고등학교에서전체학생의 가 자격증을가지고 있고, 나머지 는가지고있지않다. 이학교의학생중에서임의로한명을선택할때, 이학생이 자격증을가지고있는남학생일확률이 이다. 이학교의학생중에서임의로선택한학생이 자격증을가지고있지않을때, 이학생이여학생일확률은? [3 점] (11. 9. 평가원) 1 2 3 4 5 39. 정팔각형의꼭짓점중임의의세점을택하여만든삼각형이직각삼각형일때, 그삼각형이이등변삼각형일 확률을 라하자. 이때, 의값을구하시오. ( 단, 는서로소인자연수이다.) [3 점] (11. 7. 교육청) 40. 어느회사의전체직원은기혼남성 명, 미혼남성 명, 기혼여성 명, 미혼여성 명이다. 이회사에서 직원중한사람을선택하여선물을주기로하였다. 선택된직원이남성인경우를사건 라하고, 미혼인 경우를사건 라하자. 두사건 와 가서로독립일때, 의값을구하시오. ( 단, 각직원이선택될확률은같다고가정한다.) [4 점] (05. 6. 평가원) 41. 주머니 A에는,,,, 의숫자가하나씩적혀있는 장의카드가들어있고, 주머니 B에는,,,, 의숫자가하나씩적혀있는 장의카드가들어있다. 두주머니 A, B에서각각카드를임의로 한장씩꺼냈다. 꺼낸 장의카드에적혀있는두수의합이홀수일때, 주머니 A에서꺼낸카드에적혀 있는수가짝수일확률은? [3 점] (07. 11. 수능) 1 2 3 4 5 정답 4 2 31 120 2
42. 주머니 에는,,,, 의숫자가하나씩적혀있는 장의카드가들어있고, 주머니 에는,,,,, 의숫자가하나씩적혀있는 장의카드가들어있다. 한개의주사위를한번던져서 나온눈의수가 의배수이면주머니 에서임의로카드를한장꺼내고, 의배수가아니면주머니 에서 임의로카드를한장 카드일확률은? [3 점] (11. 11. 수능) 1 꺼낸다. 주머니에서꺼낸카드에적힌수가짝수일때, 그카드가주머니 에서꺼낸 2 3 4 5 43. 어느스포츠용품점에서는운동화를사는고객에게양말또는장갑중한켤레를, 등산화를사는고객에게양말과장갑을모두한켤레씩사은품으로주는행사를하였다. 다음표는이행사기간에판매한신발의수와지급한사은품의수를나타낸것이다. < 판매한신발의수> 운동화 ( 단위 : 켤레) 등산화 < 지급한사은품의수> 양말 ( 단위 : 켤레) 장갑 양말을사은품으로받은고객이운동화를산고객일확률은? ( 단, 두켤레이상의신발을구입한고객은없다.) [4 점] (06. 10. 교육청) 1 2 3 4 5 44. 부터 까지의자연수가하나씩적혀있는 개의공이주머니에들어있다. 이주머니에서철수, 영희, 은지순서로공을임의로한개씩꺼내기로하였다. 철수가꺼낸공에적혀있는수가 일때, 남은두사람이꺼낸공에적혀있는수가하나는 보다크고다른하나는 보다작을확률은? ( 단, 꺼낸공은다시넣지않는다.) [3 점] (08. 9. 평가원) 1 2 3 4 5 45. 철수가받은전자우편의 는 여행 이라는단어를포함한다. 여행 을포함한전자우편의 가광고이고, 여행 을포함하지않은전자우편의 가광고이다. 철수가받은한전자우편이광고일때, 이전자우편이 여행 을포함할확률은? [점] (09. 11. 수능) 1 2 3 4 5 정답 4 5 5 1
46. 어느스포츠용품가게에서는별( ) 모양이그려져있는야구공한개를포함하여모두 개의야구공을 한상자에넣어상자단위로판매한다. 한상자에서 개의야구공을임의추출하여별( ) 모양이그려져있는 야구공이있으면축구공한개를경품으로준다. 어느고객이이가게에서야구공 상자를구입하여경품 당첨여부를모두확인할때, 축구공 개를경품으로받을확률은 이다. 의값을구하시오. ( 단, 는서로소인자연수이다.) [4 점] (07. 9. 평가원) 47. 네명이동전을한개씩동시에던져서다음과같은방법으로두명씩두개조로나누려고한다. ( 가) 앞면과뒷면이각각두개씩나오면같은면이나온사람끼리같은조가된다. ( 나) 앞면과뒷면의개수가다르면앞면과뒷면의개수가같게나올때까지네명모두동전을 다시던진다. 이와같은방법으로네명을두개조로나눌때, 동전을두번씩던지게될확률은 ( 는서로소인자연수) 이다. 이때 의값을구하시오점교육청. [4 ] (08. 3. ) 48. A대학교에서는수시모집과정시모집으로입학생을선발한다. 수시모집은정시모집보다먼저실시하고, 수시모집에지원하여합격한학생은정시모집에지원할수없다고한다. 어떤고등학생 명이 A 대학교의수시모집에지원하였을때합격할확률은각각 이고, 정시모집에지원하였을때합격할 확률은각각 이라고하자. 이학생 명이 A대학교의수시모집에모두지원하고, 이중불합격한 학생은다시 A대학교의정시모집에지원한다고할때, 명중 명이합격할확률은? ( 단, 각학생이 A대학교에합격하는사건은서로독립이다.) [4 점] (09. 3. 교육청) 1 2 3 4 5 정답 73 79 1
49. 어느창고에부품 가 개, 부품 가 개있는상태에서부품 개를추가로들여왔다. 추가된부품은 또는 이고추가된부품중, 의개수는이항분포 을따른다이. 개의부품중임의로 개를 선택한것이 일때, 추가된부품이모두 였을확률은? [4 점] (09. 6. 평가원) 1 2 3 4 5 50., 를포함한 명이정육각형모양의탁자에그림과같이둘러 앉아주사위한개를사용하여다음규칙을따르는시행을한다. 주사위를가진사람이주사위를던져나온눈의수가 의배수이면시계방향으로, 의배수가아니면 시계반대방향으로이웃한사람에게주사위를준다. 부터시작하여이시행을 번한후 가주사위를가지고있을확률은? [4 점] (10. 6. 평가원) 1 2 3 4 5 정답 1 3