정동명해석학 4.1 수열의수렴성 1. 다음의수열 중에서어느것이수렴하는가를조사하여라. 또, 그이유를밝혀라. (1) 수렴한다. 임의의 에대하여 아르키메데스성질에의하여 을만족하는 을택하면 일때, 이성립한다. 여기서 이므로 이성립한다. 따라서 은 1 로수렴한다. (2) 수렴한다. 임의의 에대하여 아르키메데스성질에의하여 을만족하는 을택하면 일때, 이성립한다. 따라서 은 0 으로수렴한다. (3) 수렴한다. 임의의 에대하여 아르키메데스성질에의하여 을만족하는 을택하면 일때, 따라서 은 0 으로수렴한다. 이성립한다. (4) 수렴한다. 임의의 에대하여 아르키메데스성질에의하여 을만족하는 을택하면 일때, 이성립한다. 따라서 은 3 으로수렴한다. - 1 -
(5) 수렴하지않는다. 즉, 발산한다. 따라서 또한 로발산한다. 이고 lim 이다. (6) 수렴하지않는다. 즉, 발산한다. 이홀수일때, 이고, 이짝수일때, 임을알수있다. 즉, 은진동한다. 따라서 은수렴하지않는다. (7) 수렴한다. 임의의 에대하여 아르키메데스성질에의하여 을만족하는 을택하면 일때, 이성립한다. ( ) 따라서 은 에수렴한다. (8) 수렴한다. 임의의 에대하여 인 을택하면 ( 아르키메데스성질에의하여 는존재한다.) 일때, 이성립한다. 따라서 은 1 로수렴한다. (9) ( ) 임의의 에대하여 인 을택하면( 아르키메데스성질에의하여 는존재한다.) 일때, 따라서 은 -1 로수렴한다. 이성립한다. - 2 -
(10) 수렴하지않는다. 즉, 발산한다. 이홀수일때, 이고, 이짝수일때, 임을알수있다. 즉, 은진동하므로수렴하지않는다. 2. 극한의정의에서 보아라. 생략함. 을 으로, 를 로바꾸어도무방함을설명하여 3. 수열 이어떤자연수 보다큰모든자연수 에대하여 라고하면, 은 에수렴함을보여라. 임의의 에대하여어떤자연수 를택하면 일때, 이성립한다. 따라서 은 에수렴한다. 4. 두수열 과 이모두 에수렴한다고하자. 어떤자연수 보다큰모든자연수 에대하여 을만족하면, 수열 은 에수렴함을보여라. 임의의 에대하여 이므로충분히큰자연수 이존재하여 일때, 이성립한다. 즉, 이다. 이므로충분히큰자연수 이존재하여 일때, 이성립한다. 즉, 이다. 이제 를택하면, 일때, 이성립한다. 즉, 이다. 따라서 은 에수렴한다. 5. 수열 이 0 에수렴하고, 어떤자연수 보다큰자연수 에대하여 을만족하 면, 수열 은 0 에수렴함을보여라. 임의의 에대하여 이므로충분히큰자연수 이존재하여 일때, 을만족한다. 즉, 이다. 또한가정에의하여어떤자연수 가존재하여 일때, 을만족한다. 이제 을택하면, 일때, 이성립한다. 즉, 이다. 따라서 은 0 으로수렴한다. - 3 -
6. 수열 이 에수렴하고, 모든자연수 에대하여 을만족하면 임을보여라. 임의의 에대하여 이므로충분히큰자연수 이존재하여 일때, 이성립한다. 또한가정에의하여모든자연수 에대하여 이성립한다. 일때, 여기서 는임의의양수이므로 이성립한다. 7. 수열 이 0 에수렴하고, 모든자연수 에대하여 이면 여라. 임의의 에대하여 수열 이 이면 은 은 0 에수렴함을보 0 으로수렴하므로적당한 가존재하여 일때, 을만족한다. 또한모든자연수 에대하여 이고 는 에서증가이므로 일때, 이성립한다. 따라서 은 0 으로수렴한다. 8. 실수 가 일때는 lim 이고 일때는 lim 임을보여라. [ 힌트 : 부등식 을이용하여라.] 1 인경우 임의의 에대하여 라하자. 단, 이제 인 을택하면 ( 존재성: 아르키메데스성질) 일때 ( ) 이성립한다. 따라서실수 가 일때는 lim 이성립한다. 2 인경우 라하자. 단, 그러면 이성립한다. 여기서 라할때 은 로발산함은자명하므로 또한 로발산한다. - 4 -
9. 수열 에있어서, 각자연수 에대하여 으로정의되었을때, lim 이면수열 은수렴하고 lim 임을보여라. 임의의 에대하여 lim 이면적당한자연수 가존재하여 일때, 이성립한다. 또한 라할때 lim 이므로적당한자연수 가존재하여 일때, 이성립한다. 이제 로택하면 일때 따라서 lim 임을알수있다. - 5 -
정동명해석학 4.2 수열공간 1. 수열 과 에대하여극한 lim 극한 lim 또는 lim 존재하지않는다. 라하자. 이때, lim 다. 마찬가지로 lim lim 이존재하는가? 존재하지않으면그예를들어보여라. lim 이지만극한 은존재하지않는다. lim lim 이존재한다고해서일반적으로 와 lim 은존재하지않는 이지만극한 lim 와 lim 2. 수열 이유계이고, 수열 이 0 에수렴하면수열 은수렴하고 0 에수렴함을보 여라. 여기서, 만일., lim 이라도수열 은일반적으로수렴하는가? 1 임의의 에대하여 이유계이므로적당한실수 이존재하여 을만족한다. 또한 이 0 으로수렴하므로적당한 가존재하여 이성립한다. 그러면 일때, 이성립한다. 2 라할때, lim 이다. 즉, 진동한다. 따라서일반적으로 은수렴하지않는다. 3. 모든자연수 에대하여 이고, 수열 이수렴하면 lim 임을보여라. 또, 모든 자연수 에대하여 이고, 수열 이수렴하면 lim 1 lim 임을보여라. 임의의 에대하여 lim 이아니라고가정하자. 즉, lim 라하자. 그러면적당한 가존재하여 을만족한다. 이는모든자연수 에대하여 인가정에모 순이다. 따라서 lim 이다. [ 다른] 임의의 에대하여 lim 이고모든자연수 에대하여 이므로적당한자연수 가존 재하여 일때, 이다. 여기서 는임의의양의정수이므로 가성립한다. 따라 서 lim 이다. 2 임의의 에대하여 lim lim 이아니라고가정하자. 즉, lim lim 라하자. 그러면적당한 가존재하여 을만족한다. 이는모든자연수 에대하여 인가정에 모순이다. 따라서 lim lim 이다. - 1 -
[ 다른] 이라하자. 그러면 이수렴하므로 또한수렴한다. 모든자연수 에대하여 이므로 이고 따라서 1에의하여 lim lim lim 이다. 즉, lim lim 이성립한다. 4. 수열 과 이각각 와 에수렴할때, 수열 은 에수렴하고, 또한 은 에수렴함을보여라. 임을통하여수열 이각 각 에수렴하므로다음이성립한다. lim lim lim lim 5. 수열 이모든자연수 에대하여 이고 은 0 에수렴함을보여라. 임의의 에대하여 로택하면 이고 lim 이라고할때, 수열 lim 이므로적당한자연수 가존재하여 일때, 을만족한다. 그러면 이성립한다. 따라서 은 0 으로수렴한다. 6. lim 임을보여라. [ 힌트 : 으로놓고이항정리를이용하라.] 라하자. 그러면이항정리에의하여다음이성립한다. 여기서 lim 따라서 lim 이다. 이므로조임정리에의하여 lim 이다. - 2 -
에대하여 lim 7. 임의의 에대하여 임을보여라. [ 힌트 : 으로놓고 lim 임을보여라.] 임의의 에대하여 1 이면자명하다. 2 인경우 라하자. 단, 그러면이항정리에의하여다음이성립한다. 여기서 lim 이므로조임정리에의하여 lim 이다. 따라서 lim 이다. 3 인경우 이므로 이라하자. 단, 그러면이항정리에의하여다음이성립한다. 여기서 lim 따라서 lim 이다. 이므로조임정리에의하여 lim 이다. [ 다른] 임의의 에대하여 이면자명하다. 그러므로 인경우에만보이면충분하다. 은연속이다. 단, 그러면 lim 따라서 lim 이다. lim lim 이성립한다. - 3 -
정동명해석학 4.3 부분수열 1. 이수열 의부분수열이고, 이 의부분수열이면 은 의부분수열임을보여라. 이고 이므로 임은자명하다. 따라서 은 의부분수열이다. 2. 수열 의두부분수열 과 이다같이 에수렴하면원수열 도 에수렴함을보여라. 임의의 에대하여 와 이다같이 에수렴하므로적당한자연수 이존재하여 일때, 이성립하고적당한자연수 이존재하여 일때, 이성립한다. 이제 을택하면 일때, 이성립한다. 따라서원수열 도 에수렴한다. 3. 수열 에대하여정리 4.3.4 이성립함을확인하여보아라. 이라하자. 일때, 이고따라서볼차노-와이어슈트라스정리를만족함을알수 있다. 4. 수렴하는수열은반드시유계이지만, 모든유계수열은반드시수렴하지않음을예를들어설명하 여라. ( 정리 4.3.4 와비교 ) 1 수렴하는수열이유계임을보이자. 이 로수렴한다고하자. 그러면적당한 가존재하여 일때, 이성립한다. 여기서 이라택하자. 그러면 이다. 따라서수렴하는수열은유계이다. 2 이라하자. 그러면 은유계수열임은자명하다. 하지만 은수렴하지는않는다. 5. 수열 이 에수렴하는필요충분조건은 의임의의부분수열이같은극한 에수렴하는것임을보여라. ( ) 임의의 에대하여 를 의임의의부분수열이라하자. 우선 이 에수렴하므로적당한자연수 이존재하여 일때, 을만족한다. 임은자명하다. ( 일때 임은당연함. 일때성립한다고가정하자. 즉, - 1 -
이성립한다. 따라서 일때도성립한다. 그러므로수학적귀납법에의하여 은자명하다. 단, 는자연수 ) 그러면 인 를택하면 이성립하여 이성립한다. 따라서임의의부분수열 에대하여 lim 를만족한다. ( ) 자기자신도 의부분수열이므로 이 에수렴하는것은가정에의하여자명하다. 6. 이유계수열이고수렴하지않는다고할때, 은서로다른극한에수렴하는두개의부 분수열이존재함을증명하여라. [ 힌트 : 정리를이용하여라.] 이유계수열이므로볼차노- 와이어슈트라스정리에의하여수렴하는부분수열 를갖는다. 가정에의하여 은수렴하지않으므로 이다. 을 의 번째수로정의한수열이라하면 또한유계수열이므로볼차노-와이어 슈트라스정리에의하여수렴하는부분수열 을갖는다. lim lim 이면자명하다. 그러므로 lim lim 이라가정하자. 를 의 번째수로정의한수열이라하자. lim lim 이면자명하므로 lim lim 이라하자. 마찬가지방법으로 를정의하자. 이와같은과정을반복하면 lim lim 을만족하는적당한자연수 이존재한다. 만약존재하지않는다면임의의부분수열이수렴하게되어 은수렴한다. 이는모순이다. 따라서 은서로다른극한에수렴하는두개의부분수열 을갖는다. 7. lim 이고 이고 가 의임의의부분수열일때 의임의의부분수열일때, lim 임을보여라. lim 이므로 에대하여적당한자연수 이존재하여 일때, 이성립한다. 그러면 인 을택하면 이므로 이성립한다. 따라서 lim 이다. - 2 -
정동명해석학 4.4 수열의수렴판정법 1. 수열 이 으로정의되었을때, 은수렴하고 일때 임을 증명하여라. 이성립한다. 여기서 lim 이므로조임정리에의하여 은수렴하고이때, lim 이다. 2. 수열 이 으로정의되었을때, 은단조감소하고유계임을보여 라. 그리고그극한을구하여라. 1 임을보인다. 일때는가정에의하여자명하다. 일때성립한다고가정하자. 즉, 그러면 이고따라서 이성립 한다. 즉, 일때성립한다. 그러므로수학적귀납법에의하여 은아래로유계이다. 2 ( 이므로산술 - 기하평균 ) 따라서 은단조감소수열이다. 3 단조수렴정리에의하여 은수렴한다. 이제 lim 라하자. 단, 그러면 lim lim 따라서 이다. 그러므로 의극한은 1 이다. 이다. 3. 수열 에있어서 일때, 이면 일때, 임을보여라. 이므로 에대하여적당한자연수 가존재하여 일때, 이성립한다. 즉, 이성립한다. 단, 이다. 그러면 이다. 여기서 lim 이므로조임정리에의하여 lim 이다. 따라서 lim 이다. - 1 -
