1.1) 두 2.2) 방정식 좌표공간에서 두 제 2 교시 2016 년 9 월고 3 모의고사문제지 성명수험번호 3 1 먼저수험생이선택한응시유형의문제지인지확인하시오. 문제지에성명과수험번호를정확히기입하시오. 답안지에수험번호, 응시유형및답을표기할때는반드시 수험생이지켜야할일 에따라표기하시오. 단답형답의숫자에 0 이포함된경우, 0 을 OMR 답안지에반드시표기해야합니다. 문항에따라배점이다르니, 각물음의끝에표시된배점을참고하시오. 배점은 2점, 3점또는 4점입니다. 계산은문제지의여백을활용하시오. 3.3 ) 두점 A B 에대하여선분 AB 를 로내분하는점의좌표가 이다. 의값은? [2 점 ] 1 2 3 4 5 5 지선다형 벡터 성분의합은? [2 점 ] 에대하여벡터 의모든 1 2 3 4 5 4.4 ) 사건 와 는서로배반사건이고 P P 일때, P 의값은? [3 점 ] 1 2 3 4 5 을만족시키는실수 의값은? [2 점 ] 1 2 3 4 5 1 16
5.5) cos 6.6) 두 coscos 일때, sinsin 의값은? [3점] 1 2 3 4 5 7.7 ) 일때, 방정식 의모든해의합은? [3 점 ] 1 4 sin cos 2 5 3 의값은? [3점] 1 ln 2 ln 3 ln 4 ln 5 ln 8.8 ) 벡터 에대하여 이고, 두벡터 와 가서로수직일때, 의값은? [3 점 ] 1 4 2 5 3 2 16
9.9) 실수 10.10) 어느 11.11) 함수 12.12) 한 전체의집합에서미분가능한함수 가모든실수 에대하여 을만족시킬때, 의값은? [3 점 ] log 에대하여 의값은? 1 ln 2 ln 3 ln [3 점 ] 1 2 3 4 5 4 ln 5 ln 실험실의연구원이어떤식물 로부터하루동안추출하는호르몬의양은평균이 mg 표준편차가 mg 인정규분포를따른다고한다. 어느날이연구원이하루동안추출한호르몬의양이 mg 이상이고 mg 이하일확률을오른쪽표준정규분포를이용하여구한것은? [3 점 ] 개의주사위를두번던질때나오는눈의수를차례로 라하자. 두수의곱 가 의배수일때, 이두수의합 가 일확률은? [3 점 ] 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 16
13.13) 함수 14.14) 매개변수 15.15) 각 cos 의그래프와 축, 축및직선 로둘 러싸인영역의넓이가직선 에의하여이등분될때, 상수 의값은? [3 점 ] 1 2 3 4 5 으로나타내어진함수 에서 일때, 의값은? [4점] 1 2 3 4 5 자리의수가 이아닌네자리의자연수중각자리의 수의합이 인모든자연수의개수는? [4 점 ] 1 2 3 4 5 4 16
16.16) 직사각형 17.17) ABCD 의내부의점 P 가 PA PB PC PD CA 를만족시킨다. < 보기 > 에서옳은것만을있는대로고른것은? ㄱ. PB PD CP ㄴ. AP AC ㄷ. 삼각형 ADP 의넓이가 이면직사각형 ABCD 의 넓이는 이다. 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ [4 점 ] 부터 까지의자연수가하나씩적혀있는 장의카드가 있다. 이카드중에서임의로서로다른 장의카드를선택할때, 선택한카드 장에적힌수중가장큰수를확률변수 라하자. 다음은 E 를구하는과정이다. ( 단, ) 자연수 에대하여확률변수 의값이 일 확률은 부터 까지의자연수가적혀있는카드중에 서서로다른 장의카드와 가적혀있는카드를선택하 는경우의수를전체경우의수로나누는것이므로 P C 이다. 자연수 에대하여 이므로 C r C r 이다. 그러므로 E P C C 이다. C 이므로 이다. E 위의 ( 가 ), ( 나 ) 에알맞은식을각각, 라하고, ( 다 ) 에알맞은수를 라할때, 의값은? [4 점 ] 1 2 3 4 5 5 16
18.18) 좌표공간에 19.19) 서로 20.20) 그림과 점 P 가있고 평면위의 원 위의두점 A, B 가있다. 평면 ABP 의법선벡터가 일때, 선분 AB 의길이는? [4점] 1 2 3 4 5 같이한변의길이가 인정사각형 ABCD 가있다. 변 CD 위의점 E 에대하여선분 DE 를지름으로하는원과직선 BE 가만나는점중 E 가아닌점을 F 라하자. EBC 라할때, 점 E 를포함하지않는호 DF 를이등분하는점과선분 DF 의중점을지름의양끝점으로하는원의반지름의길이를 라하자. 의값은? ( 단, [4점] 1 2 3 다른과일 개를 그릇 A, B, C 에남김없이담으려 고할때, 그릇 A 에는과일 개만담는경우의수는? ( 단, 과일을하나도담지않은그릇이있을수있다.) [4 점 ] 4 5 1 2 3 4 5 6 16
