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우주론 (Cosmology) 원은일 v20151210

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iii 일러두기 이노트는 2009년부터제가우주배경복사실험을하면서평소궁금했던것들을정리한자료입니다. 일반상대론을대학원이후처음접하면서상대론개념들부터수식의복잡함, 텐서와휘어진공간에서의기하구조기술등쉽지않는 ( 적어도저에게는 ) 내용들을정리하였고앞으로도꾸준히추가수정해야하는자료입니다. 2015년 2학기처음으로이를바탕으로강의를진행하였고혹시이노트를읽을여러분의많은질문, 수정사항, 요구사항들을기탄없이제시해주시면좋겠습니다. 2015년도 2학기수업을통하여이미많은 feedback 을준김유래, 김연준, 정유현, 정호용, 이보현, 이경민 ( 고려대 ), 김세진, 김준우, 송원익, 심명보 ( 경희대학점교류 ) 학생들에게감사합니다. 이노트의구성은다음과같습니다. 초반에는비상대론적인방정식을이용한우주론에대하여간단하게논의합니다. 두번째부분은텐서연산에관한내용입니다. 이강의에서는일반상대론을자세히다루지는않고상대론적우주론논의를위한최소내용만을다루고이에따라필요한연산법칙을소개합니다. 전통적일반상대론강의에서는텐서연산과장방정식을매우자세하게다루고있지만본강의에서는주목적이우주론이해에있기때문에텐서연산을최소화하고우주론이야기를되도록많이하고자합니다. 그후에는상대론적우주론및인플레이션우주론에대한기초수식들을설명합니다 (2015년 12월에는여기까지 ). 궁극적으로는우주배경복사의분극과인플레이션, 그리고 B-mode 에대하여설명할예정입니다.

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차례 제 1 장 소개 1 제 1 절 우리우주................................. 1 제 2 절 플랑크길이및플랑크단위 (Planck Length and Units)...... 2 제 2 장 뉴튼중력및특수상대론 5 제 1 절 중력 (Gravity).............................. 5 제 2 절 등가원리 (Principle of Equivalence).................. 6 제 3 절 특수상대성이론 (Special Relativity).................. 9 제 3 장 Newtonian 우주론 17 제 1 절 우주의팽창............................... 17 1.1 Doppler 효과 : 비상대론, 특수상대론, Cosmological red-shift... 19 1.2 Metric................................. 23 1.3 에너지보존과우주의팽창또는수축............... 26 1.4 우주의온도에대한이야기..................... 42 1.5 암흑물질 (Dark Matter)....................... 43 1.6 암흑에너지 (Dark Energy)...................... 45 1.7 우주상수와우주의나이....................... 46 1.8 Hubble Diagram - 복사도와적색편이의관계........... 49 1.9 에너지밀도와압력.......................... 51 제 2 절 우주의기하학적구조.......................... 55 2.1 N-Sphere................................ 56 2.2 3-Sphere................................ 59 제 3 절 표준우주론의문제점.......................... 61 3.1 Horizon 문제............................. 61 3.2 편평도문제 (Flatness Problem)................... 62 제 4 장 일반좌표계 (Generalized Coordinates) 65 제 1 절 좌표계.................................. 65 1.1 일반적인 metric tensor........................ 66 1.2 Metric tensor 변환.......................... 67 제 2 절 일반좌표계에서미분.......................... 71 v

vi 차례 2.1 벡터의 covariant derivatives..................... 71 2.2 Connection Coefficients....................... 74 2.3 Parallel transport........................... 75 2.4 Geodesics............................... 78 2.5 Geodesics 와 Lagrangian....................... 79 제 5 장 곡률 (Curvature) 과 Einstein 방정식 89 제 1 절 곡률 (Curvature)............................. 89 제 2 절 Einstein s Field Equations....................... 92 2.1 Schwarzschild Metric 유도...................... 94 2.2 Schwarzschild 블랙홀......................... 97 제 6 장 상대론적우주론 101 제 1 절 FRW metric과 Einstein 장방정식.................. 101 1.1 Friedmann 방정식.......................... 102 1.2 인플레이션우주론 (Inflation Cosmology).............. 104 부록 A Mathematica 활용 Tenor 계산 109 제 1 절 Schwarzschild Metric.......................... 109

차례 vii

제 1 장 소개 제 1 절 우리우주 지구는우리인간에비해서매우커서구형임을알아내는시간도많이걸렸습니다. 여러측정에의하면반경은약 6,400 km = 6.4 10 6 m로알려져있습니다. 이는양성자의크기인 10 15 m에비해서 10 21 배나큰셈입니다. 질량또한약 6 10 24 kg으로알려졌습니다. 우리지구가돌고있는태양은지구로부터약 1.5 10 11 m 떨어져있습니다 ( 이거리는천문학을하는사람들이 astronomical unit으로 1 AU 으로정의해놓은거리가됩니다 ). 따라서태양에서의빛이지구에까지도달하는데걸리는시간은 1.5 10 11 m/(3 10 8 m/s) 으로약 500 초또는 8분가량걸리는셈입니다. 태양의질량은 2 10 30 kg, 반경은 7 10 8 m로알려져있습니다. 이러한태양을중심으로지구를포함한행성들이타원궤도를돌고있습니다. 전체태양계의크기는약 2 10 16 m 로알려져있습니다. 이렇게큰태양계는우리은하에속해있습니다. 우리은하는태양과같은별들이약 10 11 개정도모여있는은하로서중심에덩어리가있고납작한파전모양을가지고있습니다. 전제지름은자그마치 10 21 m로관측되고있고태양계는우리은하의중심으로부터약 2.7 10 20 m 떨어져있습니다. 이러한은하계는서로모여서소위 local group 을이루고은하들간의평균거리는대략 3 10 22 m 정도로관측됩니다. 좀더나아가우주를 10 24 m ( 또는 100 Mpc 정도의크기 ) 로보면 1 소위말하는 large-scale 구조들이나타나게됩니다. 어떤지점에서는은하들이덩어리를이루고있는경우도있지만결국에는우주는이러한크기에서보면균일하면서도등방적인것으로관측됩니다. 우리가소위우주론이라고할때는이렇게큰구조가어떻게만들어졌는가, 즉어떠한물리학적내용들이이를만들었는가를이야기합니다. 이보다더작은규모에서일어나는초신청폭발등은모두천문학또는천체물리학의범위로보면되겠습니다. 즉우주론은우리우주는균일하고등방적이고따라서어느한점이선별적으로특수하지않고모두동등하다는원칙으로부터출발합니다. 이를 cosmological principle 이라고도부릅니다. 1 여기서 pc 은밑변이 1 AU (Astronomical Unit: 1.5 10 11 m) 이고꼭지점의각도가 1 인직각삼각 형의높이에해당되는길이로 3.26 light year 또는 3 10 16 m 의길이에해당됩니다. 즉, 1pc = = 1.5 1011 m 1 60 60 180 π 3 10 16 m. 1 1 AU 1 in radian

2 제 1 장소개 제 2 절 플랑크길이및플랑크단위 (Planck Length and Units) 물리학을공부하며수식을전개하는과정에서가장신경써야할내용중하나는단위입니다. 일반물리학에서배운것처럼단위는정확하게나타내야하고특히표준단위 (SI unit) 을쓰는것이원칙이라고배웠을것입니다. 하지만전자기학, 양자역학을넘어서양자장론또는특수상대성이론을배우게되면빛의속력 c, 플랑크상수를 2π 로나눈값 (reduced Planck constant) ħ 등을단위없이 1 로놓고수식을전개하는경우를보았을지도모르겠습니다. 이러한방법은수식계산에는매우편하지만나중에결과의물리적내용을파악할경우에익숙하지않으면많은혼란을일으키는것또한사실입니다. 그래서저는배우는학생입장이라면별로권장하고싶지않지만거의모든연구논문과교과서들이이러한방식을택하고있기때문에이야기를안할수가없습니다. 이번장에서는우주론또는일반상대론에서사용하는플랑크단위에대해서이야기해보겠습니다. 우선플랑크길이에대하여설명합니다. 이제어떠한양자역학적대상이있어서불확정성원리를적용해야한다고가정합니다. 즉에너지의불확정도 ( E) 와시간의불확정도 ( t) 의곱은 E t ħ 2 (1.1) 인상황으로부터출발해봅니다. 우리가다루는대상이공간적길이가 L 인곳에서 빛의속도로움직인다면시간의불확정도는 t = L/c 로쓸수있고또한에너지의 불확정도는대상의정지질량의크기와같다면위의수식은 m ħ cl (1.2) 로근사할수있습니다 (2 는생략 ). 이제이대상의반경이 R 이라고가정하고정지질 량에너지와이대상스스로의중력퍼텐셜에너지가같다라는수식을써보겠습니다. 반경이 R 이고질량이 m 인구자체의중력퍼텐셜에너지는 (3/5)Gm 2 /R 이므로 2 mc 2 = Gm2 R (1.4) 으로근사할수있습니다 ( 마찬가지로 3/5 생략 ). 이제처음에소개했던길이 L 이 2 반경이 R, 질량이 m = (4/3)πR 3 ρ (ρ 는질량밀도 ) 인구의자체중력퍼텐셜에너지 U 는 R ( 4 3 U = G πρr3 )(4πr 2 ρ dr) = 16 0 r 15 π2 Gρ 2 R 5 = 3 5 G m2 R (1.3) 이됩니다.

제 2 절플랑크길이및플랑크단위 (PLANCK LENGTH AND UNITS) 3 반경 R 과같게된다면 (L = R l P ) m 을소거시킬수있어서 ħ l P c = c2 l P G (1.5) 가되어 l P = ħg c 3 (1.6) 으로유도할수있습니다. 이플랑크길이 l P 의물리적의미는무었일까요? 위의 몇가지가정에서알수있듯이양자역학적에너지가중력에너지와그크기가비슷 해지는물리학적상황에서의길이에대한스케일이라고이해하면될것입니다. 그 러면그길이는우리가아는미터단위로얼마나되겠습니까? 매우작은단위가나 올것으로예상하고다음과같이계산해보겠습니다. 표준단위를사용해도되지만 다음과같이입자물리학에서많이다루는단위를쓰면 (ħc = 200 MeV fm, G = 6.7 10 39 ħc (GeV/c 2 ) 2 ) ħg l P = c 3 ħ 6.7 10 39 ħc (GeV/c 2 ) 2 c 3 = 67 10 20 0.2 10 15 m 10 35 m (1.7) 로계산됩니다. 아마여러분이지금까지접해본길이중에서가장작은길이가될것입니다. 우리가이야기하는플랑크단위는 ħ = G = 1/(4πϵ 0 ) = k B = 1 로나타내는단위를말합니다. 많은연구논문및교과서에서이러한단위를사용하고있고우리도앞으로전개될논의에서플랑크단위를일부사용하겠습니다. 다만여러분들의이해를돕기위해사용은최소화하도록노력하겠습니다.

4 제 1 장소개

제 2 장 뉴튼중력및특수상대론 제 1 절 중력 (Gravity) 우리는전자기학의 Maxwell 방정식으로부터아래의두수식은 E = 1 4πϵ 0 q r 2 ˆr E = ρ q ϵ 0 (2.1) 이고, 그수학적구조가동등하다고알고있습니다. 단여기서 E 는전기장, q 는전 기전하, r 은전하의위치벡터, ˆr 는단위벡터, ϵ 0 는자유공간유전율, ρ q 는전기전하 밀도를나타냅니다. Coulomb 힘과만유인력은수학적으로동등하기때문에중력에 서도같은이야기를할수있어서, 즉, E g 를중력장이라고하면 E g = G m r 2 ˆr E g = 4πGρ (2.2) 이성립합니다. 여기서 G 는만유인력상수, ρ 는질량밀도입니다. 또한위수식에서 음수는중력의경우에는항상끌어당기는힘만존재함을나타냅니다. 또한전기장과 전기퍼센셜의관계로부터중력퍼텐셜을 ϕ 라할때 E g = ϕ 이므로 2 ϕ = 4πGρ (2.3) 으로표현됩니다. 위의수식은 Poisson 방정식, 알려져있고명백하게시간미분항이없어서 Lorentz-invariant 하지않음을알수있습니다. 또한중력의전파는순간적이라는것이수식에내포되어있습니다. 전자기학이특수상대성이론과문제없다는것을알고있기때문에 1 중력이특수상대성이론을포함하려면 Newton 의중력법칙은수정되어야한다는것을쉽게알수있겠습니다. 질량이 m I 인물체에힘 F 를주면 Newton의제2법칙에의해물체는가속도 a 를얻게되고 1 물론 2 ϕ q = ρ/ϵ 0 만보면같은문제가있으나, 전자기학의경우 Maxwell 방정식 4 개전체를보면 Lorentz 변환에대하여 invariant 하다는의미임. 5

6 제2장 뉴튼 중력 및 특수 상대론 F = mi a (2.4) 와 같은 수식이 성립합니다. 여기에서의 질량 mi 는 관성질량이라 부르고 외부 힘에 대하여 물체가 가속 받는 정도를 조절하는 상수로 생각할 수 있습니다. 즉, 관성질량 이 커지면 커질수록 동일한 힘을 주어도 가속이 작게 되고, 반대로 가벼우면 가속이 더 쉽게 됩니다. 또한 수식 (2.4) 이 사실상 관성질량을 정의하는 수식이라고 생각해 도 무방하겠습니다. 그런데 이 물체가 지구 중력장 안에 있어서 (중력상수 :g) 중력을 받을 경우에는 F = mg g (2.5) 이 성립합니다. 이 경우 mg 는 중력에 관계되는 중력질량으로 잘 생각해 보면 위의 관성질량과 꼭 같을 필요는 없고 따라서 mi = mg 라는 관계는 Newton 이론 범위에 서는 우연의 일치로 생각할 수 있습니다. 역사적으로 이에 대한 많은 실험이 있어 왔 고 현재에는 mi /mg = 1 이란 등가원리가 < 10 12 의 정확도로 알려져 있습니다 [1]. 제2절 등가원리 (Principle of Equivalence) 지구 표면에서 일어나는 물리적 현상과 지구에서 1 g 로 가속하는 로케트 내부에서의 물리 현상은 구별할 수 없고 이를 등가원리라고 합니다. 이 등가원리를 좀더 이해하 기 위하여 예를 한가지 들어 보겠습니다. 그림 (2.1) 과 같이 지구 중력장에서 자유낙 하를 하고 있는 실험실에서 빛이 직진하는 경우와 이를 지표면에서 보고 있는 관찰자 가 있는 경우를 생각해 보겠습니다. 실험실 내부는 국소적으로 관성 기준틀 (locally inertial frame) 이고 등가원리에 의해 중력은 사라지게됩니다. 따라서 빛은 직선 운동 을 하여 실험실 중심에서 출발했다면 실험실의 반대쪽 중심에 도착합니다. 이 사실은 지구에서 관측하는 사람에게 동일하게 관측되어야 하고 따라서 지구에서 관측하는 사 람에게는 빛이 아래쪽으로 휘어져 진행하는 것으로 관측됩니다. 빛의 속력을 c 라고 할 경우 빛이 실험실의 양 끝을 이동하는데 걸리는 시간 t 는 t= ℓ c (2.6) 이고 따라서 지구상에서 보았을 경우 휘어지게 되는 빛의 높이 h 는 h= 1 2 gℓ2 gt = 2 2 2c (2.7)

제2절 7 등가원리 (PRINCIPLE OF EQUIVALENCE) 빛 h g 자유낙하하는 실험실 기준 지구상의 관찰자 기준 그림 2.1: 자유낙하하는 실험실에서 빛을 오른쪽으로 보내는 경우에 대한 설정임. 왼쪽은 실 험실에서 관찰한 상황이고 오른쪽은 지구상에서 관찰한 상황에 해당됩니다. 이 되겠습니다. 즉 등가원리에 의해, 또는 중력에 의해 휘어지게 되는 빛의 높이를 간단하지만 정량적으로 계산한 것입니다. 2.1 Example. 빛이 1 km 를 이동할 경우 휘어지는 높이 h 를 지구와 중성자 별의 경우에 대하여 계산하여 보겠습니다. 2 지구의 경우 중력가속도 ge = 9.8 m/s 를 이용하면 높이 he 는 2 he = 9.8 m/s 106 m2 2 9 1016 (m/s) 2 = 9.8 10 10 m 0.06 nm 2 9 (2.8) 입니다.2 중성자별의 경우 높이 hn 을 계산하기 위해서 지구의 질량 (ME ) 과 반경 (RE ), 태양의 질량 (MS ) 과 반경 (RS ), 중성자별의 질량 (MN ) 과 반경을 사용해 보겠 습니다. 위의 변수들에 대한 값들은 잘 얄려져 있어서 2 여러분들은 ME 6 1024 kg MS 2 1030 kg MN (2 3)MS RE 6.4 106 m RS 7 108 m RN RS /60, 000 이 효과를 실험실에서 측정할 수 있는 방법을 고안해 낼 수 있겠습니까? (2.9)

8 제 2 장뉴튼중력및특수상대론 입니다. 따라서 g N = GM N R 2 N = G (2 3)M S (6 10 4 ) 2 R 2 S = G (2 3) 3 105 M E (6 10 4 ) 2 10 4 R 2 E = GM E (2 3) 3 36 1013 RE 2 10 4 g E 2 10 11 (2.10) 으로근사할수있어서 h N h E 2 10 11 10 m (2.11) 이됩니다. 즉, 중성자별의경우와같이중력장이높은공간을통과하는빛은 1 km 이동시 10 m 정도휘어진다는의미입니다. 이번에는중력에의하여시간이느려지는효과에대하여생각해보겠습니다. 그림 2.2과같이자유낙하하는실험실을생각하고이번에는실험실천장에서바닥쪽으로빛을이동시킵니다. 시간 t = 0 일때실험실이자유낙하를시작하고동시에빛이천장에서출발한다면실험실에서빛이바닥까지이동하는시간은 t = h c (2.12) 이고그시간동안실험실은자유낙하를하여속력 v v = gt = gh c (2.13) 를얻게됩니다. 실험실에서는중력을느끼지않으므로 ( 등가원리에의해서 ) 진동수 의변화는없지만지구상에있는관찰자는일반물리에서나오는도플러효과를느끼 게되어새로운진동수 ν 1 을보게됩니다. 이는파동의근원이움직이는경우이므로 c ν 1 = ν 0 c v = ν 1 0 1 v c ( ν 0 1 + v ) c (2.14) 이고, 따라서 ( ν 1 ν 0 1 + v ) ( = 1 + gh ) ( c c 2 = ν 0 1 + Φ ) c 2 (2.15) 이됩니다. 즉, 지표면에있는시계보다높은곳에있는시계가 ϕ/c 2 만큼더빨리

제3절 9 특수상대성이론 (SPECIAL RELATIVITY) ν0 h g 그림 2.2: 자유낙하하는 실험실에서 빛을 천장에서 바닥으로 보내는 경우를 나타냅니다. 실 험실에서 보는 진동수는 ν0 이지만 지구상에 있는 관찰자에게는 좀 더 높은 진동수 ν1 을 보게 됩니다. 가는 것으로 보이게 됩니다.3 한가지 강조할 점은 위의 두 예제는 특수상대성이론과 는 아무런 관계가 없고 단지 등가원리만으로 유추한 것이라는 점입니다 (문제 (1.1) 참고). 제3절 특수상대성이론 (Special Relativity) 특수상대성이론에 의하며 서로 다른 두 좌표계가 빛의 속도에 가까울 정도로 상대운 동을 할 경우 좌표 변환은 (x( ) 으로만 상대운동을 한다고 가정) 3 수식 vx γ t 2 c γ(x vt) t = x = y = y z = z (2.16) (2.15) 에 의하여 상대적으로 높은 곳, 즉 중력이 약한 곳일 수록 진동수가 상대적으로 작아지고 진동수가 작으려면 시간이 빨라져야 합니다. 따라서 높은 곳에서 (중력이 약한 곳에서) 시계가 더 빨리 갑 니다. 물론 중력이 전혀 없는 곳에서 시간이 가장 빨리 갈 것입니다 (1/ν0 ).

10 제 2 장뉴튼중력및특수상대론 이고여기서 Lorentz 인자 γ 는 1 γ (2.17) 1 v2 c 2 으로정의됩니다. 여러가지다른선택이있을수있으나우리는 x 0 = ct, x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z 라는정의를입니다. 따라서 Lorentz 좌표변환은 x 0 = γ(x 0 βx 1 ) x 1 = γ(x 1 βx 0 ) x 2 = x 2 x 3 = x 3 (2.18) 이고이때 β = v/c, γ = (1 β 2 ) 1/2 입니다. 식 (2.18) 에있는위첨자숫자는지수가아니라 4차원시공간의성분을나타내고 ( ) 은변환된새로운좌표계를의미합니다. 식 (2.18) 를좀더간결하게표현하면 β=3 x α = Λ α βx β (2.19) 으로나타낼수있고이때행렬 Λ α β 는 β=0 Λ α β = γ γβ 0 0 γβ γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 (2.20) 으로정의됩니다. 여기서인자 α 은행렬 Λ α β 의행, β 는열을나타냅니다. 만일두번나타나는인자들은항상더한다는규칙 (Einstein s summation convention) 을적용하면식 (2.18) 은좀더간결하게 x α = Λ α βx β (2.21)

제 3 절특수상대성이론 (SPECIAL RELATIVITY) 11 표현됩니다. 한가지주의할점은반복되는인자는하나는위에, 나머지하나는아래 에나타나야한다는것입니다. 식 (2.18) 의역변환은 β β 로바꾸어주면되므로 x 0 = γ(x 0 + βx 1 ) x 1 = γ(x 1 + βx 0 ) x 2 = x 2 x 3 = x 3 (2.22) 입니다. 즉, x α = Λ α βx β (2.23) 이고이때 Λ α β 는 Λ α β = γ γβ 0 0 γβ γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 (2.24) 입니다. Lorentz 변환을한번하고다시되돌아오는역변환을하면당연히원래대로와야하기때문에 γ γβ 0 0 γ γβ 0 0 1 0 0 0 γβ γ 0 0 γβ γ 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 = 0 1 0 0 (2.25) 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 이성립해야하고증명도할수있습니다. 위의수식을좀더간결하게표현하기위하여 Kronecker delta를정의하면 (α = β 일경우 δ α β = 1, 그렇지않은경우는 δα β = 0) Λ α γλ γ β = δα β (2.26) 으로쓸수있습니다. 특수상대성이론에서 Lorentz 변환행렬은상수들만으로이루어져있음에주목합니다. 또한임의의 Lorentz 변환에서바뀌지않는양이있고이를 Lorentz scalar 라고부릅

12 제 2 장뉴튼중력및특수상대론 니다. 예를들어 4 차원시공간에서의거리 s 는 (s ) 2 = (x 0 ) 2 + (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 + (x 3 ) 2 = γ 2 (x 0 + βx 1 ) 2 + γ 2 (x 1 + βx 0 ) 2 + (x 2 ) 2 + (x 3 ) 2 = γ 2 (1 β 2 )(x 0 ) 2 + γ 2 (1 β 2 )(x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 + (x 3 ) 2 = (x 0 ) 2 + (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 + (x 3 ) 2 = s 2 (2.27) 으로 Lorentz 변환에대하여불변인 Lorentz scalar 입니다. 위의 4 차원시공간에서의거리에대한정의는 -( 시간 c) 2 +( 공간 ) 2 의형태이지만물론 ( 시간 c) 2 -( 공간 ) 2 으로정의해도 s 2 가 Lorentz 불변이라는사실에는변화가없습니다. 따라서어떻게정의해도상관이없지만여기서는 -( 시간 c) 2 +( 공간 ) 2 의정의를따릅니다. 그이유는우리가핵심적으로다룰우주론에서공간부분에 scale factor가들어오고이를다루는데있어서음수를항상달고다니면매우귀찮기때문입니다. 이제 4차원시공간에서의두사건 (event) 간의거리를생각하면 s 2 = (ct 2 ct 1 ) 2 + (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 (2.28) 이고두사건이미소거리 (infinitesimal distance) 만큼떨어져있다면 ds 2 = c 2 dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 (2.29) 이고위의미소거리도역시 Lorentz scalar 입니다. 좌표계를잘설정하면 dx = dy = dz = 0 을만족시킬수있고이경우 ds 2 = c 2 dτ 2 (2.30) 으로시간성분만남게됩니다. 이때 τ 를고유시간 (proper time) 이라고정의합니다. 수식 (2.30) 은고유시간을정의하는표현이라고생각할수도있고고유시간은관찰하는물체와같이운동하는시계로측정한시간으로도생각할수있습니다. 다시 x 0, x 1 등과같은표현을이용하면 ds 2 = (dx 0 ) 2 + (dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + (dx 3 ) 2 η αβ dx α dx β (2.31)

제 3 절특수상대성이론 (SPECIAL RELATIVITY) 13 이고여기서 η αβ 는 η αβ = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 (2.32) 으로표현됩니다. 여기에서도마찬가지로더해지는인자들 α 와 β 이한번은위쪽, 한번은아래쪽에나타남을기억합니다. 수식 (2.31) 은임의의공간에서두점간의거리에대한일반적인형태의꼴로생각할수있고따라서 η αβ 는 4차원시공간에대한 metric ( 또는 metric tensor: tensor 는다음장에서다룰것임 ) 이라고부릅니다. 예를들어 Euclidean 3차원공간에서의거리 dl 은 dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 (2.33) 이므로 Euclidean 3 차원공간의 metric 은 1 0 0 0 1 0 0 0 1 (2.34) 이다. ds 의정의에의해 3 가지다른경우가생기게되어다음과같이분류됩니다. ds 2 < 0: Timelike 구간으로질량이있는입자가만드는두사건에대한구간 에해당됩니다. ds 2 = 0: Null 구간으로질량이없는광자가만드는두사건에대한구간에 해당됩니다. 이경우 ds 2 = 0 = (c dt) 2 + (dx) 2 c dt = ± dx (2.35) 으로되어그림 2.3에서와같이수직축이 (ct), 수평축이 (x) 인 Minkowski 공간에서기울기가 ±45 인두개의직선으로나타나게됩니다. ds 2 > 0: Spacelike 구간으로서로인과관계가없는 4 (out of causal contact) 두사건을연결해주게됩니다. 4 여기서인과관계가없다는말은두사건이서로영향을주지못한다는이야기입니다. 즉, 빛보다빨리 움직이지못하면두사건은 Minkowski 공간에서절대로만나지못하게되는것입니다.

