POSTCH 이성익교수의 양자세계에관한강연 - 4 장 - 편집도우미 : POSTCH 학부생정윤영
Chpter 4 One-Diensionl Potentils du x x= u x u x + = V, x < = V, x> du x = ( V) u( x) x<, du x = u x = k u x ikx ikx u( x) = e + R e k = x>, ( ) du x V = u x = q u x q = ( ) V iqx T e u x =
j * dψ dψ ψ ψ : Continuity ity eqution i * = x<, x>, ikx ( ( ) * ikx ikx ikx ikx * ikx ikx ikx e R e ike Rike ike + R ike e + Re ) j = + i k = q j = T ( R ) ( ) k R = qt x= 에서의 boundry condition 을적용하면, + + = ψ ( ε ) = ψ ( ε ) R T ( ) k R T ' ' + ( ψ ε = ψ ε ) = q k T = k R = q k + q k+ q ( k q) 4kq ( k+ q) ( k+ q) k( R ) = k = = q T 3
x= V, x < = V, x> x<, ikx ikx u( x) = e + R e k = x>, Qx = T e Q= ( V ) u x + R = T ( ) ik R = Q T T = iq + k iq R = k iq + k Potentil Well = V =-V x=- x= V, < x< =, otherwise 4
ikx ikx x<-, u( x) = e + R e iqx iqx -<x<, u( x) = A e + B e u x = T e x>, ikx k = q = ( + ) V q ( R ) ( A B ) k = = k T (by the continuity eqution) x=- & x= 에서의 boundry condition 을적용하면, e + R e = A e + B e ik ik iq iq ike R ike = A iqe B iqe ik ik iq iq Ae + Be = T e iq iq ik iq A e B e = ikt e ( ) iq iq ik ik q k e sin q R = sin q q + k iqk cos q T = e ik kq kq cosq i q + k sinq. 이면, k, T, & R 이다. 하지만고전역학적으로생각해보면 인조건에서 T 이될수없다.. sin q = 이면, R= & T =. 5
= x=- x= V =-V V, < x< =, otherwise q = kx C e, x< kx u( x) = C e, x> A cos qx + B sin qx, x V ( + ) k = x=- & x= 에서의 boundry condition 을적용하면, k C e = A cos q B sin q k kc e = qa sin q + qb cos q k C e = A cos q+ B sin q k kc e = qa sin q + qb cos q A or B = ven prity, kx e, x< kx u( x) = e, x> A cos qx, x x= 에서 syetric 하므로, x= 에서 boundry condition 을만족하면 x=- 에서도만족할것이다. 즉, x= 에서의 boundry condition 만따져주면된다. 6
k e = A cos q k ke = qa sin q sin q k = q = qtn q cos q = ( + V ) = tn q = tn + V tn q ( + V ) V 로정의하면, ( + V) V = = + V ( + V) ( + V) q y = = q y tn y = y y < π, π < < π,, 한개 두개 Potentil 이아무리얇아도최소한 개의 energy stte 가존재한다. 7
Odd prity, cot q = = qcot q y y y = cot q y π < 이면, 해가존재하지않는다. Potentil Brrier x=- x= V = V, < x< =, otherwise T = ( κ k ) ( κk) ( κ k ) + + sinh κ κ >>, κ κ sinh κ = ( e e ) e 6k 4κ T e κ κ 8
Single Delt-Potentil Well x= = V(x) = δ ( x) du x + u x = ε ε. u( x) ε du x δ = + + ( 우변) ( 좌변) = ( x). u( x) u( x) + ε du x = δ ( x) u( x) ε ( u ' + u ' ε ( ε )) u ( ) = = + ' ( ε ) ( ε ) ( ) ' u u u ε du x κ u ( x) = κ = x<, x>, x = e κ x u( x) = e κ u x 9
κe κe = κ = κ κ There exists only one even solution. There exists no odd solution. Solution 이존재할조건.. u() 에서연속.. u () 에서 boundry condition 만족. 3. u(x) 가 well define 된다. ( 적분값이유한하다.) Double Delt-Potentil Well x=- x= = V(x) ven solution, κ x e, x< u( x) = A cosh κ x, x κ x e, x> V( x) = δ ( x ) + δ ( x + ) κ = x=에서 boundry condition을적용, κ e = A coshκ κ κe Aκ sinhκ= e κ
tnhκ = κ < < κ < κ κ > There lwys exists even solution. (Single Delt-Potentil Well에서는 κ = ) Odd solution, κ x e, x< u( x) = A sinh κ x, x κ x e, x> κ tnh κ = κ There y or y not exists odd solution. = kx Hronic Oscilltor k = w H p = + kx du x + = kx u x u x
식을간단하게하기위해 α 를다음과같이정의한다. α = w du y kα 4 α + y u y = u y dy α ε = = w du y ( ε y ) u( y) + = dy y ±일때, u du y y u ( y) = dy x α y = 라고가정하고 h(y) 를구한다. u y h y e y y y y y du dh dh e y e he y he = + dy dy dy dh dh = y + dy dy h y = y ( ε ) h 라고가정하고 prtil differentil eqution을푼다. = ( ε ) = y y + y = = = ( ) ( ε ) = + + y y + y + = = =
=, + ε =, ( )( ) ( ε ) + + = + + = + ( ε + ) ( + )( + ) 일때, + ε = N + h y = y+ y + y + y + e 4 6 4 6 y y y y u y = h y e e e = e contrdiction! This u(y) is not integrble.. 위의문제를해결하기위해서특정 값이상에서는 이 이되도록하여 h(y) 가 exponentil 함수가되지않도록한다. α ε = = ( 위의계산과정에서 ε을이와같이정의 ) w = N + w N =,,,3, 4, y h(y) 는 Herite Polynoil 로해가다음과같이구해져있다. N = ( y) HN = = HN = y = y H y = y 4 3 HN = 3 y = 8y y H y = y y + N = 4 4 6 48 3