21.21) 양의 22.22) 23.23) 곡선 실수전체의집합에서미분가능한두함수 와 가모든양의실수 에대하여다음조건을만족한다. ( 가 ) ( 나 ) 단답형 C 의값을구하시오. [3점] 일때, 의값은? [4 점 ] 1 2 3 4 5 log 의점근선이직선 이다. 의값을 구하시오.( 단, 는상수이다.) [3 점 ] 7 16
24.24) 흰 25.25) 좌표평면에서 26.26) 함수 공 개, 빨간공 개가들어있는주머니가있다. 이주 머니에서임의로 개의공을동시에꺼낼때꺼낸 개의공이 모두흰공일확률이 이다. 의값을구하시오.( 단, 와 는서로소인자연수이다.) [3점] sin 의역함수를 라할때, 곡선 위의점 에서의접선의기울기는 이다. 의값을구하시오. ( 단, 와 는서로소인자연수이다.) [4점] 초점이 F 인포물선 위의점 A 가 AF 을만족시킨다. 점 B 에대하여 AB 일때, 의값을구하시오. [3 점 ] 8 16
27.27) 그림과 28.28) 어느 같이타원 의두초점 F F 이고, 제 사 분면에있는두점 P Q 는다음조건을만족시킨다. ( 가 ) PF ( 나 ) 점 Q 는직선 PF 과타원의교점이다. 삼각형 PFQ 의둘레의길이와삼각형 PF F 의둘레의길이의합을구하시오. [4 점 ] 고등학교에서대중교통을이용하여등교하는학생의비 율을알아보기위하여이고등학교학생중 명을임의추출하여조사한결과 의학생이대중교통을이용하여등교하는것으로나타났다. 이결과를이용하여구한이고등학교전체학생중에서대중교통을이용하여등교하는학생의비율 에대한신뢰도 의신뢰구간이 이다. 일때, 의값을구하시오. ( 단, 가표준정규분포를따르는확률변수일때, P 로계산한다.) [4 점 ] 9 16
29.29) 그림과 30.30) 최고차항의 같이직선 을교선으로하고이루는각의크기가 계수가 인사차함수 와함수 인두평면 와 가있고, 평면 위의점 A 와평면 위 의점 B 가있다. 두점 A B 에서직선 에내린수선의발을각각 C D 라하자. AB AD 이고직선 AB 와평면 가이루는각의크기가 일때, 사면체 ABCD 의부피는 sin 에대하여함수 는실수전체의집합에서이계도함수 를갖고, 는실수전체의집합에서연속이다. 의값을구하시오. [4 점 ] 이다. 의값을구하시오.( 단, 는유리수이다.) [4 점 ] 확인사항 문제지와답안지의해당란을정확히기입 ( 표기 ) 했는지 확인하시오. 10 16
2016년 3월수리가형고3 모의고사해설 cos 일때, 1) 5 성분의합을구하면 2) 2 3) 1 각성분별로내분점의좌표를구하면, cos 일때, 따라서모든근의합은 이다 8) 2 와 가서로수직이므로 이다. 분배하여계산하면 내분점의좌표는 이다. 따라서성분의합은 이다. 4) 3 P P P P P P P 5) 1 cos coscos sinsin 6) 3 ln ln ln ln 7) 4 cos cos cos cos cos 9) 4 의양변을미분하면 이다. 양변에 을대입하여계산하면, 따라서 이다. 10) 5 EX, X 이므로 X 는 N 를따른다. P X 를표준화하면 P Z P Z P Z 따라서구하는확률은 이다. 11) 2 미분계수의정의에의하여 이다. log 이고 ln 이므로 ln 이다. 12) 3 두수의곱 가 의배수일때의순서쌍을구해보면,,,,,,,,, 으로모두 15 개이다. 11 16
