7 장에너지의보존 ( Energy Conservation)
고립계 (isolated system) 와비고립계 (nonisolated system) 계에저장될수있는에너지형태는 a. 구성요소들의운동과관련된운동에너지, b. 배열과관련된위치에너지, c. 온도와관련된내부에너지이다. 우주 U 에너지 환경 E 계 S 고립계 : 계와환경이상호작용하지않는다. a. 계의전체에너지는일정하게보존된다. b. 보존력만작용할경우에는역학적에너지까지보존된다. c. 비보존력이작용할경우는역학적에너지는보존되지않고내부에너지로변환된다. E K U E 일정 system int system 비고립계 : 계와환경이상호작용하므로계의전체에너지가보존되지않고변한다. 비고립계 (nonisolated system) 모형의가장단순한예 : E K U E 입자로모형화된물체에힘이작용하는경우, 입자의운동에너지가변한다. int
비고립계의에너지모형 비고립계에에너지를전달하는방법으로, 일에의한방법이외에다른방법들이있다. 단일입자모형에서는그때계의운동에너지가변한다. 계 S 우주 U 에너지 환경 E (a) 일 (wor) (b) 역학적인파동 (mechanical waves) (c) 열 (heat) (d) 물질전달 (matter transer) (e) 전기송전 (electrical transmission) () 전자기복사 (electromagnetic radiation) 3
비고립계의에너지모형 고립계에서에너지는생성되거나소멸되는일없이형태만바뀔뿐그양은항상보존된다. 어느계의전체에너지가변한다면, 그이유는에너지가계의경계를넘기때문이다. E system T 에너지보존 (energy conservation) E system : 계의전체에너지로서계에저장가능한모든에너지 T : 어떤전달과정을거치면서계의경계를넘어전달되는에너지양. Twor W, T Q, T T, T T, T heat mechanical wave E tem K U E W Q T T T T sys int MW MT ET ER MW matter transer electrical transmission T, ET Telectromagnetic radiation TER MT 예 ) 비고립계에힘이작용하고힘의작용점은계의변위와같이움직이며힘은오직속력에만영향을끼쳤다면 : K W 일 - 운동에너지정리 4
고립계의에너지모형 : 역학적에너지보존 고립계는환경과상호작용을하지않으므로전체에너지는항상보존된다. ( 책 + 지구 ) 계에내력으로보존력인중력만이작용하는상황을고려한다. W ( mg) r g ( mg ˆj) ( y ) ˆ yi j mgyi mgy yi 책을입자모형으로생각하면일 - 운동에너지정리가성립 Wg K, K K K Ug W, g U U U mgy mgyi g i i, y K U g ( KU g ) 위결과를비보존력이작용하지않는고립계의여러위치에너지형태로일반화할수있다.
고립계의에너지모형 : 역학적에너지보존 비보존력이작용하지않는고립계의여러위치에너지형태로일반화하면 K U ( KU) y i ( K K ) ( U U ) i i K U Ki Ui E mech E mech K U, y 비보존력이작용하지않는고립계의역학적에너지는보존된다. E mech 계내부에비보존력이있으면전체에너지는보존되나역학적에너지는보존되지않는다. E system, E mech
예제 7.1 자유낙하하는공 그림과같이질량 m인공을지면에서높이 h인곳에서떨어뜨린다. (A) 공기저항을무시하고지면에서높이 y에도달할때공의속력을구하라. (B) 공이처음높이 h 에서이미위방향의처음속력을가지고있을경우, 높이 y에도달할때의공의속력을구하라. y (A) 중력은보존력이고 ( 지구 + 공 ) 으로구성된고립계이므로역학적에너지가보존된다. 즉, mgh K U Ki Ui 1 mgy mv v g( h y) v g( h y) (B) 처음속력을가지고있는경우역학적에너지보존에서 mgh 1 mv i 1 mgy mv v ( ) vi g h y v vi g( h y) 동일한처음속력으로, 어느방향으로던지더라도 y 에서속력은동일하다. 7
예제 7.3 용수철공기총 용수철공기총의방아쇠를당겨용수철을 A지점까지압축한다. 질량 m의총알은연직으로발사되어, 용수철을떠나는위치부터최대높이 C지점까지올라간다. (A) 모든저항력을무시하고용수철상수를구하라. (B) 용수철의평형위치 B를지날때총알의속력을구하라. m 35. g, ya.1 m, yb m, yc.m y ( 총알 + 총 ( 용수철 )+ 지구 ) 로구성된고립계로생각한다. (A) 고립계이므로 A 지점에서 C 지점까지역학적에너지가보존되므로 mgy A 1 ya mgy C ya mg( yc ya) mg( y y ) / y 985 N/ m C A A (B) y= 인 B 지점에서 C 지점까지역학적에너지보존을적용하면 1 B mv mgy C v B gy C v gy 19.8 m / s B C 8
운동마찰이포함되어있는상황 입자모형에적용되는일 - 운동에너지정리를운동마찰력이작용하는경우로확장할수있다. 힘이작용할때변형이없는물체의경우, 모든힘들이그물체 ( 여기서는책 ) 에한일의양은 other orces F dr dr F dr W other orces d K F ma d A dr dr dr d 마찰력외의다른힘들이하는일 마찰력이한일과관련이있는항, 또는평균값 d: 전체경로의길이!! d B 9