4. 수열 이수렴하고 lim 이면, 은단조증가하는가? 반드시단조증가하는것은아니다. 이라하자. 그러면 일때, 일때, 일때, 이다. 하지만 이고, 이다. 따라서단조증가하지않는다. 5. 수열 이단조감소하고 의한부분수열 에수렴함을증명하여라. 가단조감소수열이므로 의한부분수열 가 에수렴하면 또한단조감소수열임은자명하다또한 에수렴하면, 원수열 도또한. lim 이므로모든자 연수 에대하여 이다. ( 인자연수 가존재하면 이단조감소수열이므로 이일때, 가성립하여 이제모든자연수 에대하여 임을보이면충분하다. lim 인사실에모순된다.) 인자연수 가존재한다고가정하자. 그러면자연수의정렬성에의하여 인자연수 가존 재해서 을만족한다. ( 이단조감소수열 ) 하지만이는모든자연수 에대하여 인사실에모순이다. 따라서 은아래로유계이다. 그러므로단조수렴정리에의하여 은수렴하고 lim 이므로따라서 lim 이다. 6. 수열 이수렴할필요충분조건은임의의 에대하여이에대응하는적당한자연수 가 존재하여모든자연수 에대해서 이성립하는것임을증명하여라. ( ) 임의의 에대하여 이수렴하므로 수열이다. 그러면적당한자연수 가존재해서 일때, 을만족한다. 여기서 ( 단, 인 는임의의자연수) 로정의하자. 그러면 적당한자연수 가존재하여모든자연수 에대하여 을만족함을알수있다. ( ) 임의의 에대하여가정에의하여적당한자연수 가존재하여모든자연수 에대하여 을만족한다. 그러면 일때, ( 단, ) 를만족하 는자연수 가존재하고이때 을만족한다. 따라서 은 수 열이다. 그러므로 은수렴한다. - 2 -
7. 수열 이수렴할필요충분조건은임의의 에대하여이에대응하는적당한자연수 가존재하여 인모든자연수 에대하여 이성립하는것임을증명하여라. ( ) 임의의 에대하여 lim 이므로적당한자연수 이존재하여 일때, 을만족한다. 인자연수 를택하면, 일때, 이성립한다. [ 다른] 임의의 에대하여 이수렴하므로 수열이다. 그러면적당한자연수 가존재해서 일때, 을만족한다. 여기서 로두고 로고정하면적당한자연수 가존재하여 인모든자연수 에 대하여 을만족함을알수있다. ( ) 임의의 에대하여가정에의하여적당한자연수 가존재하여 일때, 을 만족한다. 일때, 을만족한다. 따라서 은 수열이다. 그러므로 은수렴한다. 8. 수열 이수렴할필요충분조건은임의의 에대하여이에대응하는적당한자연수 가존재하여모든자연수 에대하여 이성립하는것임을증명하여라. 위의 [ 7 ] 에서 로바꾸면자명하다. ( ) 임의의 에대하여 이수렴하므로 수열이다. 그러면적당한자연수 가존재 해서 일때, 을만족한다. 여기서 로두고 로고정하고 ( 단, 는임의의자연수) 로두면적당한자연수 가존재하여모든자연수 에대하여 을만족함을알수있다. ( ) 임의의 에대하여가정에의하여적당한자연수 가존재하여모든자연수 에대하여 을만족한다. 일때, ( 단, ) 인자연수 가존 재하고이때, 을만족한다. 따 라서 은 수열이다. 그러므로 은수렴한다. 9. 수열 은 수열인가를조사하여라. 은발산한다. 따라서 수열이아니다. 실제로 이하고 라두면, 이다. 따라서 수열이아니다. - 3 -
10. 자연수열 이 수열일필요충분조건을구하여라. 적당한자연수 가존재해서 일때, 이어야한다. 단, 는임의의자연수 ( ) 자명하다. 실제로임의의 에대하여 적당한자연수 가존재해서 일때, 을만족한다. ( ) 만약 가존재하여 라고가정하자. 라두면, 적당한자연수 에대하여 일때, 을만족한다. 여기서, 은자연수이므로 이다. 이때 로놓으면적당한자연수 가존재해서 일때, 임을알수있다. - 4 -
정동명해석학 4.5 상극한과하극한 1. 다음수열 의상극한과하극한을구하여라. (1) 각자연수 에대하여 이고각자연수 에대하여 라고두면, 의상한 은 1이고하한은 0 이다. 따라서 의상극한은 1이고하극한은 0 이다. (2) 각자연수 에대하여 이고각자연수 에대하여 라고두면, 의상한은 이고하한은 이다. 따라서 의상극한은 이고하극한은 이다. (3) 각자연수 에대하여 이고각자연수 에대하여 라고두면, 의상한은 이고하한은 이다. 따라서 의상극한은 이고하극한은 이다. (4) 각자연수 에대하여 이고각자연수 에대하여 라고두면, 의상한은 이고하한은 이다. 따라서 의상극한은 이고하극한은 이다. (5) 각자연수 에대하여 이고각자연수 에대하여 라고두면, 의상한은 이고하한은 이다. 따라서 의상극한은 이고하극한은 이다. 2. 다음수열의상극한과하극한을구하여라. (1) 각자연수 에대하여 이고각자연수 에대하여 라고두면, 의상한은 이고하한은 이다. 따라서 의상극한은 이고하극한은 이다. - 1 -
(2) 각 자연수 에 대하여 이고 각 자연수 에 대하여 라고두면, 의상한은 이고하한은 이다. 따라서 의상극한은 이고 하극한은 이다. (3) 각자연수 에대하여 이고각자연수 에대하여 라고두면, 의 상한은 이고하한은 이다. 따라서 의상극한은 이고하극한은 이다. 3. 이유계인수열일때, lim lim 이성립함을증명하여라. 모든자연수 에대하여 라하자. 그러면 가성립함은자명하다. 따라서 lim lim lim lim 가성립한다. 4. 과 이모두유계인수열일때, lim lim lim 이일반적으로성립 하지않음을예를들어보아라. ( 반례) 라하자. 그러면 lim lim 이지만 lim lim 이다. 따라서 lim lim lim 이다. 5. lim lim 임을증명하여라. 인사실로부터모든자연수 에대하여 라할때, 가 성립한다. 따라서 lim lim lim lim 가성립한다. 6. 수열 에있어서모든 에대하여 일때, lim lim 이성립함을증명하 여라. 인사실로부터모든자연수 에대하여 라할때, 성립한다. 따라서 lim lim lim lim 가성립한다. 가 - 2 -
7. 여라. 이유계인수열일때, lim 이면 에수렴하는 의부분수열 의부분수열 가존재함을보 가존재함을보 이유계인수열이고 lim 이므로 에대하여적당한자연수 이존재해서 를만족한다. 에대하여적당한자연수 이존재해서 를만족한다. 에대하여적당한자연수 이존재해서 를만족한다. 이와같은과정을 번실행하면 에대하여적당한자연수 가존재해서 를만족한다. 이제 의부분수열 를위와같은과정과같이정의할때, 조임정리에의하여 은 에수렴한다. 따라서 에수렴하는 의부분수열 가존재함을알수있다. 가 의임의의부분수열일때다음의부등식관계가성립함을증명하여라 8. 의임의의부분수열일때, 다음의부등식관계가성립함을증명하여라. lim lim lim lim 1 이유계수열이아니면명백하게위의부등식은성립한다. 2 이유계수열일때 모든자연수 에대하여, 라하자. 그러면 이므로 가성립한다. 따라서 이다. 그러므로 lim lim lim lim 이성립한다. - 3 -
정동명해석학 4.6 열 1. 실수의집합 의부분집합 위에서의열 이다음과같이정의되었을때, 이 위에서 점별수렴하면그극한를구하여라. 또한어느열 이 위에서평등수렴하는가를조사하여라. (1) 임의의 에대하여 1 이면, lim lim 이다. 2 이면, ( 아르키메데스성질) lim 3 1과 2로부터열 는 위에서 로점별수렴한다. 4 인경우, 이성립한다. 열 는 위에서평등수렴하지않는다. [ 다른] lim lim 열 는 위에서평등수렴하지않는다. (2) 임의의 에대하여 ( 아르키메데스성질) 이고 인모든자연수 에대하여 이므로극한 는존재하지않는다. (3) 1 또는 이면, lim 이다. 2 이면, lim lim lim lim lim 이고 3 1과 2로부터열 는 위에서 로점별수렴한다. 4 이므로 로부터 또는 lim lim 열 는 위에서평등수렴하지않는다. lim 이다. - 1 -
(4) 임의의 에대하여 1 이면, lim 2 이면, lim 3 1과 2로부터열 는 위에서 로점별수렴한다. 4 lim lim 열 는 위에서평등수렴하지않는다. (5) 임의의 에대하여 1 이면, lim 2 이면,, 이제 라하자. lim 3 1과 2로부터열 는 위에서 로점별수렴한다. 4 lim lim 열 는 위에서평등수렴하지않는다. (6) 임의의 에대하여 1 이면, lim 2 이면, lim 3 1과 2로부터열 는 위에서 로점별수렴한다. 4 lim lim - 2 -
(7) 1 임의의 에대하여 lim 열 는 위에서 로점별수렴한다. 2 lim lim 열 는 위에서평등수렴하지않는다. 2. 각자연수 에대하여 을 으로정의하였을때, 열 이 위에서점별수렴하는최대의집합 를구하고, 그극한를구하여라. 1 이면, lim 이므로 lim 2 이면, 이고 lim 이므로 lim 이다. 따라서열 은 위에서수렴하지않는다. 3 위의결과로부터 이고 이다. 3. 실수의집합 의부분집합 위에서정의된열 이 위에서 에수렴하면, 극한 는유일함을보여라. 위에서정의된열 이 위에서 로수렴하면수렴수열의극한의유일성에의하여 는유일하게존재한다. 4. 실수의집합 의부분집합 위에서정의된두열 과 이 위에서각각극한 와 에점별수렴하면, 열 ± 와 은 위에서각각 ± 와 에점별수렴함을보여라. lim lim 라하자. 그러면극한의성질에의하여 ± lim ± lim 가성립한다. - 3 -
5. 실수의집합 의부분집합 위에서정의된두열 과 이 위에서각각극한 와 에평등수렴하면, 열 ± 은 위에서 ± 에평등수렴함을보여라. 그러나열 은일반적으로 위에서 에평등수렴하지않음을예를들어보아라. 1 임의의 와모든 에대하여가정에의하여 이고 이다. 이제 라하자. 그러면 일때, ± ± 따라서열 ± 은 위에서 ± 에평등수렴한다. 2 ( 반례) 모든 에대하여 라하자. 그러면 lim lim 이다. 따라서 lim lim 이다. 그러므로열 은일반적으로 위에서 에평등수렴한다고할수는없다. - 4 -
정동명해석학 4.7 급수의수렴성 1. 다음급수의수렴성을조사하여라. (1) lim 이므로 은수렴하지않는다. 따라서발산한다. (2) 이라할때, 은자명하게단조감소한다. 또한 lim 그러므로교대급수판정법에의하여 는수렴한다. lim 이다. (3) 이라하자. 그러면 ( ) 이다. 즉, 이다. 따라서비판정법에의하여 은발산한다. (4) ( ) 이성립한다. 한편, 은적분판정법에의하여수렴한다는사실을이미알고있다. ( 또는 - 급수판정법에의하여수렴한다는사실을알수있다. ) 따라서비교판정법에의하여 은수렴한다. - 1 -
