21 미분계수 2 2 도함수의계산 23 고계도함수 2 4 속도, 가속도 2 5 평균값의정리 26 부정형의극한값 27 함수의극값 28 함수의위로볼록과아래로볼록 29 곡선의추적 2 10 미분과근사값 211 곡률, 근 212 극좌표 뉴턴 (I&sc Newton, 1642~1727) 뉴턴은라이프니츠가 " 태초부터뉴턴이살았던시대까지의수학을놓고볼때, 그가이룩한업적이반이상이다" 라고말한것과같은그의위대성에관한많은증명서들을발견할수있다. 또한라그랑주는 " 뉴턴은최상의행운아이다. 왜냐하면단지한번만우주의체계를세울수있기때문이다" 라고언급했다. 이러한찬사에비하여자기업적에대한자신의평가는다음과같이겸손하다. " 나는내가세상에어떻게비쳐질지모른다. 하지만내자신에게나는진리의거대한바다가아무것도발견되지않은체내앞에놓여있는바닷가에서놀며, 때때로보통보다매끈한조약돌이나더예쁜조개를찾고있는어린애에지나지않았던것같다." 그는언젠가선배들에게그가다른사람들보다더멀리보았다면그것은단지거인들의어깨위에서있었기때문이라고겸손하게말하였다.
미분계수 함수가를포함하는어떤구간에서정의되어있다고하자. 이때극한값 (2 1) 가존재하면는에서미분가능(differentiable) 이라고하며, 이극한값을의 에있어서의미분계수(differential coefficient) 라부르고 로나타낸다. 가 에서미분가능일때, 곧 라놓으면 는와관계없고이된다. 역으로 (2 2) ( 단, 는와관계없는상수이고 ) 이면는에서미분가능이고 이다. 따라서식 (2 2) 가성립하는것은 는에서미분가능이기위한필요충분조건이다. 는에서미분가능이면에서연속이다.
42 식 (2 2) 로부터이기때문이다. 이정리의역은성립하지않는다. 즉가에서연속이라도반드시미분가능인것 은아니다. 예를들어다음그림을참조하여라. 그림(2 1) 에서에서의접선이수직선이면점에서미분계수가존재하지않는다. 이것은 그림 2 1 가이면무한히커지기때문이다. 또한 에서의두가지극한값 (2 3) 를구별할때가있다. 이경우 를각각에있어서의우측미분계수, 좌측미 분계수라한다. 가모두존재하고이두값이일치할때는에 서미분가능이고 가성립한다. 일때 및 를구하여라. 또이함수는에서연속이지만미분가능이아님을보여라. 이제미분계수의의미를기하학적으로살펴보자.
43 그림 2 2 곡선위의 2점를잡으면 는직선의기울기를나타낸다. 를변화시키면의위치가바뀌고의기울기도달 라지지만 일때, 즉를곡선에따라서에가까이접근시킬때직선는기울기 가 인직선를곡선의점에있어서의접선이라한다. 가 에서미분가능인것은곡선상의점에서이곡선에접선을그을수있 음을의미한다. 이때에있어서의접선의방정식은다음과같다. (2 4) 곡선위의점에있어서이곡선의접선에수직인직선을에있어서의법선이라한다. 에있어서의법선의방정식을구하여라. 가어떤구간의각점에서미분가능일때는이구간에서미분가능이라고 한다( 폐구간에서생각하는경우끝점에서는각각, 만을생각 하는것으로한다). 이경우각점에그점에서의미분계수를대응시킴으로써정해지는함 수를의도함수(derivative) 라하고다음기호들로나타낸다.
44 함수의도함수를구하는것을를미분한다(differentiate) 고한다. 식(2 1) 에 의하면 이다. (2 5) 도함수의계산 이절에서는도함수의계산법을다루기로한다. 다음에열거하는 4개의정리는이미알고있을것이다. 및 (1) (2) ( : 상수 ) (3) (4) 가미분가능일때 정리 1 을증명하여라. 합성함수의도함수 가각각의함수로서미분가능이면합성함수는의함수로서미분가능이고 (2 6)
45 의값을하나정하고 라하면 한편앞절의식 (2 2) 에의하면 2 1절정리1에의하여는연속이므로일때,. 따라서이므로 즉 역함수의도함수 가의근방에서좁은뜻의단조함수라고하자. 가에서미분가능이고 이면의역함수는에서미분가능이고다음정리가성립한다. (2 7) 라놓으면이고, 이므로, 이고일때이므로
46 매개변수함수의도함수 를미분가능이라하자. 이때 가 의근방에서좁은뜻의 단조함수이고 이면, 의근방에서 의함수 가정해지고이점에서다음 식이성립한다. (2 8) 이경우의근방에서의역함수가존재하여식 (2 7) 이성립한 다. 그러므로식 (2 6) 에의하여 초등함수의도함수는다음과같다. 초등함수의도함수 (1) ( 는실수 ) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) 이가운데몇개만증명하여보자.
47 (2) 여기서이므로 (5) (8) 이고이범위에서는이므로 이다. 따라서이므로식(2 7) 에의하여 (11) 1 5 절의식 (1 15) 의 (2) 를이용하면 (12) 인경우는이고 일때는라놓으면이고이므로 (16) (18) ( 방법 1) 이고이다. 따라서 이므로식 (2 7) 에의하여 ( 방법 2) 1 5 절의항등식 (1-19) 를이용하면
48 위의공식중에서증명되지않은나머지공식을모두증명하여라. 다음각식을증명하여라. (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) 의양변의절대값의대수를취하면가된다. 이식의양변을미분하여위공식 (1) 을증명하여라. ( 는의함수) 이면다음식이성립함을보여라. 다음에서를구하여라. (c) (e) (g) (i) (k) (d) (f) (h) (j) (l) 고계도함수 의도함수 가다시미분가능이면그도함수 을생각할수있다. 이것을의제 2 계도함수(second order derivative) 라하고, ʺ, ʺ
49 등으로나타낸다. 이제 2 계도함수가또다시미분가능이면제 3 계도함수 (third order derivative) 를생각할수있게된다. 이와같이를계속하여번미분하면제계도함수 ( th order derivative) 가정의된다. 제계도함수는다음기호로나타낸다. 가존재하는경우는번미분가능이라고한다. 다음함수의제계도함수를구하여라. (c) ʺ 그대로계속미분하기는어려우므로부분분수분해하여 과같이변형하여생각하는것이좋다. 이라놓으면 ʺ 이라놓으면 ʺ 따라서 (c) ʺ ʺ 와같이되므로의 4개가반복하여 나타난다. 이것을하나의식으로나타내기위해서는다음과같이하면된다.
