원뿔곡선과 이차곡면의 성질과 특성

원뿔곡선과이차곡면의성질과특성 김동수 ( 전남대학교수학과, dosokim@chonnam.ac.kr) 2013 년 5 월 31 일 원뿔곡선은아름다운곡선들중의하나이다. 고등학교수학교과서와대학교해석기하학관련교재에무수히많이제시된원뿔곡선의성질들은이러한주장을뒷받침한다. 이렇게제시된원뿔곡선의성질을공부하면서그성질을원뿔곡선만이가지는가? 라는질문을제기하는것은자연스러운일이다. 이에본논문에서는원뿔곡선의몇가지성질을조사하고, 그것을토대로그역이성립하는지살펴보았다. 즉, 그성질이원뿔곡선의특성이되는지연구하고원뿔곡선의특성이되는경우에증명을소개한다. 마지막으로, 5장에서는이차곡면의부피성질을조사하고이성질이이차곡면의특성이되는지연구한결과를소개한다. 1 머리말 원뿔곡선의역사는매우길고, 고대부터일상생활에다양하게이용되고있다. 그러한만큼원뿔곡선은다양한기하학적인성질들을가지고있다. 원뿔곡선의역사를간단하게살펴보면다음과같다. 히포크라테스 ( 기원전 460년경-377년경 ) 는그리스 3대작도불가능문제중에서입방체배적문제를풀기위하여연구하던중에원뿔을적당하게자르면원뿔곡선이생긴다는것을알게되었다. 그후메나이크모스는그리스 3대작도불가능문제를연구하다가타원, 쌍곡선, 포물선등원뿔곡선을발견하게되었고처음으로엄밀하게정의하였다. 아폴로니우스는원뿔곡선에대한연구를더욱발전시켜메나이크모스의생각을수정, 보완하여모두 8권으로된 < 원뿔곡선론 > 이라는유명한책을남겼다. 그책에서축, 초점, 접선, 점근선등에대하여논의하였고타원 (ellipse), 포물선 (parabola), 쌍곡선 (hyperbola) 이라는이름을사용하였다. 아르키메데스 ( 기원전 287년경- 212년경 ) 는적분을사용하지않고지렛대의원리와기하학적인방법으로포물선절단부의넓이를구하고이를일반화하여포물면의절단부의부피를구하였다 ([6, 22]). 1

그림 1: 기울어진원통속의물표면은타원일까? 갈릴레이갈릴레오 (1564-1642) 는수평으로던진물체의경로가포물선이라는것을발견하였다. 케플러 (1571-1630) 는화성의궤도를관찰하여모든행성은타원궤도를그리며움직인다고주장했는데, 뉴턴 (1642-1727) 이이를뉴턴역학을이용하여수학적으로증명하였다. 파스칼 (1623-1662) 은독학으로유클리드기하와원뿔곡선을연구하여 16세에 < 원뿔곡선론 > 을썼고그책에파스칼의정리로널리알려진 < 원뿔곡선에내접하는육각형의 3쌍의대변의교점은일직선상에있다.> 라는정리를증명하였다. 원뿔곡선은오늘날우주의탐험과원자의행동에대한연구에있어서중요한도구이다. 인공위성은타원궤도로지구의둘레를돌고있고행성은타원궤도로태양의둘레를돌고있으며원자핵의전기장에서움직이는알파입자의궤도는쌍곡선이다. 이밖에도많은예에서원뿔곡선의중요성을알수있다 ([1,2,3]). 1.1 아르키메데스할아버지를만나다 : < 2010년 2학기수학사강의 > 1 2010년 2학기에수학과 4학년의 < 수학사 > 라는과목을강의하게되어적당한교재를찾던중에이우영교수가번역한책 < 아르키메데스 : 그가유레카를외친것이외에무엇을했는가? > 를발견하게되었다. 셔먼스타인교수의책과이우영교수의번역본을교재로하여수업을진행하였다. ( 나중에학회에서만나감사의말씀을드리고부족한시간에어떻게옮길수있었는지물었더니지하철타고출퇴근하는틈에하였다고한다. 개정판을내면서연습문제와부록도옮겨주십사부탁드렸다.) 1 여기내용은참고문헌 2 에나온내용이다. 2