14 제2장 뉴튼 중력 및 특수 상대론 l N ul N ct ul l Worldline 미래 사건(E) 과거 x 그림 2.3: 수직축이 (ct), 수평축이 (x) 인 Minkowski 공간을 나타낸다. 질량이 유한한 입자 가 Worldline 을 따라 움직이고 매 순간마다 Null 직선 2 개가 정의됩니다. 그 어느 순간에도 Null 직선 밖의 사건과는 인과관계가 있을 수 없습니다. Lorentz 변환에 따라 다음과 같이 변환하는 V α = Λαβ V β (2.36) 모든 벡터 V 는 Lorentz four-vector 로 정의합니다. 여러분들의 수리물리 수업에 서 벡터를 정의할 경우에도 좌표변환 특성을 이용하여 정의했음에 유의하기 바랍니 다. X = (x0, x1, x2, x3 ) 는 정의에 따라 Lorentz four-vector 가 됩니다. 이제 다음과 같이 four-velocity 를 X(τ + δτ ) X(τ ) dx = δτ 0 δτ dτ U = lim (2.37) 으로 정의합니다. X 는 four-vector 이고 τ 는 스칼라이기 때문에 U 도 자동적으로 fourvector 가 됩니다. 특수상대성이론의 시간지연효과에 의하여 dτ = dt/γ 이므로 fourvelocity 는 U=γ du d = γ (ct, x) = γ(c, v) dt dt (2.38) 와 같이 표현됩니다. 미소길이가 ds2 = ηαβ dxα dxβ 로 표현되었으므로 만일 V 가

제 3 절특수상대성이론 (SPECIAL RELATIVITY) 15 four-vector 이면그크기는 V V = V 2 = η αβ V α V β (2.39) 으로나타낼수있습니다. 위의수식은 four-vector 의크기를정의한다고생각할수도 있습니다. Four-velocity 의크기는 η αβ U α U β = (U 0 ) 2 + (U 1 ) 2 + (U 2 ) 2 + (U 3 ) 2 = γ 2 (c 2 v 2 ) = c 2 (2.40) 으로계산되어 U 는 timelike 벡터라는것을알수있습니다. 좀더빠르게계산하려면 Four-velocity 의크기는 Lorentz scalar로서어느좌표계에서나같은양이라는사실을이용하여계산시정지한좌표계를이용합니다. 즉, v = 0, γ = 1 으로부터 U U = c 2 을손쉽게얻을수있습니다.

16 제 2 장뉴튼중력및특수상대론 문제 1.1 지구표면에있는시계와지구표면으로부터 2000 km 만큼높이에있는인공위성의시계를서로맞출려고합니다. 진동수가 1 THz인빛을사용한다면중력에의한시간차이는어떻게될까요? 어디에있는시계가더느리게가겠습니까? 중성자별의경우에는시간차이가어떻게될까요? 1.2 수식 (2.18) 을증명하기바랍니다.

제 3 장 Newtonian 우주론 이번장에서는팽창하는우주와현대우주론에대한이야기를일반상대론없이논의 하겠습니다. 특히역사적으로연구가어떻게진행되었는가보다는기본아이디어를 소개하고이를위하여 Newtonian 역학만을이용합니다. 제 1 절 우주의팽창 일차원공간을생각해보겠습니다. 그림 (3.1) 에서보는바와같이일차원공간에 ( 또는일차원우주 ) 물체들이같은간격으로떨어져있다고가정합니다. 이물체들을우주에있는은하로생각해도무방하겠습니다. 이물체들을나타내기위하여좌표 x = 1, 2, 3,... 를붙여표시하고 x = i 에서 x = j 까지의거리를 x 라고하면 x = a(t) x (3.1) 라할수있습니다. 여기서 a(t) 는 scale factor 라고부르고 x = x j x i 로이해합 니다. 실제 meter 와같이길이의단위를갖는물리량은 x j 이고 a 는단위가없다고 가정합니다. 1 이러한 1 차원우주가시간이지남에따라팽창또는수축한다고하 면이를기술하기위해서 a = a(t) 으로이 scale factor 가시간의함수라고나타내면 될것입니다. 이러한우주가균일 (homogeneous) 하다는의미는물론이러한 1 차원 우주에있는은하, 별, 행성들이골고루분포하고있다는의미가될것입니다. 이제 이 1 차원우주에있는두은하계를생각하여두은하계의거리를 a(t) x = x 라고 표현하고이를시간에대하여한번미분하면 dx dt = ẋ = ȧ x (3.2) 이고당연한이야기지만 x 는시간의함수가아닙니다. ẋ 는두은하계의상대속도 가되고이를 v 라하면 v = dx dt = ȧ x = ȧ a (a x) = ȧ a x (3.3) 1 대부분의교과서또는논문에서이러한방법을택하여 a(t) 가단위가없게되는데일부에서는반대로 x 가단위가없는물리량으로선택하기도합니다. 17

18 제3장 1 0 x=1 2 NEWTONIAN 우주론 3 그림 3.1: 물체들이 같은 간격으로 떨어져 있는 1 차원 우주 공간. 처럼 쓸 수 있어서 임의의 두 은하계의 상대 속도는 거리의 함수이고 비례상수 a /a 는 우주에 있는 임의의 두 은하계 쌍에 대하여 같은 값을 갖는다는 결론을 내릴 수 있습니다. 이 비례상수는 역사적으로 Hubble constant 라고 부릅니다. 물론 이는 시 간의 함수일 가능성이 있기 때문에 잘못된 용어의 선택이고 올바른 선택은 Hubble parameter 가 되어야 합니다. 2 이를 H(t) 로 표현하면 v= a x H(t)x a (3.4) 으로 정리됩니다. 즉, 두 은하계의 상대 속도는 멀어지면 멀어질수록 더 커진다는 의 미가 됩니다. 그러면 당장 특수상대성이론은 어떻게 되는것입니까? 특수상대성이론 에 의하면 빛보다 빨리 가는 물체는 없다고 했는데 어떻게 되겠습니까? 현대 우주론 에 의하면 우주는 팽창하고 충분히 멀리 떨어져 있는 두 은하계의 상대 속도가 c 보다 커질 수 있음을 허용합니다. 다만 두 물체는 서로 절대로 볼 수 없습니다. 왜냐하면 한쪽에서 출발한 광자는 다른 은하계로 절대로 도달할 수 없기 때문에 아직도 특수 상대성이론은 성립하게 되는 것입니다. 이제 이러한 생각을 3 차원으로 확장해 보겠습니다. 우리가 살고 있는 우주는 관 측에 의하면 특별한 방향성이 없는 것처럼 보입니다. 즉, 우리 우주는 등방적 (isotropic) 이면서 균일 (homogeneous) 하고 이에 대한 수학적 표현은 3 차원 공간에 있는 두 은 하계의 거리는 1 차원의 경우와 마찬가지로 p v = H(t) a(t) x2 + y 2 + z 2 = H(t) a(t) r = H(t)r (3.5) 표현할 수 있다는 것입니다. 즉 scale factor a(t) 는 공간의 함수가 아니라는 의미입 니다. 우주가 어떻게 만들어졌고 시간에 따라 어떻게 진화했는지에 대한 학문이 우주 론 (cosmology) 이고 우주론의 핵심 연구는 이 scale factor a(t) 함수의 수학적 표현을 찾는것이라고도 할 수 있겠습니다. 2 현재의 Hubble parameter 값은 Planck 인공위성에 의해 측정된 값 H = 67.8±0.9 km Mpc 1 s 1 0 100 h0 km Mpc 1 s 1 로 [2] 약 1% 의 정확도로 측정되고 있습니다.

제1절 19 우주의 팽창 1.1 Example. Scale factor a(t) 가 각각 1 4 t, t2, ln t 인 경우 임의의 두 지점간 속도를 계산해 보겠습니다. a a a 1 t: 4 t3/2 : 1 x 4 v = (3/2)t x 1 v x t v = a x ln t : (3.6) 처럼 계산되어 a(t) 가 어떤 함수인가에 따라 우주의 크기는 커지더라도 그 팽창 속 도는 달라지게 됩니다. 참고로 말하면 현재 우리 우주는 팽창할 뿐만 아니라 그 팽창 속도가 커지는 가속팽창을 하는 것으로 알려져 있습니다. 다양한 관측 결과에 의하면 거의 모든 은하계들은 관찰자로부터 멀어지고 있습 니다. 이를 정량화하는 방법으로 적색편이 (z) 를 다음과 같이 정의하여 z λobs λem λem (3.7) 방출되었을때 빛과 관측되었을때의 빛의 파장 차이의 정도를 나타냅니다. 근거리에 있는 은하가 속력 v 로 우리로부터 멀어지는 경우, 적색편이는 빛의 속력 c 대비 멀 어지는 속력에 비례하여 z= v c (3.8) 로 나타나게 되고 이 경우 관찰된 적색편이와 관측되는 은하와의 거리의 관계를 그리 면 선형적으로 증가하는 관계를 얻게 됩니다 (비상대론적인 경우에 한함). 즉 우주가 팽창하여 더 멀리 위치한 은하는 더 빨리 멀어지게 된다는 결론에 이르게 됩니다. 이 논의를 거꾸로 하명 우주 초기에는 은하들이 서로 매우 가깝게 위치하고 있어서 고운 고밀도의 상태임을 짐작할 수 있습니다. 우주 초기로 가면 그 밀도와 온도가 매우 놓 아서 우주의 진화는 일종의 폭발 처럼 생각할 수 있고 이 논의가 빅뱅우주론 (Big Bang cosmology) 의 기본적인 아이디어 입니다. 1.1 Doppler 효과 : 비상대론, 특수상대론, Cosmological red-shift 이제 Doppler 효과에 대해서 간단하게 알아봅니다. 논의는 비상대론적인 경우을 먼 저 논의하고 그다음 상대론적 효과를 이야기해 보겠습니다. 비상대론적인 경우 그림 (3.2) 를 생각합니다. 이 경우 파동은 음파로 생각할 수 있습니다. 우선 v 를 음원 또는

20 제 3 장 NEWTONIAN 우주론 u v l v u l 그림 3.2: 관찰자와파동을방출하는선원 ( 그림에서는은하계로표시 ) 이서로상대운동하는경우방출된파동면을나타낸그림. 왼쪽은관찰자가정지한경우은하계에서방출되는두개의연속적인파동면과은하계의위치를나타내었고오른쪽그림에서는관찰자가움직이는경우관찰자가보게되는두개의연속적인파동면을나타내고있습니다. 여기서파동은비상대론적인경우에는음파, 특수상대론적인경우에는빛을생각합니다. 그림에서는은하계가움직이는속력, u 를음파자체의속력, t S 를음원또는은하 계에서의음파의주기, t O 를관찰자가보는음파의주기로표시합니다. 이러한경 우우선그림 (3.2) 의왼쪽경우와같이음원또는은하계가관찰자로부터멀어지는 경우에대하여고려해보겠습니다. 첫번째파면이나온후두번째파면이나올때까 지음원또는은하계는움직이게되고그거리는 l = v t S 로나타낼수있습니다. 이제관찰자가보게되는주기는 l/u 만큼더긴주기를보게되어 t O = t S + l u = t S + v u t S (3.9) 로쓸수있습니다. 이를정리하면 t O t S = ( 1 + v u ) (3.10) 으로정리됩니다. 적색편이 z 는 1 + z λ O λ S = t O t S = ( 1 + v u ) (3.11)

제 1 절우주의팽창 21 이되어 z = v u ( 비상대론적, 음원이동 ) (3.12) 으로정리됩니다. 이제반대로음원은정지하고있고관찰자가멀어지는경우인그 림 (3.2) 의오른쪽경우를생각해봅니다. 이경우에도관찰자가이동하기때문에두 번째파면과만날때까지이동한추가적인거리 l = v t 0 가있고이이동거리만큼 추가적인시간이소요되어 으로정리되어 t O = t S + l u = t S + v u t O (3.13) t O t S = ( 1 v u) 1 (3.14) 으로약간다르게전개됩니다. 적색편이도 z = ( 1 v u ) 1 1 = v/u 1 v/u ( 비상대론적, 관찰자이동 ) (3.15) 으로정리됩니다. 위의두결과는 v/u 가작은경우거의유사한결과를보여주는데 그차이를보면 z 비상대론관찰자이동 z 비상대론음원이동 = (v/u)2 1 v/u (3.16) 으로일종의이차항을가지고있는셈입니다. 특수상대론적인경우 : 이제특수상대론적인경우를고려하겠습니다. 이경우우 선특수상대성이론에서제시하는운동학적효과한가지를먼저이야기해야합니다. 그것은시간지연효과로서움직이는 시계 는정지한시계보다더느리고그느린정 도는아래와같이정의되는 γ 1 1 β 2, β = v c, γ 1 (3.17) γ 인자만큼입니다. 이를바탕으로특수상대론적 Doppler 효과에대하여지금부터 이야기해보겠습니다. 우선은하계가움직이는경우특수상대성이론에의해 t S γ t S 로수정되어야합니다. 따라서 l = vγ t S 이므로 t O = γ t S + l c = t S + v u γ t S (3.18)

22 제 3 장 NEWTONIAN 우주론 혹은 t O t S = γ ( 1 + v c ) = 1 + β 1 β (3.19) 이되어 z = 1 + β 1, ( 상대론적, 은하계이동 ) (3.20) 1 β 으로정리됩니다. 이제은하계는정지해있고관찰자가움직이는경우에는어떻게 될까요? 특수상대론에의하면이경우는관찰자가정지하고은하계가움직이는경 우와동인한결과가나와야한다고이야기합니다. 과연그럴까요? 이제관찰자가움 직이고은하계는정지하여있는경우를생각해보겠습니다. 이경우관찰자가첫번 째와두번때파면을보게되는시간간격은특수상대성이론에따라 ( 우리가보기에 ) t = γ t O 이고그시간동안관찰자가이동했으므로 l = v t 입니다. 따라서 t = t S + l c = t S + v c t (3.21) 혹은 t = ( 1 v c ) 1 t S (3.22) 으로정리됩니다. 즉 t 0 = 1 γ 가되어예측했던바와같이 z = 으로정리됩니다. 따라서 ( 1 v c ) 1 t S = 1 + β 1 β t S (3.23) 1 + β 1, ( 상대론적, 관찰자이동 ) (3.24) 1 β z 상대론관찰자이동 = z 상대론은하계이동 = 0 (3.25)

제 1 절우주의팽창 23 이되는셈입니다. 또한비상대론적인근사를하면 β 1 인경우 z = 가되어비상대론적계산과같게됩니다. 1 + β 1 β 1 β (3.26) Cosmological red-shift: 이제우주가팽창하는경우에대하여일반적인적색 편이를이야기합니다. 우주가팽창함에따라빛의파장도늘어나게되고늘어나는 정도는 scale factor a(t) 에비례합니다. 따라서일반상대론효과까지포함하는적색편 이는오히려간단하게표시되어 1 + z = a(t O) a(t S ) (3.27) 으로표현됩니다. 다만일반상대론에의한구체적은효과는아직논의를하지않은 함수 a(t) 에담겨있는셈입니다. 1.2 Metric 이제우주를이루는시공간를다루기위한최소한의수학에대하여알아보겠습니다. 이는시공간의 metric을정의하는것으로시작됩니다. 일단 1차원에서의논의로다시돌아가서임의의두지점에대한거리의표현식은 ds 2 = a 2 (t) dx 2 g xx dx 2 (3.28) 으로표현할수있는데여기서 ds 를거리의제곱, 그리고 dx 를두미소단위좌표의거리제곱으로표현하여미적분학기호를일단도입합니다. 여기서 g xx = a 2 을공간의 metric이라정의합니다. 물론일반적으로 a = a(t) 이므로 metric은공간뿐아니라시간의함수가될수있습니다. 물론우리가살고있는우주는 1차원공간이아니라 4차원시-공간이므로이보다는좀더복잡해지겠습니다. 우주의팽창또는수측을포함하는 scale factor가포함되는일반적인 metric의수식은 (cdτ) 2 = (ds) 2 = c 2 dt 2 + a 2 (t)(dx 2 + dy 2 + dz 2 ) (3.29) 가되어위에서정의한 metric은 1 0 0 0 g µν 0 a 2 (t) 0 0 0 0 a 2 (t) 0 0 0 0 a 2 (t) (3.30)

24 제3장 NEWTONIAN 우주론 θ θ θ=0 은하 그림 3.3: 원호에 균일하게 분포하는 은하를 가지는 1 차원 우주공간에 대한 그림. 으로 나타낼 수 있습니다. 이렇게 metric 을 기술하는 것은, 즉 scale factor a 가 공 간의 함수가 아닌 시간만의 함수로 기술한다는 것은 이미 설명한 바와 같이 우주가 균일하고 등방적이라는 가정을 하는 것입니다. 참고로 관측에 의하면 우리 우주가 큰 범위 (large scale) 에서는 균일하고 등방적인 것으로 알려져 있습니다. 이제 닫혀 있고 (closed) 경계가 있는 (bounded) 우주의 개념과 균일한 우주라는 개념에 대하여 이야기해 보겠습니다. 만일 우리의 우주가 정육면체와 같은 모양을 하 고 있다고 하면 바로 우주가 균일하다는 가정에 위배되는 것입니다. 왜냐하면 균일성 은 관찰자가 x x + x 만큼 이동한 후 우주를 관찰해도 그 전과 구별할 수 없다는 개념인데 정육면체와 같은 우주는 그 조건을 만족시키지 못하기 때문입니다. 따라서 경계가 있는 우주와 균일한 우주는 서로 상충되는 개념일까요? 다음의 예제를 한번 살펴보겠습니다. 1.2 Example. 그림 (3.3) 과 같이 원을 따라 살고 있는 가상의 생물체를 생 각해 보겠습니다. 원 위의 각 점들은 가상의 은하들이고 이러한 경우 은하의 위치는 각도 θ 로 기술 할 수 있습니다. Scale factor a(t) 를 이용하여 임의의 시간에서 우주의 크기를 원의 반경으로 설정하 면 그 크기는 a(t) 에 비례할 것입니다. 이러한 우주는 은하들이 원를 따라 일정하게 분포하고 있다면 등방적이고 균일하지만 경계가 있는 우주가 됩니다. 이러한 단순한 반경이 r 인 원형 우주의 metric 은 ds2 = a2 (t)r2 dθ2 (3.31) 으로 간단하게 표시할 수 있습니다. 물론 위의 표현은 공간의 metric 이고 시-공간에

제 1 절우주의팽창 25 t a =0 그림 3.4: 원호우주가시간에따라팽창또는수축을하여굽어진시공간기하를만들어 내는그림. 대한 metric 은 (cdτ) 2 = (ds) 2 = c 2 dt 2 a 2 (t)r 2 dθ 2 (3.32) 으로표시됩니다. 이러한우주의진화는전적으로 a(t) 의함수형태에따라전적으로 결정되고, 그림 (3.4) 과같이우주가진화하였다면이우주의시 - 공간은그러한방식 으로휘어져있는것이고이러한경우 Hubble 법칙은 r = a(t)r θ v = ȧ a(t)r θ = H(t)r (3.33) a 로여전히성립하게됩니다. 여기서한가지재미있는질문을해보겠습니다. 이러한 우주에서빅뱅은어디서시작되었을까요? 답은모든곳에서시작되었다는것입니다. 이번예제를들어 a(t) 에대한 boundary 조건을생각해보겠습니다. 우리는현재우 리우주에살고있으며현재의우주특성을잘알고있습니다. 그렇지만우주가어떻 게진화되어왔는지는잘모르고사실그것을연구하는것이우주론이됩니다. 이러 한이유로현재의시간을 t 0 라고표시하고, 현재시간에서의 scale factor 를 a(t 0 ) = 1 으로정합니다. 우리우주는팽창하는것으로알려져있으므로 scale factor 는당연히 a(t) 1 을만족해야할뿐아니라초기우주에는 a(t) 는매우작은값을갖는다는 것도추측할수있겠습니다. 마지막으로한가지설명을해야할것은, 우주가팽창한다는것이우리몸을이루는 분자들간의간격도원칙적으로는넓어진다는것을의미하는것일까요? 우주가팽

26 제3장 NEWTONIAN 우주론 창하려는 힘 은 분자들 간의 전자기력에 비하여 매우 작기 때문에 그러한 일은 일 어나지 않습니다. 우주의 팽창은 우주에 있는 은하와 같은 대단위 구조의 상대적인 위치가 서로 멀어진다는 것을 의미하지만 분자들 간의 미세 거리가 바뀌는 것을 의 미하지는 않습니다. 에너지 보존과 우주의 팽창 또는 수축 1.3 1.3.1 비상대론적인 물질로 이루어진 우주 우리 우주는 진화하면서 내부의 주된 에너지 형태는 바뀌어왔습니다. Big Bang 후 약 50,000 년까지는 빛 에너지가 주된 형태이었고 (radiation dominated), 그 후로부터 90 억년까지는 비상대론적 에너지 또는 물질이 주된 형태이었고 (matter dominated), 그로부터 현재까지는 소위 말하는 암흑에너지 (dark energy) 가 주된 에너지 성분으로 알려져 있습니다. 앞으로 물질로만 이루어진 우주의 팽창에 대하여 이야기를 시작하 여 빛에너지만으로 이루어진 우주의 팽창을 이야기해 보겠습니다. 지구에서 로켓을 발사하여 우주까지 보내려면 로켓의 속도가 임의의 최소값보 다는 커야 한다는 사실은 잘 알려져 있고 이 최소값은 탈출속도로 알려져 있습니다. 이제 이 논의로부터 시작하여 시간이 지남에 따라 우주가 영원히 팽창하는지 아니면 어느 순간 다시 수축을 하여 big crunch 를 하는지를 Newtonian 우주론으로는 어떻 게 생각할 수 있는지 알아보겠습니다. 무거운 질량 M 을 가진 물체가 관찰자가 있는 관성계에서 정지해 있고 다른 가벼운 질량 m 을 가진 입자가 초기속력 v0 (임의의 시 간에서의 속력은 v) 를 가지고 질량 M 인 물체로부터 지름방향으로 (radially) 멀어진 다고 하겠습니다. 이러한 역학계의 총 에너지는 운동에너지와 위치에너지의 합으로 E = = 1 GM m mv 2 2 0 r0 1 GM m mv 2 = constant 2 r (3.34) 입니다. 물론 여기서 G 는 Newton 의 만유인력상수, r0 (r) 는 초기 (임의) 시간에서 두 물체간의 거리가 됩니다. 질량 m 을 가진 물체가 다시 질량 M 을 가진 물체로 돌아 오는진 아니면 영원히 멀어지는지는 초기속력 v0 의 값에 따라 결정되어 E > 0 : v is large enough E = 0 : v is just escape velocity (3.35) E < 0 : v is small enough 와 같이 세가지의 가능성이 있고 E < 0 인 경우에만 질량 m 인 물체는 다시 돌아옵 니다. 이는 여러분들이 일반물리학에서 다 배운 내용입니다. 이제 이 사실을 바탕으로 그림 (3.5) 와 같이 은하들이 공간적으로 균일하게 분포

제 1 절우주의팽창 27 x =0 x 그림 3.5: 팽창하는우주의중심이정지하여있는관성계에서바라본한은하의움직임. 되어있는 3 차원우주가있고이우주가초기에팽창을하는경우를생각해보겠습니 다. 관찰자는 x = 0 인관성계에서정지해있고우주에있는은하들은서로멀어진다 고하겠습니다. 이때멀어지는은하들중하나를골라그은하의위치를 x, 그은하의 질량과속력을각각 m 과 v 라고하면, 이러할경우 Newton 중력이론에의하면이 특별한은하와나머지은하들간의중력은오로지원점으로부터이특별한은하까지의 반경으로이루어진구의내부은하에대한질량 M 만관여하므로 1 2 mv2 GMm = constant (3.36) r 이다시성립합니다. 이은하의질량은상수이므로이수식은다시 v 2 2GM r = constant (3.37) 로쓸수있습니다. 전에이야기했던 Hubble 법칙과지금논의하는우주의밀도 ρ 를 생각하면 r = a(t) r v = ṙ = ȧ(t) r M = ρ(t) 4π 3 a3 ( r) 3 (3.38)

28 제 3 장 NEWTONIAN 우주론 으로정리되어, 식 (3.37) 은 ( r) 2 [ ] ȧ 2 8πG 3 ρ(t)a2 = constant (3.39) 로정리됩니다. 그런데위수식의우변에있는상수는주어진 x 에대하여시간에대 한상수라는의미이므로위수식의우변상수는 x 2 에비례하는상수가되어야합니 다. 즉 x 2 [ ] ȧ 2 8πG 3 ρ(t)a2 = constant x 2 (3.40) 이되어결국 ȧ 2 8πG 3 ρ(t)a2 = constant (3.41) 라는결론에도달합니다. 수식 (3.41) 은 Friedmann 수식이라부르며우변에있는상 수는 t 와 x 에대하여모두상수입니다. 역사적으로위의수식은종종상수를 kc 2 로놓아 와같이표현되기도합니다. 3 ȧ 2 a 2 = 8πG kc2 ρ(t) 3 a 2 (3.42) 지구탈출속도의경우와비교해보면 k > 0 인경 우우주가영원히팽창한다고볼수있습니다. 물론 k < 0, k = 0 인경우도모 두가능합니다 (E 와 k 는서로반대의부호를갖는다는점에유의 ). Friedmann 수 식은미분방정식으로시간에대한함수가 a(t) 와 ρ(t) 가포함되어있기때문에그자 체만으로는해를일반적으로구할수없습니다. Friedmann 수식은에너지보존법칙을 Newtonian 중력이론에적용하여얻었다는것을꼭기억하기바랍니다. 이제 E ( 또는 k) 의부호에따라비상대론적물질로이루어진우주의팽창이어 떻게전개될것인가를 Friedmann 방정식을통하여알아보겠습니다. 이를위하여 constant = 2E, 그리고 ρ(t)/rho i = a(t) 3 을이용하면 ȧ 2 = 2E + 8πG ρ i 3 a (3.43) 으로표현할수있고이로부터논의를시작합니다. 3 여기서단위를잠깐살펴보면 Friedmann 수식의좌변은 s 2 이고우변의첫번째항은 [G][ρ] = (m 3 kg 1 s 2 )(kg m 3 ) = s 2 입니다. 두번째항은 [kc 2 ] = [k] m 2 s 2 이므로 [k] = m 2 이됩니다. 물론우리가 scale factor a 가길이의단위를갖도록선택하였다면 k 는단위가없는양으로해석되었을것입니다.