50 이렇게계속하면 다음함수의제계도함수를구하여라. (c) (d) 이제두함수의곱의고계도함수를생각하자. 의양변을계속미분해가면 ʺ ʺ ʺ 이들식의우변을보면계수의배열이 ʺ ʺ ʺ ʺ ʺ ʺ ʺ ʺ ʺ 등의전개식에있어서의 계수의배열과같이되어있다. 실제로수학적귀납법에의하면다음정리를증명할수있다. Leibniz 의정리 의함수가번미분가능이면 여기서 대신에라는기호를쓸때도있다. 다음등식을증명하여라.
51 정리 1 을수학적귀납법에의하여증명하여라. 다음함수의제계도함수를구하여라. 일때 가성립함을보이고이것을이용하여을구하여라. 이면 ʺ 임을보여라. 속도, 가속도 이절에서는미분계수의응용으로서속도, 가속도에관하여알아보기로한다. 직선운동 점가하나의수직선위를움직일때시각에있어서의의좌표를라고하면는 의함수이므로 (2 9) 와같이나타낼수있다. 이때시각와사이에있어서의의이동거리는 이므로 는이사이에있어서의의평균속도이고, 가미분가능이면 (2 10) (2 11) 는시각에있어서의의위치의순간변화율이다. 이것을시각에있어서의의속도라 한다. 속도 는또한의함수이다. 이함수가다시미분가능일때
52 ʺ (2 12) 를시각에있어서의의가속도라한다. 예를들면수직선상을운동하는점의시각에있어서의좌표가 ( : 상수 ) (2 13) 로주어질때이점 의운동을단진동이라한다. 이운동의속도, 가속도는각각 로된다. 이로부터단진동을하는점의가속도는원점로부터의거리에비례하고그방향 은항상원점을향하고있음을알수있다. 단진동(2 13) 은원점의좌우를왕복하는운동이다. 이운동의방향이바뀌는시각을구하여라. 또이운동은어떤일정한시간의간격을두고같은상태가되풀이된다. 이시간를구하여라. 이시간를주기라한다. 시각에있어서의점의위치가로정해지는직선운동 ( 감쇠진동이라한다) 에대하여그속도및가속도를구하여라. 또 와 와의관계를그 래프로나타내어라. 직선운동을하는점의시각에서의좌표를, 속도를라하자. 일때가속도는일정함을보여라. 일때가속도는에반비례함을보여라. 평면위에서의운동 점가평면위를운동할때시각에있어서의의좌표를라고하면는각각 의함수 (2 14) 로나타낼수있다. 의변화에따라서식 (2 14) 로정해지는점는평면상에서하나 의곡선을그린다. 는미분가능이라하자. 시각에있어서의 의값은각각이시
53 각에있어서의의횡좌표(abscissa), 종좌표(ordinate) 의순간변화율인데이것을각각 의축방향및축방향의속도성분또는분속도라한다. 또 및 를성분으로 하는벡터 그림 2 3 (2 15) 를시각에있어서의의속도벡터라하며의크기 (2 16) 를이시각에있어서의의속력이라한다. 이고우변은가그리는곡선의시각에대응하는점에서의접선의기울기를나타내고있으 므로벡터의방향은이접선의방향과같다. 식 벡터 (2 14) 로주어지는운동에있어서시각에있어서의 ʺ ʺ 를성분으로하는 ʺ ʺ (2 17) 을시각에있어서의의가속도벡터라한다. 그크기는 이다.
54 점가평면상을운동할때이평면상에정점와정반직선를정하고반직선가 에대하여이루는각을라고하면는시각의함수가된다. 이때의시각에있 어서의순간변화율를점 ( 또는반직선 ) 의시각에있어서의각속도라한 다. 또각속도의순간변화율을시각에있어서의각가속도라한다. 점가반지름인원주상을일정한각속도로원운동하고있을때그속도벡터및가속도벡터의크기와방향을구하여라. 시각에있어서의점의위치가로주어질때가그 리는곡선(cycloid) 을도시하고의속도벡터, 가속도벡터의크기와방향을구하여라. 점가식 (2 14) 로정해지는곡선에운동할때의축의양의방향에대 한회전각을라하자 ( 는원점). 이때다음식이성립함을증명하여라. 점가어떤곡선에일정한속력으로움직일때그속도벡터와가속도벡터는수직임을밝혀라. 그림 그림 2 4 2 4에서점는정점를중심으로하고반지름이인원주에일정한각속도 로움직인다. 또점는정직선위의동점이며항상 ( 는상수, ) 라하자. 의속도를구하여라.
55 1. 다음함수를미분하여라. (c) (d) (e) (g) (i) (k) (m) (o) (f) (h) (j) (l) (n) (p) 2. 다음에서를구하여라. (c) (e) (d) 3. 다음에서및를구하여라. (c) 4. 다음에서를구하여라. (c) (d) (e) 5. 다음의제계도함수를구하여라.
56 (c) (e) (g) (d) (f) (h) 6. 일때다음을증명하여라. ʺ ʺ 7. 일때다음을증명하여라. 단, 는상수이다. ʺ 8. 일때 ʺ 임을보여라. 9. 일때, 임을증명하여라. 10. 이고, 일때, 다음식을증명하여라. 11. 다음함수의에서의미분가능성을조사하여라. (c) (d) 12. 곡선위의점에서축에내린수선을, 점에서의이곡선의접선과 법선이축과만나는점을이라고하면, 접선영, 법선영, 접선 의길이, 법선의길이 임을증명하여라. 13. 곡선위의점(-2, 4) 에서의접선영과법선의길이를구하여라.
57 14. 두곡선의교각은그교점에서의접선의교각을말한다. 두곡선의교점에서의교각을구하여라.