그림 2: 태양계행성의궤도와핼리혜성 본문은번역본을학생들이차례대로읽어가면서설명이필요한부분은설명을해주거나읽은학생에게숙제를내주었으며, 연습문제는원본에만있는데학생들이모두다나누어풀어서보고서를작성하여이클라스에파일로제출하고화면을보면서발표하였다. 강의를진행하면서그책에나온아르키메데스의업적의방대함과그방법의독창성에 ( 감탄 ) n (n ) 하게되었다. 그많은업적들의대부분을지렛대의원리와수학적추론으로이루었는데그중에서도특히아르키메데스가발견한구면, 포물선, 포물면등의넓이, 부피에관한성질에매료되었다. 1.2 아르키메데스할아버지가준선물 2 구면, 포물선, 포물면말고도그러한성질들을가지는곡선이나곡면이존재하는지여부가무척궁금하였다. 다른말로표현하면, 아르키메데스가발견한구면, 포물선, 포물면등에관한성질들이각각구면, 포물선, 포물면등의특성이되는지여부를조사하고싶었다. 그방향으로연구한결과첫번째로구면과포물면의특성에관한논문 ( 참고문헌 14) 을완성하여투고하였고심사결과통보를기다리면서포물선의특성에관한논문 ( 참고문헌 16) 을마무리지었다. 2 여기내용은참고문헌 2 에나온내용을보완한것이다. 3

오랜기간의심사끝에심사교수가제공해준기존연구결과에대한정보와격려에힘입어후속편을완성하였다 ( 참고문헌 15). 그뒤, 2012년 4월에타원면과쌍곡면의특성에관한논문 ( 참고문헌 9) 을완성하였다. 그후에는, 80년대에필즈메달을수상한싱퉁야우교수의제 1 업적이칼라비추측의증명인데, 야우교수증명을이용하여아핀초구면의새로운특성을찾는논문 ( 참고문헌 18) 을투고하여심사결과를기다리고있으며후속논문을준비하고있다. 칼라비추측은아핀초구면의존재성과유일성에관한아핀기하의문제이며야우교수가몽쥬암페어편미분방정식의해의존재성과유일성을증명하여해결하였다. 포물면, 타원면, 쌍곡면은모두다아핀초구면의특별한경우이다. 초구면에관한논문을준비하면서검토해보니참고문헌 8, 12, 13번논문도모두다아르키메데스의업적과관계가있다. ( 이사실은 2012년 4월 28일숙명여대에서열리는 < 대한수학회총회및발표회 > 에발표하러가는기차안에서발견하였다.) 새삼깊은인연의끈을느낀다. 2012년 1학기에는대학원강의를듣는 6명의학생들과함께원뿔곡선의새로운특성을규명하여논문을완성하였다 ( 참고문헌 19). 아르키메데스할아버지덕분에원뿔곡선에관심을더욱가지게되어, 강의를듣는학생들과공동논문을쓰고싶었던오랜바램을실현할수있었다. 매년 1학기에수학과 1학년들을대상으로 < 대수및기하 > 를강의하면서많은아이디어를얻고있으며학생들에게결과논문을설명하면서연구에동참할것을권유하고있다. 2012년도에용봉수학교육포럼에서발표하였고, 제주대, 경북대, 고려대등에서초청강의를하였다. 호남수학회와대한수학회논문발표회에서매년너댓편을발표하고있다. 2013년 1학기대학원수강학생들도원뿔곡선에관한공동논문을준비하고있다. 이지면을빌어서아르키메데스할아버지와, 셔먼스타인교수, 이우영교수께감사드리고그수업에참여했던수학과학생들에게고마움을전한다. 특히, 참고문헌 8번논문의공동저자이며참고문헌 12번논문을작성하는데많은도움을준고백정선교수께감사드린다. 1.3 아르키메데스가뉴턴, 가우스와다른점 3 수학의거인세명중뉴턴은 17세기과학혁명의거대한봉우리에서꽃을피운인물로서, 가우스는 19세기에수학의왕으로일컬어진수학적천재로서둘다모두근대이후의인물이다. 반면아르키메데스는뉴턴보다거의 2000년이전에살았던고대의인물이다. 따라서이들세인물을나란히무대위에올려놓고감상하기에는이들이살았던 3 여기내용은참고문헌 6 의옮긴이머리말에나와있다. 4