(5) ( ) 이성립한다. 한편, 은적분판정법에의하여수렴한다는사실을이미알고있다. ( 또는 - 급수판정법에의하여수렴한다는사실을알수있다. ) 따라서비교판정법에의하여 은수렴한다. 2. 급수 이 에수렴하고각자연수 에대하여 로정의된급수 수렴함을보여라. 각자연수 에대하여 이므로 은 에 이성립한다. 단, 따라서 lim lim 이다. 3. 가고정된자연수일때, 급수 이나 은다같이수렴하거나또는발산함을보여라. : 수렴( 혹은발산) : 수렴( 혹은발산) 이성립한다. 한편, 은임의의상수이므로따라서급수 또는발산함을알수있다. 이나 은다같이수렴하거나 4. 수열 이수렴하고각자연수 에대하여 로정의된급수 에수렴함을보여라. 각자연수 에대하여 이므로 이성립한다. 따라서 이수렴한다는가정으로부터 lim lim 은 lim lim 이다. - 2 -
5. 급수 이수렴하면, 적당한실수 이존재하여, 모든자연수 에대하여 임을보 여라. 이수렴하면 lim 을만족한다. 그러면 에대하여충분히큰정수 이존재해서 일때, 을만족한다. 이때, 라고두면모든자연수 에 대하여 이성립한다. 6. 급수 를들어보아라. 이수렴하면급수 은반드시수렴하지만, 그역은성립하지않는예 1 가성립한다. 그러면가정에의하여 이수렴하므로따라서 또한수렴함은자명하다. 2 이라두자. 그러면 으로수렴한다. 하지만 는진동한다. 그러므로발산한다. - 3 -
정동명해석학 4.8 급수의수렴판정법 1. 다음급수의수렴성을판정하여라. (1) 이므로 하여 은수렴한다. 이고 은 급수판정법에의하여수렴한다. 따라서비교판정법에의 (2) 라하자. 그러면 일때, 이다. 따라서비판정법에의하여 은발산한다. (3) 라하자. 그러면 일때, 이다. 따라서비판정법에의하여 은발산한다. (4) 라하자. 그러면 이다. 따라서근판정법에의하여 은수렴한다. - 1 -
(5) 라하고, 라하자. 그러면 이므로 일때, 이다. 즉, 은 일때단조감소수열이다. 또한로피탈의법칙에의하여 lim lim lim 따라서교대급수판정법에의하여 이다. 는수렴하고또한 도수렴한다. (6) 1 인경우는 이홀수인경우 꼴이되어모순된다. 따라서 이다. 2 따라서 일때, 이라하자. 그러면 일때, 은수렴한다. 이다. 2. 모든자연수 에대하여 인급수 (1) 에대하여 가수렴함을보여라. 이수렴한다고할때, 가정에의하여 이수렴하므로 lim 이다. 그러면 에대하여적당한자연수 가존재하여 일때, 을만족한다. 또한 일때, 에대히여 이성립한다. 따라 서 이수렴하므로비교판정법에의하여 도수렴한다. 그러므로 도수렴한다. (2) 이수렴함을보여라. 모든자연수 에대하여 이므로 이성립한다. 가정에의하여 이수렴하므로 따라서비교판정법에의하여 은수렴한다. - 2 -
3. 수열 에있어서 인항이적어도하나존재하면, 으로정의된급수 은발산함을보여라. 대우증명 : 이수렴하므로 lim 이성립한다. : 수렴 단, 그러면임의의 에대하여적당한자연수 이존재해서 일때, 를만족한다. 여기서 이므로 이다. 즉, 이성립한다. 여기서 은임의의정수이므로 이다. 그러면 이므로 이다. 따라서 이고 이므로그러므로모든 에대하여 이다. 4. 모든자연수 에대하여 인급수 수 도수렴함을보여라. 이수렴하면, 의임의의부분수열 의임의의부분수열 에대한급 에대한급 를 의임의의부분수열이라하자. 그러면모든자연수 에대하여 이므로 이성 립한다. 따라서가정에의하여 이수렴하면, 비교판정법에의하여 도수렴한다. 5. 두수열 과 에있어서, 모든자연수 에대하여 이고, 또한 이며 lim 일 때, 급수 이수렴할필요충분조건은급수 lim 이수렴하는것이다. 라하자. 그러면 에대하여적당한자연수 가존재해서 일때, 가 성립한다. 즉, 이다. 여기서 이므로 이다. 따라서 으로부터 이수렴하면비교판정법에의하여 이수렴하는것이다. 이수렴하면비교판정법에의하여 이수렴하고 으로부터 이수렴한다. 그러므로급수 이수렴할필요충분조건은 - 3 -
6. 주 4.8.4 의 (1) 과 (2) 를증명하여라. (1) lim : 발산 그러면 이다. 따라서비교판정법에의하여 이발산하므로 은발산한다. (2) lim lim - 생략함 - 7. 주 4.8.7 의 (1) 과 (2) 를증명하여라. (1) lim : 발산 그러면 이므로 이다. 따라서비교판정법에의하여 (2) lim - 생략함 - lim 이발산하므로 은발산한다. 8. 모든자연수 에대하여 이고, 수 에대하여 인관계식을만족함을보여라. 이면부분합의수열 은모든자연 1 여기서 이므로따라서 이다. 2 여기서 이므로따라서 이다. 따라서모든자연수 에대하여 인관계식을만족한다. - 4 -
정동명해석학 4.9 절대수렴과조건수렴 1. 다음급수의절대수렴성과조건수렴성을판정하여라. (1) 수열 수렴한다. 하지만 은단조감소한다. 또한 lim 이다. 따라서교대급수판정법에의하여 은 은발산한다. 따라서조건수렴한다. 이고 은 은발산하므로비교판정법에의하여 (2) lim 이므로발산한다. 따라서절대수렴도조건수렴도아니다. (3) 라하자. 그러면 일때, 따라서비판정법에의하여 는절대수렴한다. (4) 라하자. 그러면 일때, 따라서비판정법에의하여 은절대수렴한다. - 1 -
(5) 이고 따라서비교판정법에의하여 은 급수판정법에의하여수렴한다. 은절대수렴한다. (6) 대수의단조성으로부터 이증가함을알수있다. 그러므로 은감소한다. 이므로 이면 는수렴하고 이면이급수는발산한다. 따라서 이면 은절대수렴하고 이면조건부수렴한다. 2. 급수 수렴함을보여라. 이수렴하고, 의항 이유한개의항을제외하고는모두 일때, 은절대 라하자. 그러면 일때, 이다. 이수렴하므로임의의 에대 하여적당한자연수 가존재해서 일때, 두자. 그러면 일때, 의하여절대수렴한다. 을만족한다. 이제 라 을만족한다. 따라서 은코시판정법에 3. 급수 이절대수렴하고수열 이유계이면, 급수 은절대수렴함을보여라. 이유계수열이므로 이고 이다. 가정에의하여 따라서비교판정법에의하여 이절대수렴하므로 은수렴한다. 은절대수렴한다. - 2 -
4. 급수 이수렴하면, 급수 은절대수렴함을보여라. 코시부등식에의하여 렴하고, 이성립한다. 여기서 은 급수판정법에의하여수 는가정에의하여수렴한다. 따라서비교판정법에의하여급수 은절대수렴한다. 5. 급수 이수렴하고 이절대수렴하면, 도절대수렴함을보여라. 단, 문제 4.7.5 를이용 하여라. 이수렴하므로문제 그러면문제 4.7.5에의하여 3에의하여 도절대수렴함을알수있다. 6. 이고 이수렴하면, 은절대수렴함을보여라. 또한 이수렴하므로문제 따라서문제 4.7.5에의하여 은 이므로무한등비급수의수렴성에의하여절대수렴한다. 3에의하여 도절대수렴한다. 7. 모든자연수 을보여라. 에대하여 이고 일때, 이면급수 이수렴함 라하자. 그러면 이므로 이 성립하여단조감소수열임을알수있다. 또한 lim 이고 lim 이다. 따라서교대급수판정법에의하여 는수렴한다. 이므로조임정리에의하여 - 3 -
8. 각자연수 을보여라. 에대하여 이라고할때, 두급수 과 의 곱도수렴함 라하자. 그러면 이고 이므로 은감소수열이다. 또한 lim 임은자명하다. 따라서교대급수판정법에의하여 은수렴한다. ( ) 9. 각자연수 에대하여 이라고할때, 두급수 과 수렴성를조사하여라. 의 곱의 라하자. 그러면 여기서 따라서비교판정법에의하여 이다. 은발산한다. 이다. - 4 -
정동명해석학 4.10 항급수 1. 실수의집합 의부분집합 위에서정의된항급수 에서의 의점별수렴성과평등수렴성을조사하여라. (1) 이다음과같이정의되었을때, 위 일때, 로써 별수렴하지않는다. 따라서평등수렴하지도않는다. lim 이므로따라서 위에서항급수 은점 (2) lim 이다. 여기서 은 급수판정법에의하여수렴한다. 따라서 위에서항급수 도점별수렴한다. 하지만 lim 이므로 위에서항급수 은평등수렴하지는않는다. (3) 일때, 로써 lim 렴하지않는다. 따라서평등수렴하지도않는다. 이므로따라서 위에서항급수 은점별수 (4) 모든자연수 에대하여 라하자. 에대하여수열 는감소수열이고 정법에의하여수렴하므로 위에서점별수렴한다. 여기서모든자연수 에대하여 lim 이므로주어진급수는교대급수판 라하자. - 1 -
그러면모든자연수 에대하여 이고 이므로 이된다. 따라서 lim lim 이므로열급수 은 위에서평등수렴한다. (5) 이고 에의하여항급수 은 급수판정법에의하여수렴한다. 따라서 판정법 는 위에서평등수렴한다. 2. 각자연수 에대하여 가각각 으로정의하였을 때, (1) 과 이각각 위에서점별수렴함을보여라. lim lim lim lim lim 이고 lim 이다. 따라서 과 은각각 위에서비판정법에의하여점별수렴한다. (2) 과 이각각임의의유계폐구간 위에서평등수렴함을보여라. 라하자. 이제 그러면 lim lim, 라하자. lim 이고 - 2 -
lim lim lim 이다. 따라서 은비판정법에의하여수렴한다. 그러므로 판정법에의하여항급수 과 이각각임의의유계폐구간 위에서평등수렴한다. 3. 다음거듭제곱수의수렴반경을구하여라. (1) 라하자. 그러면 이다. 따라서 이다. lim lim lim lim (2) ( 는상수 ) 라하자.( 단, 는상수 ) 그러면 lim lim 이다. 따라서 이다. (3) 라하자. 그러면 lim lim 이다. 따라서 이다. lim (4) 라하자. 그러면 lim lim lim 이다. 따라서 이다. - 3 -
(5) 라하자. 그러면 lim lim lim 이다. 따라서 이다. 4. 거듭제곱수 과 은같은수렴반경을가짐을보여라. 의수렴반경을, 그러면 lim 따라서 이다. lim 의수렴반경을 라하자. lim lim 이성립한다. 5. 거듭제곱수 에있어서, 모든 에대하여 를만족시키는두실수 와 가존재 한다고하자. 이때, 의수렴반경을구하여라. 을 의수렴반경이라하자. 그러면가정으로부터 lim 한다. 따라서 이다. lim lim 이성립 6. 거듭제곱수 (1) 에있어서, 각 이다음과같이정의되었을때, 의수렴반경을구하여라. 의수렴반경을 이라하자. 그러면가정으로부터 이성립하여같은수렴반경을갖 는다. 따라서 lim lim 이므로따라서수렴반경 이다. (2) 의수렴반경을 이라하자. 그러면가정으로부터 이성립하여같은수렴반경을갖 는다. 따라서 lim lim 이므로따라서수렴반경 이다. - 4 -
정동명해석학 5.1 의극한 1. 이다음과같이정의되었을때, 일때의 의극한의존재성을조사하여라. (1) 임의의 에대하여 이면, 이므로 로택하면, 따라서 lim 이다. (2) lim lim 이므로따라서 lim 이다. (3) 임의의 에대하여 일때, 이므로 로택하면, 따라서 lim 이다. 2. 이라고하자. 가 로정의되었을때, 일때의 의극한의 존재성을조사하여라. 또점 에서의 의극한을생각하라수있는가를논하여보아라. 1 임의의 에대하여 에서 은집적점이므로 인자연수 에대하여 로택하면, 안에존재하는 원소는 따라서 lim 2 에대하여 이고다음이성립한다. 이므로 는 의고립점이므로 의극한을생각할수없다. 로놓으면, 의근방 근방 에대하여 - 1 -
