생활속에서의확률 Act. 1. 야구퍼펙트게임과확률 Act. 2. 수학적확률과통계적확률 Act. 3. 어느팀이이길까? Act. 4. 퍼펙트게임은언제일어날까? Act. 5. 확률과프랙탈도형 - 203 -
< 프로젝트개요> 프로젝트 생활속의확률 개요 생활속에서의확률은생활속에서찾을수있는확률에대하여생각해보는활동이다. 생활과밀접한주제를통하여확률의다양한개념과사고를할수있도록구성이되어있다. 학습목표 1. 확률의정의, 수학적확률, 통계적확률과기하학적확률에대하 여이해할수있다. 2. 공정한게임과공정하지않은게임을알고게임전략과승리예 측을통하여기대값을알수있다. 3. 임의성과규칙성에대하여알수있다. 대상학년및수준 9 학년( 상) 소요예상차시 10차시 관련개념 수학적확률, 기하적확률, 통계적확률, 퍼펙트게임, 공정한게임, 게임전략, 프랙탈도형, 시어핀스키삼각형, 임의성, 규칙성 관련교육과정 확률의뜻과기본성질(8- 나), 확률의계산(8- 나), 상관관계(9- 나), 기대값 - 204 -
Act. 1. 야구퍼펙트게임과확률 Step 1. 한국프로야구의탄생과퍼펙트게임 Step 2. 미국과일본의야구자료조사하기 Step 3. 한국프로야구에서퍼펙트게임이나오는날은? Step 4. 최고타자는누구인가? Step 5. 안타칠확률계산 - 205 -
Step 1. 한국프로야구의탄생과퍼펙트게임 1981년 12월 11 일, 삼성, 롯데, MBC, OB, 해태, 삼미등 6개구단을회원으로하는프로 야구창립총회가 " 자라나는새싹들에게꿈을키워주고야구를사랑하는모든국민에게밝고 건강한여가선용을" 기치로열리면서첫발걸음을내딛게된다. 1993 년은선수들의전력이한층강화된해였다. 92 시즌을끝으로장효조, 김재박, 김시진, 김용철, 김종모등노장선수들이은퇴한공백을이종범, 양준혁등걸출한신인들이입단하 여신선한세대교체가이루어지면서총관중 400 만돌파및서울구단(LG) 처음으로 100만 관중을채우게된다. 7월 30일통산관중 3000 만명을달성하게된다. 1994년은한양대 2학년재학중이던박찬호는대학 3학년이되지않아국내구단들이지명 할수없는상황에서미국 LA 다저스와계약금 120만불에입단함에따라큰파문을일켰 으며, 이후한국아마추어유망주들이국내구단의지명을받고도해외로진출하는사태가 잇따라한, 미간에선수협정을두고계속마찰이발생했다. 1995 년은국내프로선수의해외진출이시작되었다. 한. 일슈퍼게임을통해일본에잘알려 진해태의선동열투수가계약금과연봉을합해 3 억엔에주니치드래곤즈에입단하며, 한 국프로선수들에게일본활동의길을열어주었다. 11월 3일열린슈퍼게임에서도한국은 2 승 2무 2 패로일본과대등한성적을보여주었다. 1996 년스위스로잔에서프로선수들의올림픽출전이허용되어프로. 아마간교류에물꼬 를트게되었다. 원년부터활동해온 OB의박철순투수가만 40세의나이로은퇴하게되었 다. 통산성적은 76승 53패 20S. 현대의박재홍은프로야구최초로 30-30 클럽에가입하여 호타준족을과시하였다. 2001년은양대리그에서다시단일리그로환원하여치른한국시리즈에서페넌트레이스 1 위로선착한삼성의우승을향한각고의노력에도불구하고 3위로 2위현대를물리치고올 라온두산에게패하는아픔을겪게된다. 두산의타이론우즈는외국인선수국내활동이후 최장수를기록하며, 올스타전, 시리즈, 선수권대회 MVP 를차지하는유일한선수가되었다. - 206 -
퍼펙트게임이란야구에서선발등판한투수가한명의타자도진루시키지않고끝낸게 임을가리키는용어를가리키며야구에서한명의투수가선발등판해단한명의타자도 진루시키지않고끝내는경기를말한다. 즉한명의투수가 1회부터 9회가끝날때까지상 대편타자를한명도 1 루에내보내지않은경기이다. 빅유닛 랜디존슨(40 애리조나다이 아몬드백스) 이 2004'5월19 일( 한국시간) 애틀랜타브레이브스와의원정경기에선발등판, 단 1명의타자도출루시키지않고팀의 2-0 완승을이끄는퍼펙트게임을달성했다. 랜디존슨 이 1 회힘차게투구하고있다. - 207 -