그림 3: 원기둥을평면으로자르면? 시대적, 문화적배경이너무나달라서그들의개인적이력을비교하여이해하기가쉽지않다. 그럼에도불구하고이들세위인을어떤측면에서든비교해보는것은자못흥미로워보인다. 첫째, 뉴턴과가우스는어린나이에위대한수학적업적을이룩하여일찍이수학적천재로인정받은반면아르키메데스는평생을한결같은자세로수학적발견들을차근차근쌓아나갔다. 둘째, 뉴턴과가우스는다른사람들이자신들을천재로인정해주는것을즐기고또그렇게원했던반면 ( 이는위대한과학적발견들이몇몇천재들에의해서혁명적으로성취된다는역사가의견해를지지한다.), 아르키메데스는진지함과성실함을과학적태도중에최고의미덕으로숭상했다. ( 이는역사발전이점진적으로이루어진다는역사가의견해를지지한다.) 셋째, 뉴턴과가우스는주변사람들과수학적아이디어를나누는데인색했던반면 ( 그래서그들의발견중어떤중요한것들이훗날발견의선후논쟁에휘말리기도했다.), 아르키메데스는당시의교분이있는친구들과자유롭게수학적논의를즐겼으며자신의발견을아낌없이나누어주었다. 위의세가지관점은왜우리가아르키메데스할아버지에대해더깊은존경심과인간적친근감을갖게되는지잘설명해주고있다. 5

그림 4: 원뿔을 평면으로 자르면? 2 원뿔곡선의 유래4 2.1 원기둥과 원뿔을 평면으로 자르면? 기원전 5 세기의 히포크라테스 시절부터 원뿔을 평면으로 자르면 교선들은 타원, 쌍 곡선, 포물선 등이 됨을 알고 있었다. 따라서 이러한 곡선들을 원뿔곡선이라고 하였으며 해석기하가 나온 뒤에 좌표로 나타내면 이차방정식으로 표현되므로 이차곡선이라 하기 도 한다. 그림 5, 6 의 기하학적 증명은 1822 년에 벨기에의 수학자 단델린 (Dandelin) 이 발표한 것이다 ([3]). 먼저 원기둥을 평면으로 비스듬하게 자르면 타원이 생긴다. 이를 보이기 위해 원기 둥과 평면에 접하는 두 개의 구를 생각하자. < 구면 밖의 한점에서 그은 구면의 접선의 길이는 항상 같다> 는 구면의 성질을 이용하면 교선은 타원임을 알 수 있다. 이 때 구면 과 평면의 두 접점이 초점이다. 마찬가지 방법으로 원뿔을 평면으로 자른 교선도 타원, 쌍곡선, 포물선 등이 됨을 보 일 수 있다. 이 아이디어가 단델린의 것이다. 관련 그림을 보면서 증명을 생각해 보자. 2.2 이차곡면을 평면으로 자르면? 구면을 평면으로 자르면 항상 원이 된다. 역으로, 다음 질문을 할 수 있다. 질문 2.1. 평면으로 자르면 항상 원이 되는 곡면은 구면뿐일까? 4 원뿔곡선의 유래에 대해서는 참고문헌 3 과 거기에 언급된 참고문헌들에 있다. 6

그림 5: 단델린의 구 이 질문은 참임을 다음과 같이 증명할 수 있다. 정리 2.2. 평면으로 자르면 항상 원이 되는 곡면 M 은 구면이다. 증명. 임의의 방향 u 에 대하여 u 에 수직하고 M 과 한 점에서 만나는 두 평면 P, Q 가 존 재한다. 이 두 점을 각각 p, q 라고 하자. 선분 pq 를 품는 임의의 평면 φ 와 M 의 교집합은 원 C 이다. 이제 이 원 C 가 지름이 선분 pq 인 원임을 보이자. 두 평면 P, Q 와 평면 φ 의 교선을 각각 l, m 이라고 하면 두 직선은 나란하다. 두 직선 l, m 은 각각 두 점 p, q 에서 원 C 에 접하므로 선분 pq 는 원 C 의 지름임을 알 수 있다. 또한 선분 pq 를 품는 임의의 평면 φ 에 대하여 φ P 와 pq 는 수직하므로 pq 는 평면 P 와 수직하다. 즉, u 에 나란하다. 따라서 볼록 폐곡면 M 은 선분 pq 가 지름인 구면이다. 타원면, 쌍곡면, 포물면, 원뿔면, 원기둥 등은, 3 차원 유클리드 공간의 직교 좌표계를 7