3. 에있어서, lim 이면, lim 임을보여라. 임의의 에대하여 lim 이므로 이제 로택하면, 따라서 lim 이다. 4. 애있어서, 다음이성립함을보여라. (1) lim 가존재하면, lim lim 이다. 임의의 에대하여 lim 라하자. 그러면 이면, 이므로 이성립한다. 따라서 lim 이다. (2) lim 가존재하면, lim lim 이다. 임의의 에대하여 lim 라하자. 그러면 여기서 로치환하면, 따라서 lim 이다. 5. 보여라. 에있어서, lim 이면적당한 이존재하여 이면 임을 lim 라하자. 에대하여 따라서적당한 이존재하여 이면 이다. 6. 두 에있어서 (1) 극한 lim 와 lim 지않음을예를들어보여라. 라하자 가존재하지않으면, 일반적으로극한 lim. 그러면극한 lim 또한, 지않는다. 와 lim 와 lim 가존재하지않는다. 이고이때, 극한 lim 가존재하 와 lim 는존재하 - 2 -
(2) 극한 lim 가존재하고, 또한극한 lim lim 가존재하는가? [ 또는 lim ] 가존재하면, 반드시극한 1 극한 lim 와 lim 성립한다. 따라서극한 lim 은존재한다. 2 lim 이존재하면, 극한의성질에의하여 lim 일때, 극한 lim 와 lim 는모두 lim 이존재하지는않는다. 따라서반드시극한 lim 이존재한다고말할수없다. lim이 으로써극한이존재하지만극한 7. 정리 5.1.4 의 (a) 와 (b) 를 방법으로증명하여라. (a) 임의의 에대하여 이제 로놓으면, 따라서 lim 이다. (b) 임의의 에대하여 이면자명하다. 따라서 에대하여보이면충분하다. 이제 로놓으면, 따라서 lim 이다. 8. 이라하고, 을 의집적점이라고하자. 만일 lim 이면적당한 이존재하여 임을보여라. 이사실을이용하여정리 5.1.4 의 (c) 를 방법으로증명하여라. 1 lim 라하자. 에대하여 그러면삼각부등식으로부터 이성립한다. 따라서적당한 이존재하여 이다. 2 임의의 에대하여 - 3 -
이고 1의사실로부터 이제 라놓으면, 따라서 lim 이다. 9. 이라하고, 을 의집적점이라고하자. 에있어서, lim 이존 재하면, 적당한 이존재하여 이면, 임을보여라. 5.1.4 의 (d) 에서조건, 대신에 lim 으로바꾸어도성림함을보여라. 1 lim 이라하자. 에대하여 이사실을이용하여정리 만약에 에서 인 가존재하면, 인사실로부터 이다. 이는 가정에모순된다. 따라서 이다. 2 lim 이면 한다. 1의사실로부터조건, 임을알수있으므로조건을바꾸어도성립 - 4 -
정동명해석학 5.2 의연속성 1. 가다음과같이정의되었을때, 각점 에서의 의연속성을조사하여라. (1) 임의의 에대하여 1 에서연속임을보이자. 라두면, 에대하여 이므로 다. 따라서 lim 이다. 2 일때, 인경우, 인무리수열을택하자. 그러면 lim lim 가성립한다. 인경우, 인유리수열을택하자. 그러면 lim lim 가성립한다. 따라서 인 에대하여 는불연속이다. 이성립한 (2) 1 lim 이고 lim 로서서로다른값을갖는다. 즉, 에서극한이존재하지않는다. 따라서 에서불연속이다. 2 일때 에서연속임을보인다. 임의의 에대하여 이면 이성립한다. 이제 로두자. 그러면 일때, 이성립한다. 따라서 는 에서연속이다. - 1 -
2. 이라하자. 가 로정의되었을때, 각점 에서의 의연속성을조사하여라. 임의의 에대하여 1 에서연속임을보이자. 인 에대하여 로두면, 를만족하는 의집합은 이다. 그러므로 를만족하는모든 에대하여 를만족한다. 따라서 는 에서연속이다. 2 라할때, 에서연속임을보이자. 라하면, 를만족하는 는 뿐이다. 그러므로 를만족하는모든 에대하여 를만족한다. 따라서 는 에서연속이다. 3 1과 2로부터 는 위에서연속이다. 3. 에있어서, 가점 에서연속이고, ( ) 이면 는 에서연속임을보여라. 임의의 에대하여 이고 이므로 이다. 또한 가 에서연속이므로 이제 로택하면, 따라서 lim 이다. 그러므로 lim가성립한다. 따라서 는 에서연속이다. 4. 에있어서점 에서의 의극한 lim 가존재하지만, lim 일경 우, 점 를 의제거가능한불연속점이라고한다. 다음과같이정의된 의불연속점을찾고, 그점이제거가능한불연속점인가를조사하여라. (1) 라하자. 그러면 는모두 0 으로수렴하는수열이다. 하지만 lim lim 이다. 따라서 lim이다. 그러므로 에서불연속이지만, 제거가능한불연속점은아니다. - 2 -
(2) 인경우 따라서 은 의제거가능한불연속점이다. 이므로조임정리에의하여 lim 이지만 lim 이다. 5. 보여라. 가연속이고모든유리수 에대하여 이면, 모든실수 에대하여 임을 이면자명하다. 일때, 보이면충분하다. 인유리수열 을택하자. 그러면 는연속 이므로 lim lim 이다. 따라서모든 에대하여 이다. [ 다른] 임의의 와임의의 에대하여 의 근방 이존재해서유리수의조밀성에의해 인 가존재한다. 가연속이므로 의 근방 에대하여 를만족한다. 이면 이다. 여기서 는임의의양의상수이므로 이다. 따라서모든 에대하여 이다. 6. 두 가연속일때, 모든실수 에대하여 일필요충분조건은유리수 에대 하여 임을보여라. ( ) 자명하다. ( ) 라하자. 그러면 는실수위에서연속이고모든유리수에대하여 이다. 그러므로 문제5에의하여모든 에대하여 이다. [ 다른] 임의의 에대하여 라가정하면, 가연속이므로, 이제 라하자. 유리수의조밀성에의하여 가연속이므로 이고 이다. 그러면 이성립한다. 가정에의하여 이므로삼각부등식에의하여 여기서 는임의의양의실수이므로따라서 이다. 이는모순이다. - 3 -
7. 가모든실수 에대하여 를만족한다고하자. 이때, 다음이성 립함을보여라. (1) 가 에서연속이면, 는모든점 에서연속이다. 임의의 에대하여우선 이므로따라서 이다. 가 에서연속이므로 이제 가모든 에대하여 에서연속임을보이자. 이제 로택하면, ( ) 따라서 lim이므로 는 에서연속이다. (2) 가 위에서연속이고 라할때, 모든 에대하여 이다. ( 힌트 : 모든유리수 에대하여 임을보여라.) 1 모든 에대하여 를만족한다. 따라서 이다. ( 위의가정과수학적귀납법에의하여성립한다.) 2 모든 에대하여 를만족한다. 따라서 이다. ( 위의가정과수학적귀납법에의하여성립한다.) 3 모든 에대하여 를만족한다. 따라서모든 에대하여 이다. 단, 인 이고 이다. 4 모든 에대하여 인유리수열 이존재해서 가연속이므로다음이성립한다. lim lim lim 따라서모든 에대하여 이다. 8. 가다음과같이정의되었을때, (1) 가 에서개집합이지만, 의역상 가 에서개집합이아닌 의예를들어보아라. 는 의개집합이지만, 는 에서개집합이아니다. (2) 가 에서폐집합이지만, 의역상 가 에서폐집합이아닌 의예를들어보아라. 는 의폐집합이지만 는 에서폐집합이아니다. - 4 -
정동명해석학 5.3 연속의공간 1. 가점 에서불연속이지만, 합 가점 에서연속적인예를들어보아라. 또, 곱 가점 에서연속인예를들어보아라. 1 하지만 는 에서연속이다. 2 하지만 는 에서연속이다. 라하자. 그러면 는 에서불연속이다. 라하자. 그러면 는 에서불연속이다. 2. 가 로정의되었을때, 가 위에서연속임을 방법으로증명하 고이를이용하여 가연속이고모든 에대하여 일때, 는 위에서연 속임을보여라. 1 임의의 와임의의 에대하여 로택하자. 그러면 따라서 는 위에서연속이다. 2 는 1에의하여연속이고 가 위에서연속이고, 모든 에서 이므로연속의 합성은연속인사실로부터 는 위에서연속이다. 3. 가 의모든점에서불연속이지만, 는 위에서연속이되는 의예를들어보아라. 라하자. 그러면 는 상의모든점에서불연속이다. 하지만 는 상의모든 점에서연속이다. 4. 임의의연속 은음이아닌두연속의차로표시할수있음을보여라. 즉, 모든 에대하여 인두연속 가존재하여 로표시됨을보여라. 에대하여 라고정의하면, 는 위에서연속인이다. 또한정의에의하여모든 에대하여 이성립하고 이면 이면 이므로 가성립한다. 따라서임의의연속 는음이아닌두연속의차로표시할수있다. - 1 -
5. 가연속이면, 모든 에대하여 인연속 가존재해서 로표시될수있음을보여라. 모든 에대하여 라하자. ( 우 ) 이고, ( 기 ) 그러면 는 위에서연속이고 이고 를만족한다. 6. 고정된점 에대하여집합 은 의부분집합으로서 위 의덧셈과스칼라곱셈에관하여성질 - 생략함 - (1)~(8) 을만족함을보여라. 7. 정리 5.3.3 에서 는가를조사하여보아라. 와 가연속이아닐지라도합성 가연속일경우가있, 이라하자. 그러면 는 위에서연속이아니지만. 은 위에서연속이다. - 2 -
정동명해석학 5.4 연속의성질 1. 가다음과같이정의되었다고하자. (1) 는 위에서연속인가? 라하자. 그러면 이고 lim lim 따라서 에서불연속이다. lim lim 이다. (2) 위에서의 의상한과하한을구하여라. 의상한은 1이고하한은 0 이다. (3) 는 위에서최대값과최소값을갖는가? 이다. 따라서 는 위에서최대값과최소값을갖지않는다. (4) 은긴밀집합인가? 이므로긴밀집합이아니다. 2. 이연속이고모든 에대하여 이면, 모든 에대하여 를만족시키는실수 이존재함을보여라. 가긴밀집합이고 가연속이므로 는최대, 최소값을갖는다. 그러면 이제 이라하자. 그러면모든 에대하여 이므로 이고 를만족한다. 따라서 에대하여 를만족시키는실수 가존재한다. 3. 가다음과같이정의되었다고하자. 이때, 는 위에서유계인가를조사하여라. lim 이므로유계가아니다. - 1 -
4. 정리 5.4.11 의증명에서 가 및 에서연속임을보여라. 또주 5.4.12 를증명하여라. - 생략함 - 5. 집합 위에서정의된유계전체의집합을 로나타내면집합 위에서덧셈과스칼 라곱셈 덧셈 : 스칼라곱셈 : 가정의됨을보이고, 연속공간에서와같이성질 (1)~(8) 을만족함을보여라. 가이들성질을만족한 다는의미에서 가이들성질을만족한다는의미에서 를 위에서정의된유계들의벡터공간이 라고한다. 특히, 일때는 를 로표시하자. - 생략함 - 6. 가구간 위에서연속이아니더라고중간값정리의결론이성립할수있음을 예를들어보여라. 라 하자. 그러면 이 되고 는 에서 불연속이다. 그러나 인임의의실수 에대하여 라고놓으면 가되므로중간값정리를만족한다. 7. 가 로정의되었을때, 방정식 는적어도하나의실근을 가짐을보여라. 라하자. 이제 에대하여 는 위에서연속이므로 도 위에서 연속이고, 가성립한다. 따라서중간값정리에의하여 그러므로 위에서방정식 를만족하는하나의실근이적어도하나존재한다. 8. 두 이연속이고, 이면 를만족시키는점 가존재함을보여라. 라하자. 그러면가정에의하여 는 위에서연속이므로 도 위에서연속이고, 가성립한다. 따라서중간값정리에의하여 그러므로 를만족하는 가존재한다. - 2 -
