16 장 Fourier 해석 16.1 사인함수를이용한곡선접합 16.2 연속 Fourier 급수 16.3 주파수영역과시간영역 16.4 Fourier 적분과변환 16.5 이산 Fourier 변환 (DFT) 16.6 파워스펙트럼
16.1 사인함수를이용한곡선접합 (1/5) 주기가 T 인주기함수 f() t = f( t+ T) 주기운동의가장기본 : 원운동 ( 코사인, 사인 ) y (,1) ω t + θ sin( ω t + θ) cos( ω t + θ) (1,) x Applied Numerical Methods 16장 Fourier 해석
16.1 사인함수를이용한곡선접합 (2/5) 일반적인주기함수의표현 -평균높이 A, 진폭 C 1 -각주파수 ω, 위상각 θ 주파수 f, 주기관계 T: f( t) = A + C cos( ω t+ θ) (16.2) 1 ω = 2 π f, f = 1/T 곡선접합을위한 Eq. (16.2) 형태변환 여기서 f( t) = A + A cos( ω t) + B sin( ω t) (16.6) Applied Numerical Methods 1 1 A = C cos( θ) & B = C sin( θ) (16.7) 1 1 1 1 θ = B A 1 arctan (16.8) 1 16장 Fourier 해석
16.1 사인함수를이용한곡선접합 (3/5) 사인선형최고제곱모델 f( t) = A + A cos( ω t) + B sin( ω t) + e (16.11) 1 1 오차의제곱의최소화 (MLS) r n i= 1 { [ ]} 2 i 1cos( ω ) 1sin( ω ) S = y A + A t + B t cos( ω ) sin( ω ) 2 1 2 1 N t t A y cos( ω t) cos ( ω t) cos( ω t)sin( ω t) A = ycos( ω t) (16.12) sin( ω t) cos( ω t)sin( ω t) sin ( ω t) B ysin( ω t) ω 에대응하는주기 T 를 N 등분한시간간격에서계산하면 N A y A 1/ N y N / 2 A1 ycos( ωt) A 1 2 / N = = ycos( ωt) N / 2 B 1 ysin( ωt) B 1 2 / N ysin( ωt) Applied Numerical Methods 16장 Fourier 해석
16.1 사인함수를이용한곡선접합 (4/5) Q. 곡선 y=1.7+cos(4.189t+1.472) 에대하여 t=에서 1.35 사이의범위에대하여 t=.15 의간격을사용하여 1개의이산값을생성하고이정보및최소제곱접합을이용하여식 (16.11) 의계수값들을구하라. t y ycos(ω t) ysin(ω t) 2.2 2.2..15 1.595 1.291.938.3 1.31.319.98.45.722 -.223.687.6.786 -.636.462.75 1.2-1.2..9 1.85-1.46-1.61 1.5 2.369 -.732-2.253 1.2 2.678.829-2.547 1.35 2.614 2.114-1.536 = 17. 2.52-4.33 Applied Numerical Methods 16장 Fourier 해석
16.1 사인함수를이용한곡선접합 (5/5) 이결과는식 (16.14-16) 까지를구하기위하여사용할수있다. 17. 2 2 A = = 1.7, A1 = 2.52 =.5, B1 = ( 4.33) =.866 1 1 1 따라서최소제곱접합은 f( t) = 1.7 +.5 cos( ω t).866sin( ω t) 식 (16.2) 의형식으로바꾸면 f( t) = 1.7 + cos( ω t+ 1.472) 앞서의해석은다음과같은일반적인모델로확장할수있다. f( t) = A + Acos( ω t) + B sin( ω t) + A cos(2 ω t) + B sin(2 ω t) + 1 1 2 2 + A cos( mω t) + B sin( mω t) m 2 여기서등각격의데이터에대하여계수는다음과같다. y 2 2 A =, An = ycos( nω), Bn = ysin( nω), n= 1, 2,..., m N N N # 이들관계식은회귀분석 (N>2m+1) 뿐만아니라보간법이나콜로케이션방법 (N=2m+1) 에도적용 Applied Numerical Methods 16장 Fourier 해석
