발간등록번호 : 인천교육 2014-0261 알록달록 수학세상 Ⅱ
알록달록수학세상 Ⅱ 주차시학습주제활동내용적용학습모형 1 주 -2 주 4 준정테셀레이션 1 차시: 2 차시: 3 차시: 4 차시: 용 준정테셀레이션의개념이해준정테셀레이션탐구준정테셀레이션종류발표준정테셀레이션만들기및응 활동중심체험학습 / 발표와토론 3 주 -4 주 4 구면테셀레이션 1 차시: 구면기하학과구면테셀레이션 2 차시: 구의반지름을이용하여정다면체의한변의길이구하기 3 차시: 구면테셀레이션연습 4 차시: 구면테셀레이션응용 활동중심탐구학습 / 발표와토론 5 주 -6 주 3 정다각형의작도 1 차시: 작도개념 2 차시: 정삼각형, 정육각형, 정사각형 작도 3 차시: 정오각형작도 4 차시: 작도가능성판정 활동중심탐구학습 / 발표와토론 1 차시: 스트링아트개념 7 주 -8 주 4 일차함수와 스트링아트 2 차시: 일차함수의성질을이용하여직선으로곡선표현하기 3 차시: 스트링아트작품발표 4 차시: 다양한스트링아트기법으로 활동중심체험학습 / 발표와토론 실생활에유용한공예품제작
알록달록수학세상 Ⅱ 1. 준정테셀레이션 : 수학과디자인 6 2. 구면테셀레이션 23 3. 정다각형의작도 33 4. 일차함수와스트링아트 : 나도예술가 46
알록달록수학세상 Ⅱ <prolog> 수학이란다. 아래그림속에숨겨진사람은모두몇명일까요? 찾아보세요. 눈을크게뜨고 ( ) 명 이그림은멕시코화가 Octavio Campo의 General's Family 란작품입니다. 7
수학 Ⅱ 선택프로그램 준정테셀레이션 : 수학과디자인 대상학년전학년가능분야수학 + 기술가정+ 미술 학습목표 1. 테셀레이션의의미를이해하고이것의제작과정을통하여테셀레이션의 수학적의미를안다. 2. 테셀레이션의과정을통해만들어진도형을이용하여평면도형분할을 만들어본다. 3. 테셀레이션의과정을응용하여나만의테셀레이션작품을만든다. 준비물학습지, 필기도구, 가위, 칼, 자, 색지, 검색도구 1. 테셀레이션 가. 테셀레이션이란? 1) 개념 테셀레이션은우리말그대로직역하자면정사각형이늘어서있는바둑판모양의무늬를말 한다. 그리스어인 tesseres 에서연유했는데이는영어의 four 를의미한다. 즉테셀레이션 은정사각형타일을만드는데서출발했음을의미한다. 흔히들알고있는모자이크와도통하는 말이다. 우리가일반적으로사용하는테셀레이션(Tessellations) 은평면도형조각을빈틈없이겹치 지않게배열하는것을말한다. 한가지모양의조각만을반복적으로배열하기도하고, 여러 개의조각을규칙적으로배열하기도한다. 2) 역사속의테셀레이션 테셀레이션은역사속에서흔히볼수있는데기원전 4 세기에이슬람문화의벽걸이융단, 퀼트, 옷, 깔개, 가구의타일, 건축물에서찾아볼수있다. 또한이집트, 무어인, 로마, 페르 시아, 그리스, 비잔틴, 아라비아, 일본, 중국등지에서도발견된다. 테셀레이션패턴으로가장 유명한것은스페인의그라나다에위치한이슬람식건축물인알함브라궁전이다. 이곳의마 루, 벽, 천장들은반복되는문양으로테셀레이션되어있다. 이러한예는한국의보자기나건 축물등의전통문양에서도많이찾아볼수있다. 또한우리일상생활속에서도흔히볼수 있는데, 길거리의보도블록이나거실, 목욕탕의타일, 상품의포장지문양등수없이많다. 이 8
알록달록수학세상 Ⅱ 러한테셀레이션은우리에게단지예술적인아름다움만을주는것이아니다. 그속에는무한 한수학적인개념과의미가들어있어흥미있게도형의각의크기, 대칭과변환, 합동등을 학습할수있게해준다. 건축물돌담과계간에나타난테셀레이션 이슬람사원건물양식 고대사원벽장식 아프가니스탄금요사원 Jam aa 의기둥장식 아라베스크양식내부무늬 현대테셀레이션작품 3) 예술과테셀레이션 예술작품에테셀레이션을가장많이사용한작 가는 M. C. 에셔이다. 이사람은평소수학에관 심이많아착시현상이나펜로즈삼각형등을직접 자신의예술작품에사용하였다. 테셀레이션을사용한작품으로, 정삼각형으로 옆의그림역시 정육각형을다시 6등분하여올챙이모양의동물을도 안하였다. 간결하면서도올챙이의눈알크기만큼이나경쾌한작품이다. 9