58 15. 구간에서두미분가능한함수가를만족하면 가성립한다고할수가있는가? 예를들어설명하여라. 16. 한동점가으로포물선위를따라서운동하고있다. 점가점 (2,4) 를지날때의각속도와각가속도를구하여라. 17. 모든실수 에대하여 을만족하는함수는 임을 증명하시오. 평균값의정리 평균값의정리는함수의많은성질들이그것으로부터쉽게추론될수있기때문에미적분학 에서대단히중요한위치를차지하고있다. 평균값의정리를살펴보기전에우선한특별한경 우의정리를살펴보자. 이것은 1690 년에프랑스수학자미셀롤(Michel Rolle, 1652 1719) 에의하여발견된것이다. Rolle 의정리 가에서연속, 에서미분가능이고이면 인가적어도하나존재한다. ( ⅰ) 가상수함수이면위정리는명백히성립한다. ( ⅱ) 가상수함수가아니면또는인점이존재 한다. 라고가정하자. 는에서연속이므로 1-4절정리 5에의 하여는의어떤점에서최대값을갖는다. 특히 이므로이고는최대값이므로의부호에관계없이 이다. 따라서
59 이면 이면 한편는에서미분가능이므로 위의두식에서 인경우는가최소값을갖는점에대하여같은방법으로보이면된다. Rolle의정리의기하학적의미가그림 2 5 에서보여지고있다. 결국이정리의주장은주어진가정을만족하는곡선이와사이의어떤곳에서수평접선을가진다는것이다. 그림 2 5 이제 Rolle 의정리를이용하여평균값의정리를증명하여보자. 평균값의정리 가에서연속이고, 에서미분가능이면 인가적어도하나존재한다. (2 18)
60 다음과같이함수를정의하자. 그러면가정에의하여는에서연속이고에서미분가능이다. 또 그러므로 이므로 Rolle의정리를적용하면 인가존재한다. 한편 즉 인가존재한다. 평균값의정리의기하학적의미가그림 가적어도하나존재한다는것이다. 26 에서보여지고있다. 즉곡선상의두점 사이의호상에현와나란한접선을가지는점 그림 2 6 평균값의정리에서 (, ) 에서미분가능 이라는조건은필수적인것이다. 예를들어함수 는실선의모든곳에서연속이고 라고하면현 0 을제외한모든곳에서미분가능이다. 의기울기는 이지만어떤곳에서의미분계수도이아니다.
61 주어진폐구간에서정의된아래각각의함수에대하여평균값의정리를만족하는값가존재하면그값을구하여라. 가존재하지않으면평균값의정리의조건중에서무엇이위배된것인지밝혀라. (c) (d) 평균값의정리의다음확장이사용하기에편리할때가많다. Cauchy 의평균값의정리 와가에서연속이고에서미분가능이면 인가적어도하나존재한다. 함수를생각하면이는에서 연속이고에서미분가능이고이므로 Rolle의정리에의하여 인가적어도하나존재한다. 이정리라놓은경우가정리 2 이다. 매개변수에의하여로주어지는곡선에대하여정리 3의기하학적의미를설명하여라. 평균값의정리의공식이다음과같이표현될수있음을보여라. 또가아래와같이주어질때를로나타내어라. (2 19) 평균값의정리를이용하여다음부등식을유도하여라.
62 부정형의극한값 함수 의극한값을구할때다음과같은형태의부정형 (indeterminant) 이자주나타난다. 이제이런것을취급하는방법을살펴보자. 특히부정형이외의 다른형태의부정형은적당한변형에의하여이나꼴로바뀌어질수있으므로다음의 LHospital의법칙은매우강력한결과임을알수있다. LHospital 의법칙 두함수가를포함하는한개구간에서미분가능이고항상, 이라하자. 만일 (1) 이고 가존재하면 (2) 이고 가존재하면 이정리는 에서미분가능하지않은경우도성립하며, 또극한값이또는 일때도, 그리고대신일때도성립한다. (1) 로놓고다시라놓으면 2 5절의정리 3에의하여
63, (2 20) 인 가존재한다. 그런데 이라하면 이다. 따라서식 (2 20) 에의하여 (2) 이라하면임의의에대하여인이존재하여 이면 (2 21) 이성립한다. 또 (2 22) 이므로식 (2 21) 에의하여 (2 23) 이다. 식 (2 22) 를다시고쳐쓰면 즉 (2 24) 그런데이므로주어진에대하여가존재하 여 이면
64 (2 25) 이성립되므로 (2 23), (2 24), (2 25) 에서 이다. 은임의의양수였으므로 이다. 도같은방법으로증명된다.
65 의값을구하여라. 로놓으면 그러므로 따라서 L'Hospital 의법칙의적용이항상바라는결과를가져오지는않는다. 의값을구하여라. L'Hospital 의법칙을적용하면, 이경우에는 L`Hospital 의법칙을반복하여사용해도아무런결과를얻지못한다. 그러므로 다른방법을사용하여야한다. 원식을다른형으로쓰고, 변수를바꾸어주면 다음의극한값을구하여라. (c) (d) (e) (f) 다음의극한값을구하여라.
66 (c) (d) 다음의극한값을구하여라. (c) (d) 다음의극한값을구하여라. (c) 함수의극값 함수값의변동상태를알기위해서는그도함수를조사하는것이유용한방법이다. 이절에서 는이에관한기본적인정의를설명한다. 에대하여 가점를포함하는어떤구간에서정의되어있다고하자. 에충분히가까운 이면, 이면 일때, 는에서증가의상태에있다고하며 이면 이면 일때, 는에서감소의상태에있다고한다. 또에충분히가까운에대하여항상 는 는 에서극소 에서극대 로된다고하며, 를각각극대값, 극소값이라하고이들을통틀어의극값이라한다. 또에충분히가까운에대하여항상 ( 또는일때 ) 는 에서넓은뜻의극소( 또는넓은뜻의극대) 로된다고한다.
67 가 에서미분가능일때 (1) 이면 는 에서증가상태에있다. (2) 이면 는 에서감소상태에있다. (3) 가넓은뜻의극값이면 이다. (1) 이므로 1 3절정리 4에의하여에충분히가까운에대해서는 가성립한다. 따라서 이면 이면 이므로 는 에서증 가상태에있다. (2) 위 (1) 와같은방법으로증명된다. (3) 가넓은뜻의극값일때는(1), (2) 에의하여 로되지도않고 로되지도않으며, 는미분가능이므로 이다. 위의정리 1 의 (3) 은가에서미분가능이라는조건아래서만성립한다. 일반적으 로 가존재하지않아도에서극값을가질수도있다. 아래그림 2 7에서에서는 가존재하지않지만극값을갖는다. 일반적으로의정의역안의에대해서 이거나또는 가정의되지 않을때 ( ) 를임계점(critical point) 이라고한다. 따라서극점은하나의임계점이됨 을알수있다. 그러나임계점이꼭극점이될필요는없다. 다음정리를살펴보자. 그림 2 7
68 1 계도함수에의한극값판정법 점 ( 가점를포함하는어떤개구간에서연속이고, 이외의점에서미분가능이고 ) 가의임계점이라고하자. 이때 (1) 에서, 에서 이면 는극대값이다. (2) 에서, 에서 이면 는극소값이다. (3) 의좌우에서 의부호가변하지않으면 는극값이아니다. (1) 에충분히가까운곳에서인를임으로잡는다. 그러면평균값의 정리에의하여, 인가존재하여 따라서일때이고일때이다. 그러므로 는극대값이다.(2) 와(3) 의증명도마찬가지로할수있다. 곡선의극값을구하여라. 을미분하면 따라서과에서임계점을갖는다. 그러나이곡선은에서정의되지않으므로이에대응하는임계점은없다. 이제인경우만을살펴보자. 따라서에서극소값 12 를갖는다. 일때 은존재하지않으나는극소값임을말하여라. 가존재할때의좌우에서 의부호가바뀌면정리2 의(1), (2) 에의하여 는극값이며따라서정리1 의(3) 에의하여 이된다.