운동마찰이포함되어있는상황 d 마찰력만으로감속하는 ( 책 + 표면 + 지구 ) 의고립계에, 마찰력이포함된일 - 운동에너지정리를적용해본다. ( 책 + 표면 + 지구 ) 계 U W d K other orces 마찰력은 ( 책 + 표면 + 지구 ) 계의내력이므로고립계이다. 그러므로계의전체에너지는보존된다. E K U E system K d, U int Esystem d Eint E d K int 마찰력은계의내부에있는운동에너지를내부에너지로변환시키며이때계의내부에너지증가량은운동에너지의감소량과같다.( 단, 일때 ) U 1
예제 7.4 거친표면위에서물체끌기 수평한표면위에서처음에정지하고있는 6.g 의물체를크기가일정한 1N 의수평방향의힘으로오른쪽으로당긴다고가정한다. (A) 물체가접촉한표면의운동마찰계수가.15 일때 3.m 이동된후물체의속력을구하라. (B) 그림과같이힘 F 가수평면에대해어떤각도를이루면서물체를오른쪽으로 3.m 끈다고가정할때물체가최대속력에이르게하는힘의각도를구하라. (A) ( 바닥 + 물체 ) 로구성된비고립계에비보존력으로마찰력이있는상황이므로 E K U E W system E d U, int 1 int K d W mv x Fx, n mg v ( F mg) x / m v ( F mg) x / m (1 N.15 6.g 9.8 m / s ) 3. m / 6.g 1.8 m/ s 11
예제 7.4 거친표면위에서물체끌기 수평한표면위에서처음에정지하고있는 6.g의물체를크기가일정한 1N의수평방향의힘으로오른쪽으로당긴다고가정한다. (A) 물체가접촉한표면의운동마찰계수가.15일때 3.m 이동된후물체의속력을구하라. (B) 그림과같이힘 F가수평면에대해어떤각도를이루면서물체를오른쪽으로 3.m 끈다고가정할때물체가최대속력에이르게하는힘의각도를구하라. (B) ( 바닥 + 물체 ) 로구성된비고립계에비보존력인마찰력이있는상황이므로 K d W v 1, mv x Fxcos, n ( mg Fsin ) ( Fcos ( mg Fsin )) x / m y : n Fsin mg n mg Fsin d ( cos sin ) d ( sin cos ) tan v ( Fcos ( mg Fsin )) x / m ( F( cos sin ) mg) x / m 1 tan tan 1.15 8.5 1
비보존력에의한역학적에너지의변화 마찰력만으로감속하는 ( 책 + 표면 + 지구 ) 로구성된고립계에서역학적에너지의변화를고려한다. ( 중력이작용하는경우 ) N v i d Esystem Emech Eint E K U, mech E int d v E K U d mech mg U 고립계안에서비보존력으로마찰력만작용할때 E K U d mech 비고립계안에서마찰력이외에다른비보존력이작용할때는 E system W other orces E d W mech ( 일을통해서계에에너지를전달한다고가정 ) other orces 13
예제 7.6 경사면을따라미끄러져내려오는나무상자 질량 3. g 인물건을담은나무상자가경사면을따라미끄러져내려온다. 그림 7.11 과같이경사면의길이는 1. m 이고경사각은 3. 이다. 나무상자는경사면의상단에서정지상태에서부터움직이기시작해서 5. N 크기의마찰력을계속받으며내려온다. 경사면을내려온후에도수평인지면바닥을따라짧은거리만큼움직이다가멈춘다. (A) 에너지방법을이용해서경사면아래끝에서나무상자의속력을구하라. (B) 나무상자가경사면을내려온후에도수평인지면바닥을따라크기가 5. N 인마찰력을받는다면, 나무상자는얼마만큼이동하는가? h (B) 이경우위치에너지변화는없다., 1 mv (A) ( 바닥 + 물체 + 지구 ) 계는고립계이고비보존력인마찰력이작용하는상황이므로 1 E K U d mech ( mv ) ( mgh) d v ( mgh d) / m v ( mgh d) / m.54 m/ s U Emech K d d m d v 3. g (.54 m / s) 1.94m 5.N 14
일률 (Power) 계에에너지를전달할때, 시간에대한에너지전달비율을일률 (power) P라하고다음으로정의한다. ( 스칼라량 ) F P de dt 단위 : 평균일률 (average power) 1W 1 J / s g m / s 3 ( 일에의한에너지전달 ) 순간일률 (instantaneous power) 힘 F 가시간 t 동안에물체에한일이 W F r 일때평균일률은 P av W t W P lim t t F lim t r t dr F F dt v P Fv 1 746 1 1 36 3.6 1 3 6 hp W, Wh W s J 15
예제 7.9 승강기용전동기의일률 y 전동기가질량 1 6 g인승강기와전체질량이 g인승객을나르고있다. 일정한마찰력 4 N이작용해서승강기의운동을느리게하고있다. (A) 승객을실은승강기를일정한속력 3. m/s로올리려면전동기는얼마의일률로일을해야하는가? (B) 승강기를가속도 1.의가속도로올리도록설계되었다면승강기의속력이 v인순간전동기의일률은얼마인가? T dw (A) 일정한속력으로올라가므로가속도는 이다. 즉, T P dt Fv T Mg T Mg P Fv T v ( Mg ) v 4 6.491 W Mg (B) 승강기가가속하고있으므로줄의장력이달라진다. 즉, T Mg Ma T M( g a) P Fv T v ( M( g a) ) v 4 (.341 ) v 4 v 3. m/ s P (.341 ) 3. m / s 4 7.1 W 16