수학 Ⅱ 선택프로그램 나. 수학과테셀레이션 정다각형은 3 개, 4 개, 5 개또는더많은수의변과각들이모두같은도형이다. 기본적인 테셀레이션은이런정다각형들로만들어진다. 그런데 ( 유클리드) 평면에서는오직 3개의다 각형들로만기본적인테셀레이션을만들수있다. 삼각형, 사각형, 육각형이그것인데그외 에는불가능하다는것을증명하기는쉽다. 역사속에나타난여러디자인들을살펴보면기본 적인의미에서의테셀레이션은어떠한변형도허용하지않는오직정다각형들로만이루어져 있었다. 즉, 정육각형, 정사각형, 정삼각형이그것이다. 그러나, 테셀레이션이에셔에의해하 나의예술장르가되면서어떠한도형도테셀레이션이가능함을보여준다. 현대의테셀레이션 은동일한도형의단순반복이아니라대칭이나, 회전, 반사등의수학적원리를사용하여좀 더다양한반복을시도하게되었다. 1) 정다각형테셀레이션정다각형을한가지만이용하는테셀레이션은다음과같은세가지경우만가능하다. 유는정다각형의한내각의크기를생각하면쉽게이해할수있다. 그이 정다각형을이용하여테셀레이션을할때는도형의성질을이용하면실제로조각을배열해 보지않고도계산을통해테셀레이션의가능여부를판단할수있다. 예를들어정오각형의경 우한내각의크기가 임을이용하면한꼭짓점에 3개의조각을모으면그합이 가 되고, 4개의조각을모으면그합이 가되어정오각형조각만으로는테셀레이션이불가 능할것임을짐작할수있다. 이를통해주어진조각을이용했을때한개의조각만을이용하 여테셀레이션을할수있는정다각형은무엇이있을지짐작해보도록할수있으며, 여러모 양의정다각형을조합하여배열할경우에도어떤조합이가능할지짐작해볼수있다. 2) 아르키메디안테셀레이션 ( 준정테셀레이션) 각각의정다각형의꼭지점을둘레로동일한순서에의하여두가지이상의정다각형에의 하여테셀레이션하는것을아르키메디안테셀레이션(archimedean tessellation), 또는준정다 면체테셀레이션(semiregular tessellation) 이라한다. 이때한점을중심으로한정다각형의 10
알록달록수학세상 Ⅱ 배열이시계방향으로배열되어있거나반시계방향으로되어있을때동일한배열로본다. 이와 같은아르키메디안테셀레이션은다음그림과같이총 8 개존재한다. 이때, 그림아래나열 된숫자는한점을기준으로일정한순서에의하여놓여진다각형들을나타낸다. 즉, (3,12,12) 는한점을기준으로 3 각형, 12 각형, 12 각형이순서대로놓여있다는것을의미한다. [ 질문 1] 정다각형테셀레이션이가능한다각형은정삼각형, 정사각형, 정육각형뿐이다. [ 이유] 11
수학 Ⅱ 선택프로그램 [ 질문 2] 아르키메디안테셀레이션은총 8 가지존재한다. [ 이유] 한점을정다각형에의하여포개지거나빈틈이없이둘러싸는것을점테셀레이션이라 하자. 7 개이상의정다각형에의한점테셀레이션은불가능하다. 그것은정다각형중가장작 은내각을갖는정삼각형 6개에의해서점테셀레이션이되어 7개이상의정다각형은포개어 지기때문이다. 또한아르키메디안테셀레이션은두가지이상의다른다면체의조합으로이 루어져야함으로아르키메디안테셀레이션이되기위해서는한점을둘러싼정다각형의개수 는 5 개이하여야한다. 이제한점을둘러싸고있는정다각형의수에의해서모든경우의 아르키메디안테셀레이션을분류해보자. 한점은최소한 3개의정다각형에의하여점테셀레 이션이가능하므로이다. 이후에정다각형의꼭지점의개수를영소문자... 로표기한다. 1) 일때 12
알록달록수학세상 Ⅱ 2) 일때 3) 일때 13
수학 Ⅱ 선택프로그램 결론적으로가능한준정테셀레이션은? 다. 준정테셀레이션 (semiregular tessellation) 만들어보기 : 부록1, 부록2 참조 1) 정사각형과정팔각형을이용하여테셀레이션을만들려고한다. 다음물음에답하고빈칸에종이타일을빈틈없이붙여보세요. 정사각형은한내각의크기가 90 이고정팔각형은한내각의크기가 이다. 따라서 한꼭짓점을중심으로정사각형 개와정팔각형 개가모이면전체각의크기의합이 360 가되므로테셀레이션을만들수있다. 14
