1 1 장. 함수와극한 1.1 함수를표현하는네가지방법 1.2 수학적모형 : 필수함수의목록 1.3 기존함수로부터새로운함수구하기 1.4 접선문제와속도문제 1.5 함수의극한 1.6 극한법칙을이용한극한계산 1.7 극한의엄밀한정의 1.8 연속

1 1 장. 함수와극한 1.1 함수를표현하는네가지방법 1.2 수학적모형 : 필수함수의목록 1.3 기존함수로부터새로운함수구하기 1.4 접선문제와속도문제 1.5 함수의극한 1.6 극한법칙을이용한극한계산 1.7 극한의엄밀한정의 1.8 연속

2 1.1 함수를표현하는네가지방법 함수 f : D E 는집합 D 의각원소 x 에집합 E 에속하는단하나의원소 f(x) 를 대응시키는규칙이다. 이때 f(x) 를 x 에서 f 의함숫값이라한다. 집합 D 를함수 f 의정의역이라하고, 정의역의각 x 에대응하는 f(x) 의값전체의 집합을 f 의치역이라한다.

1.1 함수를 표현하는 네 가지 방법 다음과 같이 함수를 표현하는 네 가지 가능한 방법이 있다. (1) 말로 (언어로 설명) (2) 수로 (수표) (3) 시각적으로 (그래프) (4) 대수적으로 (명확한 식) 3

1.1 함수를표현하는네가지방법 4

1.1 함수를표현하는네가지방법 5

6 1.1 함수를표현하는네가지방법 앞으로는두집합 D 와 E 가실수의집합인함수를생각한다. 이런함수의그래프는 xy 평면에놓여있는곡선이다. 역으로, 어떤곡선이함수의그래프일까? 수직선판정법 : xy 평면의곡선이 x 에관한함수의그래프이기위한필요충분조건은 곡선과두번이상만나는수직선이존재하지않는것이다.

7 1.1 함수를표현하는네가지방법 조각마다정의된함수 (piecewise defined function): 어떤함수는정의역의부분 영역에따라다른식으로정의된다. 예제 : 다음과같은그래프를갖는함수 y = f(x) 의식을구하여라.

8 1.1 함수를표현하는네가지방법 함수 f 의정의역에속하는모든수 x 에대해 (1) f( x) = f(x) 가성립하면 f 를짝함수또는우함수라하고, (2) f( x) = f(x) 가성립하면 f 를홀함수또는기함수라한다. 우함수의그래프는 y 축에대해대칭이고기함수의그래프는원점에대해대칭이다.

9 1.1 함수를표현하는네가지방법 예제 : 다음함수가짝함수인지, 홀함수인지, 아니면어느것도아닌지를판정하라. (1) f(x) = x 5 + x (2) g(x) = 1 x 4 (3) h(x) = 2x x 2 예제 : 다음그림은함수 f : [ 5, 5] R 의그래프의일부이다. f 가짝함수일때 또는홀함수일때, f 의그래프를완성하여라.

10 1.1 함수를표현하는네가지방법 구간 I에서다음이성립할때, 함수 f는구간 I에서증가한다고말한다. x 1 < x 2 = f(x 1) < f(x 2) 비슷하게, 구간 I에서다음이성립할때, 함수 f는구간 I에서감소한다고말한다. x 1 < x 2 = f(x 1) > f(x 2)

11 1.2 수학적모형 : 필수함수목록 다음기본함수들은실세계현상의수학적모형을만드는데흔히이용된다. (1) 다항함수 : 일차함수, 이차함수, 삼차함수, (2) 거듭제곱함수 : f(x) = x a ( 단, a R), x 1 = 1 x, x1/n = n x (3) 유리함수 : f(x) = P(x) Q(x) ( 단, P 와 Q 는다항함수 ) (4) 삼각함수 : f(x) = sin x, cos x, tan x, csc x, sec x, cot x (5) 지수함수 : f(x) = b x ( 단, b > 0), e x (e = 2.71828 ) (6) 로그함수 : f(x) = log b x ( 단, b > 0), log e x = ln x

12 1.2 수학적모형 : 필수함수목록 다항함수 : ( 단, n 은음이아닌정수 ) P(x) = a nx n + a n 1x n 1 + + a 2x 2 + a 1x + a 0 여기에서 a 0, a 1, a 2,, a n 은상수이고, P(x) 의계수라고한다. 모든다항함수의정의역은 R = (, ) 이고, 최고차항의계수가 a n 0일때, 다항함수의차수는 n이다.

13 1.2 수학적모형 : 필수함수목록 거듭제곱함수 : f(x) = x a ( 단, a 는상수 ) 양의정수 n 에대하여 a = 1/n 일때의거듭제곱함수를거듭제곱근함수라한다. n 이짝수이면그정의역은 [0, ) 이고, n 이홀수이면그정의역은 (, ) 이다.

14 1.2 수학적모형 : 필수함수목록 유리함수 : 두다항함수 P 와 Q 의몫 f(x) = P(x) Q(x) 정의역은 Q(x) 0 인 x 의값전체로이루어진다.