9. 주어진 가모든 에대하여 이면 는 위에서연속 이아님을보여라. 대우증명한다!! 가 위에서연속이면 인 가존재한다. 이면, 이므로자명하게성립한다. 이면, 는 의크기와상관없이 사이의값임에자명하다. 여기서 는긴밀집합이고 가연속이므로중간값정리에의하여 10. 가연속이고모든 에대하여 가유리수이면, 는어떠한일까? 는긴밀집합이고 가연속이므로 는최대, 최소값을갖는다. 여기서 라하자. 만약 이면, 무리수의조밀성에의하여 이고중간값정리에의하여 이는 가유리수인가정에모순된다. 따라서 이다. 그러므로 는상수이다. - 3 -
정동명해석학 5.5 의평등연속성 1. 다음과같이정의된들은그정의역위에서평등연속임을보여라. (1) 임의의 에대하여 로두자. 그러면 인모든 에대하여 이성립한다. 따라서 는 위에서평등연속이다. (2) 는 위에서미분가능하고 따라서 는 위에서평등연속이다. 이성립한다. (3) 는 위에서미분가능하고 따라서 는 위에서평등연속이다. 이성립한다. (4) 는 위에서미분가능하고 산술, 기하평균에의하여 따라서 는 위에서평등연속이다. 이성립한다. (5) 라하자. 그러면 는 위에서연속이다. 따라서 는 에서평등연속이다. (6) 라하자. 그러면 는 위에서연속이다. 따라서 는 에서평등연속이다. - 1 -
2. 다음과같이정의된들이평등연속이아님을보여라. (1) 라하자. 그러면 lim lim 이지만 lim 따라서 는 위에서평등연속이아니다. lim lim 이다. (2) 라하자. 그러면 lim 이지만 lim lim 이다. 따라서 는 위에서평등연속이아니다. (3) 라하자. 그러면 lim lim 이지만 lim 따라서 는 위에서평등연속이아니다. lim lim 이다. 3. 가 의부분집합일때, 에있어서, 모든 에대하여부등식 를만족시키는실수 이존재한다면, 는반드시 위에서평등연속임을보여라. 임의의 에대하여 라놓자. 단, 그러면 인모든 에대하여 를만족한다. 따라서 는 위에서평등연속이다. 4. 가 에서연속이고, 모든 에대하여 가성립할때, 는 위에서평등연속임을보여라. 임의의 에대하여 가 에서연속이므로 이제 로두면, 인모든 에대하여 이므로 를만족한다. 따라서 는 위에서평등연속이다. - 2 -
5. 이연속이고, 모든 에대하여 (는 이아닌양의상수 ) 가성립할때, 는 위에서평등연속임을보여라. 임의의 에대하여가정에의하여 는 위에서연속이므로 는 위에서평등연속이다. 그러므로 이제 이고 라고하자. 이므로적당한정수 이존재해서 을만족한다. 라고하면, 이고 가된다. 또한주어진조건에의해 를만족하므로 을만족한다. 그러므로 는 위에서연속이다. 6. 두 이평등연속이면, 합 는 위에서평등연속임을보여라. 그러나일반적으로 와 가 위에서평등연속이더라도 와 의곱 는 위에서평등연속이아님을예를들어보여라. 1 임의의 에대하여 가각각 위에서평등연속이므로, 이제 라두자. 그러면 따라서합 는 위에서평등연속이다. 2 라하자. 그러면 는 위에서평등연속지만 는 위에서평등연속이아니다. 7. 가연속이고또한 lim 이면, 는 위에서평등연속이됨을보여라. 임의의 에대하여 lim 이므로 그러므로모든 에대하여 를만족한다. 즉, 는 위에서평등연속이다. 또한 는 에서연속이므로 는 위에서평등연속이다. 8. 가평등연속이면두극한, lim lim 가존재함을보여라. 따라서 의확장함 수, 즉, 인연속 가존재한다. ( 힌트 : 정리 5.5.5 를이용하여라 ) 수열 를각각 와 에수렴한다고하자. 그러면수열 는 수열이고 는 에서평등연속하므로수열 도 수열이다. 그러므로수열 도각 각어떤실수로수렴을하게되고 lim lim 라하자. 따라서 lim lim 이다. 이제 라하자. 이고 가 에서연속이므로 도 위에서연속이된다. 또, 는 위에서연속이므로 위에서연속이된다. - 3 -
9. 이라고하고 가평등연속이라고하자. 이때, 가유계집합이면 는 위에서 유계임을보여라. 에대하여 는 위에서평등연속이므로 는유계이므로길이가 인구간의유한개의합집합에포함된다. 이유한개의구간을 이라하자. 에대하여 인점을고정시키자. 그러면 인모든 에대하여 이므로 을만족한다. 즉, 을만족한다. 로두면, 모든 에대하여 을만족한다. 그러므로 는 에서유계이다. 10. 문제 8 의역이성립함을보여라. 즉, 이연속이고두극한 면, 는구간 위에서평등연속임을보여라. 이연속이고극한 lim, lim와 lim 가존재하 lim 이존재하면 와같이정의한확 장 를얻고 는 위에서연속이므로 위에서평등연속이되고따라서 도 위에서평등연 속이다. - 4 -
정동명해석학 5.6 단조 1. 주 5.6.2 의 (1) 을증명하여라. lim lim lim 임의의 이주어졌다고하자. 에대하여다음두명제는서로동치이다. 1 2 ( ) ( ) 따라서주 5.6.2 의 (1) 이성립한다. 2. 가다음과같이정의되었다고하자. 이때, 와 의값을구하여라. lim lim 이고 lim lim 이다. 3. 가각각다음과같이정의되었다고하자. ( 단, 는 인정수 ). 이때, 임을보여라. 1 이므로 lim lim lim lim 가성립한다. 따라서 이다. 2 임의의 에대하여 이면 이다. 이제 로택하자. 그러면 일때, 따라서 이다. 이성립한다. 4. 가연속이고, 단조증가 ( 또는단조감소 ) 할때, 극한 와 가존재하는가를조사하여라. 1 단조증가인경우 : 이고위로유계이면 이고위로유계가아니면 이다. 2 단조감소인경우 : 이고아래로유계이면 이고아래로유계가아니면 이다. - 1 -
5. 가다음과같이정의되었을때, 의불연속점을찾고그불연속점이제 1 종인지또는제 2 종인지구분하여라. (1) 는명백히 에서불연속이고 이므로 에서 의제 이된다. 1종불연속점 (2) 는명백히 에서불연속이고 이므로 에서 의제 1 종불연속점이된다. (3) 는모든 에대하여 에서불연속이다. 이제 를각각 에수렴하는유리수열과무리수열이라하자. 그러면 lim lim 이고 lim lim 지않는다. 그러므로 에서 의제 2 종불연속점이된다. 이다. 따라서 는존재하 (4) 는 인모든 에대하여 에서불연속이고, 는존재하지않는다. 따라서 인모든 에대하여 에서 의제 2 종불연속점이된다. - 2 -
정동명해석학 5.7 연속열 1. 열 이다음과같이정의되었을때, 그점별극한를구하고 의평등수렴성을조사하여보아라. (1) 이면, lim 이고 이면, lim 법칙에의하여 lim lim lim lim 이므로 lim 이다. 그리고 이면, 로피탈 lim 이다. 따라서극한 는 이다. 또한모든자연수 에대하여 은 위에서연속이지만 는 위에서불연속이므로열 은 위에서 로평등수렴하지않는다. (2) 이면 lim 여 lim 이고 이면 이므로무한등비급수의무한합에의하 이성립한다. 따라서극한 는 이다. 또한모든자연수 에대하여 은 위에서연속이지 만 는 위에서불연속이므로열 는 위에서 로평등수렴하지않는다. 2. 열 이구간 위에서다음과같이정의되었다고하자. 이때, 은 () 위에서평등수렴하지만, 위에서는평등수렴하지않음을보여라. 이면 lim lim 이고 이면 lim lim lim 이다. 따라서 에대하여 위에서열 의극한 는 이다. 또한모든 에대하여 lim lim lim lim 를만족한다. - 1 -
그러므로열 은 위에서 로평등수렴한다. 하지만 위에서열 의극한 는 로써모든 에대하여 는 위에서연속이지만극한 는 위에서불연속이다. 따라서열 는 위에서 로평등수렴하지않는다. 3. 열 이구간 위에서다음과같이정의되었다고하자. 이때, 은 ( ) 위에서평등수렴하지만, 위에서는평등수렴하지않음을보여 라. 이면 lim 이면 lim 이므로 lim lim 이면 lim lim 이다. 따라서 에대하여 위에서열 의극한 는 이다. 또한모든 에대하여 lim lim lim 이므로 lim 이다. 따라서열 는 위에서 로평등수렴한다. lim 하지만 위에서열 의극한 는 로써열 은 위 에서연속이지만극한 는 위에서불연속이다. 따라서 는 위에서 로평등연속하지는않는다. 4. 이평등연속이고, 각자연수 에대하여 하였을때, 열 은 위에서 에평등수렴함을보여라. 에대하여, 을 로정의 로정의 임의의 에대하여 가 위에서평등연속이므로 아르키메데스성질에의하여 인 가존재하고 일때, 모든 에대하여 이므로 이성립한다. 따라서열 은 위에서 에평등수렴한다. - 2 -
5. 실수의집합 위에서정의된연속열 이극한 에평등수렴한다고하 자. 각자연수 에대하여 에점별수렴함을보여라. 임의의 에대하여 에대하여 을 로정의하였을때 이 위에서 로점별수렴하므로 로정의하였을때, 열 은 위에서 또한가정에의하여모든 에대하여 이 위에서연속이고열 이 위에서 로평 등수렴하므로 는 위에서연속이다. 즉, lim lim 을만족하므로 이제 로택하자. 그러면 인모든 에대하여 를만족한다. 따라서열 은 위에서 에점별수렴한다. 6. 각자연수 위에서평등수렴함을보여라. 에대하여 을 으로정의하였을때, 열 이 이면 lim 이고 이면 이므로 lim 을만족한다. 따라서 위에서극한는 이다. 또한 이므로 으로부터 을얻는다. 따라서 lim lim 등수렴한다. 이므로열 는 위에서 로평 7. 실수의집합 의부분집합 가긴밀집합이고 위에서정의된연속열 이 위에서극한 에평등수렴하면, 는 위에서평등연속임을보여라. 모든 에대하여 이 위에서연속이고열 이 위에서 로평등수렴하므로 는 위에서연속이다. 여기서 는긴밀집합이므로따라서 는 위에서평등연속이다. 8. 실수의집합 의부분집합 위에서정의된연속열 이 위에서 에 평등수렴하고 에서의수열 이점 에수렴한다고할때, lim 임을보여라. 임의의 에대하여열 이 위에서 로점별수렴하므로 열 이 위에서 로평등수렴하므로 는 위에서연속이다. - 3 -
즉, lim 을만족하므로 로두자. 그러면 인모든 에대하여 이성립 한다. 따라서 lim 이다. 9. 를실수의집합 의부분집합이라하고 을 위에서정의된유계열이라고하자. 이 위에서 에평등수렴할필요충분조건은 일때, 이성립하는것임을증명하여라. 임의의 에대하여 ( ) 열 이 위에서평등수렴한다고하자. 그러면 를만족한다. 그러므로 인모든자연수 에대하여 이므로 lim lim 을만족한다. ( ) lim 이라하자. 그러면 를만족한다. 그러므로 인모든자연수 에대하여 이다. 즉, 열 이 위에서 로평등수렴한다. - 4 -