알록달록수학세상 Ⅱ 2) 정사각형과정육각형, 정십이각형을여러개이용하여테셀레이션을만들려고한다. 다음물음에답하고빈칸에종이타일을빈틈없이붙여보세요. 한내각의크기가 90 인정사각형 개, 한내각의크기가 인정육각형 개, 한 내각의크기가 인정십이각형 개가한꼭짓점에모이면전체각의크기가 되어테셀레이션을만들수있다. 360 가 15
수학 Ⅱ 선택프로그램 3) 정삼각형과정사각형, 정육각형을여러개이용하여테셀레이션을만들려고한다. 다음물음에답하고빈칸에종이타일을빈틈없이붙여보세요. 한내각의크기가 60 인정삼각형 개, 한내각의크기가 90 인정사각형 개, 한 내각의크기가 인정육각형 개가한꼭짓점에모이면전체각의크기가 어테셀레이션을만들수있다. 360 가되 16
알록달록수학세상 Ⅱ 4) 정삼각형과정십이각형을이용하여테셀레이션을만들려고한다. 다음물음에답하고빈칸에종이타일을빈틈없이붙여보세요. 한내각의크기가 짓점에모이면전체각의크기가 60 인정삼각형 개, 한내각의크기가 인정십이각형 개가한꼭 360 가되어테셀레이션을만들수있다. 5) 정삼각형과정육각형을이용하여테셀레이션을만들어보자.( 모두 2 가지) 다음물음에답하고빈칸에종이타일을빈틈없이붙여보세요. (1) 한내각의크기가 60 인정삼각형 4개와한내각의크기가 인정육각형 개가 한꼭짓점에모이면전체각의크기가 360 가되어테셀레이션을만들수있다. 먼저주어진 점을중심으로배열한후평면전체로확장한다. 17
수학 Ⅱ 선택프로그램 (2) 이제위의 (1) 과다르게테셀레이션을만드는경우를찾아보자. 한내각의크기가 인정삼각형 개와한내각의크기가 인정육각형 2개가한꼭짓 점에모이면전체각의크기의합이 360 가되어테셀레이션을만들수있다. 먼저주어진 점을중심으로배열한후평면전체로확장한다. 이때한꼭짓점에모이는정삼각형의개수는 개이고, 정육각형의개수는 개이다. 6) 정삼각형과정사각형을이용하여테셀레이션을만들어보자.( 모두 2 가지) 다음물음에답하고빈칸에종이타일을빈틈없이붙여보세요. 한내각의크기가 60 인정삼각형 3개와한내각의크기가 인정사각형 개가한꼭짓 점에모이면전체각의크기가 360 가되어테셀레이션을만들수있다. 배열방법은두가 지가있다. 먼저주어진점을중심으로배열한후평면전체로확장한다. (1) 우선첫번째경우를만들어봅시다. 18
알록달록수학세상 Ⅱ (2) 위의 (1) 과다르게테셀레이션을만드는경우를찾아보자. 7) 여섯개이상의정다각형들에의하여한점이둘러싸인준정테셀레이션은존재하는가? 존재하지않으면그이유를적어라. 8) 준정테셀레이션은모두몇가지존재하는가? 19
수학 Ⅱ 선택프로그램 [ 부록1] : 종이타일붙이는예시 20
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수학 Ⅱ 선택프로그램 [ 부록2] : 종이타일 ( 두꺼눈색지에출력하여오려붙인다.) 22
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수학Ⅱ 선택프로그램 3. 테셀레이션 작품제작 - 테셀레이션의 활용 가. 테셀레이션 원리를 이용한 나(팀 작업)만의 테셀레이션 작품 창작 기본도형 변형하여 유닛 만들기 오려둔 유닛들을 정성스럽게 붙이기 완성작품 또 다른 학생들의 작품 나. 준비물 : 기본도형 구안, 자, 콤파스, 색연필 [참고자료] 1. 2004. 한은순. 수학의 아름다움 테셀레이션 2. 2005. 남호영. 매직큐브. 인천시동부교육청 연수자료 3. 2009. 김민정(루트팀). 정사면체의 합동분할. Math Festival 프로시딩 4. 2009. 최소희. 깎은 정팔면체의 변신 5. 2009. 정종식. 정사면체의 분할 24