Step 2. 미국과일본의야구자료조사하기 Q. 메이저리그최초의퍼펙트게임(perfect game) 은 1880 년웨체스터의리치먼드(Lee Richmond) 가기록하였고, 2004년 10 월현재애리조나다이아몬드백스의존슨(Randy Johnson) 이같은해 5월 19 일에세운기록이마지막입니다. 미국과일본의퍼펙트게임자 료를찾아보시오. - 208 -
Step 3. 한국프로야구에서퍼펙트게임이나오는날은? 퍼펙트게임가상시나리오 9 회말투아웃투쓰리풀카운트. 거인팀의투수는대기록에한발만을남겨두고있다. 상대팀은마지막 태세다. 9번타자자리에왼손대타를기용했고대기록헌납을필사적으로막을 퍼펙트게임이라는한국프로야구사상전인미답의기록에공하나만을남겨둔상태인것 이다. 투수의등에는땀이비오듯흐른다. 기록을위해정면승부를갈수밖에없는상황이고 문제는변화구냐, 직구냐... 좌타자라서아무래도변화구는불리하다. 직구를던지기로마음 먹는다. 아마타자도직구를예상하고있을것이다. 대기록만아니라면변화구나유인구를 선택할수도있지만어쩔수없는상황이다. 이럴때는힘으로맞서는수밖에없다. 포수 도같은생각을했다. 정중앙직구! 아무것도보이지도들리지도않는다. 타자와포수의미트만이보인다. 그리고와인드업. 타자의배트가휘둘러지고공이배트에맞는소리가났다. 뒷그물을넘어가는하얀공이눈에들어온다. 파울. 약간긴장이풀리긴하지만여전히숨막히는승부이다. 방금던진공은족히 150 키로는되었다. 그래서타자는예상을하고있었음에도배트가 밀린것이고. 이번공은. 역시직구다... 이런상황에서선택의여지가없지않은가? 다른 공은상상도할수없다. 정중앙직구를던져야만한다. 힘으로상대를쓰러뜨려야한다. ' 에잇될대로대라!' 팔을떠난공이바깥쪽으로낮게들어간다. 타자의방망이가흠칫하며돌기시작한다. 그냥놔두면볼이될만한공이다. 기록의중압감에어깨에힘이들어갔다. 타자도긴장하긴마찬가지였다. 타자가엉덩이 를빼고휘두른배트끝에공이맞는다. 3 루쪽으로흐르는땅볼. 3 루수가대쉬한다. 그러나포구가잘못되어서한번더듬고 1 루로공을뿌린다. 머리카락 이쭈뼛선다. 타자주자와공이거의동시에 1 루에도착한다. 아니타자가조금빨랐던거같기도하다. 1루심에게경기장내에있는 3 만명이넘는사람들의눈길이모아진다. 잠시망설이던 1 루심은눈딱감고될대로되라는듯이힘차게팔을내려친다. " 아웃!" 포수가달려온다. 야수들이달려온다. 덕아웃에서선수들이뛰쳐나온다온몸에 힘이하나도없다. 퍼펙트게임이다. - 209 -
Step 4. 최고타자는누구인가? 어떤선수가 3 할대타율로성공적인시즌을보냈다든지, 2할 3푼의타율을기록했다는 이야기를들어본적이있을것이다. 타율은특정기간동안쳐낸안타수를공식타수로나눈결과이다. 타율 = 총안타수공식타수 루타수란타자가자신의안타로밝은총루의개수를뜻한다. 즉, 루타수=(1 1 루타의개수)+(2 2 루타의개수)+(3 3 루타의개수)+(4 홈런의개수) = 총안타수 + 2 루타의개수 + (2 3 루타의개수)+(3 홈런의개수) 장타율은루타수를공식타수로나눈값이다. 장타율 = 출루율 = 루타수공식타수 안타수 + 볼넷 + 데드볼공식타수 + 볼넷 + 데드볼 + 희생풀라이 공격공헌도 = 장타율 + 출루율 아래두선수중에서누가최고의타자인가? 김동주심정수 공식 타수 총안 타 2루타 3루타홈런볼넷데드볼 623 179 42 1 16 63 3 6 679 212 29 8 13 36 6 1 희생 타 ]Q. 김동주와심정수의타율은얼마인가? Q. 김동주과심정수의루타수는얼마인가? - 210 -