정동명해석학 6.1 의미분가능성 1. 가항등적으로 이아니고, 모든 에대하여다음의세조건을만족한다고하 자. ( ⅰ ) ( ⅱ ) ( ⅲ ) lim 이때, 다음이성립함을보여라. (1) 는기이고, 는우이다. 이면, 이고 으로부터 또는 이다. 모든 에대하여 이다. 여기서 이면 이고이는가정에모순된다. 따라서 이다. 따라서 가성립한다. 즉, 는기이다. 한편, 이므로따라서 가성립한다. 즉, 는우이다. (2) 는 위에서연속이다. 우선 가 에서연속임을보이자. 이므로 lim lim 이고 따라서 lim lim 여기서 는우이므로 따라서 는 에서연속이다. 임의의 에대하여 lim 이다. lim lim lim 이다. lim lim lim lim lim 따라서 는 위에서연속이다. lim (3) 는모든점 에서미분가능하며 이다. 임의의 에대하여 lim lim lim lim 이성립한다. 따라서 는모든 에서미분가능하며 이다. - 1 -
2. 보여라. 가모든 에대하여 를만족할때, 는 에서미분가능함을 이면 이므로 이다. 그리고 따라서조임정리에의하여 lim 이성립하고 이므로 lim 이성립한다. 이다. 그러므로 는 에서미분가능하다. 3. 가 이고, 모든 에대하여 를만족할때, 는 에서미분불가능함을보여라. 따라서 lim 이고 이므로 lim 이다. 의값은존재하지않는다. 그러므로 는 에서미분불가능이다. 4. 가다음과같이정의되었다고하자. 이때, 는 에서미분가능함을보이고, 의값을구하여라. 이므로 lim lim lim lim lim 따라서 는 에서미분가능하고 이다. 5. 가점 에서미분가능하고, 이라고하자. 이때, 가점 에서미분가능할필요충분조건은 인것임을보여라. ( ) 이라하자. 그러면 lim lim 를만족한다. 여기서 lim 이고 따라서 는 에서미분불가능이다. lim lim lim lim 이므로 lim 은존재하지않는다. - 2 -
6. 가 이고 를만족한다고하자. 을 로정의하였을때, 점 에서의 의미분가능성을조사하여라. 이므로 lim lim 이고 lim lim 이성립하며 가정에의하여 이다. 따라서 이다. 그러므로 는 에서미분가능이다. 7. 가 위에서미분가능하면, 는 위에서평등연속임을보여라. 가 위에서미분가능하면 는 위에서연속이다. 여기서 는긴밀집합이고 는 위에서연속이므로따라서 는 위에서평등연속이된다. 8. 가다음과같이정의되었을때, 를구하여라. (1) 에서는미분불능이다. (2) 모든 에대하여 (3) 에대하여 이고 에대해서는미분불가능이다. (4) 이면 이고 이면미분불가능이다. - 3 -
9. 가다음과같이정의되었을때, 임의의점 에서의 의미분가능성을조사하여라. 1 인 라하자. 즉, (와 는서로소인자연수) 라하자. 수열 을모든 에대하여 이고 로수렴하는무리수열이라하면, lim lim 가되므로극한이존재하지않는다. 그러므로 lim 는존재하지않는다. 따라서 에서 는미분가능하지않다. 2 라하자. 수열 을모든 에대하여 이고 로수렴하는무리수 열이라하면, lim 이된다. 에대해 lim lim 이므로 lim 는존재하지않는다. 따라서 에서미분가능하지않다. 가무리수인경우, 의소수전개를 라하자. 그리고수열 을다음과같이정의하자. 그러면 lim 이다. 이므로 이존재해서 인모든 에대하여 이므로 lim 따라서 에서미분가능하지않다. 이다. 그러므로 lim 는존재하지않는다. 3 1과 2에의하여 는 의모든점에서미분가능하지않는다. 10. 정리 6.1.9 를증명하여라. [ 가점 에서미분가능하며, 이라하자. 그러면 가존재하여 이고 인모든 에대하여 이면, 이다. ] 는 에서미분가능하므로 에대하여 - 4 -
그러므로 이고모든 에대하여 이다. 또한 이고모든 에대하여 이다. 따라서 인모든 에대하여 를만족한다. 11. 가 에서미분가능하며 이더라도 를포함하는어떠한구간에서 가증가가아닌예를들어보아라. 라하자. lim lim 이므로 이되고 이면 이된다. 그리고모든 에대하여 이고 을포함하는적당한구간 이존재하여 가증가라하자. 그러면 문제 이다. 10에의하여증가가안되는 를포함하는구간이존재하므로이는모순이다. 그러므로 는 를포함하는어떠한구간에서도증가가아니다. - 5 -
정동명해석학 6.2 미분가능공간 이고 1. 이고 가 가 로정의되었을때, 다음의물음에답하여라. (1) 의치역과 의정의역이일치함을보여라. 으로정의되고, 이면 이므로 (2) 점 은집합 의집적점임을보이고, 또한점 은집합 의집적점임을보여라. 임의의 에대하여아르키메데스성질에의하여 이면 이므로 따라서 이고그러므로 은 의집적점이다. 마찬가지로 도집합 의집적점이다. (3) 이존재하는가를조사하여라., 라하자. 그러면 은각각 으로수렴하는수열이지만 lim lim lim lim 이다. 따라서 에서 는미분불가능이다. 그러므로 는존재하지않는다. (4) 인임의의점 에서 가존재하는가를조사하여라. 이면정리 6.2.2 에의해미분가능이고, 에대해서는미분불가능이다. 1 이라하자. 그러면 lim 이다. 즉, lim lim lim 이면 lim 이다. - 1 -
lim lim 따라서 에서미분불가능이다. 2 마찬가지방법으로 에서미분불가능이다. 2. 가우이고, 모든점 에서미분가능할때, 은기임을보여라. 또 가기이고, 모든점 에서미분가능할때, 은우임을보여라. 모든 에대하여가정에의하여 lim 이고 가우이므로 lim lim lim 가성립한다. 따라서 는기이다. 한편가정에의하여 lim 이고 가기이므로 lim lim lim 가성립한다. 따라서 는우이다. 3. 가 로정의되었을때, 임의의 에대하여 를구하여라. 모든 에대하여 이므로 이다. 4. 가 으로정의되었을때, 임의의점 에대하여 를구하여 라. 모든 에대하여 이고 일때, 이면 이므로 이다. 5. 가 로정의되었을때, 임의의점 에대하여 를구하여라. 모든 에대하여 이다. - 2 -
정동명해석학 6.3 미분가능의성질 1. 가다음과같이정의되었을때, 정리의가정을만족함을보이고, 을만 족시키는점 를구하여라. (1) 는 위에서연속이고 위에서미분가능하며, 이므로롤의정리의가정을만족한다. 따라서 일때, 으로부터 이되는 이다. (2) 는 위에서연속이고 위에서미분가능하며, 이므로롤의정리의가정을만족한다. 따라서 일때, 으로부터 이되는 이다. (3) 는 위에서연속이고 위에서미분가능하다. 하지만 이다. 그러므로롤의정리의 가정을만족하지않는다. (4) 는 위에서연속이고 위에서미분가능하며, 이므로롤의정리의가정을만족한다. 따라서 일때, 으로부터 이되는 이다. 2. 모든 에대하여다음이성림함을보여라. 1 이면자명하게성립한다. 2 이면 라할때, 라하자. 그러면 는 위에서연속이고 위에서미분가능하다. 따라서평균값정리에의하여 를만족하는 가존재한다. 여기서모든 에대하여 이므로따라서 을만족한다. 그러므로 이성립한다. - 1 -
3. 가연속이고, 또한 에대하여 이라고하자. 만일두점 가 이면 임을보여라. 두점 가 이면 라가정하자. 여기서, 라하자. 그러면 는 위에서연속이고, 에서미분가능하다. 또한위의가정에의하여 이므로롤의정리의가정을만족한다. 따라서 이되는 가존재한다. 이는가정에모순이다. 따라서두점 가 이면 이다. 4. 가연속이고, 또한 에서미분가능하다고하자. 점 에대하여 lim 이면, 임을보여라. 는 위에서연속이고 위에서미분가능하므로 임의의 에대하여 는 에서연속이고 위에서미분가능하다. 그러면평균값정리에의하여 를만족하는 가존재한다. lim 이고, 일때, 이면 이므로 lim 이다. 가정에의하여 lim 이므로 이다. lim 5. 가 로정의되었다고하자. 수열 을 ( 는임의의상수 ), 으로정의하였을때, 수열 은방정식 의근 에수렴함을보여라. ( 문제 5.4.7) 라할때, 평균값정리에의하여 이다. 그러면 이성립하고 이므로 이성립한다. 따라서수열 는 수열이므로수열 은수렴하고 lim 이라놓으면, 주어진점화식의양변에극한을취하면 가연속이므로 lim lim 이된다. 즉, 수열 는방정식 의근에수렴한다. - 2 -
6. 라. 가모든 에대하여 을만족하면, 는상수임을보여 모든 에대하여위의가정으로부터 조임정리에의하여 lim 이다. 따라서 는상수이다. 이고 lim 이므로 7. 가구간이고, 가미분가능하고, 모든 에대하여 이면, 모든 에대하여 이거나또는모든 에대하여 임을보여라. 모든 에대하여 라하자. 그러면 정리에의하여 를만족하는 가 와 사이에존재한다. 이는가정에모순된다. 따라서모든 에대하여 이거나모든 에대하여 이다. 8. 가미분가능한이고, 또한 가 위에서유계이면모든 에대 하여 를만족시키는실수 가존재함을보여라. 이면모든실수 에대하여항등식이므로자명하다. 이면평균값정리로부터 을만족하는 가 와 사이에존재한다. 가정에의하여 가 위에서유계이므로 따라서 을만족한다. 즉, 를만족하는실수 이존재한다. - 3 -
정동명해석학 6. 4 L' Hospital 의법칙 1. 가 이고, 이라고하자. 또 이고 가아닌모 든점 에서 이라고하자. 이때, 임을보여라.., lim 극한의성질에의하여 lim lim lim 따라서 lim 이다. 이고 lim 이고 lim 가존재하면, 반드시 lim lim 이성립한다. 2. 가각각, 으로정의되었을때, 이고 모든 에대하여 이며 lim lim 라. 또한정리 6.4.2 에모순이되지않는가를설명하여라. 1 임의의 에대하여 로택하자. 그러면 인모든 에대하여 이성립한다. 따라서 lim lim 이다. 한편, 인 에대하여 이고 조임정리에의하여 따라서 lim 이다. lim lim 이다. 2 라하자. 이지만, 극한 lim 가존재하지않음을보여 lim 이므로 그러면 은각각 으로수렴한다. 하지만 lim lim lim lim 이다. 따라서극한 lim 은존재하지않는다. - 1 -
3. 가점 에서미분가능하고, 이라고하자. 만일모든 에 대해서 이고, 이면 lim 이존재하고, 다음이성립함을보여라. ( 힌트 : 점 에서의 와 의미분가능성을이용하여라 ). lim 이고 에대하여 이다. 그러므로 lim lim lim lim 가성립한다. 4. 가각각, 로정의되었을때, lim 임을보여라. ( 힌트 : 문제 3 의결과를이용하여라 ). 위의문제 3에의하여 lim 따라서조임정리에의하여 lim 이다. lim 이성립한다. 5. 가각각, 로정의되었을때, lim 이지만 먼저 가존재하지않음을보여라. lim lim lim 이다. 이면 이고 이므로 않는다. 그러므로 lim 는존재하지않는다. lim 이지만 lim 는존재하지 6. 다음의극한값을구하여라. (1) lim 로피탈법칙에의하여 lim lim - 2 -
(2) lim 로피탈법칙에의하여 lim lim lim (3) lim 로피탈법칙에의하여 lim lim (4) lim 로피탈법칙에의하여 lim lim lim lim (5) lim 로피탈법칙에의하여 lim lim (6) lim lim 로피탈법칙에의하여 lim lim lim lim lim - 3 -