제 1 절우주의팽창 29 E > 0 (k < 0): 이경우위방정식의우변은항상양수가되어 ȧ > 0 이항상만족됩니다. 따라서 a(t) 는영원히증가하게되어우주는무한히계속팽창하게됩니다. 이를열린우주 (open universe) 라고부릅니다. E < 0 (k > 0): 이경우위방정식의우변의첫번째항은음수입니다. 그런데좌편이 ȧ 2 으로항상양수이기때문에 a 는초기에는증가하더라도어느시점에서는줄어들어서우변전체가음수가되지못하도록해야합니다. 이에따라 a 는어느시점에는줄어들게되어결국우주는소멸하게됩니다. 이러한우주를닫힌우주 (closed universe) 라고부릅니다. E = 0 (k = 0): 이경우는임계치에해당하여무한하게팽창하지도않고줄어들어소멸하지도않는특별한경우를나타냅니다. E = 0 인특별한경우에임계밀도 (critical density) 를계산할수있어서 ρ c = 3H2 8πG (3.44) 가됩니다. 이에대한수치를계산하면 ( 현재의 Hubble expansion rate 와 G 값으로 계산가능 ) 혹은 ρ c = 3 (100 h 0 10 3 1/(3.086 10 22 )) 2 s 2 8π 6.674 10 11 m 3 kg 1 s 2 1.88 h 2 0 10 26 kg m 3 (3.45) ρ c 5.8 protons/m 3 (3.46) 정도로매우작은값이됩니다. 또한이를이용하여 Ω ρ/ρ c 라는단위없는상대 밀도 (density parameter) 를정의합니다. 이정의에따르면 H 2 = (8πG/3)ρ kc 2 /a 2 은 H 2 (1 Ω) = kc2 a 2 (3.47) 으로표현할수있고따라서 Ω = 1 이면 flat 우주, Ω > 1 이면닫힌우주, Ω < 1 이면 열린우주에해당되겠습니다. 참고로현재의관측에의하면 Ω matter(visible+dark matter) 0.30 Ω dark energy 0.70 Ω total 1.00 ± 0.005 (3.48) 정도로측정되어현재의우리우주는 flat 우주로여겨지고있습니다.

30 제 3 장 NEWTONIAN 우주론 이제다른방법으로 Friedmann 수식을유도해보겠습니다. 이를통하여 scale factor와 co-moving coordinate의개념이좀더명확하게이해될것입니다. 다시그림 (3.5) 의상황으로돌아가겠습니다. 초기조건을좀더명확하게하기위하여팽창하는우주의임의의초기시간 (t i ) 에중심으로부터거리 (r i ) 만큼떨어져있는은하를다시고려합니다. 시간이지남에따라우주는팽창하고이에따라거리는 r(r i, t) 로변하게되지만초기에반경이 r i 인구내부에있는은하들의총질량은우주가팽창해도변하지않아서초기의총질량값인 M(r i ) = 4π 3 r3 i ρ i (3.49) 는상수가됩니다 (ρ i 는시간이 t i 일경우의밀도로이는시간에따라변함 ). 임의의 시간에우리가고려하는은하가받게되는중력가속도의크기 g 는 g = r = GM(r i) r 2 (r i, t) (3.50) 로쓸수있게됩니다. 위에서질량대신밀도로표현하면 r = 4πG ri 3ρ i 3 r 2 (3.51) 이고이는물리적거리 r 에대한 2 차미분방정식이되어 2 개의초기조건이주어지면 해를정확하게계산할수있습니다. 이 2 개의초기조건은 r(r i, t i ) = r i ṙ(r i, t i ) = H i r i 이됩니다 (H i 는시간 t i 일경우 Hubble expansion rate). 이제여기서새로운함수 를도입하여 r i 가사라지도록하겠습니다. 임의의함수 u(r i, t) 를 으로정의하면초기조건 2 개와미분방정식은 u(r i, t) r(r i, t) r i (3.52) u(r i, t i ) = 1 u(r i, t i ) = H i ü = 4πG ρ i 3 u 2 (3.53) 으로그어느곳에도 r i 는나타나지않습니다. 즉, 위의미분방정식혹은현재우리가 고려하는우주팽창에대한물리학적기술은초기위치를어디에설정하는것과상관

제 1 절우주의팽창 31 이없다는이야기입니다 ( 당연히 ). 이렇도록정의한새로운함수 u(r i, t) = r(r i, t)/r i 는과연무었일까요? 우리가고려하는은하의물리적위치를임의의초기값 (r i ) 으로나눈값입니다. 바로 a(t) 로생각할수있는것입니다. 그러면자동적으로 r i 는 co-moving coordinate 혹은 comoving distance 가되는것입니다. 즉, r(r i, t) = a(t)r i (3.54) 가되고미분방정식은 ä = 4πG 3 ρ i a 2 (3.55) 으로쓸수있습니다. 이제마지막단계로 ρ i 대신 ρ(t) 를미분방정식에넣어보겠습 니다. 일반적으로밀도는우주가팽창함에따라변하여 ρ(t) = M(r i) 4π 3 r3 = 4π 3 r3 i ρ i 4π 3 a3 r 3 i 의형태를갖습니다. 이를미분방정식에대입하면 = ρ i a 3 (3.56) ä = 4πG ρ(t)a (3.57) 3 의형태를가지게됩니다. 이는위에서유도한 Friedman 식 (3.41) 과연관이있을까 요? 이를위해서 ρ i 가있던미분방정식양변에 ȧ 를곱하면 ȧ { ä + 4πG 3 이되고이는 total derivative 가됩니다. 즉 E 1 2ȧ2 4πGρi 3a ρ i a 2 } = 0 (3.58) 로정의하면 de dt = 0 (3.59) 이만족되는셈입니다. 이제물리적의미를부여하기위하여 E 에 mri 2 을곱하면 (m 은중심으로부터거리 r i 에있던은하의질량 ) E mr 2 i E = 1 2 m(ȧr i) 2 G M(r i)m (ar i ) = 1 2 mr2 GMm r 2 (3.60)

32 제3장 이 되어 4 NEWTONIAN 우주론 역학적 에너지의 합이었던 수식 (3.34) 과 동일하게 됩니다. 이제 비상대론 적 우주인 경우 정리를 하면 지금까지 중요한 수식들은 (nonrelativistic matter dominated universe)!2 8πG a kc2 = ρ 2 a 3 a 4πG ρ(t)a 3 1 ρ(t) 3 a (t) a = 으로 정리됩니다. 이 식들은 서로 독립적인 것들은 아니고 위에서 설명한 것처럼 서 로 관계가 있습니다. 이제 한가지 예를 통하여 ρ(t) 에 대한 가정을 한 후 Friedmann 수식이 우주의 진화를 어떻게 예측하는지 살펴보겠습니다. 1.3 Example. 비상대론적 물질이 대부분인 우주 (nonrelativistic matter dominated universe: 어느 순간에 단위 길이가 1 인 정육면체 공간을 생각하고 이 안에 총 질량이 M 인 물질만이 있다고 가정하겠습니다. 일반적으로 우주공간에는 빛 (radiation) 도 있지만 다른 형태의 에너지는 모두 무시 하고 비상대론적으로 움직이는 질량을 가진 물질만 있다고 가정하겠습니다. 만일 이 정육면체가 팽창한다면 일정 시간후에 정육면체 내부의 총 질량은 당연히 M 으로 변 하지 않습니다. 따라서 ρ(t) = M a3 (3.61) 이 되고 이에 따른 Friedmann 수식은 a 2 8πG M k = 2 a2 3 a3 a (3.62) 이 되겠습니다. 여기서 한가지 더 가정을 하여 수식을 간단하게 만들어 보겠습니다. 즉, k = 0 으로 가정하여 상수항을 없애줍니다. 나중에 이야기하겠지만 현재 관측에 의하면 k = 0 은 O(1)% 수준에서 근사적으로 문제가 없는 가정입니다. 이를 고려하 면 a 2 8πG M = 2 a 3 a3 (3.63) 이 되고 이것이 바로 우리가 풀고자 하는 미분방정식이 됩니다. 제곱항이 있어서 비 4 주목 : 여기서 M (ri ) = (4π/3)(a(ti )ri )3 ρi = (4π/3)(ri )3 ρi

제 1 절우주의팽창 33 선형미분방정식이고따라서정식으로푸는대신적절한해의형태를가지고해를 만들어보겠습니다. 이를위하여 a(t) = αt p 라는형태를가정합니다 (α 와 p 는결정 해야할상수 ). 그러면 ȧ = αpt p 1, ȧ/a = pt 1 이므로 p 2 t 2 = 8πMG 3α 3 t 3p (3.64) 이성럽하고, 따라서우선 p = 2/3 이면양변에서 t 항이같아지게되어이를대입하여 4 = 8πMG 9 3α 3, α = (6πMG) 1/3 a(t) = (6πMG) 1/3 t 2/3 (3.65) 을최종적으로얻게됩니다. Hubble parameter 는어떻게되겠습니까? 이는 a(t) 를 구했기때문에쉽게구할수있어서 H(t) = ȧ a = 2 3t (3.66) 입니다. 따라서현재의 Hubble parameter를측정하고, 이에따라 H(t 0 ) = 2/(3t 0 ) 라는관계식으로부터물질이대부분인우주의현재나이를계산할수있습니다. 위의예제결과를바탕으로물질로이루어진편평한우주의나이에대하여계산을해보겠습니다. 이러한우주에대한 Hubble expansion rate와시간의관계에따라서 t 0 = 2 3 H 1 0 (3.67) 라는관계식을갖습니다. H 0 = 67.8 ± 0.9 km Mpc 1 s 1 으로부터 t 0 = 2 3 67.8 ± 0.9 km Mpc 1 s 1 9.7 10 9 years (3.68) 를얻게됩니다. 5 이는현재우주의나이로알려진값 [3] (13.799±0.038) 10 9 years 보다많이작은값에해당됩니다. 우리의우주는초기에는복사로이루어졌고최근에는암흑에너지가대부분을이루고있기때문에최근값과일치하지않는것입니다. 우주의나이와더불어또한가지중요한개념으로 horizon distance 가있습니다. 이는오늘날우리가볼수있는가장먼대상까지의거리로정의되고이는단지빛의속력이유한하기때문에제한되는것으로이해해야합니다 ( 즉원리적으로는모든빛을다검출할수있다고가정함 ). 영어로는 horizon distance: present proper 5 1 10 10 years 97.8 km Mpc 1 s 1 임을알고있으면편리함.

34 제 3 장 NEWTONIAN 우주론 (physical) distance of the most distant object that can be seen, limited only by speed of light 으로표현됩니다. 만일우주가팽창하지않는다면 horizon distance 는 단지빛의속력과우주의나이의곱으로나타날것입니다. 이제물질로이루어진편 형한우주의경우에대하여 horizon distance l p,horizon (t) 를계산해보겠습니다. 팽창 하는공간에서빛이진행하는속력을 co-moving coordinate x 로표현하면 dx/dt = c/a(t) 이고 horizon distance 는이를적분한다음오늘날의 scale factor 를곱해주면 되어 (a(t) t 2/3 ) t0 c l p,horizon (t 0 ) = a(t 0 ) 0 a(t) dt t0 = t 2/3 c t dt = 3ct 2/3 0 (3.69) 로계산됩니다. 즉팽창하지않는우주의 horizon distance 는 ct 0 이지만물질로이루 어진, 편형한우주가팽창하는경우에는그보다 3 배더커진다는뜻입니다. 이제물질우주의두번째논의로서닫힌우주의경우 (k > 0) 에대한 Friedmann 수식을살펴보겠습니다. 즉, 0 ( ) 2 ȧ = 8πG a 3 ρ kc2 a 2 (3.70) 으로부터출발합니다. 단여기서 ρ(t) = ρ i a 3 (t i )/a 3 (t) 로나타낼수있고이때분자는 시간에따라변하지않는상수임을기억하기바랍니다. 이제이미분방정식을간단 하게하기위하여 ã(t) a(t)/ k 와 t ct 를정의하고 a 2 /(kc 2 ) 을위의식양변에 곱해주면 ( a 2 ȧ kc 2 a ) 2 = 8πG 3 ρa 3 k 3/2 c 2 k a 1 (3.71) 또는 ( dã d t ) 2 = 2α ã 1, α 4πG ρã 3 3 c 2 (3.72) 으로간단해지고이를다시풀어쓰면 d t = dã ã dã = 2α ã 1 2αã ã 2 (3.73)

제 1 절우주의팽창 35 가됩니다. 위의식을적분하면 (ã f a( t f )) 위의수식은 t f 0 d t = t f = ãf 0 ã dã 2αã ã 2 = ãf 0 ã dã α2 (ã α) 2 (3.74) 으로바뀌고다시한번다른변수를정의하여 x ã α 적분표현을바꾸면 t f = ãf α α x + α dx (3.75) α2 x2 가됩니다. 마지막단계로 x = α cos θ 로바꾸면 dx = α sin θ dθ, α 2 x 2 = α 2 sin 2 θ 이므로 t f = θf 0 α(1 cos θ) dθ = α(θ sin θ) (3.76) 가됩니다 ( 마지막단계에서 θ f 대신 θ 로간략하게바꾸었음 ). 또한 ã f = x f + α = α(1 cos θ f ) 에서도 f 를없애면 ct = α(θ sin θ) a k = α(1 cos θ) (3.77) 로최종정리됩니다. 위의수식은어떤곡선을의미하는지알수있습니까? 위의수식들은수평축이 ct, 수직축이 a/ k 인 2차원평면에기술되는 cycloid 곡선입니다 ( 즉원이수평선을굴러갈때원의한지점이만들어내는곡선 ). 즉물질로이루어진닫힌우주의경우에는 scale factor가 (1 cos θ) 의형태를가지게되어처음과마지막시간에서 0이되고 θ = π 일경우가장큰값을갖게됩니다. 이경우 α 는특별한물리적의미를갖게되는데이러한우주의전체나이는 ct total = 2πα 이고또한 a max / k = 2α 의관계를만족합니다. 이제이러한우주의나이를측정가능변수인 H, Ω 로표현해보겠습니다. 즉 ρ c = 3H2 8πG, ρ = Ωρ c ρ = 3H2 Ω 8πG, 8πG 3 ρ = H2 Ω (3.78) 이므로 Friedmann 방정식은 ( ) 2 ȧ = 8πG a 3 ρ kc2 a 2 H2 = H 2 Ω c2 ã 2 (3.79)

36 제 3 장 NEWTONIAN 우주론 혹은 ã 2 = c 2 H 2 (Ω 1), ã = c H Ω 1 (Ω > 1) (3.80) 이고 α 는 α = 4πG ρã 3 3 c 2 = c 2 H 이얻어지게됩니다. 따라서 ã = α(1 cos θ) 는 이는 Ω (3.81) (Ω 1) 3/2 c H Ω 1 = c (1 cos θ) (3.82) 2 H (Ω 1) 3/2 cos θ = 2 Ω Ω, Ω = 2 1 + cos θ, sin θ = ± 1 cos θ = ± 2 Ω 1 Ω (3.83) 가성럽합니다. 즉, ct = α(θ sin θ) = Ω 2 H (Ω 1) 3/2 { ( arcsin } ± 2 Ω 1 ) 2 Ω 1 Ω Ω (3.84) 의형태로정리됩니다. 상당히복잡한형태로표현되었습니다. 이제마지막으로열려진우주 (open universe) 의경우에는어떻게되는지살펴보겠습니다. 열린우주는 k < 0 이기때문에지금까지의논의를그대로따를수는없지만산수는비슷합니다. 즉 κ 와 ã 를 ã a, κ k > 0 (3.85) κ 으로정의한다면수학적인과정은매우유사하지만 hyper 삼각함수로바뀌게되어 ct = α(sinh θ θ) a κ = α(cosh θ 1) (3.86)

제1절 37 우주의 팽창 빛 빛 수축/팽창 a(t1 ) a(t2 ) 그림 3.6: 서로 다른 시간 t1 과 t2 사이에서 크기가 각각 a(t1 ) 과 a(t2 ) 인 우주에 있는 빛의 파장 (점선) 이 변화하는 정도를 나타내는 그림. 로 바뀌게 됩니다. 이에 따라 물질로 이루어진 우주의 나이는 다음과 같이 H t = " Ω 2(1 Ω)3/2 2 1 Ω Ω 2 1 Ω Ω 1 sinh!# if Ω < 1 2/3 if Ω = 1 " Ω 2(1 Ω)3/2 sin 1 ±! 2 Ω 1 Ω 2 Ω 1 Ω (3.87) # if Ω > 1 정리됩니다. 1.3.2 복사 (radiation) 만으로 이루어진 우주 위의 예제에서는 물질이 대부분인 우주의 진화가 어떻게 진행되는지 살펴보았습니다. 이제 빛 (또는 광자) 이 대부분인 우주 (보통 radiation dominated universe 라 부름) 는 어떻게 되는지 살펴보겠습니다. 광자는 질량은 없지만 유한한 에너지 (Eγ ) 를 갖고 있 어서 Eγ = hν = h c λ (3.88) 로 나타낼 수 있습니다. 여기서 h 는 Planck 상수, ν 는 빛의 진동수, c 는 물론 빛의 속력, λ 는 빛의 파장이 됩니다. 우주가 팽창, 또는 수축함에 따라 빛의 파장은 길어 지거나 줄어들게 되고 그에 대한 근본적인 이유는 그림 (3.6) 로 부터 이해할 수 있습 니다. 즉, 우주가 팽창하면 파장도 a(t) 에 비례하여 길어지고 따라서 에너지는 1/a 로 줄어들게 됩니다. 이에따라 단위길이가 1 인 빛이 대부분인 우주 내부 에너지밀도는 ργ Eγ α = 4 3 a a (3.89) 으로 정리됩니다. α 는 비례상수로서 별 중요성은 없고 에너지밀도가 1/a4 에 비례한 다는 것이 중요합니다. 물질이 대부분인 우주에서는 질량밀도 (= 에너지밀도) 가 1/a3 에 비례하였음을 상기하기 바랍니다. 이제 Friedmann 수식을 사용하여 빛이 대부분 인 우주의 진화 과정은 어떻게 될 것인지 알아보겠습니다. 즉, Friedmann 수식에 위

38 제 3 장 NEWTONIAN 우주론 의에너지밀도항을넣고마찬가지로 a(t) = αt p 를가정하면 ( ) 2 ( ) 2 ȧ p = = 8πG 1 a t 3 α 4 t 4p (3.90) 가되고 ( 여기서에너지밀도에따라오는비례상수는 α 에흡수하였다고생각함 ), 따 라서 p = 1/2 이만족되어야합니다. 즉, a(t) t 1/2 (3.91) 으로빛이대부분인우주도역시팽창합니다. 이에따른 Hubble expansion rate 는 H(t) = ȧ/a(t) = 1 2t (3.92) 이고 horizon distance 는 t d l p,horizon (t) = a(t) 0 a(t ) dt = 2ct (3.93) 로정리됩니다 ( 물질이대부분인우주의 horizon distance 는 3ct 이었음 ). 위에서구 한 Hubble expansion rate 를 Friedmann 방정식에다시집어넣으면 (k = 0 인경우 ) 1 4t 2 = 8πG 3 ρ or ρ = 3 32πGt 2 (3.94) 으로정리됩니다. 이는 ρ 1/a 4 (t), a(t) t 와도일치합니다. 현대우주론에의하면우주초기에는빛이대부분인우주이었을것으로이해하고 있으며이시기의 scale factor 는 a(t) t 1/2 인셈입니다. 또한가지빛의단위체적당 갯수밀도 (n γ ) 를생각해보면우주초기에는별의형성훨씬전이라빛이흡수되는 일이없으므로빛알의갯수는따라서보존되어 n γ 1 a 3 (t) (3.95) 임을알수있습니다. 오늘날빛의에너지밀도 u γ 는우주배경복사로부터알수있 습니다. 우주배경복사의온도는매우잘알려져있어서 [4] 2.72548 ± 0.00057 K 입니 다. 양자역학으로부터배운에너지밀도에대한 Stefan-Boltzmann 법칙으로부터 u γ = π2 (kt ) 4 15 (ħc) 3 αt 4, α = 7.5662 10 16 J m 3 K 4 (3.96)

제 1 절우주의팽창 39 이고이를통하여계산하면 u γ = 7.56 10 16 J m 3 K 4 (2.725 K) 4 4.17 10 14 J m 3 (3.97) 이고이에따른빛의질량밀도는 ρ γ = u γ c 2 4.6 10 31 kg m 3 (3.98) 입니다. 나중에논의하겠지만복사만으로이루어진우주는중성미자까지고려해서위 의수식들은 (r γ + ν) u r = 7.01 10 14 J m 3 ρ r = 7.80 10 31 kg m 3 (3.99) 으로약 2 배가안되게증가합니다. 따라서 critical mass density ρ c 와의비율은 Ω r,0 ρ r,0 = 7.80 10 31 kg m 3 ρ c,0 1.88 h 2 0 10 26 kg m 3 = 4.15 10 5 h 2 0 (3.100) 입니다. 여기서 h 0 = 0.72 라면 Ω r,0 = 8.0 10 5 로서매우작은값을갖게됩니다. 즉오늘날의우주에서복사가차지하는질량밀도는매우미미하다고할수있겠습니 다. 그렇지만일반적으로 ρ r /ρ m 1/a(t) (3.101) 이므로우주초기로거슬러올라가면위의값이매우커지게된다는의미이고따라서 우주가어느시기에있었는가에따라대부분의에너지밀도가복사또는비상대론적 인물질에서오는것인지결정된다고할수있겠습니다. 이에대한정량적인기술을 위하여복사와물질의질량밀도비를수식으로표현하면 [ ] ρ r (t) ρ m (t) = a(t 0 ) ρ r(t 0 ) 1 ρ m (t 0 ) a(t) (3.102) 와같습니다. 현재 Ω m 0.33 이라고하면현재 ρ r (t 0 )/ρ m (t 0 ) = Ω r,0 /Ω m,0 = 8.0 10 5 /0.33 2.4 10 4 입니다. 따라서위의수식은 ρ r (t) ρ m (t) = a(t 0) a(t) 2.4 10 4 (3.103) 라는관계를갖게됩니다. 여기서도마찬가지로초기우주로갈수록복사에의한질 량밀도가상대적으로무한히커지는것으로기술됩니다. 만을복사와물질의질량밀

40 제 3 장 NEWTONIAN 우주론 도가같게되는시기를 t = t eq 라고하면비상대론적물질로이루어진우주에서의 관계식 a(t) t 2/3 으로부터 ( ) 2/3 ρ r (t eq ) ρ m (t eq ) = 1 = a(t 0) a(t eq ) 2.4 t 0 10 4 = 2.4 10 4 (3.104) t eq 즉 ( t eq t 0 ) 2/3 = 2.4 10 4 (3.105) 이고 t 0 = 13.7 Gyr라는우주의나이를사용하면 t eq = 3.7 10 6 t 0 55, 000 년가량됩니다. 주의할점은이숫자는복사만으로이루어진우주와물질만으로이루어진우주로단순화시킨후의계산결과라는점과위의수치는 Hubble expansion rate에어떤값을대입하는가에따라조금씩바뀌게되는값이라는점입니다. 이제복사만으로이루어진우주에대한 Friedmann 방정식이어떻게바뀌는지에대하여논의해보겠습니다. 위에서논의한것처럼 ρ r 1/a 4 (t) 임을알수있습니다. 또한비상대론적인경우와는달리복사의경우에는복사압이존재하고이복사압이상황을비상대론적인경우와다르게합니다. 일반적으로복사압이존재하는기체가 ( 여기서는빛알로이루어진우주 ) 팽창함에따라에너지변화 (du) 와압력 (P ), 체적 (V ) 과의관계는 du = P dv (3.106) 입니다. 이를 scale factor 와에너지밀도 (ρc 2 ) 의관계로나타내면 으로표현되고이를풀어정리하면 d a dt( 3 ρc 2) = P d ( a 3 ) (3.107) dt ρ = 3ȧ (ρ + P ) a c 2 (3.108) 으로정리됩니다. 이는비상대론적물질만으로이루어진우주에서의밀도와 scale factor와의관계식 ρ = 3(ȧ/a)ρ 에비하여추가적인항이하나더들어온셈입니다 ( 이는 ρ 1/a 3 (t) 으로부터유도가능 ). 따라서비상대론적물질로이루어진우주를설명하는 Friedmann 방정식은반드시수정되어야함을알수있습니다. 이를알아보면