알록달록수학세상 Ⅱ 구면테셀레이션 대상학년전학년가능분야수학+ 기술가정+ 미술 학습목표 준비물 1. 구면기하학과구면테셀레이션의의미를이해하고이것의수학적의미를 안다. 2. 우드락볼을이용하여구면테셀레이션을작도할수있다. 3. 월드컵공식지정볼인브라주카를작도할수있다. 4. 나만의구면테셀레이션의테셀레이션작품을만들수있다. 학습지, 필기도구, 콤파스, 원목쌓기나무, 송곳, 이쑤시개, 우드락볼, 모나미유성매직, 노란색형광펜 1. 구면테셀레이션 가. 구면테셀레이션이란? 1) 개념 구면테셀레이션은말그대로평면이아닌구면위의테셀레이션이다. 즉, 평면을동일한 기하학적무늬로채워나가는것을평면테셀레이션이라고하는것처럼구면을동일한기하학 적무늬로채워나가는것을구면테셀레이션이라한다. 2) 구면기하학(spherical geometry) 이란? 평면기하학에서항상성립되는성질이구면기하학에서는 성립되지않는경우가있다. 그래서평면위의도형을연구하 는평면기하학 ( 유클리드기하학) 과구면기하학은구분된다. 그림에서처럼평면에서는항상삼각형의내각의합이 180 이지만구면에서그려지는삼각형의내각의합은 180 보다커진다. 우리는지금까지삼각형의세내각의합 이 180 라는것에대해의심의여지없이당연한진리로받 아들였지만구면에서삼각형의세내각의합은항상 180 가넘는다. 이때삼각형의면적이클수록세내각의합도 커진다. 25
수학 Ⅱ 선택프로그램 3) 구면테셀레이션의작도원리 평면이아닌구면테셀레이션의작도원리는구면위의선을어떻게이해하는가에달려있 다. 구면위의선은구내부에정다면체를넣고구의중심에서빛을쏘았을때, 구의표면에 생기는정다면체의그림자를의미한다. 정사면체정육면체정팔면체정십이면체정이십면체 2. 구면위에나타난정다면체의그림자원리 1) 정사면체의그림자그리기 : 구의반지름을알때구에내접하는정사면체한변의길이를구하여콤파스를이용하여 구면위에정사면체를작도한다. 26
알록달록수학세상 Ⅱ 2) 정팔면체의그림자그리기 : 구의반지름을알때구에내접하는정팔면체한변의길이를구하여콤파스를이용하여 구면위에정팔면체를작도한다. 3) 정이십면체의그림자그리기 : 구의반지름을알때구에내접하는정이십면체한변의길이를구하여콤파스를이용하 여구면위에정이십면체를작도한다. 27
수학 Ⅱ 선택프로그램 4) 정육면체의그림자그리기 : 구의반지름을알때구에내접하는정육면체한변의길이를구하여콤파스를이용하여 구면위에정육면체를작도한다. ( 쉽게그리는방법) 정육면체의그림자의작도는정팔면체와의쌍대의성질을이용하여그 린다. 먼저정팔면체의그림자를그린후, 각면의중심을찍어꼭지점으로이으면정육면체 가나타난다. 구의반지름 OA OB OC O P 이고, 점 G 가 ABC 의무게중심이면, AB, AD BG AD 삼각뿔의부피 O ABC A OBC 이므로 OG, OG PG PO O G P GB 에서피타고라스의정리에의해 PB BG PG PB 이므로, 28
알록달록수학세상 Ⅱ 5) 정십이면체의그림자그리기 : 구의반지름을알때구에내접하는정십이면체한변의길이를구하여콤파스를이용하 여구면위에정십이면체를작도한다. ( 쉽게그리는방법) 정십이면체의그림자의작도는정이십면체와의쌍대의성질을이용하 여그린다. 먼저정이십면체의그림자를그린후, 각면의중심을찍어꼭지점으로이으면 정십이면체가나타난다. 구의반지름 OA OB OC O P, 정이십면체의한변의길이를 라고하면, 한변의길이가 인정오각형의대각선의길이는 이고외접구의반지름 OA 는황금사각형의대각선의길이의반이되어 OA OG 의길이를구하기위해서 BG 의길이를구하면된다. BG OG 따라서 PG OP OG 이고 OP OA이므로 PG PGB 에서피타고라스의정리에의해 PB 이므로 따라서, PB 29
수학 Ⅱ 선택프로그램 3. 구면테셀레이션체험활동 가. 구면위에정다면체작도하기 1) 준비물 : 그림참조 + 유성매직펜등색칠도구 2) 구의반지름을알때정다면체한변의길이 4cm 구 6cm 구 8cm 구 정사면체 : 3.26cm 정육면체 : 1.8cm 정팔면체 : 2.8cm 정십이면체 : 1.28cm 정이십면체 : 2.1cm 정사면체 : 정육면체 : 정팔면체 : 정십이면체 : 정이십면체 : 정사면체 : 정육면체 : 정팔면체 : 정십이면체 : 정이십면체 : 30
