(2) 다중상태모형 (Hyunoo Shim) 1 / 2
(Coninuous-ime Markov Model) ➀ 전이가일어나는시점이산시간 : = 1, 2,, 4,... [ 연속시간 : 아무때나, T 1, T 2... * 그림 (2) 다중상태모형 ➁ 계산과정 이산시간 : 전이력 (force of ransiion) 정의안됨 전이확률 (ransiion probabiliy) 직접계산연속시간 : 전이력을먼저계산 () 전이확률계산 ( + h 사이 ) (Hyunoo Shim) 2 / 2
(2) 다중상태모형 (Coninuous-ime Markov Model) ( 이산시간도적용 ): p ij ➀ p ij : 세에상태 i에있다가 + 세에상태 j에있을확률 (i j) ➁ p ii : 세에상태 i에있다가 + 세에상태 i에있을확률 * 그림 ➂ p ii : 세에상태 i 에있다가 + 세까지계속상태 i 에있을확률 (No ransiion) (Hyunoo Shim) / 2
(2) 다중상태모형 (Coninuous-ime Markov Model) * 예단일탈퇴모형 : p (τ) = p = p 일시장해모형 : p p ➃ µ i : 세에상태 i 에서빠져나오는경우의모든전이력 µ i n µ ij j= j i (Hyunoo Shim) 4 / 2
(2) 다중상태모형 (Coninuous-ime Markov Model) * 다중상태모형에서앞으로다룰중요한계산전이확률 : p ij ( 기존의생존률 p, 사망률 q p ij ) 전이력 (force of ransiion): µ ij + ( 생존 µ ii +, 사망 µ ij + µij + ) ➀ p ij : 에대하여미분가능한함수함수 : 모든 ( 연속시간 ) 에대하여정의되어야하므로 [ 미분가능 : 이함수를짧은시간 h에대하여미분할예정 * 필요이유 ( 예시 : 단생, 단일탈퇴모형 ) 사력 : 생존함수의미분이다. µ + = d p p (Hyunoo Shim) 5 / 2
(2) 다중상태모형 (Coninuous-ime Markov Model) ➁ 짧은시간 h 에대해두번이상전이될확률 = Pr(h기간동안두번이상전이 ) = O(h) O(h) lim h h O(h) 는 h 가감소가는속도 (h ) 보다더빠르게감소예 O(h): h 1.5, h 2,... * 필요이유 ( 예시 : 단생, 단일탈퇴모형 ) 생존함수 : 사력의적분이다 hp = ep [ h µ+d] = 1 hµ + O(h) (Hyunoo Shim) 6 / 2
(Coninuous-ime Markov Model) ( 상기다중상태모형의가정下 ) ➀ 전이력 (force of ransiion) * 전이력을정의하는이유 ( 전이되는시점이연속적이므로각시점 에대하여전이력함수가주어짐. 주어진전이력을사용하여 p ij 를계산 ) (2) 다중상태모형 µ ij lim h + hp ij h (i j) (Noe (i = j) 인경우 ( 상태유지 ) 는전이력을정의하지않는다.) 비유 : 속도와비슷 v = d h p ij h 즉, h 라는시간동안위치 i 에서위치 j 로움직인거리 (Hyunoo Shim) 7 / 2
(2) 다중상태모형 (Coninuous-ime Markov Model) ➁ 전이확률 * 전이확률의종류 ( 예 : 모형1 - 단일탈퇴, 이중상태 ) i, j = 또는 1 p, p 1, p 1, p 11, p, p 11 * 전이확률의종류구분 1) p ij (i j) 2) p ii ) p ii 1) p ij (i j) µ ij = lim hp ij h + (i j) h hp ij = hµ ij + O(h) hµ ij hp ij hµ ij (Hyunoo Shim) 8 / 2
(2) 다중상태모형 (Coninuous-ime Markov Model) 2) p ii * p ii 보다 p ii 계산을먼저한다. 그이유는? 첫째, p ii 계산이가장쉽다. p ii = p ii + O(h) p ii p ii 둘째, p ii 를이용해다른전이확률을계산 ) p ii p ii = ep [ = ep [ n µ i +sds] j= j i µ ij +sds] (Hyunoo Shim) 9 / 2
(2) 다중상태모형 (Coninuous-ime Markov Model) p ii * 유도과정 p ii = ep [ = ep [ n n j= j i µ i +sds] j= j i µ ij +sds] 1 h p ii = h µ ij + O(h) 식의의미 : h n j= µ ij : h시간동안상태i에서상태j(j i) 로전이되는모든 j i 확률. 즉, 상태i를떠나는확률 O(h): h시간동안 2번이상전이되는확률 ( 무시되는항 ) 예 ) i j k로전이되는경우 h 2 n j= j i µ ij n k= k j µ jk (Hyunoo Shim) 1 / 2
(2) 다중상태모형 (Coninuous-ime Markov Model) 즉, 한편, hp ii n 1 h p ii = h = ep [ = 1 h n 1 h j= j i n h j= j i µ ij j= j i n j= j i µ ij µ ij +sds] µ ij +sds + O(h) 같다. (Hyunoo Shim) 11 / 2
* 그림 (2) 다중상태모형 (Hyunoo Shim) 12 / 2
(2) 다중상태모형 ➀ p ii p p 11 p 22 p ii = ep [ = ep [ = ep [ = ep [ = 1 µ i +sds] (µ 1 +s + µ 2 µ 12 +sds] µ 2 +sds] +s)ds] p 22 = 1 인이유 : 흡수상태 ( 예를들어, 사망 ) ➁ p ii p ii = p ii 이유 : 전이화살표가한방향만존재 ( 영구장해모형의특징 ). (Hyunoo Shim) 1 / 2
예제 1.2.2.1 (2) 다중상태모형 (Hyunoo Shim) 14 / 2
(2) 다중상태모형 ➂ p ij p 2 p 12 p 1 = = = s p µ 2 +sds s p 11 µ 12 +sds s p µ 1 +s sp 11 +sds (Hyunoo Shim) 15 / 2
예제 1.2.2.4 (2) 다중상태모형 (Hyunoo Shim) 16 / 2
예제 1.2.2.6 (2) 다중상태모형 (Hyunoo Shim) 17 / 2
예제 1.2.2.9 (2) 다중상태모형 (Hyunoo Shim) 18 / 2
(2) 다중상태모형 (2) 다중상태모형 (2) 다중상태모형 * 그림 ➀ p ii : 모형 2 와동일 ➁ p ii p? = p p : 유지 번의전이 Quesion: 1? 1 1? (Hyunoo Shim) 19 / 2
(2) 다중상태모형 (2) 다중상태모형 ➂ p ij p 1? = s p µ 1 +s sp 11 +sds : 1 1번의전이 Quesion: 1 1? 1 1 1? 해결방법 Kolmogorov Forward Equaion (KFE) * Noe p 12 p 2? = = s p 11 µ 12 +s sp 22 +sds s p µ 1 +s sp 12 +sds (Hyunoo Shim) 2 / 2