제 1 절우주의팽창 41 Friedman 방정식에서 ( ) 2 ȧ = 8πG a 3 ρ kc2 a 2 (3.109) 양변에 a 2 을곱해주고시간에대하여미분하면 2ȧä = 8πG 3 ρa 2 + 8πG ρ 2aȧ (3.110) 3 이고여기에위에서구한밀도의시간미분관계식 (3.108) 을대입하면 ȧä = 4πG (ρ 3 ( 3)ȧ + P ) a c 2 a 2 + 8πG ρ aȧ (3.111) 3 이고이를정리하면 d 2 a dt 2 = 4πG 3 ( ρ + 3P c 2 ) a (3.112) 입니다. 즉복사만으로이루어진우주를기술하는수식들은 (radiation dominated universe) ( ) 2 ȧ = 8πG a 3 ρ kc2 a 2 ( ) ä = 4πG ρ + 3P 3 c 2 a ρ = 3ȧ a (ρ + P c 2 ) 으로정리됩니다. 한편아래에서유도하겠지만복사의경우압력과질량밀도는 P = 1 3 ρc2 (3.113) 의관계를갖습니다. 지금까지두가지의가상적인우주론, 즉빛이대부분인우주와물질이대부분인우주가시간이지남에따라어떻게진화하는가를살펴보았습니다. 나중에다시정확하게다루겠지만지금미리말하자면우주생성초기는빛이충분한에너지를갖고있어서빛이대부분인우주에해당되고그이후우주가팽창함에따라빛이충분히식어서물질이대부분인우주로바뀌게됩니다. 초기우주가물론빛만으로되어있다는것은어디까지나가정이지만우주진화의정성적인이해를하기위해서는별로

42 제 3 장 NEWTONIAN 우주론 나쁘지않은가정입니다. 1.4 우주의온도에대한이야기이제우주의현재온도가과거에는어떠했을가에대하여정성적으로알아봅니다. 우선우리의태양표면의온도는약 3,000 K 정도로알려져있고태양은빛을내고있지만불투명한별입니다. 불투명한이유는태양내부는전하를띠고있는플라즈마상태이고그내부의빛알은전하입자들과항상충돌합니다. 이는마치우주초기의빛알과전자, 양성자같은입자들과충돌하여우주전체가빛에대하여붙투명한시기와매우유사합니다. 이를바탕으로그시기에대하여알아봅니다. 현재우주배경복사의온도는약 3 K 로알려져있고우리의논의에따르면우주는최근까지 a(t) t 2/3 으로팽창했습니다. 빛의에너지는 1/a(t) 에비례하고온도또한 1/a(t) 에비례하므로현재우주 (t 0 10 10 years) 의 scale factor와수소원자등이완전히이온화되어우주가빛에대하여완전히불투명했던시간 (t ion ) 의 scale factor에대한비율은 a(t ion ) a(t 0 ) 3, 000 K 3 K = t2/3 0 t 2/3 ion (3.114) 이되어 t 0 t ion = (1, 000) 3/2 = (1, 000) 1+1/2 1, 000 30 = 30, 000 (3.115) 즉, t ion = 10 10 /(3 10 4 ) years = 3 10 5 years 가됩니다. 즉, 우주가만들어진후약 300,000 년후에는우주의물질은완전히이온화되어빛에대하여불투명한상태가 되는것입니다. 이제지구의한관찰자를생각하고이관찰자는우주에서방출되는 빛을관찰합니다. 관찰자는우주의바깥부분을보면볼수록보다전과거의빛을보 게되고어느시점이되면우주의물질이완전히이온화되어빛에대하여불투명한 과거에이르를것입니다. 이때의표면을 surface of last scattering 이라부르며그보 다전의과거는플라즈마상태의우주가되어및은지구의관찰자게에오지못하게 됩니다. 이를개념적으로그림 (3.7) 에서설명합니다. 따라서이보다더과거의우주 에대하여관측하려면전자기파를이용하지않는방법밖에는없습니다. 이론적으로는 중성미자를활용하는방법이있습니다. 중성미자는플라즈마와는상호작용을거의하 지않기때문에 surface of last scattering 이전의우주에대한정보를갖고있습니다. 물론약상호작용이지배하는더높은에너지즉, 좀더과거로거슬러올라가면중 성미자도불투명하게되는시점이존재하여중성미자의 surface of last scattering 도 생각할수있겠습니다. 다만현재의검출기기술로는중성미자망원경을만들어서 우주중성미자배경복사를실험적으로관측하기는아직은좀어렵습니다. 한가지짚고넘어갈사항은그렇다면 3,000 K 의온도에해당되는빛이우리에게

제1절 43 우주의 팽창 관찰자 surface of last scattering 그림 3.7: 지구의 관찰자가 surface of last scattering 을 보고 있는 그림. 오는데 왜 밤하늘은 밣지 않고 검은 것일까요? 이는 surface of last scattering 표면이 우리로부터 거의 빛에 가까운 속력으로 벌어지고 있어서 적색편이가 생겨 3 K 온도의 우주배경복사를 보기 때문입니다.6 그리고 인간의 눈은 3 K 의 빛알인 마이크로파를 볼 수 없기 때문에 별, 은하계에서 나오는 가시광선들만 보게 되어 밤하늘은 어두운 것입니다. 1.5 암흑물질 (Dark Matter) 이제 오로지 중력에 의한 효과 때문에 있어야 한다고 여겨지는 암흑물질 에 대하여 생각해 보겠습니다. 일단 태양계와 같은 시스템을 생각합니다. 중앙에 질량이 M 인 별이 있고 그 주위를 질량이 m 인 행성이 중앙을 중심으로 반경이 r 인 원운동을 한 다고 가정합니다. 뉴튼의 법칙 F = ma 를 적용하면 GM m v2 =m 2 r r (3.116) 이 되어 r v= 6이 GM r 논의는 modern version of Olber s paradox 라고 생각할 수도 있습니다. (3.117)

44 제 3 장 NEWTONIAN 우주론 그림 3.8: 암흑에너지 ( 검은색원 ) 로채워진일차원우주가시간이지남에따라팽창하는모 습. 우주가팽창함에따라암흑에너지는계속 생성 되어그에너지밀도는일정하게됨을나 타내는개념도. 으로정리되어행성의속력은거리의제곱근에반비례한다는결론을얻습니다. 이에대한논의를은하계에적용해보겠습니다. 은하계는별, 행성, 별의찌커기, 가스등이중력으로한데모여있는덩어리로서작게는 10 3, 크게는 10 14 개의별들이모여있습니다. 대부분의은하들은스스로회전하는데그내부의별의적색변이를관찰함으로서은하내부별들의회전속력을측정합니다. 만일위의 태양계 모형을회전하는은하에적용한다면하나의별이보는중심질량은공간적으로분포하게되어 v = GM(r) r (3.118) 으로생각할수있습니다. 그런데천문학자들이별들의회전속력을관찰한결과놀랍게도별의회전반경과는관계없이일정하다는사실을밝혀내었습니다. 위의식에서왼쪽항이일정하려면 M(r) r 또는밀도가 ρ(r) 1/r 2 인물질이은하계를감싸고있어야합니다. 육안으로는보이지않는이물질을암흑물질이라고부릅니다. 그리고여러가지측정에의하면우주전체의암흑물질은보통우리가알고있는물질의약 10배나많이있다고합니다. 믿기어려운사실로생각됩니다.

제 1 절우주의팽창 45 1.6 암흑에너지 (Dark Energy) 지금까지이야기한복사 (radiation), 물질 (matter) 7 이외에또다른물질을형태가있는것으로관측되고있습니다. 이를암흑에너지또는진공에너지라고도부르는데이에대한이야기를여기서잠깐하겠습지다. 복사에너지만으로이루어진우주에서는에너지밀도와 scale factor와의관계는 ρ a 4 이고, 물질에너지만으로이루어진경우는 ρ a 3 이만족된다는것을이야기했습니다. 그러면암흑에너지또는진공에너지는무었일까요? 왜이런에너지형태를도입하는지에대하여간단하게설명하겠습니다. 최근관측에의하면우주는가속팽창을합니다. 이를설명하기위해서는우리우주가초기의복사, 또는물질이에너지의대부분이라는것으로설명을할수가없습니다. 즉, 우주가팽창함에도불구하고일정한에너지밀도의 에너지형태 가존재해서우주의가속팽창을유지시킨다는이야기입니다. 이러한논의를바탕으로암흑에너지의에너지밀도는 ρ 상수로서 a 와는아무런관계가없다고설정합니다. 이러한가정은어떤의미일까요? 그림 (3.8) 를보면서설명하겠습니다. 일차원우주가있고이우주초기에는일정한에너지밀도로암흑에너지가분포하고있습니다. 그림에서는 1차원우주를그렸고검은원이암흑에너지를나타냅니다. 1차원우주가팽창함에따라암흑에너지의밀도는일정하고이는어떠한이유에의하여암흑에너지가계속생성되어공간을우주가팽창함에따라채워야한다은의미입니다. 이런이유로진공에너지라고도부릅니다. 이떠한물리적인이유때문에이러한현상이나타나는지는아직알수없으며이암흑에너지의성질에대해서차차알아보기로하겠습니다. 역사적으로보면 Einstein은정적인우주를고집하여본인의방정식에소위우주상수 Λ 를추가합니다. 이상수는앞으로우리가논의할진공에너지밀도 u vac 또는진공질량밀도 ρ vac 와 u vac = ρ vac c 2 = Λc4 8πG (3.119) 의관계를갖습니다. 여기서기본적으로가정하는것은진공에너지밀도와진공질량 밀도모두시간에무관한상수라는것입니다. 따라서 ρ = 3ȧ (ρ + P ) a c 2 (3.120) 에서 ρ = 0 이므로 P vac = ρ vac c 2 = Λc4 8πG (3.121) 이되어음수의압력을의미하게됩니다. 이음수의압력이결국우주의가속팽창 7 이제부터따로구분하지않는한물질이라고표현할때에는보통의물질와암흑물질을합한물리량으로 생각합니다.

46 제 3 장 NEWTONIAN 우주론 을만들어내게됩니다. 이러한성질을가진진공에너지밀도까지포함한 Friedmann 방정식을기술하기위하여편의상우주상수와관계없는모든질량밀도와압력을 ρ n, P n 으로합니다. 그러면 ( d 2 a dt 2 = 4πG ρ n + 3P n 3 c 2 = 4πG 3 ( ρ n + 3P n c 2 + ρ vac + 3P vac 2ρ vac ) c 2 ) a a (3.122) 이만족됩니다. 일단여기서우변의진공질량밀도항이충분히크면우변전체는양 수가되어가속팽창을예측할수있습니다. 그리고첫번째 Friedmann 방정식은질량 밀도부분이수정되어 (ȧ a ) 2 = 8πG 3 (ρ n + ρ vac ) kc2 a 2 (3.123) 오로수정됨을알수있습니다. 그렇지만위의수식에따르면가속팽창이꼭 H(t) 가시간에따라증가함을의미하지는않습니다. 이를보기위하여 ρ n = ρ m + ρ rad 로 나누면 (ȧ a ) 2 = 8πG 3 ( ρ m }{{} 1 a 3 (t) + ρ }{{} rad +ρ vac ) kc2 a 2 (3.124) 1 a 4 (t) 으로쓸수있습니다. 여기서편형하거나 (k = 0) 열린 (k < 0) 우주에서는우변은항 상양수가되어 H(t) 자체는우주가팽창함에따라줄어들게됨을뜻합니다. 이런 우주에서는우주가가속팽창을해도점점줄어들게되어 a 인극한에서는진 공에너지밀도항만남게되어 H = ȧ a 8πGρvac 3 (3.125) 으로수렴하게되겠습니다. 1.7 우주상수와우주의나이 우주상수를도입함으로서달라지는것중하나는우주의나이가좀더많아진다는것 입니다. 이제부터이에대하여논의해보겠습니다. 지금까지의논의에의하면비상

제 1 절우주의팽창 47 대론적물질, 복사, 진공질량밀도와 scale factor 와의관계는 ρ m (t) = ρ rad (t) = [ ] 3 a(t 0 ) ρ m,0 a(t) [ ] 4 a(t 0 ) ρ rad,0 a(t) ρ vac (t) = ρ vac,0 (3.126) 로정리할수있습니다 ( 여기서 0 은오늘날에서의물리량이라는점을나타냄 ). 전에 정의하였던임계밀도 ρ c = 3H2 8πG (3.127) 를이용하면각성분에대한질량밀도관계식은 으로다시쓸수있고 [ ρ m (t) = 3H2 0 8πG [ ρ rad (t) = 3H2 0 8πG ] 3 a(t 0 ) Ω m,0 a(t) ] 4 Ω rad,0 a(t 0 ) a(t) ρ vac (t) = 3H2 0 8πG Ω vac,0 (3.128) x a(t) a(t 0 ) (3.129) 로정의하면 (x [0, 1]) 첫번째 Friedmann 방정식은 (ȧ a ( ) ) 2 = H 2 Ω m,0 0 x 3 + Ω rad,0 x 4 + Ω vac,0 kc2 a 2 (3.130) 으로바뀝니다. 이를좀더간편하게표현하기위해서 Ω k,0 = kc2 a 2 (t 0 )H0 2 (3.131)

48 제 3 장 NEWTONIAN 우주론 을도입하면 ( ) (ȧ ) 2 (ẋ ) 2 H 2 = = = H0 2 Ω m,0 a x x 3 + Ω rad,0 x 4 + Ω vac,0 + Ω k,0 x 2 = H2 0 x 4 (Ω m,0x + Ω rad,0 + Ω vac,0 x 4 + Ω k,0 x 2 ) (3.132) 으로정리됩니다. 현재의조건인 t = t 0 을사용하면 x(t 0 ) = 1 이고따라서 1 = Ω m,0 + Ω rad,0 + Ω vac,0 + Ω k,0 가성립하게되어 Ω k,0 = 1 Ω m,0 Ω rad,0 Ω vac,0 (3.133) 입니다. 물론 Ω k > 0 이면열린우주, Ω k < 0 이면닫힌우주, Ω k = 0 이면편형한 우주가됩니다. 현재의우주나이를구하기위하여위의수식에절대값을택하면 이고이는 ẋ x = H 0 x 2 Ω m,0 x + Ω rad,0 + Ω vac,0 x 4 + Ω k,0 x 2 (3.134) dt = 1 H 0 x dx Ωm,0 x + Ω rad,0 + Ω vac,0 x 4 + Ω k,0 x 2 (3.135) 으로바뀌고현재의우주나이는이를적분하는것으로이해할수있습니다. 즉 t 0 = 1 H 0 1 0 x dx Ωm,0 x + Ω rad,0 + Ω vac,0 x 4 + Ω k,0 x 2 (3.136) 입니다. 이표현이적분하기는아마가장편하겠지만천문학쪽에서는적색편이를좀 더선호하므로적색편이를포함한수식으로도바꾸어보겠습니다. 적색편이의정의 에서 1 + z = a(t 0) a(t) = 1 x (3.137) 라는관계가성립하므로 x [0, 1] z [, 0], x dx = (1+z) 을대입하면 3 dz t 0 = 1 dz H 0 0 (1 + z) Ω m,0 (1 + z) 3 + Ω rad,0 (1 + z) 4 + Ω vac,0 + Ω k,0 (1 + z) 2 (3.138)

제 1 절우주의팽창 49 으로정리됩니다. 만일현재우주의나이가아니라현재로부터 (z = 0) 과거의어느 시점까지의시간을계산하려면 t look-back (z) = 1 z dz H 0 0 으로표현될것입니다. (1 + z ) Ω m,0 (1 + z ) 3 + Ω rad,0 (1 + z ) 4 + Ω vac,0 + Ω k,0 (1 + z ) 2 1.8 Hubble Diagram - 복사도와적색편이의관계 우주가최근에가속팽창을하고있다는관측적인증거는기본적으로 Hubble diagram 에서옵니다. Hubble diagram 은초신성의복사도 (radiaton flux) 와적색편이 z 와의 상관관계를그린그림으로정의합니다. 이론적으로이그림이어떻게이해되는지지 금부터이야기할것이고편의상닫힌우주의경우에대하여계산할것이지만열린 우주또는편형한우주에서도계산은그리다르지않습니다. 우선닫힌우주에대한 Robertson-Walker metric 은 ( 추후자세하게다룸 ) { } ds 2 = c 2 dt 2 + a 2 dr 2 (t) 1 kr 2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 ) (3.139) 이고이로부터계산을시작합니다. 우선 sin ψ kr 을정의하여 dψ = 임을이용합니다. 그러면 metric 은 ds 2 = c 2 dt 2 + ã 2 (t) kdr kdr cos ψ = 1 kr 2 { dψ 2 + sin 2 ψ(dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 ) } (3.140) (3.141) 으로간단해지는데여기서 ã a/ k 로정의했습니다. 이제초신성과같은임의의 복사원이총일율 P 로빛알을내보낸다고가정하고이초신성은좌표계의원점 ψ = 0 에있습니다. 이를측정하는검출기 ( 지구 ) 의 radial 좌표는 ψ D 라고하겠습니다. 방 출되는전체빛알대비면적이 A 인이검출기에검출되는빛알의비율은 fraction = area of detector area of sphere = A 4πã 2 (t 0 ) sin 2 ψ D (3.142) 입니다 (ψ D 는검출기가있는좌표에서의 ψ 값 ). 여기서 3 차원 Euclid 공간에서의 2- spher 에대한 metric ds 2 = r 2 (dθ 2 +sin 2 θdϕ 2 ) 이었고이구면의반경의제곱은 (dθ 2 +

50 제 3 장 NEWTONIAN 우주론 sin 2 θdϕ 2 ) 앞에있는 r 2 이었습니다. 따라서 4차원 Euclid 공간에서의 3-sphere에대한반경제곱은 (dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 ) 앞에있는 ã 2 sin 2 ψ 이되어서우리가고려하는구의면적은 4πã 2 (t 0 ) sin 2 ψ D 으로표현됩니다. 이제지구에도달하는빛알은적색편이를얻게되는데이때두가지효과가생겨납니다. 첫번째효과는파장이늘어나게되어적색편이가 1 + z S = a(t 0) a(t S ) (3.143) 만큼일어나고, 또한빛알이도착하는비율도같은양만큼줄어들게됩니다. 따라서 P 를시간 t S 에서초신성이방출하는빛알에너지의일율이라고하면현재지구의검 출기에측정되는일율은 P received = 으로정리됩니다. 따라서 flux J 는 P A (1 + z S ) 2 4πã 2 (3.144) (t 0 )ψ D J = P received A = P 4π(1 + z S ) 2 ã 2 (t 0 )ψ D (3.145) 으로일단표현할수있습니다. 여기서 ã(t 0 ) = a(t 0) k = a(t 0 ) Ωk,0 a 2 (t 0 )H 2 0 /c2 = ch 1 0 Ωk,0 (3.146) 이고 ψ D = ψ(z S ) 로표현하겠습니다. 이 ψ(z S ) 는빛알이현재적색편이 z S 로이동 하게된궤도로서 ds 2 = 0 = c 2 dt 2 + ã(t)dψ 2 dψ dt = c ã(t) (3.147) 이고 ã(t) 에대한 Friedman 방정식은전과같아서 H 2 = ( ã ) 2 H = 0 2 ã x 4 (Ω m,0x + Ω rad,0 + Ω vac,0 x 4 + Ω k,0 x 2 ) (3.148) (x = a(t)/a(t 0 ) = ã(t)/ã(t 0 )) 입니다. 그리고 ψ(z S ) 는다음의적분을통하여 ψ(z S ) = t0 t S c ã(t) dt (3.149)

제 1 절우주의팽창 51 얻습니다 ( 우리논의에의하면 ψ D = ψ(z S )). 그리고 1 + z = ã(t 0) ã(t) (3.150) 으로부터 dz = ã(t 0) ã 2 (t) ã dt = ã(t 0 )H(t) dt ã(t) (3.151) 이므로위의적분은 ψ(z S ) = 1 zs c ã(t 0 ) 0 H(z) 로바뀝니다. 여기서 x = 1/(1 + z) 임을이용하면최종적으로 ψ(z S ) = Ω k,0 zs 으로정리됩니다. 그리고 flux 는 0 dz (3.152) dz Ωm,0 (1 + z) 3 + Ω rad,0 (1 + z) 4 + Ω vac,0 + Ω k,0 (1 + z) 2 J = P H 2 0 Ωk, 0 4π(1 + z S ) 2 c 2 sin 2 ψ(z S ) (3.153) 로정리되어관측결과와비교가능하겠습니다. 1.9 에너지밀도와압력우주를구성하는에너지형태로는복사 (radiation), 물질 (matter), 그리고아직무엇인지잘설명못하는암흑에너지가있습니다. 이제부터각각의에너지밀도와압력과의관계를알아보겠습니다. 우선복사 (radiation) 의경우에대하여알아보겠습니다. 우선길이 L 인일차원상자에빛알하나가좌우로왔다갔다한다고하겠습니다. 이빛알이벽과충돌하면복사압력 (radiation pressure) 을만들어내는데이제이압력을계산해보겠습니다. 이경우벽에전달되는힘을 F, 빛알의운동량을 p, 빛의속력을 c 라고하면뉴튼의법칙에의해 F = p/ t 이성립합니다. 이때 p = 2p 이고 t = 2L/c 가성립하게되어 F = 2p 2L/c = pc L = E c (3.154) 이됩니다 (E 는빛알의에너지 ). 이제빛알이상자에많이있어서통계적평균을취

52 제 3 장 NEWTONIAN 우주론 L A L L 그림 3.9: 각변의길이가 L 인삼차원정육면체안에빛알들이들어있음. 할수있다면에너지밀도 ρ 를 ( 일차원 ) 생각할수있어서 F = ρ 라는간단한수식을얻게됩니다. 이제이논의를삼차원으로확장해보겠습니다. 그림 (3.9) 와같이삼차원상자내부에수평방향으로작은막대기형태의공간을생각하고양쪽면의면적은 A 라고하겠습니다. 이제빛알들의삼차원에너지밀도를 ρc 2 라고하겠습니다 ( 에너지 / 체적 ). 일차원경우에 F = E/c 가성립했으므로 F/A = E/LA 가되어압력 P 는 P = E/LA = ρc 2 가성립합니다. 그런데빛알들은일차원만으로움직이는것이아니라삼차원으로움직이기때문에압력은 1/3 으로줄어들어서사실은 P = ρc2 3 (3.155) 이최종적으로성립합니다. 이제물질로만이루어진경우에대해서알아보겠습니다. 가상의상자안에비상대론적인입자 ( 원소또는은하라고생각해도좋습니다 ) 들이있는경우에대하여생각해보면이입자들은상자안에서 정지 해있는경우에해당되어당연히압력은 P = 0 이되겠습니다. 물론이입자들이상대론적이된다면물론압력을생각해볼수있겠습니다. 이제압력과 scale factor에대한좀더일반적인이야기를해보겠습니다. 일반적인상태방정식 (equation of state) 은압력과에너지밀도의관계식으로서 P = wρ (3.156) 으로나타냅니다. 여기서 w 는상수로서다루는물리적대상에따라달라지게되어 cold matter 일경우에는 w = 0 이고그렇지않고복사 (radiation) 일경우에는 w =

제 1 절우주의팽창 53 1/3 이될것입니다. 가상의상자에임의의입자들이있어서압력 P 를상자에인가한다고가정합니다. 외부에서한쪽면을 ( 면적은 A) dx 만큼움직여상자의체적을 dv 만큼증가시키는경우이때면을움직이는데필요한일은 (P A)dx = P dv 가되고이일은상자안의내부에너지의감소 (de = P dv ) 로나타납니다. 초기상자내부에너지를 E = ρv 로나타내면 de = ρdv + V dρ = P dv (3.157) 가되어 dρ ρ = (w + 1)dV V (3.158) 인미분방정식으로바뀌게되고, 이방정식에대한해는 ρ = C a 3(w+1) (3.159) 으로나타납니다 ( 마지막과정에서 V a 3 을이용하였음 ). 이를 Friedman 방정식에 대입하면 ( ȧ a ) 2 = 8πG 3 ρ = 8πG 3 C a 3(1+w) (3.160) 으로 a 만의미분방정식이됩니다. 위에서도풀었지만가장간단하게이를푸는방법 은 a t p 를가정하고 p 에대하여풀어보는것입니다. 그런데위의해는 w = 1 일 경우특별한의미를가지게됩니다. w = 1 일경우가바로 vaccum energy 해가되는 것으로 ρ 는상수가됩니다. 이경우의물리적의미는우주가팽창하더라도그 에너 지 밀도는희박해지지않고상수로남는다는뜻입니다. 이는 Einstein s cosmological constant 또는암흑에너지 (dark energy) 로도표현됩니다. P = wρ 에서알수있듯이 이는음수의압력을의미하고이는우리가고무줄을잡아당기면줄어드는압력이만 들어지는것과동일한물리적현상으로이해할수있습니다. 다만이러한음수압력 을만들어내는물리학적원인에대해서는아직도명확한설명을하지는못하고있 습니다. 이제 w = 1 인경우에너지밀도를 ρ Λ 라하면 ( ) 2 ȧ = 8πG a 3 ρ Λ ȧ a 8πGρΛ = Ce 3 t (3.161)