16.2 연속 Fourier 급수 (1/3) 주기 T 의함수에대하여연속 Fourier 급수는다음과같이쓸수있다. f( t) = a + [ a cos( kω t) + b sin( kω t)] (16.17) k k k = 1 여기서첫번째모드의각주파수 (ω =2π/T) 는기본주파수라하며, 이주파수의정수배 2ω, 3ω 등을고조파 (harmonics) 라한다. 식 (16.17) 의계수는 k=1. 2,, 에대하여다음식을통하여계산할수있다. 2 T 2 T ak = f ( t)cos( kω t) dt, bk f ( t)sin( kω t) dt T = T 그리고 a 는다음과같다. a 1 = T T f () t dt
16.2 연속 Fourier 급수 (2/3) Q. 연속 Fourier 급수를이용하여높이가 2이고, 주기 T=2π/ω 인사각파를근사하라. 1 T /2 < t < T /4 f( t) = 1 T /4 < t < T /4 1 T /4 < t < T /2 사각파의평균높이는 이므로 a =. 나머지계수들은 : 2 T/2 2 T/4 T/4 T/2 ak = f ( t)cos( kω /2 t) dt cos( kω /2 t) dt cos( kω /4 t) dt cos( kω /4 t) dt T = + T T T T T 이적분을계산하면, 4 / ( kπ ) for k = 1,5,9,... ak = 4 / ( kπ ) for k = 3,7,11,... for k = even integers
16.2 연속 Fourier 급수 (3/3) 같은방법으로 b k = 따라서 Fourier 급수근사는다음과같다. 4 4 4 4 f( t) = cos( ωt) cos(3 ωt) + cos(5 ωt) cos(7 ωt) + π 3π 5π 7π 그림 16.4 사각파에대한 Fourier 급수근사 Euler 공식에기초한복소수표현법 ± ix e = cos( x) ± isin( x) 여기서 i = 1 복소지수함수를이용한 Fourier 급수 f() t = T /2 ikωt c = f t e dt T /2 k 1 T k = ce k ikω t ()
16.3 주파수영역과시간영역 (1/3) 그림 16.6 시간영역 / 주파수영역 ( 진폭, 위상 ) π f( t) = C1 cos( t+ ) 2
16.3 주파수영역과시간영역 (2/3) 그림 16.7 사인곡선의여러위상들과관련위상스펙트럼들
16.3 주파수영역과시간영역 (3/3) 그림 16.8 사각파에대한 (a) 진폭선스펙트럼 (b) 위상선스펙트럼
16.4 Fourier 적분과변환 주기함수 T 비주기함수 -T/2 T/2 -T/2 - T/2 Fourier 급수 f() t = 1 T k = T /2 ikωt c = f t e dt k T /2 ce k ikω t () Fourier 적분 1 iωt f() t = F( ω) e dω 2π iωt F( ω) = f () t e dt
16.5 이산 Fourier 변환 (1/4) 공학에서함수는종종한정된개수의이산값들의집합으로표현된다. n 1 ikω j F f e for k n k = = : 1 (16.26) j= n 1 1 = k = : 1 (16.27) n ikω j f F e for j n j k = j
16.5 이산 Fourier 변환 (2/4) DFT 의다른특징 : Nyquist 주파수 : 신호에서측정할수있는가장높은주파수, 샘플링주파수의절반 측정가능한가장낮은주파수 : 총샘플길의역수 Ex) f s =1 Hz (1 초에 1 개의샘플들 ) 로약 n=1 개의데이터 1 1 t = = =.1s/sample f 1 samples/s n 1 samples t n = = =.1 s f 1 samples/s f =.5 f =.5 1 Hz = 5 Hz max or Nyquist min s s fs 1 samples/s f = = = 1 Hz n 1 samples f 1 = = 1 Hz.1s s
16.5 이산 Fourier 변환 (3/4) 고속 Fourier 변환 (FFT, J.W. Cooley & J.W. Tukey, 1965) 그림 16.1 표준 DFT 와 FFT 에대한연산횟수대샘플크기의그림
16.5 이산 Fourier 변환 (4/4) MATLAB 함수 : fft F = fft(f,n) 여기서 F=DFT를포함하는벡터이며 f= 신호를포함하는벡터 n = 데이터개수 * f가 n점보다작으면 으로채움 * F의원소는역순환순서 (n=8이면순서가, 1, 2, 3, 4, -3, -2, -1)
