기하학입문의강좌소개
집합과함수 선형함수 행렬 행렬식 연립방정식 선형사상 고유치고유벡터 좌표계
해석기하학 평면상의점과직선여러가지 2차곡선 2차곡선의성질과분류공간의점과직선과평면여러가지 2차곡면 2차곡면의성질과분류여러가지좌표계와주축변환
1. 기하학의역사
탈레스의업적 실용기하 => 이론기하, 논증기하로의첫발 개개의구체적인도형을벗어나서추상적, 일반적인도형에대한성질을연구 탈레스는피라밋의높이를측정하기도하고해안에서배까지의거리를측정하기도하였다.
맞꼭지각은같다, 탈레스의업적 이등변삼각형의양밑각은같다, 두각과그사이의변이각각같은두삼각형은합동이다, 닮은삼각형의대응하는변의길이의비는같다....
피타고라스 (Pythagoras; B.C. 582? ~ 497?) - 피타고라스학파를만들고수학과종교에대한연구 만물은수이다 - 기하와수론과의연관을연구
피타고라스학파의업적 피타고라스의정리 - 직각삼각형의변의길이를나타내는정수 ( 피타고라스의수 ) 를찾아냄 x 2 + y 2 = z 2 - 수론에서의단위 1 과기하에서의점을대응시키는방법을제시 -> 수직선 - 정사각형의대각선에대한연구로부터무리수 a 발견 - 5 개의정다면체의발견 - 정 4 면체, 정 6 면체, 정 8 면체, 정 12 면체, 정 20 면체
그리이스의수학 소피스트 (Sophsist) 들을중심으로 3대작도문제가연구되다. 1. ( 눈금없는자와컴퍼스를가지고 ) 임의의각을 3 등분하는것, 2. 주어진정육면체의두배의체적을갖는정6면체를만드는것, 3. 원과면적이같은정사각형을만드는것.
철학자플라톤 (Platon; B.C. 427?~347) 이나 논리학자아리스토텔레스 (Aristoteles; B.C.384~322) 에의하여 추론의형식, 정의, 공리에대한연구가추진되고그연역적전개방법이확립되어갔다.
유클리드 B. C. 300 년경알렉산드리아 (Alexandria) 에서활약한대수학자 톨레미 (Ptolemy) 왕이유클리드에게유클리드원론보다더가까운방법으로기하학을할수없겠느냐고물었을때, 유클리드는 기하학에는왕도가없읍니다. 라고대답하였다.
유크리드의업적 프로클러스 (Proclus; A.D. 410~485) 의저서에다음의기록이남아있다 유클리드는유독소스 (Eudoxus) 의많은정리를편집하였고테아테토스 (Theaetetus) 의많은정리를완전하게만들었다. 또그이전사람들이엄밀하게증명할수없었던것에반대의여지가없는완전한증명을주었다.
수학자의필독서 - 원론 원론의규모의크기, 연역적체계의엄밀성등은그이후의수학에큰영향을주었다. 즉수학이라는학문의방법론 ( 정의, 공리에서올바른추론을되풀이해서정리를증명해나가는방법론 ) 은이원론에의하여확정되었다고해도과언이아니다. 그것은직관적진리, 경험적진리, 수학적진리사이의차이를결정적으로확정해나아갔다. 곧직관적으로옳은것으로판정되었다하더라도그증명이이루어지지않는다면아직수학적진리라고말할수없다는수학의성격이여기에서확정되었다고볼수있다. 원론은말하자면과학으로서의수학으로알려진처음의서적이라할수있다.
유크리드원론의내용 제 1 권에는처음에 23 개의정의 (defination) 가나와있고이어서 5 개의공준 (postulate) 과 5 개의공통개념 (common notion) 이실려있다. 공준은기하학적인내용을가진것이고공통개념은일반적으로통용하는내용을가진것이다. 이들은모두명제를증명할때근거가되는것으로오늘날말하는공리 (Axiom) 에해당한다. 유클리드는이와같은정의, 공준, 공통개념에만근거를두고기하학의모든명제를연역적추론에의하여유도해나아갔다. 제 1 권에서는 48개의명제가증명되어있고 13권을모두합치면그명제의수는무려 465개에달한다.
유크리드원론은모두 13 권으로되어있다. 제 1 권은직선, 평행선, 평면도형, 제 2 권은직 4 각형, 정 4 각형의면적, 제 3 권은원, 제 4 권은원에내접, 외접하는다각형, 제 5 권은비교론, 제 6 권은상사도형, 제 7, 8, 9 권은정수론, 제 10 권은무리수론, 제 11, 12, 13 권은입체기하를취급하고있다.
뉴톤 (Newton; 1642 ~ 1727) 의프린키피아 (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) 미분적분학이론의정립
미분적분학의응용 자연현상 => 함수로표현복소함수실함수유리함수정함수무리함수초월함수 ( 삼각함수역삼각함수쌍곡선함수역쌍곡선함수대수함수로그함수 )
미분적분학의응용 미분 - 최대, 최소- 그래프 모양 ( Shape) 근사값수열과급수를이용한테일러, 매클로린의정리 적분 길이, 면적, 체적 양 (volume)
평행선의문제 중세에서근세에이르는동안수학사의흐름에서가장긴기간동안수학자를괴롭힌것은 평행선의문제 라고볼수있다. 유클리드원론의 제 5 공준 을살펴보자.