54 제 3 장 NEWTONIAN 우주론 ρ ρ r a 8πGρΛ e 3 t t 2/3 ρ m ρ Λ t 1/2 a t 그림 3.10: 우주의팽창에따라에너지밀도과 scale factor 가어떠한관계를갖는가에대한 그림이왼쪽, scale factor 와시간과의관계그림이오른쪽에나타나있음. 두그림에있는 검은점은우주탄생후약 50,000 년후의지점을나타내고있음. 로풀수있습니다. 이에따르면우리우주는가속팽창을하여원칙적으로그크기가무한대로확장하게됩니다. 이러한확장은무슨의미일까요? 우리의몸, 팔과다리가서로떨어지는것일까요? 그런의미는아닙니다. 우리의몸을이루고있는분자들간의힘은상대적으로강해서떨어지는일은없습니다. 그러나아마도 super-cluster 들은분해될것으로이해되고있습니다. 이제지금까지의논의는표 (3.1) 에정리되어있습니다. 표 3.1: 우주를이루는성분에따른에너지밀도, scale factor, w, 압력의관계. 성분 밀도 (ρ) a w 압력 (P ) 물질 (matter) a 3 t 2/3 0 0 복사 (radiation) a 4 t 1/2 1/3 ρ/3 진공에너지 (Λ) ρ Λ e 8πGρΛ 3 t -1 -ρ Λ 이제우주의에너지밀도와 scale factor와의관계를그림으로살펴보겠습니다. 복사 (radiation) 의경우에너지밀도는 a 4 에비례하기때문에 a 가매우작은우주초기에는가장큰값을가지게되고어느시간이지나고나면 a 3 항을가진물질 (matter) 에너지밀도가가장큰공헌을하게됩니다. 이시기는우주탄생후약 50,000 년후로알려져있어서우주배경복사가우리에게오기전의현상입니다. 따라서이시기의물리현상을직접적으로관측하기는어렵습니다. 시간이많이흐르게되면복사및물질에너지밀도는모두희석되어진공에너지밀도가가장큰공헌을하게되는시기가오게됩니다. 현재우리우주는바로이러한시기에있는것으로알려져있습니다. 이를종합한그림두가지가그림 (3.10) 에정성적으로나타나있습

제 2 절우주의기하학적구조 55 니다. 오늘날에는우리우주를이루는에너지성분의분포는 ρ Λ ρ total 0.7, ρ m ρ total 0.3, ρ r ρ total 0 (3.162) 가되어진공에너지성분이가장많아서 70%, 물질 성분은 30%, 그리고복사에 의한에너지성분은 10 3 % 정도로무시할수있을정도로작습니다. 또한이물질 성분은암흑물질성분 (ρ D ) 과눈으로볼수있는물질성분 (ρ L ) 으로나눌수있어서 ρ D /ρ total = 0.25, ρ L /ρ total = 0.05 입니다. 즉, 물질성분에서는암흑물질이대부분을 차지합니다. 지금까지의논의에의하면먼훗날의우리우주는팽창가속을계속하여암흑에 너지가거의모든우주의에너지가될것임을예측합니다. 이경우 H = ȧ 8πG a 3 ρ Λ (3.163) 가됩니다. Hubble 법칙 v = Hr 를이용하면우리가관찰하는물체의속력이빛의 속력이되는거리인 horizon 은 1 D = 8πG 3 ρ Λ (3.164) 으로정리됩니다 ( 여기서 c = 1 을가정하였음 ). 먼미래의천문학자에게는우주는어떻게보일가요? 태양계와은하계는중력에의해지금과별다름이없을것이지만 super-cluster들은분해될것입니다. 따라서미래의천문학자는우리은하외에는다른은하는거의보이지않을것입니다 ( 다른은하들은 horizon을넘어섰기때문에 ). 즉, 은하계는아주텅빈우주의중심에있는섬으로생각될것이고우주가팽창하다는그어떠한실험적증거를찾기어려울것입니다. 별로흥미로운우주도아니고암흑에너지라는개념을생각하기어려울것입니다. 제 2 절 우주의기하학적구조 이제부터는우주공간의구조및특성에대하여알아보겠습니다. 아주간단한구 (sphere) 의논의를시작으로궁극적으로는일반상대론과어떻게연결되는가에대한 논의를하려고합니다.

56 제3장 NEWTONIAN 우주론 z y a φ θ a y x x 그림 3.11: 왼쪽 그림은 이차원 공간에 놓여있는 반경이 a 인 1-sphere, 오른쪽 그림은 삼차원 공간에 놓여있는 반경이 a 인 2-sphere 를 나타내고 있습니다. 2.1 N-Sphere 이제 잠시 약간 수학적인 개념에 대하여 논의하겠습니다. 우선 일차원 구 를 생각 합니다. 이 공간은 양의 곡률을 가지고 있습니다 (음의 곡률을 가지는 공간은 다음 에 논의). 수학에서는 이를 1-sphere 라고 부르는데 이는 그림 (3.11) 의 왼쪽에 나타 나 있는 바와 같이 이차원 평면에 있는 반경이 a 인 원으로 생각할 수 있어서 이차원 좌표계를 쓰면 x2 + y 2 = a2 으로 기술할 수 있습니다. 특히 반경이 1 인 원은 unit 1-sphere (Ω1 ) 으로 표현합니다. 1-sphere 에 사는 생명체는 그야말로 일차원 생명체로 우리와 달리 2 차원을 감지하지 못합니다. 이러한 경우를 확장하여 그림 (3.11) 오른 쪽의 경우인 삼차원 공간에 있는 구의 표면을 생각합니다. 이러한 경우 표면의 임의 의 한 점은 x2 + y 2 + z 2 = a2 을 만족시킬 것이고 이를 2-sphere 라고 부릅니다. 마찬 가지로 반경이 1 인 경우 unit 2-sphere (Ω2 ) 라는 특별한 이름을 갖습니다. 마찬가지 로 2-sphere 에 살고 있는 생명체는 삼차원이라는 개념에 대하여 전혀 모르고 있습니 다. 수학적으로는 이 개념을 확장하여 일반적인 N-sphere 도 생각할 수 있으나 우리 의 논의는 대개 3-sphere 까지만 알아도 충분합니다. 수학을 좋아하는 사람들에게는 Ωn = {x Rn+1 : x = 1} 이 더 친숙할지도 모르겠습니다 (Rn 은 n 차원 Euclid 공간). 이제 이를 바탕으로 metric 에 대하여 살펴보겠습니다. 그림 (3.11) 에서 알 수 있듯이 1-sphere 에 있는 임의의 한 점을 나타내기 위한 변수는 각도 ϕ 으로 충분하고 unit 1-shpere 공간의 미소길이제곱 ds2 = dϕ2 dω21 으로 표현됩니다. 또한 유사하게 2-sphere 에 있는 임의의 점을 기술하기 위해서는 각 도 ϕ 와 θ 두개가 필요합니다 (그림 (3.11) 참고). 이 2-sphere 공간의 경우 미소길이 제곱은 어떻게 될까요? 이를 알기 위해서 구면좌표를 이용할 수도 있지만 다음과 같 이 생각해 보겠습니다. 즉, unit 2-sphere 공간은 반경이 다른 1-sphere 들이 많이 모 여서 만들어졌다고 생각합니다. 즉, 그림 (3.11) 에서 오른쪽의 경우와 같은 경우 임 의의 점은 반경이 sin θ 인 1-sphere 가 있는 점으로 생각되어 미소길이제곱은 dω22 =

제 2 절우주의기하학적구조 57 T P P 그림 3.12: Stereographic projection 을설명하는그림. 2-sphere 공간의한점 P 는맨윗점 T 와연결되는직선과평면이만나는점 P 으로투영된다. dθ 2 + (sin θ dϕ) 2 혹은 dω 2 2 = dθ 2 + sin 2 θ dω 2 1 으로나타낼수있습니다. 그러면 unit 3-sphere 공간의미소길이제곱 dω 2 3 은어떻게표현될까요? 사차원공간을상상할수가없기때문에이번경우에는딱히상상하기가어렵습니다. 좀전에 Ω 2 의경우에있어서각도 θ 를도입했고반경이서로다른 Ω 1 들이많이모여있는것으로생각할수있다고했습니다. 그리고미소길이제곱을구하기위하여그새로운각도에대한 sin 함수가곱해졌습니다. 마찬가지로 Ω 3 는반경이서로다른 Ω 2 가많이모여있는경우로생각할수있어서새로운각도를 α 라하면 dω 2 3 = dα 2 + sin 2 α dω 2 2 = dα 2 + sin 2 α [ dθ 2 + sin 2 θ dω 2 ] 1 (3.165) 으로나타납니다. 논의를완벽하게하기위하여잠시 0-sphere에대하여생각해보겠습니다. 0-sphere는 x 2 = 1, 즉 x = ±1 으로두점으로이루어져있습니다. 우리의논의에따르면 1-sphere는반경이다른 0-sphere의집합으로만들수있습니다. 위의수식을바탕으로이제우주론에대하여이야기합니다. Big Bang을생각하면공간이시간이지남에따라확장하는것이고이를고유시간으로나타내면 (cdτ) 2 = c 2 dt 2 a(t) 2 dω 2 3 (3.166) 이고위의수식 (3.166) 을 FRW metric이라고부르고이 metric은양수의곡률 (curvature) 을가지고있습니다. 앞으로이 metric 에대하여많은이야기를할예정입니다. 이제한가지특수한투영방법에대하여이야기해보겠습니다. 이는 stereographic projection이라부르며그림 (?? 에설명되어있습니다. 삼차원공간에이차원평면이있고그위에 2-sphere가놓여있는경우에해당되고 2-sphere에있는임의의점이이차원평면에어떻게대응되는가를생각해봅니다. 그림에서나타나는것처럼 2-sphere 에있는임의의점 P 와 2-sphere에있는맨위의점 T 를삼차원직선으로연결하면

58 제 3 장 NEWTONIAN 우주론 그림 3.13: H 2 를설명하는그림. 1-sphere 들이모여말안장모양의 H 2 공간을형성하고있 음. 밑의이차원평면과만나게됩니다. 이점 P 이이차원평면에투영된새로운점으로생각하는것입니다. 그렇다면 2-sphere에있는점 T 는어디로투영되는것일까요? 바로이차원평면의무한대점으로투영되는것입니다. 한가지쉽게짐작할수있는것으로는바닥쪽에있는 2-sphere 공간의모양은평면에투영되어모양과크기가별로바뀌지않을것이지만상대적으로점 T 근처에있는모양은평면에서많이확대될것이라는사실입니다. 8 위에서논의했던 N-sphere와관련하여음수의곡률을가지는공간에대하여알아보았습니다. N-sphere 의경우에는 dω 2 n = dα 2 + sin 2 α dω 2 n 1 (3.167) 이었던점을가만하여음수의상수곡률을갖는공간 H n 을 dh 2 n = dα 2 + sinh 2 α dω 2 n 1 (3.168) 으로정의합니다. N-sphere의경우와다른점은 α 는 0에서 까지정의된다는점입니다. 잠깐이해를돕기위해 H 2 를생각해보겠습니다. H 는 Ω 2 와달리삼차원공간에넣을수없습니다. 다만그일부는넣을수있어서말안장과같은모양이됩니다. H 는Ω 1 의집합으로나타낼수있는데다만이경우원점으로부터 Ω 1 의반경이점점무한대로커지는것으로이해할수있습니다 ( 그림 (3.13) 참고 ). 음수상수곡률을가지는시공간의 FRW metric은따라서 (ds) 2 = (cdτ) 2 = c 2 dt 2 + a(t) 2 dh 2 3 (3.169) 으로표현됩니다. 마지막으로남아있는시공간은당연히휘어있지않은시공간입니다. 이경우의 FRW metric 은 (ds) 2 = c 2 dt 2 + a(t) 2 [dx 2 + dy 2 + dz 2 ] (3.170) 8 수학에좀더관심있는사람이라면 2-sphere 공간에있는원은다시원으로투영되고각도도바뀌지않 는다 (conformal mapping) 는사실을증명할수있을것입니다.

제 2 절우주의기하학적구조 59 으로표현됩니다. 2.2 3-Sphere 이제 4 차원 Euclid 공간에놓여있는 3 차원구면 (3-sphere) 을기술하겠습니다. 물론이를시각적으로표현할수는없기때문에 3차원 Euclid 공간에놓여있는 2차원구면으로부터확장합니다. 일반적으로구면좌표계를사용하면 2-sphere 의좌표는 (ϕ, θ) 를사용하게되고 Euclid 3차원좌표 (x, y, z) 와는 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 x = R sin θ cos ϕ y = R sin θ sin ϕ z = R cos θ (3.171) 와같은관계식을갖습니다. 여기서 R 은구의반경으로생각하면되겠습니다. 이제 4 차원 Euclid 공간으로확장하여 4 번째좌표를 w 라하면 x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = R 2 (3.172) 이만족됩니다. 이제이네번째축 w 와각도 ψ 를갖는 3-sphere 의한점 (θ, ϕ, ψ) 와 (x, y, z, w) 와의관계는어떻게되겠습니까? 1-sphere 의경우와 2-sphere 의경우를 비교해보면 1-sphere 2-sphere x = R cos ϕ x = R sin θ cos ϕ y = R sin ϕ y = R sin θ sin ϕ z = R cos θ (3.173) 임을생각하면 3-shpere 의경우에는 x = R sin ψ sin θ cos ϕ y = R sin ψ sin θ sin ϕ z = R sin ψ cos θ w = R cos ψ (3.174) 와같이되어야할것입니다. 이는 1,2-sphere 에대한관계식으로부터유추한것으로 의심이된다면 x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = R 2 의관계식이성립하는지확인해보면될것입 니다. 한가지주의할점은 ϕ [0, 2π), θ [0, π], ψ [0, π] 라는점입니다. 이 3 차원

60 제 3 장 NEWTONIAN 우주론 곡면위의 metric 은 dx 2 + dy 2 + dz 2 + dw 2 = R 2 (cos ψ sin θ cos ϕdψ + sin ψ cos θ cos ϕdθ sin ψ sin θ sin ϕdϕ) 2 + R 2 (cos ψ sin θ sin ϕdψ + sin ψ cos θ sin ϕdθ + sin ψ sin θ cos ϕdϕ) 2 + R 2 (cos ψ cos θdψ sin ψ sin θdθ) 2 + R 2 sin 2 ψ dψ = R 2 [dψ 2 + sin 2 ψ(dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 )] (3.175) 임을알수있습니다. 복잡한가요? 좀더쉽게이를구하는방법으로다음과같이 생각할수있습니다. 2-sphere 의 metric 은 ds 2 2-dim = R2 (dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 ) 이었음을 기억합니다. 이제 3-sphere 에서 ψ 가상수일경우미소길이제곱은 ds 2 3-dim,ψ= 상수 = ds2 2-dim,R R sin ψ (3.176) 임을이해하고 ψ 만변할때미소길이가 ds ψ = Rdψ 임을알면 ds 2 3-dim = ds 2 3-dim,ψ= 상수 + ds2 ψ = R 2 [dψ 2 + sin 2 ψ(dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 )] (3.177) 이성립함을쉽게알수있습니다. 이제위의식을약간변형해보겠습니다. 이를위 하여 u sin ψ 로놓으면 dψ = du 1 u 2 (3.178) 이성립하여 [ ds 2 3-dim = R 2 du 2 1 u 2 + u2 (dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 ) ] (3.179) 으로표현됩니다. 이제 Friedman 방정식에서나왔던 a(t)/ k 와연결을하는순서 입니다. 우리의우주는팽창하고이러한팽창은 scale factor 로기술된다고했습니다. 따라서 R(t) = a 2 (t)/k 로놓는것이 자연스러운 선택이되어 ([k] = m 2 ) [ ] ds 2 3-dim = a2 (t) du 2 k 1 u 2 + u2 (dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 ) (3.180) 으로바뀌고최종적으로 r u/ k = sin ψ/ k 라면

제3절 61 표준 우주론의 문제점 (Friedmann-Robertson-Walker metric) " ds23-dim # dr2 2 2 2 2 = a (t) + r (dθ + sin θdϕ ) 1 kr2 2 (3.181) 오로 최종 정리됩니다. 위의 수식은 (Friedmann-)Robertson-Walker metric 이라 불리 우며 팽창하는 우리 우주의 공간부분에 대한 metric 으로 여겨집니다. 즉 우리 우주 는 3-sphere 로 이해되고 있습니다. 제3절 표준 우주론의 문제점 Friedmann 방정식으로 기술되는 우리 우주의 팽창 모형은 표준 우주론으로 받아들 여지고 있습니다. 즉, 그림 (3.10) 에서 나타나는 바와 같이 우리 우주는 빅뱅 이후 연속적으로 부드럽게 팽창해 왔다고 이해되고 있습니다. 이러한 표준 우주론에는 몇 가지 문제점이 있는데 앞으로 이 문제점들에 대하여 이야기하려고 합니다. 이를 위 하여 우선 우주배경복사에 대하여 알아보겠습니다. 우주배경복사는 빅뱅 초기 전자, 양성자와 산란을 하던 빛알들이 우주가 팽창하여 식어감에 따라 더이상 산란을 하지 않게 되어 (우주가 빛알에 대하여 투명하게 되어) 직선 운동을 하게 되어 오늘날 우 리에게 보이는 빛알입니다. 이 시기는 빅뱅후 약 380,000 년 정도로 알려져 있으며 이 당시의 공간을 last scattering surface (LSS) 라고 부릅니다. 또한 관측에 의하면 우주배경복사의 온도는 평균 2.7 K 이고 이 값은 10 5 수준에서 등방적입니다. 또한 우리 우주는 오늘날 매우 편형하여 Ω0 1 < 0.005 정도로 알려져 있습니다. 이러한 관측적인 사실은 빅뱅우주론으로 설명하기 매우 어렵고 앞으로 이러한 문제점들에 대 하여 설명합니다. 3.1 Horizon 문제 이제 빅뱅이론의 문제점 중 horizon 문제에 대하여 이야기해 보겠습니다. 이를 위하 여 먼저 편형하고 비상대론적인 물질로 이루어진 우주의 경우 오늘날과 과거의 어느 시간 t 와의 물리적 좌표거리를 적색 편이 z 로 나타내 보겠습니다. 이 경우 1+z = a(t0 ) t0 2/3 =, a(t) t H0 = 2/(3t0 ) (3.182) 이었습니다. 이 경우 오늘날 우리와 특정 시점에서의 물리적 좌표거리는 ℓp (t) = = t0 c dt 2/3 1/3 = 3ct0 (t0 t1/3 ) ) a(t t h 1 i 3ct0 (1 (t/t0 )1/3 ) = 2cH0 1 1 1+z Z a(t0 ) (3.183)

62 제 3 장 NEWTONIAN 우주론 로표현됩니다. 이를이용하여현재서로반대쪽에서우리로이동하는우주배경복사 빛알의물리적거리를계산하겠습니다. 이를위하여필요한숫자들은빛알이전하입 자와의충돌로부터벗어나기시작한시간 t d 370, 000 year, 그당시의온도 T (t d ) 3, 000 K, 당시의우주는열적평형에있어서엔트로피가상수로서 at constant 임을 이용합니다. 이러할경우 1 + z d = a(t 0) a(t d ) = 3000 K 1, 100 (3.184) 2.7 K 이고, 이를이용하여오늘날우리와 LSS 와의물리적거리를계산하면 [ l p,lss-us,t0 = 2cH0 1 1 ] 1 = 2 3 108 m/s ( 1 + zd 67.3 km s 1 Mpc 1 1 1 ) 1101 28.2 10 9 light-year (3.185) 입니다. 그리고현재가아닌 t d 일경우우리와 LSS 간의거리는 l p,lss-us,td = a(t d) a(t 0 ) l p,lss-us,t 0 = 2.7 K 3000 K 28.2 109 light-year 2.56 10 7 light-year (3.186) 로계산됩니다. 한편 t d 의시간에 horizon distance 는 l p,horizon,td = 3ct d 1.1 10 6 light-year (3.187) 가되어 l p,lss-us,td l p,horizon,td 23 (3.188) 입니다. 즉, 시간 t d 에두빛알은 horizon distance 의 46 배만큼이나떨어져있다는 결론입니다. 이는유한한빛의속력을가정하면설명하기매우어려운문제로해석 되고이를 horizon 문제라고부릅니다. 3.2 편평도문제 (Flatness Problem) 표준빅뱅모형의두번째문제는편평도문제로알려져있습니다. 이는현재의 Ω 값이왜 1에가까운값인가하는것입니다. 이는 Ω = 1 인상태는불안정한평형상태라는것으로부터출발합니다. 즉, 우주가초기에 Ω = 1 에서조금이라도벗어나면현재우리우주는편형하지않게보여야한다는의미이고앞으로현재의 Ω 값을설명하려면초기우주의 Ω 값이얼마나미세하게조절되어야하는지살펴보겠습니다. 이를

제 3 절표준우주론의문제점 63 위하여 Friedmann 방정식을 ρ c = 3H 2 /8πG 를이용하여다시쓰면 이되어 H 2 = 8πG 3 ρ kc2 a 2 (3.189) ρ c = ρ 3kc2 8πGa 2 (3.190) ρ ρ c ρ = 3kc2 8πGa 2 ρ (3.191) 으로정리됩니다. 왼쪽항의분모분자를 ρ c 로나누면 Ω 로표현할수있어서 Ω 1 Ω = 3kc2 T 2 2 8πGa 2 T 2 ρ AT ρ (3.192) 으로다시쓸수있습니다 (A = 3kc 2 /8πGa 2 T 2 ). 이렇게표현한이유는 horizon 문제 논의시 at constant 으로생각할수있어서변수 A 를상수로근사할수있기때문 입니다. 이제이식을이용해서우주가빅뱅후 1 초후와오늘날의 (Ω 1)/Ω 값과의 관계를계산합니다. 1 초후가중요한이유는적어도이때에는표준빅뱅모형에별 문제가없는것으로알려져있기때문입니다. 이때에는 nuclearsynthesis 가일어나게 되고이때의물리적반응에대한계산과관측은매우잘일치한다는것이알려져있 습니다. 비상대론적물질로이루어진편평한우주에서는 T 1/a, ρ 1/a 3, a t 2/3 이므로 Ω 1 Ω a t2/3 (3.193) 이고복사가대부분인편평한우주에서는 T 1/a, ρ 1/a 4, a t 1/2 이므로 Ω 1 Ω a2 t (3.194) 입니다. 계산을간단하게하기위하여우주의역사는복사가대부분인우주에서비 상대론적우주로전이하였고 ( 이때시간을대략빅뱅이후 50,000 년으로생각합 ) 우 주의나이를 13.7 10 9 년이라고가정합니다. 이러면 ( ) ( Ω 1 Ω t=50,000 year 50, 000 13.7 10 9 ) 2/3 Ω0 1 Ω 0 2.37 10 4 Ω 0 1 Ω 0 (3.195)

64 제 3 장 NEWTONIAN 우주론 으로계산됩니다. 한편 1 s 50, 000 year 1 s 50, 000 year 1 year 3.16 10 7 s 6.33 10 13 (3.196) 입니다. 따라서 ( ) Ω 1 Ω t=1 s 6.33 10 13 ( 1.50 10 16 ( ) Ω 1 Ω Ω 0 1 Ω 0 t=50,000 year ) (3.197) 입니다. 최근 Planck 측정에의하면 Ω 0 1 < 0.005 이고이는 Ω 1 t=1 s < 10 18 (3.198) 이라는결과를의미합니다. 따라서빅뱅 1 초후 Ω 의값이숫자 18 자리까지정확하게 1 이어야합니다. 이러한사실은빅뱅우주론으로는설명을하지못합니다 ( 초기조건 으로받아들이는것은문제가없으나이를설명하지는못함 ).