69 2 계도함수에의한극값판정법 가점를포함하는어떤개구간 Ⅰ에서미분가능이고 가존재한다고하자. 이때 (1) ʺ 이면 는극소값이다. (2) ʺ 이면 는극대값이다. (1) ʺ 이므로정리 1에의하여 는에서증가의상태에있다. 따라서에충분 히가까운에대하여이면 이면 가된다. 따라서정리 2 의 (2) 에의하여는극소값이다. (2) (1) 과같은방법으로증명된다. ʺ 이되는경우는이정리에서는결론이얻어지지않지만이때는다음정리가있다. 가 를포함하는어떤구간에서 회까지미분가능이고특히 에서는 회까지 미분가능이며 ʺ 이라하자. 이때 (1) 이홀수이면는극값이아니다. (2) 이짝수이고 이면 는극소값, 이면 는극대 값이다. (1) 인경우를증명하자. ʺ 이라고가정하면 ʺ 는에서증가의상태에있 고가정에서 ʺ 이므로에충분히가까운에서 ʺ, 에서 ʺ 이된다. 따라서 는에서감소, 에서증가하며가정에서 이므로 일때 이다. 따라서 는 를포함하는어떤구간에 서단조증가이므로 는극값이아니다. ʺ 인경우도마찬가지방법으로증명 할수있다. (2) 인경우는표를들어서생각하면 가극소값임을알수있다. 기타 의경우도같은방법으로증명된다.
70 ʺ ʺ ʺ ʺ 인경우가극대값임을표를만들어서증명하여라. 의극값을구하고그래프의개형을그려라. 의정의역은이고이구간에서는연속이며 이므로 이고 에서는 이므로 은존재하지않는다.
71 이상을종합하여 의부호와의증감의상태를조사하여표를만들면아래와같 고곡선와개형은그림 2 8 과같다. 그림 2 8 이표에서극소값은, 극대값은임을알수가있다. 다음함수의극값을구하고그그래프의개형을그려라. 타원에내접하는최대직사각형의면적을구하여라. 그림 2 9와같이직사각형을타원에내접시키고제1상한에있는정점을라하면 그직사각형의면적은 와같다. 점는타원의방정식을만족하므로
72 그림 2 9 따라서를얻는다. 이극대일때도극대가된다는사실을이용하 면, 즉 따라서 그런데는양수가되도록택하였으므로, 따라서 따라서최대면적은이다. 합이 10 이되는두수로서그각각의제곱의합이최소가되는것을구하여라. 100m의철망을가지고그림 2 10과같이울타리를쳐서똑같은면적의땅으로나누려 한다. 땅의넓이가최대가되도록하려면어떻게할것인가? 그림 2 10
73 함수의위로볼록과아래로볼록 가어떤구간에서연속이라고하자. 이구간내의인임의의 3점에대하여 (2 26) 가성립한다면는이구간에서아래로볼록하다(convex downward) 고하며식(2 26) 에서 를 <로바꾸어쓸수있을때 는좁은뜻에서아래로볼록한함수라한다. 부등호 의방향을반대로하면위로볼록한(convex upward) 함수가정의된다. 앞으로아래로볼록한 함수를주로고찰할것이나, 위로볼록한함수에대해서는부등호의방향만바꾸면된다. 가어떤구간에서아래로볼록이면식 (2 26) 에서다음부등식이얻어진다. 즉 (2 27) 일반적으로이면가성립한다. 의그래프위에세점 를잡으면 부등식 식 (2 27) 은의기울기의기울기의기울기를나타낸다( 그림 2 11). 또 (2 27) 의첫째부등식을변형하면 (2 28) 그림 2 11
74 을얻는데이식의좌변은의좌표를나타내고우변은선분를 : 의비로내분하는점의좌표를나타낸다. 그러므로가아래로볼록하다는것은곡 선는호가현의위쪽에는존재하지않는다는것을의미하고가좁 은뜻에서아래로볼록하다는것은곡선의호가항상현의아래쪽에있 음을뜻한다. 가어떤구간에서 2번미분가능하다고하면가이구간에서아래로볼록일필요충분조건은이구간에서항상 ʺ 가성립하는것이다. 또이구간에서항상 ʺ 이면는이구간에서좁은뜻의아래로볼록한함수이다. ( 필요조건) 가아래로볼록하다면식(2 27) 에의하여 일때 가성립한다. 여기서를고정하고라하면 가성립함을볼수있다. 따라서 가단조증가로되기때문에 ʺ 이다. ( 충분조건) 항상 ʺ 라하자. 그러면 는이구간에서단조증가이다. 그런데 인임의의 3점을잡으면평균값의정리에의하여 인가존재하고이므로 이다. 따라서식(2 26) 이성립하므로 는아래로볼록하다. 항상 인경우도위와마찬가지로생각하면된다. 이때는이면 이므로는좁은뜻의아래로볼록한함수이다.
75 가어떤구간에서 2번미분가능하다고하면가이구간에서위로볼록일필요충분조건은이구간에서항상 ʺ 가성립하는것이다. 또이구간에서항상 ʺ 이면는이구간에서좁은뜻의위로볼록한함수이다. 정리 1 의증명과유사하다. 가 를경계로하여좁은뜻의아래로볼록한함수로부터좁은뜻의위로볼록한 함수로변하든가, 또는그와반대로변할때를의변곡점(inflection point) 이라 한다. 변곡점근방에서의그래프는가를지나는순간에에서의접선의한 쪽에서다른쪽으로이동한다. 그림 2 12에서점가바로주어진곡선의변곡점이다. 그림 2 12 이제변곡점의판정법에관한정리를살펴보자. 가 를포함하는어떤구간에서미분가능이고 이외의점에서는 2번미분가능이라 고하자. 이때 (1) 의좌우에서 ʺ 의부호가바뀌면 는변곡점이다. (2) ʺ 가존재하고 ʺ 가이구간에서연속일때 가변곡점이면 ʺ 이다.