그림 6: 쌍곡선 이용하여 이차식으로 표현되므로 이차곡면이라고 한다. 이차곡면을 평면으로 자르면 항상 이차곡선이 된다. 그 역은 성립할까? 현재, 대학원 학생들과 함께 위상수학의 < 부동점 정리> 를 이용하여 다음을 증명하였다. 정리 2.3. 3 차원 공간에서 평면으로 자르면 항상 타원이 되는 곡면 M 은 타원면이다. 물론, 타원면을 평면으로 자르면 교선은 항상 타원이다. 현재는, 이 정리가 일반적인 n 차원 공간에서도 성립하는지 여부를 대학원 학생들과 함께 조사하고 있다. 3 원뿔곡선의 준선, 초점, 이심률에 대하여 3.1 원뿔곡선의 작도법 서로 다른 두 점까지의 거리의 비가 일정한 상수인 점들의 자취에 대하여 알아보자. 그 비가 1 인 경우는 두 점의 수직이등분선이고 1 이 아닌 경우에 이 자취는 원이 되는데 이 원을 아폴로니우스 원이라고 한다. 8

그림 7: 초점과준선이고정되고이심률이 0 에서부터점점증가한다 이제한점 F 와한직선 g 에대하여위와같이거리의비가상수 e 인점들의자취를 알아보자. 즉, 다음의집합 S 를알아보자. S = {P PF Pg = e}. 정리 3.1. e = 1 인경우에는포물선, e < 1 이면타원, e > 1 이면쌍곡선이다. 특히, e = 인경우는 Pg = 0 인경우로생각할수있으므로그집합 S 는준선 g 이다. 일반적으로 A,B 가점, 직선, 원일때다음의자취를생각해볼수있다. S(A,B) = {P PA PB = e}. 참고문헌 [19] 에서는이모든경우에대하여조사하였다. 특히, 이과정에서타원과쌍곡 선의간단한작도법을발견하였다 ([7]). 정리 3.2. 한점 A 와 A 를지나지않는원 B 에대하여, S(A,B) 는다음과같다. 1) e = 1 인경우에는, 점 A 가원의내부에있으면타원이고점 A 가원의외부에있 으면쌍곡선이다. 이경우원의중심 O 와점 A 가두초점이고거리의합이나차는원 B 9

그림 8: C 는원, L 은직선이다. e = 1 이면 S(C,L) =? 의반지름이다. 2) e 1 인경우에 S(A,B) 는원뿔곡선이아니다. 증명. 그림 10, 11을보면서생각하면된다. 그림 8에서는서로만나지않는원 C 와직선 L 에대하여, e = 1 인경우 S(C,L) 의자취를보여주고있다. 이자취는, 원 C 와직선 L 에이르는거리가같은점들의집합이다. 다른말로표현하면, 원 C 와직선 L 에접하는원의중점의자취이다. 계산을하지않아도간단히기하학적으로그자취는포물선임을보일수있다. 이포물선의초점과준선을구해보자. 원뿔곡선의작도법먼저, 준선이 g 이고초점이 F 인포물선의작도법을생각해보자. g 위의임의의점H 에대하여 H 를지나는 g 의수선을 h 라고하자. h 위의점 P 가포물선의점이기위한필요충분조건은 PH = PF 이다. 따라서이점 P 는선분 FH 의수직이등분선과직선 h 의교점이다. 그러므로, 준선 g 위의임의의점 H 에대하여 H 를지나고준선에수직한직선 h 와 FH 의수직이등분선을그리면그교점이포물선상의점이다. 이제정리 3.2를이용하여타원이나쌍곡선의작도법을생각해보자. 두초점이 F,F 이고거리의합이 2a 인타원 E 의작도법을생각해보자. F 이중심이고반지름이 2a 인원 C 를그리자. 다른초점 F 는원 C 의내부점이된다. 그러므로 10

그림 9: 포물선의작도법 정리 3.2에의해다른초점 F 와원 C 에이르는거리가같은점들의자취 S 가타원이다. 이타원 S 의두초점이 F,F 이고거리의합이 2a 이므로우리가그리려고하는타원 E 는바로이자취 S 이다. 원 C 위의임의의점 H 에대하여 H 를지나고원 C 에수직한직선 h 를그리자. 이직선은다름아닌중심 F 을지나는직선이다. h 상의점 P 가자취 S 의점이기위한필요충분조건은 PH = PF 이다. 따라서이점 P 는선분 FH 의수직이등분선과직선 h 의교점이다. 그러므로, 원 C 위의임의의점 H 에대하여 H 와중심 F 을지나는직선 h 와선분 FH 의수직이등분선을그리면그교점 P 가타원위의점이다. 마지막으로, 두초점이 F,F 이고거리의차가 2a 인쌍곡선 G 의작도법을생각해보자. F 이중심이고반지름이 2a 인원 C 를그리자. 다른초점 F 는원 C 의외부점이된다. 그러므로정리 3.2에의해다른초점 F 와원 C 에이르는거리가같은점들의자취 S 가쌍곡선이다. 이쌍곡선 S 의두초점이 F,F 이고거리의차가 2a 이므로우리가그리려고하는쌍곡선 G 는바로이자취 S 이다. 원 C 위의임의의점 H 에대하여 H 를지나고원 C 에수직한직선 h 를그리자. 이직선은다름아닌중심 F 을지나는직선이다. h 상의점 P 가자취 S 의점이기위한필요충분조건은 PH = PF 이다. 따라서이점 P 는선분 FH 의수직이등분선과직선 h 의교점이다. 그러므로, 원 C 위의임의의점 H 에대하여 H 와중심 F 을지나는직선 h 와선분 FH 의수직이등분선을그리면그교점 P 가쌍곡선위의점이다. 11