제 4 장 Coordinates) 일반좌표계 (Generalized Einstein 은시공간에곡률을도입함으로서뉴튼의중력이론을바꾸었습니다. 예를들어입자가시공간을똑바로이동하더라도아주무거운물체에의하여시공간이자체가휘어있으면처음에는서로평행하게이동하던두입자가서로만나게됩니다. 그림 4.1이그상황을잘설명하고있습니다. 2차원구면에서평행한두입자가 2차원구면을따라평행하게이동해도북극에서만나게되고그이유는 2차원구면이휘어있기때문입니다. 즉, 일반상대론에서는중력은없고다만휘어진시공간이있는것입니다. 제 1 절 좌표계 이제일반적인 N- 차원공간을생각하여각각의좌표를 x 1, x 2, x 3,..., x N 이라합 니다. 이공간에곡선이존재한다고하면그곡선은 N 개의서로다른매개변수수 식들로 x α = x α (λ) (4.1) 와같이표현할수있습니다. 여기서 λ 는임의의매개변수로곡선을따라위치를표시하는데사용됩니다. 예를들어 2차원공간에반경이 1인원이있다면 x 1 = cos λ, x 2 = sin λ 와같이표현할수있고이때 λ 는곡선의한지점을나타내는매개변수로기하학적으로는각도의의미를갖습니다. 좌표계는임의의변환에의해다음과같이 x α = x α (x 1, x 2,..., x N ) (4.2) 새로운좌표들로나타낼수있습니다. 예를들어 r = (x 2 + y 2 ) 1/2 θ = cos 1 (x/r) (4.3) 는 2 차원 Cartesian 좌표계를 2 차원극좌표계로바꾸어줍니다. 또한특수상대성이 65

66 제 4 장일반좌표계 (GENERALIZED COORDINATES) 그림 4.1: 적도에서북극으로서로평행하게출발한두사람이북극에서만나게되는상황을 설명한그림. 론에서 x α = Λ α βx β (4.4) 임을기억하고식 (4.2) 을미분하면 dx α = x α x β dxβ (4.5) 이고 x α / x β 를이용하여미소거리에대한변환을나타내는 N N 행렬 L 을 x 1 / x 1 x 1 / x 2... x 1 / x N x 2 / x 1 x 2 / x 2... x 2 / x N L =.... x N / x 1 x N / x 2... x N / x N (4.6) 으로정의할수있습니다. 다만특수상대성이론에서의 Λ α β 는상수이었으나여기서은일반적으로상수가아니고미소거리에대한변환에대한변환행렬이라는점 L α β 입니다. 1.1 일반적인 metric tensor 일반공간에서 metric tensor g αβ 는그공간에서미소거리제곱을 ds 2 이라했을경우 ds 2 = g αβ dx α dx β (4.7)

제1절 67 좌표계 의 수식으로 정의합니다. 예를 들어 3 차원 Euclidean 기하학을 다루기 위하여 Cartesian 좌표계를 사용하면 ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 (4.8) 이기 때문에 metric tensor 는 gxx = gyy = gzz = 1 이고 나머지 성분은 모두 0 입니다. 그렇지만 만일 원통좌표계를 사용하면 ds2 = dr2 + r2 dϕ2 + dz 2 (4.9) 이 되어 grr = 1, gϕϕ = r2, gzz = 1 이고 나머지 성분은 모두 0 입니다. 즉, 편형한 3 차원 Euclidean 기하구조라 할지라도 좌표계를 어떻게 설정하는가에 따라 metric tensor 가 복잡해 질 수 있습니다. 1.2 Metric tensor 변환 미소길이의 제곱은 좌표계의 선택에 무관해야 하므로 ds2 = gγδ dxγ dxδ = gαβ (dx )α (dx )β (4.10) 가 만족됩니다. 한편 임의의 두 좌표계 사이 미소성분은 dxγ = xγ (dx )α, x α dxδ = xδ (dx )β x β (4.11) 이므로 ds2 0 δ xγ α x (dx ) (dx )β x α x β = gαβ (dx )α (dx )β! xγ xδ = gγδ α β gαβ (dx )α (dx )β x x = gγδ (4.12) 을 항상 만족시켜야 하므로 gαβ = gγδ xγ xδ x α x β (4.13) 이 항상 성립됩니다. 즉, 변환 규칙으로부터 알 수 있는 텐서의 정의에 의하여 gαβ 는 텐서입니다.

68 제4장 일반좌표계 (GENERALIZED COORDINATES) 북극 θ φ 적도 그림 4.2: 북극에서 거리 ℓ 만큼 내려와서 수평으로 각도 ϕ 만큼 이동하는 상황을 설명한 그 림. 1.1 Example. Cartesian 좌표계와 원통좌표계의 관계 및 수식 (4.13) 을 이용 하여 원통좌표계에서의 metric 텐서를 구하세요. 두 좌표계 간의 관계식 x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z (4.14) 으로부터 x/ r = cos ϕ, y/ r = sin ϕ, z/ r = 0 이므로 grr = = = xi xj xi xj gij = δij r r r r!2!2!2 x y z + + r r r cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1 (4.15) 이고, gϕϕ = x ϕ!2 + y ϕ!2 + z ϕ!2 = ( r sin ϕ)2 + (r cos ϕ)2 = r2 (4.16) 이 됩니다. 그리고 gzz = 1 은 쉽게 구할 수 있고 나머지 항들은 모두 0 입니다. 이제부터 실제로 휘어진 공간에서의 거리에 대하여 생각해 보겠습니다. 다루기 비교적 쉬운 것으로 반경이 R 인 3 차원 구의 표면을 생각합니다. 맨 위 지점 (북극)

제 1 절좌표계 69 으로부터아래쪽으로내려간한지점까지의거리를 l, 북극에서그때까지내려온각 도를 θ, 수평이동시움직인각도를 ϕ 라고하면 ( 그림 (4.2) 참고 ) 미소거리의제곱은 ds 2 = dl 2 + R 2 sin 2 θ dϕ 2 ( = dl 2 + R 2 sin 2 l ) dϕ 2 (4.17) R 으로정리되어 g ll = 1, g ϕϕ = R 2 sin (l/r) 이됩니다. 이휘어진 2 차원공간에서 원을그리고그원의길이 C 를계산하면 (dl = 0 으로놓고 ϕ 에대하여 ds 를적분 하면됨 ) ( l ) C = 2πR sin < 2πl (4.18) R 임을알수있습니다. 예를들어지구표면에서반경이 l = 10 km인원은평면에서의원보다그길이가약 2.6 cm 짧습니다. 이제구면에대한 metric을구해보겠습니다. 우선 Euclidean 3차원에서반경이 R 인구의방정식 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 (4.19) 을생각합니다. 만일 x y 평면에서극좌표계 (r,θ) 를사용하면위의수식은 r 2 + z 2 = R 2 (4.20) 이고 Euclidean 3 차원에서미소길이 ds 제곱은 ds 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + dz 2 (4.21) 이지만구면에서의길이만알고싶으면수식 (4.20) 을미분하면서 R 은상수라는조 건을사용하면 2rdr + 2zdz = 0 (4.22) 을얻을수있어서변수 z 를없앨수있습니다. 즉, ( ds 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + r2 z 2 dr2 = r 2 dθ 2 + 1 + r2 z 2 ) dr 2 ( ) = r 2 dθ 2 + r 2 1 + R 2 r 2 dr 2 dr 2 = 1 r 2 /R 2 + r2 dθ 2 (4.23)

70 제 4 장일반좌표계 (GENERALIZED COORDINATES) 이고 curvature k = 1/R 2 를도입하면 ds 2 = dr2 1 kr 2 + r2 dθ 2 (4.24) 과같이표현됩니다. 위의경우는 k > 0 인경우였지만 k < 0 인공간도수학적으로는 아무런문제가없습니다. 위의표현은 3 차원에서의곡면을다루는수식으로자연스 럽게확장할수있음에유의하기바랍니다.

제2절 71 일반 좌표계에서 미분 제2절 일반 좌표계에서 미분 이제까지의 지식을 바탕으로 일반 좌표계에서 미분을 할 경우 어떠한 표현식들이 나 오는지 살펴보겠습니다. 2.1 벡터의 covariant derivatives 특수상대성 이론의 논의에서 V α / xβ 는 텐서 성분이라는 것을 보였습니다. 하지만 일반상대론에서는 그렇지 않습니다. 예를 들어 벡터 V = V α eα 를 미분하면 V α eα V = eα + V α β β β x x x (4.25) 가 된다. 두번째 항 eα / xβ 도 결국 벡터이므로 basis 벡터 eα 들의 선형 결합으로 나타나게 될 것이다. 따라서 다음과 같은 양 eα Γγ αβ eγ xβ (4.26) 을 정의하겠습니다. 여기서 Γγ αβ 는 인자를 세개 갖는데 그 이유로는 일단 basis 벡 터에 대한 선형 결합으로 γ 가 필요하고 좌변에 이미 α 와 β 가 있기 때문에 총 3 개 가 필요한 것으로 이해하면 됩니다. 이 기호 Γγ αβ 는 connection coeffficients 혹은 Christoffel symbols 라고 부릅니다. V = xβ 1 따라서! V α α γ + Γ γβ V eα xβ (4.27) 로 쓸 수 있습니다. 벡터의 미분은 텐서를 만들어야 하므로 V α + Γαγβ V γ xβ (4.28) 는 텐서의 성분이 되어야 하고 이를 covariant derivative 라고 부르고 좌표계에 무 관한 표현으로는 V 을 사용합니다. 성분으로 표시하면 β V α = β V α + Γαγβ V γ 1 이러한 (4.29) 관점에서 보면 왜 Christoffel symbols 을 정의하는지 또는 어떤 의미인지는 명확해 집니다. 공간 이 휘어져 있으면 미분을 정의하기 위해서는 함수의 변화 뿐만 아니라 basis 벡터 변화까지 고려해야 한다는 의미이고 그러한 이유에서 Christoffel symbols 이 정의된 셈입니다.

72 제 4 장일반좌표계 (GENERALIZED COORDINATES) 또는 V α ;β V α,β + Γ α γβv γ (4.30) 로도쓸수있습니다. 한가지주의할것은 β V α 와 Γ α γβ V γ 각각은텐서처럼변환하지않지만이두개의합은텐서처럼변환한다는것입니다. 또한 β V α 는벡터의성분이위치에따라달라지기때문에필요하고 Γ α γβ V γ 는 basis 벡터가위치에따라달라지기때문에필요하다라는것을잘이해하기바랍니다. 2.1 Example. 2 차원극좌표계에서의 connection coefficients 를구하세요. 극좌표의두 basis 벡터를 e r, e θ 라고하겠습니다. 두 basis 벡터는모든지점 에서서로직교합니다. 수식 (4.27) 에서 V = e r 로택하면 V α / x β 항은항상 0 이 되고 V θ = 0, V r = 1 입니다. 따라서 e r r }{{} β=r = Γ r rr 1 e r + Γ r θr 0 e r + Γ θ rr 1 e θ + Γ θ θr 0 e θ }{{}}{{}}{{}}{{} α=r,γ=r α=r,γ=θ α=θ,γ=r α=θ,γ=θ = 0 Γ r rr = Γ θ rr = 0 (4.31) 이성립합니다. 같은방법으로 e r θ = Γ r rθ 1 e r + Γ r θθ 0 e r + Γ θ rθ 1 e θ + Γ θ θθ 0 e θ = 1 r e θ Γ r rθ = 0, Γ θ rθ = 1 r (4.32) 을구합니다. 여기서 er θ V = e θ 로택하면 = 1/re θ 임은쉽게보일수있습니다. 이제수식 (4.27) 에서 e θ r = Γ r rr 0 e r + Γ r θr 1 e r + Γ θ rr 0 e θ + Γ θ θr 1 e θ = 1 r e θ Γ r θr = 0, Γ θ θr = 1 r (4.33) 이성립합니다. 마찬가지로여기서 e θ r = 1/re θ 임은쉽게보일수있습니다. 마지막

제 2 절일반좌표계에서미분 73 으로 e θ θ = Γ r rθ 0 e r + Γ r θθ 1 e r + Γ θ rθ 0 e θ + Γ θ θθ 1 e θ = re r Γ r θθ = r, Γ θ θθ = 0 (4.34) 으로모든 connection coefficients를구합니다. 마찬가지로여기서 e θ θ 쉽게보일수있습니다. = re r 임은 이제인자하나가아래에있는텐서에대한 ( 앞으로이를 one-form 이라고부름 ) covariant derivative 는어떻게표현되는지살펴보겠습니다. 이를위하여스칼라 ϕ = p α V α 를생각해봅니다. 스칼라의미분은일반적으로텐서이고 (gradient 연산자는 벡터를만드는것과마찬가지임 ) ϕ,β = p α V α,β + p α,β V α = p α (V α,β + Γ α γβv γ ) + (p α,β Γ γ αβ p γ)v α = p α V α ;β + (p α,β Γ γ αβ p γ)v α (4.35) 로정리됩니다. 모든항들이텐서이므로괄호안의표현도텐서가되아야하고따라 서 p α;β = p α,β Γ γ αβ p γ (4.36) 로 covariant derivative 를정합니다. 그러면위의스칼라미분은 ϕ,β = p α V α ;β + p α;β V α (4.37) 으로단순미분에서보았던형태와비슷해집니다. 벡터와 one-form 의 covariant derivative 표현을잘살펴보면인자가위에있는가아래에있는가에따라부호만다름을알 수있습니다. 따라서인자가 2 개인 2nd-rank 텐서의 covariant derivative 는 T αβ ;γ = T αβ,γ + Γα δγt δβ + Γ β δγ T αδ (4.38) 와같이 connection coefficients 를포함하는항이 2 개가됩니다. 또한 T αβ;γ = T αβ,γ Γ δ αγt δβ Γ δ βγt αδ (4.39)

74 제 4 장일반좌표계 (GENERALIZED COORDINATES) 와같고최종적으로 T α β;γ = T α β,γ + Γ α δγt δ β Γ δ βγt α δ (4.40) 로정리됩니다. g αµ;β 는어떤값일까? 이를알아보기위하여 V α = g αµ V µ 라는수식 의 covariant derivative 를취하면 V α;β = g αµ V µ ;β + g αµ;βv µ (4.41) 입니다. 그런데 V α;β 와 g αµ V µ ;β 모두같은형태의텐서로서텐서의변환규칙을잘따르려면 g αµ;β 항이 0 이어야합니다. 따라서 g αµ;β = 0 (4.42) 입니다. 2.2 Connection Coefficients Γ α γβ 는 g αβ 를미분한양으로표시할수있습니다. 즉 Γ γ αβ = 1 2 gγδ (g δβ,α + g αδ,β g αβ,δ ) (4.43) 으로표시됩니다. 위의수식을 Levi-Civita connection 이라고부릅니다. 따라서이제 connection coefficients는 metric 텐서만으로구할수있습니다. 우선위의수식이어디로부터왔는지살펴보겠습니다. g αβ 도텐서이고따라서수식 (4.39) 을만족시켜야합니다. 즉, g αµ;β = 0 으로부터 g αβ,µ = Γ ν αµg νβ + Γ ν βµg αν, g αµ,β = Γ ν αβg νµ + Γ ν µβg αν, g βµ,α = Γ ν βαg νµ Γ ν µαg βν, (4.44) 이고이를더하여세개의항으로분류하면 (g βν = g νβ 이용 ) g αβ,µ + g αµ,β g βµ,α = (Γ ν αµ Γ ν µα)g νβ + (Γ ν αβ Γ ν βα)g νµ + (Γ ν βµ + Γ ν µβ)g αν (4.45)

제2절 75 일반 좌표계에서 미분 B B C A A C 그림 4.3: 왼쪽 폐곡선은 휘어지지 않은 2 차원 평면에 놓여 있다고 가정합니다. 출발점 A 로부터 벡터를 평행 이동시켜 B, C 를 지나 다시 A 지점까지 오면 이동 전의 벡터와 같은 방향, 같은 크기의 벡터를 얻는다. 오른쪽의 경우, 구표면에 있는 페곡선에서 벡터를 평행 이 동시키는 경우를 생각해 보자. A B C 의 경로를 지나면서 이동된 벡터의 방향은 A 에 다시 이르렀을 때 초기 벡터의 방향과 달라지게 됩니다. 입니다. 오른쪽 항 2 개는 Christoffel symbol 의 대칭성에 의하여 (문제 4.3 참고) 없 어지고 gαβ,µ + gαµ,β gβµ,α = 2gαν Γν βµ (4.46) 가 만족됩니다. 최종적으로 g αγ gαν = δ γν 를 이용하면 1 αγ g (gαβ,µ + gαµ,β gβµ,α ) = Γγ βµ 2 (4.47) 로 수식 (4.43) 이 증명됩니다. 그러면 총 Christoffel symbol 의 갯수는 몇개일까요? 우선 index 가 3 개 있으므로 43 = 64 개의 symbol 이 있는데 Γγ βµ = Γγ µβ 이므로 고 정된 γ 에 대하여 독립적인 symbol 갯수는 10 개 (β = µ 인것이 4 개, β = µ 인것이 6 개) 이므로 총 갯수는 4 10 = 40 개가 됩니다. 2.3 Parallel transport 공간이 휘어진 정도를 알아보기 위해서 벡터의 parallel transport 라는 개념을 살펴보 겠습니다. 이는 벡터를 그 크기와 방향을 유지하면서 주어진 곡선을 따라 이동시키는 것을 말합니다. 그림 4.3 의 왼쪽 경우를 살펴보겠습니다. 왼쪽의 폐곡선은 휘어지지 않은 2 차원 평면에 놓여 있다고 하겠습니다. 출발점 A 로부터 벡터를 평행 이동시켜 B 를 지나 다시 C 지점까지 오면 이동 전의 벡터와 같은 방향, 같은 크기의 벡터를 얻습니다. 하지만 오른쪽의 경우와 같이 구표면에 있는 페곡선에서 벡터를 평행 이동 시키는 경우를 생각해 보겠습니다. A B C 의 경로를 지나면서 이동된 벡터의 방

76 제 4 장일반좌표계 (GENERALIZED COORDINATES) λ =1 λ =2 λ =3 λ =4 U 그림 4.4: 벡터 V 를한지점에서다른지점까지 parallel transport 하는과정을나타낸그림. 향은이동전벡터의방향과달라지게됩니다. 따라서이러한벡터의평행이동으로 공간이휘어져있는지여부를판단할수있고또한휘어진공간에서는광역적으로 (global) 평행한벡터 field 를생각하기어렵다는사실도쉽게짐작할수있습니다. 특수상대성이론에서힘을받지않는입자의운동은 A = du dτ = 0 (4.48) 이었습니다. 이개념을일반상대론에서다루는휘어진시공간으로확장하기위하여 한벡터가곡선을따라스스로크기가일정하고평행하게이동하는 parallel transport 라는개념을논의합니다 ( 그림 4.4 참고 ). 이를위하여 λ 라는변수로그위치를나타 낼수있는곡선을따라벡터 V 의변화를생각해보면 dv dλ = d dλ V α e α = dv α dλ e α + V α de α dλ (4.49) 이고이때 de α dλ = e α x β dx β dλ = Γγ αβ e γ (4.50) 이므로 dv dλ = dv α dλ e α + V α Γ γ dx β αβ dλ e γ (4.51) 로정리됩니다. 여기서두번째항의인자 α 와 γ 를교환하면 ( ) dv dλ = dv α dλ + dx β Γα γβ dλ V γ e α (4.52)

제 2 절일반좌표계에서미분 77 로다시정리됩니다. 위의식은벡터로서그성분을새로운정의를이용하여다시쓰 면 DV α Dλ = dv α dλ + dx β Γα γβ dλ V γ (4.53) 이고이를 intrinsic, absolute, 또는 total derivative 라고부릅니다. 때때로위의표현 은 dv dλ = UV (4.54) 으로나타내고이표현은좌표계에무관한것으로이해할수있습니다. 단여기서 U α = dx α /dλ 로서곡선에 tangent 한벡터가됩니다. 즉, 만일 λ = τ 이면 four-vector 가될것입니다. 수식 (4.53) 은 covariant derivative 와매우유사한데, 사실 dv α dλ = V α x β dx β dλ = V α x β U β (4.55) 를이용하면 DV α Dλ ( ) = V α x β U β + Γ α γβu β V γ V α = x β + Γα γβv γ U β = V α ;βu β (4.56) 와같은관계가있음을알수있습니다. 이를바탕으로일반적으로휘어진공간에서 만일벡터 V 가곡선을따라 parallel transport 된다는것을 또는성분별로 U V = dv dλ = 0 (4.57) DV α Dλ = dv α dλ + dx β Γα γβ dλ V γ = 0 (4.58) 을만족하는것으로정의합니다. 일반 Euclidean 공간에있는곡선을따라평행이동시킨다는의미는그곡선을기술하는매개변수로벡터를미분했을경우 0이된다는의미이고위의정의는휘어진공간에서의 parallel transport를정의함에있어벡터의 covariant derivative 가 0이되도록정의하는것으로이해하면쉬울것입니다.

78 제4장 2.4 일반좌표계 (GENERALIZED COORDINATES) Geodesics 저번 절에서 parallel transport 의 개념을 배웠기 때문에 이제 휘어진 공간에서의 직 선 이라는 개념에 대하여 이야기할 수 있습니다. 정의 : 임의의 선이 직선 이라는 의미는 그 선의 tangent 벡터 자체를 parallel transport 시키는 선으로 정의합니다. 즉, 다른 말로는 휘어진 공간에서의 직선은 U U = 0 또는 V α = U α = dxα /dλ 로 놓았을때 d2 xα dxβ dxγ α + Γ =0 γβ dλ2 dλ dλ (4.59) 이라는 뜻이고 좀더 눈에 보이기 쉽게 쓴다면 x α + Γαγβ x β x γ = 0 (4.60) 입니다. 여기서 위의 점으로 미분한 표시는 변수 λ 로 미분한다는 의미입니다. 공간이 휘어있지 않으면 metric tensor 는 상수가 되는 좌표계가 항상 있어서 metric tensor 의 미분항으로 이루어진 Γαγβ 는 모두 0 이 됩니다. 즉 위의 수식은 x α = 0 이 되어 힘을 받지 않는 물체의 운동을 뜻합니다. 여기서 몇가지 중요 사항을 정리해 보겠습니다. 위의 수식은 힘이 없을때의 운동방정식에 해당됩니다. 특수상대성이론에서의 위의 수식에 해당되는 공식은 du/dτ = 0 입니다. 일반상대론에서 중력은 힘이 아니라 시공간의 휘어짐 입니다. 휘어진 공간에서의 metric gαβ 는 Γγ αβ 를 만들고 따라서 입자의 운동도 기술할 수 있게 합니다. 직선은 종종 geodesics 으로도 부른다. 반경이 R 인 구표면에 있는 반경이 R 인 원들은 geodesics 입니다. 사실 직선 을 U U = ku 를 만족하는 선으로 (k 는 비례 상수) 정의해도 되지만 그러한 경우 µ = µ(λ) 와 같은 새로운 변환을 통하여 U U = 0 을 만족시키는 변 수 µ 가 항상 존재합니다. 이때 변수 µ 를 affine parameter 라고 부르고 이제부터는 항상 affine parameter 를 사용한다고 가정합니다. 예를들어 τ 는 질량이 없는 입자의 affine parameter 입니다 (du/dτ = 0).