76 (1) 정리1 과그의따름정리에서곧알수있다. (2) 만일 ʺ 라하면 ʺ 는연속이므로에충분히가까운에대하여 ʺ 는 와같은부호를갖게되며, 따라서는좁은뜻의아래로볼록인함수또는위로 ʺ 볼록인함수가되므로점 ʺ 는변곡점이아니다. 이것은가정에모순된다. 곡선의위로볼록또는아래로볼록과변곡점을조사하여라., ʺ ( ⅰ) 에서 ʺ 이므로아래로볼록하다. ( ⅱ) 에서 ʺ 이므로위로볼록하다. ( ⅲ) 의좌우에서 ʺ의부호가바뀌므로는변곡점이다. 그림 2 13 변곡점은때로는 ʺ 를정의할수없는점에존재하는경우가있다. 예를들면곡선 에서, ʺ 이다. 이면 ʺ, 이면 ʺ 임을알수 있다. 이것은이변곡점임을말하는것이다. 왜냐하면, 가 0을지나증가할때곡선은위로오목한데서아래로오목한방향으로변하기때문이다( 그림 2 14 참조).
77 그림 2 14 다음곡선의위로볼록또는아래로볼록과변곡점을조사하여라. (c) (d) 가 에서좁은뜻의위로볼록한함수임을말하고이를이용하여 일때임을증명하여라. 곡선의추적 초보적인과정에서임의의방정식의그래프는 방정식을만족하는 값을구하고, 점를그리고,(c) 그점들을매끄러운곡선으로연결하여그렸다. 이 러한과정은해석기하학에서배운바와같이곡선에관한일반적인성질을몇가지결정하면 대단히간편하게취급할수있다. 그러한일반적인성질및그내용은다음과같다. 의 범위 곡선의범위를구한다는것은곡선위에점의좌표로허용되는 의미한다. 의변역을구하는것을 곡선는와의구간에놓여있다. 왜냐하면는에 대하여정의되지않고, 은일때음수가되기때문이다.
78 대칭성함수가다음의어느한항등식을만족하면곡선은주어진점또는직선에관하여대칭이다. 축 ; 축 ; 원점 ; 직선 방정식에서대신를대신를바꿔주어도방정식은변하지않는다. 그 러므로이그래프는원점에관하여대칭이다. 즉곡선은원점을중심으로 180 회전하여도불변이다. 절편 곡선 이좌표축과만나는곳을구하려면다음과같이한다. 이면 은 절편이다. 이면 은 절편이다. 방정식에서이라놓으면과으로부터절편 와을얻는다. 는일때정의되지않으므로절편은없다. 수직및수평점근선 (vertical and horizontal asymptote) 곡선위의점의좌표가어떤값에접근할때그좌표가무한히증가또는감소하면직선는그곡선의수직점근선이다. 가무한히증가또는감소할때가어떤값에접근하면직선는그곡선의수평점근선이다. 이므로직선는곡선의수직점근선이다. 또이므로는수평점근선이다.
79 곡선의그래프의개형을그려라. 위의해석에따라서그려보자. 1. 곡선은의구간마다똑같이되풀이되므로에서까지의구간의곡선을결정하자. 이구간에서는가음일때정의되지않는다. 그러므로곡선은구간 에제한된다. 2. 를 로바꾸어도방정식은변하지않는다. 그러므로곡선은 축에관하여대칭이다. 3. 일때 이고, 일때 이다. 그러므로곡선은점 (0, 0) 에서좌표축 과만난다. 4. 가에접근할때는무한히감소한다. 그러므로직선와 는수직점근선이다. 주기함수에서는수평점근선이존재하지않는다. 점 을하나더결정하면, 그림 2 15 에보인곡선을얻는다. 그림 2 15 곡선의그래프의개형을그려라. 1. 구간에서는곡선의점이존재하지않으므로이구간을사선으로표시하자. 2. 를로바꿔주면곡선이축에관하여대칭임을안다. 3. 좌표축과의교점은 (0, 0) 하나이다. 4. 직선, 는수직점근선임을보아서알수있다. 또 이므로직선은수평점근선이다.
80 그림 2 16 곡선을명확하게그리기위하여주어진방정식에, 을대입하고, 이것에 대응하는값을결정하자. 이점들을그리고, 위에서검토한성질을이용하면, 그림 2 16 에보이는곡선을얻는다. 사점근선 (oblique asymptotes) 곡선의방정식을 (2 29) 형으로쓸수있고, 가조건 중의하나또는전부를만족한다면, 직선는식 (2 29) 의점근선이다. 여기서 는상수이다. 이것은곡선과직선사이의수직거리가, 가한없이증가또는감소할때,0에 접근한다는사실로부터나온다. 방정식을형으로쓰면이므로직선 는그곡선의점근선이다. 방정식을형으로쓰면이므로는그곡선 의점근선이다.
81 곡선의방정식을 (2 29) 의형으로쓸수없을때에도곡선은사점근선을가질때가있다. 예를 들면쌍곡선은사점근선를가진다. 임계점, 변곡점, 곡선의위로볼록과아래로볼록 29 절에서배운내용을이용하여임계점, 변곡점, 곡선의위로볼록과아래로볼록을조사한다. 곡선을추적하여라. 위의해석을적용하면다음결과를얻는다. 1. 곡선은이외의모든점에서정의된다. 2. 곡선은 (2, 0), (3, 0), (0, -6) 에서좌표축과만난다. 3. 직선은수직점근선이다. 4. 이고이므로직선는사점근선이다. 특히 일때는 일때는 이므로일때곡선은사점근선의위쪽, 일때는아래쪽에있다. 5. 이므로 는극대점이고 는극소점이다. 또곡선은 일때는 아래로록록, 일때는위로볼록이다.
82 이상의해석으로부터그림 2 17 에보이는바와같은곡선을얻는다. 그림 2 17 다음곡선을추적하여라. (c) 1. 평균값의정리의관계식 (2 18) 이나 (2 19) 를이용하여다음을증명하여라. 모든에대하여이다. 라하면에대하여이다. (c) 라하면에대하여이다. 2. 다음의극한값을구하여라.