알록달록수학세상 Ⅱ 3) 구면테셀레이션체험활동 : 구면위에정다면체작도하기 콤파스로구에내접하는정사면체한변의길이를정하여구면위에서정사면체의그림자를그린다. 정팔면체의각면의중심을이으면정육면체의그림자가나타난다. 콤파스로구에내접하는정팔면체한변의길이를정하여구면위에서정팔면체의그림자를그린다. 정이십면체의각면의중심을이으면정십이면체의그림자가나타난다. 콤파스로구에내접하는정이십면체한변의길이를정하여구면위에서정이십면체의그림자를그린다. 각면을색칠도구로칠하여완성한다. 31
수학Ⅱ 선택프로그램 4) 구면 테셀레이션 체험활동 : 구면 위에 준정다면체 작도하기 32 깎은 정사면체 - 정사면체의 네 꼭짓점을 정삼각형으로 깎은 형태 (정삼각형 4개 + 정육각형 4개) 깎은 정팔면체 - 정팔면체의 꼭짓점을 정 사각형으로 깎은 형태 (정사각형 6개 + 정육각형 8개) 깎은 정이십면체 - 정이십면체의 꼭짓점 을 정오각형으로 깎은 형태 (정오각형 12개 + 정육각형 20개) 육팔면체 - 정팔면체를 그린 후 각 변의 중점에서 처음과 같은 반지름으로 원을 그 린 형태 (정삼각형 8개 + 정사각형 6개) 십이이십면체 - 정이십면체를 그린 후 각 변의 중점에서 처음과 같은 반지름으로 원을 그린 형태 (정삼각형 20개 + 정오각형 12개) 각 면을 유성매직으로 색칠하여 완성한다.
알록달록수학세상 Ⅱ 5) 구면테셀레이션체험활동 : 브라주카작도하기 정팔면체의그림자를구위에그린후삼각형의중심을찾는다. 삼각형의중심에서각꼭짓점까지선분을긋는다. 각변의중점과삼각형의중심을선분의 1/4지점을이어바람개비모양처럼그린다. 그림과같이곡선모양의바람개비가되도록선분의 1/4 지점들을부드러운곡선으로이어준다. 테두리선을중심으로십자형태의바람개비모양을그린다. 삼색의유성매직으로바람개비를색칠한다. ( 주의 : 삼색을한꺼번에칠하지말고바람개비한개에한가지색으로채색 ) 중간부분은짙은색으로칠하면완성. 33
수학 Ⅱ 선택프로그램 6) 학생활동계산지 [ 참고자료 ] 1. http://www.mathlove.org/ 준정다각형테셀레이션, 최노성 2. 체험으로즐기는수학 김부윤, 이지성 3. http://blog.naver.com/badang25/ : 아름다운수학, 김영관 4. http://blog.naver.com/badang25/120200545930 5. http://blog.naver.com/badang25/120188875077 6. 전수연워크숍자료 - 영주여고백상숙 34
알록달록수학세상 Ⅱ 정다각형의작도 대상학년전학년가능분야수학+ 기술가정+ 미술 학습목표 1. 작도의개념을이해할수있다. 2. 작도가능한정다각형을탐구하고이해할수있다. 3. 다양한방법으로정다각형을작도할수있다. 준비물 학습지, 필기도구, 콤파스, PPT, 자, http://www.youtube.com/watch?v=8elskqi3ffs 1. 작도의개념 눈금이없는자와컴퍼스만으로도형을그리는것을작도라고한다. 눈금이없는자는직선 을긋는데사용하고컴퍼스는원을그리는데사용한다. 유클리드원론에작도가두드러지게 다루어지고있으므로작도를유클리드작도(Euclidean constructions), 플라톤작도라고도한 다. 정삼각형, 정사각형, 정오각형의작도는유클리드에의해해결되었지만 17이상의페르마소 수에기초한정다각형의작도는고대인들이해결하지못했다. 정17각형의최초의작도는 1800년경 Johannes Erchinger 가해결했고, 정257각형의작도는 1832년 Richelot와 Schwendenwein 가해결했다. 2. 정다각형작도 가. 정삼각형의작도 1) 반지름이같은두원이용 1 반지름이같은두원을서로의중심을지나도록그린다. 2 두원의중심 와두원의교점 를연결하면세변의길이가원의반지름의길이와같은정삼각형이된다. 35