제 2 절일반좌표계에서미분 79 2.2 Example. 중심력에서의운동 : 다음과같은 Newtonian 중력을 dv dt = GM ˆr (4.61) r2 생각해봅니다. 운동방정식은극좌표계에서어떻게될까요? 일반좌표계에서위수식의왼쪽항이 dv α dt + Γ α βγv β V γ (4.62) 이라고합니다. 극좌표에서는 Γ θ rθ = 1 r, Γθ θr = 1 r, Γr θθ = r 이고나머지항들은다 0 이기때문에 dv r dt + Γ r θθv θ V θ = GM r 2 (4.63) 과 dv θ dt + Γ θ rθv r V θ + Γ θ θrv θ V r = 0 (4.64) 이므로위의두수식은 r r θ 2 = GM r 2 (4.65) 과 θ + 2 r ṙ θ = 0 (4.66) 으로각각쓸수있습니다. 마지막수식은적분을하여 r 2 θ = 상수라는각운동량법칙으로해석할수있습니다. 위의두수식을가지고케플러의법칙을다설명할수있고원심력에해당되는항 r θ 2 은 connection에의해나타났다는점에유의하기바랍니다. 2.5 Geodesics 와 Lagrangian 이번절에서는 geodesics 을 variational 방법을써서접근해보겠습니다. Variational 방법을쓰기때문에미소거리를이용하여 Lagrangin 을다루어봅니다. 일반상대론에 서임의의두점간길이 S 는 S = ds = g αβ dx α dx β (4.67)

80 제 4 장일반좌표계 (GENERALIZED COORDINATES) 혹은매개변수 λ 를도입하여 dx S = g α αβ dλ dx β dλ (4.68) dλ 입니다. S 를최소화하는경로를찾는일은학부역학에서다루어왔던 variational 문제이고따라서 Lagrangian 을 로정의하고 Euler-Lagrange 방정식 L = ds dλ = dx g α dx β αβ dλ dλ (4.69) ( ) d L dλ ẋ α L ẋ α = 0 (4.70) 을풀어내는문제로바뀝니다. 위의수식에있는제곱근은다루기가좀불편하기때 문에 L = L 2 으로바꾸면 ( 수학적으로같은문제를푸는것임 : 아래의논의를볼것 ) 이됩니다. 만일 λ 가 를만족시킨다면수식 (4.71) 은 으로쓸수있어서관계식 ( ) d 2L L dλ ẋ α 2L L ẋ α = 0 (4.71) ds = L = constant (4.72) dλ [ ( ) d L 2L dλ ẋ α ] L ẋ α = 0 (4.73) L = L 2 = g αβ dx α dλ dx β dλ (4.74) 은 ds/dλ 가상수라면 ( 항상가능 ) 원래의 Euler-Lagrange 방정식이됩니다. 이렇게 λ 에대한제한을두는것은 affine parameter를정의하는또다른방법이됩니다. ds/dτ = c 가성립하고빛의속도 c 는상수이기때문에 proper time은 affine parameter임을다시한번알수있습니다. 또한 Euler-Lagrange 방정식은전에유도했던수식 ẍ α + Γ α γβẋ β ẋ γ = 0 (4.75)

제 2 절일반좌표계에서미분 81 과동등함도보일수있습니다. 다음의예제를한번살펴보겠습니다. 2.3 Example. 3 차원휘어진공간에서 Geodesics 휘어진 3 차원공간 ( 시 - 공간이아님 ) 에서입자의운동은어떻게기술되고이를 기술하기위한도구들이어떠한것인지알아보도록하겠습니다. 휘어진 3 차원공간 의미소변위제곱은 ds 2 = g ij (x k )dx i dx j (4.76) 로표현할수있습니다 ( 여기서 i = 1, 2, 3 이고 g ij (x k ) 는 metric이공간의함수임을확실하게나타내기위하여일부러이렇게표현하였습니다. 공간의임의의지점 A 에서출발하여지점 B 로이동하는데걸리는가장짧은거리 (geodesic) 는어떻게될까요? 경로를따라단조증가하는임의의매개변수를 λ 라하면임의의경로자체는 x i (λ) 로표현할수있고경로가고정된점 x i A 부터 xi B 까지따라움직다는사실은 x i (λ = 0) = x i A,. x i (λ f ) = x i B (4.77) 으로나타낼수있습니다. 이제매개변수가 λ 에서 λ + dλ 만큼바뀌었을때경로의 경로의미소변화는 로쓸수있습니다. 따라서 dx i = dxi dλ (4.78) dλ ds 2 = g ij ( x k (λ) ) dx i ds = dλ g ij ( xk (λ) ) dx i dx j dλ dλ2, dλ dx j dλ dλ (4.79) 가되어경로의총길이는 S [ x k (λ) ] = λf 0 g ij ( xk (λ) ) dx i dλ dx j dλ dλ (4.80) 의적분형태가됩니다. 여기서 S[x i (λ)] 는함수 x i (λ) 의함수로서수학적으로 functional 이라고부릅니다. 이제경로자체를조금바꾸면경로의길이또한바뀌게되 는데이를수학적으로나타내기위하여 x i (λ) = x i (λ) + αw i (λ) (4.81)

82 제 4 장일반좌표계 (GENERALIZED COORDINATES) 라는표현을도입합니다. 여기서 α 는작은수이고 w i (0) = w i (λ f ) = 0 인조건을만족합니다. 이러한경우 geodesic의조건은모든 w i (λ) 에대하여 ds [ x i (λ) ] = 0 (4.82) dα α=0 이만족되어야한다는것입니다. 따라서이제 geodesic을구하는문제는위의미분을하는것으로해결될수있습니다. 이를위하여일단다음의정의를하여 A(α, λ) g ij ( x k (λ) ) d x i dλ d x j dλ (4.83) 위에서구한 functional 을 S [ x k (λ) ] = λf 0 A(λ) dλ (4.84) 으로간단하게정리합니다. 이제 S 에대한 α 변수의미분은적분안으로들어가서 d dα g ij( x k (λ) ) α=0 = g ij x k x xk k = g ij ( x l =x k (λ) α α=0 x k (λ) ) w k (4.85) 으로표현할수있어서 ds [ x l (λ) ] = 1 dα 2 α=0 λf 0 + g ij dw i dλ { 1 A(λ, 0) x dx j dλ + g dx i ij dλ g ij dxi wk k dw j dλ dλ } dx j dλ + dλ (4.86) 이고이때 metric g ij 는 x k (λ) 에서계산된것으로생각해야합니다. 그런데위의오 른쪽항에서두번째항과세번째항은 g ij = g ji 이기때문에같은항이되어 ds [ x l (λ) ] = 1 dα 2 α=0 λf 0 { 1 A(λ, 0) x g ij dxi wk k dλ dx j dλ + +2g dw i ij dλ } dx j dλ dλ 으로간단하게정리됩니다. 또한위의오른쪽두번째항은부분적분을하면 λf 0 [ 1 dx j g ij A dλ ] dw i dλ dλ = [ 1 dx j λ f g ij ]w i A dλ 0 [ ] λf 1 1 dx j g ij w i dλ (4.87) dλ A dλ 0

제 2 절일반좌표계에서미분 83 임을이용하면 ds = 1 dα 2 α=0 λf 0 { 1 g ij dx i A x k dλ [ dx j dλ wk 2 d dλ 1 dx j g ij A dλ ]w i } dλ (4.88) 으로바뀝니다. 여기서첫번째항의 summation index 를 (i j, j k, k i) 로 변환하면 ds = dα α=0 λf 0 { [ ]} 1 2 g jk dx j dx k A x i dλ dλ d 1 dx j g ij w i (λ)dλ (4.89) dλ A dλ 으로더욱간단해집니다. 위의수식이임의의 w i (λ) 에대해서만족되려면피적분 함수가 0 이되는방법이유일해서 [ ] d 1 dx j g ij dλ A dλ = 1 2 g jk dx j dx k A x i dλ dλ (4.90) 이항상성립해야하고위의수식이바로 geodesic 에대한방정식이됩니다. 여기서 또한가지방법으로위의수식을간단히할수있습니다. λ 에대한선택은지금까지는 임의적이었지만이제 ds = dλ 인선택을하면 ds = A dλ, A = 1 (4.91) 이되어 geodesic 방정식은 [ ] d dx j g ij = 1 g jk dx j dx k ds ds 2 x i ds ds (4.92) 으로최종정리됩니다. 그런데많은상대론교과서에는 d 2 x i /ds 2 항을포함하는표 현이등장하기때문에이또한여기서구해봅니다. 위식의왼쪽항은 이됩니다. 여기서 [ ] d dx j d 2 x j g ij = g ij ds ds ds 2 + dx j dx k kg ij ds ds k 라는정의를사용하였고, 이에따라 geodesic 방정식은이제 (4.93) x k (4.94) g ij d 2 x j ds 2 = 1 2 ( ig jk 2 k g ij ) dxj ds dx k ds (4.95)

84 제 4 장일반좌표계 (GENERALIZED COORDINATES) 의형태로바뀝니다. 왼쪽항에있는 g ij 를오른쪽으로이동시키기위하여 g il g ij = δ l j (4.96) 라는성질을이용하면 δj l d 2 x j ds 2 = 1 2 (gil i g jk 2g il k g ij ) dxj ds dx k ds (4.97) 입니다. 여기서 l i, i l 로바꾸면 d 2 x i ds 2 = 1 2 (gil l g jk 2g il k g lj ) dxj dx k ds ds = 1 2 gil ( l g jk + 2 k g lj ) dxj ds dx k ds = 1 2 gil ( l g jk + k g lj + j g lk ) dxj ds dx k ds (4.98) 까지정리됩니다 ( 마지막단계에서 j k 를사용 ). 여기서통상 Γ i jk g il ( j g lk + k g lj l g jk ) (4.99) 으로정의하여 geodesic 방정식을 d 2 x i ds 2 + dx j dx k Γi jk ds ds = 0 (4.100) 표현하고이때 Γ i jk 를 affine connection이라고도부릅니다. 위의예제계산과정에서나타났듯이일반적인 geodesic 방정식은 [ ] d dx β g αβ 1 g βγ dx β dx γ ds ds 2 x α ds ds = 0 (4.101) 혹은 d 2 x α ds 2 + dx β dx γ Γα βγ ds ds = 0 의두가지다른형태로정리할수있습니다. 한가지질문은왜 Lagrange 방법을쓰 는가입니다. 일반적으로 Euler-Lagrange 방정식이 Levi-Civita connection 계산보다 간단하기때문입니다. 다음의예제에서이를볼수있습니다.

제 2 절일반좌표계에서미분 85 2.4 Example. 다음의형태로주어지는 ( ) ds 2 = c 2 1 2GM c 2 dt 2 dr 2 + r 1 2GM/c 2 r + r2 (dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 ) (4.102) 미소거리는 Schwarzschild metric 으로알려져있습니다. 이 metric 에대한운 동방정식을계산하세요. Euler-Lagrange 방정식을이용하기위하여 dt ṫ = dt/dλ, dθ θ, dϕ ϕ 로변환 시키면 Lagrangian 은 L = ds ds dλ dλ ( = c 2 = c 2 ( 1 2GM c 2 r 1 2GM c 2 r ) dt dλ ) ṫ 2 + 이됩니다. 예를들어변수 θ 에대한방정식 ( ) dt dλ + 1 dr dr 1 2GM/c 2 r dλ dλ + dθ dθ r2 dλ dλ + sin2 θ dϕ dϕ dλ dλ 1 1 2GM/c 2 r ṙ2 + r 2( θ2 + sin 2 θ ϕ 2) (4.103) ( d L dλ θ ) L θ = 0 (4.104) 을적용하면 d ( ) 2r 2 θ 2r 2 (sin θ cos θ) dλ ϕ 2 = 0 (4.105) 이고이는 Levi-Civita connection 을계산하는것보다는훨씬쉽습니다. 한편 Lagrangian L 이특정좌표 x α 의함수가아니라면 ( L/ x α = 0) 이고 Euler- Lagrange 방정식으로부터 L = dx α g αβ dλ dxβ dλ = g αβ ẋ α ẋ β L ẋ α = 2g αβ ẋ β = 2ẋ α = constant (4.106) 임을알수있습니다. 즉, 그러한좌표에대한 covariant 속도는보존됩니다. 위의예 에서 metric 은 ϕ 에대한함수가아니었기때문에 L ϕ = ( 2r2 sin 2 θ) ϕ = constant (4.107)

86 제 4 장일반좌표계 (GENERALIZED COORDINATES) 가됩니다. 만일입자의운동이 θ = π/2 인 equatorial 평면에고정되어있다면 r 2 ϕ= 상수로서일반상대론에서의각운동량보존에해당됩니다. 2 이제약한중력장이있을경우천천이움직이는입자에대한운동방정식을생각해보겠습니다. 수학적으로이는 i =, 1, 2, 3 인경우 ẋ i 0 이고 h αβ 1 인경우 metric 텐서는 g αβ = η αβ + h αβ 로표현된다는의미입니다 ( 이즉슨 g αβ = η αβ h αβ 를만족해야한다는의미 ). 이러할경우운동방정식 ẍ α + Γ α βγẋ β ẋ γ = 0 (4.108) 은 ẍ α + Γ α 00ẋ 0 ẋ 0 = 0 ( ( dxi dλ dx0 dλ = d(ct) ) ) (4.109) dλ 으로간단해집니다. λ = τ 으로놓고 Levi-Civita connection 을구해보면 Γ α 00 = 1 2 gαβ (g β0,0 + g 0β,0 g 00,β ) = 1 2 ( ηαβ )(h β0,0 + h 0β,0 h 00,β ) (4.110) 로정리됩니다. 만일 metric 이정지하여있다면모든시간미분항 (,0 이있는항들 ) 은 0 이되어서 Γ 0 00 = 1 2 η00 (h 00,0 + h 00,0 h 00,0 ) = 0 (4.111) 입니다. 따라서 ẍ 0 +Γ 0 00ẋ 0 ẋ 0 = 0 이므로 ẍ 0 = 0, ẋ 0 은상수라는결론을얻게됩니다. 공간성분은 (η ii = 1) Γ i 00 = 1 2 ηii (h i0,0 + h 0i,0 h 00,i ) = 1 2 (0 + 0 h 00,i) = 1 2 h 00,i (4.112) 이됩니다. 따라서 ẍ i = 1 2 h 00,iẋ 0 ẋ 0 (4.113) 2 물론예제에서다룬 Schwarzschild metric 이일반상대론에서의 metric 이라는가정을하고난다음의 이야기입이다.

제 2 절일반좌표계에서미분 87 이고 ẋ 0 = cdt/dτ 는상수이기때문에 d 2 x i dt 2 = 1 2 c2 h 00,i or r = 1 2 c2 h 00 (4.114) 로정리됩니다. h 00 는무엇일까요? 뉴튼의중력법칙에서 g = Φ (4.115) 이었으므로 (Φ 는중력퍼텐셜로 Φ = GM/r) 이됩니다. 또한 h 00 = 2Φ c 2 (4.116) g 00 = (1 + 2Φ) (4.117) 이됩니다. 지구상에서 h 00 의값은얼마일까요? 2Φ c 2 = 2GM/R2 E R E c 2 2 10 m/s2 6.4 10 6 m 9 10 16 (m/s) 2 10 9 (4.118) 으로매우작은값을갖습니다. 이토록작은정도로시공간이휘어져있음에도불구하 고일반상대론이 GPS 항법장치등에반드시필요한계산이라는것은참으로놀라운 일입니다.

88 제 4 장일반좌표계 (GENERALIZED COORDINATES) 문제 4.1 다음의수식을 e r r e r θ e θ r e θ θ = 0, = 1 r e θ, = 1 r e θ, = re r 증명하기바랍니다. 4.2 극좌표계를사용하여 g αµ;β = 0 임을보이기바랍니다. 4.3 일반적으로 Γ µ αβ = Γµ βα 임을증명하기바랍니다. 4.4 수식 (4.60) 과 (4.70) 는동등함을증명하세요.

제 5 장 곡률 (Curvature) 과 Einstein 방정식 지난장에서는일반적으로휘어진공간의폐곡면에서주어진벡터를 parallel transport 시켰을경우원래의벡터로돌아오지못하는현상을이야기하였습니다. 이번장 에서는이를이용하여곡률 (curvature) 을정의해보겠습니다. 제 1 절 곡률 (Curvature) 임의의휘어진공간에그림 (5.1) 과같이놓여있는미소길이폐곡면을생각하겠습니 다. 2 차원에서임의로휘어져있는공간에서매우작은고리를생각하고그고리는 두좌표계 (x) 1 과 (x) 2 가각각상수인 4 개의곡선으로이루어져있습니다. 이제 A 지점에서차례로 B, C, D 를지나다시 A 지점까지벡터 V 를 parallel transport 시 키는작업을생각해보겠습니다. 우선 A 지점에서 B 지점은좌표계 (x) 2 가상수인 구간이므로 parallel transport 법칙에의해 e1 V = 0 이만족됩니다. 따라서수식 (4.56) 으로부터 V α x 1 = Γα µ1v µ (5.1) 이만족된다는것을알수있습니다. 따라서 B 지점에서벡터는 B V α (B) = V α (A initial ) + = V α (A initial ) A B A V α x 1 dx1 Γ α µ1v µ dx 1 (5.2) 입니다. 같은방법으로 B 에서 C, C 에서 D 까지구간에대한 parallel transport 는 C V α (C) = V α (B) V α (D) = V α (C) + B D C Γ α µ2v µ dx 2 (5.3) Γ α µ1v µ dx 1 (5.4) 이됩니다. 여기서 C 에서 D 까지구간에대한수식의부호가바뀌었는데이는 x 1 이 감소하는방향으로이동하였기때문입니다. 마지막으로 V α (A final ) = V α (D) + 89 A D Γ α µ2v µ dx 2 (5.5)

90 제 5 장곡률 (CURVATURE) 과 EINSTEIN 방정식 B C x 1 = a + δa A D x 1 = a x 2 = b x 2 = b + δb 그림 5.1: 2 차원에서임의로휘어져있는공간에서매우작은고리를생각하고그고리는두 좌표계 x 1 과 x 2 가각각상수인 4 개의곡선으로이루어져있습니다. 이됩니다. 이제고리를한바퀴도는동안벡터의변화를계산해보면 δv α = V α (A final ) V α (A initial ) = + A D D Γ α µ2v µ dx 2 Γ α µ1v µ dx 1 C B B C A Γ α µ2v µ dx 2 Γ α µ1v µ dx 1 (5.6) 이됩니다. 만일현재다루는공간이휘어있지않았다면 Γ α µν 와 V µ 는상수가되어적분은서로상쇄됩니다. 그렇지만휘어진공간에서는그렇지않고일차항만고려하여전개하면 δv α b+δb b δa δb [ δa x 1 (Γα µ2v µ )dx 2 + x 1 (Γα µ2v µ ) + a+δa a x 2 (Γα µ1v µ ) δb x 2 (Γα µ1v µ )dx 1 ] (5.7) 으로정리됩니다. 위수식은 Christoffel symbol 과벡터 V α 에대한미분을포함하고 있습니다. 수식 (5.1) 을이용하면 δv α = δa δb[γ α µ1,2 Γ α µ2,1 + Γ α ν2γ ν µ1 Γ α ν1γ ν µ2]v µ (5.8) 으로정리됩니다. 변수 µ 가사용중에있기때문에 ν 를새롭게도입하였습니다. 이제 좌표 1 과 2 대신일반적인 x σ 와 x λ 를사용하여위의수식을 δv α = δa δb[γ α µσ,λ Γ α µλ,σ + Γ α νλγ ν µσ Γ α νσγ ν µλ]v µ (5.9)

제 1 절곡률 (CURVATURE) 91 으로바꿀수있습니다. 즉한바퀴 parallel transport 시키는동안벡터의변화는 고리의면적 δa δb, 벡터 V α, 그리고다음과같이정의하는텐서 R α βµν Γ α βν,µ Γ α βµ,ν + Γ α σµγ σ βν Γ α σνγ σ βµ (5.10) 에의하여결정됩니다. 이중공간이휘어진정도와 ( 적어도 ) 직접적으로관계있 는양은 R α βµν 이고이를 Riemann curvature tensor라고부릅니다. 1.1 Example. 2-Sphere 에대하여 metric, affine connection, Riemann tensor 를구하기바랍니다. 우선 2-shpere 의 metric 은 ds 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θ dϕ 2, r = R = constant (5.11) 이고이에따른 metric 은정의에따라 g ij = ( R 2 0 0 R 2 sin 2 θ ), g ij = ( 1 R 2 0 0 1 R 2 sin 2 θ ) (5.12) 가됩니다. Affine connection 의경우에는 Γ γ αβ = 1 2 gγδ (g δβ,α +g αδ,β g αβ,δ ) 으로부터 Γ ϕ ϕθ = Γϕ θϕ = 1 2 gϕϕ [ ϕ g ϕϕ + θ g ϕϕ ϕ g ϕθ ] = 1 1 2 R 2 sin 2 θ (2R2 sin θ cos θ) = cos θ sin θ Γ θ ϕϕ = 1 2 gθθ [ ϕ g θϕ + ϕ g θϕ θ g ϕϕ ] = 1 1 2 R 2 ( )(2R2 sin θ cos θ = sin θ cos θ) 이고나머지 connection들은모두 0입니다. 다음으로 Riemann tensor의경우에는 R θ ϕθϕ = θ Γ θ ϕϕ ϕ Γ θ ϕθ + Γ θ iθγ i ϕϕ Γ θ iϕγ i ϕθ = θ ( sin θ cos θ) ( sin θ cos θ) cos θ sin θ = sin2 θ 으로정리됩니다. 마지막으로 Ricci tensor 와 scalar 는 R ij = R k ikj, R ϕϕ = R θ ϕθϕ = sin 2 θ, R = g ij R ij = g ϕϕ R ϕϕ = 1 R 2 sin 2 θ sin2 θ = 1 R 2

92 제 5 장곡률 (CURVATURE) 과 EINSTEIN 방정식 으로최종정리됩니다. 제 2 절 Einstein s Field Equations 이제이를바탕으로 Einstein 의장방정식을구해보겠습니다. 먼저 curvature tensor 의인자를한개 contract 하여 1 R αβ = R ρ αρβ (5.13) 로정의하고이를 Ricci tensor 라고부릅니다. 또한나머지인자까지 contract 하여 R = g αβ R αβ (5.14) 는 Ricci scalar 라고정의합니다. 이제공간이휘어진정도가 energy-stress tensor 와 관계있다는아이디어를근거로 Einstein 의장방정식을 R αβ 1 2 Rgαβ = kt αβ (5.15) 과같이나타냅니다. 여기서 k 는앞으로결정해주어야할상수이고왼쪽항에서 Ricci scalar 부분은우변이 ( R αβ 1 2 Rgαβ) ;α = 0 (5.16) 임을만족시켜주기위해추가되었다고도볼수있습니다. 이제 k 의값을결정하기위하여 Newtonian limit의경우를고려해봅니다. 위의수식은약한중력장내부에서천천히움직이는경우 2 ϕ = 4πGρ 으로근사되어야합니다. 이를위하여장방정식을 g αβ 로 contract 하여 g αβ R αβ 1 2 Rg αβg αβ = kg αβ T αβ (5.17) 이고 T = g αβ T αβ 로정의하면 R 1 2 Rδα αr = R = kt, ( δ α α = 4) (5.18) 1 일부상대론교과서에서는 Ricci tensor 를 R αβ = R ρ αβρ 로정의하기도합니다. 이렇게되면원래의정의에서 R αβ R αβ, R R 로부호가바뀌에됨에주의하기바랍니다.

제 2 절 EINSTEIN S FIELD EQUATIONS 93 입니다. 따라서원래의장방정식은다음과같이 R αβ = 1 ( 2 Rgαβ + kt αβ = k T αβ 1 2 T gαβ) (5.19) 쓸수있습니다. 인자들을모두아래로내려 covariant 형태로나타내면 ( R αβ = k T αβ 1 ) 2 T g αβ (5.20) 로바뀝니다. 한편 stress-energy tensor 는 T αβ = (ρ + p c 2 ) U α U β pg αβ (5.21) 이었고 Newtonian limit 에서 p/c 2 ρ 이었습니다. 즉, T αβ ρu α U β (5.22) 가되어 T = g αβ T αβ = ρg αβ U α U β = ρc 2 (5.23) 입니다. 약한중력장에서 metric 은 g αβ η αβ 라는의미이고따라서 g 00 1 이고 천천이움직이는경우 U i U 0 c 이고 U 0 = g 0α U α g 00 U 0 c 도만족됩니다. 즉 T 00 ρc 2 (5.24) 만이유일하게살아남는항이될것입니다. Ricci tensor R αβ 에서 00 항은 R 00 = Γ ρ 00,ρ Γρ 0ρ,0 + Γσ 00Γ ρ σρ Γ σ 0ρΓ ρ σ0 (5.25) 입니다. 약한중력장에서 2 Φ 가가장큰항이라고근사하면수식 (4.112) 와 (4.116) 으로부터 이고최종적으로장방정식은 ( R 00 Γ i ϕ,i 00,i = c ),i 2 = 1 c 2 2 Φ (5.26) 1 ( c 2 2 Φ = k ρc 2 1 2 ρc2) (5.27)

94 제 5 장곡률 (CURVATURE) 과 EINSTEIN 방정식 혹은 1 c 2 2 Φ = kc4 2 ρ (5.28) 이되어 k = 8πG/c 4 라는결론에이르르게됩니다. 즉 Newtonian 방정식을얻음과 동시에장방정식은 R αβ 1 2 Rg αβ = 8πG c 4 T αβ (5.29) 으로완성됩니다. 이제심심풀이로위의장방정식에대한단위를확인해보겠습니다. 좌변의항은 Ricci tensor 의단위입니다. ds 2 = g µν dx µ dx ν 에서 [g µν ] = dimension-less (5.30) 이고 Γ λ µν 는 g µν 를미분한양으로 [Γ λ µν] = (length) 1 입니다. R µ λαβ 는 αγ µ λβ 항을포함하고있어서 [R µ λαβ ] = (length) 2 이고 Ricci tensor는 Riemann tensor와단위가 없는 metric 과 contract 이므로 [R αβ ] = (length) 2 이되어좌변의단위는 (length) 2 로서 SI 단위로나타내면 [R αβ ] = m 2 입니다. 우변의경우 T 00 = ρc 2, U = GMm/r 으로부터 [ ] T00 = [ρc 2 ] = kg m 3 m2 s 2 [ ] J m G = [Ur/(Mm)] = kg 2 = kg m3 s 2 kg 2 가되어 [ ] ( ) ( ) ( ) 8πG c 4 T kg µν = m 3 m2 kg m 3 s 4 s 2 s 2 kg 2 m 4 = m 2 (5.31) 로서장방정식의단위는 m 2 이고좌, 우변의단위는 ( 당연히 ) 같습니다. 2.1 Schwarzschild Metric 유도공간에구형으로대칭인 (spherically symmetric) 질량분포가있을경우이질량분포외부에서의 metric tensor는어떻게표현될까요? 이러한상황에서 4차원시공간 metric을 Schwarzshild metric 이라하고위에서구한장방정식을사용하여유도해보겠습니다. 시간을포함한구형질량분포의중심을원점으로하는좌표계 {t, r, θ, ϕ} 를고려하고다음세가지를가정합니다. 이질량분포의중심에서무한히멀리떨어진곳에서의공간은편평해야합니다

제 2 절 EINSTEIN S FIELD EQUATIONS 95 (asymptoticallly flat). 이공간의 metric 은시간의함수가아닌정적인 metric이됩니다. 이공간의 metric 은 (dt)(dx i ) 와같은항이없어야합니다 ( 만일이러한항이있다면 t t 의변환에서 metric이대칭이아니게됨 ). 이러한조건을만족하는 metric은다음과같이표현할수있어서 ds 2 = e 2α (cdt) 2 + e 2β dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θ dϕ 2 (5.32) 이고여기서 α(r) 과 β(r) 은모두 r 만의함수입니다. 위의표현에따르면 g 00 = e 2α, g 11 = e 2β, g 22 = r 2, g 33 = r 2 sin 2 θ (5.33) 이고 0 이아닌 connection coefficients 은 Γ 0 01 = Γ 0 10 = ( r α) Γ 1 00 = ( r α)e 2(α β) Γ 1 11 = ( r β) Γ 1 22 = re 2β Γ 1 33 = r sin 2 θe 2β Γ 2 12 = Γ 2 21 = 1 r Γ 2 33 = sin θ cos θ Γ 3 13 = Γ 3 31 = 1 r Γ 3 23 = Γ 3 32 = cos θ sin θ 으로정리됩니다. 이를활용하여 Riemann tensor 를구하면 6 개의항이있어서 R101 0 = ( r α)( r β) r 2 α ( r α) 2 R202 0 = r( α)e 2β R303 0 = r( α)e 2β sin 2 θ R212 1 = r( r β)e 2β R313 1 = r( r β)e 2β sin 2 θ R323 2 = (1 e 2β ) sin 2 θ

96 제 5 장곡률 (CURVATURE) 과 EINSTEIN 방정식 으로정리됩니다. Ricci scalar 의경우에는 Riemann tensor 의정의에서유도하는것 이좀더편해서 으로부터 R α βµν Γ α βν,µ Γ α βµ,ν + Γ α σµγ σ βν Γ α σνγ σ βµ R βν = R α βαν = Γ α βν,α Γ α βα,ν + Γ α σαγ σ βν Γ α σνγ σ βα R 00 = Γ α 00,α Γ α 0α,0 + Γ α σαγ σ 00 Γ α σ0γ σ 0α = Γ 1 00,1 0 + Γ 1 11Γ 1 00 + Γ 2 21Γ 1 00 + Γ 3 31Γ 1 00 Γ 1 00Γ 0 01 ] = r [e 2(α β) r α + ( r β)e 2(α β) r α + 1 r e2(α β) r α 2 e 2(α β) ( r α) 2 = e 2(α β)[ r 2 α + ( r α) 2 r α r β + 2 ] r rα R 11 = r 2 α ( r α) 2 + r α r β + 2 r rβ R 22 = e 2β[ ] r( r β r α) 1 + 1 R 33 = sin 2 θ(r 22 ) 로정리됩니다. 이를바탕으로 Ricci scalar를계산하면 R = g 00 R 00 + g 11 R 11 + g 22 R 22 + g 33 R 33 = e 2α e 2(α β)[ r 2 α + ( r α) 2 r α r β + 2 ] r rα [ + ( e 2β ) r 2 α ( r α) 2 + r α r β + 2 ] r rβ + ( 1/r 2 ) e 2β[ ] r( r β r α) 1 + ( 1/r 2 ) + ( 1/r 2 sin 2 θ) sin 2 θ R 22 = 2e 2β[ r 2 α + ( r α) 2 r α r β + 2 r ( rα r β) + 1 ] r 2 (1 e2β ) = 0 으로정리되고이는진공에서는 0이되어야 2 합니다. 이에따라 R 00 과 R 11 도각각 0이되어야하고이를이용하여 0 = e 2(α β) R 00 + R 11 = 2 r ( rα + r β) α + β = constant 2 진공에서는 R µν 1 2 gµνr = 0 이고이수식에 gµν 를곱하여 contract 시켜주면 R = 0 을얻게됩니다.

