제 3 장평활법 지수평활법 (exponential smoothing) 최근자료에더큰가중값, 과거로갈수록가중값을지수적으로줄여나가는방법 시스템에변화가있을경우변화에쉽게대처가능 계산이쉽고많은자료의저장이필요없다 예측이주목적단순지수평활법, 이중지수평활법, 삼중지수평활법, Winters의계절지수평활법 이동평균법 (moving average method) 평활에의해계절성분또는불규칙성분을제거하여전반적인추세를뚜렷하게파악 관측값전부에동일한가중값을주는대신에일부자료에만동일한가중값을준다. 분해법에서계절조정 (seasonal adjustment) 을하는데주로사용
3.1 지수평활법 3.1.1 단순지수평활법 : 국지적으로동일한평균수준을갖지만전체적으로는평균수준이변화가능한모형 => 새로운자료가관측될때마다변화의정보를수용하여 의추정값을갱신 시점 로부터 1- 시차후의 MMSE 예측값 예측오차 : 새관측값 관측후, 시점 에서의 의추정값은예측오차를이용하여수정 ( ) 이라놓으면
: 평활상수 (smoothing constant) : 초기평활값 : 단순지수평활 (simple exponential smoothing) 통계량 lim lim : 시점 까지의자료의가중평균 (weighted average) 값
의비편향추정량 (unbiased estimator) => 시점 에서 -시차후예측값 : 초기평활값 의선택방법 Brown (1962) 과 Montgomery와 Johnson(1976): Makridakis 와 Wheelwright(1978) : Abraham(1986) : 의후향예측값 (back forecast) 평활상수 의선택 - 의값이작으면평활의효과가커 은지엽적인변화에대해둔감하게반응 - 의값이크면평활의효과가작아 은최근의관측값에의해크게영향을받아시계열의지엽적인변화에대해민감하게반응
==> 시계열의수준변화가큰경우 : 1 초기평활값 선택 시계열의수준변화가완만할때 : 0 표본평균 선택 Brown(1962) : 0.05 와 0.3 사이의값 Montgomery(1976) : trend trend : 평활의차수, 단순지수평활의경우 trend=1 1- 시차후의예측오차 (1-step-ahead prediction error) 의제곱합 을최소로하는 선택 단순지수평활법의장점예측의갱신이쉽다직관적이고사용이용이이상점이나개입 (intervention) 의존재시 ARIMA 모형보다덜영향을받는다
단순지수평활법의단점평활상수 의선택이임의특정모형하에서만최적으로이론적으로미흡예측구간을구하기어렵다개별적인시계열의특성이무시됨 가중최소제곱법 (weighted least squares method) 의가중최소제곱추정량 : 예측구간의계산이가능
예제 3.1 단순지수평활에의한예측의예제 1986 년 1 월부터 1994 년 4 월까지의중간재출하지수자료 ( 평활상수 ) ( 평활상수 ) < 그림 3.1 & 3.3> 원자료와단순지수평활값시계열그림 를최소로해주는평활상수 : < 표 3.1> 예측오차의상관관계여부판단, < 표 3.3> 예측오차의자기상관계수와평균및표준오차
예측오차의자기상관계수가 표본의 크기 측오차간의자기상관관계가존재하는것으로판단 보다크다면그시차에서예 예측오차의평균이 0인지에관한검정귀무가설 예측오차의평균이 0이다. 대립가설 예측오차의평균이 0가아니다. 검정의유의확률은모두 0.10 보다도커서귀무가설을기각할수없음
< 표 3.3> 예측오차의자기상관계수 : 단순지수평활 ˆ
( 평활상수 ) ( 평활상수 ) < 그림 3.4 & 3.5> 예측오차의시계열그림
3.1.2 이중지수평활법시계열이선형추세에따라증가하는경우의시계열모형 : 서로독립이고평균 0 와분산, : 시간에따라변화하는미지의모수즉, 국지적으로는동일한추세를갖지만전체적으로는시간대별로추세가변화 단순지수평활통계량 의기대값 을 의예측값으로사용하면 만큼의편향추정이발생
이중지수평활 (double exponential smoothing) 통계량 ==> 시점 에서의절편 와기울기 의추정량 :
시점 에서의 의추정값 : 시점 에서미래값 의이중지수평활법에의한예측값 초기평활값 과 의값 : 최소제곱추정값 평활상수 : Brown(1962) 권장 일모수이중지수평활법 : 하나의평활상수 를이용하여 과 계산 Holt(1957) 의이모수이중지수평활법 서로다른평활상수를사용하여 과 계산