수학 Ⅱ 선택프로그램 작도방법 1 반지름 AB 를한변으로하는정삼각형의작도 작도방법 1의증명 2) 주어진원에내접하는정삼각형작도 1 원 라한다. 의중심을지나는임의의직선을작도하여원과직선이만나는점을각각점 2 점 를중심으로반지름이 AO 와같은원을작도하여두원의교점을점 라한다. 3 이다. 점 를연결하고점 를연결하고점 를연결하면삼각형 는정삼각형 작도방법 2 주어진원에내접하는정삼각형작도 작도방법 2의증명 36
알록달록수학세상 Ⅱ 3) 정삼각형의작도방법발견하기 작도방법 3 작도방법 3의증명 4) 정육각형, 정십이각형의작도정삼각형을그린뒤, 원의중심과변의중점을잇는직선을그려원과만나는점을정삼각형의꼭지점과연결하면정육각형을작도할수있다. 마찬가지로정육각형의변의중점과원의중심을잇는직선을그려원과만나는점을연결하면정십이각형을작도할수있다. 37
수학 Ⅱ 선택프로그램 나. 정사각형의작도 1) 원에내접하는정사각형작도 1 원의중심을지나는선분을긋는다. 2 지름의양끝점에서지름의수직이등분선을작도한다. ( 주어진원의반지름보다약간크게컴퍼스의크기를조절한후반원을그린다. 양끝점에서하나씩그린다.) 3 반원의교점을자를이용하여선분을긋는다. 4 원과선분들의교점을연결하면원에내접하는정사각형을작도할수있다. 작도방법 1 원에내접하는정사각형작도 작도방법 1의증명 2) 반지름이같은두원이용 1 반지름이같은두원을서로의중심을지나도록그린다. 2 두원의중심인점 를연결하고, 두원의교점을연결한후, 수평선과수직선이만 나는점을점 라한다. 3 점 라한다. 를중심으로반지름의길이가 와같은원을작도하여수직선과만나는점을점 4 점 와, 점 와, 점 와, 점 와 를각각연결하면사각형 는정사각 형이다. 38
알록달록수학세상 Ⅱ 작도방법 2 반지름 AB 를대각선으로하는정사각형의작도 작도방법 2의증명 3) 주어진선분을한변으로하는정사각형작도 1 점 를중심으로반지름의길이가선분 와같은두원을작도한다. 2 의연장선을작도하여원과연장선이만나는두점을각각점 라한다. 3 의수직이등분선과 의수직이등분선을작도하여원과만나는점을각각점 라한다. 4 점 를각각이웃하는점과연결하면사각형 는정사각형이다. 39
수학 Ⅱ 선택프로그램 작도방법 3 주어진선분을한변으로하는정사각형작도 작도방법 3의증명 4) 정사각형의작도방법발견하기 작도방법 4 작도방법 4의증명 40
알록달록수학세상 Ⅱ 다. 정오각형의작도 1) 황금분할을이용한정오각형작도 1 주어진 AB 의수직이등분선을작도하여그중점을 이라한다. 2 AB MO 를만족하는점 를수직이등분선위에잡는다. 3 점 와점 를연결하는직선을작도하여 AM OD 가되는점 를점 반대편에잡는다. 4 점 를중심으로반지름이 O D 와같은원을작도하여수직이등분선과만나는점을점 라고하면 AE 는오각형의한대각선이된다. 5 점 를중심으로반지름이 AB 와같은원을작도하여교점을구한다,. 6 꼭지점을연결하면정오각형이된다. 작도방법 1 황금분할을이용한정오각형작도 작도방법 1의증명 41
수학 Ⅱ 선택프로그램 2) 정오각형의작도방법발견하기 작도방법 2 작도방법 2의증명 42
알록달록수학세상 Ⅱ 다. 정육각형의작도 1) 반지름이같은세원을이용한정육각형작도 1 반지름이같은세원을서로의중심을지나도록나란히작도한다. 2 원들의교점 4 개와양끝원의중점을이웃하는점끼리연결하면정육각형이완성된다. 작도방법 1 반지름이같은세원을이용한정육각형작도 작도방법 2의증명 2) 정삼각형을이용한작도 43
수학 Ⅱ 선택프로그램 라. 정12각형의작도 1) 정육각형을이용한작도 마. 정15각형의작도 1) 정삼각형과정오각형을이용 1 원에내접하는정삼각형 를작도한다. 2 점 를한꼭지점으로하는정오각형 를작도한다. ( 정삼각형은원의호를정확 히삼등분하므로 안에는정15 각형의열다섯개의변중다섯개의변이들어간다. 정오각 형은원의호를정확히다섯등분하므로 안에는정15각형의열다섯개의변중세개의 변이들어간다. 그러므로 안에는정확히두개의변이들어간다.) 3 점 을점 라한다. 4 점 를연결하여 를작도한후 의수직이등분선을작도하여원과만나는점 를중심으로컴퍼스의너비가변하지않게하여원을둘러가며점을찍으면꼭같 은거리만큼의점이 15 개존재한다. 44