그림 10: 타원의작도법 3.2 원뿔곡선의이심률과특성 5 준선이 g 이고대응하는초점이 F 이며이심률이 e 인원뿔곡선 S(e) 를생각하자. 먼저포물선은다음성질을가진다. 성질 3.3. 준선 g 위의임의의점 Q 에서포물선에그은두접선은서로수직하며두접점을이은선분은포물선의초점 F 를지난다. 이성질에의하면준선위에서포물선을바라보면항상직각으로보인다 6. 이성질은포물선의특성임을다음정리로알수있다 ([4,17]). 정리 3.4. 볼록한곡선 C 에대하여다음성질을만족하는한직선 g 와한고정점 F 가존재하면, 그곡선 C 는초점이 F 이고준선이 g 인포물선이다. 직선 g 위의임의의한점 Q 에서곡선 C 에그은두접선은직교하며두접점을연결하는선분은점 F 를지난다. 5 이절에나오는원뿔곡선의성질의증명은참고문헌 5 에나온다. 6 지름이 AB 인원위에서이지름을바라보면항상직각으로보이는것과같다. 12

그림 11: 쌍곡선의작도법 이제일반적인원뿔곡선 S(e) 의성질과특성을찾아보자. 성질 3.5. 원뿔곡선 S(e) 의초점 F 를지나는현의두끝점을 P,Q 라고하자. 초점 F 를 지나고현 PQ 에수직한직선이준선 g 와만나는점을 R 이라고하면 P,Q 에서 S(e) 의 두접선은 R 에서만난다. 이성질은원뿔곡선의특성임을다음정리로알수있다 ([1,11]). 정리 3.6. 평면상의곡선 C 에대하여다음성질을만족하는직선 g 와한점 F 가존재하 면그곡선 C 는초점이 F 이고준선이 g 인원뿔곡선 S(e) 이다. 곡선 C 위의임의의점 P 에서 C 의접선이직선 g 와만나는점을 Q 라하면, PFQ 는 직각이다. 이제초점까지거리의성질을살펴보자. 행성이나일부분의혜성 ( 그림 2 의핼리혜성 이그예이다.) 의궤도는태양이한초점인타원인데이궤도를추적하기위해서는극좌 표가유용하게쓰인다. 초점을알고있는포물선이나쌍곡선궤도추적도마찬가지이다. 성질 3.7. 원뿔곡선 S(e) 의초점 F 를지나는현의두끝점을 P,Q 라고하자. 1) P,Q 에서 S(e) 의두접선은준선 g 의한점 R 에서만난다. 1 2) PF + QF 1 는일정하다. 13

그림 12: 원뿔곡선의성질 증명. 초점 F 를극, F 를지나고준선 g 에수직한직선을기선으로하는극좌표 (r,θ) 로 원뿔곡선을나타내면다음과같다. r = ep 1 ecosθ. 위식에서 p 는초점 F 에서준선 g 까지거리이다. 이식으로부터성질 3.7 은간단하게 유도된다. 이성질은원뿔곡선의특성임을다음정리로알수있다 ([21]). 정리 3.8. 평면상의곡선 C 에대하여다음성질을만족하는직선 g 와한점 F 가존재하 면그곡선 C 는초점이 F 이고준선이 g 인원뿔곡선 S(e) 이다. 성질 ) F 를지나고 C 와두점 P,Q 에서만나는임의의현에대하여 1) P,Q 에서 C 의접선은 g 에서만난다. 1 2) PF + QF 1 은일정하다. 증명. 점 F 를극, F 를지나고직선 g 에수직한직선을기선으로하는극좌표 (r,θ) 로 곡선 C 를나타내고성질을이용하여증명한다. 자세한사항은참고문헌 21 을참고하면 된다. 14