7. 정리 6.4.5 의 (b) 와주 6.4.6 을증명하여라. [ 정리 6.4.5 의 (b): 가 에서미분가능하고 lim 또한모든 에대하여 이고 일때, lim 또는 이면, lim lim 또는 이다. ] lim 이라고하자. [ 부정형 인경우에서의로피탈법칙에서와같이부정형 이경우에서도따름정리 6.4.3과정리 6.4.4에 대응된정리가각각성립한다. ] 1 lim 인경우만증명한다. 을임의의양의실수라하면, 에대응하는적당한 가존재해서 이면 가 된다. 한편임의의점 에대하여 가되는 가존재한다. 따라서 이면 이다. 그러므로우극한의정의에의하여 lim 이다. 2 를 인부정형이라하자. 그러면 이고, 는 인부정형인형태로바꿀 수있다. 따라서자명하게따름정리 6.4.3과정리 6.4.4 에대응된정리가각각성립한다. - 4 -
정동명해석학 6.5 Taylor 정리 1. 가 으로정의되었을때, 의 의존재성을조사하여라. 1 차도 과 2 차도 를구하고 이므로 이고 그리고 이다. 여기서 lim lim 이다. 따라서 은존재하지않는다. 2. 가점 에서 가존재한다고할때, lim 임을보여라. lim 이므로로피탈의법칙에의하여 lim lim lim 이성립한다. 따라서 lim 이다. 3. 가다음과같이정의되었을때, 점 에서의 3 차 다항를구하여라. (1) 이므로 이다. 따라서 에서의 의 3차 다항 는 이다. (2) 이므로 이다. 따라서 에서의 의 3차 다항 는 이다. (3) 이므로 이다. - 1 -
따라서 에서의 의 3차 다항 는 이다. 4. 의 2 차도 가존재하고모든 에대하여 이고 이라고하자. 이때, 모든 에대하여 임을보여라. ( 힌트 : 정리를이용하여라 ) 에대하여 에 정리를이용하면 을만족하는 가 와 사이에존재한다. 위의식에 과 를대입하면, 를얻는다. 단, 이다. 이된다. 가정에의하여모든 에대하여 이고 이므로 이다. 은 의임의의점이므로모든 에대하여 이다. 5. 모든 에대하여다음이성립함을보여라. 또, 이부등식을이용하여 와 의값을근사시켜보아라. 이므로 이다. 따라서 일때, 에서의 1차 다항식 와 2차 다항식 는다음과같다. 또한 에서의 의나머지항은 이고 이다. 단, 이다. 따라서 이므로주어진부등식은성립한다. 이부등식을이용하면, 을얻을수있다. - 2 -
6. 가 이고, 이라고하자. 이때, 을 으로정의하였을때, 임을보여라. 로피탈의법칙에의하여 lim lim lim lim 이므로 이다. 이제 이 에서연속임을보이자. 로피탈의법칙에의하여 lim lim lim lim 이므로 는 에서연속이되고따라서 이다. 7. 가 ( 은자연수 ) 으로정의하였을때, 각 에대하여 임을보이고, 방정식 은 과 사이에 개의서로다른실근을가짐을보여라. ( 힌트 : 정리를이용하여라.) 는다항식이므로 이므로명백하게 에대하여 이된다. 이므로 를 로전개하면가장낮은차수가 이되고 로전개하여도가장낮은차수는 이된다. 또한 는 위에서해석적이므로 에서의테일러급수는일치하여야한다. 그러므로 을수있다. 이제 으로부터롤의정리를이용하면, 을만족하는 을얻는다. 또한 이므로롤의정리를이용하면 을만족하는서로다른적당한두점 을얻는다. 이런과정을반복하면, 을만족하는 과 사이의서로다른 개의점을얻는다. 이므로롤의정리를다시이용하면, 을만족하는 과 사이에서로다른 개의점을얻는다. 그러므로방정식 는 과 사이에서로다른 개의근을갖는다. - 3 -
8. 가 로정의되었을때, 에서의 의 급수를구하여라. 모든 에대하여 ( 수학적귀납법에의하여증명~ ) 이므로 이다. 따라서 의 급수는다음과같다. 9. 이구간이고, 가 이라고하자. 모든 과모든 에대하여 를만족시키는 이존재하면, 임의의점 에서의 의 급수는 위에서 에수렴 함을보여라. 즉, 는모든점 에서해석적임을보여라. 임의의 와임의의점 에대하여 라두자. 그러면모든 와 인모든 에대하여 이성립한다. 따라서 는모든점 에서해석적이다. 단, - 4 -
정동명해석학 6.6 미분가능열 1. 각자연수 에대하여 을 으로정의하였을때, 열 은미분가능 한열이고 위에서어떤미분가능한 에평등수렴함을보여라. 또열 은 위에서 어떤 에수렴하지만, 임을보여라. 모든자연수 과모든 에대하여 이므로조임정리에의해극한를 라하면, 이다. 또한 lim lim 이므로열 은 위에서평등수렴한다. 또한 이므로열 은 위에서 그러나 이다. 으로수렴한다. 2. 각자연수 에대하여 를 로정의하였을때, lim 이성 립하는가를조사하여라. 모든 에대하여 lim lim 이므로 이된다. 또한, 모든자연수 에대하여 이므로 lim lim 이다. 3. 각자연수 에대하여 을 로정의하였을때, lim 이성립 하는가를조사하여라. 이면 lim 이고 이면 lim lim 이므로 이된다. 또한모든자연수 에대하여 이므로 lim lim 이다.. 다음이성립함을보여라. (1) 임의의 에대하여아르키메데스성질에의하여 인자연수 가존재한다. 이제 일때, 이성립한다. 따라서항급수 는코시판정법에의하여 위에서평등수렴한다. - 1 -
또한, 따라서조임정리에의하여 그러므로따름정리 이고 은 급수판정법에의하여수렴한다. 는점별수렴한다. 6.6.3에의하여 이성립한다. (2) 임의의 에대하여 아르키메데스성질에의하여 일때, 인자연수 가존재해서 ( 일때, ) ( 단, ) 이성립한다. 따라서항급수 또한가정에의하여 이므로 lim lim 이다. 따라서비판정법에의하여 그러므로따름정리 6.6. 에의하여 는코시판정법에의하여평등수렴한다. 은점별수렴한다. 이성립한다. 5. 에서미분가능한열 에있어서, 모든자연수 과모든 에대하여 을만족시키는수열 이존재한다고하자. 만일 이고, 한점 에서 가수렴하면모든점 에서다음이성립함을보여라. 가정으로부터와이어슈트라스 -판정법에의하여 이 위에서평등수렴하므로 은 위에서 미분가능하다. 그러므로따름정리 6.6.3에의하여 이성립한다. - 2 -
6. 거듭제곱수 의수렴반경이 이고또한모든 에대하여 이면 모든자연수 에대하여 임을보여라. 모든 에대하여 이라하자. 그러면정리 6.6.5에의하여모든자연수 에대하여 을만족한다. 따라서모든자연수 에대하여 이된다. - 3 -
정동명해석학 7.1 리만적분 1. 가다음과같이정의되었다고할때, 분할 분할 에대한 에대한 와 의값을구하여라. 2. 가 에대하여 로정의되고, 모든 에대하여 를만족한다고할때, 구간 의분할 에대한 와 의값을구하여라. 일때, 이므로 따라서 이고 이다. 3. 가 로정의되었을때, 의분할 를구하고 lim lim 임을보여라. 의분할 에대한 에대한 과 가 로정의되었을때, 의분할 에대한 과 는다음과같다. 따라서 lim lim lim lim 이다. 4. 임의의고정된 과 의분할 에대하여 이성립할필요충분조건은 인모든 에대하여 이성립하는것임을보여라. ( ) 로두면, 자명하다. ( ) 인모든 에대하여 이성립한다. 따라서 이성립한다. - 1 -
5. 가 로정의되었을때, 는 위에서 적분가능함을보이고, 은 임을보여라. 그적분값 분할 을 위의임의의분할이라하자. 그러면가정에의하여 에대하여, 이므로, 이다. 따라서 이므로리만적분가능하며그적분값은 이다. 6. 가다음과같이정의되었을때, 위에서의 의리만적분가능성을조사하여라. (1) 라하자. 를 등분한분할 에대하여 일때, 이고 ( 무리수의조밀성) 이므로 따라서 이고 이다. 이다. 그러므로 는 위에서리만적분가능하지않다. [ 다른 ] 라하자. 분할 를 의임의의분할이라하자. 일때, 이고 이므로 이고 이다. 그러면 ( 산술-기하평균에의하여 ) 을만족한다. 따라서 는 위에서리만적분가능하지않다. - 2 -
(2) 라하자. 분할 를 의임의의분할이라하자. 일때, 이고 이므로 이고 이다. 그러면 ( 산술-기하평균에의하여 ) 을만족한다. 따라서 는 위에서리만적분가능하지않다. (3) 임의의 에대하여 을만족하는자연수 를택하고 에서분모가 보다작거나같은유리수의 집합을 라하면, 는유한집합이므로 이라하자. 의분할 를 에대해 하면 의개수는기껏해야 개다. 이면 이고 이면 을만족하도록잡자. 집합 를 라 이므로 이다. 그러므로리만판정법에의하여 는 위에서리만적분가능하다. - 3 -
정동명해석학 7.2 의적분가능성 1. 가다음과같이정의되었을때, 정리 7.2.1 을이용하여 위에서의 의리만적 분가능성을조사하여라. (1) 임의의 대하여아르키메데스성질에의하여 인 가존재해서 의한분할 에대하여 이성립한다. 따라서 이다. 그러므로정리 7.2.1에의하여 는 위에서리만적분가능하다. (2) 임의의 대하여아르키메데스성질에의하여 인 가존재해서 의한분할 에대하여 이성립한다. 따라서 이다. 그러므로정리 7.2.1에의하여 는 위에서리만적분가능하다. 2. 가 에대해 로정의되었을때, 는 위에서리만적분가능함을보이고, 그적분값은 1 임을보여라. 임의의 와모든 에대하여아르키메데스성질에의하여 인 가존재해서 의한분할 에대하여 이므로 을만족한다. 따라서리만판정법에의하여 는 위에서리만적분가능하고, 이때적분값은 lim [ 다른 ] 위에서 의불연속점은가산개이므로리벡측도는 0 이다. 따라서 는 위에서리만적분가능하다. - 1 -
3. 가리만적분가능하다고하자. 각자연수 에대하여 를 가되도록잡으면다음이성립함을보여라. lim lim 임의의 에대하여 가 위에서리만적분가능이므로적당한 이존재해서 을만족하는 위의임의의분할 이존재해서리만합을 라할때, 가성립한다. 이제 인자연수 를택하자. 의분할를 라 하자. 그러면 인모든자연수 에대하여 이므로 이성립한다. 에대하여 이므로 가성립한다. 마찬가지로 에대하여 이므로 가성립한다. 따라서 이성립하여 이고 이성립하여 이다. 그러므로 lim lim 이다. 4. 가유계라고하자. 에서의적당한분할열 가존재하여 lim 일때, 는 위에서리만적 분가능함을보이고그적분값은다음과같음을보여라. lim lim 임의의 와모든 에대하여 lim 이므로적당히큰자연수 가존재해서 인모든자연수 에대하여 을만족한다. 따라서리만적분판정법에의하여 는 위에서리만적분가능하다. 즉, 이다. 인모든자연수 에대하여 이고 - 2 -
이므로 이성립한다. 마찬가지로 이고 이므 로 이성립한다따라서. lim lim 이다. 5. 가 으로정의되었을때, 문제 4 를이용하여 가 위에서리만적분가능 함을보여라. 위의분할 을 라하자 서 이다. 따라서 lim lim 그러므로문제 이므로 lim 4에의하여 는 위에서리만적분가능이다.. 그러면 에대한구간 에 이다. 이고 6. 가리만적분가능할때, 다음이성립함을보여라. lim 인 위의분할을택하자. 그러면 에대하여임의의구 간 에서 의최대값을, 그리고최소값을 라하면, 이므로 이성립한다. 여기서 가 위에서리만적분가능이므로 lim 따라서 lim 이다. lim 이다. 7. 가유계라고하자. 가 위에서리만적분가능할필요충분조건은적당한실수 가존재해서명제 임의의 에대하여, 적당한 가존재하여 이성립하는것임을보여라. ( ) 임의의 인모든 에대하여 에대하여 가 위에서리만적분가능이므로적당한 이존재해서 을만족 하는 위의임의의분할 이존재해서리만합을 라할때, - 3 -