알록달록수학세상 Ⅱ 바. 정17 각형의작도 : 1893년리치몬드작도법 1 먼저원의지름 에서원의중심 를찾고점 에서 AB 와수직인 CD 를그린다. 2 CD 의중점을 라고두고 BE 를그린다음 를이등분하는 EG 를그리고다시 를이등분하는 EF 를그린다. 3 DE 를그리고 에서 EF 에수직인직선을그린다. 45
수학 Ⅱ 선택프로그램 4 를이등분하는 EH 를그린다. 5 BH 를지름으로하는원을그리고그원이 CD 와만나는점을 라고한다음, 점 를중심으로하고 FI의길이를반지름으로하는원을그린다. 그리고점 를중심으로하는원이지름 에서만나는점에서 AB 에수직한직선을그리고그직선이원 와만나는점을 라고하면현 의길이를알수있다. 현 와같은길이의현을원안에열일곱번그려서정17 각형을그릴수있다. 3. 작도가능성판정 정다각형을작도하다보면작도가될때도있고안될때도있다. ' 어떤정다각형은작도가 가능하고어떤정다각형은작도가불가능한가' 라는질문으로이어졌다. 작도가능한정다각형 의판정방법은다음과같다. 만약 n이 2 의거듭제곱과서로다른페르마소수의곱들로이루어져있을때, 정n각형은 작도가능하다. 즉다시말해서, 정다각형의작도가능공식은다음과같다. 1) n 이페르마수일경우, 즉 의꼴의수중에서소수라면작도가능하다. 2) n 이서로다른페르마소수들의곱일경우작도가능하다. 3) 정n각형이가능할경우정2n 각형도가능하다. 의꼴로나타나는수를알아보자. 예를들어 (1) n=0 이면, = 3 이므로정삼각형은작도가능하다. (2) n=1 이면, = 5 이므로정오각형은작도가능하다. (3) n=2 이면, = 17 이므로정십칠각형은작도가능하다. (4) n=3 이면, = 257 이므로정257 형은작도가능하다. 또한이렇게구한 3, 5, 17에서 이므로정십오각형은작도가능하고, 이 므로정51 각형도작도가능하다. 물론 5x17=85에서정85 각형도작도가능하다. 46
알록달록수학세상 Ⅱ 작도가능성판정 관련역사 정3각형 정4각형 정5각형 정6각형 정7각형가우스(1777-1855) 1796년 3월 30일 정8각형 정9각형 =40도작도불가능 정10각형정11각형가우스(1777-1855) 1796년 3월 30일정12각형정13각형가우스(1777-1855) 1796년 3월 30일정14각형정15각형정16각형 정17각형 가우스(1777-1855) 1796년 3월 30일그러나가우스가실제작도한것은아니다. 실제작도는 1800년경 Johannes Erchinger. 정18각형정19각형정20각형정257각형 1832년 Richelot Schwendenwein가작도함 정65537각형정4294967297각형 1900년경 Hermes가괴팅겐대학에서 10년간 작도에시간을보냄 4294967297= 641 6700417 소수아님 1732 년오일러발견 47
수학 Ⅱ 선택프로그램 일차함수와스트링아트 : 나도예술가 대상학년전학년가능분야수학+ 기술가정+ 미술 학습목표 1. 함수의규칙성을이용하여무수한직선으로곡선을나타낼수있는데 이것이스트링아트임을이해한다. 2. 다양한패턴의스트링아트를이용하여생활소품을제작할수있다. 준비물 가위, 자, 폼보드 + 우드락, 핀침, 바늘, 털실또는두꺼운색실, 색볼펜, 송곳, 색도화지( 엽서제작용), 활동지 1. 들어가며 - 멋진생활소품들이있다. 언뜻보면부드러운곡선들로가득차있는것처럼보인다. 자 세히들여다보자. 쿠션귀걸이리폼한가방 - 자이제눈을크게뜨고숨은직선을찾아보자. - 무수히많은직선들이서로어떻게교차하고있는지관찰하자. - 부드러운곡선은어떻게만들어졌을까? 2. 활동Ⅰ: 함수의규칙성과곡선 가. 규칙성을이용해서직선으로곡선만들기 1 48