예제 3.2 이중지수평활에의한예측의예제월별주가지수, 첫번째관측시점 1984년 1월 ( 자료출처 : 한국증권연감 ) < 그림 3.6> : 원시계열의추세가시간대별로변화 => 이중지수평활법적용평활상수 : 가최소가되는 사용 < 그림 3.6> : 1-시차후예측값이점선으로표시마지막시점이후 6개월간의예측값과 95% 예측구간의상한값과하한값 : 직선 < 표 3.4> : 1-시차후예측값과예측오차귀무가설 예측오차의평균이 0이다. 대립가설 예측오차의평균이 0이아니다. 검정의유의확률 : 0.8475, < 표 3.5> 예측오차의자기상관계수 : 시차 2, 3, 7, 9, 10, 12 에서 ==> 자기상관이존재한다고판단 보다큼
< 그림 3.6> 주가지수자료와이중지수평활된값의시계열그림
예측오차분산이시간대에따라다름 < 그림 3.7> 예측오차의시계열그림 : 이중지수평활
3.1.3 삼중지수평활법
시점 에서미래값 의예측값 : 삼중지수평활 (triple exponential smoothing) Brown(1962) : 권장
3.2 Winters 의계절지수평활법 시계열이계절성분과같이일정한형태의주기를가지고움직일경우 가법계절모형 (additive seasonal model) 시계열의평균수준이시간의흐름에따라변화하지만그변동의폭, 즉, 분산이시간의흐름에관계없이일정한경우 (homogeneous) 승법계절모형 (multiplicative seasonal model) 분산이시간의흐름에따라점차로커지는경우 3.2.1 Winters의가법계절지수평활법 Winters의가법계절모형 (Winters' additive seasonal model), Winters(1960) 시계열의변동폭이시간의흐름에관계없이동일한경우 : 추세성분 : 계절주기 를가지는계절성분 : 오차항으로서불규칙성분
추세성분 : 선형추세가정 개의가법계절성분에대한가정, ==> 시점 에서미래값 의예측값 : 각성분들을평활법에의해추정, 과 의갱신 :
단, 는 0 과 1 사이의값을갖는서로다른평활상수 초기평활값,, IND ti IND ts t
3.2.2 Winters 의승법계절지수평활법 승법계절모형 (Winter's multiplicative seasonal model) 시계열변동의폭과계절주기의폭이추세에비례하여변화할때사용 : 추세성분 : 계절주기 를가지는계절성분 : 오차항으로서불규칙성분 개의승법계절성분에대한가정, 시점 에서미래값 의예측값 :
, 과 의갱신 : 단, 는 0과 1 사이의값을갖는서로다른평활상수 초기평활값,, : 매계절주기간격내의관측값들의평균을구한후
이들을이용하여초기평활값,, (Winters, 1960). 단, 예제 3.3 Winters의계절지수평활에의한예측의예제 1981년 1월부터 1989년 12월까지의우리나라비행기승객자료 < 그림 3.8> : 변화하는선형추세와계절성분을가짐 ==> Winters의계절지수평활법을적용 평활상수 에서시작하여 0.1 씩증가시킨평활상수집합 에대하여 1- 시차후예측오차제곱합 을계산
가법모형 : =(0.4, 0.1, 0.7) 승법모형 : =(0.5, 0.1, 0.4) 1- 시차후예측값 과예측오차 예측력측도의통계량값인 MSE, MAPE, MAE ==> =(0.5, 0.1, 0.4) 를사용한 Winters 의승법계절지수평활법 Winters 의가법계절지수평활 Winters 의승법계절지수평활 < 그림 3.8 & 3.9> 지수평활된자료의시계열그림
< 표 3.6> 1- 시차후예측값과예측오차 : Winters 의계절지수평활
< 표 3.7> 예측오차의자기상관계수 : Winters 의계절지수평활 귀무가설 : 예측오차의평균이 0 이다. 대립가설 예측오차의평균이 0 가아니다. 검정의유의확률은모두 0.10 보다도커서귀무가설을기각할수없음
가법계절모형 : 시차 4 승법계절모형 : 시차 12 보다약간큰자기상관관계가존재예측오차의시계열그림가법모형 < 그림 3.10> 과승법모형 < 그림 3.11> 모두시간의흐름에따라예측오차의크기가커져예측의정확도가떨어짐 Winters 의가법계절지수평활 Winters 의승법계절지수평활 < 그림 3.10 & 3.11> 예측오차의시계열그림