그림 13: 포물선의절단부의면적 : 아르키메데스정리 4 원뿔곡선의넓이성질과특성 4.1 포물선절단부의넓이와포물선의특성 7 아르키메데스는지렛대의원리를이용하는방법과기하학적인방법의두가지방법으로포물선의절단부의넓이에관한다음성질을증명하였다. 2010년 2학기에수학사강의를하면서그증명방법을처음으로알게되었는데그방법의독창성에매료되어그후연구의큰흐름에반영되고있다. 성질 4.1. 포물선의임의의현 AC 에대하여접선이 AC 와나란한점을 B 라고하면다음이성립한다. 절단부의넓이 = 4 3 ABC. 질문 4.2. 다음성질을만족하는볼록곡선 X 는포물선뿐인가? < X 위의임의의점 P 와 P 에서 X 의접선과나란한 X 의임의의현 AB 에대하여다음이성립한다.> 절단부의넓이 = 4 3 ABP. 7 이절에나오는포물선의면적성질의증명은참고문헌 6, 22 에나온다. 15

정리 4.3. ( 참고문헌 16) 다음성질을만족하는볼록곡선 X 는포물선뿐이다. < X 위의임의의점 P 와 P 에서 X 의접선과나란한 X 의임의의현 AB 에대하여다음이성립한다.> 절단부의넓이 = 4 3 ABP. 증명. 점 P 에서접선과나란한 X 의현 AB 에대하여, h 를 P 에서현 AB 에이르는 거리라하고다음과같이정의하자. S P (h) = 절단부의넓이, l P (h) = 현 AB 의길이. 먼저다음식이성립함을보인다. S P(h) = l P (h), l P (h) lim = 2 2, h 0 h κ(p) 여기서 κ(p) 는 P 에서곡선 X 의곡률이다. 여기까지증명하고더이상진행하지못하다가 2011년 8월말어느일요일저녁에하심재 ( 시골집 ) 에서해결을하였다. 우리의조건을상미분방정식으로바꿀수있었고이미분방정식을풀어서질문 4.2가참임을증명하였다. 위의식은아래와같이바꿔보면이는볼록평면곡선의곡률에대한새로운해석이다. κ(p) = 8{ dl P(h) 2 (0)} 1. dh 질문 4.4. 다음성질을만족하는볼록곡선 X : y = f (x) 는포물선뿐인가? < 임의의점 P 에서접선과나란한 X 의현 AB 에대하여 P 를지나고 y 축에나란한직선이현 AB 와만나는점을 V 라고하면다음이성립한다.> 절단부의넓이 = k PV 2 3. 물론, 포물선은위의성질을만족함을아르키메데스가보였다. 정리 4.5. ( 참고문헌 16) 그렇다. 16

그림 14: 타원의 절단부의 넓이 : 빗금친 두 영역의 넓이는 같을까?. 4.2 타원과 쌍곡선의 절단부의 넓이와 특성 포물선과 달리 타원이나 쌍곡선의 절단부의 넓이 성질은 많지 않다. 먼저, 양수 k 에 대하여 다음과 같은 타원들을 생각하자. Ek : x 2 y2 + = k. a2 b2 서로 다른 양수 k, l(k < l) 에 대하여 Ek 의 점 P 에서 접선이 El 을 두 부분으로 나누 는데 Ek 의 외부에 있는 빗금친 부분은 접점이 달라져도 모양은 변하지만 넓이는 변하지 않는다 (그림 14). 성질 4.6. 양수 k, l(k < l) 에 대하여 Ek 의 P 에서 접선이 El 을 두 부분으로 나누는데 Ek 의 외부에 있는 빗금친 부분은 접점이 달라져도 넓이가 같다. 증명. 이 성질을 증명하는 가장 간단한 방법은 일차변환을 이용하는 것이다. x = au, y = bv 라고 하면 이 일차 변환 T (x, y) = (x/a, y/b) 에 의해 타원 Ek 는 다음의 동심원으로 사상된다. Ck : u2 + v2 = k. 따라서 Ek 와 El 은 동심원 Ck 와 Cl 로 사상되고 빗금친 부분은 대응하는 빗금친 부분으 로 사상된다 (그림 15). 동심원에서 빗금친 부분의 넓이가 같다는 것은 분명하다. 한편, 일차 변환 T 는 모든 영역의 넓이를 T = 1/ab 만큼 늘이거나 줄인다. 그러므로 원래 Ek 의 외부에 있는 빗금친 부분은 접점이 달라져도 넓이가 같다. 17