이들중두수의합 일경우는 점 P 은선분 AC의 내분점이고삼각형 ADP 의넓이가 이므로,,, 로 가지이다. 삼각형 ADC의넓이는 이다. 따라서구하는확률은 이다. 13) 3 함수 cos 의그래프와 축, 축및직선 로둘러싸인 영역의넓이는 cos sin 이다. 이넓이가 에의하여이등분되면그넓이는 이다. 따라서 축, 축및직선 와 에의하여 둘러싸인넓이는 이므로 이다. 이다 그러므로직사각형 ABCD 의넓이는 이다. ( 참 ) 17) 1 주어진조건에의해 P 를구해보면 전체경우의수는 C 이고, 최댓값이 인경우의수는 부터 까지에서 개를선택하고 를선택하면되므로 C 따라서 P C = C C 이므로 C = C C 이므로 C 14) 1 E C C C 일때, 이다 15) 4 천의자리수를, 백의자리수를, 십의자리수를, 일의자리수를 라 하면 이고 이므로 라하면 ( 단, 은음이아닌정수 ) 을만족하는해의개수는 H C 따라서 C C 18) 2 16) 5 ㄱ. PA PB PC PD CA 에서 CA PA PC 을대입하면 PB PD CP 이다. ( 참 ) ㄴ. 이때, B와 D 의중점을 M이라하면 PM CP 이므로 P 는 C와 M 의중점이다. 이를도형으로표현해보면 그러므로 AP AC 이다. ( 참 ) ㄷ. 삼각형 ADP 의넓이와삼각형 ADC 의넓이의비율은밑변의길이 AP 와 AC 의비율과같다. 평면 ABP 의방정식을구하면 P 를지나고법선벡터가 이므로 이다. 한편두점 A B 는 평면위의원 1 위의점이고평면 ABP 의방정식에 을대입하여얻어진 12 16
2 위의점이므로 1과 2를연립하면 또는 이다. 이때, A B 라하면 AB 이다. 19) 5 그릇 A 에담을과일 종류를선택하는방법이 C 가지이고, 나머지서로 다른과일 개를나머지 B C 그릇에담는경우의수가 가지이므로 C 20) 4 21) 3 이때, 라하면 이다. 그러므로부분적분법에의하여 그러므로 22) 21 C 선분 DE 를지름으로하는원의중심을 O, 선분 DF 의중점을 P, 점 E 를포함하지않는호 DF 를이등분하는점을 Q 라하고, 선분 PQ 를지름의양끝점으로하는원의중심을 O 라하자. 직각삼각형 BCE 에서선분 BC 길이가 이고각 EBC 가 이므로 선분 CE 의길이는 tan 이다. 따라서선분 DE 의길이가 tan 이므로 선분 DO 의길이는 tan 이다. 한편, 각 EDF 의크기가 이므로 선분 O P 의길이는 tansin 이다. 그러므로 tan tansin tan sin tan sin 에서 로치환하면 tan sin sin tan tan tan tan sin 23) 25 로그의진수조건에의해 log 는 에서정의되므로 점근선의방정식은 이다. 24) 16 흰공 개, 빨간공 개가주머니에들어있으므로 공 개를꺼내는전체경우의수는 C 꺼낸공이모두흰공일경우의수는 C 따라서구하는확률은 25) 136 점 A 가 위에있고 F 는초점이므로 점 A 에서 에내린수선의발을 H 라할때 포물선정의에의해 AF 이면 AH 이므로 13 16
점 A의 좌표는 이고, 좌표는 ±이다. 두경우모두 29) 12 AB 의길이는같고 AB 이므로 26) 4 cos 이고 이므로역함수미분법에의해 cos 따라서 27) 22 타원정의에의해장축의길이는 이고, 초점의좌표는 F, F 이다. A 에서 C 를지나고직선 에수직이며 에포함되는직선에수선의발을내리고그수선의발을 A 이라하면삼수선의정리에의하여 A 에서평면 에내린수선의발이 A 이된다. AB 이고직선 AB 와평면 가이루는각의크기가 이므로 ABA 이고 A B AA 이다. 또한 와 가이루는각의크기가 이므로이면각의정의에의하여 ACA 이다. 따라서 CA AC 임을알수있다. 한편, AD 이고 AC 이므로직각삼각형 ACD 에서 CD 이다. 사면체 ABCD 의부피는 삼각형 PFQ 의둘레의길이 = PF FQ QP 삼각형 PF F 의둘레의길이 = PF FF F P F P PQ QF 는장축의길이이므로 F P PQ QF F F 주어진조건에의해 PF 따라서두삼각형의둘레의길이의합은 PF FQ QP PF FF F P FQ QP PF FF PF 28) 196 명의학생중 가대중교통을이용하므로 이를이용해신뢰도 의신뢰구간을구해보면 따라서 BCD 의넓이 AA CD BD AA 따라서 이므로 이다. 30) 48 sin sin sin 이므로 함수 는실수전체의집합에서연속이고, 과 을 만족시키는 의값에서미분가능하지않다. 또, 이다. (ⅰ) 함수 가 에서미분가능하려면 가성립해야한다. 즉, 이므로 ᄀ (ⅱ) 을만족시키는 의값을 라하자. 함수 가 에서미분가능하려면 14 16
가성립해야한다. ( 단, 는양의상수 ) 즉, 이므로 ᄂ (ⅲ) 함수 가 에서미분가능하려면 가성립해야한다. 즉, 이므로 (ⅰ)(ⅱ)(ⅲ) 에서 ᄃ 함수 는최고차항의계수가 4 인삼차함수이고, ᄀ, ᄂ, ᄃ에서 이므로 이됨을알수있다. 15 16