Q. 김동주과심정수의장타율은얼마인가? Q. 김동주과심정수의출루율은얼마인가? Q. 김동주과심정수의공격공헌도는얼마인가? - 211 -
Step 5. 안타칠확률계산 Q. 어떤야구선수가상대팀의투수 A와대결할때안타를칠확률은 0.2이고투수 B와 대결할때안타를칠확률은 0.25 입니다. 한경기에서이선수가투수 A와 2회대결한후 투수 B와 1회대결한다면 3회의대결중 2 회이상안타를칠확률을구하시오. - 212 -
Act. 2. 수학적확률과통계적확률 Step 1. 수학적확률의정의 Step 2. 수학적확률의계산 Step 3. 통계적확률의정의 Step 4. 통계적확률의계산 Step 5. 기하학적확률의정의 Step 6. 기하학적확률의계산 1 Step 7. 기하학적확률의계산 2 Step 8. 의견수렴하기 - 213 -
Step 1. 수학적확률의정의 확률이라는말은실험이나관찰을전제로하는데이때가능한모든실험결과들의집합 을표본공간(sample space) 라하고, 일반적으로 S 로나타냅니다. 일반적으로확률에서는특 별한조건이없는한각사건들이일어날가능성은같은것으로간주합니다. 이와같은가 정아래정의된확률이수학적확률입니다. 확률의고전적정의( 수학적확률) N 개의원소로된표본공간의모든원소가일어날가능성이같고, 사상 A에속하 는원소의개수를 n개일때사상 A가일어날확률은 P ( A ) = n N 이다. 확률의공리적정의 확률의공리적정의 표본공간 S 에서의임의의사건 A 에대하여 (1) 임의의사상 A 에대하여 0 P(A ) 1 (2) P ( s) = 1 (3) 서로배반인사건 A 1, A 2,, A n 에대하여 P ( A 1 A 2 A n ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + + P ( A n ) 을만족할때, 이 P(A) 를사건 A 의확률이라고한다. - 214 -
Step 2. 수학적확률의계산 동전을하나던졌을때일어날수있는표본공간 S={H, T} 이고, 정상적인동전이라면모 든결과는동등하게일어나기때문에앞면이나오는확률은 P ( A ) = 1 2 이다. 확률의고전적정의( 수학적확률) N 개의원소로된표본공간의모든원소가일어날가능성이같고, 사상 A에속하는원소 의개수를 n개일때사상 A가일어날확률은 P ( A ) = 1 2 입니다. 주머니속에모양과크기가똑같고 1 부터 5 까지의숫자가적힌 서하나를꺼낼때, 5 개의공이있다. 이중에 1, 2, 3, 4, 5 중의하나가나오는것은분명하지만어느공이나올지는 알수없다. 그러나다섯개의공의크기와모양이모두같으므로각수가모두같은정도 로나올것을기대할수있다. 따라서 1, 2, 3, 4, 5 의공이나올가능성은모두 1 5 로같다 고할수있다. 따라서홀수가적힌공이나올확률( 수학적확률) 은 3 5 이다. 1 2 3 4 5 A, B 두주사위를동시에던질때, 다음물음에답하시오. Q. 두개가모두같은눈이나올확률을구하시오. - 215 -
Q. 나오는눈의합이이될확률을구하시오. Q. 나오는눈의차가이상이될확률을구하시오. - 216 -
Step 3. 통계적확률의정의 동전을하나던졌을때일어날수있는표본공간 과를실험한것입니다. S={H, T} 일때, 동전을여러번던진결 위의실험처럼표본공간이유한개의원소로되어있어야하고표본공간의모든원소가일 어날가능성이같아야하는데실제로같지않는경우가많습니다. - 217 -
Step 4. 통계적확률의계산 Q. 위의실험에서 500 번던졌을때의앞면이나올확률을구하여보시오. Q. 동전을두개를실제 500 번던져서다음과같은결과를얻었다. 첫번째앞면(HH) 이 나올확률을구하여보시오. - 218 -