그림 15: 동심원의 절단부의 넓이 : 빗금친 두 영역의 넓이는 같다. 같은 성질이 쌍곡선에서도 성립한다. 양수 k 에 대하여 다음과 같은 쌍곡선들을 생각 하자. Hk : x 2 y2 = k. a2 b2 서로 다른 양수 k, l(k < l) 에 대하여 Hl 의 P 에서 접선이 Hk 를 두 부분으로 나누는데 Hl 의 외부에 있는 빗금친 부분은 접점이 달라져도 모양은 변하지만 넓이는 변하지 않는 다. 성질 4.7. 양수 k, l(k < l) 에 대하여 Hl 의 P 에서 접선이 Hk 를 두 부분으로 나누는데 Hl 의 외부에 있는 부분은 접점이 달라져도 넓이는 변하지 않는다. 증명. 쌍곡선의 경우에는, 일차변환으로 계산이 간단한 직각쌍곡선으로 바꾼 다음에 계 산하면 된다. 질문 4.8. 이러한 넓이 성질을 가지는 곡선이 타원, 쌍곡선 이외에도 있는가? 다음 정리로 이러한 성질은 타원과 쌍곡선의 특성임을 알 수 있다 ([10]). 정리 4.9. 이러한 넓이 성질을 가지는 볼록곡선은 본질적으로 타원, 쌍곡선 뿐이다. 18

그림 16: 회전포물면의절단부 5 이차곡면의부피성질과특성 5.1 포물면의절단부의부피와포물면의특성 8 이절에서는이차곡면의부피에관한특성을간단히언급하려고한다. 회전포물면 z = a(x 2 + y 2 )(a > 0) 을평면 Π 로자른절단면은타원이다. P 에서접평면이평면 Π 와나란하다고하자. P 를지나고축에나란한직선이평면 Π 와만나는점을 V 라하면 V 는타원의중심이다. 이때아르키메데스는다음이성립함을보였다. 절단부의부피는 PV 2 에비례한다. 즉, 다음식이성립한다. 절단부의부피 = k PV 2. 여기서 k 는 P 와무관한상수이다. 그리고 PV 를절단부의축이라고한다. 아르키메데스는포물선의절단부의넓이도축의길이로나타내었다. 즉, 다음식을증명하였다. 절단부의넓이 = k PV 3/2. 여기서 k 는 P 와무관한상수이다. 회전포물면의일반적인절단부의부피는, 위의공식 < 절단부의부피 = k PV 2 > 을 8 이절에나오는포물면의부피성질은참고문헌 6, 22 에, 정리의증명은참고문헌 14, 15 에나온다. 19

이용하여다음과같이구하였다. 절단부의부피 = 1 타원기둥의부피. 2 또는다음과같이타원기둥을타원뿔로바꾸어나타낼수있다. 절단부의부피 = 3 타원뿔의부피. 2 질문 5.1. 다음성질을만족하는볼록곡면 M : z = f (x,y) 은회전포물면뿐인가? < 임의의점 P 에서접평면과나란한 M 의절단평면 Π 에대하여 P 를지나고 z 축에 나란한직선이절단평면 Π 와만나는점을 V 라고하면다음이성립한다.> 절단부의부피 = k PV 2. 정리 5.2. ( 참고문헌 14,15) 아니다. 다음성질을만족하는볼록곡면 M : z = f (x,y) 은타원포물면 M : z = ax 2 + by 2 (a,b > 0) 뿐이다. < 임의의점 P 에서접평면과나란한 M 의절단평면 Π 에대하여 P 를지나고 z 축에나란한직선이절단평면 Π 와만나는점을 V 라고하면다음이성립한다.> 절단부의부피 = k PV 2. 질문 5.3. 차원이높아지면어떤가? 정리 5.4. ( 참고문헌 14, 15) n + 1 차원유클리드공간의볼록초곡면 M : z = f (x 1,,x n ) 중에서다음성질을만족하는것은타원포물면 M : z = Σ n i=1 a2 i x2 i (a 1,,a n > 0) 뿐이다. < 임의의점 P 에서접평면과나란한 M 의절단초평면 Π 에대하여 P 를지나고 z 축에 나란한직선이절단초평면 Π 와만나는점을 V 라고하면다음이성립한다.> 절단부의부피 = k PV n+2 2. 5.2 타원면과쌍곡면의절단부의부피와특성 9 먼저, 양수 k 에대하여다음과같은타원면들을생각하자. 9 이절에나오는성질과정리의증명은참고문헌 9, 18, 20 에나온다. 20