알록달록수학세상 Ⅱ 빈칸을완성하고순서쌍으로나타내어보자. 1 2 3 4 5 6 14 15 16 17 18 19 19 1 순서쌍 : 1) 가로축을, 세로축을 라하고위순 서쌍의 값과 값을직선으로이어보자. 어 떤모양이될까? 2) 1) 과다른모양이나올수있도록나만 의함수를만들어 값과 값을직선으로 연결해보자. 함수식 : 함수식 : 3) 또다른모양이나올수있도록나만의 함수를만들어직선으로연결해보자. 4) 또다른모양이나올수있도록나만의 함수를만들어직선으로연결해보자. 함수식 : 함수식 : 49
수학 Ⅱ 선택프로그램 함수식의변화에따라나타나는곡선에는어떤차이가있는가? 나. 규칙성을이용해서직선으로곡선만들기 2 이번에는원모양을이용해규칙성을찾고곡선을만들어보자. 1) 직선을이용하여큰원안에또다른원을그려보았다. 직선을그릴때사용한규칙성이무엇인지찾아보자. 2) 규칙성을두개이성적용하여직선을겹쳐그리면두개의원이나타날수있다. 직선규칙성 : 예시자료 50
알록달록수학세상 Ⅱ 3) 나만의규칙성을정하여직선을그려보자. 어떤곡선이나타나는가? 4) 또다른규칙성을정하여직선을그려보자. 어떤곡선이나타나는가? 직선규칙성 : 직선규칙성 : 규칙성의변화에따라나타나는곡선에는어떤차이가있는가? 3. 활동Ⅱ : 다양한도안과스트링아트 스트링아트(String Art) 란수학적규칙을활용하여 직선 만을사용하여곡선의아름다운모양을만들어내는예술이다. 다양한도안을이용하여표현해보자. 51
52 수학 Ⅱ 선택프로그램
알록달록수학세상 Ⅱ 4. 활동Ⅲ : 나만의생활소품만들기 점의개수( 간격), 색, 다양한재료등을고려하면다양한스트링아트작품이가능하다. 스트링 아트는직선을연결하여생기는교점을통해다양한곡선을표현하는일종의착시현상으로미술과 수학이융합된예술활동이다. 스트링아트를이용하여나만의작품을완성하여보자. 가. 벽걸이생활소품만들기 준비물 : 우드락, 접착폼포드, 두꺼운색실 또는털실, 핀침또는압정, 원모양의종이 컴퍼스 A1 사이즈색깔우드락에접착식폼보드를 붙여서두꺼운판을만든다. 그림처럼 6등분하여 1 장씩나누어갖는다. 원모양의종이컴퍼스를원하는만큼균등하게접는다. 우드락( 폼보드) 판위에접힌원을대고원둘레의접힌부분에일정하게핀을꽂는다. 핀이꽂히면그림과같다. 핀을촘촘하게꽂고싶으면종이원을더촘촘히접으면된다. 이제색실을이용하여시작하는핀에고정시켜묶은뒤일정한간격으로스트링아트를표현하면된다. 53
수학 Ⅱ 선택프로그램 완성작품사진찍어서붙이기 [ 예시작품] 내방문에걸어두면훌륭한생활소품이된다. 벽걸이예시안 벽걸이예시안 응용단계 : 왠지핀침은좀번거롭고위험하기도하다. 핀침을사용하지않고실을고정시 키는방법은없을까? 아래그림을참고해서다양한아이디어를생각해보자. 일정한간격으로구멍을뚫었다. 일정한간격으로홈을팠다. 54
알록달록수학세상 Ⅱ 간편한스트링아트도구만들기위한나만의아이디어 ( 뒷면에계속) 55
수학 Ⅱ 선택프로그램 나. 스트링아트엽서만들기 엽서도안을색실로할지색볼펜으로할지먼저결정한다. 스트링아트도안을색도화지에복사하거나그려둔다. 공통준비물 엽서용색지 : 스트링아트도안지, 1) 색실, 바늘, 가위, 송곳 2) 색볼펜, 자 색실로작업하는경우 ) 먼저엽서용색지위에스트링아트도안을올려놓고송곳으로바늘구멍을뚫어놓는다. 송곳으로뚫은구멍사이로색실을이어 스트링아트를한다. 수업시간에나누어준도안또는자신이 새롭게고안한도안을이용하여스트링아 트를완성한다. 색볼펜으로작업하는경우 ) 색볼펜을이용하여점과점들을직선으로 연결해곡선을디자인한다. 만들어진작품을멋지게꾸며서엽서를완성한다. 완성한엽서는곧장사연을적어띄워보낸다. 56
알록달록수학세상 Ⅱ 다양한아이디어로스트링아트엽서완성해서사진찍어붙이기 [ 예시작품] 엽서예시안엽서예시안엽서예시안 마무리하면서활동소감쓰기 57
지도서은희( 인천광역시교육청교육혁신과장학사) 전영대( 인천광역시교육과학연구원교육연구사) 표혜영( 부평동중학교교감) 염인식( 영종중학교교감) 기획인천광역시자유학기제교사연구회 집필부평동중학교교사김정란 돋을볕 발간등록번호 : 인천교육-2014-0261