83 (c) (d) (e) (g) (f) (h) (i) (j) (k) (l) 3. 다음함수의극값을구하고곡선의개형을그려라. (c) (d) 4. 를모든에대하여연속이고,0이아닌모든에대하여미분가능이라고하자. 아래의그 림은 의그래프이다. 에관한다음물음에답하여라. 는어디에서증가혹은감소하는가? 임계점은어디에서일어나는가? (c) 극대, 극소는어디에서일어나는가? (d) 아래로볼록, 위로볼록인곳은어디에서일어나는가? (e) 변곡점은어디에서일어나는가? (f) 이고에서연속일때주어진조건을만족하는함수의개형을그려라. 5. 곡선가원점에서임계점, 또점 (2, 4) 에서변곡점을갖도록
84 를정하여라. 6. 점 (0, 0) 와점(,0) 를연결하는선분의대응각을최대로하는상의점을구하여라. 7. 반지름인구에내접하는직원추중에서부피가최대인것을구하여라. 8. 주어진타원상의한점에서접선을긋고, 이것과두좌표축으로만들어지는삼각형의면적이최소인것을구하여라. 9. 선분上에한점를잡고을최소되게하여라. 10. 의극소점을구하여라. 11. 의변곡점을구하여라. 12. 는쌍곡선의방정식임을증명하고그그래프를그려라. 13. 다음곡선을추적하여라. (c) (e) (d) (f) 14. 방정식 가개구간 에서적어도한개의해를가짐을보여라 ( 는임의 의실수 ) 15. 차다항식 은기껏해야 개의변곡점을가짐 을증명하여라. 미분과근사값 함수가에서까지변할때그변동량를의증분(increment) 이라하고, 로나타낸다. 여기에대응하는의변동량를의증분이라하며 로나타낸다. 가미분가능일때는식 (2 2) 에의하여
85 이다. 은가작을때에는아주작은수이므로의근사값으로서 를취할수있 다. 이곱 를의미분(differential) 이라부르고, 또는같은기호 로표시한다. 즉 (2 30) 이면 이므로식 (2 30) 에서를얻는다. 이와같은이유로독 립변수의미분은그증분 라정의하고, 함수의미분을다음과같이쓴다. 이면,. 기하학적으로는함수의미분을다음과같이설명할수있다. 그림 2 18에서와 을곡선상의두점이라하자. 에서의도함수의값은접선 의기울기와같으므로다음식을얻는다. 즉 곧, 는에대응하는접선의좌표의증분인데대해서, 는곡선 의좌표의증분이다. 그림 2 18 앞에서알수있는바와같이와의차는, 독립변수의아주작은변화인와비교
86 할때에는, 아주작으므로함수의미분의근사값을의근사값으로쓸수있다. 실제로 이고, 이므로다음극한식을얻는다. 왜냐하면 이되기때문이다. 함수형태로, 증분는근사적으로와같다. 따라서 로쓸수있다. 이식은우리가어떤점에서의함수의값과그점에서의미분을알면그점바 로근처에있는함수의값을근사적으로계산할수있음을뜻한다. 일때미분을써서, 일때의의근사값을구하여라. 여기서 1.997은의참값에증분을더해서얻은값이라생각할수있다. 따라서미분에의하여다음을얻는다. 일때이며, 가 2에서 1.997로변할때의의근사적변화가 -0.051이므로, 일때의의근사값으로다음값을얻는다. 이근사값의정확도를추정하기위해서, 근사값의오차를계산해보자. 위의예 1 인경우에 따라서 이므로위의근사값은소수점아래
87 세자리까지정확함을알수있다. 미분을써서의근사값을구하여라. 98은완전제곱수 100 과조금밖에다르지않음을알고, 가 100에서 98로변하는데대응하는의변화를구하여이변화에을더하므로서을구한다. 이므로에대한의근사적변화는 따라서근사적으로은다음과같다. 상대오차와백분( 비) 오차: 를의오차라할때, 를의상대오차, 을 백분비오차라한다. 어떤구의반경을재어서 의값을얻었다. 여기에는의오차가있을가능 성이있다. 이때이구의부피를계산함으로생기는최대상대오차와백분오차를구하여라. 에서생기는정확한최대오차는이 5에서로변할때의값의변 화일것이다. 의근사값은이므로 일때의부피는 이므로상대오차는 이고백분오차는이다. 다음함수의미분를구하여라. (c) (d)
88 미분을써서다음의근사값을구하여라. 한변이인정사각형의면적을라할때, 를구하고, 를나타내는그림을그려라. 어떤직원뿔의높이가밑면의반경과같다고한다. 이들을측정하여를얻었다고 할때, 여기에의오차가있을수있다면이때계산한부피의백분오차의근사치구하여라. 그림 2 19 Newton 의방법: 초보적인문제에서는방정식의무리실근의근사값을구하는데그래프에 의한방법과보간법이쓰인다. 방정식 에대한근의근사값은다음과같이그래프로구한다. 곡선와 를그린다. 그그래프의교점의좌표는소숫점이하첫째자리까지정확한근사값으로서 이된다. 좀더정확한값을구하려면더큰눈금위에그래프를그리면된다. 방정식의근의근사값은다음과같이보간법(interpolation) 을사용하여구할수있다. 로두고, 삼각함수표를이용하면이며, 임을알수있다. 따라서보간법에의하여 그러므로 이다. 따라서는소숫점이하셋째자리까지정확한근사치가된다.