E k : x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = k. 서로다른양수 k,l(k < l) 에대하여 E k 의 P 에서접평면이 E l 을두부분으로나누는 데 E k 의외부에있는부분은접점이달라져도모양은변하지만부피는변하지않는다. 성질 5.5. 양수 k,l(k < l) 에대하여 E k 의 P 에서접평면이 E l 을두부분으로나누는데 E k 의외부에있는부분은접점이달라져도부피가같다. 증명. 성질 4.6 의증명과본질적으로같다. 같은성질이이엽타원쌍곡면에서도성립한다. 양수 k 에대하여다음과같이위쪽에 있는타원쌍곡면들을생각하자. H k : z2 c 2 x2 a 2 y2 = k, z > 0. b2 서로다른양수 k,l(k < l) 에대하여 H l 의 P 에서접평면이 H k 를두부분으로나누는 데 H l 의외부에있는부분은접점이달라져도모양은변하지만부피는변하지않는다. 성질 5.6. 양수 k,l(k < l) 에대하여 H l 의 P 에서접평면이 H k 를두부분으로나누는데 H l 의외부에있는부분은접점이달라져도부피는변하지않는다. 질문 5.7. 이러한부피성질을가지는곡면이타원면, 타원쌍곡면이외에도있는가? 18]). 다음정리로이러한성질은타원면과타원쌍곡면의특성이아님을알수있다 ([9, 정리 5.8. 이러한부피성질을가지는볼록곡면은본질적으로동질아핀구면이다. 이차곡면이아닌동질아핀구면의예를들어보자. 양수 k 에대하여다음곡면은동 질아핀구면이다. 물론, M k 는우리의부피성질을만족한다. 질문 5.9. 차원이높아지면어떤가? M k : xyz = k. 다음정리에의하면, (n + 1)- 차원유클리드공간의 n- 차원볼록초곡면중에서이러한 성질을만족하는초곡면은본질적으로동질아핀초구면뿐임을알수있다 ([9, 18]). 포 물면, 타원면, 쌍곡면은모두다동질아핀초구면의특별한경우이다. 정리 5.10. 이러한부피성질을가지는볼록초곡면은본질적으로동질아핀초구면뿐 이다. 21

이차곡면이아닌동질아핀초구면의예를들어보자. 양수 k 에대하여다음초곡면은동질아핀초구면이다. M k : x 1 x 2 x n+1 = k. 물론, M k 는우리의부피성질을만족한다. 참고문헌 [1] 강승희, 이차곡선의특성, 전남대학교석사학위논문, 20011년 8월. [2] 김동수, 아르키메데스의업적과포물선의특성, 용봉수학교육연구제 12집, 2012, 89-109. [3] 리차드쿠랑 허버트로빈스지음, 박평우외 2인옮김, 수학이란무엇인가? 제 2판, 경문사, 서울, 2002. [4] 박종호, 포물선의성질과특성, 전남대학교석사학위논문, 2011년 2월. [5] 박진석 김향숙, 해석기하학개론, 경문사, 서울, 2009. [6] 셔먼스타인지음, 이우영옮김, 아르키메데스 : 그가유레카를외친것이외에무엇을했는가?, 경문사, 서울, 2006. [7] 정지은, 원뿔곡선의특성, 전남대학교석사학위논문, 2013년 2월. [8] Baek, Jeong-Seon, Kim, Dong-Soo and Kim, Young Ho, A characterization of the unit sphere, Amer. Math. Monthly, 110(2003), no.9, 830-833. [9] Kim, Dong-Soo, Ellipsoids and elliptic hyperboloids in the Euclidean space E n+1, Submitted. [10] Kim, Dong-Soo, Area properties of conic sections, In Preparation. [11] Kim, Dong-Soo and Kang, Seung Hee, A characterization of conic sections, Honam Math. J. 33 (2011), no. 3, 335-340. [12] Kim, Dong-Soo and Kim, Young Ho, A characterization of ellipses, Amer. Math. Monthly, 114 (2007), no.1, 65-69. [13] Kim, Dong-Soo and Kim, Young Ho, New characterizations of spheres, cylinders and W-curves, Linear Algebra and Its Applications, 432(11) 2010, 3002 3006. 22

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