Step 5. 기하학적확률의정의 경우의수가무수히많아서그수를셈할수없을때, 사건 A 가일 어날확률은 P(A) = (A 가일어날수있는영역의크기 ) ( 일어날수있는전영역의크기 ) 있는데이것을기하학적확률이라고한다. 로서구할수 아래의그림과같은원판을돌리기에서사건이일어날가능성을실험해보면다음과같습 니다. 아래의예는 100 번을돌렸을때나온결과입니다. - 219 -
Step 6. 기하학적확률의계산 1 Q. 반지름의길이가 5 인원판이있다. 원판내의임의의점 P 를잡을때, 중심 O와점 P와 의거리 OP가 2 보다크거나같고, 3 보다작거나같은조건이될확률을구하여보시오. ( 단, 점 P 는원판내의어느점이든같은정도로잡을수있습니다.) Q. 인구증가를조절하기위해서중국정부는각각의가정에서한자녀만을가질것을강 력하게권장하였습니다. 다수의가정에서는남아를선호하였습니다. 만약에첫아들이태어 날때까지계속해서아이를낳는다면, 자녀의가 1, 2, 3,..., n 일확률은얼마인가? - 220 -
Step 7. 기하학적확률의계산 2 좌표평면위의정사각형의도형안에있는넓이를구하는방법을찾아보시오. Q. 정사각형안의도형의넓이를구하는방법을찾아보시오. Q. 위에서제한한방법을이용하여정사각형안의한칸의넓이를 1이라할때색칠한부분의넓이는얼마나되겠는지구하여보시오. - 221 -
Step 8. 의견수렴하기 Q. 학생들의사물함을임의적으로조사한다는가정하에이화여자대학교부설의관리자들 은 10 개의사물함을골라약물과총기소지여부를검사하였습니다. 그러나 10개의사물함 모두남학생들의것이었습니다. 남학생들은그들이성차별의희생자라고불평하였습니다. 당 신은이의견에동의합니까? 당신의생각을적고그렇게생각한타당한이유를제시하여보 시오. - 222 -
Act. 3. 어느팀이이길까? Step 1. Step 2. Step 3. Step 4. Step 5. Step 6. Step 7. Roller Derby 게임게임전략찾기승리예측기대값공정한게임베팅전략을찾아라이겨야강팀 - 223 -
Step 1. Roller Derby 게임 아래화면에서두개의주사위를굴려맨위에있는주사위의눈의합과일치하는표위 의말을하나없어진다. 이러한방법으로계속하면누가이길까? 다. [ 게임의규칙] 컴퓨터와하는게임이다. 게임을시작하기전에컴퓨터와게임자는표안에동전( 말) 을임의적으로올려놓는 주사위를굴려맨위에있는주사위의눈의합을구한후, 주사위의눈의합과일 치하는표위의말을하나없어진다. 이러한규칙으로번갈아가며계속하여말을빨리제거하는팀이승리한다. - 224 -
Step 2. 게임전략찾기 Q. 말을놓는데있어서어떤전략을사용해야팀이이길수있는가? Q. 확실하게승리를보장하는전략이존재하는가? Q. 두눈의합이아니라, 바뀌어야하는가? 두눈의곱으로규칙을바꾼다면게임판과승리전략은어떻게 - 225 -
Step 3. 승리예측 확률의덧셈 두사건 A, B 에대하여사건 A P ( A B ) = P ( A ) + P( B ) - P ( A B ) 이다. 또는사건 B 가일어날확률은 특히, 두사건 A, B 가배반사건 ( 즉, A B = ) 일때, P ( A B ) = P ( A ) + P( B) 이다. Q. 어느아파트단지의모든가구를조사한결과 35% 는신문을, 24% 는신문을구독하고 있었고, 8% 는신문과신문을동시에구독하고있었습니다. 그아파트단지에서신문또는 신문을구독하는가구는몇 % 인가? Q. 정규시즌중의어느날, 삼성의승산이 3 : 3, 해태의승산은 4 : 3으로보았다고가정 합니다. 삼성과해태는각자따로게임중이다. 당신은두팀중한팀이이기는데, A는두 팀모두이긴다고하였습니다. 삼성과해태의승산은얼마인가? - 226 -