15 1.2 수학적모형 : 필수함수목록 삼각함수 : 일반각 θ 에대하여 P(x, y) 가 θ 의종변에있는임의의점이고 r > 0 을 거리 OP 라할때 ( 오른쪽그림참조 ), 다음과같이정의한다. sin θ = y r, csc θ = r y = 1 sin θ cos θ = x r, sec θ = r x = 1 cos θ tan θ = y x, cot θ = x y = 1 tan θ tan θ 와 sec θ 는 x = 0 일때정의되지않고, cot θ 와 csc θ 는 y = 0 일때정의되지 않는다. 각도 θ 는 ( 별도로언급하지않으면 ) 언제나호도법 ( 라디안 ) 을사용한다.

16 1.2 수학적모형 : 필수함수목록 삼각함수의값 :

17 필수적인함수목록 삼각함수의그래프 :

1.2 수학적모형 : 필수함수목록 삼각함수의성질 : (1) 사인함수와코사인함수의정의역은모두 (, ) 이고치역은닫힌구간 [ 1, 1] 이다. 그러므로 x 의모든값에대해다음이성립한다. 1 sin x 1, 1 cos x 1 (2) 사인함수와코사인함수는모두주기가 2π 인주기함수이다. sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x (3) 탄젠트함수는 cos x = 0일때, 곧 x = ± π, ± 3π, 일때정의되지않고, 2 2 치역은 (, ) 이다. 탄젠트함수의주기는 π 이다. tan(x + π) = tan x 18

19 1.3 기본함수로부터새로운함수구하기 수직 수평이동 : c > 0이라하자. y = f(x) 의그래프를 위쪽으로 c 단위이동하면 y = f(x) + c의그래프, 아래쪽으로 c 단위이동하면 y = f(x) c의그래프, 오른쪽으로 c 단위이동하면 y = f(x c) 의그래프, 왼쪽으로 c 단위이동하면 y = f(x + c) 의그래프를얻는다. 그래프위의각점의 y 좌표가똑같은수 c 만큼증가한다. g(x) = f(x c) 라고하면, x 에서 g 의함수값은 x c 에서 f 의함수값과같다.

1.3 기본함수로부터새로운함수구하기 20

21 1.3 기본함수로부터새로운함수구하기 수직 수평확대와축소및대칭이동 : c > 1 이라하자. y = f(x) 의그래프를 수직으로 c 배늘리면 y = cf(x) 의그래프, 수직으로 c배줄이면 y = 1 f(x) 의그래프, c 수평으로 c 배줄이면 y = f(cx) 의그래프, 수평으로 c 배늘리면 ( ) x y = f 의그래프, c x 축에대해대칭시키면 y = f(x) 의그래프, y 축에대해대칭시키면 y = f( x) 의그래프를얻는다. 그래프위의각점의 y 좌표에똑같은수 c 를곱한다. 그래프위의각점 (x, y) 가점 (x, y) 로대체된다.

22 1.3 기본함수로부터새로운함수구하기 예제 : y = 1 sin 2x 의그래프는 f(x) = sin x 의그래프로부터어떻게얻어지는가?

23 1.3 기본함수로부터새로운함수구하기 예제 : 함수 y = x 의그래프를변환해서다음함수의그래프를그려라. y = x 2, y = x 2, y = x, y = 2 x, y = x

24 1.3 기본함수로부터새로운함수구하기 두함수 f 와 g 를결합시켜새로운함수 f + g, f g, fg, f/g 를생성할수있다. 합함수와차함수는다음과같이정의한다. (f + g)(x) = f(x) + g(x), (f g)(x) = f(x) g(x) f 의정의역이 A 이고 g 의정의역이 B 이면, f ± g 의정의역은교집합 A B 이다. 곱함수와몫함수는다음과같이정의한다. (fg)(x) = f(x)g(x), ( ) f (x) = f(x) g g(x) fg 의정의역은 A B 이고, f/g 의정의역은 {x A B g(x) 0} 이다.

25 1.3 기본함수로부터새로운함수구하기 두함수 f와 g의합성함수 ( 또는간단히합성 ) f g는다음과같이정의된다. (f g)(x) = f(g(x)) f g의정의역은 g의정의역에속한 x 중에서 g(x) 와 f(g(x)) 가모두정의되는것전체의집합이다. 일반적으로 f g g f 이다. f g 는먼저 g 를적용하고다음에 f 를적용한다는 사실을뜻함을기억하자.

26 1.3 기본함수로부터새로운함수구하기 예제 : f(x) = x 이고 g(x) = 2 x 일때, 다음함수와그정의역을찾아라. (a) f g (b) g f (c) f f (d) g g 세개이상의함수를합성할수있다. 예를들어, f g h 는먼저 h 를적용하고 다음에 g 를적용하며마지막으로 f 를적용하는것이다. (f g h)(x) = f(g(h(x))) 예제 : f(x) = x/(x + 1), g(x) = x 10, h(x) = x + 3 일때, f g h 를구하여라. 예제 : F(x) = cos 2 (x + 9) 을세함수의합성 F = f g h 로나타내어라.