가성립한다. 여기서 라하고, 의분할 을 를만족하도록택하자.. 그러면 에대하여모든 의분할 에대하여 을만족하므로 가성립한다. ( ) 적당한실수 의분할 에대하여 가존재하여주어진 에대하여적당한 위의분할 이존재하여 인모든 이성립한다고하자. 의분할 를 라하면, 이된다. 에대하여 이므로 이고 마찬가지로 에대하여 이므로 이다. 따라서 이성립한다 에서리만적분가능하다.. 그러므로리만판정법에의하여 는 위 - 4 -
정동명해석학 7.3 적분가능공간 1. 보조정리 7.3.1 의 (b) 와 (d) 를증명하여라. (b) 라하자. 그러면 는 의하계이고 는 의상계이므로 는 의하계이다. 임의의 에대하여적당한 가존재해서 를만족한다. 그러면 이다. 따라서 이다. (d) 이면 이면 ( 이므로 이면 ( 이므로 (c) 에의하여) (c) 에의하여) 2. 가적분가능하면, 와 도적분가능함을보여라. 가적분가능하면, 정리7.3.2, 정리 7.3.3 그리고정리 7.3.6(b) 에의하여 와 는 위에서적분가능하다. 3. 가연속이고, 모든 에대하여 이라하자. 이때, 이성립하면, 임을보여라. 인 가존재한다고가정하자. 가연속이므로 에대하여적당한 이존재해서 인모든 에대하여 이므로 가성립한다. 여기서 이라하면, 이성립한다. 이는모순이다. 4. 가연속이고, 모든연속 에대하여 이성립 하면, 임을보여라. 라하자. 그러면 이고모든 에대하여 이므로위의문제 3 에의하여 이다. - 1 -
5. 가모두유계이고, 모든 에대하여 이라고하자. 한 가적분가능하고 이면, 다음이성립함을보여라. 또 (1) 임의의 에대하여 가 위에서리만적분가능이므로적당한 이존재해서 을만족하는 위의임의의분할 이존재해서 의리만합을 라할때, 가성립한다. 여기서 이므로 이이성립한다. 즉, 이다. 또한, 가 위에서리만적분가능이므로적당한 이존재해서 을만족하는 위의임의 의분할 이존재해서 의리만합을 라할때, 가성립한다. 여기서 이므로 이성립한다. 즉, 이다. 이제 라하고 라하자. 그러면 는 을만족하는 위의분할이며모든 에대하여 이고 에대하여 이므로 을만족한다. 마찬가지로모든 에대하여 이고 에대하여 이므로 을만족한다. 따라서 이성립한다. 그러므로리만판정법에의하여 이다. (2) 따름정리 7.3.5에의하여모든 에대하여 이면 이성립한다. 가정에서 이므로따라서 이다. - 2 -
6. 정리 7.3.6 의증명에서 가성립함을보여라. 이면, 이므로 이성립한다. 이면 이므로 이다. 따라서 이성립한다. 그러므로 이성립한다. 7. 가연속일때, 부등식 가성립함을보여라. ( 이부등식을 부등식이라고한다.) ( 힌트 : 로놓을때, 모든 에대하여 이성립함을보여라.) 이면 이므로위의부등식은자명하게성립한다. 이면 이므로 이다. 즉, 에대하여위의부등식이성립하는지보이면충분하다. 모든 에대하여 이므로 이성립한다. 여기서 로놓으면, 모든 에대하여 가성립한다. 따라서판별식을이용하면, 이다. 그러므로 이성립한다. - 3 -
정동명해석학 7.4 미적분학의기본원리 1. 가다음과같이정의되었다고하자. 을 로정의하였을때, 를구체적으로구하고, 가미분가능한점 들의집합을구하고, 정리 7.4.1 을확인하여보아라. 이므로 가미분가능한점들의집합은 이고 는 에서연속이아니다 에서연속이지만미분가능하지는않다.. 따라서 는 2. 가연속이며모든 에대하여 가성립한다고할때, 임을보여라. 라하자. 그러면모든 에대하여 이성립하여 을만족한다. 가연속이므로 는미분가능하며, 이다. 따라서 이다. 그러므로모든 에대하여 이다. 3. 가다음과같이정의되었을때, 을구하여라. (1) 위에서 이고 라하자. 그러면 가 위에서연속이므로 는 위 에서미분가능이며, 를만족한다. 여기서 이므로양변을 에관하여미분하면, - 1 -
이다. 따라서 이다. (2) 위에서 이고 라하자. 그러면 가 위에서연속이므로 는 위에서 미분가능이며, 를만족한다. 여기서 이므로양변을 에관하여미분하면, 이다. 따라서 이다. 4. 가연속이라고하자. 이때, 다음이성립할 필요충분조건은모든 에대하여 임을보여라. ( ) 가 위에서연속이므로 는 위에서미분가능이고, 적분에관한평균값정리에의하여 을만족하는 가존재한다. 그러면 가 위에서연속이므로 lim lim 이성립한다. 따라서 이다. lim lim ( ) 모든 에대하여 이므로따라서 를만 족한다. 그러므로 이다. 5. 가각각연속이고, 모든 에대하여 이면다음을만족시키는점 가존재함을보여라. 모든 에대하여 이면 이다. 여기서 이면 이므로위의부등 식은모든 에대하여자명하게성립한다. 따라서 에대하여보이면충분하다. 가 에서연속이고 는긴밀집합이므로 는최대값 과최소값 을갖는다. 즉, 모든 에대하여 을만족한다. 그러면 - 2 -
이성립한다. 여기서 이므로 이성립한다. 따라서중간값정리에의하여 를만족하는 가존재한다. 그러므로 을만족하는 가존재한다. 6. 가각각연속이고, 을 로정의하였을때, 다음이성립함을보여라. 가각각연속이므로 는각각미분가능이며 이다. 이고 이므로 따라서 이다. 그러므로 이성립한다. - 3 -
정동명해석학 7.5 특이적분 1. 다음특이적분이존재하면그값을구하여라. (1) lim lim (2) lim lim lim (3) lim lim lim (4) lim lim lim 2. 극한 lim 을구하여라. 므로 라하자. 그러면 lim lim 이다. 또한지수 는연속이므로다음이성립한다. lim lim 따라서극한 lim lim 이다. 이다. 이고로그 에서특이적분이존재하 lim lim - 1 -
3. 가 인임의의 에대하여, 구간 와 위에서각각 가리만적분가능할때, lim lim lim 가일반적으로성립하지않음을예를들어보아라. ( 왼쪽극한이존재할때, 그극한값을 위에서의 의적분의 주치라고부르고, 기호로는 로나타낸다.) ( 힌트 : 을생각하여라. ) 에대하여 1 lim lim lim 2 lim 3 lim lim lim lim lim 따라서일반적으로 라고볼수는없다. 4. 정리 7.5.5 의 (b) 를증명하여라. 에대하여 는특이적분가능하고리만적분의성질에의하여 lim lim 이므로따라서 이다. 5. 다음의적분의 (1) 주치가존재하는지를조사하여라. lim lim 따라서위의적분의 주치가존재한다. (2) lim lim 따라서위의적분의 주치가존재하지않는다. - 2 -
6. 가모든구간 위에서리만적분가능할때, lim lim lim 가일반적으로성립하지않음을예를들어보아라. ( 왼쪽의극한이존재할때, 그극한값을 위에서의 의적분의 주치라고부르고, 로나타낸다.) 기호로는 ( 힌트 : 를생각하여라. 에대하여 1 lim 2 lim 3 lim lim lim lim lim lim lim 따라서일반적으로 라고볼수는없다. 7. 다음특이적분의존재성을판정하여라. (1) 에대하여 이므로 이성립하고 는발산하므로비교판정법에의하여 따라서 의특이적분은존재하지않는다. 은발산한다. (2) 에대하여 이므로 이성립하고 는수렴하므로비교판정법에의하여 은수렴한다. 따라서 의특이적분은존재한다. - 3 -
(3) 우선 의수렴 / 발산에대하여살펴보자. 이면 이고 이면 가수렴하므로비교판정법에 의하여 은수렴한다. 또한 이면 이고 이 면 는발산한다. 이제 인모든실수 에대하여 가성립하고 이라하고 인자연수 를택하자. 그러면 인모든 에대하여 이므로 는 위에서연속이고감소인양의이다. 급수 에대하여 lim 이므로비판정법에의하여수렴하고적분판정법에의하여 는수혐한다. 그러므로 은수렴한다. 특히 이면주어진이상적분은수렴한다. 하지만 이면주어진이상적분은발산한다. (4) 우선 인경우 lim lim 의수렴 lim / 발산에관하여살펴보자. lim lim 이므로 인경우에만주어진적분은수렴한다. 이제 인경우 의수렴 / 발산을살펴보자. - 4 -
이다. 먼저 lim lim lim lim lim lim lim 이므로 인경우에만주어진적분은수렴한다. 그러므로이상적분은발산한다. - 5 -
정동명해석학 7.8 적분가능열 1. 구간 위에서정의된열 이다음과같이정의되었을때, 성립함을조사하여라. (1) lim lim 가 구간 위에서정의된열 의극한 는다음과같다. ( 이면 lim 이고 이면적당한자연수 에대하여 인모든자연수 에대 하여 이성립한다. 따라서 이다.) 그러면 lim lim 이고 이다. 따라서 lim lim lim 이성립한다. lim (2) 구간 위에서정의된열 의극한 는다음과같다. ( 이면 lim 이고 이면로피탈법칙에의하여 lim lim lim ) 그러면 lim lim lim lim 이지만 이다. 따라서 lim lim 이성립한다. - 1 -
2. 각자연수 에대하여 가 로정의되었을때, 다음의물음에답하여 라. (1) 의점별극한 을구하고, 는 위에서리만적분가능함을보여라. 1 이면, lim 이고 이면 lim lim 위에서열 의극한 는다음과같다. 이다. 따라서 2 임의의 에대하여 인자연수 가존재해서 위의분할을 라하자. 그러면 이고 이므로 이다. 따라서리만판정법에의하여 는 위에서리만적분가능하다. (2) 은 위에서 에평등수렴하지않음을보여라. 열 은 위에서연속이지만 는 위에서불연속이다. 따라서열 은 위에서평등수렴하지않는다. (3) lim lim 임을보여라. lim lim lim lim 이고 이다. 따라서 lim lim 이성립한다. lim 3. 각자연수 에대하여 가 로정의되었을때, 다음이성립함을보여라. lim lim 위에서 이고 에의하여 은평등수렴한다. 따라서 lim lim 즉, lim lim 은 급수판정법에의하여수렴한다. 따라서와이어슈트라스 판정법 lim 이다. lim lim 이다. - 2 -
4. 에서의연속열 가극한 에평등수렴한다고하자. 을각각 로정의되었을때, 위에서 은 로평등 수렴함을보여라. 임의의 에대하여 위에서 이므로 이제 로두자. 그러면 인모든 에대하여 이성립한다. 따라서 위에서 이다. 5. 에대하여 가 위에서연속이고, 또한 에서의연속열 이 위에서 에평등수렴할때, 다음이성립함을보여라. lim 임의의 에대하여 가연속이고 가긴밀이므로 는 위에서유계이므로 연속열 이 위에서 로평등수렴하므로 이제 로두자. 그러면 인모든 에대하여 이성립한다. 따라서 lim 이다. - 3 -