평행선문제란? 이제 5 공준을나머지공준을사용하여증명하려고하는문제이다. 오랫동안제 5 공준의증명에성공했다는수학자가많았으나증명을자세히검토해보면거의가제 5 공준과동치인명제를암암리에사용하는잘못을저지르고있었다.
삭케리 (Saccheri; 1667 ~ 1733) 는 이탈리아신부로 제 5 공준 의증명에열심히몰두한사람이다. 그는귀류법을써서이것을증명하려고했다. 곧제 5 공준을부정하고거기에서모순을유도하려고한것이다. 결과적으로는이러한시도가실패로그쳤으나그과정에서그는비유클리드기하학의기초적인부분을이루는일련의명제를얻는데성공한셈이다.
러시아의로바체프스키 (Lobachevskii; 1793 ~ 1856) 도귀류법으로제 5 공준을증명하려고시도한사람이다. 그도삭케리처럼성공하지는못하였으나공준 1 ~ 4 에공준 5 의부정 직선밖의한점을지나고이직선에평행한직선은 2 개이상존재한다 를첨가한공리계에서다음과같은기묘한명제가증명되었다.
삭케리의방법이나로바체프스키의방법에수학적모순이일어나지않았다... 지금까지의많은수학자가제 5 공준을증명하려고노력한끝에제 5 공준의부정에서여러가지명제를유도해내었다. 그러나이와같은명제에서는구하고자했던모순도끝내나타나지못했다. 따라서일련의명제가운데서모순이나타나지않는다면여기서생각을바꾸어이것을한수학, 곧유클리드기하학과는다른내용을가진새로운기하학이라고생각해도무방하지않을까?...
비유클리드기하학의탄생 로바체프스키는이상과같은내용을 1826 년에발표하였으나당시의사람들은이것을수용하지않았다. 그러나이후의자신의계속된연구와더불어볼리야이 (Bolyai; 1802 ~ 1900) 등의연구로평행선의문제는부정적인형태로완전히해결되고여기에서 비유클리드기하학의탄생을보게되었다.
리만의구면기하학 그후리이만 (Riemann; 1826 ~ 1866) 은직선의길이가유한이고평행선이하나도존재하지않는다는내용을갖는기하학을발표하였다. 그후에클라인 (Kliein; 1849 ~ 1935) 은유클리드, 로바체프스키, 리이만의세종류의기하학을각각포물선적, 쌍곡적, 타원적기하학이라고명명하였다. 이들세종류의기하학의몇가지성질을비교해보면다음과같다.
평행선공리에따른기하학의분류
수학은현상세계에서의진리를추 구하는과학인가?. 힐버트는이문제에대하여다음과같은결론을내리게되었다. 수학은본질적으로현상세계와는아무런관계도갖지않는학문이고, 수학의과제는현상세계에서의진리를추구하는것이아니고다만가정으로설정한공리계에서연역적으로명제를설명해나가는것뿐이다
힐버트의공리주의 힐버트는수학을현상세계에대한학문과는별개의것으로규정하도록주장하였다. 이같은수학관을일반적으로공리주의라고부르고있다. 이공리주의수학관은그후서서히수학자사이에서찬동을얻었고오늘날에는대다수수학자가이를지지하기에이르렀다.
힐버트수학기초론 (Grundlagen der Geometrie; 1899) 이책은괴팅겐대학에서의그의강의내용을토대로하여 1899 년에그초판이발간되었다. 이책은공리주의적입장에선수학을유크리드기하학의재구성이라는형태로실현시켜낸반면그렇게함으로써유클리드원론의논리적결함을완전히보완시킨것으로그후의수학에큰영향을주고높은평가를받았다.
힐버트의업적 힐버트는무정의용어 ( 공리 ) 로서 점, 직선, 위에있다, 사이에있다, 합동이다 를선택하여 이들에대한공리를결합, 순서, 합동, 평행, 연결의 5 군으로나누어제시해나갔다.
기하학의분류? 19C 전반에탄생한비유크리드기하학에이어퐁스레 (Poncelet,J. V.; 1788 ~ 1867), 뫼비우스, 슈타이너, 케일리등의수학자에의해선분의길이, 각의크기를다루는유클리드기하학과는다른입장에선사영기하학이탄생하였다. 그밖에다른이름으로불리는기하학도생겨나게되어이들여러가지기하학을통일하거나또분류할수있는어떤좋은원리가없을까? 하고생각하게되었다.
엘랑겐대학교수취임에서발표한 클라인 (Klein, F.; 1849 ~ 1925) 엘랑겐프로그램 (Erlangen program; 1872) 그의논문제목 새로운기하학적연구에대한비교고찰 그내용은 한변환군에대하여불변인성질을연구하는것이기하 학이다. 여러가지변환군을줌으로써대응하는여러가지기하학이생긴다 와같이생각하는방법이다. 이로서사영변환, 아핀변환, 상사변환, 합동변환등에의하여기하학이분류되었다
변환에의한기하학의분류 합동변환닮음변환사영변환공형변환위상변환
합동변환 길이와면적이보존된다.
닮음변환 대응변의길이의비가일정하다.
아핀변환 같은변상의길이의비와점의순서, 연속성이보존된다.
사영변환 같은변상의점의순서와연속성이보존된다.
위상변환 점의연속성이보존된다.
각변환들의비교
각변환들의관계
그림의길밖으로나가보세요 사영기하학 : 대각선구도
위상변환 윤환면 뒤집기 점의연속성 을 보존한변환