제 2 절 EINSTEIN S FIELD EQUATIONS 97 를얻게되고위의상수는 t e constant t 의변환으로 0 으로정해줄수있습니다. 즉 α = β 의관게를얻게되고또한 R 22 = 0 이라는조건으로부터 e 2α[ ] 2r r α + 1 = 1 (5.34) 이고이는 r (re 2α ) = 1 (5.35) 과동일하게되어 R S 를상수로놓으면 e 2α = 1 R S r (5.36) 로구할수있습니다. 즉 Schwarzschild metric 은 ( ds 2 = 1 R S r ) ( c 2 dt 2 1 R S r ) 1dr 2 r 2 dω 2 (5.37) 으로표현됩니다. 이제상수 R S 를결정하기위하여약한중력에대한수식 (4.116) 을살펴봅니다. g 00 = 1 + h 00 으로부터 g 00 = 1 + 2ϕ c 2 = 1 2GM c 2 r ( = 1 R S r ) (5.38) 이고따라서 R S = 2GM c 2 (5.39) 임을알수있고이때위의상수 R S 를 Schwarzschild radius 라고부릅니다. 2.2 Schwarzschild 블랙홀 Schwarzschild metric 으로기술되는 metric을가진물체중물체의실제반경이 R S 보다작은대상을 Schwarzschild 블랙홀또는회전하지않는블랙홀이라고합니다. 참고로우리의태양과지구의경우 Schwarzschild radius의값들은 R S (Sun) = 3 km R S (Earth) = 9 mm 로매우작은값들입니다. 이러한블랙홀에대하여자유낙하하는물체의경우관찰자에따라시간이어떻게다르게계산되는지앞으로알아보겠습니다. 우선관찰자자신이블랙홀로자유낙하하는경우, 자신이보는 ds 2 = c 2 dτ 2 일것입니다 ( 여기서 dτ 는 proper time의미소변화 ). 두번째관찰자는블랙홀로부터멀리떨어져있는고정된

98 제 5 장곡률 (CURVATURE) 과 EINSTEIN 방정식 위치에서블랙홀중심으로자유낙하하는물체를관찰합니다 (dω = 0). 이경우 ( ds 2 = c 2 dτ 2 = 1 R ) ( S c 2 dt 2 1 R ) S 1dr 2, r r c 2( dt ) ( 2 = c 2 1 R ) S 1c ( 2 + 1 R ) 2 ( S dr ) 2 (5.40) dτ r r dτ 이성립합니다. 이제수식 (4.92) 에서구한 geodesic 방정식을이용하여 (s τ) d dτ dx [g ν ] µν dτ = 1 g λσ x λ x σ 2 x µ τ τ (5.41) 계산을해봅니다. 우선 dx µ /dτ 에서는 dt/dτ 와 dr/dτ 가 0 이아니므로 µ = r 인경 우 이고이를계산하면 ( 1 R S r d [ dr ] g 11 dτ dτ = 1 2 rg 00 ( cdt dτ ) 1 d 2 r dτ 2 R S /r 2 ( dr ) 2 1 R ( = (1 R S /r) 2 dτ 2 c2 S dt ) 2 1 r 2 dτ 2 이고여기에수식 (5.40) 를대입하여 (dt/dτ) 를소거하면 ) 2 ( dr ) 2 + r g 11 (5.42) dτ ) 2 R S /r 2 ( dr (1 R S /r) 2 dτ (5.43) d 2 r dτ 2 = GM r 2 (5.44) 을얻습니다. 언뜻보기에이수식은뉴튼역학에서의가속력관계와같아보이나엄 밀히말하면여기에서는 proper time 으로미분한양으로표현된다는점에서좀다르 겠습니다 ( 시간이자유낙하하는물제의계에서측정된시간 ). 또한위의수식은 [ d dτ 1 2 ( dr dτ ] ) 2 GM = 0 (5.45) r 으로도쓸수있어서 proper time 에대하여보존되는양을정의할수있습니다. 만일 자유낙하의시작점이 r 0 이었다면그보존량은 GM/r 0 이고 1 ( dr ) 2 GM 2 dτ r = GM r 0 (5.46) 혹은 dr dτ = 2GM ( 1 r 1 r 0 ) = 2GM(r 0 r) rr 0 (5.47)

제 2 절 EINSTEIN S FIELD EQUATIONS 99 으로바뀌어서 τ 에대한적분을할수가있습니다. 즉 으로표현됩니다. 3 τ(r f ) = = r0 2GM r0 2GM rf r r 0 (r 0 r) dr [r 0 tan 1 r 0 r f + r f ] r f (r 0 r f ) 따라서자유낙하하는물체에고정되어있는관측자입장에서는 물체가 Schwarzschild horizon 까지도달하는데유한한시간이걸리는것으로해석됩 니다. 이제그렇다면블랙홀에서멀리떨어져있는고정된지점에서는어떻게관찰될까 알아보겠습니다. 이를위하여 dr/dt = (dr/dτ)/(dt/dτ) 식과수식 (5.40) 를대입하여 dt/dτ 를소거하면 dr dt = 이고 r 이 R S 근처에접근하면 로서매우큰값을갖게되어 dr/dt 는 (dr/dτ) ( 1 (1 R S /r) + 1 dr c 2 (1 R S /r) 2 dτ ) 2 (5.48) 1 1 R S /r = r R S (5.49) r R S r R S 으로근사됩니다. 이를적분하면 t(r f ) R S c rf dr ( r dt c RS ) R S dr r 0 r dr = R S R S c ( ) ln (r f R S ) ln (r 0 R S ) (5.50) (5.51) 입니다. 위의수식에서 t(r f ) 는 r f 가 R S 로접근함에따라양의무한대로발산하게 되고이는외부에서는물체가 R S 에도달하는것을보지못한다는의미입니다. 3 다음의적분은 r r 0 r dr = r 0 tan 1 r0 r r + r(r 0 r) 으로해석적적분이성립합니다.

100 제 5 장곡률 (CURVATURE) 과 EINSTEIN 방정식

제 6 장 상대론적우주론 이제지금까지의논의를바탕으로상대론적우주론에대하여알아보겠습니다. 이제 부터는빛의속도 c = 1 로놓고계산을하겠습니다. 제 1 절 FRW metric 과 Einstein 장방정식 전에언급한 FRW metric 을일단다시써보면 { } ds 2 = dt 2 + a 2 dr 2 (t) 1 kr 2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 ) (6.1) 입니다. 이를바탕으로 Christoffel symbol 들을구하면 Γ 0 11 = 1 2 g00 [ 1 g 10 + 1 g 01 0 g 11 ] = Γ 0 22 = aȧr 2 Γ 0 33 = aȧr 2 sin 2 θ Γ 1 01 = Γ 2 02 = Γ 3 03 = ȧ a Γ 1 11 = kr 1 kr 2 Γ 1 22 = r(1 kr 2 ) Γ 1 33 = r(1 kr 2 ) sin 2 θ aȧ 1 kr 2 Γ 2 12 = Γ 3 13 = 1 r Γ 2 33 = sin θ cos θ Γ 3 23 = cot θ 입니다. 이를바탕으로 Ricci tensor를구하면 R αβ = ρ Γ ρ αβ βγ ρ ρα + Γ ρ ρλ Γλ βα Γ ρ βλ Γλ ρα 101

102 제 6 장상대론적우주론 이므로 R 00 = ρ Γ ρ 00 0Γ ρ ρ0 + Γρ ρλ Γλ 00 Γ ρ 0λ Γλ ρ0 = 0 Γ i i0 Γ i 0jΓ j i0 = 3 0 ȧ a Γi 0i 3 = 3äa ȧ2 a 2 3 R 11 = aä + 2ȧ2 + 2k 1 kr 2 (ȧ R 22 = r 2 (aä + 2ȧ 2 + 2k) R 33 = r 2 (aä + 2ȧ 2 + 2k) sin 2 θ 이됩니다. 위의수식들에서공간부분은다시 a ) 2 = 3ä a R ij = (aä + 2ȧ 2 + 2k) g ij a 2 으로나타낼수도있습니다. 마지막으로 Ricci scalar 는 [ (ȧ ) ] 2 ä R = 6 a + + k a a 2 으로최종정리됩니다. 이제 Friedmann 방정식에대하여상대론적논의을할준비가 거의다됩셈입니다. 1.1 Friedmann 방정식이제 FRW metric 내부의물질과에너지의형태가이상적인유체 (perfect fluid) 라고가정합니다. 이유체는 comoving coordinates 에서는정지해있는것으로관찰되어 four-velocity 는 U µ = (1, 0, 0, 0) (6.2) 이될것이고에너지 - 운동량텐서는 T µν = (ρ + P )U µ U ν + P g µν (6.3)

제 1 절 FRW METRIC 과 EINSTEIN 장방정식 103 가되어 T µν = ρ 0 0 0 0 g 11 P 0 0 0 0 g 22 P 0 0 0 0 g 33 P (6.4) 입니다. 만일 index 하나를위로올리면 T ν µ = g µα T αν = diag( ρ, P, P, P ) (6.5) 로좀더간결해지고 T = T µ µ = ρ + 3P (6.6) 가됩니다. 이제이를 Einstein 장방정식에넣겠습니다. 계산을편하게하기위해서 Einstein 방정식을약간변형한식 ( R µν = 8πG T µν 1 ) 2 g µνt (6.7) 을사용합니다. µν = 00 성분은 ( 3ä a = 8πG ρ 1 ) 2 ( 1)( ρ + 3P ) = 4πG(ρ + 3P ) (6.8) 가되고 µν = ij 성분의경우에는 (aä + 2ȧ 2 + 2k) g ( ij a 2 = 8πG (ȧ ä a + 2 a ) 2 + 2 k a 2 = 4πG(ρ P ) g ij P 1 ) 2 g ij( ρ + 3P ) 으로정리됩니다. 위의두식에서 ä 가있는항을없애면 과원래의식을정리한꼴인 (ȧ a ) 2 = 8πG 3 ρ k a 2 (6.9) ä a = 4πG (ρ + 3P ) (6.10) 3 식들을얻고이는비상대론적으로유도한 Friedmann 방정식들과일치합니다.

104 제 6 장상대론적우주론 1.2 인플레이션우주론 (Inflation Cosmology) 전에언급한 horizon 문제와편평도문제를해결하기위하여인플레이션우주론이 1980 년도에도입되었습니다 [5]. 기본적인아이디어는우주초기의에너지밀도는 scalar field ϕ(t, r) 가거의대부분이었고이 scalar field의 potential은 V (ϕ) 로주어진다는것입니다. 이러한경우이 scalar field가주는에너지밀도와압력은 ρ ϕ = 1 2 ϕ 2 + V (ϕ) P ϕ = 1 2 ϕ 2 V (ϕ) 로주어집니다. 이 scalar field 에의해서우주초기에급속가속팽창을하게되는데 우선그조건에대하여간단하게알아보겠습니다. Hubble 매개변수와 scale factor 로 부터 으로나타내고이때 ϵ 은 d dt (ah) 1 = d dt (ȧ) 1 = ä ȧ 2 으로정의합니다. 이렇게되면가속팽창의조건 ä > 0 은 = + aḣ ȧh (ah) 2 1 (1 ϵ) a ϵ Ḣ H 2 (6.11) ϵ < 1 or Ḣ H 2 < 1 (6.12) 이되는셈입니다. 즉 ϵ 은인플레이션의정도를나타내는매개변수라고생각할수 있어서극단적인경우 (ϵ = 0) ϵ = 0 H = ȧ = constant (6.13) a 이고이럴경우 H 가상수이기때문에 scale factor 방정식을적분할수있어서 da a = H dt a eht (6.14) 이되어 metric 은 ds 2 dt 2 + e 2Ht (dr 2 + r 2 dω 2 ) (6.15) 으로표현됩니다. 우주초기에에너지밀도는 ϕ 에의해결정되므로 Friedmann 방정식은 H 2 8πG [ ] 1 3 2 ϕ 2 + V (ϕ) (6.16)

제 1 절 FRW METRIC 과 EINSTEIN 장방정식 105 V (φ) (slow roll) Reheating φ 그림 6.1: 인플레이션기간에는 potential 의기울기가매우작아서운동에너지항이매우작 게되는 potential 모양을기술하는그림. 이러한모델을 slow-roll potential 이라고많이부 릅니다. 로쓸수있고위의식을시간에대하여미분하면 2HḢ = 8πG [ ] ϕ 3 ϕ + V (ϕ) ϕ (6.17) 입니다 (V = dv/dϕ). 이제 Ḣ = äa ȧ2 a 2 = ä a H2 (6.18) 에다가두번째 Friedmann 방정식과 scalar field ϕ 에대한에너지밀도및압력을넣으면 Ḣ = ä a H2 으로정리됩니다. 즉 = 4πG 3 = 4πG ϕ 2 ä a = 4πG (ρ + 3P ) (6.19) 3 ( 1 2 ϕ 2 + V + 3 2 ϕ2 3V 이제수식 (6.17) 에이결과를대입하면 ) 8πG ( ) 1 3 2 ϕ 2 + V Ḧ 는 scalar field ϕ 의운동에너지항과관계가있게됩니다. 2H( 4πG ϕ 2 ) = 8πG 3 [ ϕ ϕ + V ϕ] ϕ + 3H ϕ + V = 0

106 제 6 장상대론적우주론 의미분방정식을얻게되고이방정식이 scalar field 가우주가팽창함에따라어떻 게변하는지기술하는방정식입니다. 위의방정식은 harmonic oscillator 방정식으로 scalar field ϕ 의 potential 이외부힘으로 (V ) 작용한다는의미이고또한우주의팽창 은일종의마찰력 (3H ϕ) 처럼행동한다는뜻이기도합니다. 위에서 Ḣ 와 ϵ 의표현를 사용하면 ϵ = Ḣ 2 4πG ϕ = H2 8πG 3 ρ ϕ (6.20) 이므로인플레이션의조건인 ϵ < 1 은인플레이션시기에는운동에너지항 1 2 ϕ 2 은전 체에너지항 ρ ϕ 에서작은부분만차지한다는의미입니다. 따라서인플레이션이일 어나려면그기간동안에는 potential 이거의편평하여운동에너지항이매우작아야 한다는뜻이고이에대한상황이그림 (6.1) 에설명되어있습니다. 인플레이션이시 작될당시의에너지밀도 (ρ f ) 는얼마일까요? 정확한값은현재알수없으나만일 입자물리학에서이야기하는 GUT 에너지 scale 이라면 (E GUT 10 16 GeV) 단위분 석을통하여 ρ f E4 GUT ħ 3 c 5 = 2 1081 g/cm 3 (6.21) 정도로예측해볼수있습니다. 그렇다면인플레이션이진행되는동안우주의급속 팽창은 k = 0 인 FRW metric 으로기술할수있어서 Friedman 방정식의우변이 (ȧ 상수가되어적분이가능하게됩니다. 즉 a ) 2 = 8πG 3 ρ f (6.22) a(t) = constant e χt 8πG χ = 3 ρ f 10 37 s 1 이됩니다. 이러한 scale factor 의지수적확장은대략 cχ 1 의거리로부터 1 (cχ 1 = 3 10 8 m/s 10 37 s 3 10 29 m) 약 10 cm 정도까지로추측되고있고이에따 르면 scale factor 자체는인플레이션기간동안 10 28 배증가되는셈입니다. 그리고 이러한지수적확장이일어나는시간은 e χ t = 10 28 (6.23) 로계산할수있어서 t 10 36 s 정도로예측되고있습니다. 그렇다면이러한인플레이션우주론은 horizon 문제와편평도문제를어떻게설 1 이거리 cχ 1 은인플레이션초기에 scalar field 가근사적으로일정한값을갖게되는거리를뜻하게 되어 coherence 영역 이라고부릅니다.

제 1 절 FRW METRIC 과 EINSTEIN 장방정식 107 명할까요? 이제부터논의해보겠습니다. 인플레이션우주론에따르면현재관측되는 우주전체가훨씬더작은 coherence 영역으로부터팽창이진행되었음을예측합니다. 따라서 horizon 문제는자연스럽게해결됩니다. 또한편평도문제는다음과같이설 명됩니다. Scalar field ϕ 가 potential 을천천히내려오게되면 (slow-roll) metric 의 변화는에너지밀도 ρ 에따라결정됩니다. 이때의 metric 을 FRW metric 으로근사 하면 scale factor 는 Friedmann 방정식을따르게되어 (ȧ a ) 2 = 8πG 3 ρ k a 2 (6.24) 을만족합니다. 편평도문제는왜 k/a 2 항이작은가인데인플레이션우주론에의하 면 coherence 영역은지수적으로팽창하여 ρ 는거의상수이지만 k/a 2 은우주가팽 창하여대략 (1/a 2 ) = (10 28 ) 2 = 10 56 정도작아지게됩니다. 이러한논리에의해 왜 k/a 2 항이작아지는가를설명합니다.

108 제 6 장상대론적우주론

부록 A Mathematica 활용 Tenor 계산 제 1 절 Schwarzschild Metric Schwarzschild metric 에대한각종 tensor 를구하겠습니다. 두가지다른방법을사 용하는데이방법들은김유래, 이보현학생이작성한것을정리한것입니다. 우선수 식 (5.32) 에서나타난바와같이 ds 2 = e 2α (cdt) 2 + e 2β dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θ dϕ 2 (A.1) 으로부터출발합니다. 즉 x0=t;x1=r;x2=th;x3=ph; g00[t,r,th,ph]=-exp[2 al[r]]; g11[t,r,th,ph] =Exp[2 be[r]]; g22[t,r,th,ph]=r^2; g33[t,r,th,ph]= r^2 (Sin[th])^2; g01[t,r,th,ph]=g02[t,r,th,ph]=g03[t,r,th,ph]=g12[t,r,th,ph]= g13[t,r,th,ph]=g23[t,r,th,ph]=0; Coord={x0,x1,x2,x3}; g={ {g00[x0,x1,x2,x3],g01[x0,x1,x2,x3],g02[x0,x1,x2,x3],g03[x0,x1,x2,x3]}, {g01[x0,x1,x2,x3],g11[x0,x1,x2,x3],g12[x0,x1,x2,x3],g13[x0,x1,x2,x3]}, {g02[x0,x1,x2,x3],g12[x0,x1,x2,x3],g22[x0,x1,x2,x3],g23[x0,x1,x2,x3]}, {g03[x0,x1,x2,x3],g13[x0,x1,x2,x3],g23[x0,x1,x2,x3],g33[x0,x1,x2,x3]}}; h=inverse[g]; 까지입력하면좌표계및 metric tensor 설정을완료합니다. 이제 Christoffel symbol 을구하기위하여 Gam=Table[Sum[(1/2) h[[a,d]]( D[g[[d,b]],Coord[[c]]]+D[g[[d,c]],Coord[[b]]]-D[g[[b,c]],Coord[[d]]] ),{d,1,4}],{a,1,4},{b,1,4},{c,1,4}]; 와같이설정합니다. 이제 Gam 은테이블이되어 { {Γ 0 00, Γ 0 01, Γ 0 02, Γ 0 } { 03, Γ 0 10, Γ 0 11, Γ 0 12, Γ 0 } { 13,..., Γ 3 30, Γ 3 31, Γ 3 32, Γ 3 33} } 의형태를갖습니다. 이제 Riemann tensor, Ricci tensor, Ricci scalar 는정의에따라 구하면되어 109

110 부록 A MATHEMATICA 활용 TENOR 계산 Rm=Table[ D[Gam[[a,b,d]],Coord[[c]]]-D[Gam[[a,b,c]],Coord[[d]]]+ Sum[Gam[[a,c,e]] Gam[[e,b,d]]-Gam[[a,d,e]] Gam[[e,b,c]], {e,1,4}],{a,1,4},{b,1,4},{c,1,4},{d,1,4}]; Rc=Simplify[Table[Sum[Rm[[e,a,e,b]],{e,1,4}],{a,1,4},{b,1,4}]]; Rs=Simplify[Sum[h[[a,b]] Rc[[a,b]],{a,1,4},{b,1,4}]]; 으로정리됩니다. 마지막 Ricci scalar 는 R = 2e 2β[ r 2 α + ( r α) 2 r α r β + 2 r ( rα r β) + 1 ] r 2 (1 e2β ) 으로수작업계산값과같습니다. 이제두번째방법으로구한방법을소개합니다. 우선 dim=4; coordx={t,r,th,ph}; dcoordx={dt,dr,dth,dph}; gd={{-e^(2 al[r]),0,0,0},{0,e^(2 be[r]),0,0},{0,0,r^2,0}, {0,0,0,r^2 Sin[th]^2}}; gu=inverse[gd]; 으로좌표계및 metric tensor 를설정합니다. 그후에는 csym[i_,j_,k_]:=1/2*gu[[i,i]]*(d[gd[[i,j]],coordx[[k]]]+d[gd[[i,k]], coordx[[j]]]-d[gd[[j,k]],coordx[[i]]]) RiemannT[i_,j_,k_,l_]:= Block[{ii,jj},D[cSYM[i,l,j],coordX[[k]]]-D[cSYM[i,k,j],coordX[[l]]]+ Sum[cSYM[i,k,jj]*cSYM[jj,l,j],{jj,1,dim}]- Sum[cSYM[i,l,jj]*cSYM[jj,k,j],{jj,1,dim}]] RicciT[i_,j_]:=Block[{ii,jj},Sum[RiemannT[ii,i,ii,j],{ii,1,dim}]] RicciS = Sum[gu[[ii,ii]] RicciT[ii,ii],{ii,1,dim}]//Simplify; 으로 Riemann tensor, Ricci tensor, Ricci scalar 를정의합니다. 그리고다음의문장 으로 Do[Print["Ricci" <> ToString[{coordX[[i]],coordX[[j]]}],"=", RicciT[i,j]//Simplify],{i,1,dim},{j,1,dim}] Ricci tenor 를출력합니다. 두개의서로다른방법을잘비교해보기바랍니다.

참고문헌 [1] Y. Su et al., Phys. Rev. D 50, 3614 (1994). [2] http://arxiv.org/abs/astro-ph/1502.01589. [3] http://arxiv.org/abs/astro-ph/1502.01582. [4] D. J. Fixen, Astrophysical J. 707, 916 (2009). [5] A. H. Guth, Phys. Rev. D 23, 347 (1981); A. D. Linde, Phys. Lett. 108B, 389 (1982); A. Albrecht and P. J. Steinhardt, Phys. Rev. Lett. 48, 1220 (1982); A. H. Guth and E. J. Weinberg, Nucl. Phys. B212, 321 (1983). 111

찾아보기 Einstein s summation convention, 10 four-velocity, 14 Hubble constant, 18 Hubble parameter, 18 locally inertial frame, 6 Lorentz four-vector, 14 Lorentz scalar, 15 Lorentz 변환, 5, 11 Lorentz 인자, 10 matter dominated universe, 32 Maxwell, 5 metric, 23 Newton, 5 Poisson, 5 Principle of Equivalence, 6 radiation dominated universe, 37 Riemann curvature tensor, 91 scale factor, 17 Spacelike 구간, 13 Special Relativity, 9 Timelike 구간, 13 관성질량, 6 등가원리, 6 만유인력, 5 만유인력상수, 5 중력질량, 6 중성자별, 7, 16 특수상대성이론, v, 5, 9, 11, 14 112