Step 4. 기대값 기대값 : 확률현상의결과를수값으로나타낼때, 1번시행의결과로기대되는수값 의크기로, 모든사건이일어났을때받는총상금액을한번의시행에대한평균값으로 나타낸다. 또한기대값= 확률 상금으로도구할수있다. Q. 지혜와성민이는주사위놀이를하면서서로많은상금을받기위해지혜는짝수눈이 나오면 200 원을받고, 성민이는 3의배수눈이나오면 300 원을받기로하였습니다. 서로같 은횟수를던질때누구의기대값이큰지알아보시오. Q. 우리반지수는지난겨울에난방이잘되지않는집에서생활하다가감기에걸렸습니 다. 하지만제때에치료를받지못하여지금은심한폐렴증세를보이고있으나집안이너무 어려워제대로병원비를마련하지못하고있습니다. 지수를위해학교에서는 학우돕기 미 니복권을만들려고합니다. 치료비가 20만원이고우리학교학생수가 500명일때각자의 개성을살려자선복권을만들어보시오. ( 복권은 500장으로학생들전원이구입하는것으로 합니다.) Q. 자신이만든복권과다른사람의복권을비교하고, 시오. 자신의복권의장점을토론하여보 - 227 -
Step 5. 공정한게임 Q. 삼성이코리안시리즈우승할것이라고내기를건다고가정합시다. A, B 모두삼성의 우승승산을 3 : 2로보았을때 B는 3만원을걸고 A는 2만원을거는것이공평한내기인 가? Q. 아래는삼성에대한 A, B 의승산에대한예측은아래표와같습니다. A B 삼성 3:2 8:5 만약 A와 B가 3: 2에내기하기로동의하고 B는 3만원을걸고 A는 2만원을거는것이공 평한내기인가? - 228 -
Step 6. 베팅전략을찾아라 만일 u : 100 및 100 : u 가진짜승산이라면, 기댓값 = 이되고평균기대손실은 리스크의 % 보다작거나같다. 이값은항상 % 보다크지않다. 우세팀의승산은 135:100. 열세팀의승산은 100:125 로주어졌을때, u = 1/2 (135 + 125) = 130, s= 1/2 (135-125) = 5 입니다. 따라서기대값은 (-5 x 100)/(135 + 100) = -500/235은 약 -2.13% 입니다. - 229 -
Step 7. 이겨야강팀 여사건의확률 A A C = 이므로사건 A 와 A C 는서로배반사건이다. 따라서 P ( A A C ) =P ( A ) + P ( A C ) = 1 즉, P ( A C ) = 1 - P ( A ) Q. 우리나라프로야구의한국시리즈는 7전 4 선승제로운영되고있습니다. 즉 7번의시합 에서먼저 4 번을이기는팀이우승하는것입니다. 이번한국시리즈에는 A팀이 2승 1패로앞 서가고있습니다. 따라서 A팀은 2 게임, B팀은 3 게임을이겨야우승할수있습니다. 이때, A팀이우승할확률과 B 팀이우승할확률의비를구하여보시오. ( 단, 한게임에서이길확 률은 A, B 두팀이서로같고, 비기는경우는없습니다.) - 230 -
Act. 4. 퍼펙트게임은언제일어날까? Step 1. 확률의곱셈 Step 2. 몇가지가있을까? Step 3. 반복시행 Step 4. 반복시행계산 Step 5. 코리안시리즈는몇차전까지갈것인가? Step 6. 코리안시리즈우승에관한조건부확률 Step 7. 퍼펙트게임가능한날예측 - 231 -
Step 1. 확률의곱셈 확률이 0 이아닌두사건 A, B 에대하여, 사건 A 가일어났다는조건하에서 사건 B 가일어날확률을사건 A 가일어났을때의사건 B 의조건부확률이라하고, P(B A ) 로나타낸다. 즉, P ( B A ) = P( A B ) P ( A ) 이다. S A B 따라서확률의정의에서와같이, A를새로운표본공간으로하고 A안에서 A B 가일어날확률이사건A가일어났을때의사건B 의조건부확률이다. 이로부터사건 A 와사건 B 가동시에일어날확률은 P ( A B ) = P ( A ) P ( B A ) =P ( B ) P ( A B ) 이다. 