89 다음에살펴보려고하는것은 Newton의방법으로알려진근의근사값을구하는다른방법이 다. 이방법에의하면무리근의근사값을소숫점이하몇번째자리까지든지원하는대로정확 하게구할수있다. 그림 2 20에서곡선를생각하자. 을방정식의근에대한첫 번째근사값이라하자. 점에서의곡선에대한접선의방정식은 (2 31) 이다. 이에가까운값일때, 이접선은보통축과점에서만나는데, 그점의좌표 는보다더에가까운근사값이된다. 따라서 (2 31) 에를대입하면, (2 32) 을얻는다. 다시를첫번째근사값으로생각하고식 (2 32) 를이용하면 그림 2 20
90 를얻는다. 이과정을반복하면 Newton의공식 을얻게된다. 이와같이공식 게구할수있다. (2 33) (2 33) 을반복하여사용하면, 근을소숫점이하몇째자리까지든지정확하 첫번째근사값을에충분히가깝게택하지못하면 Newton의공식은불합리한결과를초래할수도있다. 그림 2 21 은그와같은경우를보이고있다. 이를보완하는한방법은근에상당 히가까운근사값에이를때까지는이등분법을사용하다가결정적인순간에 Newton의방법으로전환하는것이다. 그림 2 21 방정식의근을소숫점이하셋째자리까지정확하게구하여라. 로놓으면, 따라서을택하면,Newton의공식에의하여 이된다. (2 33) 에 1.303 을대입하면, 소숫점이하셋째자리까지거의영향이없는세번째 근사값을얻는다. 그러므로구하는근은 1.303 이다. Newton의방법을이용하여다음방정식의최소의양근을소숫점이하셋째자리까지구하여라. (c)
91 곡률, 근 호의길이의미분 를평면곡선 위의어떤시점 에서점 까지측정된호의길이라하고 가증가할때 도증 가한다고하자. 호의길이 는분명히 의함수이고그림 2 22를참고하면 에관한 의 도함수는관계식 에서구할수있다. 즉가 0에접근할때는 1에접근하므로 (2 34) 이된다. 식 (2 34) 에를곱하면, 호의길이에대한미분, (2 35) 을얻는다. 즉는, 를두변으로하는직각삼각형의빗변으로생각할수있다. 그림 2 22
92 곡률 를곡선위의두점이라하자. 그림 2 23에표 시된바와같이, 접선이와사이에있는호를그릴때, 접선은각만큼회전함 을알수있다. 비율 ( ) 를호의평균곡률이라하며, 다음과같이정의한다. 곡선위의한점에서의곡률는가에접근할때, 호의평균곡률의극한의 절대치이다. 즉 에서의곡률 를구하는간편한공식을얻으려면 를미분의비율로계산한다 ( ). 즉 이므로미분하면 ʺ 그리고식 (2 35) 에서 따라서를로나누면, 곡선의점에서의곡률은 ʺ (2 36) 그림 2 23
93 기울기 이매우작을때는는근사적으로 ʺ 으로주어진다. 공학이나물리학에서사용하는많은공식에서는이근사치를사용한다. 포물선에대해서는 ʺ 따라서 (2 36) 에의하여곡률은 정점 (0, 0) 에서는으로두면 (rad/ 단위길이) 가된다. 곡선의방정식이로주어졌을때는, 이고 이므로매개변수로표시한곡률은 ʺ ʺ ʺ ʺ (2 37) 반지름인원에대해서는 ʺ ʺ 이므로식 (2 37) 에의하여 (2 38) 이다. 즉원의임의의점에서의곡률은일정하며, 원의반지름의역수와같다. 곡률원 곡선는점에서접선를가지고또곡률를가진다고하자. 그림 2 24에 서보이는바와같이 에서에접하고, 에대하여곡선과같은쪽에있으며, 또 곡률이 인원을작도하자. 이원을주어진곡선의점에서의곡률원, 이원의중심을 곡률중심, 이원의반경을곡률반경이라한다. 곡률반경을로표시하면, 식 (2 38) 에의하여이되고, 따라서 ʺ
94 그림 2 24 곡선에대해서는 ʺ 이므로 다음곡선의주어진점에서의곡률반경을구하여라. (c) (d) 다음곡선의임의의점에서의곡률반경을구하여라. Asteroid Cycloid (c) Catenary, ( ) (d) 곡률중심 곡선위의임의의점에서기울기가양 이고, 위로오목 ʺ 하다고하자. 그림 2 24에서곡률중심의좌표는
95 (2 39) 이다. 앞에서 ʺ 이고, 인관계식에서 임을알수있다. 이식을식(2 39) 에대입하면, ʺ ʺ (2 40) 을얻는다. 이와같이곡선의곡률중심을점 은 ʺ 인제한이없어도, 즉모든경우에성립한다. 의좌표를매개변수로하여표시할수있다. 식 (2 40) 포물선에대해서는 ʺ 이다. 따라서점에서는 ʺ 이다. 이값을 (2 40) 에대입하면, 곡률중심은이다. 다음곡선의주어진점에서의곡률중심을구하여라. (c) (d) 그림 축폐선 (Evolute) 2 25에서와같이점가곡선을따라움직이면, 에대응하는곡률중심은다른 곡선 를그린다. 이곡선를곡선의축폐선(Evolute) 이라하며, 반대로을 의신개선(involute) 이라한다. 곡선에대응하는축폐선의방정식은앞의식 (2 40) 에의하여매개방정식으로표시된다. 포물선에대해서는 ʺ 이다. 식(2 40) 에대입하면, 다음과같이포물
96 그림 2 25 선의축폐선에대한매개방정식을얻을수있다. 매개변수 를소거하면, 방정식 을얻는다. 주어진포물선과그축폐선인반입방포물선(semicubical parabola) 은그림 2 25 와같다. 다음곡선의축폐선에대한매개방정식을구하여라. (c) (d) 극좌표 극좌표 직교좌표와는다른어떤형의좌표계를사용하면평면내의점과곡선에관한해석이간편할 때가있다. 이와같은좌표계는많이있다. 여기서는극좌표(polar coordinates) 계라하는좌 표계를공부하려고한다.
97 그림 2 26 한직선를잡으면평면내의임의의점의위치는, 그림2 26 에보인바와같이, 거리 는 와각의크기에따라서결정된다. 과로표시되는이값을의극좌표라하며 로표시하고을동경벡터 (radius vector), 를편각(polar angle) 이라한다. 편각 로부터시계바늘의반대방향으로재면양이고, 시계바늘과같은방향으로재면음 이다. 동경벡터은로부터의끝변을따라서재면양이고, 끝변의반대방향을따라서 재면음이다. 고정직선를시초선(initial line) 또는극좌표축(polar axis) 이라하고, 점 를극(pole) 또는원점(origin) 이라한다. 한점의극좌표를알때극좌표방안지(polar coordinate paper) 라하는특수한형의그래프 용지를사용하면그점을대단히간편하게그릴수있다. 이용지위의좌표의분할은극을지나 는동경직선족과, 극을중심으로하는동심원족으로되어있다. 점,,, 를그러한용지위에그리면그림 2 27 과같다. 그림 2 27
98 그림 2 28 극좌표축을그림 와직교좌표 2 28 에보인바와같이, 양의축을따라서잡으면의극좌표 사이의관계식 를얻는다. 이관계식은한좌표계를다른좌표계로바꾸고자할때사용된다. 극방정식또는는직교방정식으로가된다. 직교방정식는극방정식으로또는가된다. 극방정식의자취는일반적으로좌표 가주어진방정식을만족하는모든점을지나는 곡선이다. 극방정식을만족하는점들은에다임의의값을주고이에관련된의값을구하 여얻는다. 곡선의그래프를그릴때혼란을피하기위해서는가증가하는순서대로규칙적 으로점을그리고그와같은순서대로점들을연결하는것이좋다. Cardioid 의자취를구하여라. 이므로, 의임의의양값과음값을택하고, 이값에대응하는의값을 구한다. 그러면다음표에주어진것과대응하는값들을얻는다.