예제 16.3 (MATLAB 을이용한단순사인함수의 DFT 계산 (1/4) Q. MATLAB의 fft함수를이용하여단순사인함수에대한이산 Fourier 변환을계산하라. t=.2초인 8개의등간격점을생성하고결과를주파수에대하여그려라. 풀이 ) f( t) = 5 + cos(2π 12.5 t) + sin(2π 18.75 t) 샘플링주파수 : f s = 1/ t = 1/.2s = 5 Hz 총샘플길이 : t n = n/f s = 8 samples/(5samples/s)=.16 s Nyquist 주파수 : f max =.5f s =.5 5Hz=25Hz 최소측정가능주파수 : f min =1/.16s=6.25 Hz
예제 16.3 (MATLAB 을이용한단순사인함수의 DFT 계산 (2/4) >> n=8; dt=.2; fs=1/dt; T=.16; >> tspan=(:n-1)/fs; >> y=5+cos(2*pi*12.5*tspan)+sin(2*pi*31.25*tspan); >> subplot(3,1,1); >> plot(tspan,y,'-ok','linewidth',2,'markerfacecolor','black'); >> grid on >> title('(a) f(t) versus time (s)');
예제 16.3 (MATLAB 을이용한단순사인함수의 DFT 계산 (3/4) >> Y=fft(y)/n; >> Y ans = 5.. -.i.5 -.i -. -.5i -. +.5i.5 +.i. +.i Applied Numerical Methods 16장 Fourier 해석
예제 16.3 (MATLAB 을이용한단순사인함수의 DFT 계산 (4/4) >> nyquist=fs/2;fmin=1/t; >> f=linspace(fmin, nyquist, n/2); >> Y(1)=[];YP=Y(1:n/2); >> subplot(3,1,2) >> stem(f,real(yp),'linewidt',2,'markerfacecolor','blue'); >> grid on;title('(b) Real component versus frequency') >>subplot(3,1,3);stem(f,imag(yp),'linewidt',2,'markerfacecolor','bl ue'); >> grid on;title('(c) Imaginary component versus frequency') >> xlabel('frequency (Hz)')
16.6 파워스펙트럼 파워는 Fourier 계수들의제곱을합함으로써계산할 수있다 : Parseval Theorem T T ( ) 2 2 ikωt f () t dt = c ke dt 1 T () = T 2 f t dt Pk 2 * k k k = T c (note : c = c for real function f( t)) where P k = c k 2
예제 16.4 (MATLAB 을이용한파워스펙트럼의계산계산 (1/2) Q. 예제 16.3 에서 DFT 를계산한단순사인함수에대하여파워스펙 트럼을계산하라. 풀이 ) %compute the DFT clc;clf n=8; dt=.2; fs=1/dt; tspan=(:n-1)/fs; y=5+cos(2*pi*12.5*tspan)+sin(2*pi*18.75*tspan); Y=fft(y)/n; f=(:n-1)*fs/n; Y(1)=[]; f(1)=[]; %compute and display the power spectrum nyquist=fs/2; f=(1:n/2)/(n/2)*nyquist; Pyy=abs(Y(1:n/2)).^2; stem(f,pyy,'linewidth',2,'markerfacecolor','blue') title('power Spectrum') xlabel('frequency (Hz)'); ylim([.3]); grid on;
예제 16.4 (MATLAB 을이용한파워스펙트럼의계산계산 (2/2) Q. 예제 16.3에서 DFT를계산한단순사인함수에대하여파워스펙트럼을계산하라. 풀이 ) Power Spectrum.25.2.15.1.5 6 8 1 12 14 16 18 2 22 24 26 Frequency (Hz)