한편, 두사건 A, B 에대하여, 사건 A 가일어나든사건 A 가일어나지않은사 건 B 가일어날확률이달라지지않을때즉, P ( B A ) = P ( B A c ) = P ( B ) 일때, 사건 A 와 B 는서로독립사건이라한다. 사건 A 와 B 는서로독립사건일때, P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) 이다. Q. 어느거짓말탐지기는 90% 의정확성을가지고있다고합니다. 즉, 거짓말을했을때 거짓이라고응답할확률과참말을했을때참이라고응답할확률이모두 말탐지기의정확성을검사하기위해철수는자신이하는말의 0.9 입니다. 이거짓 70% 를거짓으로말하고탐 지기의응답을조사하였습니다. 이때, 철수가말을했을때, 탐지기가거짓이라고응답할 확률과탐지기가거짓이라고응답했을때, 실제로철수가거짓말을했을확률을각각구하 여보시오. - 232 -
Step 2. 몇가지가있을까? 조합 (Combination) 서로다른 n 개의 원소중에서그배열의순서를생각하지않고 r 개 를택하는것을 n 개에서 r 개를택하는조합이라하고이조합의수를기 호로 n C r 로나타낸다. 1 6명중에서 2명을뽑는경우의수를어느특정한 A를포함하는경우와 그렇지않은경우로나누어서설명해보자. 2 n 개의원소중에서 않은경우로나누어서설명해보자. r 개를택하는조합을어느특정한원소가포함되는경우와그렇지 3 지난시간에배운순열을이용하여 6 C 4 을계산하여보자. 4 일반적으로 n C r 을순열을이용하여구하여보자. 5 6 C 2 와 6 C 4 가같음을계산으로증명해보자. 6 0 r n 일때, n C r = n C n - r 임을계산으로증명해보자. Q. 위의문제를풀어보시오. - 233 -
Step 3. 반복시행 베리누이시행 (Bernoulli trials) 아래와같이세조건을만족하는일련의사건들을베리누이시행 (Bernoulli tri als) 이라고부른다. 1 매번발생가능한결과는성공또는실패의두가지이다. 2 성공확률 p 가매번일정하다. 3 사건들이서로독립이다. 주어진일련의 n베르누이시행에서각시행의성공확률이 p, 실패확률이 q일때다 음과같은공식이성립된다. 단 p + q = 1 이다. Pr(n번시행에서정확히 k 번성공한사건) = 여기서기대되는성공회수는 이다. - 234 -
Step 4. 반복시행계산 p 가아래와같이주어졌을때다음표를완성하시오. Q. " 오랫동안실패했으니이제성공할때가되었다." 는말은옳은가? 옳지않은가? 중하 나를선택하여그이유를써넣으시오. - 235 -
Step 5. 코리안시리즈는몇차전까지갈것인가? 다음조건을만족할때 n( 코리안시리즈는몇차전) 은얼마인가? 즉, 시리즈가몇차전까 지갈것인가? 조건 1. 각시합에서확률 p 인우세팀이승리할것이다. 조건 2. 양팀실력이동등할때만 p = 이고그이외에는 이다. Q. 위에서시리즈가 6 차전까지이어진다는조건이주어졌을때, 우세팀이우승한다는조 건부확률을구하시오. - 236 -
Step 6. 코리안시리즈우승에관한조건부확률 코리안시리즈와관련된대표적인조건부확률들을꼽아보자. 1차전승리팀이우승할확 률은얼마인가? 더나아가 1, 2차전또는 1, 2, 3 차전을연승해버린다면? 그답은아래표 와같다. 다음표에코리안시리즈우승에관한구체적인조건부확률을계산하여보시오. Q. 지금까지의야구의역사에서관찰된비율과 예측한 수치가잘들어맞지않는것을알 수있다. 왜그러한지의견을써넣으시오. - 237 -
Step 7. 퍼펙트게임가능한날예측 Q. 퍼펙트게임가능한날을예측해보시오. Q. 퍼펙트게임가능한날예측일자와추정치를계산하여비교하시오. - 238 -