99 그림 2 29 그림 2 30 양의각을가진점들을찍고연결하면그림 2 29에보이는호를얻는다. 음의각을가진점들은호를표시한다. 네잎장미선를그려라. 의값을에서까지택하면다음표에서주어진의값을얻는다. 이점들을찍고 연결하면그림 2 30과같은호를얻는다. 코사인함수의주기성때문에은가에서까지증가할때위의표에서반대순서의값을취한다. 이점들을그리면, 호를얻는다. 같은방법으로와호는각각가에서까지와에서까지증가함에따라얻는다. 그림 2 31
100 그림 2 31 과같은소위 게으른 8 (lemniscate) 를그릴때에는은 와에서허수임에유의해야한다. 한편임의의점의극좌표는여러가지방법으로표시할수있다. 예로서, 및 등은모두같은점을나타낸다. 점을표시하는것이이와같이일정 하지않으므로곡선의극방정식도여러가지다른형으로표시할수있다. 가령원의방 정식은 식이면, 그곡선은방정식 로도표시할수있다. 일반적으로가극좌표로표시된곡선의방정 중의어느하나로표시할수있다., 여기서 (2 41) 방정식 는서로다른형의세방정식을갖는다. 즉 에서 이라놓으면 또는 또는 또는 위의고찰로두곡선 (2 42) 의교점을구하려면다음과정이필요하다. 1. (2 41) 에의하여곡선 (2 42) 를표시하는서로다른방정식 을구한다. (2 44) (2 43) 2. (2 43) 의각방정식과 (2 44) 의각방정식을연립으로푼다. 3. 를만족하는과의값이존재하면원점는교점이다.
101 곡선 ( 그림 2 30) 과원의교점을구하여라. 위의과정을적용한다. 1. 로쓰면를얻는다. 로쓰면 를얻는다. 2. 와 를풀면, 를얻는다. 와 를풀면, 를얻는다.1의방정식들을 다른방법으로짝을지어도새로운해는얻지못한다. 3. 곡선 에서 은결코 이될수없으므로원점은교점이아니다. 따라서교점은 및의여덟개다. 문제에따라서는두곡선의교점의좌표는직접그곡선의그래프에서얻을수있는경우가많다. 이때에는위의과정을적용할필요가없다. 다음각방정식의그래프를그려라. Archimedes 의나선: 축에접하는원 : (c) 축에접하는두원 : (d) 축에접하는원 : (e) 축에접하는두원 : (f) 장미잎선 : (g) 네잎장미선 : (h) 게으른 8 : (i) 네잎클로바 : (j) Cardioid( 심장형 ) : (k) Limaon( 달팽이형) : 다음곡선의각쌍의교점을구하여라.
102 동경벡터와접선사이의각 라하자. 교좌표 에서식 를곡선 ( 그림 2 32) 위의점이라하고, 그곡선의방정식을극좌표로 (2 45) (2 45) 의기울기( 그림에서 ) 를구하기위하여다음과같이한다. 의직 를생각하자. 이방정식은 (2 45) 에의하여를매개변수로하는곡선의매개방정식으로 생각할수있다. 따라서, 를얻는다. 그러므로, 이면, 접선의기울기 (2 46) 그림 2 32 곡선상의점에서이다. 따라서, 기울기
103 과가모두이아니면, 식 (2 46) 은 (2 47) 형으로쓸수있다. 그러나그림2 32에서이므로 (2 48) 이다. 식 (2 47) 을식 (2 48) 에대입하면다음결과를얻는다. 를동경벡터와에서의접선사이의각이라하면, (2 49) 이다. 두곡선와 이점에서서로만나면그림 2 33에서알수있는바와같이그교각 는 으로주어진다. 따라서 (2 50) 이고, 와의방정식이극좌표로주어지면, 와의값은(2 49) 에서구할수 있다. 그림 2 33
104 곡선와는점를지남을증명하고, 그교각을구하여라. 일때, 이므로점는주어진방정식을 만족한다. 교각을구하려면, (2 49) 를이용하여 을계산한다. 이것을 (2 50) 에대입하면 이된다. 따라서교각은이다. 주어진점에서다음곡선의기울기를구하여라. 원점 다음곡선의각쌍의교각을구하여라. 호의미분 한점의직교좌표와극좌표사이의관계식 를미분하면, 를얻는다. (2 51) (2 52) 식 (2 52) 를에대입하여간단히하면, 극좌표로표시된호의미분 (differential) 를얻는다. 또는 (2 53)
105 원에대하여이므로 공식 (2 53) 은그림 2 34에서도형가직각삼각형을이룬다고생각하면쉽게기억할수있다. 그림 2 34 곡률 곡선의한점에서, 과가모두이아니면, 다음결과를얻는다. 곡선의한점에서의곡률은, (2 54) 이다. 여기서과는각각에관한의일계및이계도함수이다. 식(2 49) 에서이다. 따라서, (2 55) 이다. 그림 2 32에서이다. 따라서 (2 55) 를사용하면 ʺ (2 56)
106 를얻는다.(256) 을호의길이로나누면공식 (2 54) 가된다. 원에대하여 이고, ʺ 이므로원의임의의점에서의곡률반경, 주어진점에서의다음곡선의곡률반경을구하여라. (c) 1. 다음함수의미분를구하여라. (c) (d) 2. 반경이각각4cm와 4.05cm 인두구의표면적의차의근사값을구하여라. 3. 들이정육면체모양의용기를만들고자한다. 부피를 3cc 이내의오차로정확하게재기위해서는내부의한모서리를어느정도정확하게재어야하는가? 4. 어떤측정값의승의상대오차는근사적으로그측정값의상대오차의배임을증명하여라. 5. 다음각곡선이최대곡률을가지는점을구하여라. (c) (d) 6. 다음곡선의축폐선에대한매개방정식을구하여라. 7. 이다. 일때의값을소숫점이하둘째자리까지구하여라.( 힌트 : 의상용log를
107 생각하여라 ) 8. 다음각방정식은한개의무리근을갖는다.Newton의방법을이용하여그근을소숫점이하둘째자리까지구하여라. (c) 9. 임의의초기값을가지고 Newton 의방법을이용하여의근을구할수없음을보여라. 10. 다음방정식을직교좌표에서극좌표로바꾸어라. (c) (d) 11. 다음방정식을극좌표에서직교좌표로바꾸어라. (c) (d) 12. 다음곡선의각쌍의교점을구하여라. 13. 주어진점에서다음곡선의기울기를구하여라. 14. 다음곡선의각쌍의교각을구하여라. 15. 주어진점에서의다음곡선의곡률반경을구하여라.