Act. 5. 확률과프랙탈도형 Step 1. 시어핀스키삼각형 Step 2. 주사위던지기와정삼각형 1 Step 3. 주사위던지기와정삼각형 2 Step 4. 주사위던지기와정육각형 1 Step 5. 주사위던지기와정육각형 2 Step 6. 시어핀스키삼각형의응용 - 239 -
Step 1. 시어핀스키삼각형 다음그림은멘텔브로이트의집합입니다. 시어핀스키삼각형은자기닮음도형이며, 프랙탈도형입니다. 와크로우시어핀스키에의해 이름지어졌고시어핀스키가스켓으로도불립니다. 시어핀스키삼각형은다음과같은방법 을통해얻을수있습니다. 정삼각형하나에서시작합니다. 도형의크기를 1/2로줄인도형 3 개를만들고, 각각의두도형의모서리가맞닿게배치합 니다. Step 2 를반복합니다. 시어핀스키삼각형 3개를이용하여원래의 2배의크기인시어핀스키삼각형을만들수있 으므로, 이도형의하우스도르프차원은 log(3)/log(2) 1.585 입니다. 성질 다음의두성질은일반적인시어핀스키도형의성질입니다. 시어핀스키삼각형의변의길이의합은무한대입니다. 처음정삼각형의둘레의길이를 3l 이라할때, step 2 의변의길이는두배가됩니다. 이를무한대반복하면길이는 lim 무한대가됩니다. 시어핀스키삼각형의넓이는 0 입니다. 처음정삼각형의넓이를 S 라할때, 두번째과정 에서는 2/3S 가됩니다. 따라서이를무한대반복하면넓이는 lim 은 0 이됩니다. - 240 -
Step 2. 주사위던지기와정삼각형 1 아래정삼각형 ABC의내부에임의의점 P 가있다. 주사위를던져서나오는눈에따라점 P 를아래와같은방법으로옮기기로해봅시다. 1 또는 2의눈이나오면 A 와 P 의중점에점을찍은후 P 를이곳으로옮깁니다. 3 또는 4의눈이나오면 B 와 P 의중점에점을찍은후 P 를이곳으로옮깁니다. 5 또는 6의눈이나오면 C 와 P 의중점에점을찍은후 P 를이곳으로옮깁니다. Q. 주사위를 1 번던질때, 1 또는 2 의눈이나올확률은? Q. 주사위를 60 번던질때, 1 또는 2 의눈은대략몇번나오는가? Q. 주사위를실제로 60 번던지고, 질문2 의답과의차이를구하시오. - 241 -
Step 3. 주사위던지기와정삼각형 2 예를들어주사위를 3번던질때 처음에 2, 두번째에 5, 세번째에 4 가나왔다면, 다음과같이 3 곳에점이찍힙니다. 처음에 2, 두번째에 5, 세번째에 4 가나왔다면, 다음과같이 3 곳에점이찍힙니다. Q. 이러한과정을 3,000 번되풀이하였을때, 점 P 가그리는도형은무엇일까요? - 242 -
Step 4. 주사위던지기와정육각형 1 아래정육각형에서아래와같은규칙에의하여움직입니다. 1의눈이나오면 A 와 P 의중점에점을찍은후 P 를이곳으로옮깁니다. 2의눈이나오면 B 와 P 의중점에점을찍은후 P 를이곳으로옮깁니다. 3의눈이나오면 C 와 P 의중점에점을찍은후 P 를이곳으로옮깁니다. 4의눈이나오면 D와 P 의중점에점을찍은후 P 를이곳으로옮깁니다. 5의눈이나오면 E 와 P 의중점에점을찍은후 P 를이곳으로옮깁니다. 6의눈이나오면 F 와 P 의중점에점을찍은후 P 를이곳으로옮깁니다. - 243 -
Step 5. 주사위던지기와정육각형 2 Q. 이러한과정을 3,000 번되풀이하였을때, 점 P 가그리는도형은무엇일까요? - 244 -
Step 6. 시어핀스키삼각형의응용 아래시어핀스키삼각형이나오기위해서는아래규칙을어떻게바꾸어야할까요. 아래 1 또는 2의눈이나오면 A 와 P 의중점에점을찍은후 P 를이곳으로옮긴다. 3 또는 4의눈이나오면 B 와 P 의중점에점을찍은후 P 를이곳으로옮긴다. 5 또는 6의눈이나오면 C 와 P 의중점에점을찍은후 P 를이곳으로옮긴다. Q. 규칙을쓰고이규칙에의해서 3,000 번실험하면어떻게될까요. - 245 -
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